In het punt F bevindt zich een draaibare ring. Door

3. Van een driehoekig prisma ABC.DEF is het grondvlak ABC een gelijkzijdige
driehoek met zijden van 4. De hoogte AD van het prisma is ook 4.
a. Teken dit driehoekige prisma ABC.DEF in parallelprojectie op een
rooster.
b. P is het midden van DE, Q is het midden van EB en R is het midden
van EF. Teken de driehoek PQR in de figuur en op ware grootte.
8. Je ziet hier een afgeknotte kubus met ribben van 6
cm. De punten P, Q en R zijn de middens van de
ribben waar ze op liggen.
a. Teken een parallelprojectie van deze
afgeknotte kubus met een wijkhoek van 30o
en een verkortingsfactor van 0,5.
b. Teken ΔPQR op ware grootte.
c. Het diagonaalvlak DBQSH is een vijfhoek.
Teken dit diagonaalvlak van de afgeknotte
kubus op ware grootte.
9. Gegeven is een regelmatige piramide T.ABCD waarvan het vierkant ABCD
het grondvlak is. De zijden van ABCD zijn 6 cm en de hoogte TS van de
piramide is 10 cm. S is het snijpunt van AC en BD.
a. Teken een parallelprojectie van deze piramide op een rooster.
b. Verdeel alle zijden van het grondvlak in drie gelijke delen. Licht je
werkwijze toe.
c. Verbind de getekende punten in het grondvlak, zodat je een
achthoek krijgt.
d. Is deze achthoek het grondvlak van een regelmatige achtzijdige
piramide? Leg uit.
10.Als je de middens van de grensvlakken van een
kubus met elkaar verbindt, dan krijg je een octaëder
(regelmatig achtvlak) ABCDEF. Van dit octaëder is
AC=BD=EF=8 cm.
a. Teken een parallelprojectie van het octaëder.
b. Welke vorm hebben alle grensvlakken van het
octaëder? Teken één ervan op ware grootte.
c. Welk lichaam heeft als hoekpunten de
middens van de zijden van het octaëder?
11.Je ziet hier een zogenaamd schilddak, een dakvorm met een rechthoekig
grondvlak ABCD en waarbij de nok EF van het dak precies boven het
midden van het grondvlak zit.
a. Teken zelf een parallelprojectie van dit schilddak op een rooster op
schaal 1:100.
b. Het dak zelf bestaat uit twee gelijkzijdige driehoeken en twee
symmetrische trapezia. Bepaal door meten in een geschikte figuur
de hoogte van die twee gelijkvormige driehoeken in dm nauwkeurig
en teken vervolgens zo'n driehoek op schaal 1:100.
c. Bepaal door meten in een geschikte figuur de hoogte van de twee
trapezia in dm nauwkeurig en teken vervolgens zo'n trapezium op
schaal 1:100.
12.Hiernaast zie je een foto van het gebouw
"Willemswerf" in Rotterdam. En hieronder zie je
een bovenaanzicht van een sterk
vereenvoudigde versie ervan. Deze sterk
vereenvoudigde versie in 80 m hoog. De knik in
het gebouw begint op 10 m boven het
grondvlak.
a. Teken zelf een parallelprojectie van de vereenvoudigde versie van
het gebouw "Willemswerf" op een rooster op schaal 1:100.
b. De knik in het gebouw heeft een grensvlak in de vorm van een
trapezium. Teken dat grensvlak op schaal 1:100.
13.Je ziet hier een afgeknotte kubus. De
oorspronkelijke kubus was 4 bij 4 bij 4
cm. Van die ribben van 4 cm zijn nu
alleen nog de middenstukken van 2 cm
over.
a. Teken een parallelprojectie van
deze kubus op een rooster.
b. Bepaal door meten de zijden van
de driehoekige grensvlakken in
mm nauwkeurig. Teken zo'n
grensvlak op ware grootte.
14.Zie de afgenotte kubus uit de voorgaande opgave.
Teken er een parallelprojectie van op blanco papier. Gebruik een
verkortingsfactor van 0,5 en een wijkhoek van 60o.
3. Van een driehoekig prisma ABC.DEF is het grondvlak ABC een gelijkzijdige
driehoek met zijden van 4. De hoogte AD van het prisma is ook 4. P is het
midden van DE, Q is het midden van EF.
a. Bereken de lengte van de zijden van ΔBPQ.
b. Teken ΔBPQ op ware grootte en bereken de groottes van de hoeken
van deze driehoek.
7. Je ziet hier een afgeknotte kubus met ribben van 6
cm. De punten P en R zijn de middens van de
ribben waar ze op liggen. BQ=1 cm.
a. Bereken de lengtes van de zijden van ΔPQR.
b. Teken ΔPQR op ware grootte en bereken de
hoeken van deze driehoek.
c. Het diagonaalvlak DBQSH is een vijfhoek.
Teken dit diagonaalvlak van de afgeknotte
kubus op ware grootte en bereken de
hoeken ervan.
8. Gegeven is een regelmatige piramide T.ABCD waarvan het vierkant ABCD
het grondvlak is. Alle ribben van deze piramide zijn 6 cm. P is het midden
van AT en Q is het midden van DT. S is het snijpunt van AC en BD.
a. Bereken de hoogte TS van deze piramide.
b. Leg uit waarom vierhoek BCQP een gelijkbenig trapezium is en
bereken de lengtes van de zijden van deze vierhoek.
c. Teken BCQP op ware grootte en bereken alle hoeken van dit
trapezium.
9. Hieronder staan twee vlakke figuren. Bereken steeds de lengte van het
lijnstuk waar het vraagteken bij staat.
10.Je ziet hier een zogenaamd schilddak, een dakvorm met een rechthoekig
grondvlak ABCD en waarbij de nok EF van het dak precies boven het
midden van het grondvlak zit. Het dak zelf bestaat uit twee gelijkzijdige
driehoeken en twee symmetrische trapezia.
a. Bereken de lengte van de ribben AE,DE,BF en CF.
b. Bereken de grootte van ∠ABF en ∠BFC.
c. Op 3 m boven de zoldervloer ABCD wordt een rechthoekige
verdiepingsvloer aangebracht. Bereken de oppervlakte van die
verdiepingsvloer.
11.Hiernaast zie je een foto van het gebouw
"Willemswerf" in Rotterdam. En hieronder zie je
een bovenaanzicht van een sterk
vereenvoudigde versie ervan. Deze sterk
vereenvoudigde versie in 80 m hoog. De knik in
het gebouw begint op 10 m boven het grondvlak. De knik in het gebouw
heeft een grensvlak in de vorm van een trapezium.
a. Bereken de lengtes van de zijden van dat trapezium.
b. Bereken de grootte van de hoeken van dat trapezium.
12.Marianne is een paar dagen in New York. Ze maakt een foto van een
boom. Ze staat 10 m van de boom vandaan. Op de foto is de boom 2 cm
groot. De afstand van de lens tot het negatief in het fototoestel is 6 cm.
a. Bereken nauwkeurig hoe hoog de boom is.
b. Na het ontwikkelen van de foto blijkt het vrijheidsbeeld ook op de
foto te staan. Toevallig is op de foto het vrijheidsbeeld precies even
groot als de boom. Het vrijheidsbeeld is 93 m hoog. Hoe ver stond
Marianne van het vrijheidsbeeld vandaan?
13.Je ziet hier een aan de voorkant
afgeknotte kubus ABCD.EFGH.
∠BAD=∠ADC=90o. De afmetingen
staan in de figuur. Bereken de lengte
van AQ.
14.Van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD is het grondvlak ABCD
een vierkant met zijde 4. S is het snijpunt van de diagonalen AC en BD en
TS=10. Punt M is het midden van TS.
a. Teken deze piramide in parallelprojectie. Teken een lijn door M
evenwijdig aan BD. Noem de snijpunten met TB en TD
respectievelijk P en Q.
b. Bereken de lengte van AP en PQ.
c. Teken ΔAPQ op ware grootte en bereken de hoeken van deze
driehoek.
3. Teken van de volgende twee lichamen de drie aanzichten en een uitslag.
4. Teken een parallelprojectie van het lichaam waarvan je hier de drie
aanzichten ziet.
5. Bekijk een kegel met een hoogte van 6 cm en een grondcirkel met straal 2
cm. De kegelmantel is een sector van een cirkel.
a. Leg uit hoe de sectorhoek van die cirkelsector wordt berekend.
Leg vervolgens uit hoe nu de uitslag wordt getekend.
b. Teken zelf een uitslag van een kegel met een hoogte van 4 cm en
een grondcirkel met een straal van 3 cm.
c. Teken ook een uitslag van een cilinder met een straal van 3 cm en
een hoogte van 4 cm.
6. Hier zie je een scheve piramide
T.ABCDEF waarvan het grondvlak
een regelmatige zeshoek is en DT
de hoogte is. Dit betekent dat DT
loodrecht staat op alle lijnen door D
in het grondvlak. Je wilt van deze
figuur de drie aanzichten en een
uitslag tekenen. Daarvoor moet je
weten hoe je een regelmatige
zeshoek tekent. Daarbij maak je
gebruik van het feit dat de
hoekpunten van elke regelmatige
veelhoek op een cirkel liggen en dat
hij is opgebouwd uit evenveel
gelijkbenige driehoeken als er zijden
zijn.
a. Uit hoeveel gelijkbenige
driehoeken is een regelmatige zeshoek opgebouwd? Bereken de
hoeken en de lengtes van de zijden van elk van die driehoeken.
b. Leg uit hoe je nu een regelmatige zeshoek tekent.
c. Teken de drie aanzichten van de gegeven piramide.
d. Bereken de lengtes van de ribben van deze piramide.
e. Teken een uitslag van deze piramide.
9. Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribben van 6 cm. Punt P is het
midden van ribbe AE en punt Q is het midden van ribbe CG. Het vlak PBQH
verdeelt de kubus in twee lichamen, waarvan het lichaam ABCD.PBQH er
één is.
a. Teken de drie aanzichten van ABCD.PBQH.
b. Teken een uitslag van het lichaam ABCD.PBQH.
c. Bereken de grootte van de hoeken van vlak PBQH.
10.Je ziet hier een zogenaamd schilddak, een dakvorm met een rechthoekig
grondvlak ABCD en waarbij de nok EF van het dak precies boven het
midden van het grondvlak zit. Het dak zelf bestaat uit twee gelijkzijdige
driehoeken en twee symmetrische trapezia.
a. Teken de drie aanzichten van dit schilddak.
b. Teken een uitslag van dit schilddak.
11.Een piramide T.ABCDE heeft als grondvlak een regelmatige vijfhoek
ABCDE. De hoogte van de piramide is TS, waarin punt S het middelpunt is
van de cirkel waar de hoekpunten van het grondvlak op liggen. Alle zijden
van deze piramide zijn 4 cm.
a. Teken de drie aanzichten van piramide T.ABCDE. Laat alle
noodzakelijke berekeningen zien.
b. Teken een uitslag van deze piramide. Laat ook nu alle noodzakelijke
berekeningen zien.
12.Hieronder zie je het zijaanzicht van een zuiver cirkelvormige tent.
Teken een uitslag van deze tent op schaal 1:100.
13.Arabische dansende derwisjen
dragen vaak een zogenaamde
kegelrok. Dat is een wijd uitlopende
rok die - als de stof stijf zou zijn - de
vorm heeft van een afgeknotte kegel.
Hiernaast zie je het patroon (de
uitslag) van zo'n kegelrok. Teken een
vooraanzicht en een bovenaanzicht
van de afgeknotte kegel die erbij
hoort. Laat alle noodzakelijke
berekeningen zien.
14.De figuur hiernaast is een regelmatig achthoekig
antiprisma. Je vindt dergelijke figuren en bouwplaten
ervan op de website korthalsaltes.com.
Alle ribben van dit antiprisma zijn 5 cm.
Teken een uitslag van dit antiprisma.
15.Van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD is het
grondvlak ABCD een vierkant. Alle ribben van deze piramide zijn 6 cm.
Punt P is het midden van AT en punt Q is het midden van DT. Het vlak
BCQP verdeelt de piramide in twee delen. Eén van die delen is het lichaam
ABCD.PQ.
a. Teken drie aanzichten van het lichaam ABCD.PQ. Laat de
noodzakelijke berekeningen zien.
b. Teken een uitslag van ditzelfde lichaam en laat ook nu de
berekeningen zien.
16.Dit is een zijaanzicht van een afgeknotte kegel.
De afmetingen staan er bij.
Teken een uitslag van deze kegel.
3. Het ontwerp van de kubuswoning door architect Piet Blom is beroemd. In
Helmond en in Rotterdam zijn van deze kubuswoningen gebouwd.
a. Teken zo'n kubus die op zijn punt staat: één van de
lichaamsdiagonalen is verticaal.
b. Teken de vloeren van de drie verdiepingen in de kubus. Deze drie
vloeren verdelen de verticale lichaamsdiagonaal in vier gelijke
delen.
8. Je ziet hier een prisma ABC.DEF waarvan twee grensvlakken vierkant zijn.
Deze vierkanten hebben zijden van 4 cm. Verder is gegeven: ∠BAC=90o,
BG=1 en CH=1.
a. Teken de doorsnede van vlak GHD en het prisma op ware grootte.
b. Bereken de grootte van de hoeken van driehoek GHD.
c. Teken in de figuur de snijlijn van vlak GHD met grondvlak ABC.
9. Van de achtkanter ABCD.EFGH is het
grondvlak ABCD een vierkant van 4 bij 4,
de hoogte 4 en het bovenvlak DEFG een
vierkant met diagonalen van 2 eenheden.
In deze achtkanter is een horizontale
doorsnede getekend door de midden van
alle opstaande ribben.
a. Teken deze doorsnede op ware
grootte. Laat zien hoe je daarbij te
werk gaat.
b. Bereken de totale omtrek van deze
doorsnede.
10.Teken de doorsnede van het vlak door P, Q en C en de regelmatige
vierzijdige piramide T.ABCD. Geef een beschrijving van de constructie.
11.Teken de doorsnede van het vlak door P, Q en R en het regelmatige
driezijdige prisma ABC.DEF. Geef een beschrijving van de constructie.
12.In deze balk ABCD.EFGH is P het midden van EF en ligt Q op CG zo, dat
CQ:QC=2:1. Teken de doorsnede van het vlak APQ en de balk. Geef een
beschrijving van de constructie.
13.Van een regelmatige vierzijdige piramide
T.ABCD is het grondvlak ABCD een vierkant
met zijden van 4 cm. De hoogte van deze
piramide is 5 cm. Punt E is het midden van BT
en punt G is het midden van DT. De doorsnede
AEFG heeft de vorm van een vlieger.
a. Leg uit waarom deze doorsnede de vorm
van een vlieger heeft.
b. Teken doorsnede AEFG op ware grootte.
Licht je antwoord met berekeningen toe.
c. Bereken de grootte van ∠EAG.
14.Dit is een afgeknotte regelmatige vierzijdige piramide ABCD.EFGH. P ligt
zo op AB dat AP:PB=1:3 en Q is het midden van EF. Teken de doorsnede
van het vlak PQG en de afgeknotte piramide. Geef een beschrijving van de
constructie.
3. Dit is de "Step Star", een 3D puzzle. Als alle puzzelstukjes op hun plaats
zitten krijg je een figuur die precies in een kubus past en ribben heeft van
1 cm, 2 cm en 3 cm. De figuur lijkt een doorlopende balk die steeds onder
een rechte hoek een knik maakt.
a. Teken een vooraanzicht, een zijaanzicht en een bovenaanzicht van
de "Step Star". Je hoeft niet te letten op de afzonderlijke
puzzelstukjes en de zwarte randjes.
b. Teken een serie doorsneden van de "Step Star" die evenwijdig zijn
aan het grondvlak, het vlak waarop hij in de foto staat. Maak
doorsneden die steeds 1 cm boven elkaar liggen, te beginnen met
het grondvlak zelf.
7. Je ziet hier een prisma ABC.DEF waarvan twee grensvlakken vierkant zijn.
Deze vierkanten hebben zijden van 4 cm. Verder is gegeven: ∠ACB=90o,
AG=1 en BH=1.
a. Teken een doorsnede door punt B en evenwijdig met vlak GHD.
b. Teken een doorsnede door het midden M van BE en evenwijdg met
vlak GHD.
c. Hoe ziet de doorsnede er uit van een vlak door E en evenwijdig met
vlak GHD?
8. Van de achtkanter ABCD.EFGH is het grondvlak ABCD een vierkant van 4
bij 4, de hoogte 4 en het bovenvlak DEFG een vierkant met diagonalen
van 2 eenheden. In deze
achtkanter is een horizontale
doorsnede getekend door de
midden van alle opstaande
ribben.
Teken van deze achtkanter een
serie van vijf doorsneden
evenwijdig aan het getekende
vlak op ware grootte. De
doorsneden liggen steeds op een
afstand van 1 cm van elkaar en
het getekende vlak zelf is één van
die doorsneden.
9. Hier zie je een serie verticale doorsneden van een lichaam. De afstand
tussen de doorsneden is telkens 0,5 cm. Teken een parallelprojectie van
dit lichaam.
10.Je ziet hier de doorsnede van het vlak door P, Q en R en het regelmatige
driezijdige prisma ABC.DEF. Teken een hiermee evenwijdige doorsnede
door het punt A en een hiermee evenwijdige doorsnede door het midden M
van ribbe BE.
11.Teken een serie parallelle doorsneden van een kegel, evenwijdig aan de as
van de kegel. De afstand tussen de doorsneden is 1 cm. De kegel is 5 cm
hoog en de straal van de grondcirkel is 3 cm. Laat zien hoe je dit aanpakt,
geef eventuele berekeningen.
12.Teken een serie parallelle doorsneden van een bol met een straal van 3
cm. De aftstand tussen de doorsneden is 1 cm. Laat zien hoe je dit
aanpakt, geef eventuele berekeningen.
13.Hier zie je een aantal evenwijdige doorsneden van een vaas. De
doorsneden zijn steeds op een onderlinge afstand van 10 cm genomen. De
wanddikte van de vaas is 2,5 cm. Een mogelijke vaas heeft de vorm van
twee afgeknotte kegels op elkaar.
Teken een vaas van die vorm met de kleinste inhoud die bij deze
doorsneden past. Zet de afmetingen er bij.
14.Dit is een afgeknotte octaëder (regelmatig achtvlak). Het oorspronkelijke
achtvlak had zes hoekpunten die allemaal 4 cm af lagen van het snijpunt
M van de drie lichaamsdiagonalen van het achtvlak. De gekleurde vlakjes
geven aan hoe de octaëder is afgeknot. Deze vlakjes liggen allemaal 3 cm
van M verwijderd.
Teken een serie van 7 horizontale doorsneden van deze afgeknotte
octaëder die steeds op 1 cm afstand van elkaar liggen.
1. Je ziet hier een stalen
afzuigkap in een grote
keuken. Het bovenste
deel is een balk, het
onderste gedeelte ook.
De vier schuine vlakken
hebben allemaal de
vorm van een
symmetrisch trapezium.
a. Teken een
vooraanzicht, een
zijaanzicht en een
bovenaanzicht
van de afzuigkap.
b. Bereken de
hoeken en de zijden van zo'n trapezium.
c. Is het middelste deel van deze afzuigkap een afgeknotte piramide?
Licht je antwoord toe.
d. Teken een uitslag van de afzuigkap.
2. Een plastic koffiebekertje heeft (ongeveer) de vorm van een afgeknotte
kegel. Van een bepaald koffiebekertje is de diameter van de bodem 46
mm, die van de bovencirkel 64 mm en de hoogte 90 mm.
Teken een uitslag van dit koffiebekertje. Schrijf alle noodzakelijke
berekeningen op.
3. Hier zie je een foto van de toren van de Walfriduskerk in Bedum. Deze
toren is ongeveer 35,70 m hoog en heeft vier gelijke ruitvormige
dakdelen. Iemand maakt een papieren model van deze torenspits. Daarbij
maakt hij het grondvlak van de toren een vierkant 6 cm bij 6 cm. De
totale hoogte van het bouwsel wordt 36
cm. De vier onderste punten van deze
ruiten komen 30 cm boven het
grondvlak.
a. Teken de drie aanzichten
van de torenspits.
b. Teken één zo'n ruitvormig
dakdeel op ware grootte. Bereken de
grootte van de hoeken ervan.
c. Teken een parallelprojectie
van de torenspits met daarin een serie
horizontale doorsneden op 2 m, 4 m en
6 m onder de top.
4. Je ziet hier een vereenvoudigde weergave van een boerenschuur.
Grondvlak ABCD is een rechthoek met AB=8 m en BC=6 m. De zijvlakken
BCGF, DCGH en ADHE zijn rechthoeken van 6 m bij 2 m. Verder is
AI=BJ=2 m, KL=IJ en TS=6 m. Punt L zit recht boven I, punt K zit recht
boven J en punt T zit recht boven S.
a. Teken een vooraanzicht, een zijaanzicht en een bovenaanzicht van
de schuur.
b. Teken het grensvlak FGTK op ware grootte en bereken er alle
hoeken van in graden nauwkeurig.
c. Teken in de figuur de doorsnede van een vlak door C, L en K met de
schuur. Teken die doorsnede ook op ware grootte. Schrijf alle
noodzakelijke berekeningen op.
5. Van een regelmatige zeszijdige piramide T.ABCDEF zijn de ribben van het
grondvlak 4 cm. De hoogte ervan is TS waarbij S het middelpunt is van de
cirkel die door de hoekpunten van het grondvlak kan worden getrokken.
a. Welke lengte heeft ribbe AT minimaal? Licht je antwoord toe.
b. Gegeven is dat TS=6 cm. Hoe lang is AT?
c. De punten M, S en N verdelen diagonaal AD in vier gelijke delen.
Teken een serie van drie doorsneden evenwijdig aan TS en
loodrecht op diagonaal AD door de genoemde punten.
6. De vijf regelmatige lichamen
Er zijn precies vijf regelmatige lichamen namelijk het regelmatig
viervlak, de kubus, het regelmatig achtvlak, twaalfvlak en twintigvlak. Van
deze regelmatige lichamen zijn alle ribben even lang en alle grensvlakken
hetzelfde. Ga er van uit dat al deze regelmatige lichamen ribben hebben
met een lengte van r eenheden. Verder draaien ze allemaal om een
bepaalde draaias. De hoogte van het lichaam is de lengte van het deel van
de draaias dat binnen de figuur zit.
a. Neem r=4 en teken van het regelmatig viervlak, de kubus en het
regelmatig achtvlak een dwarsdoorsnede waar minstens één ribbe
een zijde van is en die door de draaias van de figuur gaat. Als je er
zin in hebt moet je vooral ook proberen om dit in het regelmatig
twaalfvlak en het regelmatig twintigvlak te doen!
b. Druk bij het regelmatig viervlak, de kubus en het regelmatig
achtvlak de hoogte uit in r.
De andere twee zijn erg moeilijk, een echte uitdaging!
c. Kun je verklaren waarom er niet meer dan vijf regelmatige lichamen
zijn? (Tip: Denk aan de hoeken die in een hoekpunt bij elkaar
komen.)
d. Probeer een verklaring te vinden voor de formule van Euler:
aantal grensvlakken + aantal hoekpunten = aantal ribben + 2
7. Tafeltje
Op de foto hiernaast staat de afbeelding van een tafeltje.
Het tafeltje bestaat uit een aluminium onderstel met daarop
een glazen plaat. De vragen gaan over het onderstel. Dit
bestaat uit een aantal staven. Uit de foto is moeilijk op te
maken hoe het onderstel precies in elkaar zit. De figuur
hieronder geeft hierover meer duidelijkheid door het
verdelen van de staven over de figuren I, II, III en IV.
Het onderstel past in zijn geheel precies in een denkbeeldige balk ABCD.EFGH.
Als de vier figuren in elkaar worden geschoven, ontstaat een tekening van het
volledige onderstel. Bij de punten E, F, G en H van het onderstel kan de glazen
plaat worden vastgemaakt.
In de volgende vragen wordt de dikte van de staven verwaarloosd.
De afmetingen van de balk ABCD.EFGH zijn 40⋆40⋆46 cm. Zie de figuren I en II.
Punt P ligt 13 cm onder het midden van het bovenvlak van de balk; punt Q ligt
13 cm boven het midden van het grondvlak.
a.
Teken het bovenaanzicht van het volledige onderstel op schaal 1 :
10. Zet alle letters erbij.
b.
Bereken de totale lengte aluminiumstaaf die in het onderstel
verwerkt is. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Hiernaast is het diagonaalvlak ACGE getekend met de
vier staven die in dit vlak liggen. In het snijpunt S
van de lijnen PC en QG zijn in werkelijkheid de twee
staven door middel van een pennetje met elkaar
verbonden. Om dit mogelijk te maken moest er in
iedere staaf een gaatje geboord worden op een
bepaalde afstand van de eindpunten.
c.
Bereken de afstand QS. Geef je
antwoord in gehele millimeters nauwkeurig.
8. Showmodel
In een Doe-Het-Zelf-winkel staat een showmodel om verschillende soorten
vloerbedekking te laten zien: parket, laminaat en vinyl. Zie de foto.
Het showmodel is een kubus ABCD.EFGH (met de diagonaal BH verticaal)
die bij hoek H is afgeknot. De kubus staat met het afgeknotte gedeelte
PQR op een rechthoekig blok, een zogenaamde sokkel. Zo zijn er zes
grensvlakken waarop men een vloerbedekking kan laten zien.
De niet-afgeknotte ribben zijn 100 cm lang; de ribben GP, DQ en ER zijn
80 cm lang.
c.
Bereken de oppervlakte van dat deel van de afgeknotte kubus dat
gebruikt kan worden om vloerbedekking te laten zien.
d. Teken een bovenaanzicht van de afgeknotte kubus. Zet de letters
van de hoekpunten erbij. Teken met stippellijnen de ribben die je
van bovenaf niet kunt zien.
e. De sokkel heeft een hoogte van 20 cm. Onderzoek door middel van
een berekening of de totale hoogte van het showmodel (inclusief
sokkel) minder dan 185 cm is.
9. Etagère
In een advertentie van een tuincentrum staat een
foto van een etagère. Dezelfde foto is hiernaast
afgebeeld. Hieronder is de etagère getekend.
De etagère is opgebouwd uit drie gelijke
piramiden. Hij steunt met het punt K op de grond
en met de ribbe HI tegen de muur. De bovenste piramide is aan de
middelste vastgelast in het midden M van ribbe EF en de middelste
piramide is aan de onderste vastgelast in het midden L van ribbe BC.
Het punt K en de ribben BC, EF en HI liggen in één vlak. De driehoeken
KAB, KAC en ABC zijn zowel rechthoekig als gelijkbenig. KA=AB=AC=25
cm. De vlakken ABC, DEF en GHI lopen evenwijdig aan het grondvlak.
Teken een bovenaanzicht van deze etagère op schaal 1:5. Zet de letters
erbij.
a. Bereken de afstand van punt K tot de muur. Rond je antwoord af op
een geheel aantal centimeters.
De drie piramiden van de etagère worden uit
ijzeren platen gemaakt. Zo'n ijzeren plaat heeft
de vorm van een gelijkzijdige driehoek STU.
Hiernaast is de uitslag van een piramide in de
ijzeren plaat getekend. De grijze driehoekjes
zijn afval.
b. Bereken de lengtes van de zijden van
driehoek STU. Rond je antwoord af op een
geheel aantal centimeters.
3. Van elke vlieger ABCD staan de diagonalen AC en BD loodrecht op elkaar.
Neem verder aan dat AB=AD.
a. Neem aan dat AC=6 en BD=4. Hoe groot is dan de oppervlakte van
ABCD?
b. Waarom maakt het voor de oppervlakte van deze vlieger niet uit
waar het snijpunt van beide diagonalen precies zit? En klopt dat ook
als het snijpunt van beide diagonalen niet op lijnstuk AC ligt, maar
op het verlengte ervan? (Je hebt dan een pijlpuntvlieger.)
c. Welke formule kun je opstellen voor de oppervlakte van een vlieger?
9. Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Figuur II is een
trapezium en figuur III een vlieger. De cirkelbogen die de figuren IV en V
begrenzen zijn halve dan wel kwart cirkels.
10.Van de regelmatige achthoek hiernaast liggen
alle hoekpunten op een cirkel met een straal
van 5 cm.
Bereken de oppervlakte van het gebied dat
buiten de achthoek en binnen de cirkel ligt.
11.Iemand maakt een driepotig krukje waarvan de
zitting van boven gezien deze vorm heeft. De
figuur bestaat uit een regelmatige zeshoek
waaraan op drie zijden een segment zit van de
cirkel door de hoekpunten van de zeshoek.
Bereken zowel de oppervlakte als de omtrek van deze zitting.
12.Deze symmetrische bak staat precies half vol met water. De bak is 2
meter lang. De voorkant en de achterkant staan loodrecht op de bodem
van de bak.
a. Hoe hoog staat de waterspiegel gerekend vanaf de bodem van de
bak?
b. Hoe groot is de oppervlakte van de waterspiegel?
13.Bereken de oppervlakte van de volgende figuren. Figuur II is een vlieger
en figuur III een trapezium. Figuur IV bestaat uit vijf gelijke cirkels in één
grote cirkel.
14.Bereken de oppervlakte van het gebied binnen beide cirkels.
7. Bereken de oppervlakte van de volgende figuren.
8. Je ziet hier een zogenaamd schilddak, een dakvorm met een rechthoekig
grondvlak ABCD en waarbij de nok EF van het dak precies boven het
midden van het grondvlak zit. Het dak zelf bestaat uit twee gelijkzijdige
driehoeken en twee symmetrische trapezia. Bereken de oppervlakte van
dit schilddak.
9. Een piramide T.ABCDE heeft als grondvlak een regelmatige vijfhoek
ABCDE. De hoogte van de piramide is TS, waarin punt S het middelpunt is
van de cirkel waar de hoekpunten van het grondvlak op liggen. Alle ribben
van deze piramide zijn 4 cm.
Bereken de oppervlakte van deze piramide.
10.Hieronder zie je het zijaanzicht van een zuiver cirkelvormige tent.
Bereken de oppervlakte van deze tent, dus de hoeveelheid tentdoek die je
er voor nodig hebt.
11.De welbekende vijftig bolwoningen met hun opvallende architectuur staan
in ’s-Hertogenbosch. De bolwoning is ontworpen door de beeldhouwer,
ontwerper en architect Dries Kreijkamp geboren in 1937 te Tegelen. Ze
zijn gebouwd in 1984, met het doel om de bewoners te laten verbinden
met de natuur, mede door de diverse ronde ramen die in de woningen
aanwezig zijn. Tevens zijn de woningen milieuvriendelijk, door de bolvorm
heeft de wind er bijna geen greep op en daarnaast zijn ze zo ontworpen
dat ze energiezuinig en goedkoop zijn. Het zijn huurwoningen voor 1 of 2
personen.
Welke oppervlakte hebben deze bolwoningen als de diameter van de bol
zelf 8 meter en die van de cilinder 6 meter is, terwijl de hoogte van de
cilinder 3 meter is? Maak hierbij gebruik van de formule voor de
oppervlakte van een bolsegment met hoogte h van een bol met straal r.
De oppervlakte van zo'n bolsegment is 2πrh.
14.Bereken de oppervlakte van de volgende lichamen die precies passen in
een kubus met ribben van 6 cm.
15.De Constanzina schemerlamp is meer
bedoeld als een sfeerbrenger dan als een
optimale werkplek verlichter. Dat neemt niet
weg dat deze lamp het kantoor een sfeervol
aanzien geeft of het nu met de witte kap is
of met een mengeling van kleuren. Deze
lamp heeft een kapje in de vorm van een
afgeknotte kegel. De hoogte van die kegel is
20 cm, de bovencirkel heeft een diameter
van 15 cm en de ondercirkel een diameter
van 30 cm.
Hoe groot is de oppervlakte van het
materiaal van het kapje?
16.De Waura indianen wonen in het Amazonegebied in Brazilië. Hun dorpen
bestaan uit een aantal grote huizen. Hieronder zie je zo'n huis. Je kunt het
wiskundig beschrijven als een halve cilinder waarop aan weerszijden een
kwart bol zit. Neem aan dat dit huis zo'n 6 m hoog is en dat de halve
cilinder een lengte heeft van 8 m. Bereken dan de oppervlakte ervan.
4. Hier zie je een aantal champagneflessen. De bouteille is een normale
wijnfles van 0,75 liter. Neem aan dat al deze flessen gelijkvormig zijn.
a. Hoeveel keer zo hoog is een Magnum champagne in vergelijking
met een Fillette?
b. Voor een Magnum champagne wordt even dik glas gebruikt als voor
een Bouteille. Hoeveel keer zoveel glas is er voor nodig?
c. Een Bouteille champagne heeft een hoogte van 36 cm. Hoe hoog is
een Melchior campagne?
5. Dit glas heeft de vorm van een omgekeerde kegel op een
voet. De hoogte van deze kegel is (gerekend aan de
binnenkant van het glas) 10 cm.
Hoe hoog staat de vloeistofspiegel onder de bovenrand
als het glas half vol is?
8. Een kunstenaar maakt van een groot bronzen beeld eerst een model op
schaal 1:20. Het schaalmodel heeft een oppervlakte van 1400 cm2 en een
inhoud van 3000 cm3.
Bereken de oppervlakte en de inhoud van het bronzen beeld.
9. Je kunt een bepaalde soort verf kopen in blikken van 1 liter en in blikken
van 5 liter. Deze blikken zijn gelijkvormig.
a. Hoeveel keer zo hoog is het 5 liter blik dan het 1 liter blik?
b. Als beide blikken worden gemaakt uit een even dikke metaalplaat,
hoeveel keer zoveel metaal is er dan voor het 5 liter blik nodig? En
hoe zit dat als het metaal ook in dezelfde verhouding dikker wordt?
10.Jonathan Swift bedacht in zijn boek
"Gulliver's travels" het volk uit Lilliput.
De bewoners van Lilliput zijn
verkleiningen van echte mensen met
een factor 10. Ga eens uit van een
Lilliputter die een perfecte verkleining
van jouzelf is.
a. Hoe lang is die Lilliputter?
b. Hoeveel weegt die Lilliputter?
c. Hoeveel keer minder
huidoppervlakte heeft die
Lilliputter in vergelijking met
jouzelf?
d. De voedselbehoefte van zoogdieren in ongeveer recht evenredig
met de huidoppervlakte omdat dit vooral nodig is om de
lichaamstemperatuur op peil te houden en het temperatuurverlies
vooral afhangt van de huidoppervlakte. Schat hoeveel gram voedsel
jij per dag zelf nodig hebt en bereken hoeveel dat voor de Lilliputter
zou moeten zijn.
e. Hoeveel procent van je eigen lichaamsgewicht moet jij dagelijks
eten? En de Lilliputter?
f. Waarom geldt voor zoogdieren dat de benodigde hoeveelheid
voedsel recht evenredig is met het kwadraat van de lengte?
g. Leg uit dat voor zoogdieren de benodigde hoeveelheid voedsel per
kg lichaamsgewicht recht evenredig is met l23, waarin l de
lichaamslengte is.
11.In een kubusvormige bak ABCD.EFGH met ribben van 6 cm staat een
massieve kegel op het grondvlak ABCD. Deze kegel raakt alle ribben van
het grondvlak en de top T zit recht boven het midden van het grondvlak.
De bak is van boven open en de kegel steekt zo ver boven de kubus uit,
dat nog 34 deel zich binnen de kubus bevindt.
Hoe hoog is deze kegel?
12.Baboesjka's zijn poppetjes die in elkaar passen. Je
ziet hier een set van vijf baboesjka's, nummer ze van
klein naar groot I, II, III, IV en V. Ga er van uit de de
vier kleinste baboesjka's gelijkvormig zijn.
a. Waaraan zie je dat de grootste baboesjka
(nr.V) niet gelijkvormig is met de kleinste
(nr.I)?
b. Baboesjka nr.III is precies twee keer zo hoog
als nr.I. Hoeveel keer zo groot is het volume
van nr.III?
c. Baboesjka nr.IV heeft een twee keer zo grote
inhoud als baboesjka nr.III. Hoeveel keer zo hoog is baboesjka
nr.IV?
13.De spoorlijn van Arnhem naar Leeuwarden was in september 1868 geheel
klaar. De lengte van deze spoorlijn in 166 km. Op een kaart is deze
spoorlijn 8,3 cm lang. Wat is de schaal van die kaart?
14.Een ringslang met een lengte van 1 m heeft een gewicht van 240 gram en
een huidoppervlakte van 483 cm2. Een boa constrictor is een slang die veel
groter is. Een bepaalde boa weegt 51,84 kg. Beide soorten slangen
hebben dezelfde verhoudingen.
Hoe groot is de huidoppervlakte van deze boa constrictor?
15.Een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD heeft een grondvlak van 6
cm bij 6 cm en een hoogte van 8 cm. Door vlak EFGH dat evenwijdig aan
het grondvlak van de piramide loopt, wordt hij verdeeld in twee delen met
dezelfde inhoud.
Hoeveel bedraagt de hoogte van de afgeknotte piramide ABCD.EFGH?
1. Je ziet hier een doorsnede van een kogellager. In je fiets zit om de as van
elk wiel zo’n kogellager om ervoor te zorgen dat de draaibeweging van elk
wiel met weinig wrijving kan worden uitgevoerd. De kogeltjes van dit lager
zijn zuivere bollen en hebben een diameter van 4 mm. De kogeltjes zitten
in een cilindervormige ring met een buitenstraal van 10 mm en een
binnenstraal van 6 mm. De hoogte van die ring is gelijk aan de diameter
van elk kogeltje. De ruimte tussen de kogeltjes is opgevuld met vet.
Hoeveel % van de inhoud van de ring waarbinnen de kogeltjes zitten
bestaat uit vet?
2. In een cilindervormige koker passen precies drie tennisballen boven
elkaar.
Hoeveel % van de inhoud van de koker bestaat uit lucht?
3. IKEA heeft weer een nieuwe plastic fruitbak op de
markt. Je ziet hem hier. Hij bestaat uit een
massieve cilinder met een diameter van 40 cm en
een hoogte van 41 cm waaruit een afgeknotte kegel
is weg geboord. De bodem van deze afgeknotte
kegel is 1 cm dik en de diameter van de grondcirkel
van de afgeknotte kegel is 30 cm. De vaas is
behoorlijk zwaar hoewel de soortelijke massa van
het plastic maar 0,5 gram/cm3 is.
a. Bereken de hoeveelheid plastic van de bak in
cm3 nauwkeurig.
b. Bereken het gewicht van de bak in grammen nauwkeurig.
4. Een regelmatige vierzijdige piramide van hout wordt evenwijdig aan het
grondvlak doorgezaagd. De oorspronkelijke hoogte van de piramide was
12 cm, het afgezaagde topje (ook een piramide) heeft een hoogte van 8
cm. Je hebt nu twee nieuwe ruimtelijke objecten: het afgezaagde topje en
de onderkant (een afgeknotte piramide). Hoe verhouden zich hun
gewichten?
5. Het lichaam ABC.DEF past in een balk van 4 bij 4 bij 6 dm. Punt D ligt op 3
dm hoogte en punt E op 2 dm hoogte.
a. Bereken de inhoud van het lichaam ABC.DEF.
b. Teken een uitslag van het lichaam ABC.DEF.
In het punt F bevindt zich een draaibare ring. Door deze ring wordt een
stang gestoken. Deze stang rust op ribbe DE en wordt doorgeschoven
totdat het uiteinde de grond raakt. Bij verschillende standen van de stang
horen verschillende contactpunten met de grond.
c. Teken in de uitslag het lijnstuk dat wordt gevormd door alle
mogelijke contactpunten.
d. Punt P is het contactpunt dat het dichtst bij F ligt. Onderzoek door
berekening of een stang met een lengte van 75 cm lang genoeg is
om F en P te verbinden.
8. De Meeh-coëfficiënt
De Duitse bioloog Carl Meeh legde een verband tussen het
lichaamsgewicht en de huidoppervlakte bij dieren. Daarbij gebruikte hij de
Meeh-coëfficiënt. Door het gewicht van een massieve kubus of bol met
zijn buitenoppervlakte te vergelijken kun je afleiden welk type formule
daar bij past.
Bekijk nu een massieve kubus, een massieve bol en een massieve cilinder.
Alle drie zijn ze gemaakt van materiaal dat 1,5 gram/cm3 weegt. Het
gewicht noem je G en de buitenoppervlakte H.
a. Bereken G en H van een kubus met ribben van r cm.
Stel een formule op voor H uitgedrukt in G.
b. Bereken G en H van een bol met een straal van r cm.
Stel een formule op voor H uitgedrukt in G.
c. Bereken G en H van een cilinder met een straal van r cm en een
hoogte van r cm.
Stel een formule op voor H uitgedrukt in G.
d. Welke Meeh-coëfficiënten hebben deze kubus, deze bol en deze
cilinder?
9. Voetstuk
Een pijler onder een brug rust op een betonnen voetstuk. Het voetstuk
staat op de grond en bestaat uit twee delen. Het onderste deel heeft de
vorm van een balk, het bovenste deel ABCD.EFGHKLMN zorgt voor de
overgang naar de pijler die achtzijdig is. Zie de linker figuur. De rechter
figuur is een vooraanzicht van het voetstuk. In beide figuren zijn de
afmetingen gegeven in centimeters.
a. Met behulp van dit vooraanzicht kan de hoek berekend worden die
het schuine vlak BCKH met het vlak ABCD maakt. Bereken die hoek.
Rond je antwoord af op gehele graden.
b. Teken een bovenaanzicht van dit voetstuk op schaal 1:10. Zet de
letters erbij.
Er wordt een lint evenwijdig aan vlak ABCD om het voetstuk gespannen.
Het lint is 500 cm lang. Als het lint om het balkgedeelte wordt gespannen,
is er 100 cm over. Gaat het lint door de punten E, F, G, H, K, L, M en N,
dan is er ongeveer 283 cm over.
c. Toon met een berekening aan dat er dan inderdaad ongeveer 283
cm over is.
d. Het lint wordt nu op een hoogte van 50 cm (gerekend vanaf de
grond) om het voetstuk gespannen. Bereken hoeveel cm van het
lint op deze hoogte over is. Rond je antwoord af op een geheel
getal.
Het gedeelte van het voetstuk tussen de vlakken ABCD en EFGHKLMN
wordt geschilderd: de vier vierhoekige zijvlakken worden rood en de vier
driehoekige zijvlakken worden zwart. Om te weten hoeveel verf nodig is,
moet men de oppervlakte weten.
e. Bereken de totale oppervlakte van de delen die rood geschilderd
worden. Rond je antwoord af op gehele cm2.
10.
Koffiefilter en koffiefilterhouder
In platgedrukte toestand (in de verpakking) heeft een filterzakje een vorm
die ontstaat door uit een cirkelsector DMC de gelijkbenige driehoek AMB
weg te laten (bekijk de figuren hieronder). We gaan uit van de volgende
afmetingen: AB=6 cm, MB=4,8 cm en BC=10,5 cm. Plakrandjes laten we
buiten beschouwing.
e.
∠CMD is, afgerond op een geheel
aantal graden, gelijk aan 77°. Toon dat aan.
f. Een koffiefilter (zie figuur) wordt
opengeknipt langs de zijden CB en BA
en daarna opengevouwen om de zijde
AD. Zo ontstaat er een uitslag van het
koffiefilter. Teken deze uitslag op
schaal 1:3.
In de figuur hiernaast is een model van een
koffiefilterhouder getekend. De hoogte AF is
9,9 cm. De onderkant is het lijnstuk AB met
een lengte van 6 cm. De bovenrand van de houder heeft de vorm van een
cirkel.
Een filter wordt opengevouwen in de koffiefilterhouder geplaatst. We
nemen aan dat daarbij de bovenste rand van het filter precies samenvalt
met de bovenste rand van de filterhouder. De afstand tussen de punten C
en D van het filter wordt bij het openvouwen natuurlijk kleiner.
c. Bereken de middellijn CD van de filterhouder. Geef je antwoord in
centimeters, afgerond op één decimaal.
In de figuur hiernaast is op een bepaalde hoogte de dwarsdoorsnede van
de koffiefilterhouder getekend. Deze dwarsdoorsnede is een figuur die
bestaat uit een rechthoek PQRS en twee halve cirkels met middellijnen PQ
en RS. We nemen aan dat CD exact gelijk is aan 13 cm.
Hieronder zijn (op schaal) parallelle doorsneden getekend van de houder
op 0%, 25%, 50%, 75% en 100% van de hoogte.
d. Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede op eenderde deel
van de hoogte. Geef je antwoord in cm2.
11.
Kaas
Op de foto hieronder zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele,
ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze
halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke zijkant bestaat
bij benadering uit een rechthoek van 30 cm bij 10 cm en twee halve
cirkels met een diameter van 10 cm.
d.
Bereken de oppervlakte van de vlakke zijkant. Rond je antwoord af
op een geheel aantal cm2.
Als je verticaal door het midden van de
kaas snijdt, kun je stukken kaas maken
zoals die ook op de foto hierboven te zien
zijn. Bij een van de stukken kaas op die
foto maken de snijvlakken een hoek van
40° met elkaar. Zo'n stuk wordt met een
snijvlak op de bodem van een balkvormig
doosje gelegd. De binnenmaten van het
grondvlak van het doosje zijn 20 cm bij 10
cm. Zie de figuur hiernaast.
b. Bereken hoe hoog de binnenkant van dit doosje minimaal moet zijn
om dit stuk kaas er in te laten passen. Geef je antwoord in een
geheel aantal centimeters.
Het volume van hele kazen die de vorm hebben van de kaas op de foto
hierboven, kan worden berekend met behulp van de volgende formule:
V=16πh3+18π2dh2+14πd2h
Hierin is V het volume in cm3, h is de hoogte van de kaas in cm en d is de
zogeheten binnendiameter van de kaas in cm.
Iemand wil kazen maken met deze vorm. Het volume van een hele kaas
moet 5000 cm3 zijn en de hoogte moet 8 cm zijn. De kaas wordt gerijpt in
een kamer van 3,50 m lang. Over de hele lengte van de kamer zijn
planken tegen de muur aan gemaakt waarop de kazen naast elkaar
kunnen liggen.
c. Bereken hoeveel van deze kazen er maximaal naast elkaar op een
plank kunnen liggen als ze worden neergelegd zoals de foto
hiernaast.
d. Als de binnendiameter 0 wordt, ontstaat een bolvormige kaas. De
inhoud van deze bolvormige kaas kun je ook uitrekenen met
bovenstaande formule van V. Vul d=0 in de formule van V in en
werk de formule die hierbij ontstaat om tot de bekende formule
voor de inhoud van een bol met straal r.