Kegelsneden (DOC)

Wiskunde met machientjes
Bert Wikkerink
Wiskunde met machientjes
Inleiding.
Wiskunde met machientjes gaat over hulpmiddelen bij het
tekenen van kegelsneden. We gaan daarbij uit van de
instrumenten die ontwikkeld zijn door Frans van Schooten, een
Nederlandse wiskundige uit de 17e eeuw.
In deze workshop onderzoeken we eerst de instrumenten zelf.
Vervolgens bewijzen we dat de getekende figuren ook werkelijk
kegelsneden zijn.
Tenslotte gaan we de instrumenten (re)construeren m.b.v. de
software van TI-Nspire.
De kegelsnede
Een kegelsnede is de figuur die ontstaat als je een kegel
doorsnijdt met een vlak.
In de figuur hiernaast zie je een kegel met een vlak.
De vorm van de doorsnede is afhankelijk van de plek en de
stand van het vlak. Door het vlak te verschuiven of te draaien
ontstaat op deze manier een lijn, een parabool, een ellips of
een hyperbool.
De vraag is hoe we die vormen nauwkeurig kunnen tekenen.
Voor de verschillende kegelsneden bestaan ook meetkundige
definities. Deze definities gebruikte Frans van Schooten om
zijn instrumenten te maken.
Definities:
-
Parabool:
Een parabool is een verzameling punten die
gelijke afstanden hebben tot een gegeven
punt en een gegeven lijn.
In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P op
de parabool: PF  d ( P, l ) .
-
Ellips:
Een ellips is de verzameling punten waarvoor
geldt dat de som van de afstanden tot twee
gegeven punten constant is.
In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P
van de ellips: PF1  PF2 is constant.
-
Hyperbool:
Een hyperbool is een verzameling punten
waarvoor geldt dat het verschil van de afstanden
tot twee gegeven punten constant is.
In de figuur hiernaast geldt voor elk punt P van de
hyperbool: PF1  PF2 is constant.
Bovenstaande definities kun je meetkundig noemen.
Soms is het voor een bewijs handig om een analytische definitie te gebruiken.
Voor ellips geldt ook het volgende:
Neem het middelpunt van de ellips als oorsprong.
Noem het snijpunt met de x-as A en het snijpunt met de y-as B.
Dan geldt voor een punt P ( x, y ) op de ellips:
x2 y2

 1 , waarbij OA  a en OB  b .
a 2 b2
Voordat we met de instrumenten beginnen verkennen we
eerst de verschillende vormen op speciaal papier.
Op dit papier staan twee groepen concentrische cirkels
met een vaste toename van de straal.
Hierop is het eenvoudig punten te tekenen met een van
bovenstaande eigenschappen.
Op deze manier ontstaat dan een ellips, parabool of
hyperbool.
We zullen nu verschillende tekeninstrumenten onderzoeken.
We beginnen met relatief eenvoudig te maken “machientjes” voor ellipsen (ellipsografen).
Ellipsograaf 1:
Het apparaat bestaat uit twee korte latjes van gelijke lengte
en twee langer “gespleten” latjes ook van gelijke lengte.
Als je twee aan elkaar grenzende hoekpunten vast houdt en
de andere hoekpunten laat draaien beschrijft het snijpunt
van de twee langste lijnstukken een (deel van een) ellips.
Bewijs:
AB  CD , AC  BD en BC  BC
Dus: ABC  DCB (ZZZ )
BAP  CDP , APB  DPC en AB  CD
Dus: ABP  DCP (ZHH )
Hieruit volgt: BP  CP
En dus AP  BP  AP  CP  AC is constant
Ellipsograaf 2:
Als het bovenste latje rondgedraaid wordt bewegen twee
houtjes door twee sleufjes (zie foto).
Het uiteinde van het latje beschrijft dan een ellips.
Bewijs:
Stel Q is het snijpunt van de verticale lijn door P en de
horizontale lijn door B.
Noem OB  c
BQP is rechthoekig en dus geldt de stelling van
Pythagoras: x 2  ( y  c) 2  BP 2
………(1)
yc
y

BP
AP
2
y  BP
y  BP 2
2
Hieruit volgt: y  c 
en dus ook ( y  c) 
………..(2)
AP
AP 2
y 2  BP 2
 BP 2
(1) en (2) combineren geeft: x 2 
AP 2
x2
y2

1
Links en rechts delen door BP 2 geeft:
BP 2 AP 2
BQP en ARP zijn gelijkvormig, dus geldt:
Ofwel:
x2 y2

 1 , met a  BP en b  AP
a 2 b2
Ellipsograaf 3:
Als je het korte stokje ronddraait en het andere stokje over
de lange lat laat slepen beschrijft het gaatje een ellips.
Bewijs
O is de oorsprong.
Noem OB  c en OC  d
Dan is AB  c en AC  d
Punt P zit op een vaste afstand van A, dus OB  c
AP  k  c voor een bepaalde waarde van
0  k  1.
BCA en PQA zijn gelijkvormig, dus QP  k  d
Nu is x  OA  QA  2  d  k  d  d  (2  k )
x
x2
en dus d 2 
……….(1)
2k
(2  k ) 2
Verder geldt in PQA : AQ2  PQ2  AP2 , dus
Dus d 
( k  d ) 2  y 2  ( k  c) 2 Þ k 2  d 2  y 2  k 2  c 2 Þ d 2 
y2
 c 2 …………(2)
2
k
(1) invullen in (2) geeft:
x2
y2
x2
y2
2
Þ


c

1
(2  k ) 2 k 2
c 2  (2  k ) 2 c 2  k 2
c en k zijn constanten, dus dit is te schrijven als:
en dus beschrijft punt P een ellips.
x2 y2

 1 met a  c  (2  k ) en b  c  k
a 2 b2
De instrumenten van Frans van Schooten
In onderstaande afbeeldingen zien we instrumenten die Frans van Schooten in de 17e eeuw
heeft gemaakt en waarmee kegelsneden getekend kunnen worden.
De ellipsograaf:
De parabolograaf:
De hyperbolograaf:
De instrumenten van Van Schooten zijn wat lastiger te
maken.
In de afbeelding hiernaast staat een model waarmee
we alle drie bovengenoemde kegelsneden kunnen
tekenen.
Dat dit ook werkelijk kegelsneden zijn is relatief
eenvoudig te bewijzen.
De ellipsograaf (Frans van Schooten):
Als punt C ronddraait beschrijft punt P een ellips.
Bewijs:
DBEC is een ruit, dus DE is middelloodlijn van CP.
P ligt op DE, dus CP = BP.
Dat betekent dat AP + BP = AP + CP = AC
En dus geldt: AP + BP is constant.
Hieruit volgt dat punt P een ellips beschrijft.
De parabolograaf (Frans van Schooten):
Als punt A over de horizontale lijn verschuift beschrijft punt
P een parabool.
Bewijs:
BACF is een ruit, dus BC is middelloodlijn van AF.
P ligt op BC, dus FP = AP.
Dat betekent dat de afstand van P tot F gelijk is aan de
afstand van P tot de horizontale lijn.
Hieruit volgt dat punt P een parabool beschrijft.
De hyperbolograaf (Frans van Schooten):
Als punt A ronddraait beschrijft punt P een hyperbool.
Bewijs:
ACFD is een ruit, dus CD is middelloodlijn van AF.
P ligt op CD, dus FP = AP.
Dat betekent dat BP - FP = BP + AP = BP
En dus geldt: BP - FP is constant.
Hieruit volgt dat punt P een hyperbool beschrijft.
Kegelsneden en TI-Nspire
De meetkunde toepassing is een krachtige omgeving om
kegelsneden te construeren.
Natuurlijk is er de menu-optie voor de verschillende
kegelsneden.
Maar je kunt ook zelf een constructie maken.
Hieronder staan drie voorbeelden waarbij de kegelsnede
is geconstrueerd als meetkundige plaats.
Parabool als meetkundige plaats van punten P met
gelijke afstand tot een punt (F) en een lijn (r).
Ellips als meetkundige plaats van punten P met gelijke
afstand tot een cirkel en een punt (F) binnen de cirkel.
Hyperbool als meetkundige plaats van punten P met
gelijke afstand tot een cirkel en een punt (F) buiten de
cirkel.
In de workshop gaan we meer voorbeelden bekijken van kegelsneden met de TI-Nspire.