Proefversie Natuurkundeboek

Proefversie Natuurkundeboek
Deel: mechanica en rekenen
Studentensupport.nl - 24 oktober 2006
Reacties graag naar [email protected]
[email protected]
1
A NATUURKUNDE
I .IMPULS, KRACHTEN, ENERGIE 2
De wetten van Newton
1. Impuls 3 / Impulsbehoud / De wetten van Newton opnieuw /
2. Krachten 6 / Veldkrachten: - Gravitatie - Elektrische kracht - Elektrische veldsterkte - Homogeen elektrisch veld Magnetische kracht - Lorentzkracht / Contactkrachten: Normaalkracht - Veerkracht - Schuifwrijving - Rolwrijving Vormweerstand - Viskueze wrijving - Spankracht / Resulterende kracht - Vectorsom - Middelpuntzoekende kracht
3. Energie 13 / Kinetische energie / Rotatie-energie / Arbeid / Potentiële energie / Veerenergie / Trillingsenergie
II . RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN 16
1. Basisbegrippen 16 / Coördinaatsysteem en situatietekening / Grafieken interpreteren / Extremen, differentiëren en
integreren - Verplaatsing en afgelegde weg - Snelheid, gemiddelde en momentaan - Versnelling, gemiddeld en
momentaan - Gemiddelde berekenen met integraal - Verplaatsing en plaatsfunctie - Snelheidsverandering en
snelheidsfunctie - Overzicht van formules
2. Bewegingsvergelijkingen 22 / F=0: eenparige beweging - Inhalen, relatieve snelheid - Alternatief: nieuw
referentiesysteem / F=constant: eenparig versnelde beweging - Valversnelling en verticale worp - twee verticale
bewegingen - discriminantformule / F=-Cx: harmonische trilling / F=-qv: viskeuze wrijving - Vrije val in een vloeistof /
F=-cv2: vormweerstand / Numeriek integreren, methode van Euler
III . KRACHTEN EN BEWEGING IN 2 DIMENSIES 30
1. Referentiesystemen 30 / Intertiaalstelsel - Schijnkracht
2. Vrije-lichaamsdiagrammen 33 / Eén systeem - Wrijving op een helling / Twee deelsystemen - Derde wet van Newton Twee diagrammen - Cirkelbeweging
3. Moment en rotatie 36 / Evenwichtsvoorwaarden / Vrije-lihcaamsdiagram voor een uitgebreid lichaam
4. Bewegingen in 2 dimensies 38 / Parametervoorstelling / Ontbinden in componenten / Horizontale worp / Worp in
willekeurige richting / Cirkelbeweging /
B WISKUNDE 42
I . REKENEN 43
1. Breuken 43 / Optellen, aftrekken / Splitsen / Vermenigvuldigen, delen
2. Haakjes wegwerken 43 / Haakjes / Bijzondere producten
3. Wortels 44 / Rekenregels
4. Machten 44 / Definitie / Rekenregels / Wetenschappelijke notatie /
5. Logaritmes 46 / Definitie / Rekenregels
6. e-machten en natuurlijke logaritmes 46 / Definitie e en ln / Rekenregels
7. Meetkunde 47 / Gelijke en complementaire hoeken / Hoeken en zijden in een driehoek / Basis en hoogte van een
driehoek / De normaal / Oppervlakte- en inhoudsformules
8. Goniometrische functies 49 / Definitie sinus, cosinus, tangens / Definitie arcsin, arctan / Parametervoorstelling van een
cirkelbaan / Definitie radiaal / Veelvoorkomende waarden van sin en cos / De grafieken van sin en cos / Periodieke
oplossingen / Fase en gereduceerde fase / Rekenregels
9. Oplossen van vergelijkingen 52 / Een vergelijking met een onbekende / Twee vergelijkingen met 2 onbekenden /
Tweedegraadsvergelijking
10. Benaderingen 56 / Bij producten / Bij machten / Bij kleine hoeken
II .DIFFERENTIËREN, INTEGREREN, DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 58
Functies 58 / Symbolen / Meerdere variabelen / Limiet
Differentiëren, afgeleide 59 / Afgeleide, differentiaalquotiënt / Afgeleide functie, differentiëren - Puntnotatie / Partieel
differentiëren / Regels voor differentiëren / Kettingregel
Integreren, primitieve 61/ Integratieconstante / Integraal als oppervlak / Een bepaalde integraal berekenen /
Lijst met afgeleiden en primitieven 62
Differentiaalvergelijkingen 62 / Typering DV - Orde - Lineair/niet-lineair - Homogeen/inhomogeen / Oplossen van een
lineaire DV - Integratie - Scheiden van variabelen - Karakteristieke vergelijking - Massa-veersysteem / Methode van
Euler
III . VECTOREN 67
1. Vectoriële grootheden 67 / Verschuiven / Optellen / Ontbinden in componenten / Eenheidsvector
2. Som- en verschilvector 69 / Somvector / Verschilvector /
3. Vectorproducten 71 / Product met een scalar / Inproduct / Rekenregels inproduct / Uitproduct - berekenen met sinus berekenen met componenten / Rekenregels uitproduct /
4. Differentiëren met vectoren 75 / Differentiëren naar de tijd / Rekenregels differentiëren / Differentiëren naar de plaats:
Nablaoperator - Gradiënt -Divergentie - Rotatie
[email protected]
2
I . Impuls, krachten, energie
De wetten van Newton
De grondlegger van de theorie van de bewegingen van lichamen is Newton. De drie wetten die
hij formuleerde behoren tot de basisstof van de natuurkunde in het voortgezet onderwijs:
De eerste wet is de traagheidswet: als F = 0 , dan is v = constant.
De grootte en/of de richting van de snelheid van een lichaam verandert alleen als er van buiten
af een kracht op werkt.
De tweede wet stelt: F = ma.
Een lichaam waarop een kracht F wordt uitgeoefend, krijgt een versnelling die evenredig is met
F en dezelfde richting heeft.
De derde wet luidt FB , A = − FA, B .
Als B een kracht op A uitoefent, dan oefent A op B een even grote kracht in tegengestelde richting
uit.
De eerste en tweede wet van Newton worden in het voortgezet onderwijs voorgesteld als een
relatie tussen een kracht en de snelheid respectievelijk de versnelling. Dit is niet de vorm waarin
Newton deze wetten oorspronkelijk presenteerde. In plaats van de begrippen snelheid en
versnelling gebruikte hij het meer fundamentele begrip impuls.
1. Impuls
De impuls p van een lichaam is het product van de massa m en de snelheid v. De impuls heeft
behalve een bepaalde grootte ook een richting. Het is een vectorgrootheid:
p = mv .
Om je de impuls van een lichaam voor te stellen, kun je denken aan de stoot die het een ander
lichaam kan geven tot het stilstaat. Bij dezelfde snelheid kan een zwaar lichaam een grotere stoot
geven dan een minder zwaar lichaam, het heeft een grotere impuls.
Impulsbehoud – de wetten van Newton opnieuw
I. De 1ste wet van Newton houdt in dat de impuls van een lichaam constant blijft zolang het
geïsoleerd is van de omgeving:
p = constant.
‘Geïsoleerd van zijn omgeving‘ betekent dat er van buiten af geen kracht op werkt.
II. De 2de wet van Newton stelt dat een wisselwerking tussen een bewegend lichaam en zijn
omgeving leidt tot een verandering van de impuls dp . Op grond van deze wet is een definitie van
[email protected]
3
kracht mogelijk. Kracht is namelijk de sterkte van de wisselwerking, ofwel de impulsverandering
per seconde:
dp
.
F=
dt
Herschrijven van deze uitdrukking leidt tot de formule die in het voortgezet onderwijs
gebruikelijk is en meestal voor bewegingsvergelijkingen wordt gebruikt:
dp d (mv )
dv
=
=m
= ma .
F=
dt
dt
dt
III. De 3de wet van Newton houdt in dat bij een wisselwerking tussen een lichaam en de
omgeving de totale impuls behouden blijft.
Stel je als ‘omgeving’ een tweede lichaam B voor dat tegen A aanstoot. Samen kun je A en B als
één geïsoleerd systeem (lichaam) beschouwen. Volgens de 1ste wet verandert van dit systeem de
(totale) impuls niet. Er geldt:
∑ p = constant.
Wel kunnen A en B onderling impuls uitwisselen.
∆p A = −∆p B .
Neemt de impuls van de een toe, dan neemt de impuls van de ander in gelijke mate af.
Omdat de wisselwerking voor beide lichamen even lang duurt, oefenen volgens de 2de wet A en
B op elkaar een even grote kracht in tegengestelde richting uit:
FAopB = − FBopA .
Voorbeeld impulsbehoud
Een roeiboot (M1=180 kg) ligt stil in het water. Iemand (M2=70 kg) springt er in met een snelheid
v2=3 ms-1. De ‘landing’ in de boot duurt 0,6 s. Welke snelheid hebben de boot met inzittende na
de sprong? Een welke kracht wordt tijdens de landing op de boot uitgeoefend?
M1
M2
x
v2
Figuur 1 Boot voor de sprong
[email protected]
4
M1 + M2
u
x
Figuur 2 Boot na de sprong
Voor de sprong is de totale impuls:
∑p= p
1
+ p2 = M 1 ⋅ 0 + M 2 ⋅ v2 = M 2 v2
De totale impuls na de sprong is hieraan gelijk:
Hieruit volgt: u =
∑ p = (M
1
+ M 2 ) ⋅ u = M 2 v2
M2
v2
M1 + M 2
Invullen van de gegeven waarden: u =
70
3 = 0,84 ms-1.
180 + 70
De impulsverandering van de boot is ∆p = M 1 ⋅ u − M 1 ⋅ 0 = 180 ⋅ 0,84 = 1,5 10 2 kgms -1 .
dp 151
En de kracht is F =
=
= 2,5 10 2 N .
dt 0,6
[email protected]
5
2. Krachten
Op een lichaam kunnen zowel veldkrachten als contactkrachten werken.
Veldkrachten
Van veldkrachten wordt gezegd dat ze ‘op afstand’ werken, d.w.z. zonder contact tussen de
lichamen en zonder hulp van een medium. Dit geldt voor de gravitatie en de elektromagnetische
kracht.
De gravitatiekracht en de elektromagnetische kracht zijn fundamentele natuurkrachten, d.w.z. ze
zijn niet uit andere krachten te verklaren. De elektromagnetische kracht bestaat uit twee
componenten, die we hier afzonderlijk beschrijven.
Gravitatie
De gravitatiekracht is de onderlinge aantrekkingskracht tussen lichamen op grond van hun massa.
De grootte van de gravitatiekracht tussen twee lichamen met de massa’s m1 en m2 hangt af van de
afstand tussen de middelpunten r:
mm
Fg = G 1 2 2
r
Hierin is m de massa in kilogrammen en is G de constante van Newton.
Een lichaam met massa m ondervindt een gravitatiekracht van alle andere massa’s in de kosmos.
Samen vormt die overige massa een gravitatieveld dat zich over de gehele kosmos uitstrekt. De
richting en grootte van dat veld wordt in elk punt gegeven door een gravitatieversnelling g . Dan
is:
Fg = m1 g
Op aarde wordt het gravitatieveld gedomineerd door de massa van de aarde M . Daardoor is het
bij goede benadering naar het middelpunt van de aarde gericht en is de grootte
M
g = G 2 = 9,81 ms -2 .
r
Elektrische kracht
De elektrische kracht is de onderlinge kracht tussen lichamen op grond van hun elektrische
lading. De lading q kan positief of negatief zijn. Tegengestelde ladingen trekken elkaar aan,
gelijknamige ladingen stoten elkaar af. Net als de gravitatiekracht neemt de kracht tussen twee
ladingen met r2 af:
qq
Fe = f 1 2 2
r
De grootte van de kracht is afhankelijk van het medium waarin de ladingen zich bevinden. In
vacuüm is f = 8,988.109 Nm2C-2. De eenheid van lading is de Coulomb, de kleinst voorkomende
lading (elementaire lading) is die van het elektron: e=1,602.10-19 C.
[email protected]
6
De elektrische kracht per Coulomb is een factor 1020 groter dan de gravitatiekracht per kg.
Onderlinge krachten tussen voorwerpen op aarde zijn overwegend elektrische krachten.
Het lichaam met lading q1 ondervindt een elektrische kracht van alle overige ladingen in de
omringende ruimte. Samen vormen die overige ladingen een elektrisch veld dat zich overal in de
ruimte uitstrekt. De richting en grootte van dit veld wordt in elk punt gegeven door een
elektrische veldsterkte E . De kracht is dan:
Fe = q1 E .
Uit beide voorafgaande formules volgt dat de grootte van de elektrische veldsterkte in de ruimte
om een enkele lading q2 gelijk is aan
q
E = f 22 .
r
De richting van E is de richting die de kracht op een positieve lading zou hebben.
Voorbeeld: de elektrische veldsterkte
Bij twee (of meer ) ladingen q moeten de afzonderlijk velden vectorieel worden opgeteld. Zie
hiervoor eventueel hoofdstuk II-3. In elk punt is er maar één (resulterende) veldsterkte: Esom .
E1
q
+
r1
E2
Esom
r2
+ Q1
α
β
− Q2
Figuur 3 De elektrische veldsterkte in een punt
In figuur 3 ligt de x-as langs de verbindingslijn van de twee ladingen en de y-as staat daar
loodrecht op. De veldsterkte is
Esom = E1 + E 2 = ( E1, x + E 2, x )iˆ + ( E1, y + E 2, y ) ˆj
fq1
zijn
r12
fq
= 21 sin α .
r1
De componenten van E1 =
E1, x =
fq1
cos α en E1, y
r12
Ontbind vervolgens ook E2 in componenten met behulp van de hoek β (die in dezelfde
draairichting t.o.v. de x − as als α is gedefinieerd) en met een negatieve waarde voor q 2 .
Tel de componenten in de x- en de y-richting bij elkaar op tot E som , x en E som , y .
Bereken de grootte van E som met
E som = E 2 som, x + E 2 som, y
[email protected]
7
en de hoek γ van E som met de x-as met
E som , y
γ = arctan
.
E som, x
Voor het bepalen van de veldsterktes in een gravitatieveld of een magnetisch veld wordt een
vergelijkbare werkwijze toegepast.
Homogeen elektrisch veld tussen twee platen
Een qua grootte en richting constante elektrische veldsterkte verkrijgt men door tussen twee
vlakke platen op (relatief kleine) afstand d een spanningsverschil V te zetten. De richting van het
V
veld is loodrecht op de platen van de hoge naar de lage potentiaal en de grootte is: E = .
d
Men noemt dit een homogeen elektrische veld.
Magnetische kracht
De magnetische kracht is een zijwaartse kracht op een lichaam in een magnetisch veld op grond
van zijn elektrische lading en de richting en grootte van zijn snelheid. De kracht wordt ook
Lorentz-kracht genoemd.
Elke bewegende lading heeft een magnetisch veld om zich heen.
In een ruimte met meerdere bewegende ladingen is het resulterende magnetische veld in een punt
de (vector)som van de magnetische velden van de afzonderlijke ladingen. De richting en de
grootte hiervan worden in elk punt gegeven door een magnetische inductie B . De kracht op een
lichaam met een lading q en een snelheid v volgt uit het uitproduct van v en B (zie hoofdstuk II3):
FL = qv × B
of als het alleen om de grootte gaat:
FL = qvB sin α waarin α de hoek is tussen v en B .
De kracht staat loodrecht op v en B . Daarom leidt die nooit tot het versnellen of afremmen van
het lichaam, maar alleen tot het afbuigen van zijn baan.
In een ruimte waar de richting en de grootte van B constant zijn (homogeen magnetisch veld) en
een lichaam loodrecht op de magnetische veldlijnen beweegt, is de Lorentz-kracht constant en
staat die altijd loodrecht op de baan. Het lichaam beschrijft dan een eenparige cirkelbeweging
met een straal
mv
.
r=
Bq
Voorbeeld: de Lorentz-kracht
[email protected]
8
Neem aan dat ten gevolge van een spanningsverschil elektronen een snelheid van 3.106 ms-1 in
westelijke richting krijgen. Welk effect heeft het aardmagnetische veld op de elektronen? De
inclinatie van het aardmagnetische veld is 500 en de sterkte 4.10-5 T.
-e( v × B )
v
50
o
B
v×B
Uitwerking:
Het aardmagnetische veld veroorzaakt een Lorentz-kracht op elk elektron
FL = −e (v × B)
en die ligt - net als vector B - in het verticale vlak loodrecht op de snelheid v.
Bepaal eerst de richting van (v × B) met de rechterhandregel. De vector v × B staat loodrecht op
het vlak door v en B , dat 500 is gekanteld ten opzichte van het horizontale vlak.
Bepaal de richting van de Lorentz-kracht. Omdat elektronen een negatieve lading hebben is die
tegengesteld aan de richting van (v × B) : FL maakt een hoek van 400 omhoog met de horizontaal
naar het Noorden.
De grootte is: FL = qvB sin α , met α = 90 0
Dus FL = 1,6.10 −19 ⋅ 3.10 6 ⋅ 4.10 −5 ⋅ sin 90 0 = 2.10 −17 N , waaruit de versnelling kan worden
berekend.
mv 9,1.10 −31 ⋅ 3.10 6
De afbuigingsstraal is r =
=
= 4.10 −1 m.
−5
−19
Bq 4.10 ⋅ 1,6.10
Contactkrachten
In deze paragraaf sommen we een aantal krachten op die in praktische situaties vaak voor komen.
Het zijn geen fundamentele natuurkrachten, omdat ze alle op microscopisch een diepere
(elektrische) oorzaak hebben. Hierop gaan we verder niet in.
Normaalkracht
Als twee lichamen tegen elkaar zijn gedrukt oefenen ze op elkaar een kracht uit. Men ontbindt de
kracht op een lichaam in een component loodrecht op het contactoppervlak en een langs dit
oppervlak. De component loodrecht op het contactoppervlak heet normaalkracht en wordt
aangeduid met FN . De component evenwijdig aan het contactoppervlak heet wrijvingskracht. Zie
de figuur bij ‘schuifwrijving’. Het ontbinden in componenten of het vectorieel optellen van
componenten wordt beschreven in hoofdstuk II-3 over vectoren.
[email protected]
9
Veerkracht
Een vast lichaam kan een normaalkracht uitoefenen omdat het zelf wordt ingedrukt en het rooster
waaruit die stof bestaat zich tegen het indrukken verzet. Voor alle vaste lichamen zijn er waarden
voor de indrukking ∆x waarvoor de wet van Hooke geldt
Fx = −C∆x .
Hierin is Fx de kracht waarmee het lichaam zich tegen indrukken verzet en is C de
krachtconstante. De krachtconstante is groter naarmate het lichaam meer elastisch is. Voor welke
waarden van ∆x de wet van Hooke geldt, hangt af van de materiaaleigenschappen en de
constructie van het lichaam.
∆x
Fx
Figuur 4 Veerkracht
Schuifwrijving
FN
FW = µFN
Fz
Figuur 5 Wrijving op een helling
De wrijvingskracht FW tussen twee lichamen die langs elkaar schuiven is recht evenredig met de
normaalkracht FN waarmee ze tegen elkaar worden gedrukt:
FW.d = µ d FN .
Hierin is µd de dynamische wrijvingscoëfficiënt. Deze hangt af van de eigenschappen van de
oppervlakken. De index ‘d’ en de toevoeging ‘dynamisch’ geven aan dat deze coëfficiënt
betrekking heeft op oppervlakken die ten opzichte van elkaar bewegen.
Bij stilstand vanaf F=0 neemt de FW gelijk met F toe (het lichaam blijft immers in rust). In dit
stadium spreekt men van statische wrijvingskracht. De oppervlakken gaan ten opzichte van elkaar
bewegen als een bepaalde maximale waarde FW,max wordt overschreden:
FW,max = µ s FN .
Hierin is µs de statische wrijvingscoëfficiënt. Ook µs hangt van de eigenschappen van de
oppervlakken af. Alleen is µs iets groter dan µd. Men kan zich hierbij voorstellen dat de
[email protected]
10
oneffenheden van de oppervlakken aanvankelijk in elkaar haken en van elkaar moeten worden
losgetrokken. En zolang de oppervlakken in beweging blijven, vallen ze niet weer helemaal in de
oude situatie terug. Vanwege dit verschil is een grotere kracht nodig om iets in beweging te
zetten, dan om het in beweging te houden. Een lichaam komt hierdoor altijd met een schok in
beweging, er is op dat moment immers een kracht Fw = ( µ s − µ d ) FN die het lichaam een
versnelling geeft.
Wrijving tussen
Statisch µs
Rubber en beton (nat)
0,30
Rubber en beton (droog) 1,0
Staal en staal
0,70
Glas en glas
0,90
Teflon en staal
0,04
Tabel 1 Wrijvingscoëfficiënten
Dynamisch µd Rol µr
0,25
0,80
± 0,05
0,60
0,001 á 0,002
0,40
0,04
Rolwrijving
Ook de rolwrijvingskracht Fr is recht evenredig met de normaalkracht. Met µr voor de
rolwrijvingscoëfficiënt is
Frol = µ r FN .
De rolwrijvingscoëfficiënt is veel kleiner dan de coëfficiënten voor de schuifwrijving. Ook bij
rolwrijving is er verschil tussen de statische en dynamische wrijving. Daarom vertrekt een trein
die begint te rijden, of een zware kar, vaak met een merkbare schok.
Vormweerstand
Een ander type contactkracht dan hiervoor is beschreven, is de vormweerstand die een lichaam
ondervindt als het met een bepaalde snelheid door een medium beweegt. Daarbij botst het immers
met de moleculen waaruit het medium bestaat. Een zekere hoeveelheid ervan wordt gedwongen
mee te bewegen en hiervoor wordt kinetische energie aan het lichaam onttrokken. Deze
weerstand in het medium kan worden uitgedrukt in een vormweerstandskracht (ook vaak
wrijvingskracht genoemd):
FW = 12 ρCAv 2 .
Hierin is ρ de dichtheid van het medium, v de snelheid, A het oppervlak van de grootste
dwarsdoorsnede van het lichaam loodrecht op de bewegingsrichting en C is een constante die van
de stroomlijn van het lichaam afhangt.
Viskeuze wrijving
In een eerder hoofdstuk is al de wrijvingskracht beschreven die een lichaam ondervindt als het
door een gas of vloeistof beweegt. De kracht is evenredig met de snelheid en afhankelijk van de
geometrie van het lichaam. Voor een bol geldt de wet van Stokes. Zie hoofdstuk I-2: stroming.
Spankracht
[email protected]
11
De trekkracht van een touw op een lichaam dat er aan hangt, heeft dezelfde oorsprong als de
normaalkracht waarmee een lichaam een ander ondersteunt. De moleculen van de stof waaruit het
touw bestaat verzet zich tegen vervorming, zowel tegen indrukken als tegen uitrekken. Over een
klein traject is de uitrekking recht evenredig met de kracht en geldt de wet van Hooke.
Vaak mogen de massa en de rekbaarheid van het koord worden verwaarloosd. Maar soms heeft
het touw wel degelijk invloed op de beweging. Bijvoorbeeld, bij bungeejumpen is een rekbaar
touw essentieel en is ook de massa niet verwaarloosbaar. De massa van het touw zorgt dat de
springer een versnelling groter dan g (vrije val) krijgt.
Resulterende kracht
Vectorsom
De versnelling van een lichaam hangt volgens de tweede wet van Newton af van de som van alle
krachten op dat lichaam:
∑ F = ma .
Met som wordt de vectorsom bedoeld. In hoofdstuk II-3 over vectoren wordt beschreven hoe die
wordt uitgerekend. Bij het oplossen van problemen is het belangrijk de krachtvectoren goed te
visualiseren. Dit gebeurt in een vrije-lichaamsdiagram, waarover de volgende paragraaf gaat.
Middelpuntzoekende kracht
De middelpuntzoekende kracht bij een cirkelbeweging kan niet in een adem worden genoemd
met de genoemde veld- en contactkrachten. De kwestie is: een cirkelbeweging is alleen mogelijk
indien de resulterende kracht middelpuntzoekend is. De middelpuntzoekende kracht is geen
bijdrage aan de resulterende kracht maar een mogelijk kenmerk ervan.
Voor een eenparige cirkelbeweging van een massa m met straal r, baansnelheid v of hoeksnelheid
ω is een resulterende kracht vereist die voldoet aan:
mv 2
.
F = mω 2 r of F =
r
[email protected]
12
3. Energie
Kinetische energie
Een bewegend lichaam heeft louter op grond van de massa m en de grootte van de snelheid v een
hoeveelheid energie - de kinetische energie of bewegingsenergie:
E k = 12 mv 2 .
Dit is de energie die in de vorm van arbeid moest worden toegevoerd om het lichaam vanuit rust
de snelheid v te geven, of -omgekeerd- de arbeid die het lichaam louter op grond van zijn
beweging kan verrichten totdat het stilstaat.
Energie is een scalaire grootheid, zie hoofdstuk II-3.
Rotatie-energie
Rotatie-energie is een bijzondere vorm van kinetische energie. Alleen uitgebreide lichamen die
om een bepaald punt draaien, hebben rotatie-energie. Daarbij is belangrijk hoe de massa over het
lichaam is verdeeld ten opzichte van het draaipunt. De beschrijving hiervan valt buiten het bestek
van dit boek en komt in eerstejaarscolleges over mechanica aan de orde.
Arbeid
Arbeid is het inproduct van de kracht F en de afgelegde weg s :
W = ∫ F • ds .
baan
Zie voor ‘inproduct’ hoofdstuk II-3.
In het eenvoudige geval van een rechtlijnige beweging waarbij de kracht F de richting van de
positieve x-as heeft, is:
W = F ⋅ ∆x .
En als de kracht een hoek α met de positieve x-as maakt, dan is:
W = F ⋅ ∆x ⋅ cos α
F
α
∆x
Figuur 6 Arbeid F∆x.cosα
Aan de hand van de voorgaande figuur is duidelijk dat een kracht loodrecht op de
bewegingsrichting geen arbeid uitoefent. Dit geldt voor de zwaartekracht en normaalkracht bij
[email protected]
13
een beweging langs een horizontale lijn, of voor de middelpuntzoekende kracht bij een
cirkelbeweging.
FW
S
FZ
Figuur 7 Arbeid 'langs de baan'
Voor het bepalen van de arbeid moet je eerst naar de afgelegde weg s kijken, niet naar de
verplaatsing. Let in de figuur op het verschil tussen de arbeid van de zwaartekracht FZ en die van
de luchtweerstand FW op een lichaam S in een verticaal opgesteld rad.
Na 1 omwenteling is
WFw = −2πrFW
(terwijl de verplaatsing na 1 omwenteling nul is).
Voor de arbeid van de zwaartekracht in dit voorbeeld geldt na 1 omwenteling WFZ = 0 , niet
omdat de verplaatsing nul is, maar omdat de integraal van de projecties van FZ langs de baan nul
is.
Potentiële energie
In de figuur ‘arbeid langs de baan’ is er nog een verschil tussen de arbeid van de zwaartekracht
en die van de luchtweerstand: de luchtweerstand verricht altijd negatieve arbeid en de
zwaartekracht verricht afwisselend positieve en negatieve arbeid. Dit proces is omkeerbaar. Bij
het omhooggaan wordt potentiële energie opgebouwd en tijdens het neergaan wordt die in
kinetische energie omgezet.
De potentiële energie tengevolge van de zwaartekracht hangt af van de hoogte:
E P = mgh .
Hierin is m de massa, g de valversnelling en h de hoogte ten opzichte van een referentiepunt. Het
referentiepunt mag willekeurig gekozen worden. Het kan het middelpunt van de aarde zijn, de
grond of het laagste punt van een beweging. In de laatste figuur ligt de keuze van de laagste
positie voor de hand.
Uit de formule volgt dat een lichaam overal op dezelfde hoogte dezelfde potentiële energie heeft.
Dit betekent dat voor de berekening van de arbeid van de zwaartekracht alleen het hoogteverschil
(en niet de afgelegde weg of verplaatsing) van belang is.
[email protected]
14
Als er behalve de zwaartekracht geen enkele andere kracht werkt is de som van de kinetische en
potentiële energie constant:
E P + E K = constant
Net als de massa in een zwaartekrachtveld kan een elektrische lading potentiële energie in een
elektrisch veld hebben.
Veerenergie
Omkeerbaar is ook de uitwisseling van kinetische energie en veerenergie. Bij verplaatsingen u
waarbij de wet van Hooke ( Fu = −Cu ) geldt, is de veerenergie
E V = 12 ku 2 .
Afleiding:
A
A
o
0
A
2
2
∫ F ⋅ du = ∫ Cu ⋅ du = 12 Cu | = 12 CA
o
Trillingsenergie
De trillingsenergie van een lichaam met massa m dat een harmonische trilling uitvoert met
amplitude A en frequentie f is:
E tr = 12 mω 2 A 2 .
Hierin is ω = 2 πf .
De afleiding is mogelijk op 2 manieren:
De trillingsenergie is de maximale kinetische energie met v max = ωA (zie ‘harmonische trilling’
in het volgende hoofdstuk):
2
E tr = 12 mv max = 12 mω 2 A 2
De trillingsenergie is ook gelijk aan de maximale veerenergie: E tr = 12 CA 2 .
C volgt uit de voorwaarde voor een harmonische trilling (zie het volgende hoofdstuk): ω 2 =
[email protected]
15
C
.
m
II . Rechtlijnige bewegingen
1. Basisbegrippen
Coördinatensysteem en situatietekening
Het beschrijven van een beweging houdt in dat je voor elk tijdstip de plaats aangeeft. Dit begint
altijd met het kiezen van een coördinatensysteem. Wat is de richting van de (positieve) x-as?
Waar is de oorsprong? Kies bij een rechtlijnige beweging de x-as zo dat de beweging langs de as
plaats vindt.
Geef in een schematische situatietekening de belangrijkste kenmerken van de beweging weer: de
oorsprong, de x-as, de plaats van het lichaam op een zeker tijdstip, de verplaatsing of
(begin)snelheid e.d.
O
x − as
xt + ∆t
xt
∆x
Grafieken interpreteren
Er wordt gebruik gemaakt van grafieken voor de plaats-, de snelheids- of de versnellingsfunctie.
Interpreteer een grafiek niet te snel. Bedenk altijd eerst met welke functie je te maken hebt, dus
let op de grootheden langs de assen.
Zie bijvoorbeeld de onderstaande grafiek. Pas als je weet welke grootheid langs de verticale as
staat, kun je antwoord geven op de volgende vragen:
Wat betekent een negatieve waarde?
Wat is er op t1 aan de hand?
Wat betekent het stijgen/dalen van de grafiek?
Wat betekent de extreme waarde op t 2 ?
?
t
t1
t2
Als langs de verticale as de plaats x uitstaat, dan slaat de grafiek op een beweging die links van
de oorsprong begint, op t1 door de oorsprong gaat en op t 2 omkeert richting oorsprong. Het zou
[email protected]
16
een bal kunnen zijn die je omhoog gooit en terugvalt.
O
xt1
xt 2
x − as
Staat langs de verticale as de snelheid uit, dan gaat het om een beweging die eerst vertraagd naar
links gaat, op t1 omkeert, versnelt tot t 2 en daarna vertraagd verder gaat. Op welke plaatsen dit
alles gebeurt, kun je niet aan de v-t-grafiek zien.
xt1
xt2
x − as
Het is ook handig om eerst zelf een x-t-diagram te tekenen; je moet dan wel afspreken op welke
positie xo het voorwerp op t=0 is.
Extremen, differentiëren en integreren
De plaats xt , de snelheid vt en de versnelling at als functie van de tijd worden voorgesteld door
functies en grafieken. In het voortgezet onderwijs leer je
- dat een functie een extreme waarde heeft als de afgeleide van die functie nul is. Bijvoorbeeld
xt = 4,9t − 9,8t 2 heeft een maximum bij 4,9 − 19,6t = 0
- dat je door differentiëren van de plaatsfunctie xt de snelheidsfunctie vt vindt en vervolgens de
versnellingfunctie at
- dat door integreren een snelheidsverandering ∆v respectievelijk verplaatsing ∆x uit at
respectievelijk vt wordt verkregen.
Hieronder wordt dit eerst samengevat. Zie voor differentiëren en integreren ook hoofdstuk II-2 ..
Verplaatsing en afgelegde weg
De verplaatsing vanaf het tijdstip t in een tijdsinterval ∆t is:
∆x⋅ = xt + ∆t − xt
In de getekende situatie is bij een verplaatsing naar links ∆x negatief. Als dezelfde weg heen en
terug wordt afgelegd, is de verplaatsing ∆xtotaal = ∆x − ∆x = 0 . De rechte strepen geven aan dat
de absolute waarde wordt genomen.
De afgelegde weg is echter altijd positief en voor een beweging heen en terug geldt:
s = ∆x + ∆x = 2 ∆x .
Snelheid, gemiddeld en momentaan
De gemiddelde snelheid is
∆x
.
v gem =
∆t
[email protected]
17
x
xt + ∆t
∆x
xt
∆t
t
t
In het diagram hiernaast is dit de richtingscoëfficiënt van de koorde die hoort bij ∆t . (De koorde
is niet een verplaatsing!)
Bedenk dat de gemiddelde snelheid niet hetzelfde is als de gemiddelde baansnelheid. Als
s
dezelfde weg heen en terug wordt afgelegd zijn ∆x = 0 en v gem = 0 , maar
> 0.
∆t
De momentane snelheid is:
dx
vt =
of
vt = xt′
dt
In het diagram is dit de richtingscoëfficiënt van de raaklijn op t .
Versnelling, gemiddeld en momentaan
Op vergelijkbare manier zijn de gemiddelde en momentane versnelling
∆v
a gem =
∆t
dv d 2 x
=
anders geschreven: at = vt′ = xt′′
at =
dt dt 2
Voorbeeld
Stel dat de plaats-tijd-functie gegeven is
als:
xt = (4t 2 − t + 2) m.
Hieruit volgen door een respectievelijk
twee maal differentiëren de
snelheidsfunctie en de versnellingsfunctie
vt = xt′ = (8t − 1) ms-1
at = vt′ = 8 ms-2
Op t= 3 s is:
v3 = 23 ms-1
a3 = 8 ms-2
[email protected]
18
Gemiddelde berekenen met een integraal
Op de pagina’s hiervoor werd de gemiddelde snelheid afgeleid uit een definitie uitgaande van de
∆x
verplaatsing: v gem =
.
∆t
Soms is geen verplaatsing bekend, maar alleen de snelheidsfunctie. In dat geval kan het
gemiddelde van vt over een periode uit de integraal van de vt -functie of -grafiek worden
afgeleid. In het vt -diagram vormt v gem met het interval ∆t = t 2 − t1 een even groot oppervlak als
de grafiek van de functie (zie HII, p..):
t2
v gem ∆t = ∫ vt dt .
t1
v
vgem
t1
t2
t
Hiermee bepalen we ∆x in het interval ∆t .
In het algemeen geldt voor een functie q p dat het gemiddelde van q over een
interval ∆p gelijk is aan
1
q p dp . Het geldt bijvoorbeeld ook voor de gemiddelde
∆p ∆∫p
hoogte tussen twee plaatsen in een landschap.
Verplaatsing en plaatsfunctie
We schrijven nu voor de plaats
x 2 = x1 + v gem ∆t
t2
en in het algemeen: x 2 = x1 + ∫ vt dt
t1
[email protected]
19
Voorbeeld
Stel dat alleen de snelheidsfunctie vt = 8t − 1 gegeven
is. Dan geeft integreren:
t
∫ (8t − 1)dt = (4t
0
2
t
− t ) | = 4t 2 − t + C .
0
Merk op dat de functie vt geen informatie bevat over de
plaats tijdens een beweging, maar alleen over de
verplaatsing. Voor het berekenen van plaatsen moeten
extra informatie zijn gegeven (bijvoorbeeld x0 ).
Indien voor vt een functie bekend is, dan kan die worden geprimitiveerd. Zie ook hoofdstuk II-2,
pag ..
Snelheidsverandering en snelheidsfunctie
De versnellingsfunctie kan vergelijkbaar aan de paragraaf hiervoor worden behandeld:
t2
a gem ∆t = ∫ at dt
t1
v 2 = v1 + a gem ∆t
t2
en in het algemeen:
v 2 = v1 + ∫ at dt
t1
Ook hier geldt dat bij het berekenen van de integraal een integratieconstante verschijnt en voor de
beginsnelheid v1 een andere informatiebron nodig is. De functie at geeft alleen informatie over
de snelheidsverandering, niet over momentane snelheden.
[email protected]
20
Voorbeeld
Als we uitgaan van de grafiek van at = c en integreren vanaf t=0
dan volgen na een respectievelijk twee keer primitiveren:
de snelheidsfunctie:
t
t
vt = v0 + ∫ adt = v0 + (at ) | = v0 + at + C1
(stel hier C1 = 0 )
0
0
en de
plaatsfunctie:
t
t
xt = x0 + ∫ (v0 + at )dt = x0 + (v0 t + 12 at 2 ) | = x0 + v0 t + 12 at 2 + C 2
0
0
(stel ook C 2 = 0. )
De snelheidsfunctie en de plaatsfunctie zijn pas volledig is als
behalve de versnelling nog de waarden voor x0 en v0 gegeven
zijn.
Overzicht van formules
Differentiëren
∆x
v gem =
∆t
∆v
a gem =
∆t
dx
dt
dv d 2 x
=
at =
dt dt 2
vt = xt′
vt =
at = vt′ = xt′′
Integreren
Gemiddelde, algemeen
t2
v gem ∆t = ∫ vt dt
t1
t2
a gem ∆t = ∫ at dt
t1
q gem =
1
qdp
∆p ∆∫p
t2
x 2 = x1 + ∫ vt dt
t1
t2
v 2 = v1 + ∫ at dt
t1
Bij constante versnelling:
versnellingsfunctie at = c
snelheidsfunctie
vt = v0 + at
plaatsfunctie
[email protected]
xt = x0 + v0 t + 12 at 2
21
2. Bewegingsvergelijkingen
Uit F = ma - de tweede wet van Newton - volgt dat de resulterende kracht bepaalt op welke
manier de beweging van een lichaam verandert. In het voortgezet onderwijs komen twee typen
bewegingen uitvoerig aan de orde:
* de eenparige beweging waarbij F en a nul zijn en v=constant
* de eenparig versnelde beweging waarbij F en a constant zijn en v=v0+at.
En ook wordt geleerd dat een sinusvormige trilling ontstaat als F en a = -kx.
In universitaire cursussen zoekt men eerst een uitdrukking voor de resulterende kracht FRES.
Daaruit volgt de versnelling die geschreven wordt als de tweede afgeleide van de plaats. De
tweede wet van Newton wordt dan geschreven als:
d 2 x FRES
=
m
dt 2
Dit is de bewegingsvergelijking van het lichaam. In de wiskunde noemt men dit een
differentiaalvergelijking (afgekort DV), in dit geval een (niet-homogene) lineaire DV van de 2de
orde. Snelheid en plaats vindt men vervolgens door een of tweemaal te integreren.
In het algemeen is de resulterende kracht op een lichaam niet constant en afhankelijk van de
plaats, de snelheid of de tijd. Dit leidt tot allerlei types DV en tot allerlei oplossingsmethodes. Zie
hfd II-2 .. Voor het oplossen van DV’s is wiskundekennis nodig, plus enige ervaring, wat
creativiteit en de bereidheid tot uitproberen. Hieronder geven we enkele problemen en met hun
oplossing. We beperken ons tot DV’s die met kennis van de vwo-wiskunde kunnen worden
opgelost.
F = 0 : eenparige beweging
Met F = 0 wordt de bewegingsvergelijking:
d 2x
=0
dt 2
Deze - meest eenvoudige - lineaire DV van de 2de orde is homogeen. (Zie hfd II-2)Tweede orde
omdat de hoogste afgeleide die voorkomt de 2de afgeleide is; homogeen omdat de niet van t
afhankelijke term is nul is. De oplossing ken je. Na twee keer primitiveren krijg je:
x = C 2 + C1t
C1 en C 2 zijn de integratieconstanten en we kiezen die zodanig dat we verder alleen te maken
hebben met de begincondities:
x = x 0 + v 0 t.
Het rekenwerk zal in dit geval weinig moeite kosten. We beschrijven hier een toepassing.
Inhalen, relatieve snelheid
[email protected]
22
Een eenvoudig probleem:
twee lichamen A en B bewegen met constante snelheden in de richting van de positieve x -as.
Voor A is x A,0 = −120 m en v A = 20 ms -1 en voor B is xB,0 = +40 m en v B = 4 ms -1 .
Op welk tijdstip wordt B door A ingehaald?
vA
O
A
B
vB
x − as
Er zijn 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden:
x A,t = x A,0 + v A t = −120 + 20t m
x B,t = x B,0 + v B t = 40 + 4t m
Voor een oplossingsmethode zie H.II-1:.
Alternatief: kies een nieuw
referentiesyteem
Kies B als referentiesysteem: B is nu
steeds in de oorsprong en heeft ten
opzichte van dit syteem snelheid 0. Het
lichaam A is op t = 0 op x = −160 m
en zijn snelheid ten opzichte van A is
16 ms-1. Men noemt dit de relatieve
snelheid van A ten opzichte van B. De
plaatsfunctie van A is nu
xt ,A t.o.v. B = −160 + 16t
en met x = 0 volgt opnieuw t = 10 s.
Je moet zelf beoordelen of deze
methode handig is.
Om de plaats in het oude
referentiesysteem te berekenen, moet je
voor A of B weer terugkeren naar het
oude referentiesyteem (x=80 m). (Zie
ook H.I-4..)
F = constant : eenparig versnelde beweging
Zoals genoemd is voor F = constant de bewegingvergelijking
d 2x F
= = a.
dt 2 m
Deze DV is niet homogeen. Zie hfd. II-2.
De oplossing voor x hebben we eerder afgeleid door twee keer integreren:
xt = x0 + v0 t + 12 at 2
[email protected]
23
Valversnelling en verticale worp
x
m
F
O
De val zonder wrijving van een lichaam waarop alleen de zwaartekracht werkt is een voorbeeld
van een beweging waarvoor de zojuist beschreven bewegingsvergelijking geldt. Kies eerst:
- het referentiesysteem (hier: de aarde)
- de positieve x-as (hier: verticaal omhoog)
- de oorsprong (hier: bij de grond).
Bij deze afspraken is de versnelling g = −9,81 ms-2 en de plaatsfunctie:
x = x0 + v0 t − 4,91 ⋅ t 2
Is v0 ≠ 0 , dan spreekt men van een verticale worp.
In het geval dat v0 > 0 heeft de beweging een hoogste punt. Deze extreme waarde wordt bereikt
op het tijdstip waarop x ′ = 0 , dit wil zeggen als v0 − 4,9t = 0
Zie verder voor kenmerken van deze 2de graadsvergelijking en een voorbeeld met een verticale
worp: hfd. II-1 ..
Twee verticale bewegingen - discriminantformule
Een ballon daalt met v = 2 ms-1. Als de mand op 36 m hoogte is, slaat iemand vanaf de grond een
tennisbal recht omhoog. Die raakt de mand net niet. Verwaarloos de luchtweerstand van de bal.
Neem voor g = 10 ms-2. Bereken de beginsnelheid van de tennisbal.
[email protected]
24
x
A
x A, 0
v A, 0
v B ,0
B
O
g
Op het tijdstip dat de bal de mand ‘net niet’ raakt is v B = v A = −2 en x A = x B . Wij gaan door op
de laatste conditie en gaan met de discriminantformule aan de slag. De plaatsfuncties zijn:
x A = 36 − 2t
x B = v B , 0 t − 5t 2
Gelijkstellen levert op: 5t 2 − (2 + v B , 0 )t + 36 = 0
Omdat er één oplossing is, moet de discriminant nul zijn (zie H.II-1..):
b 2 − 4ac = (2 + v B ,0 ) 2 − 4 ⋅ 36 ⋅ 5 = v 2 B ,0 + 4v B ,0 − 716 = 0
Hiervoor zijn twee mogelijke oplossingen:
− 4 ± 16 − 4 ⋅ 1 − 716 − 4 ± 53,67
v1, 2 =
=
2
2
-1
Alleen de oplossing v = 25 ms heeft in dit geval betekenis. Bij de andere oplossing zou alleen
bij een negatieve waarde voor t voldaan worden aan v B = v A = −2 .
F = -Cx : harmonische trilling
De kracht van het type F = −Cx ken je als veerkracht. Deze kracht treedt op bij alle elastische
vervorming. De bewegingsvergelijking wordt:
d 2x
C
= − x = −kx zodat:
2
m
dt
2
d x
+ kx = 0
dt 2
De oplossing van de bewegingsvergelijking is een harmonische trilling:
xt = A sin ωt.
Daaruit volgen:
vt = Aω cos ωt
at = − Aω 2 sin ωt = −ω 2 xt
[email protected]
25
Bijzonderheden:
de uitwijking is maximaal als v=0
de snelheid is maximaal als a=0 en dus ook x=0.
xt
De bewegingsvergelijking wordt:
− ω 2 A sin ωt + kA sin ωt = (k − ω 2 ) A sin ωt = 0 .
Dit betekent dat de oplossing x = A sin ωt voldoet indien ω 2 − k = 0 .
C
2π
invullen, volgt hieruit onmiddellijk de periode T
Als we in deze voorwaarde k =
en ω =
T
m
en de frequentie f:
1 C
m
T = 2π
f =
C
2π m
F = -qv : viskeuze wrijving
De wrijvingskracht op een lichaam dat met kleine snelheid door een gas of vloeistof gaat, wordt
vooral veroorzaakt door laagjes van het gas of de vloeistof die langs het lichaam stromen. Deze
viskeuze wrijvingskracht is evenredig met de snelheid: F = −qv .
Stel dat dit de enige kracht is. Denk bijvoorbeeld aan een houten paal die net onder de
oppervlakte in het water drijft en door een kleine stoot een snelheid v0 krijgt.
vo
De bewegingsvergelijking is:
d 2x F
q
= =− v
2
m
m
dt
Vereenvoudig dit met k =
dv
q
tot
+ kv = 0 . De oplossing is (zie hoofdstuk II-2):
dt
m
v = v 0 e − kt
[email protected]
26
De plaatsfunctie vindt men door te integreren en met C = x0 is:
t
v
1
1
1
x=
v 0 e − kt | + x 0 =
v 0 e − kt −
v 0 e 0 + x0 = 0 (1 − e − kt ) + x 0
0
−k
−k
−k
k
v
Merk op dat de term 0 (1 − e − kt ) de uitkomst is van de integraal en de eenheid m heeft.
k
De snelheid neemt exponentieel met de tijd af. De plaats nadert exponentieel naar het eindpunt.
Vrije val in vloeistof
Bij een ‘vrije val’ van een knikker in een vloeistof komt er in de DV een constante bij:
dv
q
=a− v
dt
m
De versnelling a is niet gelijk aan de gravitatieversnelling g omdat de opwaartse kracht in
rekening moet worden gebracht. Deze Fopw hangt af van het volume van de knikker en de
Vρ
dichtheid van de vloeistof: a = g − vl .
m
-qv
mg-Fopw
x
Voor een bolvormig lichaam met straal R geldt voor de wrijvingskracht de formule van Stokes:
F = 6πη Rv . Daarin is η de viscositeit van de vloeistof.
Zie voor de oplossingsmethode hfd. II-2. De oplossing voor v is:
q
− t
m
m
vt = (a − Ce )
q
Als v0 = 0 , kies dan de integratieconstante C = a .
q
ma
De snelheid neemt toe totdat a − v = 0 , dus als v =
. De formule voor vt nadert naar deze
m
q
waarde als t nadert naar oneindig.
F = -cv2 : vormweerstand
De wrijvingskracht op een lichaam dat met grote snelheid door een gas of vloeistof gaat, wordt in
hoofdzaak door de botsingen met de gas- of vloeistofmoleculen veroorzaakt. Het is een
vormweerstand. De kracht is dan F = −cv 2 . De bewegingsvergelijking is nu:
[email protected]
27
d 2x
c ⎛ dx ⎞
=− ⎜ ⎟
2
m ⎝ dt ⎠
dt
2
Deze DV is niet lineair en niet op de beschreven manieren op te lossen. In concrete gevallen is
wel iets over begin- of eindwaarden te zeggen. Bijvoorbeeld bij een vrije val: de snelheid is
maximaal als de versnelling nul is, dus als mg − Fopw − cv 2 = 0 . Dan is constante ‘eind’snelheid
v=
mg − Fopw
c
.
Numeriek integreren, methode van Euler
Als je geen directe oplossing weet, kun je altijd nog in een spreadsheet numeriek integreren
volgens de methode van Euler.
De methode van Euler
De methode van Euler voor het numeriek integreren van een bewegingsvergelijking
houdt het volgende in:
1. ga uit van een tijdstip t waarop beginwaarden bekend zijn voor alle variabelen
(F,a,v,x) en constanten (m,c,etc);
2. vind een uitdrukking voor de versnelling a als functie van F, m, c, v en x (niet van
t);
3. verdeel het integratieinterval in voldoende kleine tijdsintervallen ∆t waarin de
waarden van a, v en x niet significant veranderen en beschouw a, v en x in een
tijdsinterval ∆t als constant
4. bereken voor het tijdstip t + ∆t nieuwe waarden voor a, v en x met
o de opgestelde uitdrukking voor a
o v n = v n −1 + a n −1 ∆t
o x n = x n −1 + v n −1 ∆t
5. herhaal dit voor het volgende tijdsinterval
.. enzovoort tot een eindvoorwaarde is bereikt, bijvoorbeeld dat n, v of x een bepaalde
waarde overschrijden.
Voorbeeld
Een automobilist haalt bij 30 ms-1 zijn voet van het gas. De auto wordt dan voornamelijk door de
luchtweerstand afgeremd. Stel dat bekend is dat FW = −1,5v 2 en de auto 1100 kg weegt. Hoe
verandert dan de snelheid als functie van de tijd?
1. Op t=0 zijn x0 = 0 en v0 = 30
FW
1,5 2
=−
v = −0,0014v 2 .
m
1100
3. We nemen aan dat ∆t = 1 s in dit geval voldoende klein is.
2. Voor de versnelling a stellen we de uitdrukking op: a =
[email protected]
28
v (m/s)
30
vt – grafiek
vormweerstand
25
20
15
10
5
0
0
60
120
180
240
t (s)
A
B
C
D
t (s)
x (m)
v (m.s^-1)
A (m.s^-2)
2
=0
=0
=30
=–0,0014*C2*C2
3
=A2+1
=B2+(C2*1)
=C2+(D2*1)
=–0,0014*C3*C3
4
=A3+1
=B3+(C3*1)
=C3+(D3*1)
=–0,0014*C4*C4
A
B
C
D
1
t (s)
x (m)
v (m.s^-1)
A (m.s^-2)
2
0
0
30
-1,26
3
1
30
29
-1,16
4
2
59
28
-1,07
[email protected]
29
III . Krachten en beweging in 2 dimensies
Op een lichaam werken vaak meerdere krachten en die kunnen verschillende hoeken ten opzichte
van de baan maken. Om in deze gevallen de beweging te beschrijven is een beschouwing in 2 of
3 dimensies nodig. Daarover gaat dit hoofdstuk. Belangrijk is dat grootheden als kracht,
versnelling, impuls, snelheid en verplaatsing zowel een grootte als een richting hebben. Het zijn
vectoren en daarvoor gelden speciale rekenregels. In hoofdstuk II.3 worden die behandeld; in dit
hoofdstuk gebruiken we ze zonder nadere uitleg.
We beginnen met enkele algemene opmerkingen over de keuze van een referentiesysteem en
plaatsen een kanttekening bij het begrip zwaartekracht. Vervolgens gaan we in op het gebruik van
vrije-lichaamsdiagrammen om de krachten in een systeem te analyseren. Daarna behandelen we
het begrip ‘krachtmoment’ dat nodig is om de beweging te beschrijven van lichamen die een
bepaalde uitgebreidheid hebben en kunnen roteren. Tenslotte bekijken we enkele veel
voorkomende bewegingen in 2 dimensies en de daarbij gebruikelijke parametervoorstellingen.
1. Referentiesystemen
Het beschrijven van een beweging begint (wel of niet onbewust) met het kiezen van een
referentiesysteem en een assenstelsel dat aan dit referentiesysteem is gekoppeld.
Een referentiesysteem is een lichaam met een zekere afmeting waarvan de delen ten opzichte van
elkaar in rust zijn. Het lichaam mag geen punt zijn omdat niet alleen de oorsprong van het
assenstelsel maar ook de richting van de assen moet worden vastgelegd. De keuze van een goed
referentiesysteem vereist enige creativiteit en vooral inzicht in het probleem. Enkele tips:
ƒ Maak een bewuste keuze van het referentiesysteem en het assenstelsel.
ƒ Overweeg een referentiesysteem waarin zo weinig mogelijk lichamen bewegen.
ƒ Kies een as evenwijdig met een bewegingsrichting die niet verandert.
ƒ Bedenk vooraf welke formules je nodig hebt en kies een assenstelsel waarbij die zo
eenvoudig mogelijk worden.
Voorbeeld
Stel, je moet de beweging beschrijven van iemand die het dek van een varend schip oversteekt.
Welk referentiesysteem je kiest hangt af van de vraag of er andere lichamen dan het schip en de
persoon in de beschouwing worden betrokken. Is dit niet het geval, dan kies je het schip als
referentiesysteem. De oorspong kan elk punt op het schip zijn, bijvoorbeeld het punt waar de
persoon begon te lopen of de boeg van het schip. De positieve x-as kan ook vrij worden gekozen,
bijvoorbeeld de bewegingsrichting van de persoon, of de as van het schip.
[email protected]
30
x
x
x
x
x
Figuur 8 Alternatieve referentiesystemen
Is ook een lichaam in het water of op de wal van belang, dan zijn andere keuzes te overwegen. In
bijgaande figuur zijn enkele varianten getekend. Bij het verplaatsen van het referentiesysteem
naar een lichaam dat in het oude systeem beweegt, veranderen alle coördinaten en de richtingen
en de groottes van de snelheden.
Inertiaalstelsel
Is in een referentiesysteem de versnelling van het lichaam nul zolang er geen kracht op werkt,
dan wordt het een inertiaalstelsel genoemd. De wetten van Newton gelden alleen voor
inertiaalstelsels. Elk referentiesysteem dat met constante snelheid rechtlijnig beweegt ten
opzichte van een inertiaalstelsel is opnieuw een inertiaalstelsel.
In een referentiesysteem dat draait of versnelt ten opzichte van het lichaam, verschijnt een
versnelling zonder dat er een aanwijsbare kracht is. Men wijt die versnelling dan aan
schijnkrachten. Zo’n is geen inertiaalstelsel. Zoiets gebeurt bijvoorbeeld op aarde.
Fcen
Fmpz
Fg
Fzw
Figuur 9 Zwaartekracht
[email protected]
31
Schijnkracht
Vaak stelt men de zwaartekracht gelijk aan de gravitatiekracht tussen de aarde en het lichaam.
Dat is niet helemaal juist. De gravitatie zorgt niet alleen voor de zwaartekracht, maar ook voor
een middelpuntzoekende kracht die een lichaam met de aarde laat meedraaien. De zwaartekracht
is de verschilvector van de gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht: Fzw = Fg − Fmpz
Behalve op de polen is de zwaartekracht hierdoor kleiner dan de gravitatiekracht. Bovendien
heeft de zwaartekracht overal tussen de polen en de evenaar een component langs het
aardoppervlak in de richting van de evenaar. In de figuur is dit (sterk overdreven) weergegeven.
Op 500 Noorderbreedte is de middelpuntzoekende versnelling evenwijdig aan het vlak van de
evenaar ongeveer 0,02 ms-2 en vertoont de zwaartekracht een afwijking van ongeveer 0,10 naar
het zuiden. Is de plek op aarde het referentiesysteem dan lijkt er een versnelling in de richting van
de evenaar te zijn zonder dat er een aanwijsbare kracht voor is. Het is dus strikt genomen geen
inertiaalsysteem. Omdat de afwijking voor veel toepassingen verwaarloosbaar is, beschouwt men
de aarde niettemin als systeem waarin de wetten van newton gelden.
Vanuit de aarde als referentiesysteem wijt men de kleine afwijking van de versnelling aan een
schijnkracht, namelijk de centrifugale kracht Fcen . Zie de figuur. Anders dan in Nederlandse
schoolboeken komt het begrip centrifugale kracht in de internationale literatuur vaak voor. Een
andere schijnkracht is de Corioliskracht die verantwoordelijk is voor de draaiing van
luchtstromen in de atmosfeer.
[email protected]
32
2. Vrije-lichaamsdiagrammen
Eén systeem
Om helder te analyseren waardoor de resulterende kracht op een lichaam wordt bepaald, tekent
men het vrije-lichaamsdiagram. De eisen aan het vrije-lichaamsdiagram zijn:
1. teken schematisch alleen het lichaam waarvan je de beweging beschrijft. Er komt geen
enkel ander lichaam in de figuur voor: geen ondersteunende helling, geen koord waar het
aan hangt, geen veer die het wegduwt.
2. geef alle krachten die van buitenaf de verplaatsing beïnvloeden aan met pijlen in de juiste
richting en met de juiste relatieve lengte. Dus in plaats van een helling een normaalkracht
en een wrijvingskracht, in plaats van een touw een trekkracht etc. Teken geen inwendige
krachten als die geen invloed hebben op de beweging.
3. geef de richting van de x- en de y-as aan;
4. als er alleen verplaatsing is en geen rotatie optreedt, dan is de vorm van het lichaam in de
tekening onbelangrijk. Teken dan het lichaam als een kleine rechthoek, een kleine cirkel,
een stip of een recht kruis en laat alle krachten in het zelfde punt beginnen.
Voorbeeld: wrijving op een helling
Een stalen doos ligt in rust op een eveneens stalen helling. De doos weegt 5 kg. Door een kleine
trilling van de helling glijdt de doos naar beneden. Met welke versnelling? Neem g = 10 ms-2, µs
= 0,7 en µd = 0,6.
We tekenen eerst het vrije-lichaamsdiagram.
y
FN
FW = µFN
35 0
x
35 0
Fz
Figuur 10 Vrije-lichaamsdiagram
1. Toestand in rust:
∑ Fy = 0 ⇒ FN − mg cos α = 0
dus FN = mg cos α
∑F
x
= 0 ⇒ mg sin α − µ s FN = 0
dus µ s FN = mg sin α
Delen geeft:
µ s = tan α ⇒ α = arctan 0,70 = 35 0
[email protected]
33
2. Toestand in beweging:
∑ Fx = ma x ⇒ mg sin α − µ d FN = ma x
Invullen van mg sin α = µ s FN en FN = mg cos α geeft:
µ s FN − µ d FN = ( µ s − µ d )mg cos α = ma x
en hieruit volgt
a x = ( µ s − µ d ) g cos α
⇒ a x = (0,7 − 0,6) ⋅ 10 ⋅ cos 35 0 = 0,8 ms -2
Twee deelsystemen
Derde wet van Newton
Soms bestaat een systeem uit twee met elkaar verbonden objecten. Dan kan het handig zijn het
systeem in twee deelsystemen A en B te splitsen. In plaats van een verbinding worden dan de
interne krachten aangewezen die zij op elkaar uitoefenen. Volgens de derde wet van Newton is de
kracht die A op B uitoefent even groot is als de kracht die B op A uitoefent en tegengesteld
gericht:
FA →B = − FB→A .
Twee diagrammen
Het werken met twee deelsystemen heeft voor het vrije-lichaamsdiagram als consequentie dat
voor beide deelsystemen apart een diagram moet worden getekend. De invloed van het andere
deelsysteem wordt in elk dagram door een interne kracht voorgesteld.
Voorbeeld
Op een tafel ligt een blok hout van 6 kg. Het wordt voortgetrokken door een gewicht van 4 kg
aan de zijkant van de tafel. Het koord tussen het blok en het gewicht loopt over een katrol. De
versnelling van het systeem is 1 ms-2. Bereken µd.
Verwaarloos de massa en de wrijving van het koord en de katrol. Neem voor g = 10 ms-2.
Aanpak: Bereken bij blok B dat Fs = 36 N en vervolgens bij blok A dat µFN = 30 N.
[email protected]
34
Blok A
Blok B
FN
µFN
Fs
Fs
x
mB g
x′
mA g
Figuur 11 Vrije-lichaamsdiagram deelsystemen
Cirkelbeweging
Een cirkelbeweging treedt op als in elk punt van de baan de resulterende kracht op hetzelfde punt
is gericht.
α
Fspan
r
mg
Figuur 12 Zweefmolen
De versnelling die nodig is om een cirkelbeweging met de straal r en met de baansnelheid v af te
leggen, is:
v2
v
ac =
of a c = ω 2 r met de hoeksnelheid ω = .
r
r
mv 2
Bijgevolg is een middelpuntzoekende kracht Fc =
of Fc = mω 2 r vereist.
r
Het vrije-lichaamsdiagram van een stoeltje in een zweefmolen laat twee krachten zien: de
zwaartekracht verticaal omlaag en schuin omhoog de spankracht in de kabel. De resulterende
kracht heeft op elk punt van de horizontale cirkelbaan dezelfde grootte en is steeds naar het
middelpunt gericht. De resulterende kracht wordt niet in het vrije-lichaamsdiagram getekend.
[email protected]
35
3. Moment en rotatie
Tot nu toe is er van uitgegaan dat een (resulterende) kracht alleen tot een verplaatsing leidt.
Daarbij wordt een lichaam als een punt beschouwd en wordt aangenomen dat elke kracht op dit
punt werkten. Bij uitgebreide lichamen is dit echter niet geoorloofd. Ze kunnen om een bepaald
punt (massamiddelpunt) draaien en daarom is het belangrijk te letten op de werklijn van een
kracht ten opzichte van dit draaipunt.
De rotatie van een uitgebreid lichaam wordt veroorzaakt door een moment. Als de kracht F is en
r de afstand is van het draaipunt tot de werklijn van de kracht dan is de grootte van het moment
M:
M = rF .
Men noemt r de arm. Let op dat de arm de afstand van het draaipunt tot de werklijn is en niet tot
het beginpunt van de kracht. Dit beginpunt heeft weinig betekenis, men mag namelijk de kracht
langs de werklijn verschuiven zonder dat het moment verandert. Met behulp van de formule en
de figuur is dit gemakkelijk in te zien. Bij uitgebreide lichamen mag een kracht
- wel langs zijn werklijn mag worden verschoven: het moment verandert dan niet;
- niet evenwijdig aan zijn werklijn mag worden verschoven.
werklijn
werklijn
F
r
F
draaipunt
r
+
draaipunt
Figuur 13 Het moment van een kracht
In het voortgezet onderwijs is het de gewoonte de formule M = Fr te gebruiken en er een
afspraak over de richting aan toe te voegen. Als de kracht een draaiing tegen de wijzers van de
klok veroorzaakt, dan rekent men het moment positief. In vectornotatie volgen de grootte en de
richting uit een formule:
M = r×F .
Het moment is het uitproduct van de arm r en de kracht F . Zie de figuur. In het uitproduct is de
volgorde van de grootheden belangrijk. De richting van het uitproduct volgt immers uit de
rechterhandregel. Zie hoofdstuk II-3 over vectoren. De richting van F × r is tegengesteld aan de
richting van r × F . Vandaar dat we liever consequent blijven en de grootte van het moment
schrijven in de vorm M = rF .
Evenwichtsvoorwaarden
De snelheid en de rotatie van een lichaam veranderen niet als aan twee voorwaarden is voldaan:
∑F = 0
∑M = 0.
[email protected]
36
Men noemt dit de evenwichtsvoorwaarden. Dus, als deze voorwaarden gelden, dan
- blijft een lichaam in rust, als het al in rust was;
- blijft het lichaam in een eenparige cirkelbeweging en/of een eenparig rechtlijnige
beweging.
Vrije-lichaamsdiagram voor een uitgebreid lichaam
Eerder is opgemerkt dat bij uitgebreide lichamen krachten niet evenwijdig aan hun werklijn
mogen worden verschoven. Dan verandert immers het moment. Dit betekent dat in het vrijelichaamsdiagram van een uitgebreid lichaam ook een draai- of kantelpunt moet worden
aangegeven en de arm van elke kracht.
Geef het lichaam weer door middel van een zo eenvoudig mogelijke figuur. Vaak volstaat een
lijnstuk. Bijvoorbeeld een horizontale balk wordt in twee punten ondersteund.
y
FN1
FN2
Z
r1
x
r2
mg
Figuur 14 Evenwijdige werklijnen
Soms is een rechthoek of een andere tweedimensionale figuur nodig. Bijvoorbeeld een deur hangt
op twee scharnieren S1 en S2 in een kozijn.
y
S2
Z
x
S1
mg
Figuur 15 Deur
[email protected]
37
4. Bewegingen in 2 dimensies
Parametervoorstelling
De beweging van een lichaam in twee dimensies kan men beschrijven met een baanvergelijking.
Die drukt het verband tussen de coördinaten uit. Voor een cirkelbeweging zou dit de vergelijking
( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 kunnen zijn en voor een horizontale worp y = k ( x − a ) 2 + b .
y
r
b
t=0
x
a
Figuur 16 Cirkelbaan
v0
x
s
g
vx
vy
vt
y
Figuur 17 Horizontale worp
De baanvergelijking geeft geen informatie over het tijdstip waarop het lichaam zich in een
bepaald punt bevindt. Daarom beschrijft men de beweging liever in de vorm van een
parametervoorstelling. Dit houdt in dat we de x- en de y-coördinaat afzonderlijk beschrijven als
functie van dezelfde parameter t:
xt = f (t )
y t = g (t ) .
Ontbinden in componenten
Grootheden als verplaatsing ∆x , snelheid v , versnelling a , kracht F en impuls p zijn
vectorgrootheden en kunnen in componenten langs de x- en de y-as worden ontbonden. Of uit
componenten worden samengesteld. Deze componenten zijn onafhankelijk van elkaar. Zie
hoofdstuk II-3 over vectoren voor verdere uitleg over het ontbinden in componenten.
[email protected]
38
De onafhankelijkheid van de componenten maakt het ook mogelijk het assenstelsel zo te kiezen
dat langs elk van de assen een herkenbare - en vooral gemakkelijk oplosbare bewegingsvergelijking ontstaat. Zie voor enkele typen bewegingen het hoofdstuk over
rechtlijnige bewegingen.
Horizontale worp
De ‘horizontale worp’ is een eenvoudig voorbeeld van een beweging die tweeën kan worden
gesplitst. Omdat de valversnelling een rol speelt ligt het voor de hand een as verticaal te kiezen.
Een horizontale beginsnelheid heeft geen component langs de verticale as en daarom geen
invloed op de verticale beweging. Onafhankelijk van elkaar vindt dus een versnelde beweging
omlaag plaats en tegelijkertijd een eenparige beweging naar rechts. Indien wrijving en andere
krachten geen rol spelen is de parametervoorstelling van de horizontale worp:
xt = v 0 t + x 0
y t = 12 gt 2 + y 0
Opmerkingen:
- Als het beginpunt als oorsprong wordt gekozen, dan zijn x0 en y0 gelijk aan nul.
- Als de y-as omhoog positief wordt genomen, dan wordt in de formule g < 0. Kies je de
positieve x-as naar links, dan wordt v0 < 0.
- Als luchtweerstand een rol speelt, dan wordt de invloed daarvan afzonderlijk op elk van
de bewegingen in rekening gebracht.
De verplaatsing s is de vector tussen de plaatsen op twee tijdstippen, dus tussen twee punten op
de baan:
s = ∆x + ∆y .
De snelheid langs de baan op een bepaald tijdstip is de vectorsom van de snelheden langs elke
van de assen op dit tijdstip:
vt = v x + v y .
Het berekenen van de lengte van een somvector en de hoek met de x-as wordt beschreven in
hoofdstuk II-3.
Voorbeeld horizontale worp
Een munt wordt met een beginsnelheid v0 van een gladde tafel geschoven en raakt de grond onder
een hoek ϕ. De hoogte van de tafel is h. Druk ϕ uit in v0 en h.
Neem de figuur ‘horizontale worp’ als uitgangspunt.
vy
Voor ϕ geldt: tan ϕ =
vx
Langs de y-as geldt: h = 12 gt 2
⇒ t=
2h
,
g
dus v y = gt ⇒ v y = 2 gh
[email protected]
39
Met v x = v 0 is tan ϕ =
vy
vx
=
2 gh
=
v0
2 gh
v0
2
⇒ ϕ = arctan
2 gh
v0
2
Worp in willekeurige richting
Maakt de beginsnelheid een hoek α met de x-as, dan ontbinden we de snelheid in twee
componenten:
v0, x = vo cos α
en
v0, y = vo sin α .
Daarmee worden de snelheid- en plaatsfuncties:
v x ,t = vo cos α
xt = v 0 t cos α + x 0
en
v y ,t = gt + vo sin α
y t = 12 gt 2 + vo t sin α + y 0
Hier gelden dezelfde opmerkingen als bij de horizontale worp.
Voorbeeld worp in willekeurige richting
Een basketballer werpt een bal naar een medespeler op een afstand van 6 m. Uit videobeelden
blijkt dat de bal daar 0,8 s over doet. Het begin en eindpunt van de bal zijn op dezelfde hoogte.
Bereken het hoogste punt van de bal ten opzichte van zijn beginpunt.
Het begin en eindpunt zijn op gelijke hoogte. Dit betekent: ∆y t = 0
y t = −12 gt 2 + v 0 y t + y 0
⇒ ∆y t = −12 gt 2 + v0 y t = (−12 gt + v 0 y )t
Uit ∆y t = 0 volgt − 12 gt + v 0 y = 0
v0 y = 12 gt = 4
In het hoogste punt is v y ,t = 0 .
Daarmee leidt v y ,t = v 0 y − gt tot: 0 = 4 − 10t ⇒ t = 0,4
Invullen van t en v0y in ∆y t = −12 gt 2 + v0 y t geeft ∆y t = −12 ⋅ 10 ⋅ 0,4 2 + 4 ⋅ 0,4 = 0,8
Het hoogste punt ligt 0,80 m hoger dan het begin en eindpunt.
Cirkelbeweging
Een cirkelbeweging kan worden voorgesteld door de parametervoorstelling:
xt = a + r cos ωt
y t = b + r sin ωt
[email protected]
40
Hierin is ω de hoeksnelheid. De straal r noemt men ook wel amplitude.
De beweging is periodiek met T als de periode of omlooptijd en met f als de frequentie. Met
2π
behulp van vT = 2 πr is gemakkelijk in te zien dat: ω =
= 2πf .
T
Voorbeeld: polaire satellieten
Rond de aarde cirkelt een aantal satellieten in banen over de noord- en de zuidpool. Deze polaire
banen hebben een periode van ongeveer 1,5 uur. Wat is de straal van deze banen?
Aanpak:
De hoeksnelheid voor deze beweging is ω =
2π
(rad)s-1.
1,5 ⋅ 3600
De versnelling die is vereist, is: a c = ω 2 r .
De versnelling wordt geleverd door de gravitatie:
M
gr = G 2 .
r
Hierin is G de constante van Newton en M de massa van de aarde. De waarde van beide kan in
de tabellen worden opgezocht. Gelijkstellen van beide uitdrukkingen voor de versnelling geeft:
ω 2 r 3 = GM .
Hieruit kan r als de enige onbekende worden opgelost.
[email protected]
41
B Wiskunde
[email protected]
42
I . Rekenen
1. Breuken
Optellen, aftrekken
Breuken optellen of van elkaar aftrekken kan alleen als ze gelijknamig zijn. Optellen
en aftrekken gebeurt met de tellers.
a c
1
1
1 a+c
2 3
1
+ = a ⋅ + c ⋅ = (a + c) ⋅ =
− =−
b b
b
b b
b
b
b
b
Gelijknamig maken
De waarde van een breuk verandert niet als hij met 1 wordt vermenigvuldigd.
En 1 kan worden geschreven als een breuk met de andere noemer:
2 1 8
3 11
a c ad bc ad + bc
+ =
+
=
+ =
+
=
b d bd bd
bd
3 4 12 12 12
Splitsen
Tellers kunnen worden gesplitst, noemers niet.
a+b
a
b
maar niet:
=
+
c+d c+d c+d
1
1
=
2+3 5
≠
1 1 5
+ =
2 3 6
Vermenigvuldigen, delen
Het vermenigvuldigen en het delen van een breuk is een operatie die op de teller wordt
toegepast. Verschijnt in de teller een breuk, dan vereenvoudig je het geheel met een nieuwe
noemer.
1
a 1 a⋅ c
a
2 1 2
⋅ =
=
⋅ =
7 3 21
b c
b
(bc)
a
a
a
2
2
÷3 =
÷c = c =
7
21
b
(bc)
b
1
≡ n.
1
n
Immers, 1 moet gelijk zijn aan 3 ‘derde’, of 10 ‘tiende’ delen, etc. Vandaar de veelgebruikte
geheugensteun: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’:
a c ad
2 1 2 3 6
÷ =
÷ = ⋅ =
b d bc
7 3 7 1 7
Bedenk dat bij het delen door een breuk geldt:
2. Haakjes wegwerken
Haakjes
Haakjes maken duidelijk welke termen van een uitdrukking wel vermenigvuldigd moeten
worden en welke niet:
[email protected]
43
a ⋅ (b + c) + d = ab + ac + d
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd
Bijzondere producten
(a + b) ⋅ (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) ⋅ (a − b) = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
3. Wortels
Een wortel ontstaat uit een machtsfunctie. Zie subparagraaf 4. Machten.
Rekenregels
Het splitsen van wortels is alleen geoorloofd bij producten en quotiënten. Voor het
vereenvoudigen van wortels gebruikt men vaak de volgende regels:
a ⋅b = a ⋅ b
a
=
b
a
b
a p+q = a p ⋅ a q
m
a mp = a p
4. Machten
Definitie
Bij machtsverheffen wordt een grondtal a herhaaldelijk met ditzelfde getal a
vermenigvuldigd. De machtsfunctie wordt geschreven als: y = a r . Hierin is a het grondtal en
r de exponent. We onderscheiden 3 domeinen voor r:
Met r > 1 is y een groeifunctie van de graad r:
a0 = 1
0de graad
10 0 = 1
1ste graad
a1 = a
101 = 10
a r = a ⋅ a ⋅…⋅ a
rde graad
10 r = 10 ⋅ 10 ⋅ … ⋅ 10 = 100 … 0
Met 0 < r < 1 is y een wortelfunctie:
1
2
a = a
1
3
3
1
n
n
a = a
a = a
[email protected]
a
a
m
2
m
n
= am
= n am
n
n
a = n an = 1
44
Met r < 0 geeft het negatieve teken aan dat y een breuk is en bepaalt de absolute waarde van
r of de noemer een groeifunctie dan wel een wortelfunctie is:
1
graad -1
a −1 =
a
1 1
1 1
graad -r
a −r = ⋅ ⋅ … ⋅ = r
a a
a a
Rekenregels
a n ⋅ a m = a n+m
10 2 ⋅ 10 −3 = 10 −1
a n ÷ a m = a n−m
10 2 ÷ 10 − 3 = 10 5
a p ⋅ b p = (ab )
10 2 ⋅ 10 2 = 100 2
p
m
a n = (a n ) m = a m⋅n
a
m
n
(10 2 ) 3 = 10 6
1
= a
n
92 = 9 = 3
m
3
Merk op dat 10 ( 2 ) = 10 8 .
Wetenschappelijke notatie
Volgens de regels van de wetenschappelijke notatie bestaat de getalwaarde van een grootheid
uit 2 delen:
- een getal met alle significante cijfers,
- een macht van 10.
Achter de getalwaarde hoort de eenheid van de betreffende grootheid. De macht van 10 wordt
vervangen door voorvoegsel uit de tabel achterin. Equivalent is:
1386 m
1,386 ⋅ 10 6 ⋅ 10 −3 m = 1,386 ⋅ 10 6 mm.
Voordat je grootheden kunt optellen of aftrekken moeten ze eerst in dezelfde grootte-orde
worden uitgedrukt. Bijvoorbeeld:
Verplaatsing 1 = 1,386 km
Verplaatsing 2 = 114 m in dezelfde richting
De totale verplaatsing 1,386 km + 0,114 km = 1,500 km
Scheid bij het bereken van producten en quotiënten de significante getallen van de machten
van 10, het bespaart werk door de machten apart (uit het hoofd) te berekenen.
9,24 ⋅ 105 × 3,6 ⋅ 10 −3 9,24 × 3,6 105 × 10 −3
⋅
=
2,8 ⋅ 10 4 × 7,5 ⋅ 10 2
2,8 × 7,5 10 4 × 10 2
105 × 10−3
waarin
= 105 − 3− 4 − 2 = 10− 4
4
2
10 × 10
[email protected]
45
5. Logaritmes
Definitie
Elk positief reëel getal b kan geschreven worden als een macht van een ander getal a .
De exponent r bij die macht heet de r-logaritme van b. Als het grondtal 10 is, dan wordt de 10
niet genoemd.
b = ar
100 = 10 2
2 = 10 log 100 = log 100
r = a logb
8 = 23
3= 2 log 8
a
log a = 1
a
log a n = n
a
log 1 = 0
Rekenregels
De regels voor het rekenen met logaritmes corresponderen met de regels voor machten.
a
log(b ⋅ c)= a log b + a log c
log(10 3 ⋅10 2 ) = 3 + 2 = 5
b
log( )= a log b − a log c
c
a
log b m = m⋅ a log b
a
10 3
) = 3− 2 =1
10 2
log 10 6 = 3⋅ log 10 2
log(
6. e-machten en natuurlijke logaritmes
Definities e en ln
Een e-macht is een macht met het grondtal:
e = 2,71828 ...
x 2 x3
+
+ ....
2! 3!
Het symbool ‘3!’ staat voor ‘3 faculteit’, dit is het cumulatieve product van alle natuurlijke
getallen ≤ 3. Dus 3!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 .
Door het differentiëren van de reeks naar x ontstaat de reeks opnieuw, ofwel de afgeleide van
e x is e x :
de x
= ex .
dx
ex = 1 + x +
Het logaritme met het grondtal e noemt men het natuurlijke logaritme, met notatie ‘ln’:
a = e x ⇒ x = ln a
Rekenregels
Voor e-machten en natuurlijke logaritmes gelden dezelfde regels als voor andere machten en
logaritmes. Bijzonderheden zijn:
ln x = ln 10 ⋅ log x
ln x = ln a⋅ a log x
ln e = 1 en ln 1 = 0
[email protected]
46
7. Meetkunde
Gelijke en complementaire hoeken
α3
180- α
α2
α1
Figuur 18 F- en Z-hoeken
Als een recht lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, dan zijn:
* α1 = α 2
Deze noemt men F-hoeken omdat ze zijn ingesloten door de staande en de
liggende lijnen van de F (in de figuur is F gedraaid en gespiegeld). Ze vallen
na verschuiving over elkaar.
* α1 = α 3
Deze noemt men Z-hoeken omdat ze overeenkomen met de bij een Z
gevormde scherpe hoeken. Ze vallen na 1800 draaien over elkaar.
* α2 = α3
Bij twee snijdende lijnen zijn de tegenover elkaar liggende hoeken gelijk.
De naast elkaar liggende hoeken bij twee snijdende lijnen zijn complementair (samen 180o).
Hoeken en zijden in een driehoek
γ
b
α+β
a
β
α
c
Figuur 19 Hoeken en zijden van een driehoek
In een driehoek is de som van de drie hoeken gelijk aan 180o
en verder geldt:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
(Zie §8 voor sinus en cosinus.)
Bij een rechthoekige driehoek vervalt de derde term en gaan de vergelijkingen over in de
stelling van Pythagoras:
a 2 = b2 + c2
[email protected]
47
Basis en hoogte van een driehoek
h
a
Figuur 20 Basis en hoogtelijn in een driehoek
De basis en de hoogte van een driehoek hangen met elkaar samen. Men kan elke zijde als
basis kiezen. Is de zijde a de basis, dan is de hoogte de lengte van de loodlijn h die op a is
neergelaten uit de overstaande hoek.
De normaal
De loodlijn door een punt op een oppervlak noemt men de normaal. Is het oppervlak een vlak
met een rechthoekig assenstelsel x en y, dan staat de normaal loodrecht op beide assen. Bij
een gekromd oppervlak staat de normaal loodrecht op het raakvlak. De normaal in een punt
op een bol is de rechte door dit punt en het middelpunt van de bol.
Oppervlakte- en inhoudsformules
Table 1 Formules oppervlak en inhoud
Driehoek
Parallellogram
Cirkel
Bol
Cilindermantel
Bol
Cilinder
Kegel
Piramide
b=basis, h=hoogte en r=straal
Oppervlak
½bh
Bh
πr2
4πr2
2πrh (zonder grondvlakken)
Inhoud
4/3 πr3
πr2h
⅓ πr2h
⅓.grondoppervlak.h
[email protected]
48
8. Goniometrische functies
y
π/2
P
r.sinα
r
α
bgα
0
b
x
r.cosα
π
a
3π/2
Figuur 21 Goniometrische begrippen in een cirkel
Definitie sinus, cosinus, tangens
In de figuur is de rechthoekige driehoek met de zijden r, a en b en de hoek α getekend. De
hoek wordt gemeten ten opzicht van de positieve x-as, tegen de wijzers van de klok. Het deel
van de cirkel voor 0 ≤ α < 90 0 noemt men het 1ste kwadrant. Er geldt:
a
sin α =
r
b
cos α =
r
a
tan α =
b
Een geheugensteun voor deze definities is het anagram soscastoa: Sinus = Overstaand/Schuin
; Cosinus = Aanliggend/Schuin ; Tangens = Overstaand/Aanliggend.
Definitie arcsin, arctan
Terugrekenen van een waarde voor de sinus, cosinus of tangens naar de waarde van de hoek
gebeurt met de functies arcsinus, arccos en arctangens.
a
a
b
arctan = α
arcsin = α
arc cos = α
r
r
b
a
a
betekent ‘de hoek waarvan de sinus is’.
r
r
-1
-1
Voor arcsin en arctan wordt vaak sin en tan geschreven (het betekent dan bij uitzondering
1
1
niet
). Correcter is: INV sin (inverse functie van sin).
of
sin
tan
De functie arcsin
[email protected]
49
Parametervoorstelling van een cirkelbaan
De plaats van een punt P op een cirkel in het x,y-vlak kan men geven in de vorm van een
parametervoorstelling. Zie de figuur met de basiscirkel. Dit betekent dat de x- en de ycoördinaat afzonderlijk worden uitgedrukt als functie van dezelfde (veranderlijke) parameter,
bijvoorbeeld de hoek α:
x P α = r ⋅ cos α
y P α = r ⋅ sin α
Is α bekend, dan zijn ook de x- en de y-coördinaat bekend.
Door de parameter te elimineren ontstaat een baanvergelijking in x, y en r.:
x2 + y2 = r 2.
Indien de x- en de y-coördinaat bekend zijn, volgen r en α uit:
r=
x 2p + y 2p
en α = arctan
yp
xp
.
Definitie radiaal
Een radiaal (symbool: rad) is de hoek a waarbij de lengte van de boog bgα gelijk is aan de
straal r . Omdat de omtrek van een cirkel 2πr is, is
360 o 360 o
=
= 57,32 o
2π
6,28
x
x graden =
⋅ 2π rad
360 0
1 rad =
In de figuur op de vorige pagina is:
bgα
α rad =
r
Veelvoorkomende waarden van sinus en cosinus
in graden 0o 30o
45o
60o
90o
In rad
0
π/6
π/4
π/3
π/2
Sin
0
½
½√2=0,71 ½√3=0,86 1
Cos
1
½√3=0,86 ½√2=0,71 ½
Tabel 2 Veelvoorkomende waarden van sin en cos
[email protected]
0
De grafieken van de sinus en de cosinus
50
Indien we in de basiscirkel aan het begin van deze paragraaf de straal r gelijk aan 1 maken,
dan geven sin α en cos α de uitwijking van P ten opzicht van x-as en de y-as. Als functie van
α zijn dit de onderstaande grafieken.
sin α
0,86
0,71
1
0,50
α
0
x 300
x π/6
-0,50
-0,71
-0,86
-1
π/2
cos α
0,86
0,71
π
3π/2
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
1
0,50
0
α
x 300
x π/6
-0,50
-0,71
-0,86
-1
Figuur 22 Grafieken van sinus en cosinus
Periodieke oplossingen
De sinus en cosinus zijn periodieke functie met periode 2π als de hoeken in radialen worden
uitgedrukt of met een periode van 3600 als dit in graden gebeurt. Uitgaande van een hoek in
het eerste kwadrant geldt:
als y1 = sin α1 , dan is ook y1 = sin(α1 + 2π ) en y1 = sin((π − α1 ) + 2π )
als y1 = cos α1 , dan is ook y1 = cos(α1 + 2π ) en y1 = cos(−α1 + 2π )
Fase en gereduceerde fase
De fase drukt uit hoe vaak en hoe ver een periode verstreken is: ϕ =
α rad
of
2π rad
α0
,
3600
De gereduceerde fase drukt uit hoe ver de laatste periode verstreken is: in de uitkomst voor φ
worden alle cijfers voor de komma weggelaten.
Rekenregels
In de driehoek in het 1ste kwadrant is gemakkelijk te controleren dat:
[email protected]
51
sin(90 0 − α ) = cos α
cos(90 0 − α ) = sin α
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tan α =
cos α
Op grond van spiegeling ten opzichte van een van de assen of ten opzichte van de oorsprong
geldt voor hoeken in andere kwadranten:
sin(π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
sin(2π − α ) = sin(−α )
cos(2π − α ) = cos(−α )
sin(−α ) = − sin α
cos(−α ) = cos α
Bijzondere relaties zijn:
⎡1
⎤
⎡1
⎤
sin α ± sin β = 2 sin ⎢ (α ± β )⎥ cos ⎢ (α ∓ β )⎥
⎣2
⎦
⎣2
⎦
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(a ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
1
1 − cos α
sin α =
2
2
1
1 + cos α
cos α =
2
2
9. Oplossen van vergelijkingen
Het teken ‘=’ in een vergelijking betekent niet ‘er volgt een uitkomst’ maar drukt de
gelijkheid van het linkerdeel en het rechterdeel van de vergelijking uit. En die gelijkheid blijft
gelden als je links en rechts hetzelfde doet: met hetzelfde getal vermenigvuldigt, deelt, optelt
of er op een geoorloofde wijze een functie op toepast, zoals de logaritme nemen, tot een
macht verheffen, een sinuswaarde van neemt etc.
Een vergelijking met een onbekende
1 Werkwijze voor het oplossen van vergelijkingen
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Werk de haakjes weg en maak termen waarin x (of een en andere grootheid)
de enige onbekende is.
Zet alle uitdrukkingen met x links van het = teken en zet de overige rechts
Vereenvoudig opnieuw: maak 1 uitdrukking in x links van het = teken en
maak voor de rest 1 uitdrukking rechts van het = teken. Pas links en rechts van
het = teken zo nodig een inverse of een andere functie toe.
Maak x vrij en bereken de waarde van x door links en rechts van het = teken
dezelfde functie toe te passen: wortels, logaritme, macht, etc.
[email protected]
52
Voorbeeld 1:
1
7
3
3
+
= +
3 x −1 7 x −1
7
3
3 1
−
= −
x −1 x −1 7 3
7−3 9
7
=
−
x − 1 21 21
4
2
=
x − 1 21
x − 1 21
=
4
2
4 ⋅ 21
x −1 =
= 42 ⇒ x = 43
2
Los x op uit
Voorbeeld 2
Los x op uit 1,2 ⋅ 10 = 10
10 2,3⋅ x = 1,2 ⋅10 3
3
2 , 3⋅ x
x
( a = b is oplosbaar als a > 0 )
log(10 2 ,3⋅ x ) = log 1,2 ⋅10 3
2,3 ⋅ x = (log 1,2 ⋅10 3 )
x = 1,3
Voorbeeld 3
Los x op uit log3x + log2x = 2,74
log 3 + log x + log 2 + log x = 2,74
log( 2 ⋅ 3) + 2 log x = 2,74
2 log x = 2,74 − log 6 = 1,96
log x = 0,98
x = 10 0,98 = 9,55
Twee bijzonderheden bij het oplossen van een goniometrische functie zijn dat er – vanwege
symmetrie – twee oplossingen zijn en dat de oplossing periodiek zijn. Zie hiervoor
subparagrafen 8.g en 8.i.
Voorbeeld 4
Los x op uit 1 + 2sin(3x + 4) = 2,76
[email protected]
Voorwaarde: − 1 ≤ sin(3x + 4) ≤ 1 )
53
2,76 − 1
= 0,88
2
3 x + 4 = arcsin 0,88 = 1,08 rad
opl.1 :
sin( 3 x + 4) =
3x + 4 = 1,08 ± n ⋅ 2π
1,08 − 4 ± n ⋅ 2π
= −0,97 ± n ⋅ 23 π rad
x=
3
opl.2 :
3x + 4 = (π − 1,08 ) ± n ⋅ 2π
x=
π − 1,08 − 4 ± n ⋅ 2π
3
= −0,64 ± n ⋅ 23 π rad
Twee vergelijkingen met 2 onbekenden
Los x en y op uit:
2 x + 3 y = 16
3 x − 4 y = 14
2 Coëfficiëntenmethode
ƒ schrijf
beide vergelijkingen in de vorm
bewerking van
coëfficiënten
ax + by + c = 0 onder elkaar
ƒ bewerk de vergelijkingen zodanig dat
één variabele, bijvoorbeeld x, in beide
vergelijkingen dezelfde coëfficiënt
6 x + 9 y − 48 = 0
krijgt. Dat lukt altijd als alle termen
van één vergelijking met de coëfficiënt
6 x − 8 y − 28 = 0 ( trek af)
uit de andere vergelijking wordt
vermenigvuldigd. (Als alle termen van
0 + 9 y − ( −8 y ) − 48 − ( −28) = 0
dezelfde vergelijking met hetzelfde
getal worden vermenigvuldigd,
3
17 y − 20 = 0 ⇒ y = 1
verandert dit niets aan de oplossing.)
17
ƒ trek de ene vergelijking van de andere
af
3
ƒ
los
y op
2 x + 3 ⋅1 − 16 = 0
ƒ
vul
y in één vergelijking in
17
ƒ los x op
9
8
4
2 x = 16 − 3 = 12
⇒ x=6
17
17
17
Methode 1: door
2 x + 3 y − 16 = 0 (×3)
3 x − 4 y − 14 = 0 (×2)
Methode 2: door vervanging
[email protected]
54
3 Substitutiemethode
ƒ ga uit van één vergelijking
en druk één variabele (bijv.
x) uit in de andere
ƒ vul de uitdrukking voor x in
in de andere vergelijking. Er
ontstaat nu één vergelijking
met één onbekende: y
ƒ los y op
16 − 3 y
2
16 − 3 y
− 4 y = 14
3⋅
2
48 − 9 y − 2 ⋅ 4 y = 2 ⋅14
x=
− 17 y + 48 − 28 = 0
17 y = 20
y =1
x=
3
17
ƒ vul y in in de eerder
gevonden uitdrukking voor
x
ƒ los x op
9
8
12
17 = 17 = 6 4
17
2
2
16 − 3
Tweedegraads graadsvergelijking
De algemene vorm van een 2de graadsvergelijking is: y x = ax 2 + bx + c
Er zijn oplossingen voor y x = 0 als voor de discriminant geldt
b 2 − 4ac ≥ 0
x1, 2
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
b
.
2a
Dit betekent dat de functie y x voor deze waarde van x een minimum (of een maximum) heeft:
De functie is symmetrisch om x = −
y max,min = c −
b2
4a
−
50
b
2a
40
30
20
10
0
-10
0
4
8
12
16
20
-20
-30
Figuur 23 Kenmerken 2de graadsvergelijking
Voorbeeld 1:
Los x op uit x 2 − 16 x + 40 = 0
[email protected]
55
x1, 2 =
− (−16) ± (16) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 40
2
=
16 ± 256 − 160
= 8 ± 24
2
x1 = 12,9
x 2 = 3,1
Voorbeeld 2: verticale worp omhoog
Een voorwerp wordt vanaf een hoogte x = 5 m met een snelheid v = 10 ms -1 omhoog
gegooid. Neem g = 10 ms -2 . Op welk tijdstip en hoe hoog bereikt het z’n top?
1
y t = gt 2 + v0 t + x0
2
Omhoog is positief, dus g = −10 ms -2 en y t = −5t 2 + 10t + 5
b
10
=−
=1s
Het hoogste punt wordt bereikt als t = −
2a
2 ⋅ (−5)
10 2
b2
= 5−
= 10 m
Dan is y max = c −
4a
4 ⋅ (−5)
10. Benaderingen
Bij producten
Als a en b beide groter zijn dan 1 en als b << a , dan is zeker ook b 2 << a 2 .
In de bijzondere producten in subsectie 2b wordt b 2 dan vaak verwaarloosd:
(a − b) ⋅ (a − b) ≅ a 2 − 2ab
( a + b) ⋅ ( a − b) ≅ a 2
Bijvoorbeeld: 5,8 × 5,8 = (6 − 0,2)(6 − 0,2) = 6 2 − 2 ⋅ 0,2 + .. ≅ 35,6 (fout = 0,04)
Bij machten
Een vergelijkbare benadering als hierboven wordt ook bij hogere machten toegepast, zoals in
uitdrukkingen die geschreven kunnen worden als
r
a ⋅ (1 + x )
a ⋅ (1 − x )
Als x klein genoeg is ten opzichte van 1, dan worden de 2de en hogere machten van
x worden vaak verwaarloosd. Veel gebruikte benaderingen zijn:
(1 + x) r ≅ 1 + rx
(1 − x) r ≅ 1 − rx
r
[email protected]
56
1
−r
= (1 + x ) ≅ 1 − rx
r
(1 + x)
1
−r
= (1 − x ) ≅ 1 + rx
r
(1 − x)
Bij kleine hoeken
In de wiskunde worden de functies sin en cos met de reeksen benaderd:
sin α = α −
cos α = 1 −
α3
3!
α2
2!
+
+
α5
5!
α4
4!
− ...
− ...
Hieruit volgt voor kleine α (in radialen):
sin α ≅ α
cos α ≅ 1
tan α ≅ α
In veel gevallen is de eerste benadering voor hoeken tot 150 nog acceptabel.
r
b
l
α
c
Bekijken we een deel van een cirkel met straal r
en de booglengte l. Daarin wordt de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden b en c
ingesloten. Bij kleine hoeken α geldt:
b≅l
c≅r
[email protected]
57
Differentiëren, integreren, differentiaalvergelijkingen
Functies
Een natuurkundige grootheid g kan uitgedrukt worden als een wiskundige functie f van een
variabele, bijvoorbeeld: g = f (t ) . De functie f drukt uit dat er voor elke mogelijke waarde
van variabele t één (ondubbelzinnige) waarde van f(t) is. Indien dit alleen maar geldt voor een
eindig interval, dan wordt dit interval bij de functie gegeven, bijvoorbeeld: t ≥ 0 of t ∈ N .
Het interval noemt men het domein van de functie, de verzameling van de mogelijke
functiewaarden f(t) heet het bereikFout! Bladwijzer niet gedefinieerd.. Men noemt f(t) de
afhankelijke variabele en t de onafhankelijke variabele.
Symbolen
In de wiskunde op school werden bijna altijd y en x voor de afhankelijke en onafhankelijke
variabelen gebruikt. In de natuurkunde is dat niet gebruikelijk. Daar wordt gewerkt met veel
verschillende grootheden en om die uit elkaar te houden hebben ze vaste symbolen. Een lijst
met symbolen van basisgrootheden staat achter in dit boek. De tijd heeft als onafhankelijke
variabele altijd het symbool t . Voor de plaats in een rechthoekig assenstelsel gebruikt men x,
y en z voor de coördinaten. In de plaats-tijdfunctie is x de afhankelijke variabele.
Het symboolgebruik bij natuurkunde is hoofdlettergevoelig. De temperatuur is altijd
hoofdletter T.
Meerdere variabelen
De grootheid g kan afhankelijk zijn van meerdere variabelen, bijvoorbeeld t en x en m of nog
andere. Men schrijft dan g = f (t , x, m ) of g t , x ,m , eventueel met de bijbehorende domeinen.
Bijvoorbeeld, bij golven op een wateroppervlak is de uitwijking u zowel van de plaats als van
de tijd afhankelijk, dus u(x,t). En dat geldt ook voor de temperatuurverdeling in een muur als
aan één kant de temperatuur verandert, dus T(x,t).
Limiet
De functie f (t ) heeft voor t = t1 een limiet L wil zeggen: f(t) nadert naar L als t nadert naar
t1 . Dit wordt geschreven als:
lim f ( t ) = L
t →t1
Wiskundig gezien betekent dit dat we f(t) zo dicht bij L kunnen laten komen als we willen
door t maar dicht genoeg bij, maar ongelijk aan, t1 te kiezen.
Merk op dat dit in de natuur niet realistisch is. De natuur is eindig. Het heeft in de
natuurkunde geen betekenis om te praten over afstanden kleiner dan 10-35 m of
tijdsverschillen kleiner dan 10-43 s.
[email protected]
58
Differentiëren, afgeleide
Afgeleide, differentiaalquotiënt
De afgeleide of het differentiaalquotiënt van een functie f(t) in het punt t=T is gedefinieerd als
∆f
de limiet van het differentiequotiënt
als ∆t → 0 :
∆t
df (t )
⎡ f (T + ∆t ) − f (T ) ⎤
= lim ⎢
⎥⎦
∆t
dt t =T ∆t →0 ⎣
In de grafiek van f(t) is de afgeleide van f in het punt T de richtingscoëfficiënt van de raaklijn
in het punt T. De afgeleide geeft aan hoe de waarde van een functie verandert in de buurt van
een bepaalde waarde van de onafhankelijke variabele.
f (t )
f T + ∆t
∆f
fT
∆t
T
t
Figuur 24 De grootheid g = f(t) tegen t
∆f
een breuk is. Voor het differentiaalquotiënt geldt dit niet en daarom nadert
∆t
die niet naar oneindig als ∆t → 0 . Het ontstaat door het uitvoeren van een operatie op de
functie en niet door het delen van twee grootheden df en dt. Om dit operatiekarakter te
d
benadrukken wordt deze notatie gebruikt:
f (t ) .
dt
Merk op dat
Afgeleide functie, differentiëren
De afgeleide functie (ook gewoon afgeleide genaamd) is de verzameling
differentiaalquotiënten voor alle waarden van variabele t. Het is een nieuwe functie. Het
bepalen van deze afgeleide functie heet differentiëren. De afgeleide van een functie f kan
genoteerd worden met behulp van een accent:
df
d
f '=
=
f (t )
dt dt
Puntnotatie
Nadeel hiervan is dat je er niet aan kunt zien wat de variabele is. Omdat we in de natuurkunde
werken met zoveel verschillende variabelen, is dat onhandig. Alleen als de variabele de tijd is
(altijd weergegeven door de letter t), dan gebruiken we de punt notatie:
[email protected]
59
df
d2 f
f = 2
dt
dt
Door herhaaldelijk te differentiëren kunnen hogere afgeleiden verkregen worden, de tweede
afgeleide van f(t) is bijvoorbeeld:
d2 f
d df
d
=
=
f = f
2
dt
dt dt dt
f =
Partieel differentiëren
Een grootheid kan van meer dan 1 variabele afhangen, bijvoorbeeld f(t,x). (staat er al eerder)
Hierdoor zijn in één punt meerdere afgeleiden mogelijk. De functie f(t,x) kan dan partieel, dat
wil zeggen naar één van de variabelen - worden gedifferentieerd. Daarbij behandelt men t als
een constante als de afgeleide naar x wordt bepaald en x als een constante bij het bepalen van
de afgeleide naar t.
Partiële afgeleiden worden geschreven met speciale tekens, de kromme d’s ( ∂, niet δ ):
∂ ( xt 2 )
= t2
∂x
en
∂ ( xt 2 )
= 2 xt .
∂t
Regels voor differentiëren
Voor het nemen van een afgeleide van een functie bestaan eenvoudige regels, die we zonder
afleiding geven. Als f en h twee functies zijn met dezelfde variabele t en als c een constante
is, geldt voor het differentiëren van
d
df dh
een som, verschil:
( cf ± h ) = c ± ,
dt
dt dt
d
df
dh
een product:
( cfh ) = c h + cf ,
dt
dt
dt
dh df
f
− h
d ⎛ f ⎞
dt
dt .
een quotiënt:
⎜ ⎟=
dt ⎝ h ⎠
h2
Kettingregel
Belangrijk is ook de kettingregel:
Als f een kettingfunctie is: f(t)=f(h(t)), dan geldt voor de afgeleide:
d
df (h) dh(t )
f (t ) =
.
dt
dh
dt
(
d 1+ x
Bijvoorbeeld
dx
[email protected]
)
2
=
( ) d (1 + x ) = 2(1 + x )
dx
d (1 + x )
d 1+ x
2
1
2
x
− 12
=
1+ x
x
.
60
Integreren, primitieve
De primitieve functie (ook gewoon primitieve genaamd) is in zekere zin het omgekeerde van
de afgeleide. De primitieve van f(t) geven we aan met F(t). Als men F(t) differentieert, dan is
f(t) daarvan de afgeleide. Bijvoorbeeld:
f (t ) = cos t heeft als primitieve: F (t ) = sin t + C .
Integreren is het bepalen van de primitieve van een functie.
De primitieve functie noemt men ook de onbepaalde integraal. Deze wordt weergegeven als
F (t ) = ∫ f (t )dt .
Integratieconstante
In de primitieve is C de integratieconstante. Voor elke waarde van C is de afgeleide van F(t)
gelijk aan f(t), omdat de afgeleide van een constante gelijk aan 0 is. Deze constante is dus
nodig om de volledige verzameling primitieve functies weer te geven met dezelfde afgeleide
f(t). In een bepaalde situatie moet/mag C zodanig gekozen worden dat dit bij de situatie past
door bijvoorbeeld een beginwaarde vast te leggen.
Bijvoorbeeld, bij een snelheidsfunctie
vt = f (t ) = gt + v0
is de primitieve
xt = F (t ) = 12 gt 2 + v0t + C .
Het ligt voor de hand C in overeenstemming te brengen met de waarde van x op t=0: C=x0.
Integraal als oppervlak
In het vwo heb je een integraal als een oppervlak leren kennen. In het diagram met de grafiek
van f t is ‘het oppervlak onder de grafiek’ voor het interval ∆t gelijk aan de integraal van de
functie over dit interval:
f gem ∆t = ∫ f t dt .
∆t
f(t)
Figuur 25 Integraal als oppervlak
Let op dat de eenheid van ‘het oppervlak’ hier niet m2 is, maar dat die volgt uit het product
van de afhankelijke en de onafhankelijke variabele.
In diverse onderdelen van de natuurkunde komen naast integralen over een interval (1
dimensie) ook integralen over een oppervlak (2 dimensies) voor, of over een ruimtelijk gebied
(3 dimensies). Het idee van de integraal als een ‘oppervlak’ moet je dan loslaten.
[email protected]
61
Een bepaalde integraal berekenen
Een integraal die begrensd is door een bepaald domein heet een bepaalde integraal. Indien
van f(t) het functievoorschrift bekend is, dan vindt men de bepaalde integraal door de
primitieve functie op te stellen en het verschil te berekenen tussen de eindwaarde en de
beginwaarde van deze primitieve:
t2
∫ f (t )dt = F (t )
t1
t2
t1
= F (t2 ) − F (t1 )
Bijvoorbeeld:
∫
3
1
3
x 2 dx = 13 x 3 | = 9 − 13 = 8 23
1
Achter de primitieve geeft een verticale streep aan dat het verschil moet worden berekend
tussen het einde van het domein (boven) en het begin (onder).
Het afleiden van de primitieve uit het functievoorschrift heb je vaak nodig bij het oplossen
van een belangrijk type vergelijkingen: de differentiaalvergelijkingen.
Lijst met afgeleiden en primitieven
Afgeleide
0
0
Functie
0
a
Primitieve
C
at + C
nt n −1
tn
−1
t2
1
t
1 n +1
t (n ≠ −1) + C
n +1
1
t
ln | t | + C
ln t
ae at
e at
a cos at
sin at
− a sin at
cos at
t ln t − t
(t > 0) + C
1 at
e +C
a
1
− cos at + C
a
1
sin at + C
a
Merk op dat je een gevonden primitieve functie kunt controleren door die te differentiëren.
Differentiaalvergelijkingen
Een vergelijking die minstens 1 afgeleide bevat, noemen we een differentiaalvergelijking. We
korten dit af met ‘DV’. Talloze natuurkundige problemen worden door met behulp van DV-en
beschreven.
Er zijn verschillende types DV-en en voor elk type zijn er aanbevolen, want succesvolle,
oplossingmethodes. Daarvan worden er hier 3 beschreven. We kiezen steeds t als de
onafhankelijke variabele. De oplossing bestaat altijd uit een verzameling functies. Door een
[email protected]
62
goede keuze van de integratieconstante selecteert je de functie die past bij het werkelijke
probleem.
Typering DV
Bij een specifiek systeem hoort vaak een bepaald type DV. Ook zijn oplossingsmethodes vaak
gebonden aan het type DV. Typering gebeurt op grond van de volgende criteria:
Orde
In de DV bepaalt de nde afgeleide met de grootste n welke orde de DV heeft. Wij beperken
ons tot DV’s van de eerste en de tweede orde. De algemene vorm is:
df
d2 f
+ a2 f = β
a0 2 + a1
dt
dt
Lineair/niet-lineair
De DV is lineair als f en alle afgeleiden van f alleen in de 1ste macht voorkomen. Een DV
2
⎛ df ⎞
waarin f 2 of ⎜ ⎟ voorkomt is dus niet lineair.
⎝ dt ⎠
Homogeen/inhomogeen
Als in de vergelijking alleen termen voorkomen die van t afhankelijk zijn - dus als β = 0 - dan
is de DV homogeen. Dus m
d2 f
d2 f
=
0
is
homogeen,
m
= g is niet homogeen.
dt 2
dt 2
Oplossen van een lineaire DV
Sommige DV-en kun je analytisch oplossen. Daarvoor zijn de volgende methodes te
gebruiken.
Integratie
Oplossen door simpelweg te integreren is in enkele gevallen mogelijk, namelijk als er maar
één term met f of een afgeleide van f in de DV voorkomt.
Bijvoorbeeld:
df
d2 f
= − g , met als oplossing:
= − gt + C1 → f (t ) = − 12 gt 2 + C1t + C2
2
dt
dt
Deze vergelijking beschrijft bijvoorbeeld de vrije val van een voorwerp.
Scheiding van variabelen
Het scheiden van variabelen is een iets algemenere methode dan de vorige, maar werkt alleen
bij sommige eerste orde DV-en, bijvoorbeeld:
df
+ kf = 0
dt
[email protected]
63
Dit is een homogene lineaire DV van de 1ste orde. Dit type kom je tegen bij radioactief verval,
bij de snelheid van bewegingen waarin alleen wrijving een rol speelt en bij het (ont)laden van
een condensator.
Het oplossen gaat als volgt:
o Breng alle termen met f naar
de ene en alle termen met t
naar de andere kant
o Integreer beide kanten
df
= −kdt
f
1
∫ f df = ∫ −kdt
ln f = − kt + C
o Bereken het resultaat van de
integratie
o Maak f vrij en kies C passend
bij de situatie
f = e − kt +C = f (0)e− kt
Soms kan een 2e orde lineaire DV herschreven worden als een 1e orde DV, zodat deze toch
door scheiding van variabelen opgelost kan worden, bijvoorbeeld:
d2 f
df
df
= −a − g
h=
wordt met
2
dt
dt
dt
dh
= − ah − g
dt
met als oplossing:
dh
1
dh = −(ah + g )dt →
dh = ∫ − dt →
= − dt → ∫
ah + g
ah + g
− g 1 − at − aC
1
+ e e
ln(ah + g ) = −t + C → ah + g = e − at − aC → h =
a
a a
Deze vergelijking beschrijft bijvoorbeeld een vrije val met wrijving.
Karakteristieke vergelijking
Lineaire homogene DV-en komen in de natuurkunde veel voor. De algemene
oplossingsmethode maakt gebruik van de karakteristieke vergelijking.
We nemen de algemene vorm voor een lineaire homogene DV van de 2e orde:
d2 f
df
a0 2 + a1
+ a2 f = 0
dt
dt
Het oplossen gaat als volgt:
o Substitueer voor f een exponentiële functie, bijvoorbeeld e αt .
o Na invullen en differentiëren blijft staan:
α 2 a0eαt + αa1eαt + a2eαt = (a0α 2 + a1α + a2 )eαt = 0.
o De e-macht kan buiten haakjes gehaald worden. Er geldt dus dat wat binnen de
haakjes staat gelijk moet zijn aan 0: a0α 2 + a1 α + a2 = 0.
o Deze laatste 2de graadsvergelijking in α heet de karakteristieke vergelijking en
heeft 2 oplossingen: α1, 2 =
[email protected]
− a0 ± a12 − 4a0 a2
2a1
64
o De algemene oplossing is nu de som van beide mogelijke oplossingen:
f (t ) = C1eα1t + C2 eα 2t
Is er sprake van een inhomogene DV, dan is de bovengenoemde oplossingsmethode niet
toereikend. We kunnen hem echter wel gebruiken om de uiteindelijke oplossing te vinden,
vanwege de volgende stelling, die hier zonder bewijs wordt gegeven:
De algemene oplossing van een inhomogene lineaire DV is de som van:
1. de algemene oplossing van de homogene DV
2. een particuliere oplossing voor de inhomogene DV.
Een particuliere oplossing is een concrete oplossing, zonder integratieconstanten. Het vinden
van een particuliere oplossing is vaak wat gepuzzel.
Voorbeeld: Een massa-veersysteem
Dit systeem wordt beschreven door de volgende DV:
d 2x
+ γ x = −g
dt 2
Een particuliere oplossing van deze inhomogene DV is:
−g
x(t ) =
γ
De oplossing van de homogene DV vinden we m.b.v. de karakteristieke vergelijking:
α2 +γ = 0
Je ziet: we vinden op deze manier heel snel en elegant een oplossing voor α , als we maar de
wortel konden nemen van een negatief getal: α = ± − k . Dat kan echter alleen als we
betekenis toekennen aan − 1 . Dit gebeurt in de theorie van de complexe getallen, waar
i = −1
en
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
Maar dit valt buiten het bestek van dit boek.
Methode van Euler
2
β ⎛ dx ⎞
d 2x
= − ⎜ ⎟ is niet lineair, omdat de eerste afgeleide in het
2
dt
m ⎝ dt ⎠
kwadraat voorkomt. Een algemene oplossing vinden lukt nu niet. Het is wel mogelijk de DV
voor een bepaald geval door numeriek integreren op te lossen. Een eenvoudige methode
hiervoor is de methode van Euler.
De differentiaalvergelijking
Bij het gebruik van de methode van Euler houdt men gedurende een klein tijdsinterval ∆t de
variabelen (zoals a, v en x) constant. Indien op een begintijdstip t n de numerieke waarden van
deze variabelen bekend zijn, dan berekent men nieuwe waarden voor het volgende tijdstip
t n +1 = t n + ∆t
met
a n +1 = f v , x
v n +1 = v n + a∆t
x n +1 = x n + v∆t
[email protected]
65
En dezelfde procedure wordt voor het volgende interval herhaald, enzovoort. Het is van groot
belang om het interval ∆t voldoende klein te kiezen. Door in elke cyclus een teller te plaatsen
en alle tussenresultaten te bewaren kunnen de grafieken van de variabelen als functie van de
tijd (of van andere variabelen) worden weergegeven. Een spreadsheet leent zich hier goed
voor. Zie in het hoofdstuk over ‘rechtlijnige bewegingen’ staat een voorbeeld.
[email protected]
66
II . Vectoren
1. Vectoriële grootheden
Afstand, temperatuur, volume, massa, energie zijn voorbeelden van scalaire grootheden. Ze
hebben alleen een grootte (met een bepaalde eenheid).
Symbool
Veel grootheden hebben ook een richting.
Een voorbeeld is de verplaatsing. De
nieuwe plaats van een voorwerp weet je
pas als je én de richting én de grootte van
de verplaatsing kent.
Grootheden die een grootte en een
richting hebben, heten vectoren.
Vectoren worden aangeduid met een pijl
boven het symbool van de grootheid. Zo
noteert men verplaatsing als ∆r .
De grootte van een vector wordt
eenvoudig zonder pijl aangeduid, als ∆r ,
of met rechte strepen: ∆r of het symbool
zonder pijl ∆r .
Vector
Verplaatsing
Snelheid
Versnelling
Kracht
Engelse term
Net displacement
Velocity
Accelaration
Force
Impuls
Momentum
S
r
Stoot (krachtstoot)
I Impulse
Arm
M
ω
L
E
B
Moment
Hoeksnelheid
Impulsmoment
Lever arm
Torque
Angular velocity
Angular momentum
Elektrische veldsterkte
Electric field
Magnetische inductie
Magnetic field
∆r
v
a
F
p
s
v
I
Φ
τ
Let op: scalair zijn
Afgelegde weg
Gemiddelde
baansnelheid
Stroomsterkte
Flux
Total displacement
Speed
Electric current
Flux
In dit hoofdstuk behandelen we de rekenregels voor vectoren. De meeste zijn in het
voortgezet onderwijs toegepast zonder erbij stil te staan.
Verschuiven
Twee vectoren zijn gelijk als hun grootte en richting gelijk zijn; een vector verandert dus niet
door een verschuiving.
Anders geschreven:
A = B als
A
B
A = B en A en B dezelfde richting hebben.
Dit geldt niet helemaal voor krachtvectoren die
werken op een lichaam dat kan draaien en rotatie-energie kan hebben. In dit geval verandert
door het evenwijdig verschuiven van een kracht immers het moment van de kracht, volgens
M = Fr .
[email protected]
67
Optellen
De somvector van twee
vectoren A en B vind je door:
B te laten aansluiten op A
de vector te nemen vanaf het
beginpunt van A naar het eindpunt
van B :
C = A+ B
B
C
By
Cy
A
Ay
φ
Ax
Bx
Cx
Bij het optellen mag de volgorde
worden verwisseld, dus:
A+ B = B+ A.
Men kan A en B een parallellogram laten vormen, C is dan de diagonaal vanuit het
gemeenschappelijke beginpunt.
Ontbinden in componenten
Uit de optelregel volgt dat elke vector kan worden gesplitst in twee willekeurige vectoren en
dus ook in twee vectoren die evenwijdig zijn aan de assen van het gekozen assenstelsel. Men
noemt dit ontbinden in componenten. Het ontbinden in componenten gaat aan bijna alle
bewerkingen met vectoren vooraf.
Wij gaan steeds uit van een rechthoekig assenstelsel ( x, y ) . De vector A kan men ontbinden
in een vector Ax evenwijdig aan de x-as met de lengte Ax en een vector Ax evenwijdig aan de
y-as met de lengte Ay . (zie figuur)
Er geldt voor de grootte:
A=
Ax2 + Ay2
en voor de hoek ϕ tussen de x-as en A :
ϕ = arctan
Ay
Ax
Ax = A ⋅ cos ϕ
Ay = A ⋅ sin ϕ
Ook geldt
en
Eenheidsvector
Om de relatie tussen de vector A en de scalaire grootheden Ax en Ay correct te beschrijven,
moeten vectoren evenwijdig aan de x-as en de y-as worden gedefinieerd. Dit gebeurt
respectievelijk met de eenheidsvectoren iˆ en ĵ . De eenheidsvectoren hebben per definitie de
lengte 1 en geen eenheid en hebben daardoor
z
geen invloed op de berekening van de lengte
of
de hoek. De vector A uit de tekening wordt
geschreven als:
A = Ax + Ay = Ax iˆ + Ay ˆj
k̂
ĵ
[email protected]
iˆ
x
y
68
Een driedimensionale ruimte beschrijven wij in dit boek met een rechthoekig assenstelsel
( x, y, z ) en drie eenheidsvectoren (iˆ, ˆj , kˆ) . Poolcoördinaten en bolcoördinaten gebruiken wij
hier niet.
Volgens afspraak werken we met een rechtsdraaiend assenstelsel. De eenheidsvector kˆ past
volgens de rechterhandregel bij iˆ en ĵ . Zie ‘richting uitproduct’.
(In de tekening komt de x-as het blad uit, in de richting van de lezer.)
2. Som- en verschilvector
Somvector
Ga voor het bepalen van de som van twee vectoren als volgt te werk:
- ontbind beide vectoren in componenten
- tel de componenten langs de x-as op en doe hetzelfde langs de y-as
- schrijf de somvector met behulp van de eenheidsvectoren
- bereken de lengte van de somvector en de hoek die de somvector maakt met de x-as.
Voor C = A + B houdt dit in:
bepaal Ax , Ay , B x en B y , eventueel met de sinus- en cosinusformule.
nu is C x = Ax + B x en C y = Ay + B y
C = C x iˆ + C y ˆj = ( Ax + B x )iˆ + ( Ay + B y ) ˆj
Vervang C x en C y in de formules voor de lengte en de richting.
Toepassingen
Enkele veelvoorkomende situaties waarbij somvectoren aan de orde zijn:
als je het resultaat van verschillende verplaatsingen wilt weten
als je de snelheid moet bepalen op een zeker tijdstip
na een ‘horizontale worp’
van iets dat in een medium beweegt terwijl dat medium zelf beweegt
als je een resulterende kracht op een lichaam moet berekenen
als je de elektrische veldsterkte wilt bepalen in de buurt van geladen deeltjes
als je het magnetische veld van twee of meer magneten of elektrische stromen wilt kennen.
[email protected]
69
Voorbeeld:
Iemand zwemt naar de overkant van een rivier en is op elk moment loodrecht op de oevers
gericht. Zijn snelheid loodrecht op de oever is 0,8 ms -1 . De stroomsnelheid van het water is
overal 0,1 ms -1 . Bereken de hoek tussen de baan van de zwemmer en de kortste
verbindingslijn tussen de oevers.
Uitwerking:
We kiezen de oever als de x-as en een loodlijn daarop als
de y-as. De snelheid v van de zwemmer ten opzichte van
iemand die op de oever staat te kijken wordt bepaald door
2 componenten:
−1
-1
v x = 0,1 ms en v y = 0,8 ms .
vy
vx
ϕ
De vectorvoorstelling is v = 0,1 ⋅ iˆ + 0,8 ⋅ ˆj ms -1
v
1
⇒ ϕ = 70
De hoek ϕ volgt uit ϕ = arctan x = arctan
vy
8
oever
Zie verder hoofdstuk I-4 voor een voorbeeld van het berekenen van de elektrische veldsterkte
in een punt in de buurt van twee geladen lichamen.
Verschilvector
Er zijn twee manieren om de verschilvector te
bepalen:
De verschilvector A − B kan worden opgevat als de
somvector A + (− B) . De vector − B is even groot
als B en heeft de tegengestelde richting heeft.
laat − B aansluiten op A
volg de oplossingsmethode voor de somvector die
hierboven is beschreven.
Hebben in een tekening de vectoren A en B al
hetzelfde beginpunt, bedenk dan wat de betekenis is
van een ‘verschil’:
A − B is de vector die bij B moet worden opgeteld
om A te krijgen.
C is de vector die gaat van de punt van B naar de
punt van A . En niet omgekeerd!
B
A
−B
C
C
B
A
Voorbeeld 3:
Een helikopter vliegt bij een zuidenwind van 10 ms-1 in een rechte lijn naar het noordoosten.
In die richting is de snelheid ten opzichte van de grond 60 ms-1.
De lengteas van de helikopter maakt een hoek ϕ ten opzichte van het noordoosten.
[email protected]
70
Bereken ϕ .
Uitwerking:
De snelheid v in noordoostelijke richting die is
gegeven, is de som van twee vectoren:
- de snelheid h van de helikopter ten opzichte
van de lucht en
- de snelheid w waarmee de helikopter met de
wind meedrijft. Deze vector is ook gegeven.
noord
hx
De lengteas van de helikopter heeft dezelfde
richting als de verschilvector van v en w .
We kiezen de x-as naar het oosten en de y-as
naar het noorden. Dan is de gevraagde hoek
ϕ = α − 45 o .
h
hy
v
α
wy
45 o
oost
Er geldt:
1
2 ms -1 = 42 ms -1 .
2
-1
Nu is hx = v x = 42 ms en h y = v y − w y = 42 − 10 = 32 ms -1
v y = v x = v cos 45 =
0
60 ⋅
De hoek α volgt uit α = arctan
hx
42
= arctan
= 530
hy
32
⇒ ϕ = 80
3. Vectorproducten
Product met een scalar
Het vermenigvuldigen van een vector met een positief getal heeft geen invloed op de richting,
alleen op de lengte. Een negatieve scalar keert de richting om, bijvoorbeeld in de wet van
Hooke:
F = −α ⋅ x
Inproduct
In het voortgezet onderwijs werd arbeid berekend met W = Fs . Dit is een vectorproduct, want
F en s hebben allebei een richting. Toch heeft hun product geen richting, de arbeid W is een
scalar. Dit type product heet inproduct. Het symbool is • vandaar ‘dot product’ in het Engels.
De juiste schrijfwijze voor de arbeid is:
W = F •s
bij een constante kracht:
W = ∫ F • dr
en in het algemeen:
Het inproduct heeft alleen een waarde ≠ 0 als de twee vectoren een component in dezelfde of
in tegengestelde richting hebben. In een driedimensionale ruimte is het inproduct van B en C :
[email protected]
71
A = B • C = Bx C x + B y C y + Bz C z
Mag het assenstelsel vrij worden gekozen,
neem dan de x − as langs de ene vector en
de y − as loodrecht daarop.
Met de x − as langs C is:
A = B • C = Bx C x + B y ⋅ 0 = Bx C x
of
B
α
A = BC cos ϕ
Staan de vectoren loodrecht op elkaar dan is hun
inproduct 0 .
C
Rekenregels inproduct
A • B = AB cos ϕ
A • A = A2
B • A = A• B
B+C • A = B• A+C • A
(
)
B • (αA) = α ( B • A)
iˆ • iˆ = 1 ˆj • ˆj = 1 kˆ • kˆ = 1
iˆ • ˆj = 0 ˆj • kˆ = 0 kˆ • iˆ = 0
Toepassingen
De zwaartekracht verricht geen arbeid op een voorwerp dat langs een horizontale weg
beweegt (cos ϕ = 0) .
De spankracht in de touwen van een schommel verricht geen arbeid omdat deze kracht
loodrecht op de bewegingsrichting van de schommel staat (cos ϕ = 0) .
De energie van een geladen deeltje verandert niet als het beweegt in een equipotentiaalvlak.
De elektrische veldsterkte (en kracht) staan loodrecht op dit vlak: cos ϕ = 0 .
In het vwo leert men dat de magnetische flux door een omsloten oppervlak in een homogeen
veld wordt gegeven door
Φ = BA cos α ,
met α de hoek tussen B en de loodlijn op het oppervlak. Voor het berekenen van de flux is dat
voldoende. In de wetenschappelijke notatie moet echter tot uitdrukking komen dat
zowel B als A vectoren zijn en hun product een inproduct is. De flux zelf is geen vector:
Φ = ∫∫ B • d A
Het dubbele integraalteken geeft aan dat geïntegreerd wordt in 2 dimensies.Een oppervlakteelement dA is een vector loodrecht op het oppervlak.
In het vwo leert men dat elektrische veldlijnen loodrecht eindigen op het oppervlak van een
geleider en dat de hoeveelheid veldlijnen afhangt van de lading. Dit is een van de wetten van
Gauss die in colleges over elektriciteit zal wordt geschreven in de vorm:
Q
∫ E • dA = Φ EL =
S
ε0
[email protected]
72
Het integraalteken betekent hier dat moet worden geïntegreerd over het gehele oppervlak dat
de geleider omsluit. Q is de omsloten lading.
In het vwo leert men dat op een afstand r van een rechte stroomdraad de magnetische
inductie B evenredig is met de stroomsterkte I volgens
I
B = µ0
(in vacuüm)
2π r
Deze experimenteel door Biot en Savart geformuleerde wet wordt beter beschreven door:
∫ B • d = µ0 I
Hierin geeft het teken
∫
aan dat de intergratie over een gesloten kromme plaatsvindt en dat
dit niet altijd een cirkel met omtrek 2π r hoeft te zijn. Het inproduct betekent dat steeds de
component van B langs de baan met de verplaatsing d (uiteraard een vector) wordt
vermenigvuldigd. De formule drukt uit dat elke gesloten magnetische veldlijn een
stroom I omvat. En merk op dat I geen vector is!
Uitproduct
Voor het uitproduct gebruikt men het teken × , zoals in A × B . De Engelse term is ‘cross
product’. De uitkomst is een vector.
Zonder het te beseffen werken scholieren met het vectoriële uitproduct. Bijvoorbeeld voor het
benoemen van de richting van het krachtmoment ( M = Fr ) of van de richting van de
Lorentz-kracht bij een bewegende lading ( F = Bqv ) of bij op een stroomvoerende
draad( F = BIl sin α ). In het vwo wordt de richting echter los van de grootte behandeld en niet
scherp door de gebruikte formules gedefinieerd. Ook is de volgorde waarin de grootheden
worden genoemd ongelukkig.
z
Richting uitproduct
We grijpen terug op het plaatje voor de
eenheidsvectoren in een rechtsdraaiend,
rechthoekig assenstelsel (zie p..).
Hierin is per definitie
iˆ × ˆj = kˆ
Voor de richting van het uitproduct gebruikt men
dus de rechterhandregel:
draai de eerstgenoemde vector over de kleinste
hoek naar de tweede vector
krom de vingers van de rechterhand in de draairichting
dan geeft de duim de richting van het uitproduct.
k̂
ĵ
y
iˆ
x
ˆj × kˆ = iˆ en kˆ × iˆ = ˆj en dat iˆ × kˆ = − ˆj
Controleer dat ook geldt:
(Geheugensteun: houd de volgorde i, j, k, i.. aan.)
Verwisselen van de volgorde heeft een vector in de tegengestelde richting als uitkomst, dat
wil zeggen: met een minteken. Dus pas op!
Grootte uitproduct met een sinus
B
[email protected]
α
A
73
In tegenstelling tot bij het inproduct, waar alleen de (anti)parallelle componenten effectief
zijn, zijn bij het uitproduct alleen de loodrecht op elkaar staande componenten effectief. Voor
de grootte van het uitproduct C = A × B , met α de kleinste hoek tussen beide vectoren, geldt:
C = AB sin α
Misschien herkent men hierin de formules FL = Bqv sin α en FL = BIl sin α voor de Lorentzkracht. Niet verwonderlijk, want de Lorentz-kracht is een uitproduct. Om de juiste richting
voor FL te krijgen, moeten de variabelen echter in een andere volgorde worden geschreven dan
gebruikelijk is in vwo-boeken:
FL = q (v × B ) en FL = qvB sin α
FL = I ( × B) en FL = I B sin α
Grootte uitproduct met componenten
Ten opzichte van een rechthoekig (en rechtsdraaiend!) assenstelsel ( x, y, z ) kunnen de
vectoren A en B worden geschreven als:
A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ
B = B iˆ + B ˆj + B kˆ
x
y
z
Voor het uitproduct C = A × B geldt nu (let op het cyclisch verwisselen van de gebruikte
indices in de volgorde i, j, k, i, .. etc.):
C = A × B = ( Ay B z − Az B y )iˆ + ( Az B x − Ax B z ) ˆj + ( Ax B y − Ay B x )kˆ
Controleer voor het krachtmoment – waarbij r̂ de richting van iˆ heeft en F̂ de richting
van ĵ – dat:
M = (rF − 0 ⋅ 0)kˆ = rFkˆ
Waarom gebruikt men voor ‘cross product’ het teken ‘× ’?
Analyseer de volgende schrijfwijze en ga na welke coëfficiënten een bijdrage leveren aan C x
en welke – na het cyclisch verwisselen van de indices – aan C y .
C x iˆ
iˆ
C y ˆj = Ax
C z kˆ B x
ˆj
Ay
By
kˆ
Az
Bz
C x iˆ
ˆj
iˆ
= .... Ay
.... B y
kˆ
Az
Bz
ˆj kˆ
C y ˆj = .... Az
.... B z
iˆ
Ax
Bx
Bedenk dat de coëfficiënten van A en B langs de x-as geen bijdrage leveren aan C x omdat de
uitproducten van iˆ met ˆj en kˆ nul zijn. Controleer dit zelf.
Duidelijk is ook dat –indien mogelijk- het berekenen van het uitproduct met de sinusfactor
eenvoudiger is.
Rekenregels uitproduct
iˆ × ˆj = kˆ ˆj × kˆ = iˆ kˆ × iˆ = ˆj
iˆ × iˆ = 0 ˆj × ˆj = 0 kˆ × kˆ = 0
[email protected]
74
A × B = AB sin α
A × B = −B × A
A × αB = α ( A × B )
Toepassingen
Genoemd zijn al de toepassing van het uitproduct voor de vector voor het krachtmoment en de
Lorentz-kracht. In mechanicacolleges over rotaties (ook bij bouwmechanica en biomechanica)
en bij de colleges over elektriciteit en magnetisme zullen geregeld uitproducten aan de orde
komen.
Een voorbeeld van de Lorentz-kracht als uitproduct wordt gegeven in hoofdstuk I-4. Daarin
wordt de afbuiging van elektronen in het aardmagnetische veld bekeken.
4. Differentiëren met vectoren
Differentiëren naar de tijd
Differentiëren naar de tijd is een scalaire operatie. Het differentiëren van een vectorgrootheid
naar de tijd levert opnieuw een vector op.
dp
dq
en
=I
=F
dt
dt
Differentieer eerst elke component en bepaal daarna de vectorsom:
dp dp x ˆ dp y ˆ dp z ˆ
=
i+
j+
k = Fx iˆ + Fy ˆj + Fz kˆ = F
dt
dt
dt
dt
Bij pool- en bolcoördinaten zijn niet alle eenheidsvectoren altijd constant en moet bij het
differentiëren de kettingregel worden toegepast.
Rekenregels differentiëren naar de tijd
d
dA dB
( A + B) =
+
dt
dt dt
d
dβ
dA
( β A) = A
+β
dt
dt
dt
d
dA
dB
( A • B) =
• B + A•
dt
dt
dt
d
dA
dB
( A × B) =
× B + A×
dt
dt
dt
Nabla-operator: differentiëren naar de plaats
Grootheden waaraan in elk punt van een ruimte een waarde kan worden toegekend heten
veldgrootheden en deze grootheden kan men differentiëren naar de plaats. Men differentieert
dan afzonderlijk langs elke as van het assenstelsel. Deze operatie heeft een richting en wordt
[email protected]
75
als een vector geschreven. Het symbool is ∇ (Hamiltonoperator of Nabla; Engels ‘Del
operator’):
d ˆ d ˆ
d
∇ = iˆ +
j+ k
dz
dy
dx
Er zijn met de nabla-operator 3 mogelijkheden:
Gradiënt
→
De gradiënt in een scalair veld U (symbool ∇U of grad U ; ook in het Engels).
dU ˆ dU ˆ dU ˆ
∇U =
i+
j+
k
dz
dy
dx
Hierbij is de veldgrootheid een scalar, bijvoorbeeld: de hoogte in het landschap (2
dimensionaal) en de temperatuur in de atmosfeer (3 dimensionaal). De operatie geeft aan hoe
sterk de veldgrootheid in een bepaalde richting verandert. De uitkomst is een vector.
In de natuurkunde voor het vwo komt een gradiëntoperatie voor bij de beschrijving van het
elektrische veld (homogeen veld, 1 dimensie):
dV
E=−
dx
In woorden: de elektrische veldsterkte is de negatieve gradiënt van de potentiaal. Als x
dV
dV
= 0 en
= 0.
loodrecht op het equipotentiaalvlak staat, dan is
dy
dz
Divergentie
De divergentie is het inproduct van ∇ met een vectorveld U .
Het symbool is div U of ∇U . In het Engels spreekt men van divergence. De uitkomst is
scalair.
dU x dU y dU z
∇ •U =
+
+
dx
dy
dz
Bijvoorbeeld: de windrichtingen op een weerkaart vormen een (2 dimensionaal) vectorveld.
De elektrische veldsterkte en de magnetische inductie zijn ook vectorvelden.
In het elektrische veld geldt:
Q
∇•E =
ε0
De divergentie geeft aan of op het gehele oppervlak dat een ruimte omsluit evenveel
veldlijnen inkomen als er uitgaan. Als ∇ • E > 0 dan is er een verschil, omdat een positieve
lading wordt omsloten. En zoals elke scholier eigenlijk wel weet, geldt voor het magnetische
veld altijd ∇ • B = 0 . Want er bestaan geen magnetische monopolen en hierdoor keren altijd
evenveel veldlijnen op de zuidpool van de magneet terug als op de noordpool vertrekken.
Rotatie
De rotatie is het uitproduct van ∇ met een vectorveld U .
[email protected]
76
→
→
Het symbool is rot of ∇ × , in het Engels: curl . De uitkomst is een vector loodrecht op de
veldgrootheid.
dU y
dU
dU
dU z ˆ dU y dU x ˆ
∇ ×U = ( z −
−
)iˆ + ( x −
)j+(
)k
dy
dz
dz
dx
dx
dy
Een voorbeeld dat velen wel ‘in woorden’ kennen, is
dB
−
= ∇× E
dt
Dit is de inductiewet van Faraday: een verandering van het magnetische veld wekt een
elektrisch veld op en kan leiden tot een wervelstroom. Een vectorveld waarin ∇ × A = 0 noemt
men een wervelvrije ruimte.
[email protected]
77