Werken met Pienter

Werken met Pienter
Functieleer kan gezien worden als een studie van het beschrijven van verbanden tussen grootheden.
Functies zijn dan modellen die een deel van de realiteit weergeven, namelijk hoe 2 grootheden
ten opzichte van elkaar evolueren.
In dit leerwerkschrift leer je dergelijke modellen opstellen en interpreteren.
Hoe gebruik je dit leerwerkschrift?
Heel eenvoudig. Bij het begin van elk hoofdstuk maak
je aan de hand van enkele voorbeelden
kennis met het onderwerp waarover je iets leert.
8.1
8.1.1
Toenamediagrammen
Voorbeeld 1
In de schoolkrant van september 2009 stond
een diagram over de evolutie van het aantal
leerlingen in de 10 voorbije schooljaren.
De tellingen gebeurden op 1 september.
toename
30
20
10
jaar
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
–10
–20
–30
• Hoe kun je op het toenamediagram zien of er een stijging of een daling was t.o.v. het vorige schooljaar?
Van daaruit ga je verder en kom je stapsgewijs meer te
weten over de verschillende systemen en
berekeningen. Je leert formules en definities,
die je besluiten helpen trekken.
8.2.5
Definitie
Differentiequotiënt
Differentiequotiënt
f b –f a
.
b–a
Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is
y
Het differentiequotiënt van een functie f in [a,b] bepaalt de
gemiddelde verandering van f in het interval [a,b] en geeft
dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a,b].
f
Q
f(b)
f b –f a
=
b–a
y
y is de richtingscoëfficiënt van de koorde door
x
de punten P a, f a
x
a
Hoofdstuk 8
Ook interessante weetjes ontbreken niet: je vindt ze in
de lichtblauwe kaders met het vraagtekenicoon.
en Q b, f b van de grafiek van f.
P
f(a)
x
b
HELLINGEN EN VERANDERINGEN
197
Als je een ketting aan 2 punten ophangt, dan gaat de
ketting, onder invloed van zijn eigen gewicht, in een
natuurlijke vorm hangen die je een kettinglijn noemt.
Als je deze vorm ondersteboven draait, krijg je een boog
die zeer stabiel is.
1
2
parabool
3
4
5
kettinglijn
De paraboolvorm van de kabels van een hangbrug is dus eigenlijk
een kettinglijn, net zoals de paraboolgewelven ook omgekeerde
kettinglijnen zijn.
Vermits een kettinglijn veel moeilijker wiskundig te beschrijven is
dan een parabool, wordt de parabool meestal als model gebruikt.
6
7
8
Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen
aangeboden worden.
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je
hebt geleerd, bijeengebracht in een handig overzicht.
De studiewijzer kun je gebruiken als hulp bij het studeren.
Studiewijzer Verbanden tussen grootheden
2.1 Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules
KENNEN
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is
• een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid;
• de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid.
In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts
1 afhankelijke veranderlijke.
KUNNEN
In een formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen.
Een formule omvormen naar een opgegeven afhankelijke veranderlijke.
Berekeningen maken met behulp van formules en waarden van de veranderlijken.
2.2 Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies
KENNEN
Een verband tussen 2 grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke
veranderlijke, er hoogstens 1 waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat.
Via www.pienter.be vind je bij het onlinelesmateriaal applets, ICT-oefeningen, extra uitbreidingsleerstof en
-oefeningen, TI84-programma’s, TI-Nspire programma’s en ICT-toepassingen met TI-Nspire, Excel,
Graph en Graphmatica.
4
Hoofdstuk 2 VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
INHOUD
2.1
Verbanden tussen grootheden
beschrijven met formules
2.2
Verbanden tussen grootheden
beschrijven met functies
2.3
Het recht evenredig verband
2.4
Het lineair verband
2.5
Het omgekeerd evenredig verband
2.6
Het kwadratisch evenredig verband
2.7
Het kwadratisch verband
2.8
Verbanden uitdrukken met
machtsfuncties
2.9
Het exponentieel verband
Studiewijzer
30
38
47
48
52
53
54
57
59
83
29
2.1
Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules
2.1.1
Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijken
• De oppervlakte A van een kubus met ribbe z, bereken je met de formule A ⫽ 6 ⴢ z 2.
De ribbe van een kubus is 4,3 cm.
Bereken de oppervlakte van deze kubus.
Vul de tabel aan.
ribbe (cm)
oppervlakte (cm 2)
ribbe (cm)
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
oppervlakte (cm 2)
De formule A = 6 ⴢ z 2 beschrijft het verband tussen de grootheden A (oppervlakte van de kubus) en
z (ribbe van de kubus). Je kiest voor z een bepaalde waarde. Deze beïnvloedt de waarde van A.
In de formule is z de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke.
Algemeen
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is
• een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid;
• de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid.
In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts 1 afhankelijke
veranderlijke.
Verklaring:
In welke mate verandert de waarde van A als z in waarde verdubbelt?
• Uit een gegeven oppervlakte kun je de ribbe berekenen.
A is dan de onafhankelijke veranderlijke en z de afhankelijke veranderlijke.
Als je de formule A = 6 ⴢ z 2 omvormt naar z 2, dan verkrijg je: z 2 = A .
6
Hieruit volgt: z =
1
2
3
Vul de tabel aan.
oppervlakte (cm 2)
ribbe (cm)
op 0,01 nauwkeurig
oppervlakte (cm 2)
10
60
4
20
70
5
30
80
6
40
90
7
50
100
8
30
ribbe (cm)
op 0,01 nauwkeurig
Tabellen genereren met de grafische rekenmachine
Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en
de onafhankelijke veranderlijke.
De afhankelijke veranderlijke wordt op de grafische rekenmachine als Y voorgesteld en
de onafhankelijke veranderlijke als X.
De formule A = 6 ⴢ z 2 wordt dus ingevoerd als Y = 6 X 2.
Dit verband kun je invoeren in de vergelijkingseditor door
te selecteren.
Y=
Vervolgens bepaal je een aantal instellingen voor de tabel.
Daartoe druk je
2nd
WINDOW
[(TBLSET]).
De instellingen kies je zoals hieronder.
• De tabel begint voor een waarde 1 van de onafhankelijke
veranderlijke.
• De stapgrootte is het verschil tussen twee opeenvolgende waarden
van de onafhankelijke veranderlijke.
Hier kies je de stapgrootte gelijk aan 1.
Druk je vervolgens op 2nd GRAPH ([TABLE]) dan verkrijg je een tabel
die voor waarden van de onafhankelijke veranderlijke
de corresponderende waarde van de afhankelijke veranderlijke geeft.
Opmerking
Als je de onafhankelijke veranderlijke op ASK zet, dan spelen de beginwaarden van TblStart en 䉭Tbl
geen rol.
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
31
2.1.2
Formules omvormen
Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest.
Dit wil zeggen dat iedere periode de intrest opnieuw op het
oorspronkelijke beginkapitaal wordt berekend.
Er wordt dus geen rekening gehouden met vorige verworven intresten.
Na n jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k ⴢ i ⴢ n.
Hierbij is i de rentevoet in decimale notatie.
• De onafhankelijke veranderlijken in deze formule zijn:
; de afhankelijke veranderlijke is
• Vul de tabel in.
k (euro)
i
n (jaar)
100
3%
1
600
0,025
3
350
1,25 %
8
525
2,30 %
3,5
4 000
0,042 5
2
1 230
0,037 5
4,5
K (euro)
• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt.
Welk kapitaal moet je beleggen om na 3 jaar een eindkapitaal van 10 000 euro te verkrijgen,
als de rentevoet 2,75 % per jaar is?
k=
• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat n de afhankelijke veranderlijke wordt.
Je belegt 3 000 euro tegen 3,25 % per jaar.
Hoelang zal het duren vooraleer het kapitaal is aangegroeid tot 3 750 euro?
n=
• Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat i de afhankelijke veranderlijke wordt.
1
2
3
Een kapitaal van 200 euro is na 2,5 jaar aangegroeid tot 215,75 euro.
Wat is de rentevoet van de belegging?
i=
• Vul de tabel in.
4
k (euro)
i
5
600
2%
6
8 000
7
8
32
0,03
n
K (euro)
636
9 maanden
8 105
7 maanden
305,25
OEFENINGEN
REEKS A
1
Zet de volgende uitspraken om in formulevorm.
formule
2
a)
x is 3 meer dan z.
b)
u is één derde van de som van s en t.
c)
b is het drievoud van de vierkantswortel van a.
d)
Het kwadraat van a is gelijk aan de som van de kwadraten
van b en c.
e)
Het verschil van de derdemachten van x en y is gelijk aan het
kwadraat van t.
f)
r is het omgekeerde van het viervoud van q.
g)
y is 5 minder dan de helft van x.
Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke.
a)
U=RⴢI
I
b)
p=F
A
A
c)
s = v0 ⴢ t + 1 a ⴢ t2
2
a
d)
V = ␲ ⴢ r2 ⴢ h
r
e)
A=
共b + B兲
ⴢh
2
B
f)
pⴢV=nⴢRⴢT
T
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
33
3
Stel een formule op om de oppervlakte A van een cirkel te berekenen als de straal r gegeven is.
a) Wat is in deze formule de onafhankelijke veranderlijke?
Wat is de afhankelijke veranderlijke?
b) Met welke factor vergroot de oppervlakte als de straal 4 keer zo groot wordt?
c) Vorm de formule om zodat de straal de afhankelijke veranderlijke wordt.
d) Bereken, op 0,01 cm nauwkeurig, de straal van een cirkel waarvan de oppervlakte 58,1 cm 2 bedraagt.
4
De oppervlakte van een ruit bereken je met de formule A = d ⴢ D .
2
Hierbij is d de kleine diagonaal en D de grote diagonaal van de ruit.
a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken?
Wat is de afhankelijke veranderlijke?
b) Als de kleine diagonaal verdubbelt, terwijl de grote diagonaal gelijk blijft dan zal de oppervlakte
c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de grote diagonaal verdrievoudigt en de kleine diagonaal
gelijk blijft?
1
2
d) Vorm de oppervlakteformule om zodat de grote diagonaal de afhankelijke veranderlijke is.
3
4
5
6
7
8
34
e) Bereken de grote diagonaal van een ruit als de kleine diagonaal 10 cm is en de oppervlakte 120 cm 2.
REEKS B
5
De inhoud V, in l, van een benzinetank van een auto wordt gegeven door de formule
V = –0,06 s + 54. Hierbij is s de afgelegde weg in km.
a) Wat is de inhoud van de benzinetank van de wagen?
b) Vul de tabel aan.
s (km)
V (l)
100
250
300
500
750
c) Vorm de formule om zodat s de afhankelijke veranderlijke wordt.
d) Hoeveel kilometer kun je rijden met een volle benzinetank?
e) Hoeveel kilometer heb je gereden als er nog 32,4 l benzine in de tank zit?
6
Uit een experiment blijkt dat het verband tussen de geluidsintensiteit I, in W/m 2, en
de afstand r, in m, tot de geluidsbron gegeven wordt door de formule I = 25 2 .
␲ⴢr
a) Bereken de geluidsintensiteit op een afstand van 80 cm van de geluidsbron.
b) Vorm de formule om zodat r de afhankelijke veranderlijke wordt.
c) Bereken de afstand, op 0,01 m nauwkeurig, tot de geluidsbron als de geluidsintensiteit
100 W/m 2 (pijndrempel) bedraagt.
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
35
7
m
De massadichtheid ␳ van een stof bereken je met de formule ␳ = .
V
Hierbij is m de massa, in kg, en V het volume, in m 3.
a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken?
Wat is de afhankelijke veranderlijke?
b) Vorm de formule om zodat de massa de afhankelijke veranderlijke wordt.
c) Bereken de massa van een balk beukenhout met lengte 2 m, breedte 1 dm en dikte 8 cm.
De massadichtheid van beukenhout is 700 kg/m 3.
d) Vorm de formule om zodat het volume de afhankelijke veranderlijke wordt.
e) Wat is de lengte van een plank vurenhout met breedte
10 cm en dikte 2,5 cm? De massa van de balk is 1,8 kg.
De massadichtheid van vurenhout is 800 kg/m 3.
8
Een gewichtje met massa m aan een veer kan op en neer trillen.
De trillingstijd T van zo’n massa/veersysteem is de tijd die nodig is om vanuit één van de twee
uiterste standen 1 volledige beweging op en neer te maken.
Het verband tussen de trillingstijd T, in s, en de massa m, in kg, wordt gegeven door de formule
T = 1,6 ⴢ 冪m.
a) Wat is de onafhankelijke veranderlijke?
Wat is de afhankelijke veranderlijke?
b) Vorm de formule om zodat m de afhankelijke veranderlijke wordt.
1
2
3
c) Bereken de massa, op 0,001 kg nauwkeurig, die aan een veer hangt als de trillingstijd 0,45 s bedraagt.
4
5
d) Hoeveel maal groter moet de massa worden opdat de trillingstijd zou verdrievoudigen?
6
7
8
36
REEKS C
Het volume van een kegel met straal r en hoogte h bereken je met de formule V = ␲ ⴢ r ⴢ h .
3
De oppervlakte van een kegel met straal r, hoogte h en apothema a wordt gegeven door de
formule A = ␲ ⴢ a ⴢ r + ␲ ⴢ r 2.
2
9
a) In welke mate vergroot het volume als je
• de straal verdubbelt en de hoogte behoudt?
a
h
r
• de straal behoudt en de hoogte verdubbelt?
• de straal en de hoogte verdubbelt?
b) Bereken de oppervlakte van een buxusplant met een hoogte
van 65 cm en een volume van 109 dm 3.
10
Met behulp van een lens kun je een afbeelding maken.
Er is slechts 1 plaats achter de lens waar een scherp beeld ontstaat.
De plaats waar het beeld ontstaat, hangt af van:
1) de sterkte van de lens (de brandpuntsafstand f ),
2) hoe ver het voorwerp voor de lens staat (voorwerpsafstand v).
1 1
Met de lenzenformule 1 = + kun je de plaats van het beeld (beeldafstand b) berekenen.
f v b
a) Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt.
v
b
f
f
b) Bereken de beeldafstand, op 0,01 cm nauwkeurig, als de brandpuntsafstand 10 cm en
de voorwerpsafstand 18 cm is.
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
37
Studiewijzer Verbanden tussen grootheden
2.1 Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules
KENNEN
In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is
• een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid;
• de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid.
In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts
1 afhankelijke veranderlijke.
KUNNEN
In een formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen.
Een formule omvormen naar een opgegeven afhankelijke veranderlijke.
Berekeningen maken met behulp van formules en waarden van de veranderlijken.
2.2 Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies
KENNEN
Een verband tussen 2 grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke
veranderlijke, er hoogstens 1 waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat.
Het domein van een functie f , dom f, is de verzameling van de argumenten waarvan
het beeld door f bestaat.
Het bereik van een functie f, ber f , is de verzameling van de mogelijke functiewaarden.
Het praktisch domein, pdom f , is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare
argumenten bevat.
Het praktisch bereik, pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden
bevat.
Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f(a) gelijk is aan 0.
Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt
(snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as.
Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt
van dalen naar stijgen.
Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt
van stijgen naar dalen.
KUNNEN
Herkennen of een verband een functie of geen functie is.
Van een functie de volgende karakteristieken bepalen of bespreken:
• het domein en het bereik;
• de nulwaarden;
• het tekenschema;
• het verloop.
Met behulp van ICT
• het praktisch domein en het praktisch bereik van een functie bepalen.
• de grafiek van de functie tekenen rekening houdend met praktisch domein en bereik.
• het tekenschema en het verloop van een functie bespreken.
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
83
2.3 Het recht evenredig verband
KENNEN
Een recht evenredig verband wordt bepaald door
• de formule: y = a ⴢ x
De waarde a is de evenredigheidsfactor of richtingscoëfficiënt.
• de grafiek: (een deel van) een rechte door de oorsprong.
Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd,
dan wordt de andere grootheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
KUNNEN
Een recht evenredig verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met recht evenredige verbanden;
• recht evenredige verbanden opstellen.
2.4 Het lineair verband
KENNEN
Een lineair verband wordt bepaald door
• de formule: y = b + a ⴢ x
De waarde a is de richtingscoëfficiënt.
De waarde b is de beginwaarde.
• de grafiek: (een deel van) een rechte.
Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden.
Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt.
KUNNEN
Een lineair verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met lineaire verbanden;
• lineaire verbanden opstellen;
• lineaire regressie uitvoeren;
• lineaire interpolatie toepassen;
• lineaire extrapolatie toepassen.
1
2
3
4
5
6
7
8
84
2.5 Het omgekeerd evenredig verband
KENNEN
Een omgekeerd evenredig verband wordt bepaald door
• de formule: y = a of x ⴢ y = a, waarbij a een constante is.
x
• de grafiek: (een deel van) een hyperbool.
Als de ene grootheid met een getal, verschillend van 0, wordt vermenigvuldigd,
dan wordt de andere grootheid door hetzelfde getal gedeeld.
KUNNEN
Een omgekeerd evenredig verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met omgekeerd evenredige verbanden;
• omgekeerd evenredige verbanden opstellen.
2.6 Het kwadratisch evenredig verband
KENNEN
Een kwadratisch evenredig verband wordt bepaald door
• de formule: y = a ⴢ x 2, waarbij a een constante is.
• de grafiek: (een deel van) een parabool.
Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd,
dan wordt de andere grootheid met het kwadraat van hetzelfde getal vermenigvuldigd.
KUNNEN
Een kwadratisch evenredig verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met kwadratisch evenredige verbanden;
• kwadratisch evenredige verbanden opstellen.
2.7 Het kwadratisch verband
KENNEN
Een kwadratisch verband wordt bepaald door
• de formule: y = a ⴢ x 2 + b ⴢ x + c, waarbij a, b en c constanten zijn en a ⫽ 0.
• de grafiek: (een deel van) een parabool.
KUNNEN
Een kwadratisch verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met kwadratische verbanden;
• kwadratische verbanden opstellen;
• kwadratische regressie uitvoeren.
Hoofdstuk 2
VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN
85
2.8 Verbanden uitdrukken met machtsfuncties
KENNEN
Een machtsfunctie wordt bepaald door de formule: y = a ⴢ x n, waarbij a en n reële getallen zijn
verschillend van 0.
KUNNEN
Een verband uitgedrukt door een machtsfunctie herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met verbanden uitgedrukt door een machtsfunctie;
• verbanden opstellen met behulp van een machtsfunctie;
• machtsregressie uitvoeren.
2.9 Het exponentieel verband
KENNEN
Een exponentieel verband wordt bepaald door de formule: y = b ⴢ a x.
• Je spreekt van exponentiële groei als bij gelijke toename van de onafhankelijke
veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke steeds met eenzelfde factor
wordt vermenigvuldigd.
Deze factor is de groeifactor a.
Á a > 1: exponentiële toename
Á a < 1: exponentiële afname
Á een groeifactor is altijd positief: a > 0
• De waarde b is de beginwaarde.
De groeifactor a bij een toename met p %, is gelijk aan a = 1 +
De groeifactor a bij een afname met p %, is gelijk aan a = 1 –
KUNNEN
1
2
3
4
5
6
7
8
86
Een exponentieel verband herkennen
• in een voorschrift;
• in een tabel;
• in een grafiek.
In vraagstukken
• omgaan met exponentiële verbanden;
• exponentiële verbanden opstellen;
• exponentiële regressie uitvoeren;
• de groeifactor bepalen uit een percentage;
• een percentage omzetten naar een groeifactor;
• berekeningen maken met een groeifactor.
p
.
100
p
.
100