Goniometrie Complexe Getallen

Goniometrie
Complexe Getallen
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor
Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde
en Economie-Wiskunde
2
Hoofdstuk 1
Goniometrie
1.1
1.1.1
Herhaling
Georiënteerde hoeken
We herhalen het begrip van georiënteerde hoek maar we geven nu een meer wiskundige
definitie.
Een isometrie in het vlak is de samenstelling van een eindig aantal spiegelingen. Is het
aantal spiegelingen even dan spreken we van een verplaatsing in het vlak.
Een verschuiving is de samenstelling van twee spiegelingen om parallelle rechten. Een
rotatie is de samenstelling van twee spiegelingen om snijdende rechten. Men kan aantonen
dat een verplaatsing in het vlak de samenstelling is van een verschuiving en een rotatie.
Een isometrie is een afstand-bewarende en hoek-bewarende transformatie van het vlak.
Figuren die in elkaar overgaan door een verplaatsing worden rechtstreeks congruente
figuren genoemd.
Een tweebeen is een koppel halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt. De eerste
halfrechte noemen we het beginbeen en de tweede het eindbeen.
Een georiënteerde hoek is een equivalentieklasse van rechtstreeks congruente tweebenen, zoals een richting van rechten een equivalentieklasse is van evenwijdige rechten.
Een georiënteerde hoek wordt gerepresenteerd door een tweebeen, zoals een richting gerepresenteerd wordt door een rechte.
3
4
1.1.2
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
De goniometrische cirkel
We beschouwen een eenheidscirkel met x als een vaste halfrechte die we beschouwen het
als beginbeen van elke georiënteerde hoek. We bepalen het snijpunt A van het eindbeen l
met de eenheidscirkel. Zo komt met het eindbeen van een georiënteerde hoek α een punt A
op de eenheidscirkel overeen en omgekeerd komt met elk punt A op de eenheidscirkel het
eindbeen van een georiënteerde hoek α overeen. Daarom noemen we deze eenheidscirkel
de goniometrische cirkel. We spreken af om het maatgetal van α aan te duiden bij
het eindbeen van deze georiënteerde hoek dus bij het corresponderend punt A op de
goniometrische cirkel.
Elke georiënteerde hoek correspondeert met een georiënteerde rechte bepaald door de
eenheidsvector e~α , die de plaatsvector is van het punt op de goniometrische cirkel dat
overeenkom met α.
1.1.3
Het meten van georiënteerde hoeken
1.1.3.1
De zestigdelige graden
Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 360 gelijke boogjes dan is de middelpuntshoek die overeenstemt met zo één boogje de hoekeenheid van 1o . Alle maatgetallen in
zestigdelige graden van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal plus
een geheel veelvoud van 360.
xo + k.360o : k ∈ Z
1.1.3.2
De radialen
Verdelen we de omtrek van de eenheidscirkel in 2π ' 6, 28 gelijke delen dan is de middelpuntshoek die overeenstemt met zo één deeltje de hoekeenheid van 1 radiaal. Alle
maatgetallen in radialen van een georiënteerde hoek worden gegeven door één maatgetal
plus een geheel veelvoud van 2π.
x rad + 2kπ rad : k ∈ Z
Met deze hoekeenheid kunnen we gemakkelijk een verband leggen tussen de lengte van
een cirkelboog en het maatgetal van de corresponderende middelpuntshoek. Aangezien
de omtrek van een cirkel met straal R gelijk is aan 2πR, is de lengte van de boog van 1
radiaal gelijk aan de straal R. De lengte van een boog van x radialen (0 ≤ x < 2π) is dan
gelijk aan xR. In een eenheidscirkel is de lengte van een boog van x radialen gelijk aan x.
1.1. HERHALING
5
Figuur 1.1: boog van 1o
boog van 1 radiaal
STELLING 1.1 In een cirkel met straal R staat een middelpuntshoek van x radialen
(0 ≤ x < 2π) op een boog waarvan de lengte gelijk is aan xR. In het bijzonder staat
bij een eenheidscirkel een middelpuntshoek van x radialen op een boog waarvan de lengte
gelijk is aan x.
Figuur 1.2: lengte van een boog
6
1.1.3.3
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd
Met de regel van drie kunnen heel gemakkelijk overgaan van de zestigdelige graad naar
de radiaal en omgekeerd.
360o = 2π rad
m
1o =
xo =
π
180 o
rad ⇐⇒ 1 rad =
180
π
m
π
180 o
x rad ⇐⇒ x rad =
x
180
π
Op de meeste rekenmachines is een toets voorzien voor deze omzetting.
Voorbeeld:
72, 5143o = 72o 30’51”,4=1,2656 rad.
2,5 rad = 143o , 23394488 = 143o 14’22”.
0,75 rad = 42o , 97183463 = 42o 58’18”,6.
1 rad = 57o 29577951 = 57o 17’44”,8
60o = 1, 047197551 rad.
De bijzondere hoeken zoals 30o , 45o , 60o enz. worden bij voorkeur in radialen geschreven
als resp. π6 , π4 , π3 , enz. i.p.v. als decimaal getal.
OPGAVEN — 1 Teken op een apart blad de goniometrische cirkel (ijk 7 cm) en duid alle speciale
hoeken aan zowel in graden als in radialen. Voor de hoeken van het derde en vierde kwadrant geef je
zowel een positief en negatief maatgetal.
1.1.4
De n verschillende n-de delen van een georiënteerde hoek
STELLING 1.2 Elke georiënteerde hoek heeft n verschillende n-de delen, die op de goniometrische cirkel een regelmatige veelhoek n-hoek vormen als n > 2. De twee verschillende helften van een georiënteerde hoek (n = 2) zijn antisupplementair (diametraal
tegenovergesteld).
Bewijs: We beschouwen een georiënteerde hoek α, met zijn maatgetallen uitgedrukt in
zestigdelige graden:
α = (x + k.360)o .
1.1. HERHALING
7
We delen α door n:
x + k.360
n
o
=
x o
n
+k
360
n
o
.
Het maatgetal nx correspondeert met een bepaald punt van de goniometrische cirkel, di.
dan één n-de deel van α. De andere n-de delen van α bekomen we door bij de boog van
x
een geheel veelvoud van het n-de deel van een volledige cirkelomtrek op te tellen. We
n
verkrijgen alle n-de delen van α door aan k de opeenvolgende waarden tussen 0 en n − 1
te geven.
k = 0
=⇒
( nx )o ;
k = 1
=⇒
( nx +
360 o
);
n
k = 2
..
.
=⇒
..
.
)o ;
( nx + 2 360
n
..
.
k = n − 1 =⇒ ( nx + (n − 1) 360
)o .
n
Voor k = n verkrijgen we weer een maatgetal van het eerste n-de deel, voor k = n + 1
een maatgetal van het tweede n-de deel enz... We verkrijgen dus n n-de delen.
Voorbeelden:
• Bepaal de twee helften van 30o .
De twee helften van 30o zijn 15o en 15o + 180o = 195o ;
• Bepaal de drie derde delen van 75o .
De drie derde delen van 75o zijn 25o , 25o + 120o = 145o , 25o + 240o = 265o .
• Bepaal de vijf vijfde delen van de nulhoek 0o . De vijf vijfde delen van 0o zijn 0o ,
72o , 144o , 216o , 288o .
Voorstelling van de n-hoek
Met de computer kunnen we gemakkelijk eender welke regelmatige veelhoek tekenen.
Voorbeeld: Stel de 7 7-de delen van de georiënteerde hoek 7π
(in radialen) voor op de
5
goniometrische cirkel.
oplossing: We voeren de volgende vector in:
Vector([cos(
π 2kπ
π 2kπ
+
), sin( +
)], k, 0, 7)
5
7
5
7
In het grafisch venster stellen we de optie ’connect’ in bij ’points’. De computer plot de
gesymplifiëerde uitdrukking als een regelmatige 7-hoek.
8
1.2
1.2.1
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
De goniometrische getallen
De cosinus
De cosinus is gedefiniëerd als scalair product van twee eenheidsvectoren, gerepresenteerd
vanuit eenzelfde punt.
cos α = e~0 .e~α
waarbij α de hoek is ingesloten door de eenheidsvectoren. Dit scalair product is gelijk
aan de absis van de projectie van de tweede eenheidsvector op de drager van de eerste
eenheidsvector. We representeren deze eenheidsvectoren vanuit de oorsprong en leggen e~0
langs de x-as. De eenheidsvector e~α bepaalt de hoek α op de goniometrische cirkel.
Figuur 1.3: de cosinus
cos A =
b
c
⇐⇒ b = c. cos A
De cosinus van de hoek α is de absis (1ste coördinaatgetal) van de vector e~α . De cosinus
wordt dus afgelezen op de x-as.
De cosinus is positief in het eerste en vierde kwadrant (scherpe hoeken in I en IV) en
negatief in het tweede en derde kwadrant (stompe hoeken in II en III).
We kunnen al eenvoudige goniometrische vergelijkingen oplossen:
cos(x rad ) = 0 ⇐⇒ x =
π
+ kπ met k ∈ Z
2
cos(x rad ) = 1 ⇐⇒ x = 2kπ met k ∈ Z
1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN
9
cos(x rad ) = −1 ⇐⇒ x = π + 2kπ met k ∈ Z
cos(x rad ) =
1
π
⇐⇒ x = ± + 2kπ met k ∈ Z
2
3
In een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde steeds de loodrechte projectie van de
schuine zijde.
De lengte van de rechthoekszijde is gelijk aan het product van de lengte van de schuine
zijde met de cosinus van de hoek ingesloten door deze rechthoekszijde en de schuine zijde.
(zie tekening)
1.2.2
De sinus
De sinus van de hoek α is de ordinaat (2de coördinaatgetal) van de vector e~α . De sinus
wordt dus afgelezen op de y-as.
Figuur 1.4: de sinus
sin A =
a
c
⇐⇒ a = c. sin A
De sinus is positief in I en II en negatief in III en IV.
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen zijn:
sin(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z
sin(x rad ) = 1 ⇐⇒ x =
π
+ 2kπ met k ∈ Z
2
10
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
sin(x rad ) = −1 ⇐⇒ x = −
√
sin(x rad ) = −
1.2.3
π
+ 2kπ met k ∈ Z
2
3
π
2π
⇐⇒ x = − + 2kπ ∨ x = −
+ 2kπ met k ∈ Z
2
3
3
De tangens
De tangens van de hoek α is de richtingscoëfficiënt van de vectorrechte met richtingsvector
e~α . Beschouwen we de raaklijn aan de eenheidscirkel met vergelijking x = 1 dan lezen we
de tangens af als ordinaat (2de coördinaatgetal) van het snijpunt van de vectorrechte met
de raaklijn.
Figuur 1.5: de tangens
tan A =
a
b
⇐⇒ a = b. tan A
De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:
tan(x rad ) = 0 ⇐⇒ x = kπ met k ∈ Z
tan(x rad ) = 1 ⇐⇒ x =
π
+ kπ met k ∈ Z
4
Er geldt:
tan α =
sin α
cos α
1.2. DE GONIOMETRISCHE GETALLEN
1.2.4
11
De cotangens
De cotangens van de hoek α is het omgekeerde van de tangens. Beschouwen we de raaklijn
aan de eenheidscirkel met vergelijking y = 1 dan lezen we de cotangens af als absis van
het snijpunt van de vectorrechte met die raaklijn.
Figuur 1.6: de cotangens
cot A =
b
a
⇐⇒ b = a. cot A
De tangens is positief in I en III en negatief in II en IV.
Eenvoudige goniometrische vergelijkingen:
cot(x rad ) = 0 ⇐⇒ x =
π
+ kπ met k ∈ Z
2
√
5π
+ kπ met k ∈ Z
cot(x rad ) = − 3 ⇐⇒ x =
6
Er geldt:
cot α =
1.2.5
cos α
1
=
sin α
tan α
De secans en de cosecans
1
cos α
1
csc α =
sin α
sec α =
12
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
Figuur 1.7: de secans
de cosecans
De secans van een hoek α is het maatgetal van het punt P op de georiënteerde rechte,
bepaald door de hoek α, waarbij P het snijpunt is van die rechte met de tangensas.
De cosecans van een hoek α is het maatgetal van het punt Q op de georiënteerde rechte,
bepaald door de hoek α, waarbij Q het snijpunt is van die rechte met de cotangensas.
We herhalen nog eens de grondformules van de goniometrie.
sin2 α + cos2 α = 1
1 + tan2 α =
1
= sec2 α
cos2 α
1 + cot2 α =
1
= csc2 α
sin2 α
OPGAVEN — 2 Bewijs deze gondformules op de figuur 1.7.
1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES
1.3
1.3.1
13
De som- en verschilformules
De verschilformules voor sinus en cosinus
We beschouwen op de goniometrische cirkel de punten A(cos θ1 , sin θ1 ) en B(cos θ2 , sin θ2 ).
~ en OB
~ (zie figuur 1.8).
De hoek θ1 − θ2 is de hoek ingesloten door de vectoren OA
Figuur 1.8: |AB| op 2 verschillende manieren
We kunnen de afstand |AB| op twee verschillende manieren berekenen
1. met de cosinusregel in de driehoek OAB:
|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 − 2|OA| · |OB| cos(θ1 − θ2 )
|OA|=|OB|=1
m
|AB|2 = 1 + 1 − 2 cos(θ1 − θ2 ) = 2 − 2 cos(θ1 − θ2 )
(1.1)
2. met de stelling van Pythagoras in de driehoek ABC met (de afstandsformule):
|AB|2 = (cos θ1 − cos θ2 )2 + (sin θ1 − sin θ2 )2
= cos2 θ1 − 2 cos θ1 cos θ2 + cos2 θ2 + sin2 θ1 − 2 sin θ1 sin θ2 + sin2 θ2
|AB|2 = 2 − 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 )
(1.2)
Uit 1.1 en 1.2 volgt:
2 − 2 cos(θ1 − θ2 ) = 2 − 2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 )
m
cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
(1.3)
14
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
De verschilformule voor de sinus leiden we af uit de verschilformule voor de cosinus 1.3.
sin(θ1 − θ2 ) = cos(90o − (θ1 − θ2 )) = cos((90o − θ1 ) − (−θ2 ))
= cos(90o − θ1 ) cos(−θ2 ) + sin(90o − θ1 ) sin(−θ2 )
= sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2 .
De verschilformules voor cosinus en sinus zijn:
cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
sin(θ1 − θ2 ) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1
1.3.2
(1.4)
De verschilformule voor de tangens
Uit de formules 1.4 volgt de verschilformule voor de tangens. Als θ1 − θ2 6= 90o + k180o
kunnen we beide vergelijkingen lid aan lid door elkaar delen.
sin(θ1 − θ2 )
cos(θ1 − θ2 )
sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1
=
cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
tan(θ1 − θ2 ) =
Zijn θ1 6= 90o + k180o en θ2 6= 90o + k180o dan kunnen we teller en noemer delen door
cos θ1 . cos θ2 .
tan(θ1 − θ2 ) = =
=
=
=
sin θ1 cos θ2 −sin θ2 cos θ1
cos θ1 cos θ2
cos θ1 cos θ2 +sin θ1 sin θ2
cos θ1 cos θ2
sin θ2 cos θ1
sin θ1 cos θ2
− cos
cos θ1 cos θ2
θ1 cos θ2
cos θ1 cos θ2
sin θ1 sin θ2
+
cos θ1 cos θ2
cos θ1 cos θ2
sin θ1
sin θ2
− cos θ2
cos θ1
sin θ1 sin θ2
1 + cos
θ1 cos θ2
tan θ1 − tan θ2
1 + tan θ1 tan θ2
De verschilformule voor de tangens is
tan(θ1 − θ2 ) =
tan θ1 −tan θ2
1+tan θ1 . tan θ2
(1.5)
1.3. DE SOM- EN VERSCHILFORMULES
1.3.3
15
De somformules
De somformules voor sinus, cosinus en tangens bekomen we door in de verschilformules
−θ2 te vervangen door θ2 en rekening te houden met het feit dat de cosinussen van
tegengestelde hoeken gelijk zijn en de sinussen en tangensen van tegengestelde hoeken,
tegengesteld zijn. De somformules zijn:
cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
sin(θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1
tan θ1 + tan θ2
tan(θ1 + θ2 ) =
1 − tan θ1 . tan θ2
(1.6)
Toepassing:
kπ ∧ θ 6= π2 + kπ :
1 + tan α
tan(45 + α) =
1 − tan α
∀θ 6=
π
+
4
o
(1.7)
OPGAVEN — 3 Bereken de sinus en de cosinus van 75o en 15o .
4 Bereken de hoek tussen de rechten 3x − y = 5 en x + 2y − 1 = 0.
5 Bereken
a. cos(45o + α);
b. sin(60o − α);
c. cot(α − 330o );
6 Bereken zonder rekentoestel sin(α + β) en tan(α + β) als sin α =
tot het eerste kwadrant behoren.
√
7 Bereken zonder rekentoestel cos(α − β) als sin α =
kwadrant en β tot het vierde kwadrant behoort.
3
2 ,
cos β =
d. sin(285o + α);
√1 ,
5
√1
2
cot β = 3 en als α en β allebei
en als α behoort tot het tweede
8 Bewijs dat
(i) sin(α + β + γ) = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ;
(iii) cot(θ1 + θ2 ) =
cot θ1 . cot θ2 −1
cot θ1 +cot θ2
(iv) sin A. sin(B − C) + sin B. sin(C − A) + sin C. sin(A − B) = 0.
9 Bereken zonder rekentoestel α + β als tan α = 3 en tan β = 13 .
10 Bereken cos(α − β) als sin α + sin β = a en cos α + cos β = b.
16
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
11 Bewijs dat cos2 α − 2 sin β cos α sin(α + β) + sin2 (α + β) = cos2 β.
12 * Bereken sin2 (α + β) + p. sin(α + β). cos(α + β) + q. cos2 (α + β) als tan α en tan β oplossingen zijn
van de vierkantsvergelijking x2 + px + q = 0.
13 * Bewijs dat in een rechthoekige driehoek ABC, met a, b en c de overstaande zijden van resp. de
2
2
hoeken A, B en C, geldt: als a = 90o dan sin(B − C) = b a−c
en cos(B − C) = 2b.c
2
a2 ;
14 * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en
C. Bewijs:
(i) a(cos B. cos C + cos A) = b(cos C. cos A + cos B) = c(cos A. cos B + cos C);
(ii) sin2 A + sin2 B = sin2 C + 2 sin A. sin B. cos C;
(iii) sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cos A. cos B. cos C;
(iv) cot A2 + cot B2 + cot C2 = cot A2 . cot B2 . cot C2 ;
(v) sin2
(vi)
A
2
a2 −b2
c2
+ sin2
=
B
2
+ sin2
C
2
= 1 − 2 sin A2 . sin B2 . sin C2 ;
sin(A−B)
sin(A+B) ;
(vii) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
GON-CO HUISTAAK 1
1. Bereken zonder rekentoestel de tangens en de cotangens van 105o en
o
165 . Is er een verband tussen de 4 resultaten onderling. Duid het waarom van dit verband aan.
2. Bereken
a. tan(210o − α)
b. cos(195o − α)
12
3. Gegeven 0o < α < 90o en 90o < β < 180o ; sin α = 0, 8 en sin β = 13
.
Bereken zonder rekentoestel: cos(α + β), csc(α − β) en cot(α + β).
In welk kwadrant ligt (α + β) en waarom? (zonder rekentoestel)
4. Bewijs dat cos2 α + cos2 β + cos2 (α + β) = 1 + 2 cos α. cos β. cos(α + β). Schrijf deze identiteit op
een andere manier als α en β hoeken zijn van een driehoek.
5. Bewijs dat
tan α−tan β
tan α+tan β
=
sin(α−β)
sin(α+β) .
6. * Gegeven is een driehoek ABC, a, b en c zijn de overstaande zijden van resp. de hoeken A, B en
C. Tip: vervang C2 door een uitdrukking met A en B.
Bewijs: tan A2 · tan B2 + tan B2 · tan C2 + tan C2 · tan A2 = 1;
Oplossingen:
√
√ √
√
3) sin √
75o = cos 15o = 42 (1 + 3), cos 75o = sin 15o√= 42 ( 3 − 1);
4) θ = 81, 87o ;
√
√
√
√
3−tan
α
2
2
1
5) a. 2 (cos α − sin α), b. 2 ( 3 cos α − sin α), c. √3 tan α+1 , d. 4 (( 3 − 1) sin α − ( 3 + 1) cos α).
√
√
6) sin(α + β) = √12 ⇒ α + β = 45o , tan α = 1; 7) − 42 (( 3 + 1) = cos 165o ⇒ α − β = 165o ;
9) 90o of −90o ; 10)
a2 +b2
2
− 1; 12) Tip: werk met S en P van de wortels van x2 + px + q, res.=q;
1.4. DE EERSTE FORMULES VAN SIMPSON (1710-1761)
1.4
17
De eerste formules van Simpson (1710-1761)
We bekomen de formules van Simpson door in elk van de volgende stelsels de twee formules
opeenvolgend eens lid aan lid op te tellen en eens lid aan lid van elkaar af te trekken.
sin(θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1
sin(θ1 − θ2 ) = sin θ1 cos θ2 − sin θ2 cos θ1
en
cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
De eerste formules van Simpson zijn
sin θ1 . cos θ2 = 12 (sin(θ1 + θ2 ) + sin(θ1 − θ2 ));
sin θ2 . cos θ1 = 12 (sin(θ1 + θ2 ) − sin(θ1 − θ2 ));
cos θ1 . cos θ2 = 12 (cos(θ1 + θ2 ) + cos(θ1 − θ2 ));
(1.8)
sin θ1 . sin θ2 = − 12 (cos(θ1 + θ2 ) − cos(θ1 − θ2 )).
De eerste formules van Simpson zetten het product van een sinus en een cosinus om in de
som van twee sinussen, het product van twee cosinussen om in de som van twee cosinussen
en tenslotte het product van twee sinussen om in het verschil van twee cosinussen.
OPGAVEN — 15 Bewijs dat:
(i) sin(30o + x) + sin(30o − x) = cos x;
(ii) cos x + cos(120o + x) + cos(120o − x) = 0;
(iii) sin(x + y). cos y − sin(x + z). cos z = sin(y − z). cos(x + y + z);
(iv) sin x. sin y + sin z. sin(x + y + z) = sin(x + z). sin(y + z).
(v) sin(α + β). sin(α − β) = sin2 α − sin2 β;
(vi) cos(α + β) sin(α − β) = sin α. cos α − sin β. cos β.
18
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
1.5
De tweede formules van Simpson
We verkrijgen de tweede formules van Simpson door in de eerste formules van Simpson
de volgende substitutie door te voeren:
θ1 + θ2 = α
θ1 − θ2 = β
m
θ1 =
θ2 =
α+β
2
α−β
2
De tweede formules van Simpson zijn:
sin α + sin β = 2 sin α+β
. cos α−β
;
2
2
sin α − sin β = 2 sin α−β
. cos α+β
;
2
2
cos α + cos β = 2 cos α+β
. cos α−β
.
2
2
(1.9)
. sin α−β
cos α − cos β = −2 sin α+β
2
2
De tweede formules van Simpson zetten een som of een verschil van twee sinussen om in
het product van een sinus en een cosinus, een som van twee cosinussen in het product van
twee cosinussen en een verschil van twee cosinussen in het product van twee sinussen.
Opmerking: De eerste en tweede formules zijn nuttig om bvb. vergelijkingen op te lossen
(ontbinden in factoren) en om integralen te berekenen (product schrijven als een som –
zie later).
OPGAVEN — 16 Bewijs dat:
(i) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o =
tan
tan
p+q
2
p−q
2
(ii)
sin p+sin q
sin p−sin q
=
(iii)
sin p±sin q
cos p+cos q
= tan p±q
2 ;
(iv) tan α + tan β =
3
16
;
2 sin(α+β)
cos(α+β)+cos(α−β) ;
(v) (sin x − sin y)2 + (cos x − cos y)2 = 4 sin2
x−y
2 ;
(vii) sin(x + y) = cos(x − y) − (cos x − sin x)(cos y − sin y).
1.5. DE TWEEDE FORMULES VAN SIMPSON
19
17 Herleid tot een product:
(i) sin 78o + sin 42o ;
(ii) sin x + sin 2x + sin 3x;
(iii) sin x + cos x;
GON-CO HUISTAAK 2
1. Bewijs dat sin 7π
sin 7π
sin 5π
=
12
24
24
√
2+ 3
.
8
2. Bewijs dat cos(x + 4y). sin 2y + cos(x + y). sin y = cos(x + 3y). sin 3y.
3. Bewijs dat tan α ± tan β =
4.
sin(α+β)+sin(α−β)
sin(α+β)−sin(α−β)
=
sin(α±β)
.
cos α. cos β
tan α
.
tan β
5. Herleid tot een product: cos 70o + cos 470o
20
1.6
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
De verdubbelingsformules
Stellen we in de somformules 1.6 op pagina 15 θ1 = θ2 dan verkrijgen we de verdubbelingsformules:
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
(1.10)
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
∀θ 6=
π
2 tan θ
+ kπ : tan 2θ =
2
1 − tan2 θ
(1.11)
In de tweede formule van 1.10 kunnen we de cosinus ook uitdrukken in alleen een sinus of
alleen een cosinus. We gebruiken daarvoor de grondformule sin2 θ + cos2 θ.
cos 2θ = 2 cos2 θ − 1
cos 2θ = 1 − 2 sin2 θ
(1.12)
We kunnen de formules 1.10 omvormen door in de tweede leden te delen door
sin2 θ + cos2 θ = 1:
2 θ−sin2 θ
cos 2θ = cos
cos2 θ+sin2 θ
sin 2θ =
2 sin θ cos θ
cos2 θ+sin2 θ
We delen in de tweede leden van beide identiteiten teller en noemer door cos2 θ.
1 − tan2 θ
π
1 + tan2 θ
+ kπ :
∀θ =
6
2 tan θ
2
sin 2θ =
1 + tan2 θ
cos 2θ =
(1.13)
Al deze formules kunnen we gebruiken als we willen overgaan van een hoek naar de halve
hoek. Merk op dat we hierbij overgaan van een eerste graad naar een tweede graad.
Dus overgaan naar een halve hoek betekent de graad verhogen.
Het is ook nuttig deze formules zo om te vormen zodat we gemakkelijk kunnen overgaan
van de hoek naar de dubbele hoek en zodoende de graad te verlagen.
In de formules 1.12 lossen we de identiteiten op naar resp. cos2 θ en sin2 θ.
cos 2θ + 1
2
1 − cos 2θ
2
sin θ =
2
cos2 θ =
(1.14)
Delen we de twee identiteiten lid aan lid door elkaar dan krijgen we:
∀θ 6=
π
1 − cos 2θ
+ kπ : tan2 θ =
2
1 + cos 2θ
(1.15)
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES
21
We kunnen de formules 1.13 ook nog als volgt schrijven:
1 − tan2 2θ
1 + tan2 2θ
∀θ =
6 π + 2kπ :
2 tan 2θ
sin θ =
1 + tan2 2θ
cos θ =
(1.16)
Stellen we tan 2θ = t dan verkrijgen we de zogenaamde t-formules:
1 − t2
1 + t2
2t
sin θ =
1 + t2
cos θ =
(1.17)
OPGAVEN — 18 Bereken zonder rekentoestel sin 2α, cos 2α en tan 2α in elk van de volgende gevallen:
a. sin α =
4
5
en α ligt in het eerste kwadrant;
5
b. cos α = − 13
en α ligt in het tweede kwadrant;
√
c. tan α = 2 − 3 en α ligt in het derde kwadrant;
19 Herleid tot een product: a) sin 12o + sin 48o + sin 81o − sin 9o
b) 2 +
√
3 sin α + cos α..
20 Op een voetstuk van 2m hoog staat een beeld van 3m hoog. Op welke afstand moet men gaan staan
om het voetstuk en het beeld onder eenzelfde hoek te zien.
21 Bewijs de volgende identiteiten:
a. cos α + 2 cos 2α + cos 3α = 4 cos 2α cos2
x−y
b. tan x+y
2 + tan 2 =
c. tan α2 =
d.
1−tan2 α
cos 2α
α
2
2 sin x
cos x+cos y ;
sin 2α
cos α
1+cos 2α . 1+cos α ;
= sec2 α;
e. cos3 α + sin3 α = (cos α + sin α)(1 −
1
2
sin 2α);
f. cos2 (α + β) + cos2 (α − β) − cos 2α. cos 2β = 1;
g.
sin α+cos α
sin α−cos α
=
cos 2α
sin 2α−1 ;
h. cos4 α − sin4 α = cos 2α;
i. 4(cos6 α + sin6 α) = 1 + 3 cos2 2α;
22
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
22 Bewijs de volgende identiteiten:
a. sin2 2α − sin2 α = sin 3α. sin α;
b. tan α − cot α = −2 cot 2α;
c. cos 2α =
cot2 α−1
cot2 α+1
d. sin 2α =
tan 2α. tan α
tan 2α−tan α
=
1
1+tan α. tan 2α ;
= cos2 (45o − α) − sin2 (45o − α);
e. tan(45o + α) − cot(45o + α) = 2 tan 2α;
f. cos 4α + 4 cos 2α + 3 = 8 cos4 α;
g.
1+sin 2α
cos 2α
= tan(45o + α);
β+γ
γ+α
h . sin α + sin β + sin γ − sin(α + β + γ) = 4 sin α+β
2 . sin 2 . sin 2 ;
23 Bereken zonder rekentoestel sin 2(α + β) als α en β in het eerste kwadrant liggen en als sin α =
en sin β = 31 .
24 Bereken zonder rekenmachine de goniometrische getallen van 22o 300 en 7o 300 .
25 Bereken zonder rekentoestel tan α2 als tan α = 2 −
√
3.
26 Bereken zonder rekentoestel sin α2 , cos α2 en tan α2 als
7
25 ;
sin α = − 13 ;
√
cos α = 5−1
4 .
a. cos α =
b.
c.
27 Als α + β + γ =
π
2,
bewijs dan dat:
tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1.
28 Als α + β + γ = 0, bewijs dan dat:
tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ.
29 Bereken tan α in functie van tan β als
cos 2α =
cos 2β − r
.
1 − r cos 2β
30 Bewijs dat
cos 13α. cos α
1
=−
cos 3α + cos 5α
2
als α =
π
17 .
1
2
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES
23
31 Als in een driehoek ABC geldt dat sin A + sin B = 2 sin C, dan is tan A. tan B = 31 .
32 * Zijn A, B en C de hoeken van een driehoek, en a, b en c de resp. de overstaande zijden bewijs dan
de volgende identiteiten:
(i) sin A + sin B + sin C = 4 cos A2 . cos B2 . cos C2 ;
(ii)
a
b+c
=
sin A
2
cos B−C
2
(iii)
cos A
sin B. sin C
(iv)
tan A+tan B
sin 2C
+
;
cos B
sin C. sin A
=
+
tan B+tan C
sin 2A
cos C
sin A. sin B
=
= 2;
tan C+tan A
;
sin 2B
33 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan
1 + cos 6A + cos 6B + cos 6C = 0.
Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Indien een driehoek gelijkbenig is met tophoek A, en indien de
hoeken van de driehoek voldoen aan de bovenstaande betrekking, wat weet je dan over de hoeken van de
driehoek.
34 * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B en C van de hoeken aan
sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2.
Wat is er bijzonder aan deze driehoek? Als bovendien de hoeken een rekenkundige rij vormen (met
A < B < C) wordt gevraagd hoe de zijden zich verhouden.
35 * De maatgetallen van de zijden a, b en c van een driehoek zijn drie opeenvolgende termen van een
rekenkundige rij. De grootste hoek en de kleinste hoek zijn resp. A en C.
Bewijs dat :
4(1 − cos A).(1 − cos C) = cos A + cos C.
36 * Bewijs: 16 cos2 θ. sin3 θ = 2 sin θ + sin 3θ − sin 5θ;
37 * Indien A, B en C de hoeken voorstellen van een driehoek ABC dan geldt: 2 sin2 A + 2 sin2 B −
2 sin2 C = 4 sin2 A. sin2 B − sin 2A. sin 2B;
38 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
a. Toon aan dat uit
tan C =
sin 2A − sin 2B
cos 2A + cos 2B
volgt dat de driehoek rechthoekig is;
b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.
39 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
24
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
a. Toon aan dat uit
tan 2A =
sin(B − C) − sin(B + C)
cos(B − C) + cos(B + C)
volgt dat de driehoek gelijkbenig is;
b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.
40 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
a. Toon aan dat uit
(cos
A−C
B
B
C
B
B
A−C
+ sin ).(cos − tan . sin ) = cos + sin
2
2
2
2
2
2
2
volgt dat de driehoek gelijkbenig is;
b. Als de driehoek gelijkbenig is, is de betrekking uit (a) dan geldig.
41 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
a. Toon aan dat uit
sin(2B − 4A) − sin 6B + sin(2B − 4C) − sin 2B = 0
volgt dat de driehoek rechthoekig is;
b. Als de driehoek rechthoekig is, is de betrekking uit (a) dan geldig;
c. Omschrijf zo eenvoudig mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor (a) geldt.
42 * In een driehoek ABC zijn A, B en C de hoeken.
a. Toon aan dat
4 − cos 2(B − C) + 2 cos 4A + 4 cos 2A = 0
geldt in elke gelijkzijdige driehoek;
b. Als de betrekking geldt volgt daar dan uit dat de driehoek gelijkzijdig is?
c. Beschrijf zo eenvoudig en concreet mogelijk de verzameling driehoeken waarvoor de betrekking
geldt.
43 * Geef een ontbinding in
a. factoren van de volgende determinanten
cos 2A cos A
1 sin A sin2 A 2
1 sin B sin B b. cos 2B cos B
cos 2C cos C
1 sin C sin2 C sin2 A2
sin2 B2
sin2 C2
1.6. DE VERDUBBELINGSFORMULES
25
Oplossingen:
7
120
119
120
= − 25
, tan(2α)√= − 24
18) a. sin(2α) = 24
25 , cos(2α) √
7 , b. sin(2α) =√− 169 , cos(2α) =√− 169 , tan(2α) = 119 ,
3
3
1
o
o
c. sin(2α) = 2 , cos(2α) = − 2 , tan(2α) = 3 ; 19) cos 18 (1 + 2 2 sin 18 ); 20) 20 = 4, 47;
√
√
1
23) 18
(7 3 + 4 p
2) = 0, 99;
p
√
√
√
1
o
24) sin 22, 5 = 2 2 − 2 = 0, 38, cos 22, 5o = 12 2 + 2 = 0, 92, tan 22, 5o = 2 − 1 = 0, 41.
q √
q
q
√
p
p
√
√
2− 2+ 3
1
1
o
o
sin 7, 5 = 2 2 − 2 + 3 = 0, 131, cos 7, 5 = 2 2 + 2 + 3 = 0, 99, tan 7, 5 = q √ √ =
2+ 2+ 3
p
√
√
+
3)
=
0,
132.
(2 2 − 3 − 1)(2
p
√
√
25) tan α2 = (±2 2 − 3 − 1)(2 + 3);
α
26) sin α2 = ± 35 , cos
= ± 45 , tan α2 √
= ± 34 ,
√ 2
√
2±1
2+1
α
α
α
= −0, 172 of tan α2 = − √2−1
= −5, 83,
sin 2 = cos 2 = ± √6 , tan 2 = − √2−1
2+1
p
√
√
√
10−2
5
1+
5
sin α2 = ± 4
= 0, 588, cos α2 = ± 4 = 0, 809, tan α2 = ± 5 − 2 5 = ±0, 727
1+r
2
29) tan α = 1−r tan2 β
GON-CO HUISTAAK 3
1. Bewijs dat (2 sin α + sin 2α). tan α2 = 2 sin2 α.
2. Bewijs dat sin2 ( π8 + α2 ) − sin2 ( π8 − α2 ) =
3. Bewijs dat
sin2 2α+4 sin2 α−4
sin2 2α−4 sin2 α
sin
√ α.
2
= cot4 α;
4. Bewijs dat 1 + cos α + cos 2α = cos α.(2 cos α + 1).
5. Bewijs dat sin 3α. sin α = sin2 2α − sin2 α
6. Bereken sin α2 , cos α2 en tan α2 als tan α = − 12
en α behoort tot het tweede kwadrant
5
α
II. Stel α, 2 , en de goniometrische getallen daarvan voor op de goniometrische cirkel.
GON-CO HUISTAAK 4
1. * In een driehoek ABC voldoen de maatgetallen A, B
en C van de hoeken aan
sin B + sin C
.
sin A =
cos B + cos C
Wat is er bijzonder aan deze driehoek?
2. * Bereken tan(α + β) als gegeven is dat sin α + sin β = m en cos α + cos β = n.
3. * Van de maatgetallen A, B en C van de hoeken in een driehoek weet men dat tan A2 ,
tan B2 en tan C2 drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Toon aan
dat dit dan ook het geval is voor cos A, cos B en cos C.
26
HOOFDSTUK 1. GONIOMETRIE
1.7
De formules voor 3θ
GON-CG I groepswerk 1 Bewijs de volgende formules
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ
tan 3θ =
3 tan θ−tan3 θ
1−3 tan2 θ
(1.18)
(1.19)
OPGAVEN — 44 Bewijs de volgende identiteiten
(i) 3 sin α − sin 3α = 2 sin α.(1 − cos 2α);
(ii)
sin 3α
sin α
−
cos 3α
cos α
= 2;
(iii) cos 3α = 4 cos α. cos(60o + α). cos(60o − α);
(iv) 3 sin 2α −
4 sin 2α
1+cot2 2α
= sin 6α.
45 Herleid tot een product:
a. cos α + 2 cos 2α + cos 3α;
b. 4 sin2 α. cos 3α + 4 cos2 α. sin 3α.
46 * Als in een driehoek ABC de hoek A het dubbele is van de hoek B, dan is a2 = b.(b + c). Bewijs
dat.
47 * Als A, B en C de hoeken zijn van een driehoek en als geldt dat
sin(A +
toon dan aan dat
tan
1.8
B
B
) = n sin
2
2
A
C
n−1
tan =
.
2
2
n+1
Wiskunde-Cultuur
SIMPSON Thomas was een Engels wiskundige van 1710 tot 1761. Hij leefde als wever in behoeftige omstandigheden, studeerde autodidactisch wiskunde en publiceerde in
1737 “A new treatise of fluxions”. In 1743 verkreeg hij erkenning door zijn benoeming
tot hoogleraar aan de militaire academie te Woolwich. Hij schreef over kansrekening,
levensverzekering, algebra, meetkunde en trigonometrie.
Hoofdstuk 2
Complexe getallen
2.1
Het veld van de reële getallen
In de verzameling van de reële getallen hebben we twee bewerkingen gedefinieerd, nl.
de optelling en de vermenigvuldiging. Voor deze bewerkingen voldoet de verzameling
van de reële getallen aan een reeks eigenschappen. De eigenschappen vatten we samen
door te zeggen dat de structuren R, + en R, . commutatieve groepen zijn. Voor de twee
bewerkingen samen geldt de distributieve eigenschap. Dit alles wordt nog eens korter
geformuleerd door te zeggen dat R0 , +, . een veld is.

R, + is een commutatieve groep

R0 , . is een commutatieve groep
⇐⇒ R, +, . is een veld

De optelling is distributief t.o.v. het product
Deze eigenschappen maken het mogelijk om vlot te rekenen, eerstegraadsvergelijkingen
op te lossen, enz.. Dit rekenen komt voort uit werkelijke problemen, doch R is slechts
een HULPMIDDEL bestaande uit denkbeeldige getallen. Bijvoorbeeld het getal π kan
niemand ooit exact voorstellen. Het is ook niet nodig. Als een ingenieur met π werkt, dan
is het zelfs belachelijk met meer dan twee cijfers na de komma te werken. Want op het
eind wordt alles nog eens met een veiligheidsfactor 2 of 3 vermenigvuldigd en dan doet een
cijfertje op de derde rang na de komma er niet toe. Dus zou je zeggen, we hebben genoeg
met de rationale getallen. Ook dit is alleen in ons verbeelding mogelijk. We kunnen ze
immers nooit allemaal opschrijven.
Maar zoals gezegd, het veld van de reële getallen is een handig hulpmiddel om berekeningen uit te voeren. Er bestaan echter problemen die gemakkelijker met andere velden op
27
28
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
te lossen zijn. Bijvoorbeeld het veld {0, 1} met de bewerkingen gedefinieerd als volgt:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0
0.0 = 0
0.1 = 0
1.0 = 0
1.1 = 1
Dit veld wordt veel gebruikt in de informatica en computerwetenschappen of in de logica.
Als 1 staat voor oneven en 0 voor even dan is voldaan aan de bovenstaande rekenregels
voor een veld. Ga dat na.
We kunnen de ”+” ook beschouwen als de exclusieve ”of” en ”.” als ”en”.
Voor andere problemen hebben we nog andere velden nodig, of zou het gemakkelijker zijn
een ander veld te kennen.
Net zoals het voor sommige problemen interessant is om over oneindig doorlopende nietrepeterende decimale vormen te beschikken, is het voor andere problemen handig een
vierkantswortel uit −1 te hebben. Bijvoorbeeld om aan de uitdrukking x2 + 1 = 0 een
zinnige betekenis te geven. Deze uitdrukking is syntactisch goed gevormd in de standaardtaal van de algebra, maar er voldoet klaarblijkelijk geen enkel standaardgetal aan.
Wij hebben dus een ding nodig, dat vermenigvuldigd met zichzelf, −1 oplevert.
We hebben gezien dat we de verzameling van de reële getallen op een georiënteerde rechte
met oorsprong O kunnen afbeelden. Elk reëel getal correspondeert met een vector gerepresenteerd door het puntenkoppel met O als eerste punt en het beeld van het reëel getal
als tweede punt. Vermenigvuldigen met −1 kan nu worden voorgesteld door een rotatie
om O over 180o van het genoemde puntenkoppel. Dit brengt ons op het idee een denkbeeldige eenheid i in te voeren, gedefinieerd door i2 = −1, en vermenigvuldiging met i als
een rotatie over 90o te interpreteren (daar immers ’tweemaal vermenigvuldigen met i‘een
rotatie over 180o moet opleveren). Op die manier komen wij aan een lijn van denkbeeldige
getallen (iy), producten van reële getallen y met i, die door O gaan en loodrecht op de
rechte van de reële getallen staat. Zo kunnen we de punten van een vlak voorstellen door
een denkbeeldige getallen van de vorm x + iy. In dit model kunnen wij ons er gemakkelijk
van overtuigen dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van deze denkbeeldige
getallen, die we complexe getallen zullen noemen, overeenstemt met het uitvoeren van
welbekende operaties met vectoren en met lineaire afbeeldingen (rotaties). In volgende
paragraaf zullen we op zoek gaan naar een goede wiskundige definitie om te komen tot
een veld, dat bovendien het veld van de reële getallen omvat.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
2.2
2.2.1
29
Het veld van de complexe getallen
Homothetie en reëel getal
We hebben gezien dat het vermenigvuldigen van een matrix met een scalaire matrix op
hetzelfde neerkomt als het vermenigvuldigen van die matrix met een scalair.
Beschouwen bvb. het product
r 0
a c e
ra rc re
a c e
·
=
=r·
0 r
b d f
rb rd rf
b d f
In het vlak ΠO kiezen we een orthonormale basis (e~1 , e~2 ) en beschouwen we een plaatsvector van een punt met coördinaat (x, y).
x
We laten de scalaire matrix inwerken op de kolommatrix
waarvan de kolomvector
y
overeenstemt met de plaatsvector (x, y). Daartoe vermenigvuldigen we de kolommatrix
links met de scalaire matrix.
r 0
x
rx
.
=
0 r
y
ry
rx
Met de kolommatrix
stemt de vector (rx, ry) overeen.
ry
De scalaire matrix zet (x, y) om in r(x, y).
Merken we op dat de eerste kolomvector van de scalaire matrix overeenstemt met het
beeld (r, 0) van (1, 0) en de tweede kolomvector met het beeld (0, r) van (0, 1).
r 0
De scalaire matrix
beeldt (1, 0) af op (r, 0). Het koppel (r, 0) gelegen op de x-as
0 r
is de meetkundige voorstelling van het reëel getal r uit de scalaire matrix. Op die manier
laten we de scalaire matrix overeenstemmen met het reëel getal r.
Omgekeerd zal het punt (r, 0) van de x-as het reëel getal r voorstellen dat met een scalaire
matrix overeenkomt. We noemen de x-as de reële getallenas.
We kunnen gemakkelijk aantonen dat de verzameling van de scalaire matrices voor de
optelling en de vermenigvuldiging een veld vormt.
Het veld van de reële getallen kan volledig geı̈dentificeerd worden met het veld van de
scalaire matrices (isomorfe velden: elementen en bewerkingen stemmen overeen).
30
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.2.2
Rotatie over 90o en imaginair getal ı
1. Rotatie
We beschouwen de goniometrische cirkel. Als we de plaatsvector van het punt (1, 0)
resp. de plaatsvector van het punt (0, 1) laten draaien over een hoek θ dan krijgen
we de plaatsvector (cos θ, sin θ) resp. de plaatsvector (− sin θ, cos θ).
We beschouwen de matrix
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
en laten hem inwerken op de kolommatrices
1
0
(2.1)
en
0
1
. Daartoe maken we het
product
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
1 0
cos θ − sin θ
·
=
.
0 1
sin θ cos θ
De matrix 2.1 zet (1, 0) resp. (0, 1) om in (cos θ, sin θ) resp. (− sin θ, cos θ).
De matrix 2.1 stelt een rotatie voor over de hoek θ.
2. Rotatie over 90o en definitie van imaginair getal ı
Als we de plaatsvector van het punt (1, 0) resp. de plaatsvector van het punt (0, 1)
laten draaien over een hoek van 90o dan krijgen we de plaatsvector (0, 1) resp. de
plaatsvector (−1, 0).
De matrix
0 −1
.
1 0
stelt de rotatie over 90o voor en beeldt (1, 0) af op (0, 1). Het koppel (0, 1) is de
meetkundige voorstelling van het zogenaamd imaginair getal ı.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
2.2.3
31
Directe gelijkvormigheid en complex getal
1. Samenstelling van rotatie en homothetie
De samenstelling van een rotatie en een homothetie noemen we een directe gelijkvormigheid. We laten op een plaatsvector (x, y) een rotatie gevolgd door een
homothetie inwerken.
We verkrijgen het product
r 0 cos θ − sin θ x r 0
cos θ − sin θ
x
·
·
. =
·
·
0 r
sin θ cos θ
y
0 r
sin θ cos θ
y
r cos θ −r sin θ
x
=
·
r sin θ r cos θ
y
De matrix
r cos θ −r sin θ
r sin θ r cos θ
=
a −b
b a
(2.2)
stelt de samenstelling voor van een homothetie met centrum O (lineaire homothetie)
en factor r en een rotatie om O (lineaire rotatie) over de hoek θ.
2. Definitie van een complex getal
We kijken met welk punt in het vlak de matrix 2.2 overeenkomt. Daartoe laten we
de matrix inwerken op (1, 0).
a −b
1
a
·
=
b a
0
b
We zien dat de matrix 2.2 (1, 0) omzet in (a, b) = (r cos α, r sin α). De matrix 2.2
stelt het punt (a, b) voor in het vlak. We zouden aan dat punt (a, b) een getal willen
hechten.
We gaan de matrices van de gedaante 2.2 schrijven als de som van twee matrices
(somontbinding) als volgt
a −b
a 0
0 −b
=
+
b a
0 a b 0 a 0
b 0
0 −1
=
+
.
(2.3)
1 0
0 a
0 b
↓
↓
↓
a
b
ı
32
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
We laten de matrix uit 2.3 overeenstemmen met het complex getal
z = a + bi met a, b ∈ R
in gewone schrijfwijze van het complex getal en
z = r cos α + ir sin α = r(cos α + i sin α)
in goniometrische schrijfwijze van het complex getal.
3. Het complex getallenvlak van Gauss
In het vlak wordt een complex getal a + ıb voorgesteld door het koppel (a, b). We
noemen het vlak waar de complexe getallen worden voorgesteld, het complex
getallenvlak van Gauss.
4. Modulus en argument van een complex getal
We noemen r de modulus van het complex getal en θ het argument van het
complex getal, waarbij geldt
r ≥ 0 ∧ 0o ≤ θ < 360o .
Met symbolen :
r = |z|
en
θ = arg(z).
Met DERIVE vinden we modulus en argument met resp. |z| = abs(z) en arg(z) =
phase(z) De verzameling van de complexe getallen stellen we voor door C.
Opmerking: Het argument θ wordt ofwel uitgedrukt in graden ofwel in radialen.
Werken we met de functie y = arctan x dan moeten we de hoeken uitdrukken in
radialen.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
33
5. Reëel gedeelte en imaginair gedeelte van een complex getal
We noemen a het reëel gedeelte van het complex getal z en b het imaginair
gedeelte van het complex getal z.
a = Re(z) en b = Im(z).
(2.4)
De reële en imaginaire gedeelten van een complex getal zijn ook te bepalen met
DERIVE met dezelfde notaties als in 2.4
Bijzondere complexe getallen:
* Is het imaginair gedeelte gelijk aan nul dan is het complex getal een reëel getal.
x + 0i = x ∈ R
De verzameling van de reële getallen is een deelverzameling van de verzameling
van de complexe getallen.
R ⊂ C.
In het complex getallenvlak van Gauss worden de reële getallen voorgesteld op
de x-as.
– De positieve reële getallen hebben als argument 0.
θ=0
is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve halve x-as (zie verder).
– De negatieve reële getallen hebben als argument 180o .
θ = 180o
is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve x-as.
* Is het reëel gedeelte gelijk aan nul dan noemen we het complex getal bi een
zuiver imaginair getal.
In het complex getallenvlak van Gauss worden zuiver imaginaire getallen voorgesteld op de y-as.
De zuiver imaginaire getallen hebben een argument 90o en −90o .
–
θ = 900
is de vergelijking in poolcoördinaten van de positieve y-as.
–
θ = −900
is de vergelijking in poolcoördinaten van de negatieve y-as.
34
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
6. Overgangsformules van goniometrische naar gewone schrijfwijze van een complex getal
a = r cos θ
b = r sin θ
Voorbeelden:
• Is |z| = 2 en arg(z) = 150o dan is het complex getal
√
√
3
1
o
o
z = 2 cos 150 + 2 sin 150 i = 2(−
) + 2( i) = i − 3.
2
2
• Is |z| =
3
4
en arg(z) = 210o dan is het complex getal (Vul zelf in).
z = ···
Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.
• Is |z| =
1
2
en arg(z) = −45o dan is het complex getal (Vul zelf in).
z = ···
Stel het complex getal voor in het complex getallenvlak van Gauss.
(2.5)
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
35
7. Overgangsformules van gewone naar goniometrische schrijfwijze van een complex getal
Uit het stelsel 2.5 kunnen we r berekenen in functie van a en b. Daartoe elimineren
we θ. We kwadrateren in de twee vergelijkingen beide leden en tellen de bekomen
vergelijkingen lid aan lid op.
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = a2 + b2 ⇐⇒ r2 = a2 + b2 .
Uit het stelsel 2.5 kunnen we θ uitdrukken in functie van a en b. Daartoe elimineren
we r. We delen beide vergelijking lid aan lid door elkaar.
b
tan θ = .
a
Uit tan θ = ab volgt θ = θ0 (= arctan ab ) of θ = θ0 + π(= arctan ab + π) al naar gelang
de ligging van het punt (a, b) in het vlak.
(a) θ = θ0 (= arctan ab ) als het punt (a, b) gelegen is in het eerste en vierde kwadrant
van het vlak.
(b) θ = θ0 + π(= arctan ab + π) als het punt (a, b) gelegen is in het tweede en derde
kwadrant van het vlak.
Voorbeelden:
• Voor het √
complex getal 1 + i geldt
|1 + i| = 2 en arg(1 + i) = 45o .
De goniometrische
schrijfwijze is
√
0
1 + i = 2(cos 45 + i sin 45o ).
• Voor het complex
getal −1 + i geldt
√
| − 1 + i| = 2 en arg(−1 + i) = 135o .
De goniometrische
schrijfwijze is
√
−1 + i = 2(cos 1350 + i sin 135o ).
• Voor het complex getal 3 − 4i geldt
|3 − 4i| = · · ·
en arg(3 − 4i) = · · ·
De goniometrische schrijfwijze is
3 − 4i = · · ·
Vul zelf in. Maak een tekening.
• Voor het complex getal −5 − 6i geldt
| − 5 − 6i| = · · ·
en arg(−5 − 6i) = · · ·
De goniometrische schrijfwijze is
−5 − 6i = · · ·
Vul zelf in. Maak een tekening.
36
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
Figuur 2.1: Voorstelling van deze complexe getallen in getallenvlak van Gauss
8. Gelijkheid van twee complexe getallen
Uit de gelijkheid van matrices volgt de volgende stelling:
STELLING 2.1 Twee complexe getallen zijn gelijk aan elkaar als de reële gedeelten
gelijk zijn aan elkaar en de imaginaire gedeelten gelijk zijn aan elkaar.
a + bi = c + di ⇐⇒ a = c ∧ b = d.
Dit volgt uit de gelijkheid van de corresponderende matrices van die complexe getallen.
Opmerking: Dit is zoals de gelijkheid van koppels.
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
2.2.4
Toegevoegd complexe getallen
2.2.4.1
Definitie
37
Een speciale transformatie van matrices is de permutatie die een vierkante matrix afbeeldt
op zijn getransponeerde. We bepalen nu de getransponeerde matrix van de matrix die
het complex getal a + ib bepaalt.
t a −b
a b
=
−→ a − bi
b a
−b a
Een matrix transponeren betekent voor het corresponderend complex getal het imaginair
gedeelte van teken veranderen. De operator “transponeren” bij matrices noemen we bij
de complexe getallen “complex toevoegen”.
Het toegevoegd complex getal van a + ib is het complex getal a − ib.
We noteren
a + bi = a − bi.
2.2.4.2
Eigenschappen
1. Het complex toegevoegde van een reëel getal is dat reëel getal zelf.
Bewijs: Een reëel getal correspondeert met een scalaire matrix, die een symmetrische
matrix is. De getransponeerde van een symmetrische matrix is gelijk aan de matrix
zelf.
z̄ = z ⇐⇒ z ∈ R.
2. Het complex toegevoegde van een zuiver imaginair getal is het tegengesteld complex
getal dat tevens zuiver imaginair is.
3. Toegevoegd complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Toegevoegd complexe getallen bezitten tegengestelde argumenten en hebben dezelfde modulus.
OPGAVEN — 48 Bepaal het complex getal waarvan het argument en de modulus hieronder gegeven
staan. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide voor in het complex getallenvlak van
Gauss.
√
2
b. θ = 11π
c. θ = −2π
a. θ = 3π
4 rad , r =
6 rad , r = −3
3 rad , r = 1
√
√1
d. θ = 7π
3
e. θ = 7π
f. θ = −5π
6 rad , r =
4 rad , r = − 2
3 rad , r = 4
g. θ =
−5π
6
rad , r = − √13
h. θ =
−π
6
rad , r = −2
i. θ =
2π
3
rad , r =
1
2
49 Bepaal de goniometrische schrijfwijze van de volgende complexe getallen. Bepaal tevens het toegevoegd complex getal en stel beide
√ getallen
√ voor in het complex getallenvlak van Gauss.
√
a. 2 + 3i
b.
−
2
−
2i
c. 2i
d. −2 + 2 3i
√
e. 1 + 3i
f. 13 + 5i
g. 4 + 3i
h. −0.8 + 0.6i
38
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
Oplossingen: √
√
49 a. 0, 98rad, 13; b. 5π/4rad, 2; c. π/2rad, 2; d. 2π/3rad, 4; e. π/3rad, 2; f. 0, 367rad, 194; g.
0, 635rad, 5; h. 2, 40rad, 1;
2.2.5
Poolcoördinaat van een punt in het vlak
• Definitie
Beschouwen we de goniometrische schrijfwijze van een complex getal x + iy =
r(cos θ + i sin θ) dan komt met dat complex getal het koppel (r cos θ, r sin θ) overeen.
De ligging van het punt P (x, y) in het complex getallenvlak wordt volledig bepaald
door het argument θ en de modulus r.
~ (x, y) insluit met de positieve x-as (roHet argument θ is de hoek die de vector OP
tatiehoek).
~ (x, y).
De modulus r is de norm (lengte) van de vector OP
We noemen het koppel (θ, r) een poolcoördinaat van het punt (x, y).
Voor θ mogen we elk maatgetal van de georiënteerde hoek geven.
Is een punt gegeven door middel van zijn poolcoördinaat dan kunnen we het punt
voorstellen in het vlak als we beschikken over de oorsprong O, die we de pool noemen, en de positieve halve x-as, die we de poolas noemen. De y-as hoeft niet getekend te worden tenzij we een verband willen leggen met de cartesische coördinaat.
Opmerking:
– Een punt heeft oneindig veel poolcoördinaten.
Bij de goniometrische schrijfwijze van een complex getal hebben we voor r de
beperking gemaakt dat r ≥ 0. Voor de poolcoördinaat van een punt laten
we ook negatieve waarden van r toe, maar dan moeten we de hoek θ daaraan
aanpassen om hetzelfde punt te behouden.
Voorbeeld: De koppels
π
( , 2)
3
(
4π
, −2)
3
(
7π
, 2)
3
(
−5π
, 2)
3
(
−2π
, −2)
3
zijn verschillende poolcoördinaten van hetzelfde punt.
– Voor beschrijving van krommen in poolcoördinaten is het nodig dat we voor θ
alle maatgetallen kunnen beschouwen uitgedrukt in radialen omdat ze aanleiding geven tot oneindig veel verschillende punten in het vlak bv. bij de vergelijking van een spiraal (zie later).
• Enkele eenvoudige vergelijkingen in poolcoördinaten
In poolcoördinaten kunnen we de volgende krommen eenvoudig schetsen:
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
Figuur 2.2: r = θ, r =
2π
θ
en r =
39
10
θ
* De cirkel met middelpunt in de pool en straal R: r = R;
* Een vectorrechte: θ = θ1 (als we ook negatieve modulussen toelaten);
* Een spiraal van Archimedes: r = aθ met a ∈ R0 ;
* Een hyperbolische spiraal: r =
a
θ
met a ∈ R0 .
40
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.2.6
De som van complexe getallen
2.2.6.1
Definitie
STELLING 2.2 De som van twee matrices, die elk corresponderen met een complex
getal is de matrix van een complex getal.
Bewijs: Inderdaad, de som
a −b
c −d
a + c −b − d
a + c −(b + d)
+
=
=
b a
d c
b+d a+c
b+d
a+c
levert de matrix op van het complex getal (a + c) + i(b + d).
De som van twee complexe getallen is het complex getal dat we bekomen door reële
gedeelten op te tellen en de imaginaire gedeelten op te tellen.
Met symbolen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2.2.6.2
Eigenschappen van de som van complexe getallen
1. De som van twee complexe getallen is weer een complex getal.
2. De som van complexe getallen is associatief. Inderdaad, dit volgt uit het feit dat de
som van matrices associatief is.
3. Het neutraal element voor de optelling van matrices is de nulmatrix, die overeenkomt met het complex getal 0.
4. De tegengestelde matrix van
is de matrix
a −b
b a
−a −(−b)
−b
−a
Hieruit volgt dat de complexe getallen a + bi en −a − bi tegengestelde complexe
getallen zijn.
Tegengestelde complexe getallen liggen symmetrisch t.o.v. de oorsprong.
5. De som van matrices is commutatief voor de optelling. Daaruit volgt dat de som
van complexe getallen ook commutatief is voor de som.
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
41
Uit deze vijf eigenschappen volgt:
De structuur C, + is een commutatieve groep voor de optelling (additieve groep).
Opmerking: Vanaf nu mogen we het (+) teken in de notatie van een complex getal a+bi
als een somteken beschouwen. Het complex getal a + bi is de som van het reëel getal a en
het zuiver imaginair getal bi.
2.2.7
Verschil van twee complexe getallen
Omdat elk complex getal een tegengesteld complex getal heeft kunnen we het verschil van
twee complexe getallen definiëren.
Het verschil van twee complexe getallen is gelijk aan de som van het eerste complex getal
en het tegengestelde van het tweede complex getal.
(a + bi) − (c + di) = (a + bi) + (−c − di) = a − c + (b − d)i.
Opmerking: De som en het verschil van twee complexe getallen is zoals de som en
het verschil van twee koppels. Ook het tegengestelde van een complex getal is zoals het
tegengestelde van een koppel.
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
−(a, b) = (−a, −b)
Belangrijk gevolg: Omdat de som en verschil van complexe getallen overeenkomt met
de som en verschil van de corresponderende koppels zijn we in de mogelijkheid de som
en verschil van complexe getallen in het vlak uit te voeren zoals de som en verschil van
vectoren.
OPGAVEN — 50 Maak de som van de complexe getallen en construeer het allemaal in het complex
getallenvlak van Gauss.
√
√
2 − i en 2 + 2i
a. 2 + 3i en −1 + 2i c. 1 + 3i en 1 − 3i e.
b. 5i en −5
d. 1 + i en i
f. −4i en 2i
51 Bepaal het tegengestelde complex getal van het complex getal z met arg(z) = θ en met |z| = r.
√
a. θ = π4 rad , r = 2; b. θ = π rad , r = −3; c. θ = 2π
3 rad , r = −3.
52 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen met
argumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2 .
42
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
a.
θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1 ;
b.
θ1 = − π3 rad , r1 = 4; θ2 = − π6 rad , r2 = −2;
√
1
θ1 = 11π
2; θ2 = 5π
4 rad , r1 =
4 rad , r2 = 3 ;
c.
53 Bepaal argument en modulus van het complex getal dat de som is van twee complexe getallen
controleer
√ op een tekening.
√
√
a. 1 + 3i en −3 − 3i; b. −4 en −1 + 3i; c. 1 − 3i en 2 − 2i.
Oplossingen:
√
50 a. 1 + 5i; c. 2; e. 2 2 + i; b. −5 +√5i; d. 1 + 2i; f. −2i. √ √
51 a. (−1, −1); b. (−3,
(−3/2, 3 3/2); d. (−5, −3); e. √
( 3, 3); √
f. (0, 3/2)
√ 0); c. √
52 a. rp= 0; b. (2 − 3, 1 − 2 3), (2, 47; −83, 790 ); c. (−1 − 2/6, 1 − 2/6), (1, 45; 148, 260 )
√
√
53 a. ( 16 − 6 3, 212o 220 2500 ) = (2, 36; 212o 220 2500 ); b. ( 28, 160o 530 3600 ) = (5, 29; 160, 89o ); c. (4, 78; −51o 120 2100 )
2.2.8
Afstand tussen twee complexe getallen
De afstand tussen twee complexe getallen z1 en z2 is
|z1 − z2 |.
1. Met de gewone schrijfwijze.
Is z1 = x1 + iy1 en z2 = x2 + iy2 dan is
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 )
en daaruit volgt
|z1 − z2 | =
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Dit is de uitdrukking voor de afstand tussen de punten (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ).
2. Met de goniometrische schrijfwijze.
Is z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) dan kunnen we de afstand
tussen de twee beeldpunten P1 en P2 van deze complexe getallen berekenen door te
steunen op de cosinusregel in de driehoek OP1 P2 .
|P1 P2 |2 = |OP1 |2 + |OP2 |2 − 2|OP1 |.|OP2 |. cos(θ1 − θ2 )
|z1 − z2 | =
q
r12 + r22 − 2r1 r2 cos(θ2 − θ1 ).
OPGAVEN — 54 Bereken de afstand tussen de complexe getallen van opgave 50.
(2.6)
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
43
GON-CO HUISTAAK 5
1. Gegeven zijn de complexe getallen
z1 = −2 + i en z2 = 3i − 4.
(a) Stel z1 en z2 voor in het complexe getallenvlak van Gauss;
(b) Bepaal de modulus en het argument van beide complexe getallen;
(c) Construeer z = z1 + z2 en bereken z;
(d) Bepaal modulus en argument van z en geef de goniometrische schrijfwijze van
z;
(e) Bereken de afstand tusen z1 en z2 .
2. Los de volgende vergelijking op naar z:
√
z + 3z = (2 + i 3)|z|.
Stel de oplossingen voor in het complex getallenvlak van Gauss.
44
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.2.9
Het product van complexe getallen
2.2.9.1
Definitie
STELLING 2.3 Het product van twee matrices die elk corresponderen met een complex
getal is de matrix van een complex getal.
Bewijs: Inderdaad, het product
a −b
c −d
ac − bd −ad − bc
ac − bd −(ad + bc)
.
=
=
b a
d c
ad + bc ac − bd
ad + bc
ac − bd
(2.7)
levert terug een matrix op van een complex getal.
Het product van twee complexe getallen wordt als volgt gedefiniëerd:
(a + bi).(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Bijzonder geval:
i2 = −1
We kunnen dit ook berekenen via matrices.
2 0 −1
0 −1
0 −1
−1 0
=
·
=
.
1 0
1 0
1 0
0 −1
Hieruit volgt dat i2 = −1.
2.2.9.2
Argument en modulus van het product van twee complexe getallen
Het product van twee complexe getallen in goniometrische gedaante is
r1 (cos θ1 + i sin θ1 ).r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) =
= r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )]
= r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ))
Uit de formule 2.8 volgt de stelling
(2.8)
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
45
STELLING 2.4
1. De modulus van het product van twee complexe getallen is gelijk
aan het product van de moduli.
2. Het argument van het product van twee complexe getallen is gelijk aan de som van
de argumenten.
Met symbolen :
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).
Uit het feit dat bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen de argumenten
worden opgeteld, volgt de stelling:
STELLING 2.5 Als een complex getal z vermenigvuldigd wordt met een complex getal
met argument θ1 en modulus r1 dan wordt in het vlak de plaatsvector van z gedraaid over
de hoek θ1 en vermenigvuldigd met r1 .
Opmerkingen:
• Zoals een homothetie gemakkelijk kan beschreven worden door met een reëel getal
te vermenigvuldigen zo kan een rotatie over een hoek θ zeer gemakkelijk beschreven
worden door te vermenigvuldigen met een complex getal waarvan het argument
gelijk is aan θ en de modulus gelijk is aan 1. Het beeld onder een rotatie met hoek
θ van een complex getal z is het complex getal
z.(cos θ + i sin θ)
In het bijzonder betekent vermenigvuldigen met i een rotatie uitvoeren over 90o
want
π
π
i = cos + i sin
2
2
o
Het beeld van (x, y) onder een rotatie over 90 is (−y, x) want
(x + iy).i = −y + ix
• Door middel van het product van complexe getallen zouden we een product van
koppels kunnen definiëren.
• De scalaire vermenigvuldiging van koppels betekent voor de complexe getallen een
speciaal geval van product van complexe getallen, nl. van een reëel getal en een
complex getal.
46
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
• Het product van twee complexe getallen komt niet overeen met het scalair product
van twee vectoren. Het scalair product van twee vectoren is een reëel getal, terwijl
het product van twee complexe getallen weer een complex getal is. Beschouwen we
twee vectoren v~1 (θ1 , r1 ) en v~2 (θ2 , r2 ) dan is het scalair product:
v~1 .v~2 = r1 cos θ1 .r2 cos θ2 + r1 sin θ1 .r2 sin θ2
= r1 r2 (cos θ1 . cos θ2 + sin θ1 . sin θ2 )
= r1 r2 cos(θ1 − θ2 ).
OPGAVEN — 55 Bepaal het beeld van de volgende complexe getallen voor een lineaire rotatie over
θ.
a. − 2
θ = 60o
b. 1 + i θ = −60o
c. 2 + 3i
θ = 60o
d. − 2 + 5i
θ = 120o
e. 3i
θ = 330o
f. − i − 2
θ = 240o
56 Teken de volgende complexe getallen als het punt P het complex getal z voorstelt en z modulus 1
heeft.
a. − 3iz
b. (i − 1)z
c. (3i + 2)z
d. i + 2z
2.2.9.3
e. (z − 2)(i − 1)
f. (1 + i)z − 1 − 2i
Eigenschappen van het product van complexe getallen
1. Het product van twee complexe getallen is weer een complex getal.
2. Het product van complexe getallen is associatief. Dit volgt uit het feit dat het
product van matrices associatief is.
3. Het neutraal element voor de vermenigvuldiging is het getal 1 dat correspondeert
met de eenheidsmatrix die neutraal element is voor de vermenigvuldiging van matrices.
4. Voor de inverse matrix A−1 van een matrix A geldt
A−1 · A = I
als hij bestaat. De voorwaarde daartoe is dat rangA = 2. Deze voorwaarde is
vervuld als (a, b) 6= (0, 0). Het corresponderend complex getal is dan verschillend
van nul.
De inverse matrix van de (niet-singuliere) matrix
a −b
waarvoor (a, b) 6= (0, 0)
b a
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
is de matrix
1
1
1
a b
a −(−b)
=
−→
(a − bi)
a
a2 + b2 −b a
a2 + b2 −b
a2 + b 2
47
(2.9)
Hieruit volgt de stelling
STELLING 2.6 Het omgekeerde van een complex getal verschillend van nul is het
toegevoegd complex getal gedeeld door de het kwadraat van de modulus.
Met symbolen:
z −1 =
z
1
= 2
(a − bi).
2
|z|
a + b2
Als we het omgekeerd complex getal nemen van een complex getal in goniometrische
gedaante dan verkrijgen we:
1
1
(r cos θ − ir sin θ) = (cos(−θ) + i sin(−θ))
2
r
r
1
1
= cos(−θ) + i sin(−θ) .
r(cos θ + i sin θ)
r
Hieruit besluiten we de stelling
STELLING 2.7 Het omgekeerd complex getal van het complex getal (6= 0) met
modulus r en argument θ is het complex getal met modulus 1/r en argument −θ.
met symbolen:
| z −1 |=| z |−1
arg(z −1 ) = −arg(z).
5. Het is gemakkelijk aan te tonen dat het product van matrices behorende bij complexe
getallen commutatief is. Hieruit volgt dat het product van complexe getallen ook
commutatief is.
Uit deze vijf eigenschappen van het product volgt:
De structuur C0 , . is een commutatieve groep voor de vermenigvuldiging (multiplicatieve
commutatieve groep).
Voor de optelling en de vermenigvuldiging van complexe getallen geldt de distributieve
eigenschap. Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat de optelling en de vermenigvuldiging
van matrices distributief is.
We besluiten:
De structuur C, +, . is een veld, waarvan het veld R, +, . een deelveld is.
48
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.2.10
Het quotiënt van twee complexe getallen
Vermits elk complex getal verschillend van nul een omgekeerde heeft voor het product
kunnen we het quotiënt definiëren van twee complexe getallen. Het quotiënt van twee
complexe getallen is het product van het eerste getal en het omgekeerde van het tweede
complex getal. Vermits het product van complexe getallen commutatief is kunnen we het
quotiënt als volgt schrijven
(a + bi)
1
a + bi
1
=
(a + bi) =
c + di
c + di
c + di
We kunnen dit quotiënt in de gedaante x + iy brengen.
1. Met cartesische coördinaten
a+bi
c+id
= (a + bi) cc−di
2 +d2 =
ac+bd+i(bc−ad)
=
c2 +d2
(a+bi)(c−di)
c2 +d2
2. Met goniometrische schrijfwijze
Voor het quotiënt van twee complexe getallen in goniometrische gedaante geldt:
1
r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
= r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
1
cos(−θ2 ) + i sin(−θ2 )
= r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
r2
r1
=
cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 ) .
(2.10)
r2
Uit 2.10 volgt de stelling:
STELLING 2.8 (a) De modulus van het quotiënt van twee complexe getallen is
gelijk aan het quotiënt van de moduli.
(b) Het argument van het quotiënt van twee complexe getallen is gelijk aan de
verschil de argumenten.
Met symbolen :
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
arg
z1
= arg(z1 ) − arg(z2 ).
z2
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
2.2.11
49
Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen
We hoeven geen formules van buiten te leren om het product van twee complexe getallen
uit te voeren of om het omgekeerd complex getal te bepalen.
* We kunnen het product van twee complexe getallen berekenen door gebruik te maken
van de distributieve eigenschap geldig in het veld van de complexe getallen.
(a + bi).(c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi2 = ac − bd + (ad + bc)i.
* Vermits het product van complexe getallen commutatief is mogen we het omgekeerde
voor het product van het complex getal a + ib als volgt noteren
1
a + bi
We kunnen dat complex getal ook rechtstreeks bepalen door de deling uit te voeren.
Om de deling uit te voeren√
moeten we een trucje toepassen. In feite is i2 = −1, dus
symbolisch kunnen we i = −1 zetten en dan passen we de regel toe om een wortel
uit de noemer te verdrijven door te vermenigvuldigen met de toegevoegde term. Dit
komt er dus op neer teller en de noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegd
complex getal.
1
= ( a+b1√−1 )
a+bi
√
−1 √
)
= ( (a+b√a−b
−1)(a−b −1)
=
=
=
a−bi
(a+bi)(a−bi)
a−bi
a2 +b2
a
b
− a2 +b
2i
a2 +b2
OPGAVEN — 57 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotiënt zijn van twee
complexe getallen behorende bij de matrices.
√
√
√
a. 1 + 3i en −3 − 3i; b. −4i en −1 + 3i; c. 1 − 3i en 2 − 2i.
58 Bepaal het complex getal dat gelijk is aan het product en het quotiënt zijn van de twee complexe
getallen met argumenten resp. θ1 en θ2 en moduli resp. r1 en r2 .
a.
θ1 = 0 rad , r1 = 1; θ2 = π rad , r2 = 1;
b.
θ1 = − π3 rad , r1 = 4; θ2 = − π6 rad , r2 = −2;
√
1
θ1 = 11π
2; θ2 = 5π
4 rad , r1 =
4 rad , r2 = 3 ;
c.
59 Bepaal modulus en argument van de twee complexe getallen alsook hun product en quotiënt. Controleer de formules van de stellingen 2.4 en 2.8.
50
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
a.
2 + 3i, −1 + 2i;
b.
1 + 3i, 1 − 3i;
√
√
2 − i, 2 + 2i.
c.
60 Construeer het product en het quotiënt van de volgende complexe getallen (moduli mogen berekend
worden) en controleer door berekening.
√
a.
1 + i, i −
d.
e.
−6 + 8i, 2 + i;
√
3 − 4i, 1 + 3i;
f.
1 + i, i;
g.
5i, −5.
3;
61 Bepaal het product en het quotiënt van de volgende complexe getallen en stel het allemaal voor in
het complex getallenvlak van Gauss met passer en geodriehoek.
b.
2(cos 60o + i sin 60o ), − cos 20o − i sin 20o ;
√
2(cos 135o + i sin 135o ), − cos(−50o ) + i sin 50o ;
c.
cos 200o + i sin 200o , 8(cos(−20o ) − i sin 20o );
d.
2(cos 75o + i sin 105o ), 21 (− cos 15o + i sin 15o );
e.
−3(cos(−90o ) + i sin 90o ), 23 (cos 12o + i sin 12o );
√
√
2(cos 45o + i sin 315o ), 2(cos 15o − i sin 15o );
a.
f.
62 Bereken de volgende quotiënten op twee manieren (met cart. en poolcoörd.).
a.
d.
1+i
1−i
5
2−i
√
b.
e.
3+i
√
1+ 3i
11−3i
5+7i
c.
√4−6i
√
2+ 2i
63 Wanneer is het quotiënt van twee complexe getallen
(i) reëel;
(ii) zuiver imaginair.
64 Los de volgende matriciële vergelijking op naar X:
2−i 1
2
4
t 1+i
1
−i
− X
3
1−i
−2i
3
1
−1
=
4
3
4
0
2.2. HET VELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN
51
65 * Zijn u, v ∈ C met reëel gedeelte negatief (Re(u) < 0, Re(v) < 0), dan geldt
|
v−u
| < 1.
v + ū
Bewijs dat.
Oplossingen:
√
√
√
57 a. 6 2(cos 75o − i sin 75o ), 32 (cos 195o + i sin 195o ); b. 8(cos π/3 − i sin π/3); c. 4 2(cos 105o −
i sin 105o );
GON-CO HUISTAAK 6 Gegeven zijn de complex getallen z1 met modulus 1 en
argument θ en z2 = 4i − 3. Gevraagd:
1. Kies een beeldpunt voor z1 in het complex getallenvlak van Gauss. Neem geen
speciale waarde voor het argument van z1 .
2. Construeer z1 · z2 ;
3. Teken 2z1 en 1 + z12 ;
4. Leid uit de tekening af waarom
2z1
1+z12
5. Toon aan dat het reëel gedeelte van
van dat reëel gedeelte.
een reëel getal is;
1
1+z1
onafhankelijk is van θ. Welke is de waarde
PROEFHERHALINGSTOETS
Gegeven zijn de complexe getallen z1 =
Gevraagd:
1+i
1−i
√
en z2 =
2
.
1−i
1. modulus en argument van z1 en z2 ;
2. de voorstelling van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss;
3. construeer z = z1 + z2 en leid uit de figuur af welk complex getal z is in de gedaante
a + ib. Geef tevens modulus en argument van z;
4. leid uit de tekening de waarde af van tan 3π
. Verifieer deze waarde op de tangensas.
8
52
2.3
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
Stellingen i.v.m. complexe toevoeging
STELLING 2.9 De complexe toevoeging is een permutatie in de verzameling van de
complexe getallen die de som in een som omzet en een product in een product.
We noemen de complexe toevoeging daarom een automorfisme van C (isomorfisme in
één verzameling).
Bewijs: Voor het transponeren van matrices gelden de eigenschappen:
(A + B)t = At + B t
(2.11)
(A.B)t = B t .At
(2.12)
en
De eigenschappen 2.11 en 2.12 gelden ook voor de complexe toevoeging van complexe
getallen.
z1 + z2 = z1 + z2
z1 .z2 = z2 .z1 = z1 .z2 .
We formuleren deze eigenschappen ook met woorden:
Het complex toegevoegde van de som van twee complexe getallen is gelijk aan de som van
de complex toegevoegden van de twee complexe getallen.
Het complex toegevoegde van het product van twee complexe getallen is gelijk aan het
product van de complex toegevoegden van de twee complexe getallen.
STELLING 2.10 Het product van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal is
reëel.
Bewijs: Het product van een matrix en zijn getransponeerde is een symmetrische matrix.
Inderdaad,
(A.At )t = (At )t .At = A.At
Is de matrix van een complex getal symmetrisch dan is die matrix een scalaire matrix.
Inderdaad,
a −b
b a
is symmetrisch als b = −b. Als een reëel getal gelijk is aan zijn tegengestelde dan is het
gelijk aan nul.
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL
53
Voor complexe getallen betekent dit dat het product van een complex getal met zijn
toegevoegde een reëel getal is. We kunnen dit ook gemakkelijk inzien als we het product
uitvoeren van een complex getal en zijn toegevoegd complex getal.
z.z̄ = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 ∈ R+
Als toepassing hiervan kunnen we het omgekeerde complex getal bepalen.
z̄
a − bi
1
=
= 2
.
z
z.z̄
a + b2
STELLING 2.11 De som van twee toegevoegd complexe getallen is een reëel getal.
Bewijs:
z + z̄ = (a + bi) + (a − bi) = 2a ∈ R.
OPGAVEN — 66 Toon aan dat de vergelijking
(z − m)(z̄ − m) = R2
de vergelijking voorstelt van een cirkel straal R en met m het complex getal dat het middelpunt M
aanduidt (m ∈ C, R ∈ R+ ).
67 Teken de beeldpunten van de volgende complexe getallen als P het beeldpunt is van het complex
getal z met modulus gelijk aan 1.
2.4
2.4.1
a. z̄
b. z.z̄
c. i.z
d. z 2 .z̄
e. z.z̄ 2
f. (1 − 2i)z̄
g. z + z̄
h. 2z − 2z̄
i. z̄ − (1 + i).z
Machten van een complex getal
De formule van de Moivre voor gehele exponenten
STELLING 2.12
∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ)n = rn (cos nθ + i sin nθ)
We tonen deze formule aan met een bewijs door volledige inductie. Zo een bewijs bestaat
uit twee delen:
54
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
• We tonen aan dat de formule geldig is voor n = 1. Inderdaad, stellen we in de
formule n = 1 dan is de formule geldig:
(r cos θ + ir sin θ)1 = r1 (cos 1.θ + i sin 1.θ)
• We tonen aan dat als de formule geldig is voor n ze ook geldig is voor n + 1.
Gegeven: (r cos θ + ir sin θ)n = rn (cos nθ + i sin nθ)
Te bewijzen: (r cos θ + ir sin θ)n+1 = rn+1 cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ
Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.
(r cos θ + ir sin θ)n+1
=
geg.
=
prod. inC
=
=
(r cos θ + ir sin θ).(r cos θ + ir sin θ)n
(r cos θ + ir sin θ).rn .(cos nθ + i sin nθ)
r.rn cos(θ + nθ) + i sin(θ + nθ) rn+1 cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ
STELLING 2.13
∀n ∈ N : (r cos θ + ir sin θ)−n = r−n cos(−nθ) + i sin(−nθ)
Bewijs: We vertrekken van het eerste lid en proberen het tweede lid te bekomen.
n
(r cos θ + ir sin θ)−n = (r cos θ + ir sin θ)−1
(def. v. neg. macht)
n
(omgek. v.e. compl. get.)
= r−1 cos(−θ) + i sin(−θ)
−1 n
= (r ) cos(−nθ) + i sin(−nθ)
(voorgaande stelling)
−n
= r
cos(−nθ) + i sin(−nθ)
Uit de stellingen 2.12 en 2.13 volgt
∀z ∈ Z : (r cos θ + ir sin θ)z = rz (cos zθ + i sin zθ)
Dit is de formule van de Moivre voor gehele exponenten.
Deze formule geeft ons een eenvoudige methode ter hand om een complex getal tot gelijk
welke gehele macht te verheffen. We moeten eerste het complex getal in goniometrische
gedaante brengen.
Voorbeelden:
√
• (1 + i)6 = ( 2)6 (cos 45o + i sin 45o )6 = 8(cos 270o + i sin 270o ) = −8i.
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL
55
(4 + 3i)−5 = (5(cos(36o 520 11, 6300 ) + i sin(36o 520 11, 6300 )))−5
1
= 3125
(cos(184o 200 58, 1500 ) − i sin(184o 200 58, 1500 ))
•
= 10−5 (−31, 9 + 2, 4i)
OPGAVEN — 68 Bereken
√
a. (i − 1)10
√
d. (
b. (−
√
5+i 15 6
)
5
√
√
g. (− 2 − i 6)−7
3
3
− i)8
√
√
c. ( 6 + i 2)12
−8
e. ( 1−i
2 )
f. ( √16 −
h. ( i−2 3 )−13
i. ( 23 i)−6
√
√i )8
2
69 Bereken op zo eenvoudig mogelijke manier zonder computer
1.
1+i+i2 +i3 +i4 +i5
1+i
2.
h
√
3−i
√
1− 3i
i10
70 Bewijs met de formule van de Moivre voor n ∈ Z dat
z n = z̄ n .
71 Gegeven is het complex getal z met modulus 1 en argument θ. Bepaal de modulus en het argument
van
a. z 3 − z
b. z 5 + z
c. z 4 + z 2
d. z +
1
z
e. z n +
1
zn
f. z n − z̄
72 Twee complexe getallen z1 en z2 zijn wortels van de vergelijking
3z.z̄ + 2(z − z̄) = 12 + 4i.
(i) Bepaal z1 en z2 ;
(ii) In het complex getallenvlak van Gauss zijn P en Q de beeldpunten van resp. z1 en z2 . We noemen
√
∧
R het beeldpunt van het complex getal (1 + 3)i. Toon aan dat de hoek P R Q recht is;
(iii) Druk z120 en z220 uit in de gedaante a + ib.
73 Druk
√
(1+i 3)13
√
( 3−i)8
uit in de vorm p + iq met p, q ∈ R.
74 Als z = cos θ + i sin θ, bewijs dan dat voor n ∈ N,
z n + z −n = 2 cos(nθ);
z n − z −n = 2i sin(nθ).
75 * Bereken:
√
√
−1 + i 3 3m+2
−1 − i 3 3m+2
(
)
+(
)
met m ∈ Z
2
2
56
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
Oplossingen:
√
√
√
68: a. −32i; b. 128/81(1 + i 3); c. 86 ; d. 64/125; e. 16; f. −8/81(1 + i 3); g. 2−11,5 (−1 + i 3); h.
√
√
√
√
−1/2(i + 3); i. −729/64; 72: (i) i ± 3; (iii) 219 (−1 + i 3), −219 (1 + i 3).
GON-CO HUISTAAK 7
computer:
1. Bereken op zo een eenvoudig mogelijke manier zonder
7
2.4.2
7
3. (1+i) +(1−i)
2
4. (7 + i)(1 + 2i)(7 − i)(1 − 2i)
i
2 2
1. ( 1+i
+ 1i + i−1
)
−1
−57
2. i + i
+ i32 + i−11
Binomiaalvergelijkingen
Een binomiaalvergelijking is een vergelijking van de gedaante
az n + b = 0, met a ∈ C0 , b ∈ C.
m
zn = −
b
met a ∈ C0 , b ∈ C.
a
(2.13)
We drukken z en − ab uit in goniometrische gedaante:
z = r(cos θ + i sin θ) en −
b
= r1 (cos(θ1 + k · 360o ) + i sin(θ1 + k · 360o ))
a
De vergelijking 2.13 wordt van de gedaante:
n
r(cos θ + i sin θ) = r1 (cos(θ1 + k · 360o ) + i sin(θ1 + k · 360o ))
m Form. v.de Moivre
rn (cos nθ + i sin nθ) = r1 (cos(θ1 + k · 360o ) + i sin(θ1 + k · 360o ))
Hieruit volgt wegens de gelijkheid van complexe getallen dat
n
√
r = n r1
r = r1
⇐⇒
nθ = θ1 + k · 360o
θ = θn1 + k ·
360o
n
Omdat een georiënteerde hoek juist n verschillende n-de delen heeft
(voor k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}) krijgen we voor z juist n mogelijkheden die vervat zijn in de
volgende formule:
√
θ1
360o
θ1
360o
n
z = r(cos θ + i sin θ) = r1 cos( + k ·
) + i sin( + k ·
)
n
n
n
n
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL
57
De oplossingen van de binomiaalvergelijking z n = − ab zijn de n n-de machtswortels uit
het complex getal − ab .
We kunnen de n n-de machtswortels uit een complex getal r(cos θ + i sin θ) als volgt
noteren:
1
r(cos θ + i sin θ) n
1
√
θ
θ
r(cos θ + i sin θ) n = n r(cos + i sin )
n
n
Op die manier hebben we de formule van de Moivre uitgebreid voor rationale exponenten.
De formule van de Moivre voor rationale exponenten is
∀q ∈ Q : (r cos θ + ir sin θ)q = rq (cos qθ + i sin qθ)
I.v.m. de voorstelling in het complex getallenvlak van Gauss van de wortels uit een complex
getal kunnen we de volgende stelling formuleren:
STELLING 2.14 Een complex getal heeft juist n verschillende n-de machtswortels. De
beeldpunten van die wortels vormen een regelmatige veelhoek beschreven in een cirkel met
straal gelijk aan de reële n-de machtswortel uit de modulus.
Bijzonder geval: Elk complex getal heeft juist twee tegengestelde vierkantswortels.
Voorbeelden:
• z 2 = −1 +
√
3i
√
3i ⇐⇒ z 2 =√2 cos(120o + k.360o ) + i sin(120o + k.360o )
o
o
o
o
⇐⇒ z = √2(cos 120 +k.360
+ i sin 120 +k.360
))
2
2
o
o
o
⇐⇒ z = 2 cos(60 + k.180 ) + i sin(60 + k.180o )
√
De twee vierkantswortels uit −1 + 3 zijn de waarden van z voor de opeenvolgende
waarden k = 0 en k = 1 corresponderend met de twee helften van de georiënteerde
hoek 120o .
√
√
√
√
2
2
z1 =
(1 + i 3), z2 = −
(1 + i 3).
2
2
z 2 = −1 +
Het is soms mogelijk de twee wortels uit een complex getal op andere wijze te vinden.
We proberen het complex getal te schrijven als een volkomen kwadraat. We passen
dit toe op het vorig voorbeeld.
√
√
√
1
−1 + 3i = 21 (−2 +√
2 3i) =
(1
+
2
3i − √
3)
√2 2
1
1
= 2 (1 + 2 3i + ( 3i) ) = 2 (1 + 3i)2
58
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
• z3 + 8 = 0
z 3 = −8 ⇐⇒ z 3 = 8(cos(180o + k.360o ) + i sin(180o + k.360o ))
o
o
o
o
⇐⇒ z = 2(cos 180 +k.360
+ i sin 180 +k.360
)
3
3
o
o
o
⇐⇒ z = 2(cos(60 + k.120 ) + i sin(60 + k.120o ))
De drie derde machtswortels uit −8 zijn de waarden van z voor de opeenvolgende
waarden k = 0, k = 1 en k = 2 corresponderend met de drie derde delen van de
georiënteerde hoek 180o .
√
√
z0 = 1 + i 3, z1 = −2, z2 = 1 − i 3.
Merk op dat deze binomiaalvergelijking één reële en twee toegevoegd complexe oplossingen bezit. Een reëel getal heeft juist drie derde machtswortels, één reële en
twee toegevoegd complexe derdemachtswortels.
We kunnen de veelterm z 3 + 8 ontbinden in drie lineaire factoren.
√
√
z 3 + 8 = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 ) = (z + 2)(z − 1 − i 3)(z − 1 + i 3).
waarbij
√
√
(z − 1 − i 3)(z − 1 + i 3) = z 2 − 2z + 4.
z 2 − 2z + 4 is onontbindbaar in R.
√
• z 4 = −1 − 2 2i
z 4 = 3(cos α + i sin α) ⇐⇒ z =
De vier vierde delen van α zijn
250o 310 43,600 +k.360o
4
√
α
α
4
3(cos + i sin )
4
4
voor k = 0, 1, 2, 3.
√
4
z0 = 3(cos 62o 370 5600 + i sin 62o 370 5600 ) = 0, 605 + 1, 68i)
√
4
z1 = 3(cos 152o , 631 + i sin 152o , 631) = −1, 169 + 0, 605i)
√
4
z2 = 3(cos 242o , 632 + i sin 242o , 632) = −0, 605 − 1, 169i)
√
4
z3 = 3(cos 332o , 631 + i sin 332o , 631) = 1, 169 − 0, 605i)
• z5 = 1
z 5 = 1 ⇐⇒ z 5 = cos k.360o + i sin k.360o
o
o
⇐⇒ z = cos k.360
+ i sin k.360
5
5
De vijf vijfde machtswortels uit 1 zijn:
z0 = 1, z1 = cos 72o + i sin 72o , z2 = cos 144o + i sin 144o ,
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL
59
Figuur 2.3: de 5 5de machtswortels uit 1
z3 = cos 216o + i sin 216o , z4 = cos 288o + i sin 288o
We kunnen nu ook de veelterm z 5 −1 ontbinden in lineaire en kwadratische factoren.
z 5 − 1 = (z − 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1)
De vorm z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 is wederkerig. Aangezien z = 0 geen oplossing kan zijn
van z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 is deze vergelijking gelijkwaardig met
z2 + z + 1 +
1
1
+ 2 =0
z z
m
1
1
+z+ +1=0
2
z
z
2
= Z − 2.
z2 +
Stel z + z1 = Z dan is z 2 +
De vergelijking wordt
1
z2
−1 ±
Z + Z − 1 = 0 ⇐⇒ Z =
2
√
1
−1 ± 5
z+ =
z
2
2
√
5
60
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
z2 −
−1 ±
2
m
√
5
z+1=0
De vier complexe oplossingen zijn
z1,2
q
√
√
1
= (−1 ± 5 + i 10 ± 2 5)
4
en
q
√
√
1
z3,4 = (−1 ± 5 − i 10 ± 2 5)
4
Hieruit kunnen we afleiden dat
√
5−1
o
cos 72 =
4
en
p
√
10 + 2 5
o
sin 72 =
.
4
Merk op dat de ontbinding in factoren in R van z 5 − 1 gelijk is aan
√
√
−1 + 5
−1 − 5
5
2
2
z − 1 = (z − 1)(z −
z + 1)(z −
z + 1).
2
2
Construeer met deze resultaten een regelmatige vijfhoek.
OPGAVEN — 76 Los de volgende binomiaalvergelijkingen in C op
a.
b.
c.
d.
z 2 = 8 + 6i
q
z 2 = 16 + 23 i
z 2 = −5 − 12i
z 2 = 7 − 2i
1+i
√
i− 3
4
e.
z 6 = −i
i.
z3 =
f.
g.
h.
8z 6 + 27 = 0
32z 5 − 4 − i = 0
z 4 = −16
j.
k.
l.
(i − 1)z + 1 = 0
z 5 − 32i = 0
4z 4 = i
m.
√
z 4 = 8 − 8i 3
n.
o.
p.
z 2 = 6−7i
3+4i
z 3 − 125 = 0
(2 + 3i)z 3 = 125
77 * Los de volgende vergelijking op
1 + (cos x + i sin x).(cos 2x + i sin 2x) · · · (cos nx + i sin nx) = 0.
78 * Bewijs dat de som van de n n-de machtswortels uit 1 gelijk zijn aan nul. Bewijs dat elke wortel een natuurlijke macht is van een andere wortel. Bewijs tevens dat ze een groep vormen voor de
vermenigvuldiging (cyclische groep van de orde n).
79 * Men stelt de drie wortels van z 3 = 1 voor door 1, α en β. Bewijs dat
(i) α2 = β, β 2 = α, 1 + α + β = 0;
2.4. MACHTEN VAN EEN COMPLEX GETAL
61
(ii) (1 + α)3 + (1 − α + α2 )3 = −9;
1
α α2 (iii) α α2 1 = 0.
α2 α
1 80 *
(i) Bepaal de derdemachtswortels uit −1 op twee verschillende manieren;
(ii) Toon aan dat als één van de complexe wortels wordt voorgesteld door λ (∈ C) de andere gelijk is
aan −λ2 ;
(iii) Bewijs dat (X + λY − λ2 Z)(X − λ2 Y + λZ) = X 2 + Y 2 + Z 2 − Y Z + ZX + XY met X, Y, Z ∈ R.
81 * We noemen z1 , z2 , . . . ,zn de n n-de machtswortels uit een complex getal Z. Is w een n-de
machtswortel uit een complex getal W dan zijn z1 .w, z2 .w, . . . , zn .w de n n-de machtswortels uit W .
Bewijs.
Bereken de zesdemachtswortels uit 81 door toepassing van deze eigenschap, alsook de derde machtswortels
van (2 + i)3 .
82 * Bereken 1 + z + z 2 + · · · + z 49 als z = 21 (1 +
√
3i) op zo een kort mogelijke manier.
83 * Zij p, q en −i de drie oplossingen van de volgende vergelijking over C: x3 = i. Toon aan, en dit
zonder p en q expliciet te bepalen, dat
(i) pq = −1;
(ii) p2 + q 2 = 1;
(iii) ∀k ∈ N0 : p6k + q 6k = 2(−1)k .
GON-CO HUISTAAK 8
√
1. Gegeven is de vergelijking in C: z 8 = −8 − 8 3i.
(a) Bepaal zonder computer de oplossingen van de gegeven vergelijking;
(b) Construeer de oplossingen en verifieer met de berekeningen.
2. Gegeven is de vergelijking in C: z 7 = 128(3 − 4i).
(a) Bepaal de oplossingen van de gegeven vergelijking en gebruik de computer om
de oplossingen in de gedaante a + ib te brengen. Rond af op 1 cijfer na de
komma;
(b) Laat de computer de oplossingen tekenen.
62
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.5
Hoofdstelling van de complexe algebra
2.5.1
Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C
Met vierkantsvergelijking in C bedoelen we dat de coëfficiënten complexe getallen zijn,
die in het bijzonder ook allemaal reëel kunnen zijn.
STELLING 2.15 Elke vierkantsvergelijking heeft ofwel twee verschillende oplossingen
ofwel twee samenvallende oplossingen over C.
Bewijs:
A. We beschouwen een algemene vierkantsvergelijking in R
az 2 + bz + c = 0 met a 6= 0
en brengen deze vergelijking in de volgende gedaante
b2
b2
b
=0
a(z 2 + z + 2 ) + c −
a
4a
4a
m
b
b2 − 4ac
a(z + )2 −
=0
2a
4a
m
b2 − 4ac
b
(z + )2 =
2a
4a2
Aangezien de coëfficiënten van de vierkantsvergelijking reële getallen zijn is de discriminant ook een reëel getal. Al naargelang het teken van de discriminant b2 −4ac = D
krijgen we de volgende gevallen:
1. D 6= 0
a. D > 0
√
b
D
z+
=±
2a
2a
m
√
−b ± D
z1,2 =
2a
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden in
twee reële lineaire factoren.
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 )
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA
63
b. D < 0
√
b
i −D
z+
=±
2a
2a
m
√
−b ± i −D
z1,2 =
2a
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking kan ontbonden worden in
twee complexe lineaire factoren.
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 )
2. D = 0
−b
2a
Het eerste lid van de kwadratische vergelijking is een volkomen kwadraat.
z=
az 2 + bz + c = a(z +
b 2
)
2a
Besluit: Heeft een vierkantsvergelijking in R een complexe wortel
dan is het toegevoegd complex getal eveneens een wortel.
B. Beschouwen we de vierkantsvergelijking in C \ R dan kunnen we de resultaten uit A.
gebruiken maar dan moeten we de twee complexe vierkantswortels uit het complexe
getal D berekenen met de formule van de Moivre. Elke vierkantsvergelijking kan
ontbonden worden in twee lineaire complexe factoren.
OPGAVEN — 84 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in factoren van de
corresponderende veelterm.
a.
b.
c.
d.
z 2 − 4z + 5 = 0
z 2 − 6z + 13 = 0
9z 2 − 6z + 10 = 0
z 2 + (1 − i)z = i
e.
f.
g.
h.
z 2 − 3iz − 25 − 15i = 0
2iz 2 + (2 − 7i)z = 4i − 1
(1 + 2i)z 2 + (3 − 9i)z − 10 + 10i = 0
z 2 + 2iz − 9 − 6i = 0
85 Toon aan dat de vierkantsvergelijking az 2 + bz + c = 0 door een substitutie van de vorm Z = z + k
kan herleid worden tot een binomiale vergelijking.
86 Welke twee complexe getallen hebben als som 3(1 + i) en als product 5i?
Oplossingen:
86d. discr=(1 + i)2 ; e. discr=(10 + 3i)2 ; f. discr=(3 − 2i)2 ; h. discr=(6 + 2i)2 ;
?? 2+i en 1+2i.
64
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
2.5.2
Ontbinding van een veelterm in C
We weten dat een veelterm met reële coëfficiënten in R kan ontbonden worden in een
product van lineaire en kwadratische factoren. In C kan elke kwadratische factor op zijn
beurt ontbonden worden in twee complexe lineaire factoren. Elke veelterm over R is dus
het product van lineaire factoren. We hebben dus:
STELLING 2.16 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel I) Elke reële veelterm is het
product van lineare complexe factoren.
Algemener nog geldt er:
STELLING 2.17 (Hoofdstelling van de Algebra, Deel II) Elke complexe veelterm
is het product van lineaire complexe factoren.
Voorbeelden:
• De veelterm z 3 + 2z 2 + 2z + 1 heeft steeds één reëel nulpunt. Hier is dit nulpunt
gelijk aan −1. De veelterm is deelbaar door z + 1.
z 3 + 2z 2 + 2z + 1 = (z + 1)(z 2 + z + 1).
De kwadratische factor z 2 + z + 1 is niet te ontbinden in R. De oplossingen in C
van de kwadratische vergelijking z 2 + z + 1 zijn
√
−1 ± 3i
z1,2 =
2
De ontbinding van de veelterm over C is
√
√
−1 + i 3
−1 − i 3
z + 2z + 2z + 1 = (z + 1)(z −
)(z −
).
2
2
3
2
• De veelterm z 4 +1 heeft geen reële nulpunten en is in R te ontbinden in twee factoren
van de tweede graad.
√
√
z 4 + 2z 2 − 2z 2 + 1 = (z 2 + 1)2 − 2z 2 = (z 2 + 1 − 2z)(z 2 + 1 + 2z).
√
√
De oplossingen van de kwadratische vergelijkingen z 2 − 2z+1 = 0 en z 2 + 2z+1 =
0 zijn resp.
√
√
2
2
z1,2 =
(1 ± i) en z3,4 =
(−1 ± i)
2
2
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA
65
√
√
√
√
2
2
2
2
(1 + i))(z −
(1 − i))(z −
(−1 + i))(z −
(−1 − i))
z 4 + 1 = (z −
2
2
2
2
We kunnen deze veelterm ook rechtstreeks ontbinden in C.
z 4 + 1 = z 4 − i2 = (z 2 − i)(z 2 + i)
Elk complex getal is te schrijven als het kwadraat van een ander complex getal. Zo
kunnen we i als volgt schrijven:
i=
(1 + i)2
(1 − i)2
en − i =
2
2
2
2
z 4 + 1 = (z 2 − (1+i)
)(z 2 − (1−i)
)
2
2
i+1
i+1
1−i
= (z − 2 )(z + 2 )(z − 2 )(z +
1−i
)
2
.
Dit leidt dus tot hetzelfde resultaat.
STELLING 2.18 Heeft een reële veeltermvergelijking in één onbekende een complexe
wortel z dan is het complex toegevoegde z̄ ook een wortel.
Bewijs: Is z een complexe wortel van de veeltemvergelijking an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a2 x2 +
a1 x + a0 = 0, dan geldt
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0.
Nemen we van beide leden het complex toegevoegde dan verkrijgen we
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0̄
m eig. v. compl. toev. v. lin. comb.
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z̄ + a0 = 0̄
m 0, an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ R
an z̄ n + an−1 z̄ n−1 + · · · + a2 z̄ 2 + a1 z̄ + a0 = 0.
De laatste gelijkheid drukt uit dat z̄ oplossing van de veeltermvergelijking
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0.
66
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
OPGAVEN — 87 Los de volgende vergelijkingen op in C en geef een ontbinding in lineaire factoren
van de corresponderende veelterm. Geef tevens de ontbinding in R.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
z 4 + 4z 3 + 19z 2 − 4z − 20 = 0
3z 3 + z 2 + 12z + 4 = 0
3z 5 + 2z 4 + 24z 3 + 16z 2 − 27z − 18 = 0
z 6 − 2z 5 + 6z 4 − 4z 3 + 9z 2 − 2z + 4 = 0
z 2 − z + 4 − 2i = 0
(1 + i)z 2 + (3 − 7i)z − 10 = 0
6z 3 + 7z 2 − 7z + 6 = 0
z 3 + 3z 2 + 4z + 2 = 0
−iz 3 + 3z 2 + 3iz − 1 = 0
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
u.
2z 3 − z 2 + 2z − 1 = 0
4z 4 − 15z 2 − 4 = 0
iz 3 + 3z 2 − 3iz + 7 = 0
z 2 − 3z + 1 + 3i = 0
z 2 + (1 − 2i)z + 1 + 5i = 0
z 18 − a18
z 3 + 2z + i = 0
iz 3 − (2i − 2)z 2 − 3z + i + 1 = 0
z6 + z3 + 1 = 0
88 Bepaal alle veeltermen van de vierde graad met reële coëfficiënten die als nulpunten 1, 2, −1 + 2i
hebben. Geef de ontbinding van deze veeltermen zowel in C als in R.
89 Ontbind de volgende veeltermen in factoren van tweede graad met reële coëfficiënten.
a.
16z 4 + 9
c.
z 4 + 7z 2 + 16
90 Bepaal a, b, c en d zodanig dat
z 4 + z 3 − 12z 2 + az + 16 = (z 2 + bz + c)(z 2 + dz + c).
91 Gegeven is de veelterm
v(x) = x3 + (m + 2i)x2 − (1 + (8 + 2m)i)x − 5m.
Gevraagd:
(i) Toon aan dat 2 + i een nulpunt is van v(x);
(ii) Bepaal m zodat minstens één nulpunt van v(x) zuiver imaginair is;
(iii) Bereken voor die waarde van m de andere nulpunten van v(x).
√
√
92 Gegeven de complexe getallen z1 = 1 + i 3 en z2 = 1 − i 3.
(i) Bepaal de beeldpunten van z1 en z2 in het complex getallenvlak van Gauss en construeer het
beeldpunt z1 + z2 ;
(ii) Bepaal een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten die z1 als oplossing bezit;
(iii) Bepaal de reële constanten a en b indien de vergelijking z 3 + z 2 + az + b = 0, z1 als oplossing bezit.
93 De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z 2 + z + 1 = 0, zo dat
Im(z1 ) > Im(z2 ).
(i) Druk z1 en z2 uit in goniometrische gedaante;
(ii) Stel de beeldpunten van z1 , z2 en 1 voor in het complex
2.5. HOOFDSTELLING VAN DE COMPLEXE ALGEBRA
67
(iii) Bepaal |z2 − z1 | en arg(z1 − z2 );
(iv) Bepaal Re(z1 + z2 ) en Im(z1 + z2 );
(v) Toon aan dat z13 = z23 = 1; getallenvlak van Gauss.
94 Gegeven is de reële veelterm
v(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx + d.
(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:

v(x) heeft een zuiver imaginair nulpunt,



v(x) heeft twee reële nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,
Het product van de nulpunten van v(x) is − 48,



De som van de nulpunten van v(x) is 3.
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbinding van v(x) in
zijn lineaire of kwadratische factoren.
95 * Gegeven is de reële veelterm
v(x) = x6 + a5 x5 + a4 x4 + a2 x2 + a1 x − 405.
(i) Bepaal de waarden van a5 , a4 , a2 , a1 ∈ Z0 zo dat tegelijk voldaan is aan:

 v(x) heeft een nulpunt van de gedaante a + bi ∈ C, met a, b ∈ Z0 ,
v(x) heeft een nulpunt van de gedaante ci, met c ∈ Z0 ,

v(x) heeft twee tegengestelde gehele nulpuntn;
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a1 , a2 , a4 en a5 de ontbinding van
v(x) in zijn lineaire complexe factoren.
96 * Zij n ∈ N, n ≥ 1, gegeven
(i) Los op in C:
x2n + xn + 1 = 0;
(ii) Beeld de oplossingen van de vergelijking uit (i) af in het complex getallenvlak van Gauss in het
geval n = 4.
97 * De complexe getallen z1 en z2 zijn de oplossingen van de vierkantsvergelijking z 2 + z + 1 = 0, zo
dat Im(z1 ) > Im(z2 ). Stel in het complex getallenvlak de verzameling van de getallen z voor, waarvoor
|z − z1 | = |z − 1|.
68
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
GON-CO HUISTAAK 9
1. Gegeven de veelterm V (x) = 2x4 −4x3 +28x2 −36x+90
(a) Los de vergelijking V (x) = 0 op in C wetende dat 1 + 2i een oplossing is;
(b) Geef een ontbinding in factoren van V (x) in R en in C.
2. Gegeven: V (z) = z 3 + z 2 + (i − 1)z + 2 + 2i.
(i) Toon aan dat z1 = −2 een oplossing is van V (z) = 0;
(ii) Los de vergelijking V (z) = 0 op in C;
(iii) Stel de oplossingen z1 , z2 en z3 voor in het complex getallenvlak van Gauss door
resp. de punten A, B en C. Welke soort driehoek is de driehoek (A B C)?
(iv) Stel 2z1 , 2z3 voor in het complexgetallenvlak van Gauss door resp. de punten
D en E.
Bereken z1 + 2z2 + 2z3 . Wat is de meetkundige betekenis van deze som voor
de driehoek (A D E).
proefherhalingstoets 1 Gegeven is de reële veelterm
v(x) = x5 + ax3 + bx2 + cx + d.
(i) Bepaal de waarden van a, b, c, d ∈ R zo dat tegelijk voldaan is aan:

 v(x) is deelbaar door x3 − 5x2 + 11x − 15,
v(x) heeft twee reële nulpunten die elkaar tegengesteld zijn,

Het product van de nulpunten van v(x) is 90;
(ii) Bepaal voor de in (i) gevonden waarden van de parameters a, b, c en d de ontbinding
van v(x) in zijn lineaire of kwadratische factoren.
2.6
Wiskunde-Cultuur
Rafaele BOMBELLI, de laatste der grote Bolognese wiskundigen van de zestiende eeuw,
zag het probleem van de oplossingen van een derdegraadsvergelijking onder ogen. In 1572
verscheen een boek waarin hij een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteenzet.
2.6. WISKUNDE-CULTUUR
69
√
√
Hij schreef 0 − 9 (letterlijk R[0m9], R voor radix, m voor meno) voor onze 3 −1 = 3i.
Bombelli’s boek werd veel gelezen, we weten dat het gebruikt werd door STEVIN, door
LEIBNIZ (1646-1716) en door EULER (1707-1783). Aan Bombelli is zodoende te danken
dat de imaginaire getallen iets van hun bovennatuurlijk karakter kwijtraakten, al duurde het tot de negentiende eeuw voor complexe getallen hun geheimzinnige waas geheel
verloren en hun normale plaats in de wiskunde konden innemen. In de eerste helft van
de negentiende eeuw stelde GAUSS (1777-1855) een rekenkunde der complexe getallen
op. Hierbij ontstond een nieuwe theorie van priemgetallen, waarin 3 een priemgetal blijft
maar 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) niet langer priem is. Het getal 1 + 2i is een complex priemgetal.
Met behulp van deze nieuwe getallentheorie kon Gauss vele duistere punten van de reële
rekenkunde ophelderen. Gauss nam de geheimzinnigheid rond complexe getallen weg door
te laten zien hoe complexe getallen door punten in het ‘vlak van Gauss’ kunnen worden
voorgesteld.
Het is wel merkwaardig dat de complexe getallen het eerst zijn ingevoerd in de studie
van de derdegraadsvergelijkingen, op die plaats waar reële oplossingen bestaan, doch in
vermomde gedaante optreden, en niet in de studie van kwadratische vergelijkingen, waar
we ze tegenwoordig gewoonlijk het eerst tegenkomen.
Het veld van de complexe getallen is gesloten, d.w.z. dat iedere algebraı̈sche vergelijking
met complexe coëfficiënten al zijn oplossingen heeft binnen het veld van de complexe
getallen.
De Engelse wiskundige HAMILTON (1805-1865) gaf aan koppels reële getallen de rol van
coördinaten van vectoren. Zo gaan de bewerkingen met koppels over in operaties met
vectoren. Het meetkundig optellen, aftrekken, roteren, verlengen, verkorten enz. van vectoren kan dan worden vervangen door algebraı̈sche bewerkingen met complexe getallen.
Nu kan de vraag gesteld worden of het niet mogelijk is drietallen, viertallen te construeren
die op analoge wijze aanleiding geven tot een ‘algebra’ van ruimtelijke vectoren (die dus
niet in één vlak liggen)?
De optelling van drietallen levert wat dat betreft geen problemen op. De optelling van
drietallen correspondeert inderdaad met het optellen van vectoren in de driedimensionele
ruimte. Maar het gelukte Hamilton niet zodanige regels voor de vermenigvuldiging op
te stellen dat hierdoor, net als bij de complexe getallen, een rotatie en een strekking van
de vectoren werd weergegeven. Uiteindelijk besefte hij dat dit niet kon, aangezien voor
de karakterisering van een dergelijke operatie geen drie maar vier getallen nodig zijn: de
as van rotatie vergt twee getallen, de rotatiehoek en de strekking van de vector nog eens
twee.
In 1843 introduceerde Hamilton dan ook de idee van het ‘quaternion’ a + bi + cj + dk,
opgevat als combinatie van een scalair met een driedimensionale vector (deze termen zijn
van hem). De aanschouwelijkheid van dit hybride object leverde weliswaar moeilijkheden
op, maar het alternatief - een vierdimensionale vector - was geheel uitgesloten in zijn
70
HOOFDSTUK 2. COMPLEXE GETALLEN
opvatting van meetkunde als wetenschap van zuivere ruimte-aanschouwing!
Hoe komen we aan rekenregels voor de vermenigvuldiging van quaternionen? Naar analogie met complexe getallen, lijkt het zinvol te eisen dat de vermenigvuldiging van twee
complex geconjugeerde (complex toegevoegde bij complexe getallen) een reëel getal oplevert, aldus:
(a + bi + cj + dk)(a − bi − cj − dk) = a2 + b2 + c2 + d2
De inval waardoor Hamilton de grote doorbraak bewerkstelligde, was nu dat hij inzag
dat bij de berekening van bovenstaand product de verschillende volgorden waarin de
imaginaire getallen verschijnen uit elkaar moeten worden gehouden, aldus:
bc(ij + ji) + bd(ik + ki) + cd(jk + kj) = 0
hetgeen een identiteit is wanneer
ij = −ji ∧ ki = −ik ∧ jk = −kj
Eenmaal zover konden de regels voor de vermenigvuldiging van quaternionen worden
gevonden:
ij = −ji = k ∧ ki = −ik = j ∧ jk = −kj = i ∧ i2 = j 2 = k 2 = −1
Hiermee had Hamilton de “Principle of Permanence” ver achter zich gelaten: de algebra
van quaternionen blijkt niet-kommutatief te zijn.
Men ziet gemakkelijk in dat operaties zoals optellen, verlengen en roteren van vectoren
in de ruimte kunnen worden voorgesteld als vermenigvuldigingen met een quaternion.
Immers de vergelijking:
(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk) = x0 i + y 0 j + z 0 k
levert, na berekening van het linkerlid en gelijkstelling van overeenkomstige termen, een
stelsel van vier vergelijkingen in vier onbekenden a, b, c en d op, dat juist één oplossing
heeft.
Het product van twee quaternionen is weer een quaternion, waarvan het scalaire deel
overeenstemt met wat wij het scalair product noemen en het vectordeel met wat het
vectoriëel product (wij hebben dat nog niet gedefinieerd) wordt genoemd (maar met een
min-teken ervoor).
Inhoudsopgave
1 Goniometrie
1.1
3
Herhaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Georiënteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
De goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3
Het meten van georiënteerde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3.1
De zestigdelige graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3.2
De radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3.3
Omzetting van zestigdelige graden naar radialen en omgekeerd . . . . . .
6
De n verschillende n-de delen van een georiënteerde hoek . . . . . . . . . . . . . .
6
De goniometrische getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
De cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
De sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
De tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.4
De cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.5
De secans en de cosecans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
De som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
De verschilformules voor sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2
De verschilformule voor de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3.3
De somformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4
De eerste formules van Simpson (1710-1761) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5
De tweede formules van Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6
De verdubbelingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.7
De formules voor 3θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.4
1.2
1.3
71
72
INHOUDSOPGAVE
2 Complexe getallen
27
2.1
Het veld van de reële getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2
Het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.1
29
Homothetie en reëel getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2.2
Rotatie over 90 en imaginair getal ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.3
Directe gelijkvormigheid en complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.4
Toegevoegd complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.4.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.4.2
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.5
Poolcoördinaat van een punt in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2.6
De som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.6.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.6.2
Eigenschappen van de som van complexe getallen . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.7
Verschil van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.2.8
Afstand tussen twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.9
Het product van complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2.9.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2.9.2
Argument en modulus van het product van twee complexe getallen . . . .
44
2.2.9.3
Eigenschappen van het product van complexe getallen . . . . . . . . . . .
46
2.2.10 Het quotiënt van twee complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.2.11 Praktisch rekenwerk in het veld van de complexe getallen . . . . . . . . . . . . . .
49
2.3
Stellingen i.v.m. complexe toevoeging
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.4
Machten van een complex getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.4.1
De formule van de Moivre voor gehele exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.4.2
Binomiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Hoofdstelling van de complexe algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.5.1
Oplosbaarheid van een vierkantsvergelijking in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.5.2
Ontbinding van een veelterm in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.5
2.6