functie : Dirac delta in 1 dimensie

DIRAC DELTA FUNCTIES
Dirac delta in 1 dimensie
δ ( x)
= geen eigenlijke functie, eerder formeel symbool
= treedt op als eigenlijke functie in bepaalde omstandigheden ("improper function")
Kronecker delta
f ( j) =
δij
discrete indices
δ ij = 0 voor i ≠ j

 δ ij = 1 voor i = j
∞
continue indices
+∞
∑ δ ij f(i)
f ( x ') = ∫ δ ( x, x ') f ( x) dx
−∞
i=1
met f(x) een arbitraire, continue
functie
δ(x,x') = δ(x-x')
δ(x,x') enkel afhangt van het verschil (x-x')
δ(x,x')=0 behalve in de onmiddellijke omgeving van x = x'
+∞
f ( x ') = ∫ δ ( x − x ') f ( x) dx
+∞
f (0) = ∫ δ ( x) f ( x) dx
of
−∞
−∞
δ(x) = 0 bij x ≠ 0
+∞
en
∫ δ ( x) dx = 1
−∞
δ(x) = even functie
Dirac delta in 1 dimensie
x2
 0
∫ δ ( x) dx = 
1
x1
als 0 ∉ [ x1, x2 ]
als 0 ∈ [ x1, x2 ]
δ(x) = "oneigenlijke" functie
standaard analyse van eigenlijke functies niet strikt toepasbaar
δ-functie gedraagt zich wel als een eigenlijke functie als ze voorkomt in een integrandum van
een integraal.
Dirac delta in 1 dimensie
Grafische voorstelling van een δ-functie :

δ (ε ) ( x) = 0 voor x > ε /2

δ (ε ) ( x) = 1/ ε voor -ε /2 < x < +ε /2 met ε >0
+∞
(ε )
∫ δ (x) f(x) dx
met f(x) arbitraire analytische functie
welbepaald bij x=0
−∞
+∞
+
ε
21
ε
(
)
f (0) ∫ δ ( x) dx = f(0) ∫
dx = f(0)
ε
ε
−∞
−
2
lim δ (ε ) ( x) = δ ( x)
ε →0
Deze grafische voorstelling suggereert een distributief verloop voor de δ-functie.
alternatieve representaties van δ-functies :
()
δ ε (x)
x
(i)
ε =1
0.5
0.4
1 −ε
e
2ε
0.3
0.2
0.1
0.0
-20
-10
0
10
20
x
()
δ ε (x)
(ii)
1
π
sin
x
0.3
x
0.2
ε
0.1
ε =1
0.0
-0.1
-20
-10
0
x
10
20
alternatieve representaties van δ-functies :
0.35
0.30
(iii)
ε
π
x
2
sin
x2
ε =1
0.25
0.20
ε
0.15
0.10
0.05
0.00
-0.05
-20
-10
0
10
20
x
0.35
(ε)
δ (x)
(iv)
1
ε
π x2 + ε 2
0.30
ε =1
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-20
-10
0
X
10
20
alternatieve representaties van δ-functies :
()
δ ε (x)
(v)
1
ε π
−
x2
2
ε
e
0.7
0.6
0.5
ε =1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-20
-10
0
X
10
20
Dirac delta in 1 dimensie
Eigenschappen van δ-functies
δ ( − x) = δ ( x)
δ (cx) =
1
δ ( x)
c
(c ≠ 0)
f ( x)δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 )δ ( x − x 0 )
xδ ( x ) = 0
δ (g( x)) = ∑
i
1
δ (x - x i )
g' ( x i )
waarbij x = xi enkelvoudige wortels vormen van de functie g(x), zodat g'(xi) ≠ 0
1
2
2
δ (x − a ) =
δ ( x − a) + δ ( x + a)
2a
(a > 0)
Dirac delta in 1 dimensie
+∞
∫ δ (x-y) δ (x-z)=δ (y-z)
-∞
1 +∞
ik(x-x 0 )
δ ( x − x0 ) =
∫ dk e
2π −∞
Fourier-integraalformule
1
1
lim
= P ∓ iπδ ( x)
x
ε → 0 x ± iε
met Cauchy's hoofdwaarde , gedefinieerd door :
 −η
f ( x)
f ( x) b
f ( x) 


P ∫ dx
= lim
+ ∫ dx
∫ dx
x
x
x 
η → 0+  a
+η
a

b
met 0 ∈ [a,b] en f(x) analytisch.
Dirac delta in 1 dimensie
Integraal van een δ-functie :
θ (ε ) ( x) =
x
(ε )
∫ δ ( x ')dx '
−∞
θ (ε ) ( x) = 0 voor x ≤ = 1 voor x ≥
=
1
ε
(x + )
ε
2
ε
ε
2
2
voor -
ε
2
≤x≤
In de limiet ε → 0+ benadert θ
θ ( x) = 1 voor x>0

θ ( x) = 0 voor x<0
θ ' ( x) = δ ( x)
ε
2
(ε )
( x) de Heaviside stapfunctie , gedefinieerd door
Dirac delta in 1 dimensie
Fourier-getransformeerde van
+∞
ikx
∫ dxθ (k ) e dk = i P
−∞
1
+ πδ ( x)
x
Integraalrepresentatie van een stap functie :
1 +∞
e−iω x
θ ( x) = −
∫ dω
2π i −∞
ω + iε
Verdere eigenschappen :
+∞
+∞
1
(
i
ω
ε
)
x
−
+
= ∫ e
θ ( x)dx ∫
iω + ε −∞
−∞
1
1 +∞ eiω x
θ ( x) = +
P ∫
dω
2 2π i −∞ ω
Dirac delta in 1 dimensie
Afgeleide van een δ-functie :
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ δ '( x) f ( x)dx = − ∫ δ ( x) f '( x)dx = − f '(0)
i +∞ ikx
δ '( x) =
∫ k e dk
2π −∞
Integraalrepresentatie :
nde orde afgeleide
+∞
(n)
n ( n)
∫ δ ( x) f ( x)dx = (−1) f (0)
−∞
Dirac delta in 3 dimensie
f (r ') = ∫ δ (r − r ') f (r )dr
voor elke arbitraire en reguliere functie
δ ( r − r ' ) = δ ( x − x')δ ( y − y')δ ( z − z' )
δ (r − r' ) =
1
r2
δ ( r − r ' )δ (cosθ − cosθ ')δ (ϕ − ϕ ' )
1
∆( ) = −4πδ ( r )
r
3
 1 
δ (r − r ') =   ∫ eik .( r − r ') dk
 2π 
f (r)