Driehoeken

Driehoeken
Notatiewijze
Een driehoek ABC, ook geschreven als ∆ABC, staat voor een
driehoek met hoekpunten A, B en C, in hoofdletters.
De zijdes noteren we door aan te geven van welke tot welke hoek de
zijde loopt: bijvoorbeeld zijde AB, BC en AC.
De hoeken in graden zijn respectievelijk α, β en γ, alfa, bèta en
gamma, in Griekse letters. De hoeken opgeteld samen is altijd 180°.
Hoek noteer je als .
A
α
β
γ
B
Verschillende driehoeken
Gelijkbenige driehoek Een driehoek waarbij 2 benen even lang zijn, en 2 hoeken even groot
Gelijkzijdige driehoek Een driehoek waarbij alle zijdes even lang zijn en alle hoeken gelijk
Rechthoekige driehoek Een driehoek met 1 rechte hoek
Stompe driehoek
Een driehoek met 1 hoek groter dan 90°
Scherpe driehoek
Een driehoek waarvan alle hoeken kleiner zijn dan 90°
Middelloodlijn
De middelloodlijn is die lijn die loodrecht in het midden op een zijde
staat alle punten die even ver van de beide hoeken afzitten aangeeft.
De drie middelloodlijnen in een driehoek snijden elkaar in het
middelpunt, het punt dat even ver van alle hoeken afligt.
Dit middelpunt is tevens het middelpunt van de cirkel die precies om de
driehoek heen past, de omgeschreven cirkel. Bij een stompe driehoek
kan dit punt buiten de cirkel vallen. De afstand van het middelpunt tot
aan een van de hoeken is dan ook de straal van de cirkel.
Bissectrices
Een bissectrice is een lijn die een hoek van een driehoek precies in
tweeën deelt. Deze kun je construeren met je passer of meten met je
geodriehoek.
De drie bissectrices in een driehoek snijden elkaar in een punt. Dit punt
is het middelpunt van de grootste cirkel die in een driehoek past, de
ingeschreven cirkel. Deze cirkel raakt dan de zijdes van de driehoeken.
De afstand van dit middelpunt tot aan een van de zijdes is dan ook gelijk
aan de straal van de ingeschreven cirkel.
Zwaartelijnen
Een zwaartelijn is de lijn in een driehoek van een hoekpunt naar het
midden van de overstaande zijde. Een zwaartelijn deelt een driehoek
altijd precies doormidden. Beide nieuwe driehoeken die zo ontstaan
hebben dezelfde oppervlakte.
De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in het
zwaartepunt. Op dit punt kun je de driehoek laten ‘balanceren’.
De afstand van het zwaartepunt tot een hoek is twee keer zo groot als
de afstand tot de overliggende zijde. Bij ΔABC is de afstand van zwaartepunt Z tot hoek A ( A)
twee keer zo groot als tot de zijde BC.
C
Hoeken berekenen
Driehoeken
De hoeken van een driehoek zijn opgeteld altijd 180°. Dit
betekend dat als er in een driehoek 2 hoeken gegeven zijn je de
3e makkelijk zelf kunt uitrekenen. Totaal moet het 180°
worden.
In het voorbeeld is dat dan:
C = 180° - A – B
180° - 71° - 43° = 66°.
Vierhoeken
In een vierhoek zijn de hoeken opgeteld altijd 360°. Vierkanten en rechthoeken zijn hier
voorbeelden van. Als er 3 hoeken gegeven zijn kun je op dezelfde manier als bij driehoeken de
laatste hoek berekenen. Bij vierkanten en rechthoeken zijn alle hoeken gelijk, namelijk 90°. Bij
ruiten en parallellogrammen zijn twee overstaande hoeken ook
gelijk. Dat maakt het makkelijker om de hoeken te berekenen!
Als in het voorbeeld hiernaast in het parallellogram gegeven is
dat hoek A = 67°, dan kun je de rest uitrekenen.
A = C = 67°.
B = D = (360° - 67° - 67°) : 2 = 113°
Z-hoeken
Z-hoeken zijn twee hoeken die gemaakt worden door een rechte lijn die door 2 evenwijdige lijnen
loopt. Hier ontstaan twee snijpunten met allebei 4 hoeken. Deze snijpunten noem ik in het
voorbeeld P en Q. De hoeken heten dan vervolgens P1, P2, P3, P4, Q1, Q2, Q3 en Q4. Een
samenstelling kan natuurlijk ook. De hoek die Q1 en Q2 bevat heet hoek Q12.
P12 is een rechte lijn en dus 180°. Als P1 bekend is dan weet je P2 ook. En als je P2 weet,
dan weet je meteen ook P3, en zo ook P4. P2 en P3 vormen samen namelijk ook 180°. We
zien hierbij dat hoek P1 gelijk is aan hoek P3.
In de Z-hoeken kunnen we (als we Q en P uitknippen) beide
hoeken over elkaar leggen en zien we dat ze precies gelijk zijn.
Hoek P1 is dus gelijk aan hoek Q1 en hoek Q3.
Stel, hoek P1=120°.
P3 = P1 = Q1 = Q3 = 120°
Dan is P2 = P4 = Q2 = Q4 = 180° - 120° = 60°
F-hoeken
Dit levert hetzelfde resultaat op als Z-hoeken. Eigenlijk is het precies hetzelfde maar dan met het
verschil dat je in het plaatje anders kijkt. In bovenstaande Z-hoek kun je ook een F-hoek lezen.
Let op:
Soms moet je in een figuur een aantal lijnen verlengen om de Z- of F-hoek naar voren te laten
komen.