Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen aan

Faculteit Wetenschappen
Departement Fysica
Academiejaar 2009–2010
Verstrooiing van Dirac Fermionen in Grafeen
aan Elektrostatische en Magnetische
Barrières
Christophe De Beule
Promotor: Prof. dr. B. Partoens
Medebegeleider: M. Barbier
Theoretische scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van
Bachelor in de Fysica
Inhoudsopgave
1 Inleiding
1.1 Relativiteit in een potloodstreep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Kristalstructuur van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2 Elektronische bandenstructuur van grafeen
5
2.1 Tight Binding model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Pi banden van grafeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Bandenstructuur rond het Dirac punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
3.1 Massaloze Dirac fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking
3.3 Continuı̈teitsvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Potentiaalberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Potentiaalbarrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Transfermatrixmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Verstrooiing van Dirac
4.1 Landau levels . . . .
4.2 Magnetische berg . .
4.3 Magnetische barrière
Besluit
deeltjes aan
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
13
15
16
21
25
magnetische barrières
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
37
Hoofdstuk 1
Inleiding
1.1
Relativiteit in een potloodstreep
Een potloodstreep is opgebouwd uit grafiet, een materiaal dat bestaat uit atomaire
laagjes koolstofatomen. In 2004 is een groep van de Universiteit van Manchester onder
leiding van André Geim erin geslaagd om individuele lagen grafiet, grafeen, te isoleren
door gebruik te maken van scotch tape 1 . Dit was op zich een grote doorbraak omdat
gedacht werd dat tweedimensionale kristallen niet konden bestaan bij een temperatuur
verschillend van nul omwille van thermische fluctuaties 2–4 . Samen met enkele anderen
tweedimensionale materialen (bv. boron nitride) is grafeen één van de eerste tweedimensionale kristallen geobserveerd in de natuur 5 . In Fig. 1.1 wordt (a) de aanpak van de
Manchester groep geı̈llustreerd en (b) een waarneming van grafeen onder een elektronen
microscoop getoond. Dezelfde ploeg toonde in 2005 tegelijk met een andere groep, een
samenwerking tussen de Universiteiten van Columbia en Princeton geleid door Philip
Kim en Horst Stormer, aan dat ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag vertonen 6,7 . Sindsdien staat de experimentele en theoretische studie van grafeen sterk in de
belangstelling van onderzoekers. De theoretische studie van grafeen en haar honingraat kristalrooster bestaat echter al langer aangezien grafeen beschouwd kan worden
als de bouwblok van verscheidene grafiet-achtige materialen zoals nanobuizen en andere fullerenen. Naast het fundamenteel onderzoek is er ook interesse voor de mogelijke
technologische toepassingen van grafeen. Elektronica gebaseerd op grafeen zou aan de
hand van ballistische transistoren de maximale miniaturisatie van computerchips kunnen verbeteren en heeft voordelen tegenover dezelfde aanpak met nanotubes. De eerste
commerciële toepassing is mogelijk een LCD waar grafeen gebruikt wordt als elektrode 8 .
1.2
Doelstelling
Omdat de ladingsdragers in grafeen relativistisch gedrag vertonen kan men de effecten
van de Kwantumelektrodynamica experimenteel onderzoeken in het gewone labo. Zo
is er bijvoorbeeld de Klein paradox -perfecte tunneling van relativistische deeltjes door
1
2
Hoofdstuk 1. Inleiding
(a)
(b)
Figuur 1.1: Zoeken naar een naald in een hooiberg. (a) De verschillende kleuren
in deze optische waarneming (300 micron breed), wijzen op de aanwezigheid van grafiet
vlokken met verschillende dikte. Deze vlokken zijn afgepeld van bulk grafiet met behulp
van plakband en vervolgens aangebracht op een SiO2 substraat, dunnere en individuele
lagen grafiet zijn te onderscheiden door hun transparantie. Na een ruwe selectie gebruikt men AFM om de de dikte van de kristallen te meten. (b) Transmissie elektronen
microscoop beeld van grafeen hangend op een rekje van gouddraad 9 .
hoge potentiaalbarrières- één van de meest exotische voorspellingen van de Kwantumelektrodynamica die moeilijk waargenomen kan worden in de experimentele elementaire
deeltjesfysica 10,11 . Het is bijgevolg zeer interessant om deze fenomenen theoretisch te
onderzoeken en aan de hand van deze voorspellingen experimenten te sturen. In deze
uiteenzetting wordt de elektronische structuur van grafeen berekend aan de hand van
het tight binding model en wordt de verstrooiing aan elektrostatische en magnetische
barrières van ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen onderzocht. In het bijzonder wordt de Klein paradox in grafeen aangetoond, en de analogie van de beschrijving
van ladingsdragers in grafeen met de relativistische Kwantummechanica besproken. In
het deel over magnetisme worden eerst de Landau levels in grafeen berekend vooraleer
de verstrooiing aan magnetische barrières onderzocht wordt. Om de bandenstructuur te
berekenen moet er eerst gekeken worden naar de kristalstructuur van grafeen.
1.3
Kristalstructuur van grafeen
In Fig. 1.2 wordt het rooster en de eenheidscel van grafeen geı̈llustreerd. Het honingraat
rooster is echter zelf geen Bravais rooster omdat twee naburige koolstofatomen, naaste
naburen (nn) hebben in verschillende richtingen. Het rooster kan echter beschouwd
worden als twee hexagonale Bravais subroosters, die onderling verschoven zijn over de
nn afstand a = 1.42Å. Het Bravais rooster van grafeen is dus een hexagonaal rooster
3
Hoofdstuk 1. Inleiding
a = 1.42Å
A
B
~3
R
~a1
y
~a2
~1
R
~2
R
x
Figuur 1.2: Het rooster van grafeen bestaat uit twee hexagonale subroosters (zwart
en wit) verschoven over de nn afstand a. Het rooster kan beschouwd worden als een
hexagonaal rooster met een basis bestaande uit twee koolstofatomen A en B en primitieve
roostervectoren ~ai (i = 1, 2). De eenheidscel is het gebied omsloten door de gestipte ruit.
met een basis bestaande uit de twee koolstofatomen A en B. In het coördinatenstelsel
van Fig. 1.2 worden de primitieve roostervectoren ~a1 en ~a2 uitgedrukt als
√
√ a
(1.1)
−3, 3, 0 ,
~a1 = 0, 3a, 0 , ~a2 =
2
√
waar ã = |~a1 | = |~a2 | = 3a de roosterconstante van grafeen is. De oppervlakte
√ 2van
de eenheidscel (gestipte ruit op Fig. 1.2) is gelijk aan Ac ≡ ~a1 · ~a2 × ~a3 = 3ã /2,
met ~a3 = (0, 0, 1). De corresponderende reciproke roostervectoren ~b1 en ~b2 met grootte
b̃ = 4π/3a worden gegeven door
√ ~b1 = 2π 1, 3, 0 , ~b2 = − 4π , 0, 0 .
(1.2)
3a
3a
De eerste Brillouin zone (BZ) wordt geconstrueerd aan de hand van de korste reciproke
roostervectoren. Dit zijn de volgende zes vectoren: ±~b1 , ±~b2 en ±(~b1 + ~b2 ). In Fig. 1.3
wordt de eerste BZ van grafeen getoond. De punten met hoge symmetrie Γ, M en K
worden in het coördinatenstelsel van Fig. 1.3 uitgedrukt als
4π
π √ 1, 3 , K = 0, √
.
(1.3)
Γ = (0, 0) , M =
3a
3 3a
4
Hoofdstuk 1. Inleiding
~b1 + ~b2
~b1
K
M
Γ
~b2
ky
−~b2
kx
−~b1
−(~b1 + ~b2 )
Figuur 1.3: Het reciproke rooster van het hexagonaal rooster wordt geconstrueerd met
de kortste zes reciproke roostervectoren: ±~b1 , ±~b2 en ±(~b1 + ~b2 ). Het grijze gebied plus
de vette rand en zwarte punten stellen de eerste BZ voor met centrum Γ en de twee
randpunten M en K.
Hoofdstuk 2
Elektronische bandenstructuur
van grafeen
De koolstofatomen in grafeen zijn sp2 -gebonden, dit betekent dat er drie sp2 orbitalen
en één 2p orbitaal gevormd worden. De drie sp2 orbitalen overlappen met de andere
sp2 orbitalen van de naaste naburen en vormen een σ binding. De 2p orbitalen vormen
een π binding en dit leidt samen tot een resonante structuur. De σ gebonden elektronen van grafeen zijn zo sterk gebonden dat ze bijna nooit meedoen aan elektronisch
transport. Het zijn de minder sterk gebonden π elektronen in grafeen (en andere koolstof materialen) die relevant zijn voor transport -en andere elektronische eigenschappen.
Een eenvoudige tight binding berekening voor de π elektronen levert meteen veel inzicht
in de elektronische structuur van de π banden van grafeen en andere grafiet-achtige
materialen.
2.1
Tight Binding model
In dit model wordt de elektronische structuur van een kristal berekend aan de hand van
een benaderende set golffuncties gebaseerd op een superpositie van atomaire golffuncties.
Als een atoom in een kristal geplaatst wordt, overlapt zijn atomaire golffunctie met
naburige atomen, waardoor het geen echte eigenfunctie is van de kristal Hamiltioniaan.
Als de elektronen echter sterk gebonden zijn is er minder overlap en is het een goede
benadering. Voor deze sectie werd er voornamelijk geput uit Saito et al. 12 . Een tight
binding golffunctie Φj (~k, ~r) wordt als volgt geconstrueerd:
N
1 X i~k·R~
~
~
√
e
ϕj (~r − R),
Φj (k, ~r) =
N ~
(j = 1, . . . , n),
(2.1)
R
~ de positie is van het atoom dat correspondeert met de j-de toestand van het
waar R
atomaire orbitaal ϕj . Het totaal aantal orbitalen in een eenheidscel wordt gegeven door
n en er wordt gesommeerd over alle eenheidscellen N . De functie Φj (~k, ~r) voldoet aan
5
6
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
het Bloch theorema en men heeft in totaal n basis Bloch functies per kristal golfvector
~k. Periodische randvoorwaarden in elke richting ~aα geven
Φj (~k, ~r + M~aα ) = Φj (~k, ~r),
(α = 1, 2),
(2.2)
waar M het aantal primitieve roostervectoren is in elke richting. Gebruik makend van
vgln. (2.1) en (2.2) volgt er dat exp{ikα M aα } = 1 met aα = |~aα | of
kα =
2pπ
,
M aα
(p = 0, 1, . . . , M − 1),
(2.3)
waar de rij afgekapt wordt vanaf p = M omdat we stellen dat er M 2 ≡ N onafhankelijke
golfvectoren bestaan in de eerste Brillouin zone. Aangezien voor een echt kristal N heel
groot is, kunnen we de kα beschouwen als continue variabelen. De eigenfuncties van
de kristal Hamiltioniaan Ψi (~k, ~r) (i = 1, . . . , n) worden vervolgens benaderd door een
lineaire combinatie van de basis Bloch functies Φj (~k, ~r):
Ψi (~k, ~r) =
n
X
Cij (~k)Φj (~k, ~r),
(2.4)
j=1
waar de complexe functies Cij (~k) te bepalen coëfficiënten zijn en de relatieve bijdragen
van de Bloch orbitalen uit vgl. (2.1) tot de golffunctie bepalen. Deze n n-components
golffuncties voldoen ook aan het Bloch theorema en beschrijven quasideeltjes. De eigenwaarden Ei (~k) worden gegeven door
hΨi |H|Ψi i
,
Ei (~k) =
hΨi |Ψi i
(2.5)
met H de kristal Hamiltoniaan, die a priori onbekend is. Substitueren van vgl. (2.4) in
vgl. (2.5) geeft
Ei (~k) =
n
X
∗
Cij
Cij ′
j,j ′ =1
n
X
∗
Cij
Cij ′
j,j ′ =1
Φj |H|Φj ′
Φj |Φj ′
≡
n
X
j,j ′ =1
n
X
j,j ′ =1
∗
Cij
Cij ′ Hjj ′ (~k)
,
(2.6)
∗
Cij
Cij ′ Sjj ′ (~k)
waar Hjj ′ (~k) ≡ Φj |H|Φj ′ en Sjj ′ (~k) ≡ Φj |Φj ′ (j, j ′ = 1, . . . , n) respectievelijk de
transfer -en overlapmatrices genoemd worden. Dit zijn de matrixrepresentaties van de
Hamiltoniaan en de eenheidsoperator in de basis van Bloch functies. De coëfficiënten
∗ (~
Cij
k) kan men optimaliseren door de energie te minimaliseren voor vaste ~k:
n
X
Cij ′ Hjj ′ (~k)
n
X
∗
Cij
Cij ′ Hjj ′ (~k)
n
X
~
∂Ei (k)
j ′ =1
j,j ′ =1
0=
−
Cij ′ Sjj ′ (~k).
2
n
∗ = X
∂Cij
n
∗
j ′ =1
Cij
Cij ′ Sjj ′ (~k)  X ∗
Cij Cij ′ Sjj ′ (~k)
j,j ′ =1
j,j ′=1
(2.7)
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
Door vgl. (2.7) te vermenigvuldigen met
n
X
j,j ′=1
7
∗
Cij
Cij ′ Sjj ′ (~k) en de uitdrukking voor Ei (~k)
uit vgl. (2.6) hierin te substitueren, vindt men
n
X
j ′ =1
Cij ′ Hjj ′ (~k) = Ei (~k)
n
X
j,j ′ =1
Cij ′ Sjj ′ (~k).
(2.8)
Als we de volgende kolomvector definiëren, Ci = (Ci1 , . . . , Cin )t , kunnen we vgl. (2.8)
herschrijven als
HCi = Ei (~k)SCi .
(2.9)
Deze vergelijking heeft een oplossing verschillend van nul als
det(H − ES) = 0,
(2.10)
de oplossing Ci = 0 betekent dat de golffunctie niet bestaat. vgl. (2.10) noemt men de
seculiere vergelijking, een n-de graadsvegelijking voor zekere ~k waarvan de oplossingen
alle n eigenwaarden Ei (~k) bepalen. Er zijn 2N onafhankelijke orbitalen per energieband
Ei omwille van elektron spin en de periodische randvoorwaarden uit vgl. (2.3).
2.2
Pi banden van grafeen
~ (j =
De twee Bloch functies worden geconstrueerd uit de twee 2p orbitalen ϕj (~r − R)
A, B) van de twee koolstofatomen A en B in Fig. 1.2. Deze basisfuncties horen bij het
π elektron van het subroosters A of B en worden expliciet gegeven door
N
1 X i~k·R~
~
~
e
ϕj (~r − R),
Φj (k, ~r) = √
N ~
(2.11)
R
zoals gedefinieerd in vgl. (2.1). Door de definite van Hjj ′ (j ′ = A, B) uit vgl. (2.6) te
gebruiken en vgl. (2.11) hierin substitueren, krijgen we voor het matrix element HAA :
HAA =
N
D
E
1 X i~k·(R~ ′ −R)
~
~
~ ′)
ϕA (~r − R)|H|ϕ
r−R
e
A (~
N
~ R
~′
R,
N
1 X
=
E2p
N
(2.12)
~ ′ =R
~
R
~′ = R
~ ± ~a1,2 en R
~ ± (~a1 − ~a2 ))
+ (termen gelijk of verder dan R
≈ E2p .
~′
~
In vgl. (2.12) komt de grootste
D bijdrage in de som van
E R = R, en dit geeft de energie
~
~ . Dit is echter niet de atomaire
van het 2p orbitaal, E2p ≡ ϕA (~r − R)|H|ϕ
r − R)
A (~
8
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
energiewaarde omdat de Hamiltioniaan een kristal potentiaal bevat. De volgende naaste
naburen en verder gelegen termen worden verwaarloosd voor de eenvoud. Gelijkaardig
vinden we dat het matrix element HBB = HAA omdat atomen A en B identiek zijn.
Voor het matrixelement HAB wordt de grootste bijdrage geleverd wanneer A en B naaste
~ ′ = R+
~ R
~ l (l = 1, 2, 3).
naburen zijn. In Fig. 1.2 wordt geı̈llustreerd dat er dan geldt dat R
′
~
In de sommatie over R beschouwen we enkel deze gevallen en verwaarlozen we bijdragen
van verder gelegen atomen:
HAB ≈
3
N
E
1 X X i~k·R~ l D
~
~
~
ϕA (~r − R)|H|ϕ
(~
r
−
R
−
R
)
e
A
l
N
~ l=1
R
~
~1
~2
ik·R
i~k·R
= t(e
+e
~ ~
+ eik·R3 )
(2.13)
≡ tf (~k),
D
E
~
~ −R
~ l ) ∀ l een fenomenologische parameter is met een
waar t ≡ ϕA (~r − R)|H|ϕ
r−R
A (~
∗
negatieve waarde. Het matrix element HBA = HAB
opdat H hermitisch zou zijn. Als we
E2p gelijk aan nul stellen dan wordt de expliciete uitdrukking van de matrixrepresentatie
H voor de Hamiltioniaan in de Bloch basis gegeven door
!
~k)
0
tf
(
H(~k) =
.
(2.14)
tf (~k)∗
0
~ l uitgedrukt als
In het coördinatenstelsel van Fig. 1.2 worden de vectoren R
√
a
a √ ~
~
~
1, − 3, 0 , R3 =
1, 3, 0 .
R1 = (−a, 0, 0) , R2 =
2
2
(2.15)
Uit vgl. (2.15) volgt dan voor f (~k):
f (~k) = e−ikx a + 2eikx a/2 cos
√ !
ky 3a
.
2
(2.16)
De overlap matrix S, gedefinieerd in vgl. (2.6), wordt op een gelijkaardige wijze berekend.
Ten eerste geldt dat SAA = SBB = 1 als we aannemen dat de Bloch golffuncties Φj
genormaliseerd zijn. We veronderstellen ook dat
D er geen overlap is tussen
E naburige
~ A (~r − R
~ −R
~ l ) = 0 voor
atomaire golffuncties zodat S = I2 , aangezien ϕA (~r − R)|ϕ
alle l. Omdat de functie f (~k) uit vgl. (2.16) in het K punt, gegeven in vgl. (1.3), gelijk
aan nul is, is deze benadering exact voor het K punt. De eigenwaarden E(~k) worden
bekomen uit het oplossen van de seculiere vergelijking det(H − ES) = 0:
E(~k) = −st|f (~k)|
v
u
u
= s|t|t1 + 4 cos2
(2.17)
√ !
kx 3a
ky 3a
+ 4 cos
cos
2
2
√ !
ky 3a
,
2
(2.18)
9
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
3
2.5
| Et |
2
1.5
1
0.5
0
−4
Γ
M
−2
−4
K
0
−2
0
2
2
4
ky a
4
kx a
Figuur 2.1: De energie dispersie relatie van grafeen voor heel de eerste BZ. De π en
π ∗ banden zijn symmetrisch rond E = 0 voor deze eenvoudige beschrijving. De energie
wordt weergegeven in eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a.
met s = sign(E). s = −1 in vgl. (2.17) geeft de bindings π energie band (valentieband),
en s = 1 de anti-bindings π ∗ energie band (conductieband). In Fig. 2.1 wordt de energie
dispersie relatie geplot voor heel de eerste Brillouin zone, getoond in Fig. 1.3. De punten
Γ, M en K uit vgl. (1.3) hebben respectievelijk energiewaarden ±3t, ±t en 0. Omdat
er twee elektronen per eenheidcel zijn, is de π band helemaal gevuld is en ligt het Fermi
niveau (voor T = 0 K) bij E = 0 en snijdt het de top van de valentieband en het
minimum van de conductieband in het K punt. Omdat we verondersteld hebben dat
de overlapmatrix de eenheidsmatrix is, wat wil zeggen dat er geen overlap is tussen de
atomaire golffuncties van koolstofatomen A en B, is de energie dispersie symmetrisch
rond nul. Uit een berekening van de toestandsdichtheid volgt dat de toestandsdichtheid
bij het Fermi niveau nul is 13 . In deze beschrijving is grafeen dus een halfgeleider met
een bandgap gelijk aan nul, wat een gevolg is van het feit dat de A en B atomen dezelfde
soort atomen zijn. Als dit niet het geval was (zoals bij boron nitride) dan waren de
diagonaalelementen van de Hamiltoniaan verschillend geweest en zou de energie dispersie
een energiekloof tussen de banden tonen.
10
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
2.3
Bandenstructuur rond het Dirac punt
Elektronische excitaties met een lage energie zijn excitaties met een energie veel kleiner
dan de bandbreedte 6|t|. Uit sectie 2.2 volgt dat als we deze excitaties willen beschrijven,
we moeten kijken naar excitaties rond het Fermi niveau (≪ t). Uit de energie dispersie
(Fig. 2.1) volgt dat zulke excitaties zich rond het K punt bevinden. Dit zijn ladingsdra~ + d~k. Om de energie dispersie relatie rond het K
gers met een kristal golfvector ~k = K
√ punt te vinden, expanderen we de functie f (~k) uit vgl. (2.16) rond K = 0, 4π/3 3a .
De meeste fundamentele eigenschappen van grafeen zitten bevat in het model verkregen uit een eerste orde Taylor expansie van f (~k). Hogere ordes worden verwaarloosd
aangezien we reeds tijdens het opstellen van de tight binding Hamiltoniaan deze termen
hebben laten vallen. Als we de oorsprong verplaatsen naar het K punt dan bekomen we
~k) ~k) ∂f
(
∂f
(
~ + kx
+ ky
,
(2.19)
f (~k) ≈ f (K)
∂kx ~ ~
∂ky ~ ~
k=K
met
"
∂f (~k)
= ia eikx a/2 cos
∂kx
k=K
#
√ !
ky 3a
− e−ikx a ,
2
(2.20)
en
√ !
√ ik a/2
k
∂f (~k)
3a
y
= − 3ae x sin
.
(2.21)
∂ky
2
p
~ = 0, wat
Als we gebruik maken van sin(2π/3) = (3)/2, cos(2π/3) = −1/2 en f (K)
volgt uit vgl. (2.16), dan bekomen we:
3a
f (~k) ≈ −i (kx − iky ).
2
(2.22)
Door vgl. (2.22) te substitueren in vgl. (2.17) vinden we een lineaire energie dispersie
relatie rond het K punt:
3a
E = s|t| k,
(2.23)
2
met s = sign(E) en waar we gebruik gemaakt hebben van k2 = kx2 + ky2 . De Fermi
snelheidsvector wordt gegeven door
1
3a cos φ
~vF = ∇~k E = s|t|
,
(2.24)
~
2~ sin φ
aangezien kx = k cos φ en ky = k sin φ met φ de hoek ingesloten door de golfvector ~k en
de x-as. De Fermi snelheid wordt dan
vF = |t|
3a
.
2~
(2.25)
Substitueren van vgl. (2.25) in vgl. (2.23) geeft
E = s~vF k,
(2.26)
11
Hoofdstuk 2. Elektronische bandenstructuur van grafeen
0.25
0.2
0.15
0.1
E/t
0.05
K
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
0.1
0.05
0
ky a
−0.05
−0.1
−0.1
−0.05 0
0.05
0.1
kx a
Figuur 2.2: Het lineaire spectrum rond het Dirac punt. De energie wordt weergegeven
in eenheden van t en de golfvectoren in eenheden van 1/a.
wat sterk lijkt op de relativistische energie voor een massaloos deeltje met impuls ~k
(bv. een foton). Het enige verschil is dat de lichtsnelheid vervangen is met de Fermi
snelheid. Dit is een eerste indicatie dat ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen
zich gedragen als massaloze relativistische deeltjes. De uitdrukking voor de energie uit
vgl. 2.26 wordt geplot in Fig. 2.2. Als we vgl. (2.25) en vgl. (2.22) substitueren in
vgl. (2.14) bekomen we de Dirac-achtige Hamiltoniaan:
0
i(kx − iky )
H0 = ~vF
.
(2.27)
−i(kx + iky )
0
Omwille van deze gelijkenis noemt men het K punt, het Dirac punt. Het lineaire spectrum is experimenteel bevestigd door het meten van de energie-afhankelijke cyclotron
massa 6 , de observatie van een relativistisch analogon van het integer kwantum Hall effect 7 en directe metingen van de dispersie met ARPES 14 . Een ruwe afschatting van de
Fermi snelheid, gedefinieerd in vgl. (2.25), geeft vF ≈ 106 m s−1 , waar we de parameter
t ≈ −3eV gesteld hebben 12 . Dit is ongeveer een factor 300 kleiner dan de lichtsnelheid
en ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen bewegen dus niet aan relativistische
snelheden, maar gedragen zich relativistisch omwille van de symmetrie van het rooster.
Hoofdstuk 3
Verstrooiing van Dirac deeltjes
aan elektrostatische barrières
3.1
Massaloze Dirac fermionen
Uit sectie 2.3 volgde dat de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschreven
worden door de Dirac-achtige Hamiltoniaan:
H0 = ~vF ~σ · ~k,
(3.1)
met de Fermi snelheid vF ≈ 106 m s−1 en de Pauli matrices ~σ = (σx , σy ). De fasefactoren i en −i uit vgl. 2.27 worden in de componenten van de golffunctie gestoken.
De analogie met het Dirac formalisme uit de relativistische Kwantummechanica kan
nog verder getrokken worden. Voor positieve energie (conductieband, zie Fig. 2.2) zijn
de ladingsdragers elektron-achtig en negatief geladen. Als de energie negatief is en
de valentieband niet helemaal opgevuld is, dan gedragen de onopgevulde toestanden
zich als positief geladen quasideeltjes; deze holten zijn het analogon van positronen in
de Kwantumelektrodynamica. In de klassieke Kwantummechanica zijn elektronen en
holten niet met elkaar verbonden: ze worden door twee verschillende niet-gekoppelde
Schrödingervergelijkingen beschreven (verschillende effectieve massa), met een parabolisch energiespectrum. De componenten van de twee componentsfunctie Ψ ≡ (ΨA , ΨB ),
gedefinieerd in vgl. (2.4), geven weer wat de relatieve bijdrage is tot de golffunctie van
het quasideeltje van de twee subroosters A en B (van de Bloch orbitalen). Deze beschrijving is gelijkaardig aan deze van spinor golffuncties, waar de spin vervangen wordt door
subrooster of pseudospin σ. Nu kunnen we ook begrijpen waarom de Klein paradox voorkomt in grafeen. De Klein paradox in de Kwantumelektrodynamica kan geı̈nterpreteerd
worden door het feit dat voor een potentiaalbarrière die hoog genoeg is, de energie in de
potentiaal voldoende negatief wordt om een positron te creëren. Dat positron tunnelt
vervolgens door de barrière en verschijnt terug als een elektron uit de barrière. Dit is
moeilijk waar te nemen in de elementaire deeltjesfysica, omdat de vereiste potentiaal
van de orde van de rustenergie van het positron moet zijn, wat zeer grote elektrische
velden oplevert. Omdat quasideeltjes in grafeen massaloos zijn, wat een gevolg is van
12
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
13
het lineaire energiespectrum, is er geen theoretische ondergrens voor de Klein paradox.
In de volgende secties wordt de verstrooiing van ladingsdragers, beschreven door H0 ,
aan één-dimensionale elektrostatische stappotentialen besproken. Ook de Klein paradox
wordt theoretisch aangetoond.
3.2
Algemene oplossing van de tijdsonafhankelijke Dirac
vergelijking
In de envelop functie benadering worden de ~k waarden in de tight binding Hamiltoniaan
Ĥ0 vervangen door operatoren −i∇. Als we werken in de positierepresentatie, geldt er
~k = k̂x ,
(3.2)
k̂y
∂
(3.3)
k̂x = −i ,
∂x
∂
k̂y = −i ,
(3.4)
∂y
zodat de Hamiltoniaan Ĥ0 gegeven wordt door
0
k̂x − ik̂y
Ĥ0 = ~vF
.
k̂x + ik̂y
0
(3.5)
Uit de tijdsonafhankelijke Dirac vergelijking Ĥ0 ψ = EΨ volgt
ΨB =
~vF
(k̂x + ik̂y )ΨA ,
E
en
(k̂x2
+
k̂y2 )ΨA
=
E
~vF
2
ΨA ,
(3.6)
(3.7)
dit is een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde in x en y. Het oplossen van
deze vergelijking en de subsitutie van de oplossing ΨA in vgl. (3.6) geeft ons de envelop
functies van de eigentoestanden van Ĥ0 . Voor de studie van verstrooiing wordt er gekeken
naar één-dimensionale barrières in de x-richting. Daarom wordt er verondersteld dat het
quasideeltje vrij is in de y-richting. Omdat k̂x en k̂y gekoppeld worden de Hamiltoniaan
zal de verstrooiing anisotroop zijn. Dit is een fundamenteel verschil met verstrooiing
van ladingsdragers beschreven door de Schrödingervergelijking. Door een scheiding van
veranderlijken Ψ(x, y) = ψ(x)eiky y toe te passen op vgl. (3.7) vindt men
1
1
ikx x
ψ(x) = a
e
+
b
e−ikx x ,
(3.8)
seiφ
−se−iφ
met (E/~vF )2 = kx2 + ky2 , kx = k cos φ, ky = k sin φ en −π/2 < φ < π/2. We zullen
ook altijd veronderstellen dat kx en ky reëel zijn tenzij expliciet vermeld. De complexe
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
14
coëfficiënten a en b kan men bepalen naargelang de fysische situatie. Omdat we deze
componenten fysisch willen interpreteren als een rechts- en linkspropagerende golf, bekijken we de groepssnelheid in de x-richting. Deze werd gegeven door vgl. (2.24):
vx = svF cos φ,
(3.9)
waaruit volgt dat een holte (s = −1) in de tegengestelde zin beweegt dan een elektron
(s = 1). Om de golffunctie juist te interpreteren moeten we ervoor zorgen dat de juiste
coëfficiënt bij de juiste component staat. Omdat voor een holte de componenten van
plaats verwisselen, vermenigvuldigen we kx met het teken van de energie s. De invalshoek
wordt dan gegeven door
ky
= sφ.
(3.10)
arctan
skx
Dit is ook een oplossing van vgl. (3.7) en hieruit volgt samen met vgl. (3.6):
1
1
ψ(x) = a isφ eiskx x + b
e−iskx x .
e
−e−isφ
(3.11)
De Hamiltoniaan voor een quasideeltjes dat zich voortbeweegt in een potentiaal V wordt
gegeven door Ĥ = Ĥ0 + V of expliciet
V
k̂x − ik̂y
Ĥ = ~vF
.
(3.12)
k̂x + ik̂y
V
De statische Dirac vergelijking Ĥψ = Eψ is exact oplosbaar voor een constante potentiaal V = V0 . Om de oplossingen te bekomen voor een constante potentiaal in de xrichting, wordt er opgemerkt dat enkel de energieschaal veranderd is tegenover vgl. (3.7),
E → E − V0 . De golfvector in de potentiaal wordt gegeven door
q = s′
E − V0
,
~vF
(3.13)
waar s′ = sign(E − V0 ). Omdat de potentiaal langs de x-richting ligt geldt er
q 2 = qx2 + ky2 ,
waar qx de nieuwe x-component van de golfvector is. Uit vgl. (3.13) volgt dan
s
E − V0 2
− ky2 ,
qx =
~vF
(3.14)
(3.15)
wat imaginair wordt als q 2 − ky2 < 0. De golffunctie in de potentiaal wordt dus gegeven
door vgl. (3.11) met kx ↔ qx , φ ↔ θ en s ↔ s′ . Als qx reëel is, kunnen we de brekingshoek
−π/2 < s′ θ < π/2 definiëren door
ky
arctan ′
= s′ θ.
(3.16)
s qx
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
15
Aan de hand van de definite van ky in beide gebieden, krijgt men
k sin φ = q sin θ
(3.17)
sk sin(sφ) = s′ q sin(s′ θ),
(3.18)
of
met sφ en s′ θ respectievelijk de invals -en brekingshoek. Deze vergelijking is een soort
wet van Snellius voor breking aan een potentiaal V0 voor massaloze Dirac fermionen. De
grootte van de golfvector maal het teken van de energie neemt de rol van brekingsindex
over. Grafeen kan dus bijgevolg rond het Fermi niveau, beschouwd worden als een meta
materiaal, aangezien de brekingsindex negatief kan worden 15 .
3.3
Continuı̈teitsvergelijking
Om verstrooiing te onderzoeken, moeten de coëfficiënten van de golffunctie uit vgl. 3.11
bepaald worden in functie van a. Hiervoor moet er een eis gesteld worden voor de
golffunctie aan het begin van de barrière. De transmissie wordt dan berekend aan de
hand van de stroomdichtheid, die bekomen wordt uit de continuı̈teitsvergelijking. De
waarschijnlijkheidsverdeling ρ = |Ψ|2 wordt gegeven door
ΨA
†
∗
∗
Ψ Ψ = (ΨA , ΨB )
ΨB
= |ΨA |2 + |ΨB |2 = ρA + ρB ,
(3.19)
de lading wordt gegeven door −seρ met e de elementaire lading. We zoeken nu de
uitdrukking voor de stroomdichtheid ~j door de continuı̈teitsvergelijking
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0,
∂t
∂
uit te werken. Gebruik makend van i~ ∂t
Ψ = ĤΨ, bekomen we
∂
∂
∂
∂
∗
+
−
ΨB + ΨA i
i~ ρA = −~vF ΨA i
∂t
∂x ∂y
∂x
∂
∂
∂
∂
∗
∗
i~ ρB = −~vF ΨB i
+
−
ΨA + ΨB i
∂t
∂x ∂y
∂x
(3.20)
∂
∗
ΨB ,
∂y
∂
ΨA ,
∂y
(3.21)
(3.22)
wat geldig is voor al de Hamiltonianen die gebruikt worden in dit proefschrift. Omdat
ρ = ρA + ρB , volgt er uit de vorige vergelijkingen
∂
∂
∂ρ
∗
∗
∗
∗
= −vF
(ΨA ΨB + ΨA ΨB ) +
i(ΨA ΨB − ΨA ΨB )
(3.23)
∂t
∂x
∂y
∂
∂
∗
∗
= −2vF
Re(ΨA ΨB ) +
Im(ΨA ΨB ) .
(3.24)
∂x
∂y
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
Identificatie van vgl. (3.23) met vgl. (3.20) geeft voor de stroomdichtheid
∗Ψ )
B
~j = 2vF Re(ΨA
.
Im(Ψ∗A ΨB )
16
(3.25)
Om de voorwaarde aan een barrière in de x-richting op x = 0 te vinden, integreren we
ĤΨ = EΨ tussen −ǫ en ǫ voor de limiet van ǫ → 0. Dit geeft voor het rechter -en
linkerlid respectievelijk:
Z ǫ
lim
ΨA dx = 0,
ǫ→0 −ǫ
Z ǫ
Z ǫ
lim
k̂x ΨB dx = −i lim
[ΨB (ǫ) − ΨB (−ǫ)],
(3.26)
ǫ→0 −ǫ
ǫ→0 −ǫ
waaruit volgt
lim
Z
−ǫ
ǫ→0 ǫ
[ΨB (ǫ) − ΨB (−ǫ)] = 0.
(3.27)
De voorwaarde gegeven in vgl. (3.27) is verschillend van de voorwaarde bekomen met
de Schrödingervergelijking, waar niet enkel de golffunctie, maar ook de afgeleide van de
golffunctie continu moet zijn.
V (x)
V0
0
x
Figuur 3.1: Potentiaalberg met hoogte V0 .
3.4
Potentiaalberg
Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.1)
0 x < 0,
V (x) =
V0 x > 0.
De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11):
1
1
iskx x
ψ1 (x) = a isφ e
+b
e−iskx x ,
e
−e−isφ
(3.28)
(3.29)
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
17
Voor de stroomdichtheid langs de x-richting j(x < 0), gedefinieerd in vgl. (3.25), vindt
men
j(x < 0) = 2vF (|a|2 − |b|2 ) cos φ
= j+ − j− .
(3.30)
Voor x > 0 moeten we twee situaties beschouwen afhankelijk van ŝ = sign(q 2 − ky2 ). Als
ŝ = −1 dan is qx imaginair, i.e. qx = i|qx |. Omdat de golffunctie eindig moet zijn voor
x → ∞ vindt men aan de hand van vgl. (3.6):
1
e−|qx |x .
(3.31)
ψ2 (x) = c
~vF
(|q
|
+
k
)
i E−V
x
y
0
De coëfficiënten b en c worden uitgedrukt in functie van a door te stellen dat de golffunctie
continu moet zijn in x = 0 wat volgt uit vgl. (3.27). ψ1 (0) = ψ2 (0) geeft
a + b = c,
aeisφ − be−isφ = c i
~vF
(|qx | + ky ),
E − V0
waaruit volgt
u
a,
u∗
2 cos φ
a,
c=
u∗
b=
met
u = eisφ − i
(3.32)
~vF
(|qx | + ky ).
E − V0
Noemen we nu r ≡ b/a de reflectiecoëficiënt en t ≡ c/a de transmisiecoëficiënt dan
vinden we voor de stroomdichteid j(x > 0) = jt = 0. De reflectiewaarschijnlijkheid
R ≡ j− /j+ = |r|2 en de transmissiewaarschijnlijkheid T ≡ jt /j+ zijn dan respectievelijk
gelijk aan 1 en 0 wat volgt uit vgln. (3.32) en (3.30). Er moet gelden dat R + T = 1
(behoud van stroom) wat triviaal voldaan is. Voor ŝ = 1 krijgen we voor de golffunctie
na de stap, als we de golf van links laten invallen:
′
1
ψ2 (x) = c is′ θ eis qx x .
(3.33)
e
Uit de continuı̈teitsvoorwaarde volgt
a + b = c,
isφ
ae
′
− be−isφ = ceis θ ,
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
18
waaruit volgt
eisφ − eisθ
a,
e−isφ + eisθ
2 cos φ
a.
c = −isφ
e
+ eisθ
b=
(3.34)
Voor de stroomdichtheid jt bekomen we nu
jt = 2vF |c|2 cos θ,
(3.35)
R en T worden dan
1 − cos(sφ − s′ θ)
,
1 + cos(sφ + s′ θ)
cos θ
T = |t|2
cos φ
2 cos φ cos θ
.
=
1 + cos(sφ + s′ θ)
R=
(3.36)
(3.37)
Dit volgt uit vgln. (3.34) en er geldt ook dat R+T = 1. De transmissiewaarschijnlijkheid
voor de potentiaalberg wordt getoond in Fig. 3.2, voor (a) massaloze Dirac fermionen als
functie van E/~vF en φ, en (b) klassieke Schrödinger deeltjes als functie van E/V0 . Uit
(a) volgt dat het probleem, zoals men verwacht, symmetrisch is en dat er een knooppunt
is bij de hoogte van de potentiaal. Men merkt ook op dat er altijd tunneling is rond φ = 0
en aangezien het knooppunt opschuift naar rechts voor grotere potentialen, wordt de potentiaalberg transparanter met toenemende hoogte V0 , wat beschouwd kan worden als
een voorbeeld van de Klein paradox. Voor E > V0 verandert T heel snel van nul naar één
voor een bepaalde hoek, die groter wordt met toenemende energie. De verschillen met
de transmissiewaarschijnlijkheid in (b), die men bekomt voor de Schrödingervergelijking,
zijn de koppeling tussen kx en ky , en tussen holtes en elektronen. Voor (b) geldt ook
dat voor E < V0 , T altijd gelijk aan nul is en de golffunctie exponentieel afneemt achter
de potentiaalberg 16 . Soortgelijke conclusies kunnen genomen worden uit de waarschijnlijkheidsverdeling (evenredig met de lading) in functie van de hoek phi en de positie x
van de golffuncties uit vgln. (3.29) en (3.31) met coëfficiënten gegeven door vgln. (3.32)
en (3.34), die geplot worden in Fig. 3.3 voor s′ = ±1. Deze plots zijn louter kwalitatief (met dezelfde kleurschaling als Fig. 3.2), aangezien de waarschijnlijkheidsverdeling
genormaliseerd moet zijn en vlakke golven niet normaliseerbaar zijn (tenzij het systeem
opgesloten wordt). Voor s′ = 1 valt er op dat er enkel tunneling is voor quasideeltjes
die ongeveer loodrecht invallen op de potentiaalberg, wat ook te zien is in de transmissiewaarschijnlijkheid (a) van Fig. 3.2. Het gebied waar T ≈ 1 wordt plots nul vanaf een
bepaalde hoek en breidt zich uit naarmate de energie groter wordt. Als s′ = −1 is er
tunneling rond φ = 0, die sterker wordt naarmate de berg hoger wordt (Klein paradox).
De resonanties in het gebied voor de potentiaalberg zijn steeds te wijten aan interferentie
tussen de inkomende en gereflecteerde golf.
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
19
1.5
0.9
1
0.8
0.7
0.5
φ (rad)
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.1
−1.5
−2
−1
0
1
2
3
4
0
E/h̄vF
(a) Dirac
1
0.9
0.8
0.7
T
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
E/V0
1.2
1.4
1.6
1.8
2
(b) Schrödinger
Figuur 3.2: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T van quasideeltje beschreven met
Dirac-achtige Hamiltoniaan Ĥ voor een potentiaalberg van hoogte V0 /~vF = 2 als functie
van E/~vF en hoek φ. (b) T voor een Schrödinger deeltje in functie van E/V0 .
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
20
1.5
1
φ (rad)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
1
1.5
2
(a) E/~vF = 3, s′ = 1
1.5
1
φ (rad)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
(b) E/~vF = 1, s′ = −1
Figuur 3.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een potentiaalberg van hoogte
V0 /~vF = 2 op x = 0 in functie van de hoek φ en positie x in lengte eenheden [~vF /E].
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
21
V (x)
V0
0
D
x
Figuur 3.4: Potentiaalbarrière met hoogte V0 en breedte D.
3.5
Potentiaalbarrière
Beschouw de stappotentiaal (zie Fig. 3.4)
V0 0 < x < D,
V (x) =
0 elders.
(3.38)
Gebruik makend van dezelfde methodiek als in de vorige sectie over de potentiaalberg,
krijgen we voor de golffunctie:
 1
1

isk
−iskx x
xx

a isφ e
+b
x < 0,

−isφ e

e
−e


 1
1
′
−is′ qx x 0 < x < D,
ψ(x) =
c is′ θ eis qx x + d
−is′ θ e
−e
e





1

 f isφ eiskx x
x > 0,
e
als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coëfficiënten. Buiten
de barrière volgt de golffunctie uit vgl. (3.11), in de barrière 0 < x < D zijn beide
componenten toegelaten omdat de golffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindig
interval. Er moet dus niet meer expliciet gekeken worden naar de verschillende gevallen
voor ŝ = ±1. De stroomdichtheid j(x) wordt gegeven door

 (|a|2 − |b|2 ) cos φ = j+,1 − j−,1 x < 0,
j(x) = 2vF
(|c|2 − |d|2 ) cos θ = j+,2 − j−,2 0 < x < D,
(3.39)

2
|f | cos φ = jt
x > 0.
Door de continuı̈teitsvoorwaarde op x = 0 en x = D, worden alle coëfficiënten uitgedrukt
in functie van a:
b = 2eisφ sin(qx D)[ss′ sin φ − sin θ]a/u,
c = ga,
′
eis θ − eisφ
ga,
d=e
e−is′ θ + eisφ
f = 2e−iskx D cos φ cos θa/u,
i2s′ qx D
(3.40)
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
22
met
′
′
u = e−is qx D cos(sφ + s′ θ) + eis qx D cos(sφ − s′ θ) − 2is′ sin(qx D),
′
′
g = e−is qx D cos φ(e−is θ + eisφ )/u.
De reflectie -en tranmissiewaarschijnlijkheid worden respectievelijk gegeven door R =
j+,1 /j−,1 = |r|2 en T = j+,1 /jt = |t|2 , zoals vroeger gedefinieerd. Een expliciete vorm
wordt niet gegeven, omdat ze nogal ingewikkeld is en niet noodzakelijk is voor de interpretatie. De uitdrukking voor r stemt overeen met deze uit Katsnelson et al. 11 . De
transmissie voor de potentiaalbarrière wordt getoond in Fig. 3.5, voor (a) massaloze
Dirac fermionen en (b) klassieke Schrödinger deeltjes als functie van de energie. In (a)
is de Klein paradox zichtbaar rond φ = 0 en treden er resonanties op voor qx D = nπ ,
met n ∈ N. Uit vgl. (3.40) volgt dat dan r = 0 of T = 1. Voor (b) wordt de barrière
transparanter met toenemende energie en is T onafhankelijk van ky . De waarschijnlijkheidsverdeling is geplot in Fig. 3.6 voor s′ = ±1. De verhoogde waarschijnlijkheid (a) in
de barrière zelf, maken heeft te maken met interferentie in de barrière en exponentiële
bijdragen voor qx imaginair.
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
23
1.5
0.9
1
0.8
0.7
0.5
φ (rad)
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.1
−1.5
−4
−2
0
2
4
6
ED/h̄vF
(a) Dirac V0 D/~vF = 6
1
0.9
0.8
0.7
T
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
ED2 2m/h̄2
50
60
70
80
(b) Schrödinger V0 D2 2m/~2 = 25
Figuur 3.5: De transmissiewaarschijnlijkheid voor een potentiaalberg als functie van de
energie E en (a) hoek φ in energie eenheden van (a) D −1 ~vF en (b) D 2 2m/~2
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
24
1.5
1
φ (rad)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
x/D
1
1.5
2
2.5
3
1.5
2
2.5
3
(a) ED/~vF = 3
1.5
1
φ (rad)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
x/D
1
(b) ED/~vF = 7
Figuur 3.6: Waarschijnlijkheidsverdeling |ψ|2 voor een potentiaalbarrière van breedte D
en hoogte V0 D/~vF = 6 in functie van ψ en x/D.
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
3.6
25
Transfermatrixmethode
Voor een willekeurge stuksgewijze stappotentiaal, gebruikt men liever een numerieke
methode omdat de analytische berekeningen te lang en ingewikkeld worden. Deze methode noemt men de transfermatrixmethode. Beschouw een willekeurige stuksgewijze
stappotentiaal

 V1 x < x 1 ,


 V2 x 1 < x < x 2 ,
(3.41)
V (x) =
..
..

.
.



VN x > xN −1 ,
die bestaat uit N verschillende deelgebieden. De golffuncties in deze deelgebieden worden
gegeven door

1
1

is
k
x
−is1 kx,1 x
1
x,1
 a1 is φ e
+ b1
x < x1 ,

−is1 φ1 e
1 1

e
−e




1
1

 a2
eis2 kx,2 x + b2
e−is2 kx,2 x
x1 < x < x2 ,
is
φ
−is
2
2
e
−e 2 φ2
ψ(x) =
(3.42)

.
.

.
.

. .




1
1

 aN

eisN kx,N x + bN
e−isN kx,N x x > xN −1 ,
eisN φN
−e−isN φN
waar we bN gelijk aan nul stellen als we de golf van links laten invallen. De stroomdichtheid wordt dan

(|a1 |2 − |b1 |2 ) cos φ1 = j+,1 − j−,1 x < x1 ,



 (|a2 |2 − |b2 |2 ) cos φ2 = j+,2 − j−,2 x1 < x < x2 ,
j(x) = 2vF
(3.43)
..
..

.
.



|aN |2 cos φN = jt
x > xN −1 .
Hiernaast geldt ook dat
E − Vj
,
kj = sj
~v
s F
E − Vj 2
kx,j =
− ky2 ,
~vF
ky
,
φj = arctan
kx,j
(3.44)
(3.45)
(3.46)
met (j = 1, . . . , N ), sj = sign(E − Vj ) en s1 φ1 de invalshoek. De coëficiënten a2 en b2
worden uitgedrukt in functie van a1 en b1 , door de continuı̈teitsvoorwaarde in x = x1 :
1
a2
=
×
(3.47)
b2
2 cos φ2
ix (s k −s k ) −is φ
a1
e 1 1 1 2 2 (e 2 2 + eis1 φ1 ) e−ix1 (s1 k1 +s2 k2 ) (e−is2 φ2 − e−is1 φ1 )
.
b1
eix1 (s1 k1 +s2 k2 ) (eis2 φ2 − eis1 φ1 )
e−ix1 (s1 k1 −s2 k2 ) (eis2 φ2 + e−is1 φ1 )
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
26
We noemen de matrix uit vgl. (3.47) T (1) , en samen met uj = (aj , bj )t kunnen we
schrijven
uN = T (N −1) . . . T (2) T (1) u1 = M u1 ,
(3.48)
waar we M de transfermatrix noemen. We vinden zo een uitdrukking voor de coëficiënten
b1 en aN in functie van a1 :
aN
M11 M12
a1
=
,
(3.49)
0
M21 M22
b1
waaruit volgt dat
M21
a1 ,
b1 = −
M22
M21
aN = M11 −
M12 a1 .
M22
(3.50)
(3.51)
Uit vgl. (3.43) volgt dan voor de reflectie-en transmissiewaarschijnlijkheid
M21 2
,
R = M22 2
cos φN
M
21
T = M11 −
M12 .
M22
cos φ1
(3.52)
(3.53)
De juistheid van deze methode en de numerieke implementatie werd aangetoond door te
kijken naar de resultaten voor de potentiaalberg en potentiaalbarriére. De transmissiewaarschijnlijkheiden voor de potentiaal gegeven in Fig. 3.7, samen met een potentieel die
bestaat uit dezelfde stappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste, worden
getoond in Fig. 3.8. De eenheden zijn hetzelfde als in het deel over de potentiaalberg.
In Fig. 3.8 (a,b) zijn er resonanties en de Klein paradox rond φ = 0. (b) Omdat holten
en elektronen dezelfde potentiaal zien, maar in omgekeerde volgorde, is T symmetrisch
rond nul.
V0 /~vF = 3
0.5
0 0.5
...
2.5
3.5
...
x
6
Figuur 3.7: Potentiaal die gebruikt werd in de transfermatrixmethode.
Hoofdstuk 3. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan elektrostatische barrières
27
1.5
0.9
1
0.8
0.7
0.5
φ (rad)
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.1
−1.5
−2
−1
0
1
2
E/h̄vF
0
3
(a)
1.5
0.9
1
0.8
0.7
0.5
φ (rad)
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.1
−1.5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
0
E/h̄vF
(b)
Figuur 3.8: Transmissiewaarschijnlijkheid T , numeriek berekend met de beschreven
transfermatrixmethode voor (a) de stappotentiaal gegeven in Fig. 3.7 en (b) dezelfde
stappotentiaal gevolgd door de omgekeerde van de eerste. De energie wordt gegeven in
eenheden van ~vF .
Hoofdstuk 4
Verstrooiing van Dirac deeltjes
aan magnetische barrières
We beschouwen een magnetisch veld langs de z-richting, beschreven door de vectorpo~ met ijk
tentiaal A
~ = (0, B0 x, 0) ,
A
(4.1)
~
~
en dus B = ∇× A = (0, 0, B0 ). De Hamiltoniaan voor een Dirac deeltje in dit magnetisch
~
veld wordt gegeven door Ĥ0 waar ~k → ~k − q A/~:
q ~
Ĥ = ~vF ~σ · ~k − A
,
(4.2)
~
met q = −se de lading van het quasideeltje. De Landau levels worden nu berekend uit
de statische Dirac vergelijking ĤΨ = EΨ.
4.1
Landau levels
De Hamiltoniaan Ĥ voor een magneetveld uit vgl. (4.2) waar we de ijk uit vgl. (4.1)
gebruiken, wordt expliciet gegeven door
!
0
k̂x − i(ky + γ e|B~ 0 | x̂)
,
(4.3)
Ĥ = ~vF
0
k̂x + i(ky + γ e|B~ 0 | x̂)
met γ = sign(−qB0 ). Omdat [Ĥ, k̂y ] = 0 wordt de operator k̂y vervangen door zijn
verwachtingswaarde en krijgen we voor de eigentoestand Ψ = ψ(x)eiky y . Om de vergelijkingen uit Ĥψ = Eψ te ontkoppelen, nemen we het kwadraat van Ĥ:
!
k̂x2 + (ky + γ e|B~ 0 | x)2 + ~e|B0 |
0
2
2 2
,
(4.4)
Ĥ = ~ vF
0
k̂x2 + (ky + e|B~ 0 | x)2 − ~e|B0 |
waar er gebruik gemaakt wordt van de commutator [k̂x , x̂] = −i. We definiëren nu
r
2e|B0 | √ −1
α=
(4.5)
= 2lB ,
~
28
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
29
met lB de magnetische lengte. Substitutie van vgl. (4.5) in vgl. (4.4) geeft voor Ĥ2 ψ =
E 2 ψ:
#
"
2
2
2
α
α
E
k̂x2 + (ky + γ x)2 ψA =
ψA ,
(4.6)
−γ
2
~vF
2
#
"
2
2
2
α
α
E
k̂x2 + (ky + γ x)2 ψB =
ψB ,
(4.7)
+γ
2
~vF
2
Deze vergelijkingen stellen het analogon voor van de kwantum harmonische oscillator uit
de klassieke Kwantummechanica. Het magneetveld zorgt voor een ’Dirac’ harmonische
2 . We voeren nu enkele dimensieloze grootheden in:
opsluiting rond −γky lB
E
,
α~vF
x′ = αx,
ky
ky′ = ,
α
E′ =
(4.8)
zodat
k̂x′ = −i
k̂x
∂
= .
∂(αx)
α
Als we de accenten weglaten krijgen we voor vgln. (4.6) en (4.7):
h
γi
1
2
2
ψA ,
k̂x + (x − x0 ) ψA = E 2 −
4
2
h
1
γi
k̂x2 + (x − x0 )2 ψB = E 2 +
ψB ,
4
2
met x0 = −2γky . Stellen we nu x′ = x − x0 en
γ
λA = − E 2 −
,
2
γ
λB = − E 2 +
,
2
dan krijgen we uiteindelijk (als we de accenten weer laten vallen)
1 2
2
k̂x + x ψA = −λA ψA ,
4
1 2
2
k̂x + x ψB = −λB ψB .
4
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
of
∂2
1
ψA − ( x2 + λA )ψA = 0,
2
∂x
4
1 2
∂2
ψB − ( x + λB )ψB = 0.
∂x2
4
(4.16)
(4.17)
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
30
Deze differentiaalvergelijkingen worden Weber vergelijkingen genoemd. De oplossingen
2
voor x ∈ R, worden gegeven door de Hermite polynomen ×e−x met eigenwaarden
λ = − n + 12 waarbij n ∈ N+ 16 . Uit vgln. (4.12) en (4.13) volgt dan dat de Landau
levels gegeven worden door
n + 1+γ
2
2 ,
E =
(4.18)
1−γ
n+ 2 ,
of E 2 = n, aangezien n ∈ N+ en γ = ±1. Als we terug overgaan naar normale eenheden
krijgen we:
q
E=s
2ne~|B0 |vF2 ,
(4.19)
met s = sign(E). Uit deze uitdrukking volgt dat de grondtoestand gegeven wordt door
E = 0 en dat er negatieve Landau levels zijn (holtes).
Ay (x)
0
x
Figuur 4.1: Magnetische berg voor een magneetveld B0 . De stippellijn stelt de ycomponent van de vectorpotentiaal voor.
4.2
Magnetische berg
Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.1)
(0, 0, 0)
x < 0,
~
A(x) =
(0, B0 x, 0) x > 0.
(4.20)
De golffunctie voor x < 0 wordt gegeven door vgl. (3.11). Voor x ∈ R+ worden de oplossingen van de differentiaalvergelijking uit vgln. (4.16) en (4.17) gegeven door parabolische
cilinder functies of Weber functies 17 . Er bestaan twee onafhankelijke oplossingen of Weber functies, die functie zijn van de eigenwaarde λ en x − x0 , waar x gedefinieerd werd
in vgln. (4.8). Om verwarring te vermijden zullen we deze coördinaat vanaf nu x̂ noemen. De andere grootheden blijven ook dimensieloos, zoals gedefinieerd in vgln. (4.8).
We noteren deze oplossingen als U (λ, x̂) en V (λ, x̂). De oplossingen voor ψA en ψB
in het magneetveld kunnen uit vgln. (4.16) en (4.17) bekomen worden. We gebruiken
echter alleen vgl. (4.16) voor ψA , omdat er anders onvoldoende informatie is om het
verstrooiingsprobleem op te lossen. We zouden dan een stelsel bekomen met meer dan
één parameter (de enige parameter is de coëfficiënt a uit het vorig hoofdstuk). ψB wordt
31
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
zoals in het deel over elektrostatische barrières bepaald uit door Ĥψ = Eψ, waar Ĥ
gegeven wordt in vgl. (4.3):
x̂
1
k̂x̂ + iγ
ψA ,
(4.21)
ψB =
E
2
waar we meteen alles dimensieloos geschreven hebben. ψA wordt zelf gegeven door
ψA = cU (λA , x̂) + dV (λA , x̂),
(4.22)
met c en d complexe coëfficiënten. Door gebruik te maken van verschillende recursierelaties voor U en V 17 , krijgen we voor de golffunctie in de barrière:
U (λA , x̂)
V (λA , x̂)
ψ2 (x) = c
+d
,
(4.23)
iξU (λB , x̂)
iµV (λB , x̂)
waar ξ en µ gedefinieerd zijn als
(γ + 1)
,
E
(γ − 1)
2µ = E(γ + 1) +
.
E
2ξ = E(γ − 1) +
(4.24)
(4.25)
Het asymptotisch gedrag in x̂2 van U is exponentieel dalend en van V exponentieel
stijgend 17 . Voor de magnetische berg stellen we dus d = 0, zodat de golffunctie niet
divergeert voor x → ∞. De golffunctie voor de magnetische berg wordt dus gegeven
door
 1
1

isk
−iskx x x < 0,
xx

+b
 a isφ e
−isφ e
e
−e
ψ(x) =
(4.26)
U (λA , x̂)


x > 0.
 c
ξU (λB , x̂)
Uit de continuiteitsvoorwaarde ψ1 (0) = ψ2 (0) volgt met
u
a,
u∗
u
c = ( ∗ + 1)/U (λA , −x0 ),
u
b=
met
u = eisφ − iξ
U (λB , −x0 )
,
U (λA , −x0 )
(4.27)
(4.28)
(4.29)
omdat voor x = 0 geldt dat x̂ = −x0 = 2γky . De reflectiewaarschijnlijkheid R = |r|2 met
r = b/a, de reflectiecoëfficiënt, is dus gelijk aan één. Dit volgt uit vgl. (4.27). Uit het
behoud van stroom R + T = 1, vinden we dat de transmissiewaarschijnlijkheid T gelijk
is aan nul. Voor de magnetische stap berekenen we ook de gelokaliseerde toestanden
voor het geval dat kx imaginair is, zodat de golffunctie voor de stap gegeven wordt door
1
ψ1 (x) = b
e|kx |x
(4.30)
i(−|kx | + ky )
32
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
1.48
1.46
1.44
h̄vF2 e|B0 |
1
1.42
p
E/
1.4
p
0
E/
h̄vF2 e|B0 |
2
−1
1.38
1.36
1.34
−2
1.32
−3
−4
−3
−2
−1
0
ky
p
1
2
3
1.3
−1.8
−1.7
−1.6
h̄/2e|B0 |
ky
p−1.5
h̄/2e|B0 |
−1.4
−1.3
Figuur 4.2: (a) De numerieke oplossingen van vgl. (4.33). Er zijn enkel oplossingen
voor kx imaginair of E 2 < ky2 . De energie staat in eenheden van (e~|B0 |vF2 )1/2 en ky in
eenheden van (~/2e|B0 |)1/2 . Uit vgl. (4.19) en de energie eenheden volgt dat de Landau
levels zich op de plot bevinden bij (2n)1/2 . (b) een zoom op overgang naar het lineair
spectrum.
Enkel deze component wordt genomen omdat de golffunctie anders divergeert voor
x → −∞. Omdat kx = (E 2 − ky2 )1/2 geldt er voor dit geval steeds E 2 < ky2 . De
continuı̈teitvoorwaarde levert dan het volgende stelsel:
! 1
−U (λA , −x0 )
b
0
=
,
(4.31)
i(−|kx |+ky )
c
0
−iξU (λB , −x0 )
E
dat een oplossing verschillend van nul heeft als en slechts als
1
−U (λA , −x0 ) = 0.
i(−|kx |+ky )
−iξU (λB , −x0 )
E
(4.32)
Dit levert een vergelijking in E en ky :
q
U (λA , −x0 )
ξU (λB , −x0 ) + ( |E 2 − ky2 | − ky )
= 0.
(4.33)
E
Dit stelsel werd numeriek opgelost, met behulp van implementaties van de U (en V ) Weber functies door Cojocaru 17 . De resultaten worden getoond in Fig. 4.2; (b) het lineaire
spectrum wordt als het ware gemengd met de Landau levels. Des te groter |ky | wordt,
des te meer de energie de Landau levels benadert. De norm kwadraat van de golffunctie
uit vgl. (4.26) met coëfficiënten gegeven in vgln. (4.27) en (4.28), wordt geplot in Fig. 4.3.
Het magneetveld breekt de symmetrie tussen positieve en negatieve hoek φ. De reflectiewaarschijnlijkheid is nul, maar de golffunctie penetreert de barrière. De golffunctie
wordt getoond voor E > 0 en γ = sign(−qB0 ) = 1 zodat q = −e en sign(B0 ) = 1. Het
magneetveld wijst dus in de positieve z-richting en uit de Lorenztkracht volgt dat een
negatief geladen quasideeltje dat langs links invalt met snelheid vF afgebogen wordt naar
links. De plaatsen in de magnetische berg met hoge waarschijnlijkheid zijn magnetische
vallen, waar een geladen deeltje gevangen wordt in een harmonische opsluiting.
33
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
1.5
1
φ (rad)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−6
−4
−2
p 0
x 2e|B0 |/h̄
2
4
6
Figuur 4.3: Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 voor een magnetische berg met γ = 1 voor
E = (2e~|B0 |vF2 )1/2 in functie van de hoek φ en positie x in eenheden (~/2e|B0 |)1/2 .
4.3
Magnetische barrière
Beschouw de stuksgewijze vectorpotentiaal (zie Fig. 4.4)

x < 0,
 (0, 0, 0)
~
(0, B0 x, 0) 0 < x < D,
A(x) =

(0, B0 D, 0) x > D.
De golffunctie wordt gegeven door
 1
1

isk
−iskx x x < 0,
xx

a isφ e
+b

−isφ e

e
−e


 U (λA , x̂)
V (λA , x̂)
c
+d
0 < x < D,
ψ(x) =
iξU (λ
iµV (λB , x̂)

B , x̂)




1

 f isχ eisqx x
x > 0,
e
(4.34)
(4.35)
als we golf van links laten invallen met a, b, c, d en f complexe coëfficiënten. Dit volgt
uit de vorige secties voor x < 0 en 0 < x < D, waar V nu wel toegelaten is omdat de
golffunctie steeds normaliseerbaar is op een eindig interval. Voor x > 0 wordt is de ycomponent van de vectorpotentiaal een constante B0 D. Uit de vergelijking Ĥ2 Ψ = E 2 Ψ
in deze regio, vindt men (dimensieloos) voor Ψ = ψ(x)eiky y :
"
#
D 2
2
k̂x + ky + γ
ψA = E 2 ψA .
(4.36)
2
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
34
Ay (x)
B0 D
x
D
Figuur 4.4: Magnetische barrière voor een magneetveld B0 met breedte D. De stippellijn
stelt de y-component van de vectorpotentiaal voor.
Hieruit volgt de fysische oplossing
ψA = f eisqx ,
met
qx =
s
E2
(4.37)
D
− ky + γ
2
2
.
(4.38)
We definiëren de uitvalshoek sχ door
arctan
ky + γ D2
sqx
!
= sχ.
(4.39)
Uit de continuı̈teitsvoorwaarden volgt
b = [gU (λA , −x0 ) + ugV (λA , −x0 ) − 1]a,
c = ga,
d = uga,
f = [gU (λA , z) + ugV (λA , z)]e−isqx D a,
(4.40)
waarbij
u=
iξU (λB , z) − eisχ U (λA , z)
,
−iµV (λB , z) + eisχ V (λA , z)
g = 2 cos φ/[U (λA , −x0 )e−isφ + iξU (λB , −x0 ) + g(V (λA , −x0 )e−isφ + iµV (λB , −x0 ))],
z = D − x0 .
waar ξ en µ gedefinieerd zijn in vgln. (4.24) en (4.25). De reflectiewaarschijnlijkheid R =
|r|2 en de transmissie wordt bepaald uit het behoud van stroom T = 1−R. De transmissie
wordt getoond in Fig. 4.5 voor (a) Dirac deeltjes en (b) Schrödinger deeltjes als functie
van de energie en φ. In beide gevallen heeft T relatief weinig structuur en verandert zeer
snel van waarde voor bepaalde hoeken en energieën. De waarschijnlijkheidsverdeling van
35
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
1.5
1.5
0.9
0.9
1
1
0.8
0.8
0.7
0.7
0.5
0.5
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
φ (rad)
φ (rad)
0.6
0.5
0
0.4
−0.5
0.3
0.2
−1
0.1
−1.5
−3
−2
−1
0
ky
p
h̄/2e|B0 |
(a) Dirac
1
2
0
0.1
−1.5
0
0.5
1
1.5
Em/h̄e|B0 |
2
2.5
0
(b) Schrödinger
Figuur 4.5: (a) De transmissiewaarschijnlijkheid T voor een magnetische barrière met
breedte D = lB , zie vgl. (4.5), en γ = 1 als functie van φ met energie eenheden
(2e~|B0 |vF2 )1/2 en sign(B0 ) = 1. (b) Idem maar voor de Schrödingervergelijking, de
energie is in eenheden (~e|B0 |)/m.
de golffunctie uit vgl. (4.35) met coëfficiënten gegeven in vgln. (4.40), wordt geplot in
Fig. 4.6 (a). Het magneetveld breekt wederom de symmetrie en de golffunctie penetreert
de barrière tot één bepaalde hoek, daarna wordt de golffunctie geblokkeerd, zie Fig. 4.5
(a). De uitvalshoek χ wordt ook geplot (b) voor dezelfde energie en barrière. Vanaf
een bepaalde hoek φ is er geen penetratie meer van de barrière (zie ook (a)): er is een
maximale waarde voor χ.
36
Hoofdstuk 4. Verstrooiing van Dirac deeltjes aan magnetische barrières
1.5
7
1
6
φ (rad)
0.5
5
4
0
3
−0.5
2
−1
1
−1.5
−3
−2
−1
0p
1
x 2e|B0 |/h̄
2
3
4
0.5
1
1.5
(a)
1.6
1.4
1.2
χ (rad)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−2
−1.5
−1
−0.5
0
φ (rad)
2
(b)
Figuur 4.6: (a) Waarschijnlijkheidsverdeling |Ψ|2 met γ = 1 voor een magnetische
barrière met breedte D = lB en E = (2e~|B0 |vF2 )1/2 in functie van de hoek φ en positie
x in eenheden (~/2e|B0 |)1/2 (de barrière ligt tussen x = 0 en x = 1). (b) Plot van de
hoek χ in functie van φ voor dezelfde energiewaarde als (a).
Besluit
In deze theoretische bachelorproef over grafeen werd eerst een beschrijving afgeleid voor
ladingsdragers in grafeen met de tight binding benadering. In het bijzonder werd er
gekeken naar de bandenstructuur rond het K punt of Dirac punt op de grens van de
eerste Brillouin zone. De energie dispersie rond dit punt bleek lineair te zijn. Het lineair
spectrum
E = s~vF k,
(4.41)
rond het K punt, waar het Fermi niveau de banden snijdt, lijkt sterk op de relativistische
energie van een massaloos deeltje met impuls ~k, waar de lichtsnelheid vervangen is door
de Fermi snelheid vF ≈ 106 ms−1 . Bijgevolg kunnen de ladingsdragers rond het Fermi
niveau in grafeen beschouwd worden als massaloze Dirac fermionen. Voor positieve
energie zijn deze quasideeltjes elektron-achtig en voor negatieve energie holte-achtig;
de koppeling van elektron -en holte-achtige quasideeltjes kan vergeleken worden met
de ladingsconjugatie tussen deeltje en anti-deeltje in de Kwantumelektrodynamica. De
analogie met de relativistische Kwantummechanica wordt nog het meest geaccentueerd
door de Dirac-achtige Hamiltoniaan
H0 = ~vF ~σ · ~k,
(4.42)
die de ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen beschrijft, met ~σ = (σx , σy )
de Pauli matrices. Bovendien zijn de eigentoestanden van deze Hamiltoniaan, tweecomponentsgolffuncties die sterk lijken op spinor golffuncties uit de Kwantumelektrodynamica. De componenten van deze golffuncties bepalen de relatieve bijdrage van de twee
subroosters of Bloch orbitalen A en B tot de opbouw van het quasideeltje. In plaats van
spin, kan men dan ook een nieuw kwantumgetal pseudospin definiëren, dat overeenkomt
met het subrooster waartoe het quasideeltje behoort. Men kan nog andere concepten, die
hier niet vernoemd werden, uit de relativistische Kwantummechanica introduceren, om
de analogie nog sterker te benadrukken. Het belangrijkste deel van deze bachelorproef
was echter de studie van de verstrooiing aan elektrostatische en magnetische barrières
van deze Dirac fermionen aan de hand van de envelop functie benadering. Deze verstrooiing is in principe van toepassing voor ladingsdragers rond het Fermi niveau in grafeen,
maar is ook heel interessant vanuit puur theoretisch standpunt omdat massaloze fermionen geen doordeweekse deeltjes zijn. Aan de hand van eendimensionale elektrostatische
stappotentialen, waarvoor de vergelijkingen exact oplosbaar zijn, werd de Klein paradox
37
Hoofdstuk 4. Besluit
38
aangetoond voor verscheidene problemen. Een algemene tendens bleek de perfecte transmissie van quasideeltjes, die loodrecht op de barrière invallen. Er werd ook telkens een
vergelijking gemaakt met de oplossingen uit de Schrödingervergelijking van de klassieke
Kwantummechanica. De grote verschillen met de Dirac beschrijving, zijn de koppeling
tussen kx en ky in de Dirac Hamiltoniaan, en de link tussen positief -en negatief geladen
quasideeltjes, die gelegd wordt door de lineaire energie dispersie. De anisotropie van
de verstrooiing was een direct gevolg van deze koppeling tussen kx en ky . Uiteindelijk
werden deze eendimensionale problemen veralgemeend tot willekeurige eendimensionale
elektrostatische potentialen, met behulp van de transfermatrixmethode. Verder werd de
verstrooiing aan magnetische barrières onderzocht, nadat eerst de Landau levels
q
(4.43)
E = s 2ne~|B0 |vF2 ,
voor Dirac fermionen berekend werden. Wat opvalt is dat er geen grondtoestand bestaat,
zoals in de Schrödingerbeschrijving en dat de Landau levels negatief kunnen worden (holten). Dit deel was over het algemeen iets technischer en meer summier dan de voorgaande
secties omdat er parabolische cilinder functies of Weber functies aan te pas kwamen. De
implementaties van deze functies zijn te danken aan Cojocaru 17 . Dankzij deze implementatie konden er eenvoudige verstrooiingsproblemen aan de hand van stuksgewijze
vectorpotentialen besproken worden. Massaloze Dirac fermionen zijn exotische deeltjes
met zeer intrigerende eigenschappen. Het feit dat deze deeltjes daadwerkelijk bestaan
rond het Fermi niveau in grafeen, een materiaal dat zich in elk potlood bevindt, is haast
niet te geloven. Grafeen is een ongelooflijk materiaal dat veel technologische toekomstmogelijkheden en nieuwe fysica te bieden heeft. Het vormt een brug tussen de theorie
van de gecondenseerde materie en de elementaire deeltjesfysica; dankzij grafeen is het
mogelijk om exotische processen, voorspelt door de Kwantumelektrodynamica, zoals de
Klein paradox, waar te nemen in het ’gewone’ labo.
Bibliografie
[1] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V.
Grigorieva, and A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films.
Science, 306:666–669, 2004.
[2] R.E. Peierls. Quelques propriétés typiques des corpes solides. Ann. I.H.Poincare,
5:177–222, 1935.
[3] L.D. Landau. Zur Theorie der Phasenumwandlungen II. Phys. Z. Sowjetunion, 11:
26–35, 1937.
[4] N.D. Mermin. Crystalline order in two dimensions. Phys. Rev., 176:250–254, 1968.
[5] K.S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T. Booth, V.V. Khotkevich, S.V. Morozov,
and A.K. Geim. Two-dimensional atomic crystals. PNAS, 102:10451–10453, 2005.
[6] K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V.Morozov, D.Jiang, M.I.Katsnelson, I.V.Grigorieva,
S.V.Dubonos, and A.A.Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in
graphene. Nature, 438:197–200, 2005.
[7] Y. Zhang, J.W. Tan, H.L. Stormer, and P. Kim. Experimental observation of the
quantum Hall effec and Berry’s phase in graphene. Nature, 438:201–204, 2005.
[8] Peter Blake, Paul D. Brimicombe, Rahul R. Nair, Tim J. Booth, Da Jiang, Fred
Schedin, Leonid A. Ponomarenko, Sergey V. Morozov, Helen F. Gleeson, Ernie W.
Hill, Andre K. Geim, and Kostya S. Novoselov. Graphene-based liquid crystal
device. Nano Lett., 8:1704–1708, 2008.
[9] Jannik C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J. Booth, and
S. Roth. The structure of suspended graphene sheets. Nature, 446:60–63, 2007.
[10] O. Klein. Die reflexion von elektronen an einem potentialsprung nach der relaitvistischen dynamik von dirac. Z. Phys., 53:157–165, 1929.
[11] M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, and A.K. Geim. Chiral tunnelling and the Klein
paradox in graphene. Nature Physics, 2:620–625, 2006.
[12] R. Saito, G. Dresslhaus, and M. Dresselhaus. Physical Properties of Carbon Nanotubes. Imperial College Press, London, 2000.
39
Bibliografie
40
[13] Roeland Juchtmans. Elektronische structuur van periodisch gemoduleerd grafeen.
Bachelorproef TGM, 2010.
[14] Thomas Seyller K. Horn Aaron Bostwick, Taisuke Ohta and Eli Rotenberg. Experimental determination of the spectral function of Graphene. arXiv, pages cond–
mat/0609660, 2006.
[15] Vladimir Fal’ko Vadim V. Cheianov and B. L. Altshuler. The focusing of electron
flow and a veselago lens in graphene p-n junctions. Science, 315:1152–1255, 2007.
[16] B. Partoens and F. Peeters. Inleiding tot de kwantummechanica. UA cursus 2BAFYS.
[17] E. Cojocaru. Parabolic cylinder functions. Department of Theoretical Physics,
Horia Hulubei National Institute of Physics and Nuclear Engineering, MagureleBucharest P.O.Box MG-6, 077125 Romania.