VWO D deel 3 H11

vwo D Samenvatting Hoofdstuk 11
De parabool als conflictlijn
Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden
tot een punt en een lijn.
1
De vergelijking van de parabool met brandpunt F( p , 0)
2
1
en richtlijn l: x =  p is y2 = 2px.
2
11.1
Parabool en raaklijnen
De lijn k met richtingscoëfficiënt a die de parabool y2 = 2px raakt heeft
vergelijking k: y  ax 
p
2a
De lijn k die de parabool y2 = 2px raakt in A(xA, yA) heeft vergelijking
k: yAy = px + pxA.
11.1
De poollijn van een punt ten opzichte van een parabool
Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de parabool y2 = 2px
in de punten A en B, dan is
• de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de parabool
• het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de parabool
• een vergelijking van de lijn AB: yPy = px + pxP.
11.1
De ellips als confictlijn
Een ellips is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot
een cirkel en een punt binnen de cirkel.
Een ellips is de verzameling van alle punten P waarvoor
geldt d(P, F1) + d(P, F2) = constant.
De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips.
11.2
Het lijnstuk AB heet de lange as van de ellips.
AB = 2a
Het lijnstuk CD heet de korte as van de ellips.
CD = 2b
De punten A, B, C en D heten
de toppen van de ellips.
Het snijpunt van de symmetrieassen heet
het middelpunt van de ellips.
De vergelijking van de ellips met toppen A(-a, 0),
2
2
2
2
x
y
 1
B(a, 0), C(0, b) en D(0, -b) is
a b
11.2
Ellips en raaklijnen
2
2
2
2
x
y
De lijn k die de ellips
  1 raakt in A(xA, yA)
a b
xx y y
heeft vergelijking k:

1
a
b
A
A
2
2
Heb je een vergelijking van de raaklijn in een punt A van de ellips opgesteld,
dan is daarna eenvoudig een vergelijking van de normaal in dat punt op te stellen.
De normaal snijdt de ellips loodrecht in het punt A.
11.2
De poollijn van een punt ten opzichte van een ellips
2
2
2
2
x
y
Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de ellips
 1
a b
in de punten A en B, dan is
• de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de ellips
• het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de ellips
• een vergelijking van de lijn AB:
xx y y

1
a
b
P
P
2
2
11.2
Is de vergelijking van de ellips b2x2 + a2y2 = a2b2
dan is de vergelijking van de poollijn b2xPx + a2yPy = a2b2
(x  x ) ( y  y )
Is de vergelijking van de ellips

1
a
b
2
2
M
M
2
2
en een punt P(xP, yP) buiten de ellips,
dan wordt de vergelijking van de poollijn
( x  x )( x  x ) ( y  y )( y  y )

1
a
b
P
M
M
2
P
M
M
2
11.2
Een hyperbooltak als conflictlijn
Een hyperbooltak is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden
tot een cirkel en een punt buiten de cirkel.
Een hyperbool is de verzameling van alle punten P waarvoor geldt
|d(P, F1) – d(P, F2)| = constant.
De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de hyperbool.
De lijn door de punten F1 en F2 is
een symmetrieas van de hyperbool
en snijdt de hyperbool in de punten A en B.
Deze punten zijn de toppen van de hyperbool.
De middelloodlijn van het lijnstuk F1F2 is de
andere symmetrieas van de hyperbool.
Het snijpunt van de symmetyrieassen heet
het middelpunt van de hyperbool.
De brandpuntsafstand is 2c, dus F1F2 = 2c.
Voor alle punten op de hyperbool geldt
|d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a
11.3
De vergelijking van de hyperbool met toppen A(-a, 0) en B(a, 0) en
2
2
2
2
brandpunten F1(-c, 0) en F2(c, 0) is x  y  1
a b
Daarbij is b2 = c2 – a2.
In het figuur is de vergelijking van de hyperbool
x
y
  1
a b
Hierbij is a2 = c2 – b2.
2
2
2
2
De lijnen y 
b
b
x en y   x
a
a
2
2
2
2
x
y
zijn asymptoten van de hyperbool
 1
a b
11.3
Hyperbool, raaklijn en poollijn
2
2
2
2
x
y
De lijn k die de hyperbool
  1 raakt in A(xA, yA)
a b
xx y y
heeft vergelijking k:

1
a
b
A
A
2
2
Raken de lijnen l en m door het punt P(xP, yP) de
2
2
2
2
x
y
hyperbool
  1 in de punten A en B, dan is
a b
• de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de hyperbool
• het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de hyperbool
• een vergelijking van de lijn AB:
xx y y

1
a
b
P
P
2
2
11.3
Kegelsneden
Bij wentelen van de lijn l om de x-as ontstaat een kegelvlak.
Dit omwentelingskegelvlak bestaat uit twee kegels zonder
grondvlak met de gemeenschappelijke top O.
De tophoek van zo’n kegel is 2α.
Doorsneden van een vlak V met een
kegelvlak heten kegelsneden.
Een kegelsnede is de doorsnede van een
plat vlak met een kegelvlak.
Cirkel, parabool, ellips en hyperbool zijn kegelsneden.
11.4