Grondslagen van de Quantummechanica

Grondslagen van de Quantummechanica
Onzekerheidsvergelijkingen in Leerboeken
Victor Gijsbers
10 november 2002
1
Inleiding
Eén van de bekendste formules uit de quantummechanica is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg:
~
δq δp ≥ .
(1)
2
De relatie geeft aan dat de zekerheid van q omgekeerd evenredig is aan de
zekerheid van p. Wanneer δq heel klein is, moet δp heel groot zijn; ze kunnen
nooit beiden scherp bepaald zijn. Aan de afleiding, de interpretatie en het
gebruik van de relatie kleven echter allerlei subtiliteiten, waarvan wij vermoeden
dat deze in leerboeken niet juist uit de doeken gedaan worden. Het doel van dit
korte artikel is om te bekijken in hoeverre dit vermoeden juist is. De gebruikte
boeken zijn die van Dirac1 , Kemble2 en Bransden & Joachain3 .
Hiertoe moeten wij eerst besluiten op welke punten gelet dient te worden
bij het beoordelen van de leerboeken. Het dictaat4 geeft op pagina 79–89 een
expositie van de problemen die een rol spelen bij de onzekerheidsrelaties. In
1927 leidde E. H. Kennard de volgende ongelijkheid af,
∆ψ Q∆ψ P ≥
~
,
2
(2)
met ∆ψ Q de standaardafwijking in Q. Heisenberg beschouwde deze formule als
de wiskundige versie van het onzekerheidsprincipe. Twee jaar later leidde H. P.
Robertson een soortgelijke ongelijkheid af:
(∆ψ A)2 (∆ψ B)2 ≥
1
|h[A, B]− iψ |2 ,
4
(3)
waarvan Schrödinger een sterkere versie bewees. In tegenstelling tot wat vaak
beweerd wordt, zijn deze ongelijkheden echter geen wiskundige representaties
van de onzekerheidsrelaties. Vergelijking 3 geeft voor een eigentoestand van
operator A in het rechterlid 0, zodat er niets meer gezegd kan worden over
Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 3rd edition, 1947
C. Kemble, The Fundamental Principles of Quantum Mechanics, 1st edition, 1937
3 B. H. Bransden & C. J. Joachain, Quantum Mechanics, 2nd edition, 2000
4 Instituut voor Geschiedenis en Grondslagen van de Wiskunde en Natuurwetenschappen,
Grondslagen van de Quantummechanica, 9e editie, 2002
1 P.A.M.
2 Edwin
1
2
DE LEERBOEKEN
2
de onzekerheid in B. Het onzekerheidsprincipe volgt hier dus niet uit. Daarnaast hebben beide ongelijkheden de ‘fout’ dat ze gebruik maken van de standaardafwijking. Deze heeft de eigenschap dat de ‘staarten’ van de functie zwaar
meewegen. Hierdoor kunnen de toestanden van twee variabelen, bijvoorbeeld
q en p, uiterst scherp gepiekt zijn – zodat het product van de onzekerheden
willekeurig klein kan worden – terwijl de staarten van de toestanden er voor
zorgen dat de vergelijkingen 2 en 3 niet geschonden worden. Het belangrijkste punt waarop de leerboeken beoordeeld zullen worden is dan ook de vraag
hoe zij de onzekerheidsrelaties afleiden: doen zij dat, ten onrechte, met behulp
van de standaardafwijkingen, of op de wiskundig juiste wijze die in het dictaat
beschreven is?
De tweede vraag is of zij Bohr’s verklaring van het dubbele spleet experiment
uitleggen aan de hand van de onzekerheidsrelaties, wat foutief is. De derde vraag
is hoe de met vergelijking 1 corresponderende onzekerheidsrelatie tussen energie
en tijd wordt gepresenteerd; omdat tijd geen operator is, is deze relatie namelijk
niet equivalent met die van plaats en impuls.
2
2.1
De leerboeken
Dirac
De onzekerheidsrelaties worden behandeld in de paragraaf ‘Heisenberg’s principles of uncertainty’, pagina 97–99. Dirac introduceert hier ∆q 0 en ∆p0 , zonder
deze wiskundig te definiëren. ∆q 0 is de breedte van een domein in de plaatsruimte waarbuiten de kans om een deeltje aan te treffen erg klein is, en iets
dergelijks geldt voor ∆p0 . Dirac beschouwt nu een golfpakketje en arriveert met
behulp van Fourier-analyse op de volgende vergelijking:
∆q 0 ∆p0 = h.
(4)
Deze formule is volgens hem het onzekerheidsprincipe van Heisenberg, dat laat
zien dat “in the limit when either q or p is completely determined, the other is
completely undetermined”.
Het is uitermate lastig om na te gaan wat Dirac precies doet. Doordat hij
∆q 0 niet strak definiëert en bovendien de berekening die tot formule 4 leidt
niet expliciet uitvoert, kunnen we niet precies achterhalen welke maat voor
de onzekerheid Dirac hanteert. Wat wel opvalt is dat zijn formule, waarvan
hij stelt dat deze voor het optimale geval is, incorrect is met een factor 4π.
Bovendien volgt de conclusie die hij trekt niet uit zijn premissen. Immers, neem
een kansverdeling voor q die bestaat uit twee scherpe pieken, op een afstand d
van elkaar. Door d groter te maken kunnen we ∆q 0 zo groot maken als we willen
– immers, een gebied waarbuiten het deeltje bijna nooit zal zijn moet tenminste
een breedte d hebben. Maar hieruit blijkt dat uit een grote ∆q 0 niet volgt dat
de plaats van het deeltje “completely undetermined” is; in dit voorbeeld zijn er
maar twee mogelijke plaatsen om het deeltje aan te treffen, wat vrij ‘determined’
is.
Samenvattend kunnen we stellen dat Dirac het onzekerheidsprincipe niet op
een coherente en begrijpelijke manier naar voren brengt. Over een onzekerheidsrelatie tussen energie en tijd laat hij zich niet uit. Dirac beperkt zich dus tot
2
DE LEERBOEKEN
3
een relatie die slechts tussen plaats en impuls geldt. Ook het dubbele spleet
experiment komt niet voor in zijn boek.
2.2
Kemble
De onzekerheidsrelaties worden behandeld in de sectie ’The Heisenberg Uncertainty Principle’, pagina 72–77. Kemble stelt dat de quantitatieve vorm van
Heisenberg’s onzekerheidsrelatie de volgende formule is:
∆qk ∆pk ≥
~
.
2
(5)
Hierbij is ∆qk gedefiniëerd als de standaardafwijking:
(∆qk )2 = h(qk − hqk i)2 i.
(6)
Deze vergelijking wordt in het boek bewezen voor een Gaussisch golfpakket en
voor het algemene geval. Kemble leidt de onzekerheidsrelatie dus af met behulp
van standaardafwijkingen, waarvan wij gezien hebben dat ze daar niet voor
gebruikt kunnen worden. Zonder al te veel omhaal wordt vervolgens gesteld
dat relatie 5 ook opgaat voor tijd en energie. Dat tijd geen operator is in
de quantummechanica, en dat de standaardafwijking van de tijd dan ook niet
gedefiniëerd is, komt niet ter sprake. Ook bij Kemble komt het twee spleten
experiment niet voor.
2.3
Bransden & Joachain
In het veel modernere boek van Bransden en Joachain wordt het onzekerheidsprincipe besproken in een paragraaf genaamd ‘The Heisenberg uncertainty
principle’, pagina 69–77, en later opnieuw op pagina 213–216. De auteurs geven
een strakke definitie van ∆x en ∆px binnen de context van een Gaussisch golfpakket, als de breedte van de piek op de hoogte waar deze tot 1/e van zijn
maximale waarde is afgenomen. Zij bewijzen vervolgens dat het product hiervan altijd groter of gelijk aan ~ moet zijn. Dan wordt de formule
∆x∆px & ~
(7)
geponeerd voor elke willekeurige golffunctie, waarbij de algemene definitie van
∆A gegeven wordt op pagina 214:
(∆A)2 = h(A − hAi)2 i.
(8)
Opnieuw zien wij dat de onzekerheidsrelaties van Heisenberg worden geformuleerd in termen van de standaardafwijkingen, ook al hebben weten we dat
deze hiervoor niet gebruikt kunnen worden.
Wel correct stellen5 Bransden en Joachain dat de onzekerheidsrelatie tussen
tijd en energie anders geı̈nterpreteerd dient te worden dan die tussen plaats en
impuls, “because time is a parameter, not a dynamical variable”.
Bij de bespreking6 van het twee spleten experiment lezen wij echter niets over
fijnstructuur en wordt simpelweg gebruik gemaakt van de standaardafwijkingen.
5 pagina
6 pagina
74
71–72
3
3
CONCLUSIE
4
Conclusie
Uit de analyse van deze drie leerboeken kunnen wij concluderen dat het juist
definiëren van de onzekerheden die in Heisenberg’s onzekerheidsrelaties voorkomen
in het algemeen niet gebeurt. Dirac geeft überhaupt geen wiskundige definitie,
en Kemble en Bransden en Joachain gebruiken de standaardafwijkingen, wat
onjuist is. Hiermee hangt de onjuiste uitleg over het twee spleten experiment in
Bransden & Joachain samen, want deze onjuistheden komen gedeeltelijk voort
uit het gebruik van een foute definitie van onnauwkeurigheid.
Het probleem van de onzekerheidsrelatie tussen tijd en energie wordt minder
consistent behandelt: Bransden en Joachain doen dit vrij correct, Kemble niet,
en Dirac noemt het helemaal niet.