Complexe getallen
Les 4
Meetkunde met complexe getallen
(Deze les sluit aan bij paragraaf 3, van Inleiding Complexe getallen van de
Wageningse Methode)
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 en 𝑤𝑤 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑧𝑧 + 𝑤𝑤 = 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)𝑖𝑖
z+w
z
Meetkunde
Met een parallellogram:
w
O
Of een kop-staart constructie:
w
z
O
z+w
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 en 𝑤𝑤 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑧𝑧 − 𝑤𝑤 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 − 𝑑𝑑)𝑖𝑖
Meetkunde
Van eindpunt van w naar eindpunt van z.
z−w
z
w
O
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖⋅𝑧𝑧 = −𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎
Meetkunde
π
arg 𝑖𝑖𝑖𝑖 = arg 𝑧𝑧 + arg 𝑖𝑖 = arg 𝑧𝑧 +
𝑖𝑖𝑖𝑖 is een rotatie over
π
,
2
linksom.
2
i⋅ z
z
Een vierkant maken
De getallen 0, z, iz en z + iz vormen een vierkant.
Z + i⋅z
i⋅ z
z
0
Een vierkant maken
Opgave 4c:
Welke figuur krijg je met de getallen 0, z, −iz en z −iz?
Een lijnstuk maken
Gegeven de getallen 𝑧𝑧 en 𝑤𝑤.
𝑤𝑤 − 𝑧𝑧 is de verbinding tussen 𝑤𝑤 en 𝑧𝑧.
1
𝑧𝑧 + (𝑤𝑤 − 𝑧𝑧) ligt halverwege.
𝑧𝑧 +
2
1
2
1
2
1
2
𝑤𝑤 − 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 + 𝑤𝑤.
z
O
1
w−z
2
w
Een lijnstuk maken
Gegeven de getallen 𝑧𝑧 en 𝑤𝑤.
𝑤𝑤 − 𝑧𝑧 is de verbinding tussen 𝑤𝑤 en 𝑧𝑧.
1
𝑧𝑧 + (𝑤𝑤 − 𝑧𝑧) ligt halverwege.
𝑧𝑧 +
2
1
2
1
2
1
2
𝑤𝑤 − 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 + 𝑤𝑤.
z
1
w−z
2
O
Algemeen:
𝑧𝑧 + 𝑡𝑡(𝑤𝑤 − 𝑧𝑧) zijn alle punten van het lijnstuk als 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.
𝑧𝑧 + 𝑡𝑡 𝑤𝑤 − 𝑧𝑧 = 1 − 𝑡𝑡 𝑧𝑧 + 𝑡𝑡𝑡𝑡 met 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1.
Anders opgeschreven: 𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑡𝑡𝑡𝑡 zijn alle punten van
het lijnstuk tussen z en w als 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = 1, (0 ≤ 𝑠𝑠 en 0 ≤ 𝑡𝑡).
w
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏.
2
c
2
a
m
b
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏.
2
2
De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking:
1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑠𝑠( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑡𝑡𝑡𝑡 met 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = 1, (0 ≤ 𝑠𝑠 en 0 ≤ 𝑡𝑡).a
2
2
3
2
1
3
Kies 𝑧𝑧 met 𝑠𝑠 = en 𝑡𝑡 = .
Punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en
2 1
1
1
1
1
1
𝑧𝑧 =
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
3 2
2
3
3
3
3
c
m
b
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. 𝑚𝑚 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏.
2
De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking:
1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑠𝑠( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑡𝑡𝑡𝑡 met 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 = 1, 0 ≤ 𝑠𝑠, 0 ≤ 𝑡𝑡.
2
3
2
2
1
.
3
c
2
Kies 𝑠𝑠 = en 𝑡𝑡 =
Dit punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en
2 1
1
1
1
1
1
𝑧𝑧 =
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
3 2
2
3
3
3
3
a
m
Op dezelfde manier geldt dat Z ligt op de zwaartelijnen uit B en C.
De zwaartelijnen in een driehoek gaan door één punt.
b
Zwaartelijnen
Maak opgave 3.
Twee vierkanten
Opgave 5
Twee vierkanten zitten met een hoekpunt bij O aan elkaar vast.
𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑏𝑏 = 𝑟𝑟 + 𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐 = −𝑖𝑖 � 𝑎𝑎 = 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 en 𝑑𝑑 = 𝑖𝑖 � 𝑏𝑏 = −𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑟𝑟
c
p komt overeen met pijl 1 en q met pijl 2.
𝑝𝑝 = 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑟𝑟 + 𝑠𝑠𝑠𝑠 =
= 𝑦𝑦 − 𝑟𝑟 − 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖
En 𝑞𝑞 = 𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 = −𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑟𝑟 − 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 =
= −𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 − 𝑦𝑦 𝑖𝑖
d
Twee vierkanten
Opgave 5 (vervolg)
𝑝𝑝 = 𝑦𝑦 − 𝑟𝑟 − 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖
c
𝑞𝑞 = −𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 − 𝑦𝑦 𝑖𝑖
𝑖𝑖𝑖𝑖 = −𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑟𝑟 − 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 − 𝑟𝑟 − 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑝𝑝
pijl 1 en pijl 2 staan loodrecht op elkaar.
|𝑝𝑝| = 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 𝑞𝑞 = |𝑞𝑞|
De pijlen zijn even lang.
d
Twee vierkanten
Maak opgave 6
Draaien over
1
2
1
2
ε = + 𝑖𝑖 3 = cos
π
3
π
3
+ 𝑖𝑖 sin( )
Vermenigvuldigen met ε komt overeen
π
met een draaiing over linksom.
3
π
3
of
π
6
Draaien over
1
2
1
2
ε = + 𝑖𝑖 3 = cos
π
3
π
3
+ 𝑖𝑖 sin( )
Vermenigvuldigen met ε komt overeen
π
met een draaiing over .
3
In de figuur zie je dat ϵ = 1 + ϵ2
Ook is ϵ5 + ϵ = 1 dus ϵ5 = 1 − ϵ
π
3
of
π
6
Gelijkzijdige driehoeken
De getallen 0, a en ε⋅a komen overeen
met de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.
ε⋅a
a
o
Gelijkzijdige driehoeken
c
Gegeven zijn de getallen a en b.
Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige
driehoek vormen.
b
a
Gelijkzijdige driehoeken
c
Gegeven zijn de getallen a en b.
Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige
driehoek vormen.
b
b – a is het lijnstuk AB.
a
Er zijn twee oplossingen:
• 𝑐𝑐 = ε(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)
• 𝑐𝑐 = ε5 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = (1 − ε)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)
Gelijkzijdige driehoeken
Opgave 14
De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig.
De lijnstukken AC en BD snijden onder
een hoek van 60° en zijn even lang.
Gelijkzijdige driehoeken
Opgave 14
De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig.
De lijnstukken AC en BD snijden onder
een hoek van 60° en zijn even lang.
Bewijs
Kies T als oorsprong.
Dan is 𝑏𝑏 = ε𝑎𝑎 en 𝑑𝑑 = ε𝑐𝑐.
Dus 𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 = ε𝑎𝑎 − ε𝑐𝑐 = ε(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐).
En |𝑏𝑏 − 𝑑𝑑| = ε 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 = |𝑎𝑎 − 𝑐𝑐|
Oefenen
Maken:
De opgaven van paragraaf 3,
in ieder geval de opgaven 7, 8, en11.
Huiswerk
Inleveren: van paragraaf 3, opgave 15.
