DOC

Antwoorden en hints bij voorbeeldtentamen
Lineaire Algebra voor INF/BIT/TEL (152165)
Verwijzingen naar Hoorcollegesheets (HC), Zelfstudie- of Werkcollegeopgaven (WC) en voorbeelden in het algebraboek (Lay).
Opgave 1.
a. HC3: 30-40 (voorbeeld van een matrix met een parameter erin).
Zet aangevulde matrix op standaardrijvorm en gebruik Stelling 2, blz 24.
Antwoord: oplosbaar als: {2, 0, 2}, en als (=0 èn =3) en als (= 2 èn =3).
  2 
  3 / 2
  3 / 2
  2




 
 
b. HC2: 88-89 en Lay blz 52: Ex3. Antwoord:   3 / 2   x3   2  of   3 / 2   Span   2  .
 0 
 1 
 0 
 1 




 
 
c. HC5: 82-84. Antwoord:
dim Col A = rank A (Def, blz 178). Uit de standaardrijvorm uit onderdeel a volgt:
rank A = 2 (als =0). Dus dim Col A = 2.
Alternatief: Rank A = n – dim Nul A = 3 – dim Nul A (St 14, blz 178).
  2 
 
Uit St. 6 blz 53 en onderdeel b volgt: Nul A  Span   2  . Dus dim Nul A = 1.
 1 
 
Dus : dim Col A = 3 – 1 = 2.
d. HC2: 74-75. Antwoord: Nee (gebruik St 4 a en d, blz 43)
Alternatief: gebruik onderdeel a: niet oplosbaar als (=0 en 3), dus bijv niet
 0
 
oplosbaar als (=0 en =0), d.w.z., als: b   3  .
 0
 
Opgave 2.
a. HC4: 63 en Lay blz 119. Antwoord:
B heet inverteerbaar als er een nn-matrix C bestaat zo dat: BC  I n  CB .
b. HC6: 50 en WC: 3.2.21, 3.2.23 en Lay blz 193: Ex1, Ex2.
Antwoord: det A = –12  0, dus A is inverteerbaar.
4 
 4 0


1
c. HC4: 80-82 en WC 2.2.31 en Lay blz 124: Ex7. Antwoord: A 1   2
6  2 .
12 

 3 3 3 
d. HC4: 85-86, HC5: 86, HC7: 45. Lay blz 129, 179, 312.
 De kolommen van A zijn lineair onafhankelijk en spannen R3 op.
 Ax = b heeft voor elke bR3 precies één oplossing.
 0 is geen eigenwaarde van A.
1
Opgave 3.
a. HC5: 39 en WC: 2.8.7 en Lay blz 173: PP1. Antwoord: laat zien dat Av =0.
 2   1 
   
b. HC5: 48-54 en WC: 2.8.23 en Lay blz 171: Ex6. Antwoord: Bijv: B   1 ,  0  .
 0   1 
   
 2 
c. HC5: 63-68 en Lay blz 176: Ex1. Antwoord: vB    .
  3
Opgave 4.
a. HC7: 19 en WC 5.1.3 en Lay blz 303: Ex2. Laat zien dat Av = 3v.
Dus v is eigenvector bij eigenwaarde 3.
b. HC7: 51-53 en 23-29 en WC 5.2.11 en 5.1.9 en Lay blz 313: Ex3 en blz 304: Ex4.
Antwoord: Eigenwaarden: 3 en –6 met corresponderende eigenvectoren:
 2    2   0 
 1   0 
     
   
Span  1 ,  0    0  resp. Span   2    0  .
 0   1   0 
 2   0 
     
   
2