Oefz. 4: Functies in één veranderlijke

Afgeleiden
Definitie afgeleide:
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
f ′ (a) = lim
= lim
x→a
h→0
x −a
h
f (a + △x) − f (a)
df (a)
△f
= lim
=
= Df (a).
= lim
△x→0
△x→0 △x
△x
dx
Differentiaal van f :
df = f ′ (x)dx.
Differentiaal van f in a met argument b:
df |a (b) = f ′ (a) · dx|a (b) = f ′ (a) · b.
Afgeleide van de inverse functie:
Zij g : R → R : x → y = g (x) de inverse functie van
f : R → R : y → x : x = f (y ), en zij f ′ (y ) 6= 0 de afgeleide van f naar y .
Dan wordt g ′ (x) gegeven door
g ′ (x) =
dg (x)
=
dx
Karl Deckers (K.U.Leuven)
1
dx
dg (x)
=
1
df (y )
dy
=
1
1
= ′
.
f ′ (y )
f (g (x))
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
1/7
Taylorveelterm
Taylorveelterm van f (x) rond x = x0 ∈ R
f (x) =
∞
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
met
0! = 1,
k! = k · (k − 1)!,
f (0) (x) = f (x),
h
i′
f (k) (x) = f (k−1) (x)
Maple
3 5
> taylor(arcsin(x), x=0, 6); x + 16 x 3 + 40
x + O(x 6 )
3 5
x
> mtaylor(arcsin(x), x=0, 6); x + 16 x 3 + 40
Opgepast!
Er bestaat niet altijd een Taylorveelterm voor een gegeven functie f (x)
rond een punt x = x0
Karl Deckers (K.U.Leuven)
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
2/7
Rekenen met grote O
O(x n ) − O(x n ) = O(x n )
k · O(x n ) = O(x n )
x m · O(x n ) = O(x m+n )
O(x m ) · O(x n ) = O(x m+n ) O(x n ), x → 0
n < m : O(x n ) + O(x m ) =
O(x m ), x → ∞
[2x 3 ] − [7x 3 ] = [−5x 3 ]
3 · [5x 2 ] = [15x 2 ]
x 2 · [4x 3 ] = [4x 5 ]
[3x −5 ] · [2x 2 ] = [6x −3 ]
2
2) , x → 0
2x
+
o(x
[2x ] + [3x ] = 3
o(x ) + 3x 3 , x → ∞
2
Karl Deckers (K.U.Leuven)
3
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
3/7
Spline-functies
Definitie
De functie s(x) is een spline-functie van graad k op het interval [a, b] met
knooppunten t1 , t2 , . . . , tn , waarbij a = t0 < t1 < . . . < tn < tn+1 = b, als
en slechts als
1
2
op elk deelinterval [ti , ti +1 ], met i = 0, 1, . . . , n, s(x) gegeven wordt
door een veelterm van graad ≤ k;
s(x) ∈ C k−1 [a, b].
Definitie
Een cubische spline op het interval [a, b] is van de vorm
s(x) =
3
X
i =0
i
ci x +
n
X
di (x − ti )3+ ,
i =1
waarbij (x − c)k+ de afgeknotte machtsfunctie voorstelt.
Karl Deckers (K.U.Leuven)
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
4/7
Spline-functies
Afgeknotte machtsfunctie
(x−c)k+
=
0
(x − c)k
als x < c
als x ≥ c
(c−x)k+
=
(x − 2)3+
–1
20
10
10
1
2
x
3
(c − x)k
0
als x ≤ c
als x > c
(2 − x)3+
20
0
4
5
0
–1
–10
–10
–20
–20
1
2
x
3
4
5
Maple:
(x − c)k+ : > (x-c)^k*Heaviside(x-c);
(c − x)k+ : > (c-x)^k*Heaviside(c-x);
Karl Deckers (K.U.Leuven)
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
5/7
Spline-functies
Definitie
Een cubische spline op het interval [a, b] met equidistante knooppunten
b−a
ti = ih + a, i = −3, −2, . . . , n + 4, en b = a + (n + 1)h (of nog: h = n+1
),
is van de vorm
n
X
ci Ni (x),
s(x) =
i =−3
waarbij de B-spline Ni (x) gegeven wordt door
Ni (x) =
(ti − x)3+ − 4(ti +1 − x)3+ + 6(ti +2 − x)3+ − 4(ti +3 − x)3+ + (ti +4 − x)3+
.
6h3
Karl Deckers (K.U.Leuven)
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
6/7
Spline-functies
B-splines
Voorbeeld: N0 (x) met ti = i , i = 0, . . . , 4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
–1
0
1
2
x
3
4
5
Merk op dat
Ni (ti +1 ) = 1/6 = Ni (ti +3 ) en Ni (ti +2 ) = 4/6
Ni (tj ) = 0 voor j ≤ i en voor j ≥ i + 4
Ni′ (ti +1 ) =
1
2h
= −Ni′ (ti +3 )
Ni′ (tj ) = 0 voor j ∈
/ {i + 1, i + 3}
Karl Deckers (K.U.Leuven)
Oefz. 4: Functies in één veranderlijke
7/7