PPTX

Pythagoras
±600-500 v Chr.
man met tulband, misschien Pythagoras. Sculptuur uit de 4e of 5e eeuw v. Chr.
1
De volmaakte driehoek
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1+2+3+4 = 10 (driehoekig getal)
2
Vierkante getallen
•
•
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
9
•
•
•
•
(square numbers)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
16
3
De mooie getallen 16 en 18
4
4
Omtrek: 4+4+4+4 = 16
Oppervlakte: 4.4= 16
3
3
3
Omtrek: 3+3+3+3+3+3 = 18
Oppervlakte = 3.3.2 =
18
4
Enkele stellingen van de leer van even en oneven
5
Manier van de Pythagoreeërs om de grootste gemeenschappelijke deler te vinden
•
•
•
•
•
•
Neem beide getallen.
Trek het kleinste getal af van het grootste getal
Ga verder met het antwoord en het kleinste getal
Trek weer het kleinste getal af van het grootste getal
ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt.
Dat is de GGD
(20 24)
(24-20=4)
(4 20)
(20-4=16)
( 16-4=12 12-4=8 8-4=4)
(4)
6
We weten nog
• een vereenvoudigde breuk bestaat nooit uit twee even getallen
• oneven getal . oneven getal = oneven getal
• De grootste gemeenschappelijke deler van a en b vind je door
steeds het kleinste van het grootste getal af te trekken tot je
twee dezelfde getallen hebt. Je gaat steeds door met de twee
kleinste getallen. Als de GGD = 1 dan is de breuk b/a
vereenvoudigd.
7
b/a
b
≅
1
1
a
a
8
a
a
b
9
b-a
a
a-(b-a)
a
b-a
b-a
b
10
C
Q
B
A
P
C
Q
B
A
P
11
C
Q
B
A
P
12
π
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971
6939937510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825
34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172
53594 0812848111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489
54930 3819644288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165
27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726
02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540
91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951
94151 1609433057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179
31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381
83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737
19070 2179860943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846
76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091
73637 1787214684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279
68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977
47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328
16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035
26193 1188171010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717
76691 4730359825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875
93751 9577818577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909
21642 01989
13
1/3 = 0,3333333333333333333333333333…..
15/7 = 2,142857 142857 142857 142857 …..
14
Een verzameling bestaat uit elementen.
Het aantal elementen heet de kardinaliteit van de verzameling.
verzameling
{ 1, 2, 5 }
{ aap, noot, mies }
{ q, e, s, t }
elementen
de getallen 1, 2 en 5
de woorden aap, noot en mies
de letters q, e, s en t
kardinaliteit
3
3
4
Verzamelingen met dezelfde kardinaliteit heten gelijkmachtig.
●
{ 1, 2, 3, 4, 5 } is gelijkmachtig met { 2, 4, 6, 8, 10 }
●
{ 5, 6, 8 } en { cola, fanta, cassis } zijn gelijkmachtig.
De volgorde van de elementen doet er niet toe.
●
{ 7, 5, 2 } = { 2, 7, 5}
●
{ a, b, c, d, e } = { b, d, c, e, a }
Elk element telt maar één keer mee, ook al schrijf je het vaker op.
●
De kardinaliteit van { 7, 5, 5, 5, 2 } is niet 5 maar 3.
●
{ 7, 5, 5, 5, 2 } = { 7, 5, 2 }
Verzameling B is een deelverzameling van verzameling A als elk
element in B ook in A zit.
●
Voorbeelden van deelverzamelingen van { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }:
{ 4, 5, 6 } { 2, 4, 6 } { 3 } { 1, 6 }
Elke verzameling is dus ook een deelverzameling van zichzelf.
●
{ 8, 12, 15 } is een deelverzameling van { 8, 12, 15 }
Een verzameling met een eindig aantal elementen heet een eindige
verzameling.
Voorbeelden:
●
De verzameling van alle leerlingen op een school.
●
De verzameling van alle gehele getallen van 1 tot 10000000.
Een verzameling kan ook oneindig veel elementen hebben. Zo'n verzameling
heet een oneindige verzameling.
ℕ
Voorbeelden:
●
ℕ = de verzameling van alle natuurlijke getallen = { 0, 1, 2, ... }
●
ℤ = de verzameling van alle gehele getallen = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
●
ℚ = de verzameling van alle rationale getallen
●
ℝ = de verzameling van alle reële getallen
Gelijkmachtigheid bepalen door te tellen:
{ 5, 6, 3 } heeft 3 elementen.
{ auto, boot, fiets } heeft ook 3 elementen.
dus { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } zijn gelijkmachtig.
Opdracht
• Bedenk een manier om zonder te tellen te controleren of twee
eindige verzamelingen gelijkmachtig zijn.
• Eerst 2 minuten zelf nadenken, dan 2 minuten overleggen met de
leerling naast je.
• Hint: Neem als voorbeeld een schoolplein waarop 200 leerlingen
staan en bedenk hoe je kan controleren of er evenveel jongens als
meisjes zijn.
Zijn { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } gelijkmachtig?
●
●
Er is een één-op-één afbeelding:
5 ↔ auto 6 ↔ boot 3 ↔ fiets
Er blijft niets over dus ze zijn gelijkmachtig.
Zijn { aap, noot, mies } en { 8, 5, 12, 3 } gelijkmachtig?
●
●
Er is geen één-op-één afbeelding:
aap ↔ 12 noot ↔ 8 mies ↔ 3
??? ↔ 5
De 5 blijft alleen over dus ze zijn niet gelijkmachtig.
ℤ = { ..., -2, -1, 0, 1 , 2, ... } = alle gehele getallen
E = { ..., -4, -2, 0, 2 , 4, ... } = alle even gehele getallen
E is een deelverzameling van ℤ. Betekent dat dat ℤ meer elementen
heeft dan E?
Er is een één-op-één afbeelding:
...
-2 ↔ -4
-1 ↔ -2
0↔0
Er blijven geen getallen alleen over!
1↔2
2↔4
....
Een verzameling die gelijkmachtig is met ℕ heet een aftelbaar
oneindige verzameling.
Je kunt de elementen, net als de natuurlijke getallen, in een oneindig
lange rij zetten en ze dan zover aftellen als je maar wilt.
Voorbeelden:
ℤ is oneindig aftelbaar
ℕ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
ℤ
0
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
5
-5
...
De verzameling van alle kwadraten is aftelbaar oneindig
ℕ
0
1
2
3
4
5
6
7
...
kwadraten
0
1
4
9
16
25
36
49
...
Hilbert's Grand Hotel
kamer
1
2
3
4
5
6
...
voor
A
B
C
D
E
...
...
VRIJ!!!
A
B
C
D
E
...
kamer
1
2
3
4
5
6
...
voor
A
B
C
D
E
...
...
VRIJ!!!
A
VRIJ!!!
B
VRIJ!!!
C
...
na
na
●
●
●
●
Bekijk de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1.
Schrijf de getallen als (oneindig lange) kommagetallen
Neem aan dat de verzameling aftelbaar oneindig is. Je kunt de
elementen dan allemaal in een oneindig lange rij zetten (tabel).
Er is een getal tussen 0 en 1 dat er niet bij zit. Tegenspraak!
Natuurlijke getallen
Alle reële getallen tussen 0 en 1
0
0 , 9 8 2 4 7 3 5 9 8 4 3 5 8 0 0...
1
0 , 2 0 4 2 5 8 9 4 8 5 2 7 4 5 8...
2
0 , 3 8 7 2 4 6 4 2 8 7 3 8 2 7 4...
3
0 , 3 2 7 4 8 6 2 3 8 7 0 9 8 8 9...
4
0 , 0 0 9 0 8 0 9 8 0 0 8 9 3 2 2...
5
0 , 9 1 3 4 6 0 2 0 9 3 8 7 4 3 5...
6
0 , 4 3 6 5 8 8 3 6 5 4 3 8 7 5 6...
7
0 , 4 3 7 8 6 4 8 1 9 8 7 9 8 9 9...
8
0 , 1 2 3 9 8 7 3 4 6 5 9 2 3 9 2...
9
0 , 0 9 8 3 2 4 0 3 9 0 4 0 2 3 4...
10
0 , 9 8 6 4 3 8 7 8 3 2 4 8 9 2 3...
11
0 , 7 4 9 3 5 3 9 8 4 3 9 5 8 9 3 ...
...
...
Maar deze zit er niet bij! 0 , 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Maak er 0 van
●
●
●
Je mag alleen gehele getallen gebruiken.
Je mag alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen
en machtsverheffen.
Je mag niet vermenigvuldigen met 0.
Voorbeelden:
Maak er 0 van
Opdracht 1
Maak 0 van de volgende 2 getallen:
Opdracht 2
Bedenk zelf een getal waar je op deze manier 0 van kunt maken.
Laat de leerling naast je het uitproberen.
Opdracht 3
Denk je dat er ook getallen zijn waar je op deze manier geen 0
van kunt maken? Zo ja, kun je een voorbeeld geven?
Maak er 0 van
Algebraïsche getallen zijn oplossingen van vergelijkingen als
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = 0
waarin a0, a1, a2, ..., an gehele getallen zijn
Getallenverzamelingen
●
Irrationale getallen: niet rationale reële getallen (groen + rood).
●
Transcendente getallen: niet algebraïsche reële getallen (rood).