de kwantummechanica

Van Planck tot Dirac in vijf lessen
Vijfde les
Spin en antideeltjes
Spin en antideeltjes
…“problems of language”…
“The problems of language here
are really serious. We wish to
speak in some way about the
structure of the atoms. But we
cannot speak about atoms in
ordinary language.”
Spin en antideeltjes
Heisenberg: levensloop
1901 Geboren
(op 5 december) in Würzburg, zoon van een leraar (later
hoogleraar) klassieke talen.
1914-1918 Gymnasium bezet door het leger; veel zelfstudie, vooral wiskunde
(o.a. poging tot het bewijzen van Fermat’s laatste stelling), lid van een
paramilitaire organisatie.
1920 Neemt deel aan het onderdrukken van de rode (Sovjet) revolutie in
München. Wil getaltheorie gaan studeren bij Lindemann, maar wordt
student van Sommerfeld, samen met Pauli.
1922 Volgt in Göttingen de colleges van Bohr: “Bohr Festspiele”.
1923 Proefschrift over turbulentie van vloeistofstromingen, assistent van Born
in Göttingen.
1924 Habilitation over het anormale zeemaneffect. Werkt bij Bohr in
Kopenhagen.
1925 Uitgaande van waarneembare overgangswaarschijnlijkheden laat hij
zien dat de stralingsamplitudes een niet-commutatieve algebra vormen.
Samen met Born en Jordan ontwikkelt hij een matrixrepresentatie van
deze algebra: matrixmechanica.
1927 Hoogleraar in Leipzig. Ontdekt de onzekerheidsrelaties.
1932 Nobelprijs.
1935 Wil Sommerfeld (ook op diens verzoek) opvolgen in München, dit gaat
niet door omdat hij “joodse” natuurkunde bedrijft (witte jood). Later
wordt hij door Heinrich Himmler persoonlijk gerehabiliteerd, maar
Sommerfeld’s leerstoel gaat naar de onbetekenende Müller.
“Heisenberg affaire”.
1937 Trouwt met Elsabeth Schumacher, relatie via zijn muzikale talent als
pianist. Zij krijgen 7 kinderen.
1939 Neemt deel aan het Duitse kernenergieproject “Uranium club”.
1941 Bezoek aan Bohr.
1942 (Tijdelijk) directeur van het Kaiser Wilhelm Instituut in Berlijn (Debije
was in Amerika).
1943 Hoogleraar aan de Friedrich-Wilhelm (nu Humboldt) universiteit in
Berlijn.
1945 Gearresteerd door Alos (Goudsmit) en geïnterneerd in Engeland
tezamen met andere vooraanstaande Duitse atoomgeleerden.
1946 -1970 Hoofd van het Max Planck instituut voor natuurkunde en
astrofysica eerst in Göttingen, later in München.
1957 Tekent het ”Göttinger Manifest van de “Göttingen 18” tegen de
bewapening van de Bundeswehr met tactische kernwapens.
1958 Hoogleraar in München
1976 Overlijdt in München.
Spin en antideeltjes
Umdeutung
Zeitschrift für Physik, Bd.XXXIII (1925) 879-893
Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und
mechanischer Beziehungen
Von W.Heisenberg in Göttingen
„In der Arbeit soll versucht werden, Grundlagen zu gewinnen für einen
quantentheoretische Mechanik, die ausschieβlich auf Beziehungen zwischen
prinzipiell beobachtbaren Größen basiert ist.“
•
•
De [oude] kwantumtheorie faalt hopeloos:
– De regels bevatten relaties tussen grootheden die (naar het schijnt)
niet waarneembaar zijn, zoals de positie en de omlooptijd van een
elektron.
– De regels zijn niet consistent en er is geen duidelijk afbakening
waar ze wel of niet toepasbaar zijn.
Dit falen schrijft men toe aan afwijking van de klassieke mechanica,
maar dat is niet zinvol als je bedenkt dat zelfs de (altijd geldende)
Einstein-Bohr frequentieregel al een complete breuk met de klassieke
mechanica inhoudt.
…”a lamentable hodgepodge of hypotheses, principles, theorems, and
computational recipes rather than a logical consistent theory.”…
Max Jammer in The Conceptual Development of Quantum Mechanics.
…”Bei dieser Sachlage scheint es geratener, jene Hoffnung auf eine
Beobachtung der bisher unbeobachtbaren Gröβen (…) ganz aufzugeben,
gleichzeitig also einzuräumen, daβ die teilweise Übereinstimmung der
genannten Quantenregeln mit der Erfahrung mehr oder wenig zufällig sei,
und zu versuchen, eine der klassischen Mechanik analoge
quantentheoretischen Mechanik auszubilden, in welcher nur Beziehungen
zwischen beobachtbaren Gröβen vorkommen.”…
•
Klassiek beschrijven we de straling uitgezonden door een bewegend
elektron als een multipoolontwikkeling in 1/r. Wat is hiervan het
kwantummechanisch equivalent?
…”Gegeben sei eine an Stelle der klassischen Gröβe x(t) tretende
quantentheoretische Gröβe ; welche quantentheoretische Gröβe tritt dann an
Stelle von x(t)2?”…
•
Maar eerst: het elektron kunnen we kwantummechanisch niet beschrijven
als een punt dat een baan volgt. Wel kunnen we de straling beschrijven:
  n, n    
•
1
W (n )  W (n   )
h
Behalve de frequentie hebben we om de straling te beschrijven ook de
amplitude nodig.
Re A(n, n   )ei ( n,n  )t

•

Klassiek kunnen we x(t) ontwikkelen in een fourierreeks of een
fourierintegraal. Kwantummechanisch lijkt dat niet mogelijk. Dat neem niet
weg dat we de verzameling grootheden A  n, n    ei ( n,n  )t
mogen beschouwen als een representatie van x(t) en dan is de vraag: wat
is de representatie van x(t)2? Klassiek ligt het antwoord voor de hand en
dan lijkt het eenvoudigste en meest natuurlijke kwantumtheoretische
antwoord:

i  n,n   t
i  n,n   t
(7)
B  n, n    e

A  n, n    A  n   , n    e 



en de bijbehorende integraal.
•
Het is nu mogelijk representaties te geven van x(t)n. Dat betekent dat we
van een willekeurige functie f[x(t)] de kwantummechanische representatie
kunnen geven.
… „Eine wesentliche Schwierigkeit entsteht jedoch, wenn wie zwei Gröβen
x(t), y(t) betrachten und nach dem Produkt x(t)y(t) fragen.“…
… “Während klassisch x(t)y(t) stets gleich y(t)x(t) wird, braucht dies in der
Quantentheorie im allgemeinen nicht der Fall zu sein.”…
•
[Heisenberg moet werken met een niet-commutatieve algebra. Dit zal
Born op het spoor van matrixrekening brengen. De niet-commutativiteit
van bepaalde grootheden, zoals plaats en impuls en energie en tijdstip
zullen leiden tot de onzekerheidsrelaties.]
•
Dit was het kinematische deel. Nu gaan we de dynamica bekijken met het
doel A,  en W te bepalen uit gegeven krachten. De theorie loste dit
probleem tot nu toe op door integratie van de klassieke
bewegingsvergelijking [wet van Newton] en daarna de constanten van
periodieke bewegingen te kwantiseren [Bohr-Sommerfeld
kwantisatieregel].
•
Het lijkt nu logisch voor de grootheden in de bewegingsvergelijking de
hiervoor afgeleide grootheden te substitueren. Om de vergelijking op te
lossen zijn we gedwongen een reeksontwikkeling toe te passen, in
analogie met de klassieke ontwikkeling in een fourierreeks.
•
Uitgaande van een periodieke beweging:
x




•
a  n  e in t
Volgt voor de constante van de beweging (fase-integraal):

2
mx
dt

2

m
a
n

n


 

2
2
 
•
Vroeger zouden we dit gelijk gesteld hebben aan nh. Het lijkt echter
natuurlijker om door differentiatie naar n te stellen:

h  2 m  
 
•

d
n a
dn
2

Deze vergelijking heeft een kwantumtheoretisch equivalent:



h  4 m  a  n, n      n, n     a  n, n      n, n   
 0
•
2
2
(16)
De a’s zijn volledig bepaald door de bijkomende voorwaarde dat er
een stralingsvrije grondtoestand bestaat. Het probleem van halftallige
kwantumgetallen is daarmee uit de wereld.
•
•
Deze theorie werkt voorlopig alleen in zeer eenvoudige gevallen. Ze lijkt
een bevredigende oplossing te geven voor een dynamisch probleem,
maar we moeten nog aantonen dat de oplossingen samenvallen met
bekende oplossingen [zoals voor het waterstof atoom].
Als eenvoudig voorbeeld nemen we de anharmonische oscillator [de
harmonische oscillator vroeg niet om het gebruik van de nieuwe regels]:
x  02 x   x 2  0
•
De klassieke oplossing is:
x  a0  a1 cos t  a2 cos 2t   2a3 cos3t  ...  1a cost
waarin de a’s machtreeksen in λ zijn.
•
Kwantumtheoretisch zoeken we een analoge uitdrukking. We kunnen
met (7) recursieformules opstellen en dan de kwantumvoorwaarde (16)
toepassen. Dat geeft kwantummechanisch in eerste orde als we voor
n=0 de grondtoestand nemen en termen met λ2 en hoger verwaarlozen:
a 2  n, n  1 
nh
 m0
•
•
Voor de energie W volgt:
1

W   n   h0 / 2
2

De ½ in deze uitdrukking komt niet voor in de oude kwantumtheorie [Dit is
ook geldig voor de harmonische oscillator en hangt samen met de
onzekerheidsrelaties].
Volgt nog de behandeling van een andere anharmonische oscillator en
van de rotator.
…„Man kommt dann wirklich wieder genau zum Resultat… ,was mir eine
bemerkenswerte Stütze für die zugrunde gelegten quantenmechanische
Gleichungen zu sein scheint.“…
…”Ob eine Methode zur Bestimmung quantentheoretischer Daten durch
Beziehungen zwischen beobachtbaren Gröβen, wie die hier
vorgeschlagene, schon in prinzipieller Hinsicht als befriedigend angesehen
werden könnte, oder ob diese Methode doch noch einen viel zu groben
Angriff auf das physikalische, zunächst offenbar sehr verwickelte Problem
einer quantentheoretischer Mechanik darstellt, wird sich erst durch eine
tiefgehende mathematische Untersuchung der hier sehr oberflächlich
benutzten Methode erkennen lassen.“
Spin en antideeltjes
Heisenberg: vervolg
•
•
•
Born (nobelprijstoespraak):
“Heisenberg’s vermenigvuldigingsregel liet mij niet los, en na acht dagen
van ingespannen nadenken herinnerde ik mij een algebraïsche theorie die
ik leerde bij mijn leraar professor Rosanes in Breslau.”
Die theorie was de matrixrekening, die tot dat moment nauwelijks was
toegepast in de natuurkunde maar waarvan het wiskundig formalisme
klaar lag.
Publicatie van Born en Jordan “Zur Quantenmechanik” waarin de theorie
expliciet zijn matrixvorm krijgt. Hierin staat de commutatieregel
qp - pq =iħ1. Born: “Ik zal nooit de opwinding vergeten die ik voelde toen
ik er in slaagde Heisenberg’s ideeën in deze vergelijking samen te vatten.”
Publicatie met Born en Jordan (Drei Männer Arbeit) “Zur Quantenmechanik
II”. Zij postuleren de commutatieregel voor p en q en leiden daaruit een
consistente kwantumtheorie af.
•
•
•
Born en Wiener introduceren operatoren en lossen daarmee het nietperiodieke probleem van een vrij deeltje op. Ze komen zeer dicht bij de
golfvergelijking van Schrödinger. Born: “… ik zal het mezelf nooit
vergeven … [dan] zouden we de hele golfmechanica ontdekt hebben,
een paar maanden voor Schrödinger.”
Dirac herformuleert Heisenberg’s matrixmechanica algebraïsch, zonder
het gebruik van matrices en vindt een nauwe aansluiting met het
klassieke Hamilton formalisme. De commutatoren in de
kwantummechanica zijn de poissonhaakjes van de klassieke mechanica.
Hij vindt ook de commutatieregel van p en q. Hij introduceert q-getallen
versus c-getallen. “q stands for quantum or maybe queer; c stands for
classical or maybe commuting” . Hij lost het waterstofprobleem op.
Ook Pauli lost het waterstofprobleem op met de matrixmechanica. Hij
berekent daarmee ook het Starkeffect en hij laat zien dat de
matrixmechanica het probleem van een gekruist elektrisch en magnetisch
veld kan oplossen, iets wat de oude kwantummechanica niet kon.
•
•
Schrödinger komt met zijn golfmechanica en laat zien dat deze equivalent
is met de matrixmechanica.
Heisenberg houdt zich verder bezig met ferromagnetisme, relativistische
kwantumveldentheorie, neutron-protonmodel van de kern, theorie van het
positron, kosmische straling, S-matrix theorie, turbulentie, supergeleiding,
geunificeerde veldentheorie.
Spin en antideeltjes
Het raadsel spin
Een Caltech staflid vroeg eens aan Richard Feynman waarom spin ½
deeltjes Fermi-Dirac statistiek hebben. Feynman zei: "I'll prepare a
freshman lecture on it." Een paar dagen later zei hij tegen het staflid: "You
know, I couldn't do it. I couldn't reduce it to the freshman level. That means
we really don't understand it."
“I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”
Spin en antideeltjes
Tollende elektronen (??)
•
•
Kronig veronderstelt dat het elektron een intrinsiek impulsmoment heeft.
Hij schrijft dit toe aan een tolbeweging van het elektron. Maar hij mist
telkens een factor 2 en komt tot snelheden groter dan c.
Onafhankelijk pakken Goudsmit en Uhlenbeck het idee weer op.
Ehrenfest zorgt voor publicatie, tegen de zin van Goudsmit en
Uhlenbeck. In een vervolgpublicatie geven zij ondersteuning.
Nature, vol. 117 (1926), p. 264-265
Spinning Electrons and the Structure of Spectra
G.E. Uhlenbeck and S. Goudsmit
… “Without being aware of Compton's suggestion, we have directed attention in a
recent note (Naturwissenschaften, Nov. 20, 1925 ) to the possibility of applying the
spinning electron to interpret a number of features of the quantum theory of the
Zeeman effect, which were brought to light by the work especially of van Lohuizen,
Sommerfeld, Landé and Pauli, and also of the analysis of complex spectra in
general. In this letter we shall try to show how our hypothesis enables us to
overcome certain fundamental difficulties which have hitherto hindered the
interpretation of the results arrived by those authors.” …
Spin en antideeltjes
Multiplets van het waterstofspectrum
…”This results suggests an essential modification of
the explanation hitherto given of the fine structure of
the hydrogen-like spectra. As an illustration we may
consider the energy levels corresponding to electronic
orbits for which the principal quantum number is equal
to three. The scheme on the left side of the
accompanying figure (Fig. 1) corresponding to the
results to be expected from Sommerfeld's theory. The
so called azimuthal quantum number k is defined by
the quantity of moment of momentum of the electron
about the nucleus, kh/2π, where k = 1, 2, 3. According
to the new theory, depicted in the scheme on the right,
this moment of momentum is given by Kh/2π, where K
= 1/2, 5/2, 5/2. The total angular momentum of the
atom is Jh/2π, where J = 1, 2, 3.”…
•
Zij geven een alternatieve verklaring voor de fijnstructuur, die aanvankelijk
door Sommerfeld aan een relativistisch effect werd toegeschreven.
Spin en antideeltjes
Spin
•
•
•
•
Spin is een intrinsiek impulsmoment. Het is een puur
kwantummechanisch fenomeen zonder parallel in onze dagelijkse
omgeving. Het is geen tolbeweging! Daar werden Goudsmit en Uhlenbeck
- en daarvoor Kronig - door Pauli op afgerekend! “Das ist ja ein witzigeres
Aperçu, aber so ist die Natur schon nicht.”
Spin “openbaart” zich omdat er een magnetisch moment aan is
verbonden, net als bij het baanimpulsmoment. De koppelingsfactor tussen
het impulsmoment en het magnetisch moment verschilt echter een factor
2 met die van het baanimpulsmoment.
Spin kan in tegenstelling tot het baanimpulsmoment zowel heeltallige als
halftallige waarden hebben.
Baanimpulsmoment is gekoppeld aan een beweging van het deeltje in de
ruimte en kan dus door de golffunctie beschreven worden. Dat geldt niet
voor spin. Een matrixbeschrijving is daarom noodzakelijk (Pauli matrices).
•
Deeltjes met heeltallige spin (“bosonen”)
gedragen zich fundamenteel anders dan
deeltjes met halftallige spin (“fermionen”).
Bosonen kunnen klonteren (Bose-Einstein
condensatie). Fermionen blijven uit elkaars
buurt: ze kunnen niet tegelijkertijd en op
dezelfde plaats in dezelfde toestand verkeren
(uitsluitingsbeginsel van Pauli). Dit verklaart
de opbouw van het periodiek systeem en het
bestaan van vaste stoffen.
Schilstructuur van Natrium
Fermi niveau
elektron energie
Vorming van een BEC bij 400 nK
•
geleidings
band
band
hiaat
overlap
valentie
band
metaal
halfgeleider
isolator
Het bestaan van spin met een magnetische moment is een gevolg van de
relativiteitstheorie, zoals aangetoonde door …
Spin en antideeltjes
“God used beautiful mathematics…”
“This result is too beautiful to be false;
it is more important to have beauty in
one's equations than to have them fit
experiment.”
“If one is working from the point of
view of getting beauty into one's
equation, ... one is on a sure line of
progress”
“I learned to distrust all physical
concepts as the basis for a theory….
One should concentrate on getting
interesting mathematics.”
“God used beautiful mathematics in
creating the world.”
Spin en antideeltjes
Dirac: levensloop
1902 Geboren in Bristol, Engeland, zoon van een leraar Frans
1902-1921 Bishop Road Primary School; Merchant Venturers’ Technical
College (waar zijn vader doceerde, later Cotham Grammar School);
Electrical Engineering aan Bristol University.
– Ongelukkige jeugd, stroeve relatie met zijn zeer autoritaire vader, na de
zelfmoord van zijn broer verbroken.
– “My father made the rule that I should only talk to him in French. He
thought it would be good for me to learn French in that way. Since I found
that I couldn’t express myself in French, it was better for me to stay silent
than to talk in English. So I became very silent at that time – that started
very early.”
– Autistische trekken (asperger?)(drie antwoorden: yes, no, may be)
1923 BA in Applied Mathematics aan Bristol University nadat hem een
scholarship in Cambridge was geweigerd omdat zijn vader (Zwitser van
oorsprong) niet lang genoeg Engels onderdaan was.
1923-1926 Promotie bij Fowler van St John’s College in Cambridge over de
samenhang tussen poisson haakjes in de klassieke mechanica en de
matrixformulering van Heisenberg van de kwantummechanica.
1926-1928 Bezoeken aan Kopenhagen (“ We had long talks together, long
talks in which Bohr did practically all the talking.”), Göttingen en Leiden.
Ontwikkelt de transformatie theorie (“my darling”) en introduceert de δfunctie. Legt de grondslag voor de kwantumelektrodynamica.
1927 Fellow van St John’s College.
1928 Relativistische formulering van de golfvergelijking voor het elektron,
leidt spin af als een relativistisch effect, voorspelt (in 1931) het positron,
dat nog hetzelfde jaar ontdekt wordt. Bezoekt de Sovjet Unie (11
bezoeken tussen 1929 en 1975).
1929 Bezoeken (met Heisenberg) aan Amerika en Japan.
“Heisenberg why do you dance?” ”Well, when there are nice girls it is a
pleasure to dance.” ”Heisenberg, how do you know beforehand that the girls are
nice?”
1930 Boek The Principles of Quantummechanics (nog steeds een
standaardwerk); Fellow van de Royal Society.
1931 Werkt aan magnetische monopolen.
1932 Lucasian professor of mathematics van Cambridge University
(Newton’s leerstoel, nu bezet door Stephen Hawking).
1933 Nobelprijs samen met Schrödinger; plan om te weigeren stuit op het
bezwaar dat hij daarmee nog meer aandacht zou trekken.
1934 Bezoek aan Princeton, ontmoet Wigner en zijn zuster.
1937 Trouwt met Margit Wigner.
- twee stiefkinderen en twee eigen kinderen.
1937 Introduceert een kosmologisch model op basis van getaltheorie.
1938 Introduceert massa renormalisatie – waar hij later afstand van zal
nemen.
1939 Introduceert bra-ket notatie.
1939-1945 Betrokken bij uranium scheiding en nucleaire wapens.
1969 Reist zijn oudste dochter achterna naar Florida.
1971 Hoogleraar aan Florida State University.
1973 en 1975 Doceert aan het Physical Engineering Institute in Leningrad.
1984 Overlijdt in Tallahassee, Florida.
Spin en antideeltjes
Dirac over Dirac
Tegen Bohr, die zelden een zin afmaakte:
“I was taught at school never to start a
sentence without knowing the end of it.”
In een discussie met Einstein, Planck, Pauli en
Heisenberg over godsdienst:
“I cannot understand why we idle discussing
religion. If we are honest – and as scientists
honesty is our precise duty – we cannot help
but admit that any religion is a pack of false
statements, deprived of any real foundation.”
Pauli: “There is no God and Dirac is His
prophet.”
Tegen Oppenheimer, die Dante las:
“How can you do both physics and poetry?In
science we try to explain in simple terms,
something that nobody knew before. In poetry
it is the exact opposite.”
Spin en antideeltjes
The quantum theory of the electron
Proceedings of the Royal Society A 117 (1928) 610-624
The quantum theory of the electron
By P.A.M. Dirac, St John’s College, Cambridge
“The new quantum mechanics, … does not give results in agreement with
experiment. The discrepancy consist of “duplexity” phenomena, the observed
number of stationary states for an electron in an atom being twice the number
given by the theory. To meet the difficulty, Goudsmit and Uhlenbeck have
introduced the idea of an electron with a spin angular momentum of half a
quantum and a magnetic moment of one Bohr magneton.”…
… “… the incompleteness of the previous theories lying in their disagreement
with relativity, …. It appears that the simplest Hamiltonian for a point-charge
electron satisfying the requirements of both relativity and the general
transformation theory leads to an explanation of all duplexity phenomena
without further assumptions.”…
§1. Previous Relativity Treatments
• De relativistische, klassieke hamiltoniaan F (meestal gebruiken we H, met
H=T+U) voor een elektron dat beweegt in een elektromagnetische veld
met scalar potentiaal A0 en vectorpotentiaal A is:
2
2
e 
W e  
F 
 A0    p  A   m 2c 2
c 
 c c  
• [Niet relativistisch vrij deeltje: H=p2/2m, relativistisch H=[(cp)2+(mc2)2]½]
•
Pas nu zoals Gordon (en eerder Schrödinger – maar die verwierp hem)
dezelfde transformatie naar operatoren toe als in de niet-relativistische
theorie:


h bij Dirac is h/2
W  ih
pr  ih
t
xr
•
Dan volgt een golfvergelijking:
2
2




e 

e 
2 2
F   ih
 A0    r  ih
 Ar   m c   0
xr c 
 ct c 


(1)
•
Aan deze vergelijking kleven twee bezwaren:
1. ψ kan alleen voor de positie aan de waarschijnlijkheidsinterpretatie
van de kwantummechanica voldoen. Alleen een golfvergelijking die
lineair is in ∂/∂t kan in het algemeen voldoen (superpositiebeginsel!).
2. De golfvergelijking staat oplossingen toe voor deeltjes met lading –e,
waardoor er oplossingen zijn met negatieve energie, die we niet
zomaar kunnen wegwerken.
… “In the present paper we shall be concerned only with the removal of the
first of these two difficulties. The resulting theory is therefore still only an
approximation, but appears to be good enough to account for all the duplexity
phenomena without arbitrary assumptions.”…
§2. The Hamiltonian for No Field
• Zonder veld – vrij elektron - wordt vergelijking (1):
 p
2
0
met
•

 p 2  m 2c 2   0
(3)
W

p0 
 ih
c
ct
Vanwege lineariteit in ∂/∂t en symmetrie tussen de p’s moet de
golfvergelijking de volgende gedaante hebben:
 p0  1p1  2 p2  3 p3     0
(4)
•
De α’s en β hangen niet af van t en van de plaatscoördinaten. Er zijn
daarom meer dynamische variabelen (vrijheidsgraden) in het spel dan
de positie en de impuls van het elektron [spin komt om de hoek!].
•
Als (4) geldt, dan geldt ook:
•
0   p0  1p1  2 p2  3 p3    p0  1p1  2 p2  3 p3   
Als we stellen β=α4mc dan moet gelden om (3) te krijgen :
 2  1
•
•
•
•
       0     
,  1,2,3,4
(6)
We kunnen hieraan voldoen als we de α’s opvatten als matrices. Het blijkt
dat de matrices σ, door Pauli geïntroduceerd om de elektronspin te
beschrijven, voldoen aan deze voorwaarden.
Maar omdat we vier en geen drie α’s zoeken, moeten we de matrices
uitbreiden tot 4 bij 4 matrices. Er komen nu drie ρ matrices bij.
Als we nu stellen: α1=ρ1σ1, α2=ρ1σ2, α3=ρ1σ3, α4=ρ3 dan is aan de
voorwaarden (6) voldaan.
De golfvergelijking krijgt nu de volgende gedaante:
 p0  1  , p   3 mc   0
waarin σ de vector (σ1, σ2, σ3) is.
(9)
§3. Proof of Invariance under a Lorentz Transformation
• Om te bewijzen dat vergelijking (9) relativistisch geldt, moeten we
aantonen dat hij invariant is onder de Lorentztransformatie.
• Dat lukt, met het nodige rekenwerk.
§4. The Hamiltonian for an Arbitrary Field
• Substitueer nu zoals gebruikelijk in vergelijking (9) voor p0 en p
respectievelijk p0+(e/c)A0 en p+(e/c)A. We krijgen dan:


e
e 

 p0  c A0  1   , p  c A   3mc   0




•
•
•
(14)
Deze golfvergelijking heeft vier keer zoveel oplossingen als de nietrelativistische Schrödinger vergelijking en twee keer zoveel als de
relativistische Klein-Gordon vergelijking.
Twee hiervan verwerpen we omdat ze corresponderen met een elektron
met lading +e. [In 1931 zal Dirac voorspellen dat ze horen bij een antielektron - nu positron. Het bestaan van dit deeltje wordt in datzelfde jaar
experimenteel aangetoond door Anderson.]
De twee overblijvende verklaren het duplexity verschijnsel. Het blijkt dat
de nieuwe vrijheidsgraad geïnterpreteerd kan worden alsof het elektron
een magnetisch moment (eh/2mc)σ heeft. De spin van het elektron!
§5. The Angular Momentum Integrals for Motion in a Central Field.
• De spin heeft een impulsmoment ½hσ dat koppelt met het
baanimpulsmoment m tot een totaalimpulsmoment M dat een constante
van de beweging is.
• Daarmee kunnen we een nieuw kwantumgetal j invoeren dat dezelfde
rol speelt in de nieuwe theorie als het azimuthale kwantumgetal k in de
oude theorie.
§6 The Energy Levels for Motion in a Central Field
• De nieuwe theorie geeft correcties op de oude energieniveaus (de
Bohr-Schrödinger niveaus van het waterstofatoom b.v.) die in
overeenstemming zijn met het experiment.
…”If one neglects the last term, which is small on account of B being large,
this equation becomes the same as the ordinary Schroedinger equation
for the system, with relativity corrections included.”…
…”The present theory will thus, in the first approximation, lead to the same
energy levels as those obtained by Darwin, which are in agreement with
experiment.”
Spin en antideeltjes
Dirac: het vervolg
•
•
Het probleem van de negatieve energiewaarden lost Dirac op met een
gatentheorie. Het vacuüm bestaat uit een zee van negatieve elektronen.
Omdat het Pauli uitsluitingsbeginsel van toepassing is, kan een elektron
alleen maar een meer positieve energie krijgen, nooit een negatieve
energie.Niet bezette toestanden in de elektronenzee (“gaten”) gedragen
zich als positief geladen elektronen. Omdat je energie moet toevoeren
om zo’n gat te creëren, heeft dit positief geladen elektron (positron)
positieve energie.
Dirac legt de grondslag voor de kwantumelektrodynamica:
een relativistische kwantumtheorie van het
elektromagnetisch veld (QED: Feynman, Dyson,
Schwinger, Tomonaga). Deze theorie wordt geplaagd door
“oneindigheden”. Dit kan worden opgelost door z.g.
renormalisatie. Dirac vindt deze oplossing lelijk en wendt
zich af.
Good old Newton
“I do not know what I may appear to the world; but to myself I have seen
only like a boy playing on the seashore, and diverting myself in now and
then finding a smoother pebble or prettier shell than ordinary, whilst the
great ocean of truth lay all undiscovered before me.”