Complexe getallen Les 4 Meetkunde met complexe getallen (Deze les sluit aan bij paragraaf 3, van Inleiding Complexe getallen van de Wageningse Methode) Vooraf Algebra π§π§ = ππ + ππππ en π€π€ = ππ + ππππ ο π§π§ + π€π€ = ππ + ππ + (ππ + ππ)ππ z+w z Meetkunde Met een parallellogram: w O Of een kop-staart constructie: w z O z+w Vooraf Algebra π§π§ = ππ + ππππ en π€π€ = ππ + ππππ ο π§π§ β π€π€ = ππ β ππ + (ππ β ππ)ππ Meetkunde Van eindpunt van w naar eindpunt van z. zβw z w O Vooraf Algebra π§π§ = ππ + ππππ ο ππβ π§π§ = βππ + ππππ Meetkunde Ο arg ππππ = arg π§π§ + arg ππ = arg π§π§ + ο ππππ is een rotatie over Ο , 2 linksom. 2 iβ z z Een vierkant maken De getallen 0, z, iz en z + iz vormen een vierkant. Z + iβ z iβ z z 0 Een vierkant maken Opgave 4c: Welke figuur krijg je met de getallen 0, z, βiz en z βiz? Een lijnstuk maken Gegeven de getallen π§π§ en π€π€. π€π€ β π§π§ is de verbinding tussen π€π€ en π§π§. 1 π§π§ + (π€π€ β π§π§) ligt halverwege. π§π§ + 2 1 2 1 2 1 2 π€π€ β π§π§ = π§π§ + π€π€. z O 1 wβz 2 w Een lijnstuk maken Gegeven de getallen π§π§ en π€π€. π€π€ β π§π§ is de verbinding tussen π€π€ en π§π§. 1 π§π§ + (π€π€ β π§π§) ligt halverwege. π§π§ + 2 1 2 1 2 1 2 π€π€ β π§π§ = π§π§ + π€π€. z 1 wβz 2 O Algemeen: π§π§ + π‘π‘(π€π€ β π§π§) zijn alle punten van het lijnstuk als 0 β€ π‘π‘ β€ 1. π§π§ + π‘π‘ π€π€ β π§π§ = 1 β π‘π‘ π§π§ + π‘π‘π‘π‘ met 0 β€ π‘π‘ β€ 1. Anders opgeschreven: π π π π + π‘π‘π‘π‘ zijn alle punten van het lijnstuk tussen z en w als π π + π‘π‘ = 1, (0 β€ π π en 0 β€ π‘π‘). w Zwaartelijnen Gegeven de getallen a,b en c. Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek. 1 1 M is het midden van AB. ο ππ = ππ + ππ. 2 c 2 a m b Zwaartelijnen Gegeven de getallen a,b en c. Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek. 1 1 M is het midden van AB. ο ππ = ππ + ππ. 2 2 De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking: 1 1 π π π π + π‘π‘π‘π‘ = π π ( ππ + ππ) + π‘π‘π‘π‘ met π π + π‘π‘ = 1, (0 β€ π π en 0 β€ π‘π‘).a 2 2 3 2 1 3 Kies π§π§ met π π = en π‘π‘ = . Punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en 2 1 1 1 1 1 1 π§π§ = ππ + ππ + ππ = ππ + ππ + ππ 3 2 2 3 3 3 3 c m b Zwaartelijnen Gegeven de getallen a,b en c. Deze stellen de punten A,B en C voor van een driehoek. 1 1 M is het midden van AB. ο ππ = ππ + ππ. 2 De zwaartelijn is het lijnstuk CM met de vergelijking: 1 1 π π π π + π‘π‘π‘π‘ = π π ( ππ + ππ) + π‘π‘π‘π‘ met π π + π‘π‘ = 1, 0 β€ π π , 0 β€ π‘π‘. 2 3 2 2 1 . 3 c 2 Kies π π = en π‘π‘ = Dit punt Z ligt op de zwaartelijn vanuit C en 2 1 1 1 1 1 1 π§π§ = ππ + ππ + ππ = ππ + ππ + ππ 3 2 2 3 3 3 3 a m Op dezelfde manier geldt dat Z ligt op de zwaartelijnen uit B en C. ο De zwaartelijnen in een driehoek gaan door één punt. b Zwaartelijnen Maak opgave 3. Twee vierkanten Opgave 5 Twee vierkanten zitten met een hoekpunt bij O aan elkaar vast. ππ = π₯π₯ + π¦π¦π¦π¦, ππ = ππ + π π π π ο ππ = βππ οΏ½ ππ = π¦π¦ β π₯π₯π₯π₯ en ππ = ππ οΏ½ ππ = βπ π + ππππ c p komt overeen met pijl 1 en q met pijl 2. ο ππ = ππ β ππ = π¦π¦ β π₯π₯π₯π₯ β ππ + π π π π = = π¦π¦ β ππ β π₯π₯ + π π ππ En ππ = ππ β ππ = βπ π + ππππ β π₯π₯ + π¦π¦ππ = = βπ π β π₯π₯ + ππ β π¦π¦ ππ d Twee vierkanten Opgave 5 (vervolg) ππ = π¦π¦ β ππ β π₯π₯ + π π ππ c ππ = βπ π β π₯π₯ + ππ β π¦π¦ ππ ο ππππ = βππππ β ππππ β ππ β π¦π¦ = π¦π¦ β ππ β π₯π₯ + π π ππ = ππ ο pijl 1 en pijl 2 staan loodrecht op elkaar. |ππ| = ππππ = ππ ππ = |ππ| ο De pijlen zijn even lang. d Twee vierkanten Maak opgave 6 Draaien over 1 2 1 2 Ξ΅ = + ππ 3 = cos Ο 3 Ο 3 + ππ sin( ) ο Vermenigvuldigen met Ξ΅ komt overeen Ο met een draaiing over linksom. 3 Ο 3 of Ο 6 Draaien over 1 2 1 2 Ξ΅ = + ππ 3 = cos Ο 3 Ο 3 + ππ sin( ) ο Vermenigvuldigen met Ξ΅ komt overeen Ο met een draaiing over . 3 In de figuur zie je dat Ο΅ = 1 + Ο΅2 Ook is Ο΅5 + Ο΅ = 1 dus Ο΅5 = 1 β Ο΅ Ο 3 of Ο 6 Gelijkzijdige driehoeken De getallen 0, a en Ξ΅β a komen overeen met de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek. Ξ΅β a a o Gelijkzijdige driehoeken c Gegeven zijn de getallen a en b. Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige driehoek vormen. b a Gelijkzijdige driehoeken c Gegeven zijn de getallen a en b. Bereken c zodat a,b en c een gelijkzijdige driehoek vormen. b b β a is het lijnstuk AB. a Er zijn twee oplossingen: β’ ππ = Ξ΅(ππ β ππ) β’ ππ = Ξ΅5 ππ β ππ = (1 β Ξ΅)(ππ β ππ) Gelijkzijdige driehoeken Opgave 14 De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig. ο De lijnstukken AC en BD snijden onder een hoek van 60° en zijn even lang. Gelijkzijdige driehoeken Opgave 14 De driehoeken ABT en CDT zijn gelijkzijdig. ο De lijnstukken AC en BD snijden onder een hoek van 60° en zijn even lang. Bewijs Kies T als oorsprong. Dan is ππ = Ξ΅ππ en ππ = Ξ΅ππ. Dus ππ β ππ = Ξ΅ππ β Ξ΅ππ = Ξ΅(ππ β ππ). En |ππ β ππ| = Ξ΅ ππ β ππ = |ππ β ππ| Oefenen Maken: De opgaven van paragraaf 3, in ieder geval de opgaven 7, 8, en11. Huiswerk Inleveren: van paragraaf 3, opgave 15.