Antwoorden en hints bij voorbeeldtentamen Lineaire Algebra voor

Antwoorden en hints bij voorbeeldtentamen
Lineaire Algebra voor INF/BIT/TEL (152165)
Verwijzingen naar Hoorcollegesheets (HC), Zelfstudie- of Werkcollegeopgaven (WC) en voorbeelden in het algebraboek (Lay).
Opgave 1.
a. HC3: 30-40 (voorbeeld van een matrix met een parameter erin).
Zet aangevulde matrix op standaardrijvorm en gebruik Stelling 2, blz 24.
Antwoord: oplosbaar als:
{ 2, 0, 2}, en als ( =0 èn =3) en als ( = 2 èn =3).
3/ 2
3/ 2
2
b. HC2: 88-89 en Lay blz 52: Ex3. Antwoord:
3/ 2
0
x3
3/ 2
0
of
2
1
Span
2
2
1
c. HC5: 82-84. Antwoord:
dim Col A = rank A (Def, blz 178). Uit de standaardrijvorm uit onderdeel a volgt:
rank A = 2 (als =0). Dus dim Col A = 2.
Alternatief: Rank A = n dim Nul A = 3 dim Nul A (St 14, blz 178).
2
Uit St. 6 blz 53 en onderdeel b volgt: Nul A Span
2
1
. Dus dim Nul A = 1.
Dus : dim Col A = 3 1 = 2.
d. HC2: 74-75. Antwoord: Nee (gebruik St 4 a en d, blz 43)
Alternatief: gebruik onderdeel a: niet oplosbaar als ( =0 en
0
oplosbaar als ( =0 en =0), d.w.z., als: b
3 .
3), dus bijv niet
0
Opgave 2.
a. HC4: 63 en Lay blz 119. Antwoord:
B heet inverteerbaar als er een n n-matrix C bestaat zo dat: BC
b. HC6: 50 en WC: 3.2.21, 3.2.23 en Lay blz 193: Ex1, Ex2.
Antwoord: det A = 12 0, dus A is inverteerbaar.
c. HC4: 80-82 en WC 2.2.31 en Lay blz 124: Ex7. Antwoord: A
1
1
12
d. HC4: 85-86, HC5: 86, HC7: 45. Lay blz 129, 179, 312.
De kolommen van A zijn lineair onafhankelijk en spannen R3 op.
Ax = b heeft voor elke b R3 precies één oplossing.
0 is geen eigenwaarde van A.
1
In
CB .
4
2
3
0
4
6
3
2 .
3
.
Opgave 3.
a. HC5: 39 en WC: 2.8.7 en Lay blz 173: PP1. Antwoord: laat zien dat Av =0.
2 1
b. HC5: 48-54 en WC: 2.8.23 en Lay blz 171: Ex6. Antwoord: Bijv: B
c. HC5: 63-68 en Lay blz 176: Ex1. Antwoord: v
2
B
3
1 , 0
0 1
.
Opgave 4.
a. HC7: 19 en WC 5.1.3 en Lay blz 303: Ex2. Laat zien dat Av = 3v.
Dus v is eigenvector bij eigenwaarde 3.
b. HC7: 51-53 en 23-29 en WC 5.2.11 en 5.1.9 en Lay blz 313: Ex3 en blz 304: Ex4.
Antwoord: Eigenwaarden: 3 en 6 met corresponderende eigenvectoren:
2
2
0
1
0
Span
1 , 0
0
1
0
0
resp. Span
2
2
2
0
0
.
.