Kleine didactiek DE COSINUS- EN SINUSREGEL [ Dick Klingens

Kleine didactiek
DE COSINUS- EN SINUSREGEL
[ Dick Klingens ]
In de vierde klas vwo wordt de cosinusregel meestal afgeleid met behulp van de stelling van Pythagoras.
Dat dit niet noodzakelijk is – en dat er direct kan worden voortgebouwd op de gonio-leerstof uit de onderbouw, op congruentie en op een oppervlakteformule – wordt in onderstaande ‘kleine didactiek’ geïllustreerd, waarbij ‘formulevaardigheid’, zo belangrijk in het vervolg, voorop staat. Voor de sinusregel geldt
dit trouwens ook.
Cosinusregel, zonder ‘Pythagoras’
We gaan uit van een willekeurige (hier scherphoekige) driehoek ABC (met lengtes van de zijden a,
b, c). We bepalen nu het punt C* zó, dat driehoek ABC* congruent is met driehoek ABC. Daartoe spiegelen we het punt C in de middelloodlijn m van het lijnstuk AB.
Met S = BC & AC* zijn de driehoeken ABS en C*CS gelijkbenig en
is vierhoek ABC*C een gelijkbenig trapezium.
In de figuur zijn hoeken met gelijke grootte aangegeven met de letters x, y, z.
De sinussen van de vier hoeken bij het punt S zijn alle gelijk aan
sin(2x), immers ∠ASC is een buitenhoek van S bij driehoek ABS.
Merk verder ook op dat y + z = 180° – 2x.
Voor de oppervlakte V van het trapezium ABC*C is dan:
V = V(ABS) + V(BC*S) + V(C*CS) + V(CAS)
Reeds eerder is in een Kleine didactiek bewezen [1] dat voor een willekeurige driehoek geldt:
(*) De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de
door die zijden ingesloten hoek.
Zodat:
V = 12 ( AS · BS + BS ·C *S + C *S ·CS + CS · AS )·sin(2 x )
of, na herhaald samennemen van gelijke factoren:
(1a)…
V = 12 ( AS ·( BS + CS ) + C *S ·( BS + CS ))·sin(2 x )
= 12 ( AC *· BC )·sin(2 x )
Omdat AC* = BC = a, volgt uit (1a):
(1b)… V = 12 a 2 sin(2 x )
Opmerking 1. De lijnstukken AC* en BC zijn de diagonalen van vierhoek (trapezium) ABC*C. ◊
We spiegelen vervolgens het punt C* in de middelloodlijn n van het lijnstuk BC. Het spiegelbeeld
van C* noemen we D. Bij deze spiegeling wordt B wordt afgebeeld op C en C op B.
Daarmee zijn de driehoeken BC*C en CDB congruent, zodat de oppervlaktes van de vierhoeken
ABC*C en ABDC gelijk zijn.
Kleine didactiek / De cosinus- en sinusregel
[1]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Uit de congruentie van driehoek BC*C en driehoek CDB blijkt:
CC* = d = BD, én ook is:
(2)… V = V(ABD) + V(ADC)
De oppervlaktes van ABC*C en ABDC zijn immers gelijk.
Daarbij is verder ∠ABD = 2x en ∠DCA = y + z = 180° – 2x, zodat uit (2) volgt:
(3)…
V = 12 cd ·sin(2 x ) + 12 b 2 ·sin(180° − 2 x )
= 12 (b 2 + cd )·sin(2 x )
Uit (1b) en (3) volgt dan, na vermenigvuldiging met 2 en deling door sin(2x):
(4)… a2 = b2 + cd
Opmerking 2. In relatie (4) zijn de termen b2 en cd de producten van de lengtes van de paren overstaande zijden van vierhoek ABC*C. Met andere woorden – en zie ook Opmerking 1:
de som van de producten van de lengtes van de paren overstaande zijden van trapezium ABC*C, te
weten b2 + cd, is gelijk aan het product van de lengtes van de (in dit geval gelijke) diagonalen, te weten
a2, van die vierhoek.
Dit laatste is overigens niets anders dan de stelling van Ptolemaeus (87-150, Egypte) toegepast op
het gelijkbenige trapezium ABC*C. De stelling van Ptolemaeus [2] luidt (algemeen):
Van een koordenvierhoek is het product van de lengtes van de paren overstaande zijden gelijk aan het
product van de lengtes van de diagonalen.
En inderdaad, een gelijkbenig trapezium is een koordenvierhoek (een gelijkbenig trapezium heeft
een omgeschreven cirkel). ◊
De lijn m snijdt AB in P en C*C in Q (de middens van die zijden).
Het voetpunt van de hoogtelijn uit C is R.
Er geldt dan: d = 2 · CQ = 2 · RP, zodat:
d = 2·( 12 c − AR ) = c − 2· AR
= c − 2·b cos A
Uitdrukking (4) gaat daarmee over in:
a 2 = b 2 + c (c − 2b ·cos A )
Zodat:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ·cos A
Dit is de cosinusregel (voor de zijde a) in driehoek ABC.
Opmerking 3. De cosinusregel kan dus ook (zie Opmerking 2) worden afgeleid uit de stelling van
Ptolemaeus.[3] ◊
Toch ‘Pythagoras’
De cosinusregel voor de zijde a geeft bij een in A rechthoekige driehoek ABC:
Kleine didactiek / De cosinus- en sinusregel
[2]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos(90°)
= b2 + c2 – 2bc · 0
En dan is:
a2 = b2 + c2
En dit is de stelling van Pythagoras voor driehoek ABC.
Sinusregel
Ook de sinusregel kan worden afgeleid met behulp van oppervlaktes. Er geldt voor de oppervlakte
V van driehoek ABC – en zie de formulering die hierboven is aangegeven met (*):
V = 12 bc ·sin A
Analoog is dan ook:
V = 12 ca ·sin B en V = 12 ab ·sin C
Zodat:
bc ·sin A = ca ·sin B = ab ·sin C
Deling van de drie leden van deze uitdrukking door het product abc geeft:
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Dit is de sinusregel in driehoek ABC.
De zogenoemde uitgebreide sinusregel brengt (bijvoorbeeld) de verhouding sin(C )/c in verband met de lengte R van de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek.
In nevenstaande figuur zijn hoeken met gelijke grootte aangegeven
met dezelfde letters (x, y, z).
Nu is 2x + 2y + 2z = 180°, zodat x + y + z = 90° . En daaruit volgt:
x = 90° – (y + z) = 90° – ∠C
Is P het midden van AB en is O het middelpunt van de bedoelde omcirkel, dan is in de in P
rechthoekige driehoek APO:
∠O1 = 90° – x = ∠C
AP 12 c
c
sin C
1
=
.
=
=
, zodat:
In die driehoek is dan: sin(O1 ) = sin C =
c
2R
AO R 2 R
De uitgebreide sinusregel in driehoek ABC luidt dan:
sin A sin B sin C
1
=
=
=
a
b
c
2R
Leerlingen
Natuurlijk is bovenstaande tekst, in deze vorm, niet geschikt voor leerlingen. Maar wellicht geeft
de wijze waarop de theorie in dit artikel is benaderd, de onderwijsgevende lezer voldoende inspiratie om er een werkblad of ‘lesbrief’ van (bij) te maken.
Kleine didactiek / De cosinus- en sinusregel
[3]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)
Noten
[1] Dick Klingens (2011): Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus. Niet gepubliceerd
artikel. Als PDF-bestand te downloaden via:
www.pandd.nl/downloads/kdverschilsinus.pdf
[2] Voor een bewijs van de stelling van Ptolemaeus zie:
Dick Klingens (2007): De stelling van Ptolemaeus en de sinusregel. Op:
www.pandd.demon.nl/sinregel.htm (website van de auteur).
Zie eventueel ook:
Dick Klingens (2009): Klassikaal / Pythagoras via de goniometrie. In: Euclides 84(6), april
2009, p. 232-233.
[3] Zie voor een bewijs:
Dick Klingens (2005): Cosinusregel(2). Op: www.pandd.nl/cirkels/cosinusregel.htm (website van
de auteur).
Over de auteur
Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar
en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.
E-mailadres: [email protected]
Kleine didactiek / De cosinus- en sinusregel
[4]
© 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)