Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.

Elektriciteit
Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.
1 Wet van Ohm.
Volledigheidshalve vermelden we hier nog eens de wet van Ohm:
U  R.I
of I 
U
R
of R 
U
I
2 Wetten van Kirchhoff.
Kirchhoff heeft 2 wetten opgesteld: een stroom- en een spanningswet. Deze wetten
kunnen toegepast worden om de stromen in elke elektrische schakeling te berekenen.
Een knoop is een punt van de schakeling waarin minimum 3 geleiders samenkomen.
Een tak is een verbinding tussen 2 knopen.
2.1.
De eerste wet van Kirchhoff: de stroomwet (KCL).
De som van de toekomende stromen in een knooppunt is steeds gelijk aan nul.
Hou rekening met de zin: een stroom die het knooppunt verlaat wordt beschouwd
als een negatieve toekomende stroom.
2.2.
De tweede wet van Kirchhoff: de spanningswet (KVL).
De som van de spanningen, in een gesloten lus, is steeds gelijk aan nul. Hierbij
moet je rekening houden met de spanningszin. Als je stijgt in potentiaal (van –
naar +) dan wordt de spanning opgeteld, als je daalt in potentiaal dan wordt de
spanning afgetrokken.
3 Toepassing op de wetten van Kirchhoff.
Door de 2 wetten toe te passen bekom je voldoende vergelijkingen om alle
onbekende stromen te berekenen. Het volstaat om de eerste wet (KCL) toe te passen
in elk knooppunt en de tweede wet (KVL) voor elke lus. Je bekomt dan wel te veel
vergelijkingen. Als je een netwerk hebt met K knopen en T takken kan er aangetoond
worden dat er K-1 onafhankelijke vergelijkingen zijn volgens de eerste wet (KCL) en
T-(K-1) onafhankelijke vergelijkingen volgens de tweede wet (KVL). Alle andere
vergelijkingen zijn dus afhankelijke, overbodige vergelijkingen.
Algemeen:
KHBO
K knopen
T takken (onbekenden)
K-1 KCL-vgl en
T-(K-1)) KVL-vgl.
3.1
Elektriciteit
3.1.
Voorbeeld 1.
10V
1k
4k
5V
5k
A
B
3k5
Figuur 1: opgave Kirchhoff vb1
Bepaal alle stromen in deze schakeling?
Vermits de stroomzin hier niet is opgegeven, mag je ze willekeurig aanduiden,
zonder rekening te houden met de elementen die in de kring zitten.
Hieronder zie je een mogelijke keuze.
I1
1k
10V
4k
5V
5k
A
B
I2
3k5
I3
Figuur 2: aanduiden van de te zoeken stromen.
KHBO
3.2
Elektriciteit
Rekening houdend met de zo pas gekozen stroomzin kunnen de spanningen
over de weerstanden worden aangeduid en kan de waarde hiervan er in
formulevorm worden aangeduid. Ook de + (hoog) en – (laag) tekens van de
potentialen (U-pijltjes) worden best aangeduid.
I1
10V
-
+
1k.I1
+
1k
+
5V
+
4k.I1
4k
-
-
5k
A
I2
+
5k.I2
B
-
3k5
I3
-
3k5.I3
+
Figuur 3: aanduiden van de spanningen.
Het aantal knopen K=2.
Het aantal takken T=3. Welke?
Met de eerste wet (KCL) kan je slechts K-1=2-1=1 onafhankelijke
vergelijkingen opschrijven. Dat is ofwel de vergelijking in knoop A ofwel deze
in knoop B. Kies je bvb. voor de vergelijking van A dan schrijf je:
KCL (A): -I1-I2+I3=0
(1)
Met de tweede wet (KVL) kan je de andere onafhankelijke vergelijkingen
opschrijven. Er blijven nog T-(K-1)=3-1=2 vergelijkingen over. Schrijf je bvb
de vergelijkingen op voor lus 1 en lus 2, dan noteer je:
KVL 1 wijzerzin A: -1k.I1+10-4K.I1+5kI2+5=0
KVL 2 wijzerzin A: -5-5k.I2-3k5.I3=0
(2)
(3)
We beschikken nu over evenveel (3) vergelijkingen als onbekenden. Dat
betekent dat er juist 1 oplossing is.
Dat stelsel kan opgelost worden op verschillende methodes, bvb. substitutie,
vertaling naar een matrixproduct of vertalen naar een matrix waarop je
vervolgens de functie rref (Row Reduced Echelon Form) uitvoert. De 2 laatste
methodes worden hieronder besproken.
KHBO
3.3
Elektriciteit
3.1.1.
Oplossen met matrixproduct.
De 3 vergelijkingen moeten gegroepeerd worden zodat de onbekenden zich
bvb. in het rechter lid bevinden:
Voor de eerste vergelijking moet er niets gedaan worden, bij de andere wel.
0=-I1-I2+I3
+10 +5=+1k.I1+4k.I1-5kI2
-5 =5k.I2+3k5.I3
(1)
(2)
(3)
Herschrijf deze vergelijkingen in matrixvorm:
 0   1

 
  10  5     1k  4k
 5  
0

 
1
 1   I1 
 
 5k 0 . I 2 
5k 3k 5   I 3 
Deze vergelijking kan opgelost worden met behulp van het rekentoestel.
A  B.I  B 1 . A  I
Om de matrix I te vinden moet de matrix A voorvermenigvuldigd worden
met B 1 .
Om matrixen in te geven in het rekentoestel Texas TI-83 moet je eerst
“2nd” + “MATRIX” indrukken. Kies “EDIT” (met de pijltjes naar rechts) om
de matrix te kunnen ingeven. Selecteer de matrix die je wil ingeven bvb [A] en
druk op “ENTER”. Geef in hoeveel rijen en hoeveel kolommen je matrix heeft
bvb 3 x 1 voor A. Vul nu de getallen in telkens gescheiden door “ENTER”. Doe
hetzelfde voor B. Beeindig met “2nd” + “QUIT” en (of) ga (rechtstreeks) naar
“2nd” + “MATRIX” en selecteer [B] gevolg door “ENTER”. Druk op “ x 1 ”,
“X” en selecteer [A]; druk op “ENTER”. Op het rekentoestel staat nu de
kolommatrix I. Het eerste getal is I1, het tweede I2 enz.
Merk op:
1. je kan [A] ook invullen door het rechtstreeks in te geven “[“ staat
bij “2nd” + “X”
2. Matrixbewerkingen zijn niet commutatief.
3.1.2.
Oplossen met de functie “rref”.
Schrijf je vergelijkingen in de volgende vorm:
-1.I1
-1.I2 + 1.I3= 0
(+1k+4k).I1 -5k.I2 +0.I3= +10 +5
0.I1 + 5k.I2 +3k5.I3 = -5
(1)
(2)
(3)
Definieer een matrix met evenveel rijen als onbekenden (hier 3) en 1 kolom
meer (hier 4). Noteer de coëfficënten van de stromen in de eerste 3 kolommen
en rijen (LET OP DE JUISTE PLAATS!). In de laatste kolom vul je de getallen in
van het rechter lid. Toegepast op ons stelsel wordt dat:
KHBO
3.4
Elektriciteit
1


  1k  4 K

0

1


 5k 0  10  5 
5k 3k 5
 5 
1
0
Definieer je de matrix bvb. in C dan moet je nu via “2nd” + “MATRIX”
“MATH” selecteren en ga met het pijltje naar beneden tot je “rref” tegen kom
(op plaats B) en druk op “ENTER”. Merk op je kan er vlugger geraken met het
pijltje naar boven of door op “ALPHA” + “B” te drukken.
Vervolledig tot je rref([C]) op het scherm krijg en druk op “ENTER”.
 1 0 0 1,708 E  3 


Het resultaat is:  0 1 0  1,291E  3 
 0 0 1 0,416 E  3 


Lees dat als I1=1,708mA, I2=-1,291mA en I3=0,416mA
Merk op: 1[V]=1[A].1[] en 1[V]=1[mA].1[k]. Indien je de weerstand in de
matrix ingeef in [k], dan krijg je de stromen uitgedrukt in [mA]. Dat scheelt in
typwerk en het resultaat is overzichtelijker.
3.1.3.
Oplossen met de TI-Nspire
Kies een rekenblad - menu – 3: Agebra – 6: Stelsel vergelijkingen oplossen –
1: Stelsel vergelijkingen oplossen – enter.
Je krijgt een venster waarin je het aantal vergelijkingen kan ingeven (hier 3) en
de onbekenden. Als onbekenden wordt er bij 3 vergelijkingen x, y, en z
voorgesteld. Je mag dat veranderen in i1, i2 en i3.
Merk op: verkies je hoofdletters (I1, I2 en I3) dan kan dat ook, maar dan zal je
meer toetsen moeten intypen.
bevestig je keuze op de “OK”-toets.
Nu verschijnt er het volgende op het scherm:
 



solve  , i1, i 2, i3
 



Het volstaat om hierin de vergelijkingen in te typen.
Merk op: in plaats van 5k of 5000 kan je 5”EE”3 intypen.


i1  i2 - i3  0


solve  - 1E3i1  10 - 4E3i1  5E3i2  5  0, i1, i 2, i3


- 5 - 5E3i2 - 3,5E3i3  0


Na het ingeven klik je op “enter” of “ctrl” + “enter”.
KHBO
3.5
Elektriciteit
De oplossing verschijnt op het scherm:
i1=1,70833E-3 and i2=-1,29167E-3 and i3=416,667E-6
Merk op: mogelijk staat i3 niet volledig op het scherm. Ga dan met ↑ naar de
oplossing en klik dan op →.
De eenheid is in [A] omdat alle grootheden in de SI-eenheden werden
ingegeven.
Merk op: Geef je de weerstand in [k] in, dan is de oplossing in [mA].


i1  i2 - i3  0


solve  - i1  10 - 4i1  5i2  5  0, i1, i 2, i3


- 5 - 5i2 - 3,5i3  0


i1=1,70833 and i2=-1,29167 and i3=416,667 in [mA]
3.2.
Voorbeeld 2.
10V
C
1k
4k
5V
5k
A
B
5mA
3k5
D
Figuur 4: opgave Kirchhoff voorbeeld 2
Het aantal knopen van deze schakeling is ……. 3!!! Dat komt omdat B en D het
zelfde punt is: VB=VD. Na het aanduiden van de onbekende stromen zie je dat er
slechts ….. 4 onbekende stromen zijn. De stroom door tak met de stroombron is
namelijk gekend.
K=3 en T=4

KCL: 2 vgl. en KVL: 2 vgl.
Hieronder staan alle onbekenden en de spanningen aangeduid.
KHBO
3.6
Elektriciteit
10V
-
I1
+
1k.I1
C
-
1k
+
+
5V
-
5k
A
I2
2
I3
4k.I4
4k
1
B
+
5k.I2
I4
+
5mA
3
3k5
-
3k5.I3
+
D
Figuur 5: opgave 2 met aangeduide takstromen en spannigen
Om zo klein mogelijke vergelijkingen te krijgen is het best de knooppunten te
kiezen waarin zo weinig mogelijk takken toekomen. Zowel in B als in A komen er
3 onbekende takstromen toe, in C komen er slechts 2 onbekende takstromen toe
(de derde stroom is bekend!). We noteren de vergelijkingen:
KCL C: I1+I4+5mA=0
KCL A: -I1-I2+I3=0 ( je kan natuurlijk ook de vergelijking in B opschrijven)
KVL lus 1 A: -1k.I1+10+4k.I4+5k.I2+5=0
KVL lus 2 B:-3k5.I3-5-5k.I2=0
(1)
(2)
(3)
(4)
Deze vergelijkingen kan je rechtstreeks in je TI-Nspire invoeren.
Werk je met een ouder toestel, dan moet je het oplossen via matrices. Daarvoor
moet je als volgt te werk gaan:
Na het hergroeperen van de onbekenden bekom je:
(1)
I1 +0.I2
+0.I3
+I4
(2)
-I1
-I2
+I3 +0.I4
(3) -1k.I1 +5k.I2
+0.I3 +4k.I4
(4)
0.I1 -5k.I2 -3k5.I3 +0.I4
=
=
=
=
-5mA
0
-5-10
5
Bereken nu het volgende (R ingevuld in [k], waardoor I in [mA] zal staan):
KHBO
3.7
Elektriciteit
0
0
1

1
 1 1
rref 
1 5
0

 0  5  3,5

1 5 

0 0 
4  15 

0 5 
Als resultaat vind je dat I1=-1,125mA; I2=-0,125mA; I3=-1,25mA en I4=-3,875mA.
Je zal opgemerkt hebben dat ik de vergelijking van lus 3 (door de stroombron) niet
gebruikt heb. Mocht ik dat wel gedaan hebben dan zou ik een extra onbekende in
het stelsel hebben ingevoerd, nl. de spanning over de stroombron! Dat betekent
dat er nog een vergelijking bij moet (5 i.p.v. 4).
Achteraf kan je nog steeds die vergelijking opstellen om hiermee de spanning uit
te rekenen die staat over de stroombron.
10V
-
I1
+
1k.I1
C
-
1k
+
+
5V
-
5k
A
I2
2
I3
4k.I4
4k
1
B
+
5k.I2
I4
+
U
5mA
3
3k5
-
3k5.I3
+
D
KVL lus 3 C: -U-4k.I4=0  U=-4k.I4=-4k.(-3,875m)=15,5V.
Je kan deze extra vergelijking bijvoegen in het stelsel dat reeds in je TI-Nspire zit.
Voeg eerst een extra onbekende (u) toe gescheiden van de reeds bestaande
onbekenden met de grijze toets “,”.
Ga op het einde van de laatste vergelijking staan en druk op de grijze toets “”.
Er komt een plaats bij waarop je de extra vergelijking kan ingeven. Vul de
vergelijking in en klik op “enter” of “ctrl” + “enter”.
KHBO
3.8
Elektriciteit
Welke invloed heeft het plaatsen van een weerstand van 5k tussen de
stroombron en punt C?
10V
-
I1
+
1k.I1
C
-
1k
+
+
5V
-
5k
A
I2
2
I3
4k
1
+
5k.I2
B
I4
5k
4k.I4
+
U
5mA
3
3k5
-
3k5.I3
+
Deze weerstand heeft geen enkele invloed op de vergelijkingen van de eerste wet
van Kirchhoff, noch op de spanningsvergelijkingen van de 2 eerste lussen.
Controleer!
Bijgevolg blijven de gevonden stromen (I1 t/m I4) ongewijzigd.
Deze weerstand heeft wel invloed op de spanningswet van de derde lus.
KVL (3) C:
Hierdoor wordt de spanning U=……..V.
Controleer de oplossing door de vergelijking op te lossen!
KHBO
3.9
Elektriciteit
Hoofdstuk3Basiswettenvandeelektriciteit.
1
2
Wet van Ohm.
Wetten van Kirchhoff.
2.1. De eerste wet van Kirchhoff: de stroomwet (KCL).
2.2. De tweede wet van Kirchhoff: de spanningswet (KVL).
3 Toepassing op de wetten van Kirchhoff.
3.1. Voorbeeld 1.
3.1.1. Oplossen met matrixproduct.
3.1.2. Oplossen met de functie “rref”.
3.1.3. Oplossen met de TI-Nspire
3.2. Voorbeeld 2.
3.1
3.1
3.1
3.1
3.1
3.2
3.4
3.4
3.5
3.6
KHBO
3.10