Complexe getallen Les 4 Meetkunde met complexe getallen

Complexe getallen
Les 4
Meetkunde met complexe getallen
(Deze les sluit aan bij paragraaf 3, van Inleiding Complexe getallen van de
Wageningse Methode)
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏𝑏𝑏 en 𝑀𝑀 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑖𝑖 οƒ  𝑧𝑧 + 𝑀𝑀 = π‘Žπ‘Ž + 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)𝑖𝑖
z+w
z
Meetkunde
Met een parallellogram:
w
O
Of een kop-staart constructie:
w
z
O
z+w
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏𝑏𝑏 en 𝑀𝑀 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑖𝑖 οƒ  𝑧𝑧 βˆ’ 𝑀𝑀 = π‘Žπ‘Ž βˆ’ 𝑐𝑐 + (𝑏𝑏 βˆ’ 𝑑𝑑)𝑖𝑖
Meetkunde
Van eindpunt van w naar eindpunt van z.
zβˆ’w
z
w
O
Vooraf
Algebra
𝑧𝑧 = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏𝑏𝑏 οƒ  𝑖𝑖⋅𝑧𝑧 = βˆ’π‘π‘ + π‘Žπ‘Žπ‘Žπ‘Ž
Meetkunde
Ο€
arg 𝑖𝑖𝑖𝑖 = arg 𝑧𝑧 + arg 𝑖𝑖 = arg 𝑧𝑧 +
οƒ  𝑖𝑖𝑖𝑖 is een rotatie over
Ο€
,
2
linksom.
2
iβ‹… z
z
Een vierkant maken
De getallen 0, z, iz en z + iz vormen een vierkant.
Z + iβ‹…z
iβ‹… z
z
0
Een vierkant maken
Opgave 4c:
Welke figuur krijg je met de getallen 0, z, βˆ’iz en z βˆ’iz?
Een lijnstuk maken
Gegeven de getallen 𝑧𝑧 en 𝑀𝑀.
𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧 is de verbinding tussen 𝑀𝑀 en 𝑧𝑧.
1
𝑧𝑧 + (𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧) ligt halverwege.
𝑧𝑧 +
2
1
2
1
2
1
2
𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 + 𝑀𝑀.
z
O
1
wβˆ’z
2
w
Een lijnstuk maken
Gegeven de getallen 𝑧𝑧 en 𝑀𝑀.
𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧 is de verbinding tussen 𝑀𝑀 en 𝑧𝑧.
1
𝑧𝑧 + (𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧) ligt halverwege.
𝑧𝑧 +
2
1
2
1
2
1
2
𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 + 𝑀𝑀.
z
1
wβˆ’z
2
O
Algemeen:
𝑧𝑧 + 𝑑𝑑(𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧) zijn alle punten van het lijnstuk als 0 ≀ 𝑑𝑑 ≀ 1.
𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 𝑀𝑀 βˆ’ 𝑧𝑧 = 1 βˆ’ 𝑑𝑑 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 met 0 ≀ 𝑑𝑑 ≀ 1.
Anders opgeschreven: 𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 zijn alle punten van
het lijnstuk tussen z en w als 𝑠𝑠 + 𝑑𝑑 = 1, (0 ≀ 𝑠𝑠 en 0 ≀ 𝑑𝑑).
w
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. οƒ  π‘šπ‘š = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏.
2
c
2
a
m
b
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. οƒ  π‘šπ‘š = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏.
2
2
De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking:
1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠( π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏) + 𝑑𝑑𝑑𝑑 met 𝑠𝑠 + 𝑑𝑑 = 1, (0 ≀ 𝑠𝑠 en 0 ≀ 𝑑𝑑).a
2
2
3
2
1
3
Kies 𝑧𝑧 met 𝑠𝑠 = en 𝑑𝑑 = .
Punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en
2 1
1
1
1
1
1
𝑧𝑧 =
π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
3 2
2
3
3
3
3
c
m
b
Zwaartelijnen
Gegeven de getallen a,b en c.
Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek.
1
1
M is het midden van AB. οƒ  π‘šπ‘š = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏.
2
De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking:
1
1
𝑠𝑠𝑠𝑠 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠( π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏) + 𝑑𝑑𝑑𝑑 met 𝑠𝑠 + 𝑑𝑑 = 1, 0 ≀ 𝑠𝑠, 0 ≀ 𝑑𝑑.
2
3
2
2
1
.
3
c
2
Kies 𝑠𝑠 = en 𝑑𝑑 =
Dit punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en
2 1
1
1
1
1
1
𝑧𝑧 =
π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = π‘Žπ‘Ž + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
3 2
2
3
3
3
3
a
m
Op dezelfde manier geldt dat Z ligt op de zwaartelijnen uit B en C.
οƒ  De zwaartelijnen in een driehoek gaan door één punt.
b
Zwaartelijnen
Maak opgave 3.
Twee vierkanten
Opgave 5
Twee vierkanten zitten met een hoekpunt bij O aan elkaar vast.
π‘Žπ‘Ž = π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑏𝑏 = π‘Ÿπ‘Ÿ + 𝑠𝑠𝑠𝑠
οƒ  𝑐𝑐 = βˆ’π‘–π‘– οΏ½ π‘Žπ‘Ž = 𝑦𝑦 βˆ’ π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ en 𝑑𝑑 = 𝑖𝑖 οΏ½ 𝑏𝑏 = βˆ’π‘ π‘  + π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ
c
p komt overeen met pijl 1 en q met pijl 2.
οƒ  𝑝𝑝 = 𝑐𝑐 βˆ’ 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦 βˆ’ π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ βˆ’ π‘Ÿπ‘Ÿ + 𝑠𝑠𝑠𝑠 =
= 𝑦𝑦 βˆ’ π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ π‘₯π‘₯ + 𝑠𝑠 𝑖𝑖
En π‘žπ‘ž = 𝑑𝑑 βˆ’ π‘Žπ‘Ž = βˆ’π‘ π‘  + π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦𝑖𝑖 =
= βˆ’π‘ π‘  βˆ’ π‘₯π‘₯ + π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ 𝑦𝑦 𝑖𝑖
d
Twee vierkanten
Opgave 5 (vervolg)
𝑝𝑝 = 𝑦𝑦 βˆ’ π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ π‘₯π‘₯ + 𝑠𝑠 𝑖𝑖
c
π‘žπ‘ž = βˆ’π‘ π‘  βˆ’ π‘₯π‘₯ + π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ 𝑦𝑦 𝑖𝑖
οƒ  𝑖𝑖𝑖𝑖 = βˆ’π‘–π‘–π‘–π‘– βˆ’ 𝑖𝑖𝑖𝑖 βˆ’ π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 βˆ’ π‘Ÿπ‘Ÿ βˆ’ π‘₯π‘₯ + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 𝑝𝑝
οƒ  pijl 1 en pijl 2 staan loodrecht op elkaar.
|𝑝𝑝| = 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 π‘žπ‘ž = |π‘žπ‘ž|
οƒ  De pijlen zijn even lang.
d
Twee vierkanten
Maak opgave 6
Draaien over
1
2
1
2
Ξ΅ = + 𝑖𝑖 3 = cos
Ο€
3
Ο€
3
+ 𝑖𝑖 sin( )
οƒ  Vermenigvuldigen met Ξ΅ komt overeen
Ο€
met een draaiing over linksom.
3
Ο€
3
of
Ο€
6
Draaien over
1
2
1
2
Ξ΅ = + 𝑖𝑖 3 = cos
Ο€
3
Ο€
3
+ 𝑖𝑖 sin( )
οƒ  Vermenigvuldigen met Ξ΅ komt overeen
Ο€
met een draaiing over .
3
In de figuur zie je dat Ο΅ = 1 + Ο΅2
Ook is Ο΅5 + Ο΅ = 1 dus Ο΅5 = 1 βˆ’ Ο΅
Ο€
3
of
Ο€
6
Gelijkzijdige driehoeken
De getallen 0, a en Ξ΅β‹…a komen overeen
met de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.
Ξ΅β‹…a
a
o
Gelijkzijdige driehoeken
c
Gegeven zijn de getallen a en b.
Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige
driehoek vormen.
b
a
Gelijkzijdige driehoeken
c
Gegeven zijn de getallen a en b.
Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige
driehoek vormen.
b
b – a is het lijnstuk AB.
a
Er zijn twee oplossingen:
β€’ 𝑐𝑐 = Ξ΅(𝑏𝑏 βˆ’ π‘Žπ‘Ž)
β€’ 𝑐𝑐 = Ξ΅5 𝑏𝑏 βˆ’ π‘Žπ‘Ž = (1 βˆ’ Ξ΅)(𝑏𝑏 βˆ’ π‘Žπ‘Ž)
Gelijkzijdige driehoeken
Opgave 14
De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig.
οƒ  De lijnstukken AC en BD snijden onder
een hoek van 60° en zijn even lang.
Gelijkzijdige driehoeken
Opgave 14
De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig.
οƒ  De lijnstukken AC en BD snijden onder
een hoek van 60° en zijn even lang.
Bewijs
Kies T als oorsprong.
Dan is 𝑏𝑏 = Ξ΅π‘Žπ‘Ž en 𝑑𝑑 = Ρ𝑐𝑐.
Dus 𝑏𝑏 βˆ’ 𝑑𝑑 = Ξ΅π‘Žπ‘Ž βˆ’ Ρ𝑐𝑐 = Ξ΅(π‘Žπ‘Ž βˆ’ 𝑐𝑐).
En |𝑏𝑏 βˆ’ 𝑑𝑑| = Ξ΅ π‘Žπ‘Ž βˆ’ 𝑐𝑐 = |π‘Žπ‘Ž βˆ’ 𝑐𝑐|
Oefenen
Maken:
De opgaven van paragraaf 3,
in ieder geval de opgaven 7, 8, en11.
Huiswerk
Inleveren: van paragraaf 3, opgave 15.