Uitwerking Opgave 5.62

Hoofdstuk 5, opgave 62
Het blok glijdt wrijvingsloos de helling op. Dus de beginsituatie is:
Fn
v0

x  as
Fn
y-as

mg

x-as
Er zijn een aantal opties. Je kunt de bewegingsvergelijkingen apart opschrijven voor de x
en de y-richting en dan controleren wanneer de snelheid in de y-richting nul is. Dit zal
onze eerste approach zijn.
De hoogte h die bereikt gaat worden is:
1
h  y  v0, y t  a y t 2
2
v0, y  v0 sin 
het tijdsinterval t volgt van de eis, dat op het hoogste punt de snelheid in de y-richting
v0, y
nul is: t 
. Nu moeten we nog de externe kracht in de y-richting bepalen. De
ay
component van de zwaartekracht, die loodrecht op de helling staat, is gelijk aan
mg cos  . Dus we hebben voor de magnitude van de normaalkracht Fn  mg cos  . De
  sin  
richting van de normaalkracht is gegeven door  sin  xˆ  cos  yˆ  
 . De totale
 cos  
externe kracht is dan gegeven door:
Fext  Fn  Fzw
Fext , x  Fn , x   mg cos  sin 
Fn , y   mg cos 2 
Fext , y  Fn , y  Fzw, y  mg (cos 2   1)   mg sin 2 
  cos  
Fext  mg sin  

  sin  
In de laatste regel heb ik nog even uitgeschreven, dat de resulterende kracht Fext een
  cos  
grootte heeft van mg sin  en een richting van 
   cos  xˆ  sin  yˆ , dus dat is
  sin  
exact gelijk aan de projectie van de zwaartekracht op het oppervlak van de helling.
De versnelling in de y-richting is gelijk aan Fext , y / m   g sin 2  . Hieruit volgt dat
t  
v0, y
ay

v0
en de bereikte hoogte na dit tijdsinterval is
g sin 
v 2 g sin 2 
1
h  v0, y t  a y t 2  0 
2
g
2
2
 v0 
v02

.


2g
 g sin  
Ook is het mogelijk om de snelheid langs de helling, dus in de x richting uit te rekenen.
Dan zou je moeten hebben gevonden dat de resulterende kracht in de x richting gelijk is
aan  mg sin  , dus de snelheidsvergelijking luidt: vx   g sin t . De tijd om het
v0
blokje tot stilstand te laten komen bedraagt opnieuw t 
. De afstand die langs
g sin 
v02
1
2
de x richting wordt afgelegd is gegeven door x  v0 t  g sin t 
. De
2
2 g sin 
bereikte hoogte is deze afstand maal de sinus van de hellingshoek, dus
v2
opnieuw h  sin x  0 .
2g
Een alternatieve methode is gebruik maken van de wet van behoud van energie: Als het
1
blokje tot stilstand komt is de kinetische energie afgenomen met K   mv02 . Dit moet
2
gelijk zijn aan de toename in potentiele energie:
1
u  mg h  K  mv02
2
2
v
h  0
2g