Wie is er bang voor breuken? [1.7ex] Workshop Rekendagen PO

Wie is er bang voor breuken?
Workshop Rekendagen PO-raad 2010
Utrecht 28 september, Assen 30 september,
Utrecht 12 november
Jan van de Craats
Stichting Goed Rekenonderwijs
Achtergronden van deze workshop
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
I
Breuken en hun bewerkingen zijn onderbelicht in de
huidige rekenboeken voor de basisschool.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
I
Breuken en hun bewerkingen zijn onderbelicht in de
huidige rekenboeken voor de basisschool.
I
Met name de rekenbewerkingen voor breuken worden
moeilijk gevonden en nauwelijks meer volledig behandeld.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
I
Breuken en hun bewerkingen zijn onderbelicht in de
huidige rekenboeken voor de basisschool.
I
Met name de rekenbewerkingen voor breuken worden
moeilijk gevonden en nauwelijks meer volledig behandeld.
I
Als gevolg hiervan wordt dit onderwerp ook niet meer
getoetst in de Cito-eindtoets.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
I
Breuken en hun bewerkingen zijn onderbelicht in de
huidige rekenboeken voor de basisschool.
I
Met name de rekenbewerkingen voor breuken worden
moeilijk gevonden en nauwelijks meer volledig behandeld.
I
Als gevolg hiervan wordt dit onderwerp ook niet meer
getoetst in de Cito-eindtoets.
I
Dit geeft problemen in het vervolgonderwijs en in de
beroepspraktijk.
Achtergronden van deze workshop
I
Drie soorten getallen: hele getallen, kommagetallen,
breuken.
I
Al die getallen hebben hun plaats op de getallenlijn.
I
Vier soorten rekenbewerkingen: optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen.
I
Breuken en hun bewerkingen zijn onderbelicht in de
huidige rekenboeken voor de basisschool.
I
Met name de rekenbewerkingen voor breuken worden
moeilijk gevonden en nauwelijks meer volledig behandeld.
I
Als gevolg hiervan wordt dit onderwerp ook niet meer
getoetst in de Cito-eindtoets.
I
Dit geeft problemen in het vervolgonderwijs en in de
beroepspraktijk.
I
Ook veel basisschooldocenten kunnen niet vlot met
breuken rekenen.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Ik maak hierin gebruik van twee generieke contexten:
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Ik maak hierin gebruik van twee generieke contexten:
1. het pizzamodel,
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Op mijn homepage (voor de URL, zie later) staat een
breukencursus in vier lessen bestemd voor docenten en andere
belangstellenden.
I
Les 1: Wat zijn breuken?
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Ik maak hierin gebruik van twee generieke contexten:
1. het pizzamodel,
2. breuken op de getallenlijn.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
I
Inpassen in het rekenen met hele getallen en
kommagetallen:
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
I
Inpassen in het rekenen met hele getallen en
kommagetallen:
hele getallen zijn ook breuken (met noemer 1),
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
I
Inpassen in het rekenen met hele getallen en
kommagetallen:
hele getallen zijn ook breuken (met noemer 1),
kommagetallen zijn ook breuken (met noemer 10, 100,
1000, . . .). Vandaar: decimale breuken.
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
I
Inpassen in het rekenen met hele getallen en
kommagetallen:
hele getallen zijn ook breuken (met noemer 1),
kommagetallen zijn ook breuken (met noemer 10, 100,
1000, . . .). Vandaar: decimale breuken.
I
Echter: niet alle breuken zijn ook kommagetallen!
Cursus Wie is er bang voor breuken?
Achtergronden bij de opzet en de didactische keuzes in de
cursus Wie is er bang voor breuken?
I
Waarom (slechts) twee contexten (pizza en getallenlijn)?
I
Basis verschaffen voor alle toepassingen van breuken.
I
Overzichtelijke en uniforme behandeling van de
rekenbewerkingen voor breuken.
I
Inpassen in het rekenen met hele getallen en
kommagetallen:
hele getallen zijn ook breuken (met noemer 1),
kommagetallen zijn ook breuken (met noemer 10, 100,
1000, . . .). Vandaar: decimale breuken.
I
Echter: niet alle breuken zijn ook kommagetallen!
I
Let op: de cursus biedt geen één-op-één-model voor
behandeling op school.
Les 1: Wat zijn breuken?
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
_1
7
_1
7
_1
7
_1
7
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
4
4 : 7 =
7
_1
7
_1
7
_1
7
_1
7
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
4
4 : 7 =
7
4
1
= 4×
_1
_1
7
7
7
7
_1
7
_1
7
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
4
4 : 7 =
7
4
1
= 4×
_1
_1
7
7
7
7
1
dus 4 : 7 = 4 ×
7
_1
7
_1
7
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
4
4 : 7 =
7
4
1
= 4×
_1
_1
7
7
7
7
1
dus 4 : 7 = 4 ×
7
in woorden: 4 gedeeld door 7
_1
_1
1
7
7
is hetzelfde als 4 maal
7
Les 1: Wat zijn breuken?
Een breuk is de uitkomst van een deling.
4
In het pizzamodel: pizza is wat ieder krijgt als je 4 pizza’s
7
eerlijk verdeelt onder 7 personen.
4
4 : 7 =
7
4
1
= 4×
_1
_1
7
7
7
7
1
dus 4 : 7 = 4 ×
7
in woorden: 4 gedeeld door 7
_1
_1
1
7
7
is hetzelfde als 4 maal
7
In het algemeen: delen door een heel getal is hetzelfde als
vermenigvuldigen met 1 gedeeld door dat hele getal.
Breuken op de getallenlijn
Breuken op de getallenlijn
0
0_
2
1
1_
2
2_
2
2
3
_
2
4
_
2
3
5
_
2
6
_
2
(noemers 2)
Breuken op de getallenlijn
0
1
0
0_
3
1
1_
3
2_
3
3_
3
3
2
4_
3
5
_
3
6
_
3
(noemers 2)
6
_
2
5
_
2
4
_
2
3
_
2
2_
2
1_
2
0_
2
2
3
7
_
3
8
_
3
9
_
3
10
__
3
(noemers 3)
Breuken op de getallenlijn
0
1
0
1
0
0_
4
1
1_
4
2_
4
3_
4
4_
4
3
2
5_
4
6
_
4
7
_
4
8
_
4
10
__
3
9
_
3
8
_
3
7
_
3
6
_
3
5
_
3
4_
3
(noemers 2)
6
_
2
5
_
2
2
3_
3
2_
3
1_
3
0_
3
3
4
_
2
3
_
2
2_
2
1_
2
0_
2
2
(noemers 3)
3
9
_
4
10
__
4
11
__
4
12
__
4
13
__
4
(noemers 4)
Breuken op de getallenlijn
0
1
0
1
0
1
0
0_
5
8
_
4
7
_
4
6
_
4
5_
4
1
1_
5
2_
5
3_
5
4_
5
5_
5
7
_
5
8
_
5
9
_
5
10
__
5
(noemers 3)
3
11
__
4
10
__
4
9
_
4
2
6_
5
10
__
3
9
_
3
8
_
3
7
_
3
2
4_
4
3_
4
2_
4
1_
4
0_
4
3
6
_
3
5
_
3
4_
3
(noemers 2)
6
_
2
5
_
2
2
3_
3
2_
3
1_
3
0_
3
3
4
_
2
3
_
2
2_
2
1_
2
0_
2
2
12
__
4
(noemers 4)
13
__
4
3
11
__
5
12
__
5
13
__
5
14
__
5
15
__
5
16
__
5
17
__
5
(noemers 5)
Breuken op de getallenlijn
0
1
0
1
0
1
0
0_
5
1
4_
5
3_
5
2_
5
1_
5
0
0_
6
5_
5
9
_
5
8
_
5
7
_
5
1
1_
6
2_
6
3_
6
4_
6
5_
6
6_
6
10
__
5
3
11
__
5
13
__
5
12
__
5
14
__
5
2
7_
6
8_
6
9
_
6
10
__
6
11
__
6
12
__
6
(noemers 4)
13
__
4
12
__
4
11
__
4
10
__
4
9
_
4
2
6_
5
(noemers 3)
3
8
_
4
7
_
4
6
_
4
5_
4
10
__
3
9
_
3
8
_
3
7
_
3
2
4_
4
3_
4
2_
4
1_
4
0_
4
3
6
_
3
5
_
3
4_
3
(noemers 2)
6
_
2
5
_
2
2
3_
3
2_
3
1_
3
0_
3
3
4
_
2
3
_
2
2_
2
1_
2
0_
2
2
15
__
5
16
__
5
17
__
5
(noemers 5)
3
13
__
6
14
__
6
15
__
6
16
__
6
17
__
6
18
__
6
19
__
6
20
__
6
(noemers 6)
Breuken op de getallenlijn
Elke breuk heeft zijn eigen plaats op de getallenlijn.
Breuken op de getallenlijn
Elke breuk heeft zijn eigen plaats op de getallenlijn.
Voorbeeld: 11
7 vind je door de getallenlijn vanaf 0 te verdelen
in stapjes van 71 . Na 7 stapjes ben je dan bij 1, en na 11 stapjes
bij de breuk 11
7 .
0
0
_
_ 1
7 7
1
2
_
7
3
_
7
4
_
7
5
_
7
6
_
7
7_
7
2
8_
7
9_
7
3
10
11 12
__
__ 23
__ 22
__ 21
__ 20
__ 19
__ 18
__ 17
__ 16
__ 15
__ 14
__ 13
__ __
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
Breuken op de getallenlijn
Elke breuk heeft zijn eigen plaats op de getallenlijn.
Voorbeeld: 11
7 vind je door de getallenlijn vanaf 0 te verdelen
in stapjes van 71 . Na 7 stapjes ben je dan bij 1, en na 11 stapjes
bij de breuk 11
7 .
0
0
_
_ 1
7 7
1
2
_
7
3
_
7
4
_
7
5
_
7
Ook hier zie je dat
6
_
7
7_
7
2
8_
7
9_
7
11 ×
3
10
11 12
__
__ 23
__ 22
__ 21
__ 20
__ 19
__ 18
__ 17
__ 16
__ 15
__ 14
__ 13
__ __
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1
7
=
11
7
Breuken op de getallenlijn
Elke breuk heeft zijn eigen plaats op de getallenlijn.
Voorbeeld: 11
7 vind je door de getallenlijn vanaf 0 te verdelen
in stapjes van 71 . Na 7 stapjes ben je dan bij 1, en na 11 stapjes
bij de breuk 11
7 .
0
0
_
_ 1
7 7
1
2
_
7
3
_
7
4
_
7
5
_
7
Ook hier zie je dat
6
_
7
7_
7
2
8_
7
9_
7
11 ×
3
10
11 12
__
__ 23
__ 22
__ 21
__ 20
__ 19
__ 18
__ 17
__ 16
__ 15
__ 14
__ 13
__ __
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1
7
=
11
7
En (als je de getallenlijn naar rechts verlengt tot 11) dat
11 : 7 =
11
7
Breuken op de getallenlijn
Elke breuk heeft zijn eigen plaats op de getallenlijn.
Voorbeeld: 11
7 vind je door de getallenlijn vanaf 0 te verdelen
in stapjes van 71 . Na 7 stapjes ben je dan bij 1, en na 11 stapjes
bij de breuk 11
7 .
0
0
_
_ 1
7 7
1
2
_
7
3
_
7
4
_
7
5
_
7
Ook hier zie je dat
6
_
7
7_
7
2
8_
7
9_
7
11 ×
3
10
11 12
__
__ 23
__ 22
__ 21
__ 20
__ 19
__ 18
__ 17
__ 16
__ 15
__ 14
__ 13
__ __
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1
7
=
11
7
En (als je de getallenlijn naar rechts verlengt tot 11) dat
11 : 7 =
11
7
en
11
7
× 7 = 11
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
_1
3
_2
6
_3
9
4
__
12
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
_1
3
Wat valt je op?
_2
6
_3
9
4
__
12
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
_1
3
_2
6
_3
9
4
__
12
Wat valt je op?
1
3
pizza (een derde pizza) is evenveel als 62 pizza (twee stukken
4
van een zesde pizza), of als 39 pizza, of als 12
pizza.
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
_1
3
_2
6
_3
9
4
__
12
Wat valt je op?
1
3
pizza (een derde pizza) is evenveel als 62 pizza (twee stukken
4
van een zesde pizza), of als 39 pizza, of als 12
pizza.
Sommige breuken zijn blijkbaar hetzelfde!
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Eerst weer met pizza’s (let op de donkere stukken):
_1
3
_2
6
_3
9
4
__
12
Wat valt je op?
1
3
pizza (een derde pizza) is evenveel als 62 pizza (twee stukken
4
van een zesde pizza), of als 39 pizza, of als 12
pizza.
Sommige breuken zijn blijkbaar hetzelfde!
Ze stellen hetzelfde getal voor, en ze staan ook op dezelfde
plaats op de getallenlijn!
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Met pizzaverdelingen (maar ook op de getallenlijn) kun je zien:
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Met pizzaverdelingen (maar ook op de getallenlijn) kun je zien:
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei door
hetzelfde getal deelt (dit heet vereenvoudigen).
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Met pizzaverdelingen (maar ook op de getallenlijn) kun je zien:
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei door
hetzelfde getal deelt (dit heet vereenvoudigen).
30
6
2
= =
45
9
3
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Met pizzaverdelingen (maar ook op de getallenlijn) kun je zien:
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei door
hetzelfde getal deelt (dit heet vereenvoudigen).
30
6
2
= =
45
9
3
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei met
hetzelfde getal vermenigvuldigt.
Les 2: Breuken vereenvoudigen
Met pizzaverdelingen (maar ook op de getallenlijn) kun je zien:
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei door
hetzelfde getal deelt (dit heet vereenvoudigen).
30
6
2
= =
45
9
3
Een breuk verandert niet als je teller en noemer allebei met
hetzelfde getal vermenigvuldigt.
3
21
=
5
35
Gemengde breuken
Gemengde breuken
Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, is de breuk
groter dan 1. Neem bijvoorbeeld de breuk 14
5 . Soms schrijft
men die als 2 45 . Waarom?
Gemengde breuken
Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, is de breuk
groter dan 1. Neem bijvoorbeeld de breuk 14
5 . Soms schrijft
men die als 2 45 . Waarom?
14
__
5
=
2 4_5
Als je weer aan pizza’s denkt, dan heb je met 14 stukken van
pizza samen 2 hele pizza’s (tien stukken van 15 ) en nog vier
stukken van 51 . Eigenlijk betekent 2 45 dus 2 + 45 .
1
5
Gemengde breuken
Als de teller van een breuk groter is dan de noemer, is de breuk
groter dan 1. Neem bijvoorbeeld de breuk 14
5 . Soms schrijft
men die als 2 45 . Waarom?
14
__
5
=
2 4_5
Als je weer aan pizza’s denkt, dan heb je met 14 stukken van
pizza samen 2 hele pizza’s (tien stukken van 15 ) en nog vier
stukken van 51 . Eigenlijk betekent 2 45 dus 2 + 45 .
We noemen 2 45 een gemengde breuk.
1
5
Gemengde breuken
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
2
4
4
= 2+ =
5
5
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
2
4
4
10 4
= 2+ =
+ =
5
5
5
5
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
2
4
4
10 4
14
= 2+ =
+ =
5
5
5
5
5
Schrijven van een gewone breuk als gemengde breuk komt
neer op delen met rest van de teller door de noemer:
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
2
4
4
10 4
14
= 2+ =
+ =
5
5
5
5
5
Schrijven van een gewone breuk als gemengde breuk komt
neer op delen met rest van de teller door de noemer:
25
4
=3
7
7
want 25 : 7 = 3 rest 4
Gemengde breuken
Een gemengde breuk zoals 2 54 bestaat uit een geheel getal en
een breuk kleiner dan 1. De betekenis ervan is 2 54 = 2 + 45 .
4
Omdat 2 = 10
5 kun je de gemengde breuk 2 5 als volgt als een
gewone breuk schrijven:
2
4
4
10 4
14
= 2+ =
+ =
5
5
5
5
5
Schrijven van een gewone breuk als gemengde breuk komt
neer op delen met rest van de teller door de noemer:
25
4
=3
7
7
want 25 : 7 = 3 rest 4 (controle: 25 = 3 × 7 + 4).
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig.
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig.
Gelijknamige breuken kun je bij elkaar optellen door de tellers
op te tellen en de noemers ongewijzigd te laten.
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig.
Gelijknamige breuken kun je bij elkaar optellen door de tellers
op te tellen en de noemers ongewijzigd te laten.
3 9
12
+ =
7 7
7
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig.
Gelijknamige breuken kun je bij elkaar optellen door de tellers
op te tellen en de noemers ongewijzigd te laten.
3 9
12
+ =
7 7
7
Gelijknamige breuken kun je van elkaar aftrekken door de
tellers af te trekken en de noemers ongewijzigd te laten.
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Globale inhoudsbeschrijving van deze les:
Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig.
Gelijknamige breuken kun je bij elkaar optellen door de tellers
op te tellen en de noemers ongewijzigd te laten.
3 9
12
+ =
7 7
7
Gelijknamige breuken kun je van elkaar aftrekken door de
tellers af te trekken en de noemers ongewijzigd te laten.
9 4
5
− =
7 7
7
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
3 4
+ =
4 5
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
15 16
3 4
+
=
+ =
20 20
4 5
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
15 16
31
3 4
+
=
+ =
20 20
20
4 5
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
15 16
31
3 4
+
=
+ =
20 20
20
4 5
2 3
− =
3 5
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
15 16
31
3 4
+
=
+ =
20 20
20
4 5
2 3
10
9
− =
−
=
3 5
15 15
Les 3: Breuken optellen en aftrekken
Ongelijknamige breuken:
Ongelijknamige breuken kun je alleen optellen of aftrekken als
je ze eerst gelijknamig maakt (onder één noemer brengt).
15 16
31
3 4
+
=
+ =
20 20
20
4 5
2 3
10
9
1
− =
−
=
3 5
15 15
15
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
Centrale ideeën uit Les 1:
I
4
7
= 4×
1
7
4
7
?
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
dus:
Vermenigvuldigen met
4
7
= 4×
1
7
is hetzelfde als
eerst vermenigvuldigen met 4 en dan delen door 7.
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
dus:
Vermenigvuldigen met
4
7
= 4×
1
7
is hetzelfde als
eerst vermenigvuldigen met 4 en dan delen door 7.
5×
4
=
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
dus:
Vermenigvuldigen met
4
7
= 4×
1
7
is hetzelfde als
eerst vermenigvuldigen met 4 en dan delen door 7.
5×
4
= 5×4 : 7 =
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
dus:
Vermenigvuldigen met
4
7
= 4×
1
7
is hetzelfde als
eerst vermenigvuldigen met 4 en dan delen door 7.
5×
4
= 5 × 4 : 7 = 20 : 7
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Vermenigvuldigen met een breuk.
Wat krijg je als je een getal vermenigvuldigt met
4
7
?
Centrale ideeën uit Les 1:
I
I
4
7
= 4×
1
7
Vermenigvuldigen met
1
7
is hetzelfde als delen door 7
dus:
Vermenigvuldigen met
4
7
= 4×
1
7
is hetzelfde als
eerst vermenigvuldigen met 4 en dan delen door 7.
5×
20
4
= 5 × 4 : 7 = 20 : 7 =
7
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5 4
× =
3 7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5
5 4
× = ×4 : 7 =
3
3 7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5
20
5 4
: 7
× = ×4 : 7 =
3
3
3 7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5
20
20
5 4
: 7=
× = ×4 : 7 =
3
3
21
3 7
(Dit kun je ook weer illustreren met pizza-stukken of met
breuken op de getallenlijn!)
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5
20
20
5 4
: 7=
× = ×4 : 7 =
3
3
21
3 7
(Dit kun je ook weer illustreren met pizza-stukken of met
breuken op de getallenlijn!)
De algemene regel luidt (kort opgeschreven):
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Nog een voorbeeld (breuk maal breuk):
5
20
20
5 4
: 7=
× = ×4 : 7 =
3
3
21
3 7
(Dit kun je ook weer illustreren met pizza-stukken of met
breuken op de getallenlijn!)
De algemene regel luidt (kort opgeschreven):
breuk × breuk =
teller × teller
noemer × noemer
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Dus: delen door
met 74
4
7
is het omgekeerde van vermenigvuldigen
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Dus: delen door 47 is het omgekeerde van vermenigvuldigen
met 74 (d.w.z. vermenigvuldigen met 4 en delen door 7)
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Dus: delen door 47 is het omgekeerde van vermenigvuldigen
met 74 (d.w.z. vermenigvuldigen met 4 en delen door 7)
en dus is dat hetzelfde als
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Dus: delen door 47 is het omgekeerde van vermenigvuldigen
met 74 (d.w.z. vermenigvuldigen met 4 en delen door 7)
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4,
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Delen door een breuk.
Wat krijg je als je een getal deelt door
4
7
?
Centraal idee:
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Voorbeeld: als je een getal eerst vermenigvuldigt met 5, en
daarna het resultaat weer deelt door 5, krijg je het oude getal
weer terug.
Dit geldt ook voor breuken!
Dus: delen door 47 is het omgekeerde van vermenigvuldigen
met 74 (d.w.z. vermenigvuldigen met 4 en delen door 7)
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4,
want zo krijg je het oude getal weer terug!
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
en dus is dat hetzelfde als
4
7
het omgekeerde is
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
het omgekeerde is
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
4
=
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
7
4
= 5× =
4
7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
7
35
4
= 5× =
4
4
7
In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als
vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk!
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
7
35
4
= 5× =
4
4
7
In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als
vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk!
Dit geldt ook voor breuk : breuk:
5 4
:
=
3 7
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
7
35
4
= 5× =
4
4
7
In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als
vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk!
Dit geldt ook voor breuk : breuk:
5 4
5 7
:
= × =
3 7
3 4
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
We hebben net gezien dat delen door
van vermenigvuldigen met 47
4
7
het omgekeerde is
en dus is dat hetzelfde als
vermenigvuldigen met 7 en delen door 4.
Maar dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met de breuk 74 .
5 :
7
35
4
= 5× =
4
4
7
In het algemeen: delen door een breuk is hetzelfde als
vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk!
Dit geldt ook voor breuk : breuk:
5 4
5 7
35
:
= × =
3 7
3 4
12
De hele cursus in vogelvlucht
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken.
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken.
Eerst bij gelijknamige breuken. Bij ongelijknamige breuken ze
eerst onder één noemer brengen.
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken.
Eerst bij gelijknamige breuken. Bij ongelijknamige breuken ze
eerst onder één noemer brengen.
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen.
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken.
Eerst bij gelijknamige breuken. Bij ongelijknamige breuken ze
eerst onder één noemer brengen.
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen.
teller × teller
breuk × breuk =
noemer × noemer
De hele cursus in vogelvlucht
Wie is er bang voor breuken?
I
Les 1: Wat zijn breuken?
Breuk als uitkomst van een deling, pizzastukken, getallenlijn.
I
Les 2: Breuken vereenvoudigen.
Daarin ook gemengde breuken.
I
Les 3: Breuken optellen en aftrekken.
Eerst bij gelijknamige breuken. Bij ongelijknamige breuken ze
eerst onder één noemer brengen.
I
Les 4: Breuken vermenigvuldigen en delen.
teller × teller
breuk × breuk =
noemer × noemer
Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de
omgekeerde breuk.
Voor de gehele cursus
Wie is er bang voor breuken?
zie de site
http://www.science.uva.nl/~craats/#breukencursus
op mijn homepage
http://www.science.uva.nl/~craats
Veel dank!