formularium analytische meetkunde

FORMULARIUM ANALYTISCHE MEETKUNDE
PARABOOL
topvergelijking: y 2  2 px
p 
brandpunt f  , 0 
2 
p
richtlijn d : x  
2
top O  0,0 
as: y  0
topraaklijn: x  0
raaklijn in P  x1 , y1  : y1 y  p  x  x1 
 x  2 p 2
stelsel parametervergelijkingen: 
 y  2 p
ELLIPS
x2 y 2

1
a 2 b2
brandpunten f  c, 0  en f '  c,0 met c 2  a 2  b 2
vergelijking betrokken op symmetrieassen:
toppen  a,0  ,  0, b 
assen: y  0, x  0
topraaklijnen: x   a, y  b
xx yy
raaklijn in P  x1 , y1    : 12  12  1
a
b
x

a
cos


stelsel parametervergelijkingen: 
 y  b sin 
HYPERBOOL
x2 y 2

1
a 2 b2
brandpunten f  c,0  en f '  c,0 met c 2  a 2  b 2
vergelijking betrokken op symmetrieassen:
toppen  a,0
assen: y  0, x  0
topraaklijnen: x   a
b
asymptoten: y   x
a
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
1
raaklijn in P  x1 , y1    :
x1 x y1 y

1
a 2 b2
 x  a sec 
stelsel parametervergelijkingen: 
 y  b tan 
vergelijking van een gelijkzijdige hyperbool betrokken op de asymptoten: x. y  k
HOMOGENE COÖRDINATEN
x
y
z
homogene vergelijking van de rechte PP
1 2 : x1
y1
z1  0
x2
y2
z2
parametervergelijking van PP
1 2 : kP1  lP2  0 of P1  hP2  0
u1
v1
w1
a, b, c zijn concurrent  u2
u3
v2
w2  0
v3
w3
homogene vergelijking van een bundel rechten met basisexemplaren   0 en   0 :
k  l   0 of   h  0
isotrope richtingen: 1, i,0 , 1, i,0
KEGELSNEDEN
K : ax 2  a ' y 2  a " z 2  2b " xy  2b ' xz  2byz  0
 t P.C.P  0
 a b" b ' 
met C   b " a ' b 
 b ' b a "


  det C
  aa ' b "2
  a  a'
eigenschappen:
1)
2)
x1 Fx '  x, y, z   y1 Fy '  x, y, z   z1Fz '  x, y, z 
 xFx '  x1 , y1 , z1   yFy '  x1 , y1 , z1   zFz '  x1 , y1 , z1 
x1Fx '  x1 , y1 , z1   y1Fy '  x1 , y1 , z1   z1Fz '  x1 , y1 , z1   0
F  kx1  lx2 , ky1  ly2 , kz1  lz2 
3)
 k 2 F  x1 , y1 , z1   kl  x1Fx '  x2 , y2 , z2   y1Fy '  x2 , y2 , z2   z1Fz '  x2 , y2 , z2  
 l 2 F  x2 , y2 , z2 
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
2
ONTAARDE KEGELSNEDEN
rechtenpaar door O:
d1  d 2 : ax 2  2b " xy  a ' y 2  0
d1  d 2    0
 Fx '  x0 , y0 , z0   0

D  x0 , y0 , z0  dubbelpunt   Fy '  x0 , y0 , z0   0

 Fz '  x0 , y0 , z0   0
K is ontaard    0
Classificatie   0 : - affiene kegelsneden:
  0 : 2 snijdende toegevoegd imaginaire rechten
  0 : 2 snijdende reële rechten
  0 : A  0  A '  0 : 2 toegevoegd imaginaire rechten
A  0  A '  0 : 2  reële rechten
A  A '  0: 2 samenvallende reële rechten
- niet-affiene kegelsneden: a  a '  b "  0 : z  0  reële rechte
CLASSIFICATIE VAN DE NIET-ONTAARDE KEGELSNEDEN
Classificatie   0 :
  0 a  0
a  0
 0
 0
imaginaire ellips
reële ellips
hyperbool
parabool
K is een cirkel  a  a ' b "  0
K is een gelijkzijdige hyperbool    0
Reduceren van vergelijkingen
Geval   0
* verschuiving naar O '  x0 , y0  symmetriemiddelpunt

 Fx '  x, y,1  0


 Fy '  x, y,1  0
2. kwadratische termen behouden hun coëfficiënten
3. eerstegraadstermen vallen weg
4. constante term wordt F  x0 , y0 ,1
1.
 x0 , y0  oplossing van het stelsel
* draaiing over 
a
1. bereken  uit
b"
2. a1  1 , a1 '  2
b"
a ' 
0
3. bereken  uit  a  a1  cos  b "sin   0
4. term met xy valt weg
5. constante term blijft gelijk
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
3
Geval   0
* draaiing over 
a
1. bereken  uit
b"
2. a1  0, a1 '  
b"
a ' 
0
3. bereken  uit  a  a1  cos  b "sin   0
4. term met xy valt weg
5. bepaal de overige coëfficiënten met
 cos   sin 
 2b1 ' 2b1 a1 "   2b ' 2b a " .  sin  cos 
 0
0

* verschuiving naar O '  x0 ', y0 ' top
0

0
1 
 x '  x " x0 '
1. substitueer transformatieformules 
 y '  y " y0 '
2. bepaal  x0 ', y0 ' zodat de term in y " en de constante term wegvallen
MEETKUNDIGE PLAATSEN

analytische vertolking van de opgave
1. kies een assenstelsel en stel P  ,    K
2. vertolk de meetkundige voorwaarden door f  ,    0
3. vervang  door x en  door y
4. interpreteer K : f  x, y   0

voortbrengende krommen
1. kies een assenstelsel en voer een parameter in
2. stel de vergelijkingen van de voortbrengende krommen op
3. elimineer de parameter uit deze vergelijkingen
4. interpreteer de verkregen vergelijking van de meetkundige plaats
RAAKLIJNEN
vergelijking van de raaklijn in P  x1 , y1 , z1  aan K:
xFx '  x1 , y1 , z1   yFy '  x1 , y1 , z1   zFz '  x1, y1, z1   0
elke rechte door het dubbelpunt is raaklijn in het dubbelpunt aan K
vergelijking van de raakkoorde van P  x1 , y1 , z1   K :
xFx '  x1 , y1 , z1   yFy '  x1, y1, z1   zFz '  x1, y1, z1   0
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
4
ASYMPTOTEN
ellips of hyperbool: 1. asymptotische richtingen uit a  2b " m  a ' m 2  0
2. vergelijking van de asymptoten: Fx '  x, y, z   mFy '  x, y, z   0
n.o. parabool:
1. asymptotische richting m  
b"
a'
2. asymptoot: z  0
ellipsen of hyperbolen waarvan de vergelijkingen enkel verschillen voor a "
hebben dezelfde asymptoten
vergelijking van een ellips of hyperbool met gegeven asymptoten:
u1x  v1 y  w1z u2 x  v2 y  w2 z   h  0
vergelijking van een hyperbool betrokken op asymptoten: x. y  k
eigenschap:
KEGELSNEDENBUNDELS
K    K1 , K 2   K : kF1  x, y, z   lF2  x, y, z   0
of F1  x, y, z   hF2  x, y, z   0
Classificatie: 1. kegelsnedenbundel omgeschreven aan een vierhoek: k .  l .  0
2. rakende kegelsnedenbundel (omgeschreven aan een driehoek):
k .  l .  0
3. dubbelrakende kegelsnedenbundel: k .  l 2  0
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
5
POOLLIJNEN EN POLEN
vergelijking van de poollijn van P  x1 , y1 , z1  t.o.v. K:
xFx '  x1 , y1 , z1   yFy '  x1, y1, z1   zFz '  x1, y1, z1   0
elke rechte door het dubbelpunt is poollijn van het dubbelpunt t.o.v. K
 P  K : raaklijn
 P  K : raakkoorde
 MP van de punten Q zodat  P, Q, C, C ' harmonisch zijn, met C, C '  AB  K
 A  b  B  a met a poollijn van A en b poollijn van B
 poollijn gaat steeds door het dubbelpunt
pool van rechte a = elk punt A met a als poollijn
toegevoegde punten behoren tot elkaars poollijn
toegevoegde rechten bevatten elke pool van elkaar
pooldriehoek: elk hoekpunt heeft overstaande zijde als poollijn
vergelijking van een kegelsnede toegevoegd aan een gegeven pooldriehoek:
k 2  l  2  n 2  0
MIDDELPUNTEN
definitie: pool van de rechte op oneindig t.o.v. K
eigenlijk middelpunt = symmetriemiddelpunt
 Fx '  x, y, z   0
middelpunt bepalen als snijpunt van de middelpuntsrechten: 
 Fy '  x, y, z   0
 asymptoten van een ellips of hyperbool gaan door het middelpunt
MIDDELLIJNEN
definitie: poollijn van punt op oneindig t.o.v. K, of dus toegevoegd aan Rich d  P 1, m,0 
vergelijking: Fx '  x, y, z   mFy '  x, y, z   0 of Fy '  x, y, z   0 (als d y )
 P  K (asymptotische richting van K): middellijn = asymptoot




P  K : raakkoorde
MP van de middens van de koorden Rich d
middellijnen gaan door het middelpunt
vergelijking van K met gegeven raaklijn   0 en toegevoegde middellijn   0 :
- n.o. ellips of hyperbool: k 2  l  2  n z  0
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
6
-
n.o. parabool: l  2  n z  0
 toegevoegde richtingen  P , Q toegevoegde punten
uit: a  b " m1  m2   a ' m1m2  0
 toegevoegde middellijnen: hun toegevoegde richtingen zijn toegevoegd
opmerking: toegevoegde middellijnen vallen samen als ze samenvallen met één der
asymptoten
 vergelijking van ellips of hyperbool met twee gegeven toegevoegde middellijnen:
(pooldriehoek)
k 2  l  2  nz 2  0
ASSEN
 Rich c en Rich d zijn hoofdrichtingen
 Rich c en Rich d zijn toegevoegd en Rich c  Rich d
 bepalen van de hoofdrichtingen uit: b " m2   a  a ' m  b "  0
 as = eigenlijke middellijn die loodrecht staat op haar toegevoegde richting
 vergelijking van een as: Fx '  x, y, z   mFy '  x, y, z   0
 elke as is symmetrieas van K (niet omgekeerd)
 toppen zijn de snijpunten van as(sen) en kegelsnede
 vergelijking van K met gegeven topraaklijn   0 en gegeven as   0 :
- n.o. ellips of hyperbool: k 2  l  2  n z  0
- n.o. parabool: l  2  n z  0
 vergelijking van ellips of hyperbool met twee gegeven assen:
k 2  l  2  nz 2  0
KA Mariakerke
Formularium analytische meetkunde
7