Dirac vergelijking en A

Particle Physics I
I.
II.
III.
IV.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Introduction, history & overview (2)
Concepts (3):
Units (h=c=1)
Relativistic kinematics
Cross section, lifetime, decay width, …
Symmetries (quark model, …)
Quantum Electro Dynamics: QED (6-7)
Spin 0 electrodynamics (Klein-Gordon)
Spin ½ electrodynamics (Dirac)
Experimental highlights: “g-2”, ee, …
Quantum Chromo Dynamics: QCD (3-4)
Colour concept and partons
High q2 strong interaction
SB
Structure functions
Experimental highlights: s, ep, …
Particle Physics II
V.
VI.
VII.
VIII.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Quantum Flavour Dynamics: QFD (5)
Low q2 weak interaction
High q2 weak interaction
Electro-weak interaction
Experimental highlights: LEP
Origin of mass? (2)
Symmetry breaking
Higgs particle: in ee and in pp
Origin of matter? (5)
K0-K0, oscillations
B0-B0 oscillations
JvdB
Neutrino oscillations
Fantasy land (2)
File on “paling”: z66/PowerPoint/ED_Master/QED.ppt
III. Quantum Electro Dynamics: QED
Particle Physics 2003/2004
Part of the “Particle and Astroparticle Physics” Master’s Curriculum
1
2
Spin-0 Elektrodynamika
Electromagnetische wisselwerking voor deeltjes die
aan de Klein-Gordon vergelijking voldoen
“spinloze” electronen of “spinloze” muonen
geladen  & K (zonder sterke wisselwerking)
3
j  vind je zo :
Klein-Gordon vergelijking
KG:
*
KG :


0     m 
0      m 2 
2
*


 0 *      m 2 


 0      m 2  *


0 *         *   *     *   j 
“Vertaling” van p2=m2 naar Q.M. (p  i(it,i) dan E=p2/2m  Schrödinger vgl.):
Problemen:
E 2  p 2  m2  E  p 2  m2


2 0 E 0


2
N
E

0 E 0

Beter: her-interpretatie van j:
D.w.z.:
Dit is de interpretatie van:
Pauli & Weisskopf
Stückelberg & Feynman
Historisch:
drop Klein-Gordon t.g.v. Dirac vgl.
4
Deeltje  anti-deeltje
tijd
absorptie
+e
(+E,+p)
e

 p

 (systeem)   E
e

emissie
(E,p)
Dus voor een systeem geen verschil tussen:
Emissie:
Absorptie:
e met p =(+E,+p)
e+ met p =(E, p)
In termen van de ladingsstroom(dichtheid):
Oftewel: volgende scenario's identiek!
(factor 2)
e+
e
5
Storingsrekening
e
tijd
1e orde:
Pair annihilation
e
e
Pair creation
2e orde:
Intermediair: e
e

e

Intermediair: ee+e
D.m.v. anti-deeltjes wordt het vacuüm een complexe omgeving:
e+e paren kunnen uit het vacuüm komen of erin opgaan
Maxwell vgl. en Lorentz invariantie
Maxwell:
Stel h/2=c=1 en introduceer potentiaal A=(V,A) en de stroom j=(,j):
Dus:
Nog kompakter met FAA:
6
7
IJk invariantie
Vrijheid keuze A
Want:
Gebruik deze vrijheid om vgl. A te vereenvoudigen (covariant):
Lorentz konditie:
A nog steeds niet uniek; want:
En dus b.v. mogelijk om te voldoen aan (niet covariant):
Coulomb konditie
8
Foton golffunktie
In vacuüm geldt j=0 en dus:
Met als oplossingen (vlakke golven):
IJk keuze: Lorentz konditie:
Coulomb konditie:
I.p.v. 4 vrijheidsgraden () dus nog maar 2:
transversaal
circulair
 cos 

    sin 
 0


 sin 
cos 
0
0   1 / 2 


0  i / 2 


1  0 


  cos   i sin   / 2   ei  1 / 2 


   i
   sin   i cos   / 2    e i / 2 


 


0
0

 

Onder rotatie over  rond z-as:


e
e+
Impuls en energie behoud
tijd
pi
M  e

i   p f  k  x
M  e
e

i p f  x dx

  
2   E i   E f  pi  k  p f
4
p+
k




x

pf



  
2   E   E    p   p   k
4
p
ei p xdx


  
2     E   E  k  p   p 
4

pf
k

p



pi
pi
M   ei p  x eik  p  x  dx
p+
M   e i k  p
i
4
k
i  pi  k  x
ei p xdx
  
2   E i   E f  pi  k  p f
pf
9

p+
p+
k

10
Interakties: Klein-Gordon veld en A
“minimale substitutie”
(of via lokale ijkinvariantie)
Dus:

Tfi:
Hogere orde
(wel essentieel voor
ijk-invariantie!)
partieel
integreren
gebruikt: =Neipx
11
Interactie van geladen deeltje met
statisch elektrisch veld:
pf


A  (V , A)  (V ,0)
 Ze
V (x)  
x
V(x)

j fi
pi
Coulomb-verstrooiing
12
pf
V(x)
pi
(B)
K

K
verstrooiing
(A)
K


(D) 13
K
(C)
Veronderstel:  verstrooit aan A t.g.v. de K. Hoe vind je A? Ansatz: Vindt
een oplossing van de Maxwell vgl. Met als stroom term de “overgangsstroom”
die hoort bij K!
•iqx=q2eiqx
e
De overgansamplitude Tfi wordt dus:
vgl. college “concepts”
Overgangswaarschijnlijkheid
per tijds- en volume eenheid:
(B)
K  K verstrooiing
i g 
De amplitude M wordt (qpD-pB=pA-pC):
q
(D)
K

2

(A)
14
K
 i 4 e  p  p

(C)
Plug in standaard uitdrukking voor dA+BC+D/d:
A
B
A
B

 

 

p A  p B  p i en p C   p D  p f
Notatie: 
 s  p A p B 2  p C  p D 2  E A E B 2  E C  E D 2
verwaarloos massa’s
‘Feynman regels’
15
Vertexfactor: voor elke vertex introduceer een factor -ie(4)p .
e : koppeling van deeltje aan het e.m. veld,
p: som van 4-impulsen voor en na de vertex
Propagator: voor elke interne lijn introduceer een factor –ig/q2
q: de 4-impuls van het uitgewisselde quantum
B
ie 4 ( pB  pD ) 
D
Houdt rekening met impulsbehoud in elke vertex
(uitdrukking voor q in termen van pA, pB, pC, pD)
ig 
q2
A
 ie 4 ( p  p )
A
C

Berekening differentiële werkzame doorsnede
identiek aan die voor “ABC” model
C
16
Elektrodynamika (S=0): Feynman regels
p
1
Externe lijnen
in: 
k
p
Vertices:
k
Propagatoren:
out: 
p
p’
 i 4 e  p  p
q
i
2
q  m2
k
p’
2i 4 e2 g 
k’
q
i g 
q
2
17
   verstrooiing
pB
pA
(a)
pD
pB
q=pA-pC
=pD-pB
q=pA-pD
=pC-pB
pC
Gewoon regels
volgen geeft:
En daarmee de werkzame doorsnede:
Let op: faktor ½
identieke deeltjes!
pA
(b)
pD
pC
18
+  + verstrooiing
pB
pB
+
pD
pD
pB
pB
(a)
q=pA-pC
=pD-pB
pA
Gewoon regels
volgen geeft:
Etcetera!

pC
pD
+
+
pD
(b)
pA

q=pA+pB
=pC+pD

pC
19
+  K+K verstrooiing
pD
pB
Follow the rules:
+
pB
K+
pD
1. Feynman diagram(s):
pA

pC
q=pA+pB
=pC+pD
K
2. anti-particles  time reversed particles
3. amplitude:

( E C ,  p)







p
p
p
p
C
D
A
B 
iM i 4 e 2
 p A p B 2
4. standard d/d expression:
A

p
d
1 1 f

 M
d 64 2 s pi
5. pick frame (c.m.) & make 4-vectors explicit:
6. relativistic limit (set particle masses to zero):

( E A,  p )
2
D
C


( E B , p)
B

( E D ,  p)






pC  E C , p '   p f
p A  E A,  p   p i 



 en
p D  E D,  p '   p f
p B   E B,  p   p i 
d
 2 cos2


d
4s

 tot 
 2
3s


20
   verstrooiing
p
p
q=p+k
=p’+k’
k
(a)
p
p’
k’
k’
p’
q=p-k’
=p’-k
k
(b)
p’
k
(c)
(a) “Direkte interaktie”
k=k’’=0
(b) “Exchange interaktie”
k=k’’=0
(c) “Kontakt interaktie”
k’
21
IJk-invariantie I
Totale amplitude:
Lorentz konditie:
Resterende vrijheid:
Uit laatste volgt o.a. invariantie M onder:
Algemeen:
Toepassen op   
Nu k en gebruik:
(al gebruikt)
22
IJk-invariantie II
Dus met k en ’k’ wordt –iMa-iMb:
Dus niet ijk-invariant!
Door –iMc erbij te betrekken (“vergeten” tot nu toe) vind je ijk-invariantie terug!
Dit gerealiseerd hebbende kan je ijk-invariantie gebruiken om de te berekenen
amplitude te vereenvoudigen! D.w.z. iedere keer als er een A verschijnt
kan je polarisatie vector  vervangen door een lineaire combinatie van  en k!
Voor onze    berekening manipuleer je het zo dat: p=0 en ’p=0
Daarmee wordt Ma=Mb=0 en blijft slecht Mc over!
Vervolg    berekening
Amplitude:
Kies nu eens het Lab. stelsel:
A+BC+D standaard:
4-vektor behoud:
 2
E  p ' m2  m2 2 22  cos
En dus:
23
Slot    berekening
24
Daarmee wordt de
werkzame doorsnede:
De totale werkzame doorsnede na middelen en sommeren foton polarisaties:
2
d
 2 8 2
 
d  4 2 
3
3m2
d
m
(Thompson)
De essenties:
1. Feynman: handige rekenregels in termen van diagrammen
2. Ijkinvariantie: gebruik alle diagrammen orde n essentieel
+ 

p

  verstrooiing

k,
,p’

-p’

(a) “Direkte interaktie”


 i M b  i 4 e   p  q    



-p’

(b)
k’,’
(c)
(c) “Kontakt interaktie”
i
 




q

p



i
4

e
 
2
2
q m
 i 4 e  2 p  k    

k,

(b) “Exchange interaktie”
 i M a  i 4 e   p  q    

k,
k’,’
particle
k’,’
(a)

q=p-k’
=k-p’
,p’

p
p
anti-particle
q=p-k
=k’-p’
-p’
25
i
 p k  m
2
 i 4 e  k  2 p     i8 e

2

2
 p   p  
 pk 
i

 q  p   
2
2  i 4 e
q m


i
2  p   p 
 

 k 2 p     i8 e
 i 4 e  2 p  k     
2
2  i 4 e
 pk 
 k  p   m

 i M c  8i e2 g


     8i e2     
Vervolg
+ 
  verstrooiing
?
 k 
Ijkinvariant? D.w.z.
  M  M a  M b M c 0
 k 
2
 p   p   i8 e2  pk 
2
 p   p    i8 e2  pk 
 i M a  i8 e
 i M b  i8 e
26
M  Ma  Ma  Ma
 pk 
 8 e 2  pk  pk  k k  
 8 e 2 k  p p  k 
 pk 
 8 e 2 k  p p  k 
 8 e 2  k k    0
 i M c  8i e 2       8i e 2 k  k 
Dus inderdaad ijkinvariant!
Gebruik dit om: p=0 en p’=0 te krijgen
Standard d/d expression c.m. frame:

(k , k )
M  8 e2     

p
d
1 1 f

 M
2
d 64 s pi
2


(
E
,

p
)
+

e2
Use relativistic limit (kpf=pip);
identical particles;
sum over foton polarisations!
d
1 1 1


d
2 64 2 s
 8
pol
  ' 
2


( E , p)

Let op:
Polarisatie som kan je doen zoals je wilt;
als je maar over alle mogelijke
polarisaties sommeert! Ik kies “gewoon”
z//-richting en x,y  -richting. (faktor 2)

(k , k )
2
2s
   '
pol
2

2
s
27
Dirac vergelijking
28
Golf-vergelijkingen
Quantummechanica:
De golffunctie wordt verkregen m.b.v. de transcriptie
Schrödinger vergelijking
Klassiek, E=p2/2m
Klein Gordon vergelijking
Relativistisch, E2=p2c2+m2c4
Vergelijking met 2e afgeleide naar de tijd  er bestaan oplossingen met negative energie
Dirac vergelijking
Relativistisch, lineair in /t
Om aan relativistische uitdrukking
E2=p2c2+m2c4 te voldoen:
 en  matrices met:
1
0
0
Dirac algebra
De matrices i en  moeten
voldoen aan
Eigenwaarden i en  zijn 1 en dimensie (d) is even
Voor d=2 zijn er maximaal 3 anti-commuterende matrices
Voor d=4 zijn er inderdaad 4 anti-commuterende matrices
(laagste dimensie waarin Dirac algebra in kan worden gerepresenteerd)
29
30
Dirac algebra
Expliciet Lorentz-invariantie notatie (x ):
met:
Dirac algebra:
Je kunt laten
zien dat:
definitie:
Let op:  is geen 4-vector,
(zie later voor rechtvaardiging gebruik Lorentz index )
31
Dirac vergelijking
Het stroombehoud wordt
verkregen via geconjugeerde
Dirac vergelijking:

  
0
Dirac vergelijkingen voor
 en 
Optellen na multiplicatie met
Dus stroom j:
Vgl. Klein-Gordon:
 en 
0
0
 
Oplossing deeltje in rust: p 0
32
Dirac vgl. voor p=0 eenvoudig:
Splits  in twee componenten
 A 
  
 B 
Oplossingen
De 4 onafhankelijke oplossingen
volledig uitgeschreven:
, dan volgt (0(1/c)t)
e
e+
 
Oplossing bewegend deeltje: p  0
probeer “ansatz”
 voor spinor u(p)
splits spinor u(p) in
twee componenten:
 u A ( p) 
u ( p)  

u
(
p
)
 B

Invullen:
p

B.v. voor uA(p):
33
Wat levert
 
p
34
?
 1
01
0

1
En hiermee kan expliciet
aangetoond worden dat aan de
relativistische vergelijking voor
de energie voldaan wordt:
(niet erg verbazend: had Dirac er in gestopt!)
Volledige oplossingen Dirac vgl.
De 4 onafhankelijke
oplossingen worden m.b.v.
de Dirac spinoren:
Normalisatie:
Oplossingen
E>0 (1 en 2)
Oplossingen
E<0 (3 en 4)
35
36
Dirac stroom j
De stroom j voor pi=0
(met standaard normalisatie)
De stroom j voor pi0
(met standaard normalisatie)
2 E 0
2 E 0
Waarom? Expliciet uitschrijven,
b.v. voor de x-component:
De waarschijnlijkheidsdichtheid j0 is altijd positief. Dit resulaat was uitgangspunt van Dirac’s werk!
37
Instrinsieke spin
De E>0 en de E<0 oplossingen van de Dirac vergelijking zijn tweevoudig
ontaard. Welke observabele kan deze toestanden onderscheiden?
Gebruik de Hamiltoniaan voor de Dirac vgl.:
 
H   p  mc
  
L r  p

 
 
 
 
 
[ H , L ]  [  p  mc , r  p ]   l [ p l , r  p ]   l p l r  p    l r  p  p l
  l p l  ijk r j p k   l  ijk r j p k p l
 l
h
h
 lj  ijk p k   l  ilk
i
i


  0 

Def.   
0 



Slim combineren:
pk 
Gebruik :
h
p l r j  r j p l   lj
i
baanimpulsmoment

h  
   p  0
  p   ih
i

[H , L] 0

L niet behouden!



0
[ k , l ] 
 

[ H ,  ]  [  p  mc ,  ]  p k [ k , l ]  p k 

[
,
]
0
 k l

 0
 m 
  
p
 p k 2i klm 

2
i

2
i

p0


k klm m

0
  m








H , L 1/ 2h   0






[H ,] 0

 niet behouden!
 

 J  L 1/ 2h  behouden!

1/ 2h 
Wat levert
op ?
voor p=0:
38
deeltjes met spin=1/2
1
4
111 
3
4
z-component van de spin: ½ 3
voor p0
deeltjes met spin=1/2
[H,2]=0 maar [H,]0 en dus:
 i.h.a. geen eigenvector van 3

Spin component  p kan altijd gebruikt worden: 1/ 2   p̂
Want:

De operator 1/ 2   p̂ heet heliciteit; eigenwaarden zijn 1/2
+½: positieve heliciteit
½: negatieve heliciteit
39
Spinors with helicity 1/2
 1 


 0 
 pz 
(1)
u  p  
E m 
 p i p 
y
 x
 E m 
Particle
spinors:
Must solve:


1 
p x i p y 

E m 
 pz 
E m 
0
Which linear
combinations are also
eigenstates of
 the
helicity: 1/ 2   p̂
1 
1
  p   u (1) p   u ( 2 ) p      u (1) p   u ( 2 ) p 
2
2
  pz

 
1  p x i p y
  p   
p  0
 0


p x i p y
0
 pz
0
0
0

 p z   p x i p y  

 p x i p y   p z   
Therefore: 
...


...





( 2)
u  p  




 pz
p x i p y

p

p

  pz 



0 
 p i p y 
  x


p x i p y 
... 


 ... 
 p z 


0
   p x i p y
 




p
p

z
for  and 
 p 
 p x i p y 
 


0
  pz 



 
 ... 
 ... 


 ... 
 ... 


 
 p z  p 


 p i p y 
()
u  p   x

...


 ... 


0
 
 p
 ... 
 
 ... 
 
 p z  p 


 p i p y 
()
u  p   x

...


 ... 


40
Measurements of “g-2”
41
Magnetisch moment Dirac deeltje
In volgende college zal blijken dat een Dirac deeltje wisselwerkt via:
• zijn elektrische lading: q   e
(net als een Klein-Gordon deeltje)
 e h   e 
 
s
• zijn magnetisch moment:  
2 mc
mc

Conventies: Bohr magneton :  B  eh

Algemeen :   g
Dirac deeltje : g 
g=2?
Baryonen: p & n
gp5.6
gn3.8
quark sub-structuur
q
2mc
B 
h

s
(experimen t)
(Lande g - factor)
 2
B s


( s  1 / 2 h  )



e 
Klassiek : M 
L
2mc

(magie in pre - Dirac era)
Leptonen: e & 
B
(a(g-2)/2)
ae11596521884431013
ae  11596521879 4310
13
a  11659203151010
B
B
B
sub-structuur vacuüm
Classical precession: spinning top
42

 dp
dv    dr 
Newton : F 
m
 p  mv  m 
dt
dt 
dt 
  
Angular momentum : L  r  p

 =0

dL d  
dr   dp
 r  p  
 pr
dt dt
dt
dt

 dp   
r
 r  F  T (torque)
dt
 
M // s
B
z
y
x
 sx
d 
s
dt  y
 sz


Torque on magnetic moment M in B - field :

 
e  
T  M B  g
sB
2 mc
Apply to an electron or muon


dL 
ds
e  
T 
g
sB
dt
dt
2 mc
2
 eB 
 sx
sx   g
 2 mc 
  
i

 s y 
j k



e 
eB 
 sx s y sz   g
g
 s x 
2
mc
2
mc

 0 
 0 0 B






 

  eB  
 cos g
t 
eB
s xt     2 mc  


frequency
:


g
2 mc
s y t    sin  g eB t  

 
  2 mc  
43
44
Principle
“Penning” trap (Ne=1)
Elektron
B
Muon
E1 meV (T4.2 K)
=(g/2)(eB/mc)
Storage Ring (N104)
E3 GeV (30)
=((g-2)/2)(eB/mc)
Principe meting van “g-2” muon
45
Spin precessie (klassiek)
(voor kennisgeving)
 in rust:
g eB
2 m c
g 2  eB

1


 in orbit: 

2   m c

B   1 g 2  eB  eB  g 2 eB



2   m c  m c
2 m c
46
Realiteit “g-2” muon



    

e



e  e 

e

Sterke correlatie:
muon spin
&
elektron energie
Het resultaat!
E3.096 GeV, 30
47
  2.2 s
Bepaal de muon spin richting
Als functie van de tijd
uit de gemeten elektron energie
Spectrum qualitatief:
• exponentieel gedrag:
muon verval
• oscillaties:
spin precessie
tijd (s)
Spectrum quantitatief:
N(t)=Ne-t/(1+Acost)
oscillatie
period

 
g 2 eB
2 m c
48
Wat zegt de theorie?
Bottom line elektron: uitrekenen!
aethe  115965218801013
1e orde correctie: enige dimensie loze variabele: 
g 2

 0.5
2

2e+3e+4e orde correcties
aeexp  115965218701013
g 2




 0.5  0.32847844400  1.181234017  1.5098 
2

 
 
 
Bottom line muon: uitrekenen!
2
3
athe  1165847061011
1e orde correctie: enige dimensie loze variabele: 
g 2

 0.5
2

2e+3e+4e orde correcties
aexp  1165916001011
(groter dan voor electron vanwege m/me40000)
2
3
g 2




 0.5  0.765857376   24.05050898  126.07  
2

 
 
 
4
4
49
Dirac equation: continued
Lorentz transformaties
50
Let op: dit geldt
voor alle
Lorentz transformaties!
Waarnemer S en S’ (x’=ax) gebruiken dezelfde Dirac vgl.
Lineaire relatie tussen  en ’

p  x  p  x
Uit
Dus:
volgt
S(a) hangt niet expliciet af van x: S(a)  SL
 
a 
 S L1  S L
   a  
gebruikt :   
 a a   
51
Infinitesimale transformaties: = 
(gewoon verifiëren; sorry)
Expliciete uitdrukkingen
Met:
volgt voor SL1
Specifiek geval: pariteit SP=SP†=SP1
5 is een handige definitie
voor de zwakke wisselwerking

Bedenk: a   


1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



Spinoren: hoe transformeren ze?
52
Nu kan je volgende belangrijke relatie afleiden:
1
En daarmee:     S S  
5

L
:




5
5

1
    S  S  
5
P
:




    S 1  S  a     a    
5 


L
:





a 
5 
5 

1
     S   S  
5 
P:  a     
   
4x4=16 mogelijkheden hiermee geordend!
scalar
pseudo  scalar
vector
pseudo  vector
tensor
   geen 4  vector;    wel!
  5 belangrijk voor zwakke kernkracht
Rotatie van een spinor rond z-as
z-as rotaties via J3 operator:
Voor Dirac spinoren:

 
p  0 : niets
 

p  0 : b.v. p  ( p,0,0)
e
53
i J 3  i / 2 3
e
 cos( / 2)  i 3sin( / 2)
0

1
1 3
1
2  1




en



3
J 3 2 3 2 12 2  0  
3

Vgl. eerder gevonden SL
Boost van een spinor langs z-as
Voor Dirac spinoren:




2
cosh x 2cosh x / 21
Goniometrie:
Dus:
Met ook nog de e-macht
zie je dus dat deze boost
precies  geeft voor p0
1
i
K 3  2  03  2 

0

3
 3
2  1
 en  03
0

54
55
Inversie van een spinor in oorsprong

Want met S P   voldaan aan :
0
0





1

1
a    SL  SL  a    SP  SP   k
Kijk wat dit doet op:
 
fermion toestanden ((1) en (2))
anti-fermion toestanden ((3) en (4))




En hiermee zie je dus:
intrinsieke pariteit fermion en anti-fermion toestanden tegengesteld
Ladingsconjugatie
56
Dirac vgl. elektron (lading –|e|) in e.m. veld
Dirac vgl. positron (lading +|e|) in e.m. veld
Er moet een relatie tussen  en C bestaan omdat we de “gewone” Dirac vgl.
zullen gebruiken voor zowel elektronen als positronen. Deze relatie vind je zo:
Vind C die
voldoet aan:
Dan vind je uit de elektron Dirac vgl.
de positron Dirac vgl.
Relatie tussen elektron en positron oplossingen:
Elektron & Positron oplossingen
57
Expliciete uitdrukking C0
Dit voor mijn keuze van de  matrixes! Relaties elektron-positron oplossingen:
Gebruiken:
“u” spinoren
“v” spinoren:
v(1)
58
Normalisatie, orthogonaliteit en completeness
Normalisatie:
Orthogonaliteit:
Completeness:
59
Spin ½ Electrodynamica
60
Dirac vergelijking en A
Vrije Dirac-veld (electronen)
Minimale substitutie (qe=-e): pp+eA
De overgangs amplitude wordt dus
(vgl. Klein-Gordon voor spin S=0)
vergelijk nu
de vertex
factoren:
f
1
1
ie 4  p f  pi 

S=0
V
i
ui
uf
ie 4  
S=1/2
63
ee verstrooiing
B
pD
pB
pA
A
D

Analoog aan K K verstrooiing voor s=0
pC
e
C
En de overgangsamplitude wordt dus (q=pA-pC=pD-pB)
uD
uB
g 
q
uA
2
ie 4  
ie 4  
uC
Feynman regels voor QED (S=1/2)
Externe lijnen
u
u
v
v

 *
Vertices
Propagatoren

i   q  m
2
q m2

64
65
QED
e+

Fundamentele interacties:
e-
t
Bhabha verstrooiing
e e  e e
paar annihilatie/creatie
e e  
Möller verstrooiing
ee  ee
Compton verstrooiing
e  e
Analyse voorbeeld: normalisatie
detector
identifikatie
66
Bhabha verstrooiing: kleine hoeken
Voor elk process:
 = Nevents/Normalisatie
Luminositeits detector
Karakteristieken:
 “back-to-back”
 energie = Ebeam
 kleine hoeken
huiswerk, bereken:
eeee
e+
e+
e
e
e
e
e+
e+
67
68
Resultaat
voor ieder ander process:
 = Konstante  Nevents/Nluminosity
Hogere orde correcties
B
A
B
A
e+
e
e+
e
D
B
C
A
D
B
C
A
e+
e
e+
e
D
C
D
C
69
70
Werkzame doorsneden
Experiment (vaak): spin toestanden van in- en uit-komende deeltjes onbekend
Uitgaande deeltjes: spins sommeren
Inkomende deeltjes: spins middelen
beschouw dit eens voor een
concreet voorbeeld:
eeee
B
D
D
q  p A p D
q  p A  pC
 pC  p B
 pD  pB
A
B
C
A
C
s  ( p A  pB ) 2
t  ( p A  pC ) 2
u  ( p A  pD ) 2
Niet relativistische limiet
e
e
71

e
e
Niet relativistische limiet: lim|p|0
De vectoren worden
d.w.z. de spins verandert niet. Dus de termen met matrix-element  :
En de amplitude na sommatie en middelen
sommeren!
middelen!
identieke deeltjes!
2
t  4 p sin 2 
2
2
u  4 p cos2 
2
vgl. weer met Rutherford!
Relativistische spin
B

D
q  p A  pC
 pD  pB
 
 
Relativistische spin is ook niet moeilijk e   e  (1 diagram)
Voor |M|2 volgt dus:
lepton tensor:
A
e
C
72
De lepton tensor

k  m

k  m  
C 2
A
k
73
k’
k  k   
Hoewel de uitdrukking op het eerste gezicht verschrikkelijk lijkt, geldt wel:
1)
2)
Geen spinoren meer: via completeness relaties
De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels
“Casimir’s trick”
74
Sporen met -matrices
Gebruik altijd:
producten van 
matrices
sporen van
producten van 
matrices
Zwakke wisselwerking
Voorbeeld e   e 



Toepassen spoor
identiteiten geeft:

p
k

e
75
p’
k’
Voor de muon tensor
geldt hetzelfde:
Zodat:
Merk op dat in de extreem relativistische limiet geldt:
relativistische
limiet: M2,m2
0
0
0
e  e 



76

Hiermee wordt het matrix element uiteindelijk:
En de werkzame doorsnede:
totale
werkzame doorsnede

0
hoekverdeling
1/s
10
100
1000
 Ecm [GeV]
1
+1
 cos
Voorbeeld (“crossing”) e e   
 


77
e    e  
er is een relatie tussen
de amplituden voor:
e+
p
e e     
k
e-
k k’
“s”
p’
-
q=k+p k’
=k’+p’
+
e+e+ amplitude
en daarmee de werkzame doorsnede:
gebruik:
p-k’
st
ek’
k
e-
p’
q=k-k’
=p-p’
-
p
-
q=k’-k
=p-p’
“t”
p p’
78
Directe berekening ee     
vB
Je kunt het proces ook direct uitrekenen:
ie 4  
uA
De spin algebra geeft weer een spoor

 

2
t /4
vD
ig 
q2
ie 4  
uC
P A k
 p
P B

PC  k 
P D  p

 

2
u /4
En dit wordt in de extreem relativistische limiet:
(gelijk eerdere resultaat)
Werkzame doorsnede ee
79
80
Hoekverdelingen: ee and 
81
En nu heb je ook: eeqq gedaan!
With three colours
u, c, t
d, s, b
R
 qq
 
d
4 2
16  2
2
1cos     tot 
 
d
9 4s
27 s
2
q  :
3
q 

d
1 
1cos2    tot  4 
 
d
9 4s
27 s
2
1
:
3
 e
quarks
 
e  qq
 
4  2

3s
colour

colour
4  2
4  2

27 s
9s
udsc
 
 



e e
2

16  2
16  2

27 s
9s
uds
udsc no color
s
e  e 

Compton verstrooiing:
p
k
p’
q=p+k
k’
p

82
k’
q=p-k’
k
p’
ijk-invariantie geeft:
relativistische limiet,
d.w.z. verwaarloos
rustmassas
kwadraat:
relabel: 
83
Compton verstrooiing…
g  g 
p
p 
   k    k    g 
T
T
T
u
s
( s)
 pu (s)  p  p  m  p
Compton verstrooiing………
Converteren naar traces:
De trace theorema’s geven je voor |a|2 en |b|2:
84
Compton verstrooiing……………
En idem voor de twee kruis termen:
Hierbij gebruik gemaakt van:
De totale amplitude wordt dus:
85
Compton verstrooiing…………………
86
We hebben voor het matrix element dus:
De differentiele werkzame doorsnede is dan:
Voor berekening van totale werkzame doorsnede is alleen bijdrage van term –s/u van belang.
Om een eindig antwoord te krijgen is het noodzakelijk m2 van electron propagator te behouden:

In lab-stelsel (electron in rust, foton energie E, en dus s~2mE)
k
Paar annihilatie
Amplitude volgt uit de amplitude
voor ee via “crossing”:
b.v.
p
e
k
e+
e
“s”
q=p+k
p
e


87
k
k’
p’
p
e+
e
p’
k’
e
p’k
q=p+k
st
e

Dus:
d
(cos  )
d
 tot
 cos
 s
 s
e+
“t”
e

k’
 p’
After all this: computer program FORM

88
e+e  
e
e+
order 2


e+e  

e
3
e+

order 3
2
2
1
1
3
1
3
2
1
2
3
2
3
1
3
1
2
Coming soon!
89