Vergelijkingen - WordPress.com

Vergelijkingen
Tweedegraads
&
Derdegraads
Vergelijkingen door de eeuwen heen
•
•
•
•
•
•
•
Babylonië & Egypte (1800 - 1600 v.Chr.)
De Oude Grieken (1000 v.Chr. – 200 n.Chr.)
China 200 – 1200
Indië 200 – 1200
Het Islamitische rijk Rond 750 AD
West-Europese wiskunde 1200 – 1700
Moderne wiskunde 1700 – 1900
• Grieks wiskundige
Diophantos (ongeveer 200 - 284)
De Grieken hebben relatief niet veelgedaan aan algebra.
Diophantos behandelde in zijn werk "Arithmetica"
stelsels van twee of meer vergelijkingen met meerdere
variabelen
Geen algemene methode, elke van de 189 problemen
die hij beschrijft lost hij op een andere manier op.
Voor kwadratische vergelijking gaf een positieve
rationale oplossingen
Babylonië (1800 - 1600 v.Chr.)
• Zij kenden al in het algemeen een kwadratische
vergelijking met één onbekende oplossen.
Egypte (1800 - 1600 v.Chr.)
• Oplossen van lineaire vergelijkingen en in sommige gevallen
kwadratische vergelijkingen.
• China 200 – 1200 Liu Hui (, ongeveer 220 - ongeveer 280 na Chr.)
• Indië 200 – 1200
Brahmagupta rond 628 kon tweedegraadsvergelijkingen oplossen.
Bhaskara beweerde in 1114 dat elk positief getal twee wortels heeft. Ze
gebruikten ook irrationale getallen
Echter ook zij beschreven alleen de oplossingen van algebraïsche
problemen, maar gaven geen bewijzen voor hun methoden.
Ze konden niet alle kwadratische vergelijkingen oplossen.
Het Islamitische rijk Rond 750 AD van India tot Spanje
De wiskundige traditie werd van de negende tot in de veertiende eeuw,
door de Arabische taal gedragen
•
De Abbaside dynastie stichtte het Huis der Wijsheid, een soort academie
der cultuur en wetenschappen, in de stad Bagdad.
De eerste en de belangrijkste Arabische wiskundige is Abdu Allah Abu Jafar
Muhammad ibd Musa al-Khwārizmī (780-850)
Hij schreef het boek Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa-l-muqābala
Een van zijn boeken is vertaald naar het latijn en
de naam Al Khwarizmi werd daarbij verbasterd tot 'algorismi'.
Hieruit is het woord algoritme ontstaan.
De titel van zijn boek Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa-lmuqābala,bevat het woord 'al-jabr' (betekent restauratie) dat door
latinisering heeft geleid tot ons woord 'algebra'.
Dit bevat een bespreking van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen,
waarbij alles in woorden is beschreven.
Hij noemt deze methode van werken met kwadratische vergelijkingen
‘restauratie en confrontatie'. Hij laat zien dat elke kwadratische vergelijking
terug te brengen is tot een standaardvorm waaruit vervolgens de
oplossingen kunnen worden berekend.
Maar gaf alleen de positieve oplossing
Alles werd in woorden beschreven (geen wiskundige symbolen)
Al khwarizmi is nodig in de klas
Al khwarizmi in de klas
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/AlKhwarizmi.ht
ml
Merkwaardige producten
http://users.telenet.be/wiskundehoekje/wiskoef/2kwadraat_tweeterm.htm
http://homeomath.imingo.net/identit2.htm
http://homeomath.imingo.net/ident3.htm
Een volgende, beroemde wiskundige is Omar Khayyam (10481131),die
vooral bekend
is geworden door zijn poëzie. Hij was vooral geïnteresseerd in het
oplossen van derdegraads vergelijkingen en vond daar een
meetkundige oplossing voor.
West-Europese wiskunde 1200 – 1700
• Luca Pacioli (1445 - 1517)
• Scipione Del Ferro (Bologna, 6 februari 1465 – aldaar, 5
november 1526).
• Fior: student van Del ferro.
• Niccolo Fontana 'Tartaglia' oftewel 'stotteraar' werd
genoemd
• (Brescia, Italië, 1499 of 1500 - Venetië, 13 of 14
december 1557)
• was een Italiaans wiskundige die geboren is in Brescia
• Girolamo Cardano, ook wel aangeduid als Gerolamo
Cardano of Geronimo Cardano (Pavia, 24 september
1501 – Rome, 21 september 1576)
• Lodovico Ferrari heeft wiskunde van Cardano gehad
(Bologna, 2 februari 1522 - aldaar, 5 oktober 1560 of
1565)
Luca Pacioli
Heeft het boek De Summa Arithmetica geschreven En gold in die
tijdals het standaardwerk op het gebied van de wiskunde.
In zijn boek komt het werk wal Al Khawarizmi en Alkhayyam voor.
Oplossen van 3de graads vergelijkingen is onmogelijk.
Niccolo Fontana
• 'Tartaglia' oftewel 'stotteraar' werd genoemd
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/index.html
Los de vergelijkingen op
x^3 + 6x = 20
• We gaan samen de methode van Fontana
nabootsen
Wat stelt x^3 voor?
De 3 zelfde balken vormen samen een
inhoud van 6 x
Wat weet van de zijden van de balken?
Lukt het om met x^3 en 6x een groter
kubus te maken?
Noem de grote kubus u^3 en de kleine kubus v^3
Hoe groot is u^3-v^3
Kijk goed naar de balk en druk x en u en v
Bekijk een van de balken nog een keer en druk nu de inhoud in u en v en
gebruikt die resultaat om u en v uit te drukken
Kan jij zien dat u^3-v^3=20
Tartaglia geeft de volgende
procedure voor de oplossing
van x3 + px = q, waarbij de coëfficiënten p en q positief zijn.
Stel x = u − v en vul deze in in de vergelijking, dan volgt
u3 − v3 + (p − 3uv)(u − v) = q
Stel nu p − 3uv = 0 ofwel uv = p / 3, dan volgt u3 − v3 = q.
Kwadrateer deze tweede vergelijking en tel er 4 keer de eerste tot de
macht 3 bij op, zodat:
(u3 + v3)2 = q2 + 4(p / 3)3 = D2, ofwel u3 + v3 = D.Gebruik vervolgens
u3 − v3 = q, dan volgt: u3 = q / 2 + D / 2 en v3 = − q / 2 + D / 2.
Tenslotte wordt de oplossing:
Girolamo Cardano