rationale getallen samenvatting

SAMENVATTING
Breuken en hun
decimale schrijfwijze
Benamingen in een breuk
– Teller
– Noemer
RATIONALE GETALLEN
TELLER (dit geeft het aantal gekleurde
delen aan)
3
4
BREUKSTREEP
NOEMER (dit geeft het totaal aantal
delen aan)
Breuk omzetten in
decimaal getal
Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt.
3 = 0, 75
4
3,00
– 0
4
0,75
30
– 28
20
– 20
0
Afrondingsregels van
decimale getallen
a) Als het volgend cijfer kleiner is dan 5, behouden we dat cijfer.
b) Als het volgend cijfer groter is dan of gelijk aan 5, verhogen we
dat cijfer met 1.
Zoek het cijfer in het decimaal getal
waarop we afronden
1,734 652 afronden
op 1 decimaal
Zoek het volgend cijfer
1,7
34652 ¬ 1,7
Is dit cijfer kleiner dan 5 ?
Decimaal getal omzetten
in breuk
JA
Behoud dat cijfer
op 3 decimalen :
NEEN
Verhoog dat cijfer met 1
1,734
Uit de leeswijze van de decimale getallen volgt :
0, 17 = 17
100
0, 001=
1
1 000
0, 2137= 2 137 .
10 000
652 ¬ 1,735
RATIONALE GETALLEN
SAMENVATTING
Rationale getallen
Definitie
Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen,
waarvan het tweede niet 0 is
a
is een rationaal getal met a ∈ $ en b ∈ $0
b
Q
de verzameling van de rationale getallen
Q+
de verzameling van de positieve rationale getallen
Q–
de verzameling van de negatieve rationale getallen
Q0
de verzameling van de rationale getallen zonder 0
Q+0
de verzameling van de strikt positieve rationale getallen
Q0–
de verzameling van de strikt negatieve rationale getallen
unie vb. Q+ Q– = Q
doorsnede vb. Q+ Q– = # 0 -
Hoofdeigenschap
van breuken
2
4
=
:2
Formulering
.4
:2
1
2
=
4
8
.4
Hoofdeigenschap van breuken
Als we de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigen
met of delen door eenzelfde geheel getal (verschillend van 0 ),
dan bekomen we een breuk die gelijk is aan de gegeven breuk.
Plaats van minteken
Elke breuk schrijven we met een positieve noemer :
.
5 = 5 _ - 1i = - 5
- 7 - 7 . _ - 1i 7 .
Breuken vereenvoudigen
Teller en noemer delen we door eenzelfde zo groot mogelijk getal :
70 = 70 : 7 = 10 .
63 63 : 7 9
SAMENVATTING
Breuken gelijknamig maken
Tegengestelde van een
rationaal getal
RATIONALE GETALLEN
Zoek het kgv van de noemers.
7 en 6
7
8
Zoek voor de eerste breuk een gelijke
breuk met in de noemer het kgv.
a) kgv (8,7) = 56
Zoek voor de tweede breuk een gelijke
breuk met in de noemer het kgv.
6 6 . 8 48
c) 7 = 7 . 8 = 56
7 7 . 7 49
b) 8 = 8 . 7 = 56
Het tegengestelde van een rationaal getal is een getal met
dezelfde absolute waarde en een ander toestandsteken.
Het tegengestelde van 5 is - 5 = 5 = - 5
7
7 -7
7
Orde
Decimale getallen
Het getal met het kleinste aantal gehelen is het kleinst. Als het
aantal gehelen gelijk is, dan ordenen we de getallen volgens de
eerste decimalen die verschillen.
Breuken
a) Breuken gelijknamig maken
b) De breuk met de kleinste teller is het kleinst
Denk eraan : geen negatieve noemers !
Breuk voorstellen
op een getallenas
Bewerkingen met
rationale getallen
Optellen
We verdelen de ijk in evenveel gelijke stukken als de noemer
aangeeft. Ook de rest van de getallenas verdelen we op die manier.
Om de teller te bepalen tellen we het aantal verdeelpunten.
Om 2 gelijknamige breuken op te tellen :
a) behouden we de noemer ;
b) tellen we de tellers op.
Om 2 ongelijknamige breuken op te tellen :
a) maken we beide breuken gelijknamig ;
b) behouden we de noemer ;
c) tellen we de tellers op.
Aftrekken
Om 2 breuken af te trekken
a) maken we beide breuken gelijknamig ;
b) behouden we de noemer ;
c) maken we het verschil van de tellers.
RATIONALE GETALLEN
Vermenigvuldigen
SAMENVATTING
Om 2 breuken te vermenigvuldigen :
a) vermenigvuldigen we de tellers ;
b) vermenigvuldigen we de noemers.
a . c = a .c
b d b .d
Breuk van een getal
1 van 5 = 1 . 5 = 5
2
6 2 6 12
Een breuk nemen van een getal is deze breuk vermenigvuldigen
met dat getal.
Omgekeerde omschrijving
Het omgekeerde van een breuk bekomen we door teller en noemer
van plaats te verwisselen.
Notatie
Als x een rationaal getal is dan noteren we het omgekeerde als x –1.
Delen
Om het quotiënt te berekenen van 2 breuken maken we het
product van de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede
breuk.
In symbolen :
Machtsverheffing
a : c = a .d
b d b c
Voor een rationaal getal a geldt :
a) an = a . a .f. a
1 44 2 44 3
met n ≠ 0 en n ≠ 1
n factoren
b)
a1
=a
c)
a0
=1
met a ≠ 0
De plaats van een minteken of van haakjes speelt een belangrijke rol !
Eigenschappen van
bewerkingen met
rationale getallen
Commutativiteit
a, b, c Q
De optelling is commutatief in Q.
a+b=b+a
De vermenigvuldiging is commutatief in Q.
a.b=b.a
SAMENVATTING
Associativiteit
RATIONALE GETALLEN
De optelling is associatief in Q.
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
De vermenigvuldiging is associatief in Q.
a . (b . c) = (a . b) . c = a . b . c
Neutraal element
0 is het neutraal element voor de optelling in Q.
a+0=a=0+a
1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Q.
a.1=a=1.a
Opslorpend element
0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in Q.
a.0=0=0.a
Distributiviteit
De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling
(de aftrekking) in Q.
a . (b + c) = a . b + a . c
a . (b – c) = a . b – a . c
Volgorde van
bewerkingen
1)
2)
3)
4)
Schaal
De schaal bij een verkleining is kleiner dan 1.
Bv. 1 wil zeggen dat 1 cm op de tekening 100 cm is in
100
werkelijkheid.
Bewerkingen tussen haakjes
Machtsverheffing en vierkantsworteltrekking
Vermenigvuldiging en deling van links naar rechts
Optelling en aftrekking van links naar rechts
De schaal bij een vergroting is groter dan 1.
Bv. 3 wil zeggen dat 3 cm op de tekening 1 cm is in werkelijkheid.
1
afmeting op de tekening
Schaal =
werkelijke afmeting
Vergelijkingen
Overbrengingsregel voor
een term
Overbrengingsregel voor
een factor
Een term in het ene lid wordt zijn tegengestelde in het andere lid.
Een factor in het ene lid wordt zijn omgekeerde in het andere lid.