V x Figure 1

IQM
Werkcollege 6: Uitwerkingen
15. (a) Een plaatje van de potentiaal-barrière.
V ( x)
V0
−a
a
x
Figure 1: De potentiaal-barrière.
De oplossing van de Schrödinger vgl. wordt
ψ (x)
x < −a
Ae + Be−ikx
−a < x < a C sin lx + D cos lx
x>a
F eikx
p
√
met k = 2mE/~ en l = ~1 2m(E − V0 ). Let op het “−” teken! (Vergelijk dat met
Griffiths vgl. 2.161, oude druk 2.130). Er is gegeven dat E > V0 , dus l is een reëel getal.
Als E < V0 zou zijn, dan zouden we deze definitie eventueel nog steeds kunnen gebruiken,
maar dan moeten we bedenken dat l een zuiver imaginair getal is, i.e. l = iy, met y
reëel (de uitdrukking voor y kun je zelf bedenken). Griffiths heeft een voorkeur voor de
vorm C sin lx + D cos lx in het barrière gebied. Je mag ook C 0 eilx + D0 e−ilx gebruiken;
de beide vormen zijn equivalent. De functie ψ(x) moet continue en differentieerbaar zijn
om oplossing van de Schrödinger vgl. te kunnen zijn (tenzij er een δ-functie potentiaal
in het spel is). Toepassen van deze condities op x = −a en x = a levert 4 vgl. waaruit
de amplitudes B, C, D en F bepaalt kunnen worden. De berekening is “tedius, but
straightforward” en is identiek aan die gevolgd in Griffiths Ch. 2.6. Het eindresultaat is
µ
¶
2a p
V02
−1
2
T =1+
sin
2m(E − V0 )
(*)
4E(E − V0 )
~
ikx
(zie vgl. Griffiths’ 2.169, oude druk 2.151). Merk op dat het enige dat we uiteindelijk
hebben hoeven doen is Griffiths’ eindresultaat voor de potentiaalput nemen, en de definitie voor l aanpassen aan de barrière.
N.B. Merk op dat T −1 ≥ 1 en³ dus T ≤ 1 (zoals
´ het hoort). De transmissie is volledig,
p
2a
i.e. T = 1, slechts dan als sin ~ 2m(E − V0 ) = 0 in bovenstaande vgl., wat betekent
p
2a
2m(E − V0 ) = nπ oftewel
~
T = 1 ⇔ E − V0 =
1
n2 π 2 ~2
2m(2a)2
Onderstaande figuur geeft een plot van de transmissie T als functie van E/V0 . Merk op dat
deze figuur erg lijkt op fig. 2.19 in Griffiths (2.14 oude druk). De “onset” is nu bij E/V0 = 1,
wat logisch is voor een potentiaal-barrière (bij een potentiaal-put is de onset bij E = 0).
De pieken in de transmissie T worden resonanties genoemd en de bijbehorende energieën
resonantie-energieën. In een resonantie is de transmissie volledig, i.e. T = 1, en is er geen
reflectie, i.e. R = 0.
T
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
E/V0
(b) De hoofdvraag is of we vgl (6) uit de “double barrier” notes moeten gebruiken, die
geldig is voor alle dubbele barrières, of dat we vgl (10) moeten hebben, die geldt voor
2 “identieke” barrières. Uit figuur 1 van de notes is onmiddelijk duidelijk dat r10 = r2 .
M.a.w. de 2 potentiaalstappen zijn “identiek” en vgl (10) wordt
∙
¸−1
4R1 2
T = 1 + 2 sin (2qa + ϕ)
T1
De factor 2 in de 2qa komt omdat de breedte van onze put nu 2a is, i.p.v. a zoals in de
notes, en de q komt omdat wepde rollen van k en q omgedraaid hebben t.o.v. de notes.
Invullen van q geeft 2qa = 2a
2m(E − V0 ), zoals in vgl. (*). In som 13 van het vorige
~
werkcollege vonden we dat r1 = B/A reëel was, dus ϕ = 0. Dan hebben we
"
#−1
4 (k − q)2 (k + q)2 2
T = 1+
sin (2qa)
16k2 q2
2
2
(k2 −q2 )
V02
(k+q)2
Aangezien (k − q) (k + q) = k2 − q 2 volgt 4(k−q)
=
= 4E(E−V
, hetgeen
2
2
16k q
4k2 q 2
0)
dezelfde factor is als in vgl. (*).
p
√
2×10−9
(c) 2qa = 2a
2m(E
−
V
)
=
2 × 9.1093897 × 10−31 × 1.60217733 × 10−19 × 2.5 =
0
−34
~
1.05457266×10
16.201 = 5. 157π. We zitten dus niet zover van de resonantie bij 2qa = 5π. sin (2qa) =
−0.473 3 en de transmissie is
!−1
Ã
(2.5)2 (−0.473 3)2
= 0.973
T = 1+
4 × 5 × (2.5)
M.a.w. bijna 1, zoals verwacht. De weerstand wordt gegeven door Landauer’s formule
R = G−1 = π~
T −1 = 13.3 kΩ.
e2
∗
∂
16. (a) ρ(x, t) ≡ |Ψ(x, t)|2 = Ψ∗ Ψ. ∂t
ρ(x, t) = ∂Ψ
Ψ + Ψ∗ ∂Ψ
. Pas de (tijdsafhankelijke)
∂t
∂t
∗
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=
Schr. vgl. toe i~ ∂t = − 2m ∂x2 + V Ψ en de complex toegevoegde hiervan, −i~ ∂Ψ
∂t
2
³ 2 2 ∗
´
∂ρ(x,t)
~2 ∂ 2 Ψ∗
1
~ ∂ Ψ
∗
∗
− 2m
+
V
Ψ
om
de
tijdsafgeleide
te
vervangen.
=
−
+
V
Ψ
−
Ψ+
2
∂t
i~
2m ∂x2
³∂x 2 2
³ 2 ∗
´
´
¡
¢
2
∗
~ ∂ Ψ
i~
i~ ∂
∂
Ψ ∂∂xΨ2 − Ψ∗ ∂∂xΨ2 = − 2m
+ V Ψ = − 2m
− Ψ∗ ∂Ψ
J(x, t).
Ψ ∂Ψ
= − ∂x
Ψ∗ i~1 − 2m
∂x2
∂x
∂x
∂x
∂
∂
ρ(x, t) = − ∂x
J(x, t), waarbij ρ(x, t) een dichtheid
N.B. Een vergelijking van het type ∂t
en J(x, t) een stroom, heet een continuïteitsvergelijking. Zo’n vgl. vind je niet alleen in
quantummechanica, maar is heel algemeen. Je vind hem in de electriciteitsleer, waarbij ρ de
ladingsdichtheid en J de (electrische) stroom is; bij massa-transport, ρ is de massa-dichtheid
en J de massa-stroom; bij warmte-transport, ρ is de energie-dichtheid en J de warmte-stroom,
etcetera. De continuïteitsvergelijking is eigenlijk een behoudswet. In quantummechanica is
dat behoud van deeltjes (een deeltje kan niet spontaan verdwijnen noch verschijnen); in de
electriciteitsleer behoud van lading (wat eigenlijk ook behoud van deeltjes is, als je bedenkt
dat lading door een hoeveelheid elementaire deeltjes met vaste lading wordt gedragen), etc.
Rb
Dit is gemakkelijker in te zien als we definiëren Pab (t) = a ρ(x, t)dx als de waarschijnlijkheid
Rb ∂
(t)
= a ∂t
ρ(x, t)dx =
een deeltje tussen x = a en x = b aan te treffen op tijd t. Dan dPab
dt
Rb ∂
− a ∂x J(x, t)dx = J(a, t) − J(b, t). De verandering in Pab (t) per tijdseenheid wordt veroorzaakt door de instroom aan het ene uiteinde x = a minus de uitstroom aan het andere uiteinde
x = b.
−34
T −1 , dus transmissie T = π~
R−1 = π×1.05457266×10
× 1017 =
(b) Landauer: resistance R = π~
e2
e2
(1.60217733×10−19 )2
0.0013. Vergelijk dit met de atomaire gouddraad waar T ≈ 1. Dit molecuul is dus een
slechte geleider.
1.6
(c) Resistance R = U/I = 0.7×10
−9 = 2.3 GΩ. Vergelijk dit met de resistance in (b): vacuum
−34
−9
is een hele slechte geleider. Transmissie T = π×1.05457266×10
× 0.7×10
= 5. 7 × 10−6 .
1.6
(1.60217733×10−19 )2
De transmissie is erg klein, dus we kunnen de “dikke barrière” limiet gebruiken, i.e.
4
e−2κa . Dan
T = b(E)
a=
1
2κ
~
2m(V0 −E)
ln (4/bT ) = √
2
ln (4/bT ) =
¡
¢
4
× ln 5. 646 6×10
= 6. 0 × 10−10 m. Die 6 Å is van
−6
de orde van een paar keer de typische afstand tussen twee nabuuratomen in een materiaal,
dus de afstand tussen tip en sample in een STM experiment moet inderdaad klein zijn.
−34
1.05457266×10
√
2× 2×9.1093897×10−31 ×4.8×1.60217733×10−19
3