VWO B deel 2 H8

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 8
Bewerkt door P. G. v.d. Veen
Gelijkvormige driehoeken
Bij gelijkvormige figuren geldt :
1 De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
2 De zijden van de figuren passen in een
verhoudingstabel .
*
ad 1) A = D , B = E , C = F
dus gelijkvormig
∆ABC ∾ ∆DEF
*
□
□
∾ betekent gelijkvormig
ad 2)
2
AB
3
BC
2 driehoeken zijn
gelijkvormig als ze twee
paar gelijke hoeken
hebben
1,8
AC
x 1,5
3
DE
4,5
EF
2,7
DF
8.1
Hoe herken je gelijke hoeken ?
Bij snijdende lijnen zijn
overstaande hoeken gelijk.
Bij evenwijdige lijnen horen
gelijke Z-hoeken.
*
Bij evenwijdige lijnen horen
gelijke F-hoeken.
□
□ □
*
□
8.1
Snavel- en zandloperfiguren
snavelfiguur
zandloperfiguur
∆ABC ∾ ∆DBE
∆KLM ∾ ∆ONM
A = D
B = B
C = E
C
E
K
L
K = O
L = N
M = M
B
M
D
A
AB
DB
N
BC
BE
AC
DE
KL
ON
O
LM KM
NM OM
8.1
Zandloperfiguren
zandloperfiguur
∆KLM ∾ ∆ONM
K
5
L
KL
ON
M
N
3
LM KM
NM OM
O
Gegeven KO=9
8.1
Zandloperfiguren
zandloperfiguur
∆KLM ∾ ∆ONM
K
5
L
KL
ON
9-p
M
LM KM
NM OM
p
N
Gegeven KO=9
3
O
5
3
LM
NM
9-p
p
8.1
Zandloperfiguren
zandloperfiguur
∆KLM ∾ ∆ONM
K
5
L
KL
ON
9-p
M
LM KM
NM OM
p
N
Gegeven KO=9
3
O
5
3
LM
NM
9-p
p
Hieruit volgt:
5 p  3  (9  p)  5 p  27  3 p  p 
27
8
8.1
Oppervlakte methode
C
D
Gebruik: Opp. van een driehoek is:
Basis x ½ Hoogte
Dus: AB x CF = BC x AD
A
F
B
AB=8, CF=6, BC=10
Dus AD=4.8
8.1
Congruente driehoeken
Als 2 driehoeken gelijkvormig EN even groot zijn dan zijn de driehoeken congruent.
8.1
Definities
Een definitie is een afspraak.
Definitie van gelijkbenige driehoek :
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met 2 gelijke zijden.
Definitie van gestrekte hoek :
Een gestrekte hoek is een hoek van 180°.
Definitie van parallellogram :
Een parallellogram is een vierhoek waarvan beide paren
overstaande zijden evenwijdig zijn.
Definitie van ruit :
Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
8.2
Stellingen
Een stelling is een eigenschap of bewering die te bewijzen is.
Stelling gelijkbenige driehoek :
Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de
tegenoverliggende hoeken ook gelijk.
Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de
tegenoverliggende zijden ook gelijk.
Stelling van overstaande hoeken :
De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk.
Stelling van hoekensom driehoek :
De som van de hoeken van een driehoek is 180°.
8.2
Werkschema : het bewijzen van een stelling
1 Formuleer wat gegeven is voor een concrete situatie.
2 Noteer wat bewezen moet worden voor de gekozen situatie.
3 Geef het bewijs. Vermeld hierbij de definities en stellingen die je gebruikt.
8.2
Definitie van middelloodlijn:
A
De middelloodlijn van een lijnstuk
is de lijn door het midden van dat
lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk
staat.
∙
∙B
Definitie van bissectrice:
De bissectrice van een hoek is de
lijn die de hoek middendoor deelt.
∙
∙
A
∙
∙ ∙
8.2
Definitie van hoogtelijn:
C
D
Een hoogtelijn in een driehoek is
de loodlijn vanuit een hoekpunt
op de overstaande zijde.
B
A
C
Definitie van zwaartelijn:
Een zwaartelijn in een driehoek is
de lijn die gaat door een hoekpunt
en het midden van de overstaande zijde.
M
A
B
8.2
Middelloodlijnen in een driehoek
In een driehoek gaan de 3
middelloodlijnen door één punt.
Dat punt is het middelpunt van
de omgeschreven cirkel van de
driehoek.
C
M
A
|
|
B
8.3
Bissectrices in een driehoek
In een driehoek gaan de drie
bissectrices door één punt.
Dat punt is het middelpunt van
de ingeschreven cirkel van de
driehoek.
C
x x
M
A
°
°
∙
∙
B
8.3
Zwaartelijnen in een driehoek
De drie zwaartelijnen van een driehoek
gaan door één punt, het zwaartepunt.
En verdelen elkaar in stukken die
zich verhouden als 2 : 1.
C
E
Z
(1)
D
(2)
A
|
F
|
B
8.3
Hoogtelijnen in een driehoek
De drie hoogtelijnen van een
driehoek gaan door één punt.
C
D
E
A
F
B
8.3
Hoogtelijnen door H
Zwaartelijnen door Z
Middellloodlijnen door M
Bissectrices door B:
M,Z,H liggen op één lijn. HZ=2 x ZM
Stelling van Thales:
•
De omtrekshoek in een cirkel is 90°
Stelling van Thales:
•
•
De omtrekshoek op een cirkel is
altijd de helft van de basis hoek.
Stelling van Thales:
•
•
De omtrekshoek op een cirkel is
altijd de helft van de basis hoek.
Koordenvierhoeken
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan
de hoekpunten op één cirkel liggen.
D
Koordenvierhoekstelling :
Als ABCD een koordenvierhoek is, dan is de
som van elk paar overstaande hoeken 180°.
Omgekeerde koordenvierhoekstelling :
Als in een vierhoek de som van een paar
overstaande hoeken 180° is, dan is de
vierhoek een koordenvierhoek.
C
M
∙
B
A
8.3