syllabus Electriciteit compleet

Dir. B-M - Documentatie opleiding
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M/TB/TOPL/010
Datum: 16.02.2006
Blz. 1 / 115
ELEKTRICITEIT
OPGESTELD
Functie
Naam
NAGEZIEN
GOEDGEKEURD
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 2 / 115
INHOUDSTAFEL
HOOFDSTUK I: Electrische eenheden ................................................................................. 6
I.1. Inleiding ....................................................................................................................... 6
I.2. De elektrische spanning ............................................................................................... 6
I.2.1. Elektrische cellen ................................................................................................... 8
I.2.2. Accumulatoren....................................................................................................... 8
I.2.3. Draaiende machines ............................................................................................... 8
I.3. De elektrische stroom .................................................................................................. 9
I.4. De elektrische weerstand ........................................................................................... 10
HOOFDSTUK II: Inleidende begrippen ............................................................................. 11
II.1. De stroombron .......................................................................................................... 11
II.1.1. De elektromotorische kracht (e.m.k.) ................................................................. 11
II.1.2. De inwendige weerstand en de kortsluiting ...................................................... 12
II.2. De weerstand van een geleider ................................................................................. 12
II.3. Geleiders en isolerende stoffen................................................................................. 14
II.3.1. Geleiders............................................................................................................. 14
II.3.2. Isolerende stoffen ............................................................................................... 14
II.4. Elektrische cellen en accumulatoren ........................................................................ 15
II.4.1. Elektrische cellen ............................................................................................... 15
II.4.2. De accumulatoren ............................................................................................... 15
II.5. De wet van Ohm, arbeid en vermogen ..................................................................... 19
II.5.1. De wet van Ohm ................................................................................................. 19
II.5.2. De arbeid ( W) .................................................................................................... 20
II.5.3. Het vermogen P .................................................................................................. 21
II.6. De schakeling van weerstanden ................................................................................ 23
II.6.1. Principe............................................................................................................... 23
II.6.2. Berekening van de totale weerstand ................................................................... 26
II.7. Wetten van Kirchoff ................................................................................................. 33
II.8. Het Joule effect door elektrische stroom .................................................................. 36
II.8.1. Het Joule effect................................................................................................... 36
II.8.2. Warmtehoeveelheid ............................................................................................ 37
II.8.3. Berekening van de warmtehoeveelheid .............................................................. 37
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 3 / 115
II.8.4. Spanningsval ...................................................................................................... 37
II.8.5. Warmteproductie in draaiende machines ........................................................... 38
II.8.6. De kortsluiting .................................................................................................... 38
II.8.7. De schakelaars .................................................................................................... 39
II.9. Magnetisering door de stroom .................................................................................. 40
II.9.1. Magnetisch veld opgewekt door het vloeien van stroom in een geleider .......... 40
II.9.2. Vorm van het magnetische veld en veldsterkte H van stroomvoerende rechte
geleiders ........................................................................................................................ 40
II.9.3. Magnetisch veld van een stroomvoerende spoel ................................................ 42
II.9.4. Magnetisering van ijzer en staal ......................................................................... 43
II.9.5. Wijziging en verdeling van de krachtlijnen in een spoel ................................... 45
II.9.6. Versterking van het magnetisch veld van een spoel .......................................... 45
II.10. De elektromagneten ................................................................................................ 46
II.10.1. Samenstelling ................................................................................................... 46
II.10.2. Eigenschappen .................................................................................................. 46
II.10.3. Vormen ............................................................................................................. 46
II.10.4. Inductoren van dynamo’s, alternatoren en motoren ......................................... 46
II.10.5. Invloed van een uniform magnetisch veld op een elektrische stroom ............. 46
II.10.6. Inductie verschijnsel ......................................................................................... 48
II.10.7. Inductancie ....................................................................................................... 50
II.10.8. Foucaultstromen ............................................................................................... 51
II.11. RLC-kringen ........................................................................................................... 51
II.11.1. RL serie kring ................................................................................................... 52
II.11.2. RC serie kring................................................................................................... 55
II.11.3. LC serie kring ................................................................................................... 57
II.11.4. RLC serie kring ................................................................................................ 59
II.11.5. Analogie tussen elektrische kringen en mechanische systemen ...................... 62
HOOFDSTUK III: Meting van gelijkstroom en gelijkspanning. ......................................... 63
III.1. De galvanometer. .................................................................................................... 63
III.2. Shunt voor meetinstrumenten.................................................................................. 64
III.3. De voltmeter. ........................................................................................................... 65
III.4. Toestellen met twee spoelen. .................................................................................. 66
III.5. Verbindingswijze van ampere- en voltmeters. ........................................................ 66
HOOFDSTUK IV: De wisselstroom .................................................................................... 68
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 4 / 115
IV.1. Inleiding .................................................................................................................. 68
IV.2. Werking................................................................................................................... 68
IV.3. Karakteristieke grootheden ..................................................................................... 69
IV.3.1. De periode ......................................................................................................... 69
IV.3.2. De frequentie .................................................................................................... 69
IV.3.3. Effectieve waarde van de wisselstroom ............................................................ 69
IV.3.4. Faseverschuiving .............................................................................................. 69
IV.4. Vectoriële voorstelling ............................................................................................ 70
IV.5. Wisselstroomkringen .............................................................................................. 71
IV.5.1. Kring met enkel weerstanden ........................................................................... 71
IV.5.2. Kring met enkel spoelen ................................................................................... 71
IV.5.3. Kring met enkel capaciteiten ............................................................................ 72
IV.5.4. Gemengde kring................................................................................................ 73
IV.6. Vermogen bij wisselstroom .................................................................................... 73
IV.7. Het praktisch belang van cos  ............................................................................... 74
IV.8. Driefasige wisselspanningen ................................................................................... 74
IV.8.1. Algemeen .......................................................................................................... 74
IV.8.2. Driehoekschakeling en sterschakeling .............................................................. 75
IV.8.3. Vermogen van een driefasig systeem ............................................................... 77
HOOFDSTUK V: De transformator.................................................................................... 78
V.1. Algemeen.................................................................................................................. 78
V.2. Werkingsprincipe ..................................................................................................... 78
V.2.1. Samenstelling ..................................................................................................... 78
V.2.2. Karakteristieken ................................................................................................. 79
V.3. Betrekkingen tussen spanningen, stromen, windingen en vermogens ..................... 79
V.3.1. Voorbeeld ........................................................................................................... 80
V.4. Rendement ................................................................................................................ 81
V.4.1. IJzerverliezen ..................................................................................................... 81
V.4.2. Koperverliezen ................................................................................................... 81
V.4.3. Rendement ......................................................................................................... 82
V.5. De koeling van de transformatoren. ......................................................................... 82
V.6. De eenspanningstransformator ................................................................................. 83
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 5 / 115
V.7. De autotransformator. ............................................................................................... 83
V.7.1. Voor- en nadelen van de autotransformator. ...................................................... 85
V.8. Transformatortypes. ................................................................................................. 85
HOOFDSTUK VI: Kringen op basis van R, L en C ............................................................ 86
VI.1. RC serie kring ......................................................................................................... 86
VI.1.1. RC serie kring werkend als filter ...................................................................... 87
VI.2. RL Kring ................................................................................................................. 89
VI.2.1. Vermogen in de RL kring ................................................................................. 89
VI.3. RLC Seriekring ....................................................................................................... 92
VI.3.1. Impedantie en fasehoek bij een RLC kring ...................................................... 92
VI.4. RLC Parallel kring ................................................................................................ 104
VI.4.1. Impedantie en fasehoek .................................................................................. 104
VI.4.2. Betrekkingen tussen de stromen ..................................................................... 105
VI.4.3. De omzetting serie-parallel in parallel vorm .................................................. 105
VI.5. Parallelle resonantie .............................................................................................. 107
VI.5.1. Voorwaarde voor een ideale parallelle resonantie. ......................................... 107
VI.5.2. Sperkring......................................................................................................... 108
VI.5.3. Voorwaarden voor een parallelle resonantie in een niet-ideale kring. ........... 108
VI.5.4. Invloed van de frequentie op de impedantie ................................................... 110
VI.6. Parallelle resonantiefilters ..................................................................................... 112
VI.6.1. Banddoorlaatfilter ........................................................................................... 113
VI.6.2. Sperbandfilter ................................................................................................. 114
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 6 / 115
HOOFDSTUK I: ELECTRISCHE EENHEDEN
I.1. INLEIDING
Wat is elektriciteit?
De elektriciteit is een vorm van energie.
Andere energievormen zijn:
 warmte-energie (zonne-energie);
 mechanische energie (turbine, dieselmotor);
 windenergie (windmolens);
 chemische energie (accu).
Elektrische energie kan worden opgewekt door de omvorming van een andere energievorm
zoals:


mechanische energie (door dynamo, alternator);
chemische energie (accu).
Elektrische energie kan op zijn beurt worden omgezet in andere energievormen afhankelijk van
de toepassing:


in mechanische energie (b.v. een elektrische motor);
in warmte-energie (b.v. een elektrische verwarming).
I.2. DE ELEKTRISCHE SPANNING
We doen een kleine proef om het begrip elektrische spanning uit te leggen.
_
+
Cu
H2SO4
Zn
In een glazen bokaal met verdund zwavelzuur wordt een
koperen en zinken plaat gedompeld, die elkaar niet mogen
raken.
We zien dat het lampje van een zaklamp, dat in de lamphouder
werd geplaatst en verbonden aan die platen of elektroden door
middel van 2 koperdraden, begint te branden.
Het feit dat de lamp brandt toont aan dat de twee elektroden niet in dezelfde toestand zijn.
De twee elektroden hebben een verschillende potentiaal of met andere woorden: er is een
elektrische spanning tussen de koperen en zinken plaat.
Om dit beter te begrijpen kunnen we een eenvoudige elektrische stroomkring vergelijken met een
hydraulische kring die bestaat uit twee reservoirs die elk tot op een verschillende hoogte met
water zijn gevuld en door een buis met elkaar zijn verbonden.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 7 / 115
h
B
A
c
We zien dat er tussen de niveaus A en B een hoogteverschil (h) bestaat, zodat de statische druk
aan de linkerkant van de kraan (C) kleiner is dan aan de rechterkant.
Bij het openen van de kraan C zal als gevolg van dit drukverschil het water vloeien van B naar A
tot de twee niveaus zullen gelijk zijn.
Reservoir B komt overeen met de koperen plaat, reservoir A komt overeen met de zinken plaat.
Als er een pomp wordt geïnstalleerd die het water van reservoir A naar reservoir B doet vloeien,
blijft een stroom vloeien omdat het niveauverschil blijft bestaan.
In een stroomgenerator bestaat er tussen de twee polen een verschil in potentiaal, dat analoog is
met het niveauverschil tussen de reservoirs.
Die twee polen worden omschreven als een positieve pool (+) en negatieve pool (-). In de
elektrische stroomkring is de koperen plaat de positieve pool (+) en de zinken plaat de negatieve
pool (-).
Wanneer een geleider de twee polen met elkaar verbindt vloeit er een elektrische stroom. Die
elektrische stroom komt overeen met de waterstroom door de verbindingsbuis in het
hydraulische model. De geleiders kunnen een verbruikstoestel zoals een lamp of motor voeden.
We komen overeen dat in de uitwendige kring van de bron de stroom van de positieve (+)
naar de negatieve pool (-) vloeit.
De grootte van het potentiaalverschil tussen de polen van het element wordt uitgedrukt in de
eenheid Volt (V).
Voorbeelden van spanningswaarden :
 een batterij voor een zaklamp heeft een spanning van 1,5 V;
 de batterijspanning voor het starten en de bediening van een personenwagen bedraagt
meestal 12 V; voor een vrachtwagen bedraagt 24V;
 De verlichting van een spoorwegvoertuig wordt meestal geleverd door een batterij van 24
V, 72 V of 110V;
 De openbare verlichtingsnetten worden gevoed op 220 V~ (~ staat voor wisselspanning);
 De bovenleiding van de NMBS wordt in het algemeen gevoed met 3000 V= (= staat voor
gelijkspanning) of met 25000 V~
Afhankelijk van de toepassing worden verschillende types van spanningsbronnen gebruikt.
Hierna volgen enkele voorbeelden van spanningsbronnen.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 8 / 115
I.2.1. ELEKTRISCHE CELLEN
De eenvoudigste elektrische cel is de Volta-cel.
+
Cu
H2SO4
_
Zn
De Volta-cel wordt wegens zijn weinig interessante eigenschappen weinig gebruikt.
I.2.2. ACCUMULATOREN
Bepaalde elementen kunnen na uitputting herladen worden door toevoer van een elektrische
stroom. Ze worden accumulatoren genoemd.
De eenvoudigste accumulator bestaat uit 2 elektroden (lood en looddioxide) die gedompeld zijn
in verdund zwavelzuur.
De accumulatorenbatterijen worden veel toegepast bij de spoorwegen (verlichting van de
rijtuigen, aanzetten van de dieselmotoren van de motorwagens, aandrijving van bepaalde
stations- en werkplaatstractoren enz.)
I.2.3. DRAAIENDE MACHINES
Cellen en accumulatoren zijn slechts relatief kleine elektriciteitsproducenten. Om industriële
elektriciteit in grote hoeveelheden te produceren worden draaiende machines (dynamo’s,
alternatoren) gebruikt die elektrische energie produceren ten koste van de energie om ze aan te
drijven. De principes van deze machines worden later uitgelegd; ze kunnen worden aangedreven
door ofwel thermische machines (stoommachine, stoomturbine, dieselmotor enz.) ofwel door
hydraulische machines (turbines).
De dynamo’s worden op het spoorwegmaterieel gebruikt om tractiemotoren te voeden bij de
diesellocomotieven, om batterijen op te laden of voor de verlichting van rijtuigen.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 9 / 115
I.3. DE ELEKTRISCHE STROOM
h
B
A
c
Uit het bovenstaande schema is gemakkelijk af te leiden dat de hoeveelheid water die per
seconde door de buis stroomt afhangt van:



Het niveauverschil tussen de twee reservoirs;
De diameter van de buis;
De lengte van de buis.
De kring wordt dus door twee elementen gekenmerkt: het niveauverschil en het debiet.
Het niveauverschil in het hydraulische model stemt overeen met de spanning in een elektrische
kring.
Een spanningsbron (gelijkspanning) wordt in een
elektrisch schema voorgesteld door het volgende
symbool:
+
U
_
Om een elektrische kring te kenmerken volstaat de spanning niet. De hoeveelheid lading die per
seconde door de geleider vloeit moet eveneens gekend zijn.
De elektrische lading wordt uitgedrukt in Coulomb.
Een stroom van 1A (één ampère) wil zeggen dat er per seconde een lading van één Coulomb
vloeit. De eenheid van elektrische stroomsterkte is de Ampère (A).
Het waterdebiet in het hydraulische model komt overeen met de stroomsterkte.
De stroom vloeit steeds van de positieve naar de negatieve pool.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 10 / 115
I.4. DE ELEKTRISCHE WEERSTAND
We nemen als voorbeeld een elektrische kring die bestaat uit een spanningsbron en een
verbruikstoestel R dat aangesloten is op de spanningsbron door middel van 2 koperdraden.
V
I
A
R
In deze kring is een voltmeter (V) geplaatst om de spanning tussen de klemmen van de
spanningsbron te meten en een ampèremeter (A) om de stroomsterkte te meten.
Stel dat de voltmeter een spanning van 24 Volt aangeeft. We veronderstellen dat het
verbruikstoestel R een gloeilamp is en dat de ampèremeter een stroomsterkte van 2,5 A aangeeft.
Als we die lamp vervangen door een elektrisch verwarmingstoestel geeft de ampèremeter 8 A
aan.
We stellen vast dat voor éénzelfde voedingsspanning de lamp en het elektrisch vuurtje een
verschillende stroom doorlaten. Het elektrische vuurtje laat een grotere stroom door dan
de lamp: het elektrische vuurtje heeft dus een kleinere elektrische weerstand dan de lamp.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 11 / 115
HOOFDSTUK II: INLEIDENDE BEGRIPPEN
II.1. DE STROOMBRON
II.1.1. DE ELEKTROMOTORISCHE KRACHT (E.M.K.)
Spanningsbronnen kunnen eveneens worden gekenmerkt door de elektromotorische kracht E
(EMK), een grootheid die soms wordt verward met de klemspanning U. Deze twee begrippen die
allebei in Volt worden uitgedrukt, zijn nochtans verschillend.
Nemen we bij wijze van voorbeeld een Volta-element en veronderstellen we dat het niet aan een
verbruikstoestel R is gekoppeld. Met een voltmeter V meten wij over de klemmen een spanning
van 1,5 Volt, die de elektromotorische kracht van het Volta-element aangeeft.
1,5 V
V
_
+
Cu
Zn
H2SO4
Wanneer het element op een verbruikstoestel is aangesloten, verandert de klemspanning
afhankelijk van de waarde van de geleverde stroom. We vinden nu de elektromotorische kracht
van 1,5 Volt niet meer terug, maar een lagere spanning.
R
I
V
1,4 V
_
+
Cu
H2SO4
Zn
In een spanningsbron is de elektromotorische kracht steeds hoger dan de klemspanning U bij
gesloten kring aangezien de inwendige weerstand Ri van de bron, doorlopen door een stroom I
een spanningsval Ri.I veroorzaakt.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 12 / 115
Bij een gesloten kring (aangesloten op een verbruikstoestel R), waarbij I  0 geldt:
U = E – Ri.I met :
E = de elektromotorische kracht;
U = de klemspanning;
Ri = de inwendige weerstand van de bron (meestal zeer klein);
I = de stroom van de bron.
In een open kring (I = 0):
U=E
II.1.2. DE INWENDIGE
WEERSTAND EN DE KORTSLUITING
Verbinden we de twee polen van een willekeurige spanningsbron met een koperen geleider van
grote doorsnede waarvan de weerstand praktisch 0 is. We spreken over een kortsluiting. De
stroom die in de kring vloeit is zeer groot en wordt enkel beperkt door de inwendige weerstand
van de bron. Die weerstand wordt de interne weerstand genoemd. We merken op dat in
spanningsbron zelf de stroom van de negatieve naar de positieve pool vloeit.
In de praktijk heeft een kortsluiting steeds uiterst gevaarlijke gevolgen omdat ze
belangrijke stroomsterkten veroorzaakt.
II.2. DE WEERSTAND VAN EEN GELEIDER
De weerstand R van een geleider hangt van de drie volgende factoren af:
 het materiaal (koper, ijzer, aluminium enz.)
 de doorsnede;
 de lengte.
De weerstand van een geleider wordt als volgt berekend:
.
R
met
R = weerstand van de geleider [] ;
S
 = de specifieke weerstand van het materiaal [.mm²/m] ;
l = de lengte vand e geleider [m] ;
S = de doorsnede van de geleider [mm²].
Uit die formule blijkt dat de weerstand verkleint naarmate de geleider een grotere doorsnede
en een kleinere lengte heeft.
De soortelijke (specifieke) weerstand  van het materiaal is de weerstand van het materiaal per
lengte-eenheid (m) en per oppervlakte-eenheid (mm²).
De weerstand van een geleider is ook afhankelijk van de temperatuur van het materiaal. Om deze
reden wordt de waarde van  steeds gegeven bij 0°C (rho).
Om de waarde van de weerstand te bepalen bij een hogere temperatuur moet rekening worden
gehouden met de temperatuurcoëfficiënt  (alpha).
De weerstand bij een temperatuur (T) wordt berekend aan de hand van de formule:
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 13 / 115
RT = R0 . (1 +  .T)
De volgende tabel vermeldt de waarden  en  voor enkele gewone geleiders
metaal
koper
zilver
konstantaan
ρ
0,017
0,016
0,5
α
0,00380
0,00377
0,000005
Deze tabel toont ons het volgende:


zilver is de beste geleider maar zeer duur en dus weinig gebruikt;
konstantaan is uitermate geschikt voor de vervaardiging van weerstanden omdat de
temperatuurscoëfficiënt klein is.
Oefeningen :
1) We willen een weerstand maken van 0,125  bij 0 °C uit koperdraad met een doorsnede
van 3 mm². Hoe lang moet deze koperdraad zijn ?
2) We nemen een zilverdraad : de weerstand bij 70°C bedraagt 6 . De doorsnede bedraagt
0.5 mm2. Bereken de lengte van de draad..
3) We hebben een koperen kabel met een diameter van 2 cm en een lengte van 20 km. Bereken
de weerstand van deze kabel als de temperatuur van de kabel 35 °C bedraagt.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 14 / 115
II.3. GELEIDERS EN ISOLERENDE STOFFEN
Als we de twee klemmen van een spanningsbron (accu, dynamo enz.) verbinden met een
verbruikstoestel (gloeilamp) door middel van koperdraden dan stellen we vast dat de lamp
brandt. Koperdraden hebben dus als eigenschap elektrische stroom door te laten. Ze worden
geleiders van de elektrische stroom genoemd.
Als we nu echter de polen van de bron met een plastiekdraad verbinden, zal de lamp niet meer
branden. Dit wordt verklaard door het feit dat de elektrische stroom niet kan vloeien door deze
stof. Het is een niet-geleidende stof, de zogenaamde isolerende stof of isolator.
II.3.1. GELEIDERS
Metalen zijn doorgaans goede geleiders van de elektrische stroom. Ze worden daarom in
toestellen en machines gebruikt.
II.3.2. ISOLERENDE STOFFEN
Isolerende stoffen voorkomen kortsluitingen tussen onderdelen die onder spanning staan. Verder
beletten ze dat iemand de onder spanning staande delen zou kunnen aanraken en op die manier
zou kunnen geëlektrocuteerd worden.
Een isolator is een materiaal met een zeer grote soortelijke weerstand waardoor zelfs bij kleine
doorsnede de stroom praktisch onbestaande is.
Een isolerende stof moet de volgende eigenschappen hebben:
De soortelijke weerstand moet zeer groot zijn opdat de lekstromen zeer klein zouden zijn;
 moet mechanisch sterk zijn;
 mag chemisch niet worden aangetast (door smeerolie);
 moet haar eigenschappen behouden bij hoge temperatuur.
De meest gebruikte isolatoren zijn:




mica : zeer goed bestand tegen hoge temperaturen ; weinig mechanische weerstand ;
nogal duur
vormpersstoffen op basis van bakeliet of polyester eventueel versterkt met glasvezel ;
thermohardende stoffen;
vernissen voor impregnatie of oppervlaktebescherming.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 15 / 115
II.4. ELEKTRISCHE CELLEN EN ACCUMULATOREN
II.4.1. ELEKTRISCHE CELLEN
De eenvoudigste elektrische cel is de Volta-cel.
e_
R
I
In een bak met verdund zwavelzuur worden twee
elektroden, één van koper en één van zink,
gedompeld.
e_
I
Cu
Zn
H2SO4
We dompelen een elektrode van koper en één van zink in het zwavelzuur: er is een chemische
reactie.
Wanneer we beide elektroden met een weerstand R verbinden, heeft die reactie een stroom I tot
gevolg. Die stroom I loopt, in de externe kring (weerstand), van de koperen elektrode naar de
elektrode van zink. Bijgevolg wordt de koperen elektrode als de positieve pool en de zinken
elektrode als de negatieve pool beschouwd.
In de elektrolyt vloeit de stroom van de zinken naar de koperen elektrode.
De elektronen stroom (e-) in de externe kring vloeit van de negatieve zinken elektrode naar de
positieve koperen elektrode. In de elektrolyt vloeit de elektronen stroom van de koperen naar de
zinken elektrode.
Door de scheikundige reactie met als gevolg de stroom vormt zich waterstofgas dat zich op de
koperen elektrode afzet. Die afzetting van waterstofgas veroorzaakt een laag waardoor het
potentiaalverschil vermindert. Dit fenomeen heet polarisatie. Ze is totaal ongewenst.
Om de polarisatie tegen te werken wordt in de elektrolyt een product (MnO2) toegevoegd.
Bij het opladen van die elektrische cel ontstaat er een reactie die verschilt van deze die ontstaat
bij de stroomproductie. Die reactie is onomkeerbaar.
II.4.2. DE ACCUMULATOREN
De accumulatoren zijn omkeerbare cellen. Bij het opladen van de accumulator wordt de energie
omgezet in chemische energie. Die chemische energie kan opnieuw in elektrische energie
worden omgezet.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 16 / 115
II.4.2.1 Soorten accumulatoren
De accumulatoren kunnen volgens verschillende criteria worden gerangschikt:
Volgens het materiaal
Loodaccumulator
Alkalische accu's
Volgens het gebruik
Startaccumulatoren
Tractie accumulatoren
Vaste accumulatoren
II.4.2.1.1 Loodaccumulatoren
De loodaccu bestaat uit een bak van een isolerend materiaal gevuld met verdund zwavelzuur,
waarin twee elektroden zijn ondergedompeld : de ene bestaat uit lood (Pb) (negatieve pool) en de
andere uit looddioxide (PbO2) (positieve pool)..
PbO2
Pb
+
_
H2SO4
De reactie die plaatsvond is omkeerbaar. Een ontladen loodaccu kan inderdaad opnieuw worden
opgeladen.
Eigenschappen van de loodaccumulator
De temperatuur: een verhoging van de temperatuur verhoogt de capaciteit. (Aangroei van 1%
per 0,01 °C boven de 25 °C)
Boven de 40 °C worden de platen te snel ingevreten.
In weinig opgeladen accu’s kan de elektrolyt bevriezen.
De veroudering: de scheikundige reacties bij het laden en ontladen wijzigt de kwaliteit van de
elektroden en dus vermindert bijgevolg de capaciteit.
Nullast: een accu die lang is opgeborgen zal zich traag ontladen. Wanneer de accu niet geregeld
wordt bijgeladen, kan er door sulfatering definitieve schade optreden. De sulfatering is zichtbaar
door de blauwe schimmel. Om de goede staat van een accu te bewaren moet ze op geregelde
tijdstippen worden bijgeladen.
Isolatie: De loodaccu moet in een geïsoleerde bak worden geplaatst. Die bak is meestal van
kunststof.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 17 / 115
Inwendige weerstand van een element
Hoe groter de capaciteit van een element, hoe kleiner de inwendige weerstand.
De inwendige weerstand van een element is zeer klein (ongeveer 0,001 ohm) .
Als de temperatuur stijgt, daalt de inwendige weerstand.
Accubatterij
Een accumulator levert slechts een e.m.k. E van  2V. Voor een industriële spanning van 6V –
12V – 24V – 72V , moeten meerdere elementen in serie worden geschakeld. Een dergelijke
groep heet een batterij.
Parallelschakeling van loodbatterijen
Er kunnen meerdere batterijen parallel worden geschakeld. Daardoor verhoogt de capaciteit.
Opgelet: de batterijen mogen nooit « rusten », (d.w.z. noch in lading of in ontlading) want er is
een eventuele stroom tussen de batterijen mogelijk zodat de ene in de andere ontlaadt. Dit is
nefast voor de batterijen.
Serieschakeling van loodbatterijen
Dit heeft tot doel de spanning te verhogen.
II.4.2.1.2 De alkalische accu’s
Er zijn verschillende types van alkalische accu’s.
Nikkel-Ijzer accumulator (Ni-Fe)
+
_
Bij een volledig geladen accu bestaat de positieve
elektrode uit nikkeloxide (NiO) en de negatieve
elektrode uit ijzer (Fe).
Fe
NiO
KOH
De elektrolyt is een oplossing van kaliumhydroxide
(KOH).
Cadmium-Nikkel accumulator (Ca-Ni)
+
_
Bij een volledig geladen accu bestaat de positieve
elektrode uit nikkeloxide (NiO) en de negatieve
elektrode uit cadmium (Ca).
NiO
Ca
KOH
De elektrolyt is een oplossing van kaliumhydroxide
(KOH).
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 18 / 115
II.4.2.2 Vergelijking tussen alkalische en loodaccumulator
II.4.2.2.1 Op het vlak van constructie
Alkalische accu's
mechanisch steviger (stalen bak) ;
relatief licht en klein volume ;
electrolyt zonder gevaar (KOH).
Lood accu's
minder stevig (plastieken bak) ;
relatief zwaar ;
gevaarlijk electrolyt (H2SO4).
II.4.2.2.2 Op het vlak van economie
Alkalische accu's
duurder (10 x prijs van een loodbatterij) ;
grotere levensduur (10 jaar) ;
eenvoudig onderhoud ;
regeneratie mogelijk ;
minder voorraadkosten.
Lood accu's
relatief goedkoop ;
levensduur van 2 à 3 jaar ;
ingewikkelder onderhoud ;
regeneratie onmogelijk ;
opslag op een droge plaats;
periodieke heroplading van gestockeerde batterijen
II.4.2.2.3 Op elektrisch vlak
Alkalische accu's
Lood accu's
gezien de kleine E.M.K.(1,2 V) is het
noodzakelijk verschillende elementen in serie te
de capaciteit hangt af van de ontlaadstroom ;
plaatsen om een industriële spanning te verkrijgen
;
beste kortsluit weerstand ;
de dichtheidsmeting van de electrolyt is bruikbaar
de dichtheid blijft konstant
om de staat van oplading te kontroleren.
II.4.2.2.4 Besluiten
De keuze van het type batterij hangt van diverse factoren af:




het doel van de accu: start-, noodbatterij enz. ;
het beschikbare personeel voor het onderhoud en de herstelling;
het beschikbare budget;
de vereiste capaciteit.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 19 / 115
II.4.2.3 Capaciteit
De hoeveelheid elektrische energie die een accu kan leveren wordt de capaciteit genoemd. Die
hoeveelheid wordt uitgedrukt in Ampère-uur (Ah).
Om de capaciteit van een accu te doen stijgen, volstaat het om grotere en meerdere platen te
nemen. Hierdoor stijgt de totale massa actief materiaal zodat meer scheikundige energie kan
worden omgezet.
C = I. t (Ampère-uren)
Waarbij: C = capaciteit [Ah];
I = stroomsterkte [A];
t = tijd [u].
II.5. DE WET VAN OHM, ARBEID EN VERMOGEN
II.5.1. DE WET VAN OHM
Een weerstand R en een ampèremeter A worden aangesloten op een accu (batterij).
V
+
_
S
0,7 A
A
Rtotale = 2 
R
De totale weerstand R van de kring bedraagt 2 .
Als we de schakelaar S sluiten, geeft de ampèremeter een stroomsterkte van 0,7 ampère (A) aan.
We plaatsen nu een voltmeter V op de twee klemmen van de accu en we meten een
potentiaalverschil (of spanning) van 1,4 V.
We stellen het volgende vast: 0,7 A. 2  = 1,4 V.
We vervangen de eerste weerstand door een andere zodanig dat de totale weerstand 4 
bedraagt.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 20 / 115
V
+
_
S
Rtotale = 4 
0,35 A
A
R
Als we de schakelaar S sluiten, geeft de ampèremeter een stroomsterkte aan van 0,35 A, want de
weerstand R is verdubbeld en dus is de stroom gehalveerd. De voltmeter wijst nochtans een
spanning U aan van 1,4 V.
II.5.1.1 Besluit
De stroomsterkte I die in een elektrische kring circuleert, is rechtstreeks evenredig met de
aangelegde spanning U en omgekeerd evenrelig met de weerstand R. Dit is de wet van
Ohm.
De stroomsterkte:
U
I
in ampère (A)
R
De spanning :
U = R. I in Volt (V)
De weerstand:
U
R
in Ohm ()
I
II.5.1.2 Oefeningen
1. Een spanningsbron van 100 V voedt een weerstand R van 100 V. Met een ampèremeter
meten we een stroomsterkte van 4 A. Hoe groot is deze weerstand?
2. Een spanningsbron van 1 kV voedt een weerstand van 0,1 k.
Welke stroom vloeit er door deze weerstand?
3. Een stroom van 0,1 kA stroomt door een weerstand van 1 m.
Welke spanning staat er over deze weerstand?
II.5.2. DE ARBEID ( W)
Wat is arbeid ?
De arbeid, geleverd door een elektrische stroom I, is gelijk aan het product van de spanning U
met de stroom I die door een gegeven punt gaat gedurende een bepaalde tijd t.
II.5.2.1 Formules
W = U. I. t
De eenheid van arbeid is de Joule.
arbeid = spanning x stroomsterkte x tijd = energie
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 21 / 115
Joule = Volt. Ampère. Seconde.
1 Joule = 1 V . 1 A . 1 s = 1 Ws (Wattseconde) = 1 Nm (Newtonmeter).
1 kWh (kilowattuur) = 1000 W . 3600 sec = 3600000 Nm.
Aangezien W = U . I . t en U = R . I, kunnen we afleiden dat:
W = R. I². t
II.5.2.2 Oefeningen
Hoeveel energie verbruikt een elektrisch vuurtje gedurende 6,5 uur en gevoed wordt met 230 V
en een stroom trekt van 6,9 A? (in Joule en in kWh)
Hoeveel arbeid levert een stroom van 6,9 A die een weerstand van 500  voedt gedurende 19
uur 36 minuten?
II.5.3. HET VERMOGEN P
Wat is vermogen ?
Het vermogen van een elektrische stroom is de arbeid die wordt geleverd per eenheid van tijd
II.5.3.1 Formules
P
Vermogen
W
 U.I  R.I 2
t
= arbeid / tijd ;
= energie / tijd ;
= spanning stroom ;
= weerstand (stroom) ².
De eenheid van vermogen is de Watt.
W
Joule
N.m

seconde
s
= Volt. Ampère
= Ohm. (Ampère)².
Het stroomverbruik wordt door de teltoestellen aangegeven in wattuur of in kilowattuur (kWhteller).
Bijgevolg wordt de verbruiksprijs van de stroom altijd berekend aan de hand van de arbeid van
een toestel.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 22 / 115
0,5 A
120 V
Aprиs 1h
60
60 W
Wh
We hebben een lamp met een vermogen van 60 W aangesloten op een spanning van 120 V. Na
één uur staat op de teller het cijfer 60, m.a.w. er is na dit uur een energieverbruik van 60 Wh.
De stroomsterkte door de lamp bedraagt:
I
60 W
P

 0,5 A
U 120 V
Deze lamp verbruikt 30 Wh per half uur, 60 Wh per uur, 120 Wh per 2 uur, 180 Wh per 3 uur
enz.
II.5.3.2 Oefeningen
Een stroom van 5 A stroomt door een weerstand van 7 . Hoeveel stroom is er verbruikt na 3,8
uur? Hoeveel vermogen heeft die weerstand? Na hoeveel tijd is er 26 kWh verbruikt?
Een elektrisch vuurtje heeft een vermogen van 3000 W en wordt gevoed op 230 V. Indien 1 kWh
4,6 BEF kost, hoeveel kost het dan om 12 uur te verwarmen? Hoeveel stroom trekt dit
elektrische vuurtje? Hoeveel bedraagt de weerstand van dit vuurtje?
Een lamp van 100 W blijft een gans jaar branden (24h/24h en 365 dagen). Die lamp wordt
gevoed met een spanning van 230 V. Wat is het stroomverbruik? Wat is de weerstand van die
lamp? Wat is de kostprijs als één kWh 0,16 € kost?
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 23 / 115
II.6. DE SCHAKELING VAN WEERSTANDEN
II.6.1. PRINCIPE
Vermits er een analogie bestaat tussen elektrische kringen en hydraulische circuits, gaan we nu
dieper in op de overeenkomsten tussen beide kringen.
II.6.1.1 Serieschakeling
Hydraulische kring
Elektrische kring
L1
R1
L2
T1
R2
T2
+
_
+
_
Pompe
Twee turbines T1 en T2 zijn achter elkaar op
dezelfde leiding gemonteerd. Het water komende
uit het reservoir moet eerst de weerstand van de
turbine T1 overwinnen alvorens de turbine T2
wordt bereikt, waar een nieuwe weerstand zich
tegen de waterstroom verzet.
De elektrische stroom, geleverd door de accu
moet eerst door de lamp L2 vloeien, waar hij een
weerstand ondervindt voor hij de lamp L1 bereikt,
waar hij een nieuwe weerstand ondervindt om
vervolgens naar de negatieve klem van de accu te
stromen.
Wanneer het gloei-element van één van de twee
lampen zou doorbranden, zal het andere niet
beginnen branden omdat er geen elektrische
stroom meer is, want de kring is onderbroken.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 24 / 115
II.6.1.2 Parallelschakeling
Hydraulische kring.
Elektrische kring.
L1 L2
R1
T1
R2
T2
+
_
+
_
Pompe
De watertoevoerleiding van het reservoir vertakt
zich in twee leidingen. In elke tak is er een
turbine opgesteld.
De waterstroom van het reservoir verdeelt zich
voor de turbines in twee. Een gedeelte loopt door
de turbine T1 terwijl het andere gedeelte door de
turbine T2 stroomt.
Het opwaartse waterdebiet is gelijk aan het
afwaartse waterdebiet.
De elektrische stroom, geleverd door de accu,
verdeelt zich in het scheidingspunt. Een deel van
de stroom gaat door de lamp L1 terwijl het andere
deel door de lamp L2 vloeit.
Wanneer één van de lampen doorbrandt blijft de
andere lamp branden omdat zijn kring gesloten
blijft.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 25 / 115
II.6.1.3 Serie-parallelschakeling
Hydraulische kring.
Elektrische kring.
L3
L2
R2
R3
T1
L1
R1
T2
T3
+
_
+
_
Pompe
Het water van het reservoir voedt de turbine T1.
Aan de uitgang van de turbine T1 vertakt de
leiding zich in twee leidingen. Op elke tak is er
een turbine opgesteld.
De elektrische stroom, geleverd door de accu
stroomt eerst door de lamp L1 en verdeelt zich
vervolgens om de twee lampen L2 en L3 te
voeden.
Het water zal eerst door de turbine T1 stromen
waar het een weerstand zal ondervinden.
Vervolgens zal de waterstroom zich verdelen om
de turbines T2 en T3 te voeden.
De stroomsterkte die door de lamp L1 vloeit is
gelijk aan de som van de stroomsterkten van de
lampen L2 en L3.
Het waterdebiet dat door de turbine T1 gaat, is
gelijk aan de som van de waterdebieten die door
de turbines T2 en T3 gaan.
Indien het gloei-element van de lamp L1 zou
doorbranden, doven de lampen L2 en L3
eveneens. Wanneer echter één van de gloeidraden
van de lampen L2 of L3 zou doorbranden, blijven
de twee andere lampen nog branden.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 26 / 115
II.6.2. BEREKENING VAN DE TOTALE WEERSTAND
II.6.2.1 Serieschakeling
R1
R2
UR1
UR2
I
R3
UR3
U
Gegevens:
We nemen bijvoorbeeld een elektrische kring bestaande uit een serieschakeling van 3
weerstanden (R1, R2 en R3) die worden gevoed door een spanning U.
We nemen een voorbeeld : R1 = 3 , R2 = 5  , R3 = 7  en de spanning U = 90 V.
Bereken :



de totale weerstand van de kring;
de stroomsterkte I die door die kring vloeit;
de spanningsvallen aan de klemmen van de weerstanden.
Oplossing:
Berekening van de totale weerstand:
In feite willen we een ingewikkelde elektrische kring vervangen door een gelijkwaardige
elektrische kring waarin de gelijkwaardige weerstand (totale weerstand) Rt dezelfde uitwerking
heeft als de 3 weerstanden in de eerste elektrische kring
Rt
I
URt
U
We zien onmiddelijk dat Rt = R1 + R2 + R3
De vervangingsweerstand heeft dus een waarde van: Rt = 3 + 5 + 7 = 15 .
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 27 / 115
Berekening van de stroomsterkte I van de kring:
Met de wet van Ohm kunnen we de stroomsterkte I in de kring bepalen:
I
U 90 V

6A
R t 15 
De stroom van 6 A gaat eerst door R1, daarna door R2 en vervolgens door R3.
Berekening van de spanningsvallen over de klemmen van elke weerstand :
We hebben vastgesteld dat een stroom van 6 A door elke weerstand vloeit en dus kunnen we de
spanningsval aan de klemmen van elke weerstand bepalen :
Voor de weerstand R1: UR1 = 6A . 3 = 18 V;
Voor de weerstand R2: UR2 = 6A . 5 = 30 V;
Voor de weerstand R3: UR3 = 6A . 7 = 42 V.
We stellen het volgende vast: U = 90V = UR1 + UR2 + UR3 = URt ; met URt = Rt . I.
Conclusies :



de vervangingsweerstand bij een serieschakeling is de som van de individuele
weerstanden.
door de verschillende weerstanden van een serieschakeling vloeit éénzelfde
stroomsterkte;
een serieschakeling werkt alleen als er een spanningsbron is aangelegd.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 28 / 115
II.6.2.2 Parallelschakeling
I1
R1
UR1
I2
R2
UR2
I
U
Gegevens:
We beschouwen een elektrische kring bestaande uit een parallelschakeling van 2 weerstanden
(R1 en R2) die worden gevoed door een spanning U
V.b.: R1 = 20 , R2 = 30 
U = 120 V.
Bereken:



de totale weerstand van de kring;
de stroomsterkten I, I1 en I2;
de spanningsvallen aan de klemmen van de weerstanden
Oplossing:
Berekening van de totale weerstand:
In feite willen we een ingewikkelde elektrische kring vervangen door een gelijkwaardige
elektrische kring waarin de vervangingsweerstand (totale weerstand) Rt dezelfde uitwerking
heeft als de 2 weerstanden in de oorspronkelijke elektrische schakeling.
Rt
I
URt
U
I
U
Rt
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
met:
I1 
U
R1
;
I2 
U
R2
16.02.2006
- Blz. 29 / 115
en I = I1 + I2.
 1
1 
1
  U.
I  U.

Rt
 R1 R 2 
R  R2
1
1
1


 1
R t R1 R 2
R 1 .R 2
De vervangingsweerstand R t 
R1 . R 2
20 . 30

 12 
R 1  R 2 20  30
Berekening van de stromen I, I1 et I2:
De totale stroom I kan worden berekend met de de wet van Ohm: I 
I
U
Rt
120 V
 10 A
12 
De totale stroom I = 10A gaat zich opsplitsen in twee deelstromen I1 en I2.
I1 
120 V
6A
20 
; I2 
120 V
4A
30 
Berekenen van de spanningsval over de klemmen van elke weerstand:
Bij een parallelschakeling van twee weerstanden is de spanningsval aan de klemmen van die
twee weerstanden dezelfde.
UR1 = UR2 = URt = U = 120 V.
Conclusies:
De vervangingsweerstand bij een parallelschakeling is gelijk aan het product van de weerstanden
gedeeld door de som van de weerstanden.
In geval van meerdere weerstanden is het omgekeerde van de vervangingsweerstand gelijk aan
de som van de omgekeerde weerstanden:
1
1
1
1



 ...
Rt
R1 R 2 R 3
;
De vervangingsweerstand is kleiner dan de kleinste weerstand van de kring.
De spanning aan de klemmen van elke tak van de parallelschakeling is gelijk;
Voor de werking van een parallelschakeling is een stroombron vereist.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 30 / 115
II.6.2.3 Serie-parallelschakeling
I1
I2
R1
UR1
R3
R2
UR3
UR2
I
U
Gegevens:
We nemen bijvoorbeeld een elektrische kring bestaande uit een serie-parallelschakeling van 3
weerstanden (R1, R2 en R3) die worden gevoed door een spanning U.
v.b. : R1 = 20  ;, R2 = 30  ; R3 = 8
U = 240 V.
Bereken:
de totale weerstand van de kring;
de stroomsterkten I, I1 en I2 ;
de spanningsvallen aan de klemmen van de weerstanden
Oplossing:
Berekening van de totale weerstand:
In feite willen we een ingewikkelde elektrische kring vervangen door een gelijkwaardige
elektrische kring waarin de vervangingsweerstand (totale weerstand) Rt (Rt = Rp + R3) dezelfde
uitwerking heeft als de 3 weerstanden in de oorspronkelijke elektrische kring.
RP
R3
URP
I
Rp 
R1 . R 2
20 . 30

 12 
R 1  R 2 20  30
UR3
U
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 31 / 115
Rt = Rp + R3 = 12 + 8 = 20 .
De vervangingsweerstand Rt = 20 .
Berekening van de stroomsterkten I, I1 et I2 :
Met de wet van Ohm kunnen we de stoom I berekenen: I 
I
U
Rt
240 V
 12 A
20 
De stroom I gaat zich opsplitsen in twee deelstromen I1 en I2. Om de stromen I1 en I2 te
berekenen moet rekening worden gehouden met de door weerstand R3 opgewekte spanning.
I1 
U R1 U  U R3 240  (12 . 8)


 7,2 A
R1
R1
20
I2 
U R2 U  U R3 240  (12 . 8)


 4,8 A
R2
R2
30
Berekening van de spanningsval over de klemmen van elke weerstand:
Nu we alle stromen kennen kunnen we de spanningsvallen aan de klemmen van de verschillende
weerstanden berekenen.
UR1 = I1. R1 = 7,2. 20 = 144 V
UR1 = UR2 want de twee weerstanden R1 en R2 zijn parallel geschakeld.
UR2 = I2. R2 = 4,8. 30 = 144 V
UR3 = I3. R3 = 12. 8 = 96 V = U - UR1 = U - UR2.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 32 / 115
II.6.2.4 Oefeningen
Bereken de vervangingsweerstand en alle stromen en spanningsvallen van de onderstaande
elektrische kring:
U = 300 V ; R1 = 10  ; R2 = 20  ; R3 =30  ; R4 = 40  ; R5 = 50 .
I1
R1
I
R2
I2
R3
I3
R4
U
R5
Bereken de vervangingsweerstand en alle stromen en spanningsvallen van de onderstaande
elektrische kring:
U = 500 V en alle weerstanden hebben dezelfde waarde 10 .
I1
R1
R2
I
R3
I2
R4
I3
U
R6
I4
R7
R5
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 33 / 115
II.7. WETTEN VAN KIRCHOFF
Er zijn twee wetten van Kirchoff: de knooppuntenwet en de luswet.
De knooppunten wet: In elk knooppunt van een elektrisch circuit is de algebraïsche som van de
stromen gelijk aan nul. Er kan zich inderdaad geen stroom ophopen in een knooppunt.
De luswet: in een lus van een elektrische kring is de spanning tussen twee punten onafhankelijk
van de gevolgde weg. In een gesloten lus is de som van alle emk’s en spanningsvallen gelijk aan
nul.
Om deze twee wetten uit te leggen zullen we een oefening maken.
20V
10
30V

60V


20V


Gegevens: De bovenstaande elektrische kring bestaat uit meerdere spanningsbronnen en
meerdere weerstanden. Die oefening is alleen op te lossen met de wetten van Kirchoff.
Gevraagd: Bereken de sterkte van de stromen in elke tak van deze kring.
Oplossing: De elektrische kring bestaat uit 3 takken en bezit twee knooppunten A en B.
Voor elke tak bepalen we een willekeurige stroomzin.
20V
10
Branche 1

I1
Branche 2
I2
A
30V
60V


B
I3
20V


Branche 3
In een willekeurig knooppunt (A of B) passen we dan de eerste wet van Kirchoff toe d.w.z. de
knooppuntenwet.
We gaan bijvoorbeeld in knooppunt A de knooppuntenwet toepassen:
knooppunt A : I1 + I2 = I3.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 34 / 115
(de som van de stromen die naar een knooppunt toevloeien = som van de stromen die van dat
knooppunt wegvloeien)
We hebben dus een vergelijking met drie onbekenden. We hebben dus nog twee vergelijkingen
nodig om dit vraagstuk op te lossen.
We gebruiken de luswet om twee bijkomende vergelijkingen te hebben.
In het elektrische circuit zien we duidelijk dat de drie takken drie lussen vormen. We nemen er
twee.
We moeten nu willekeurige omloopzinnen kiezen voor deze lussen om de wet van Kirchoff toe
te passen
20V
10
Branche 1

Maille 1
I1
Branche 2
I2
A
30V
60V

I3

B
Maille 2
20V


Branche 3
De omloopzin van lus 1 werd in wijzerzin gekozen. We vertrekken van punt A naar punt B via
tak 1 en dan via tak 2 terug naar het startpunt A. Een spanningsval of een spanningsbron wordt
opgenomen met een plusteken als hij meewerkt aan de opbouw van de lus.
Lus 1: -20 –60 +30 = 10.I1 + 20.I1 – 40.I2 - 25.I2
-50 = 30.I1 – 65.I2.
De omloopzin van lus 2 werd in wijzerzin gekozen. We vertrekken van punt A naar punt B via
tak 2 en dan via tak 3 terug naar het startpunt A. Een spanningsval of een spanningsbron wordt
opgenomen met een plusteken als hij meewerkt aan de opbouw van de lus.
Lus 2: - 30 + 60 + 20 = 25.I2 + 40.I2 + 40.I3 + 60.I3
50 = 65.I2 + 100.I3
We hebben nu 3 vergelijkingen met drie onbekenden. Dus kunnen we dit vraagstuk oplossen.
Vergelijking 1: I1 + I2 = I3.
Vergelijking 2: -50 = 30.I1 – 65.I2.
Vergelijking 3: 50 = 65.I2 + 100.I3.
We stoppen nu I1 in functie van I2 in de vergelijking 2: I1 = (65.I2 – 50) / 30 (vergelijking 4)
We stoppen I3 in functie van I2 in de vergelijking 3: I3 = ( - 65.I2 + 50) / 100 (vergelijking 5)
Als we in vergelijking 1 vervangen 1: (65 I2 –50)*100 + I2 100*30 = (-65 I2 + 50) * 30
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 35 / 115
(6500 + 3000 + 1950) I2 = 5000 + 1500
I2 = 6500 / 11450 = 0,567 A
Daaruit, van de vergelijking 4, vinden we
I1 = (65 * 0,567 –50) / 30 = - 0,436 A
En van de vergelijking 1
I3 = I1 + I2 = – 0,436 + 0,567 = 0,131 A
We vinden dus :
I1 = -0,436 A ;
I2 = 0,567 A ;
I3 = 0,131 A.
We merken op dat de stroom I1 negatief is. In feite heeft de stroom I1 een sterkte van 0,436 A,
maar in omgekeerde zin.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 36 / 115
II.8. HET JOULE EFFECT DOOR ELEKTRISCHE STROOM
II.8.1. HET JOULE EFFECT
Proef
We nemen een regelbare weerstand R die verbonden is
aan de klemmen van een stroombron. We verplaatsen de
contactborstel B zodanig dat de weerstand R volledig
door de stroom wordt doorlopen.
B
R
A
De ampèremeter geeft een stroomsterkte aan van 1 A.
We stellen vast dat de weerstand R na een zekere tijd
warm wordt.
V
We verschuiven de contactborstel B naar het midden van
de weerstand R, de stroomsterkte bedraagt nu 5 A.
B
R
We stellen vast dat het gedeelte van de weerstand R, die
door de stroom wordt doorlopen, na een bepaalde tijd
gloeiend wordt.
A
V
We verschuiven nu de borstel B naar het uiteinde van de
weerstand. De stroom doorloopt nog maar een klein
gedeelte van de weerstand en bedraagt nu 10A.
B
R
Fusion
Na een bepaalde tijd wordt dit gedeelte van de
weerstand hevig gloeiend en smelt.
A
V
Besluit:
Een geleider waar een elektrische stroom doorheen vloeit, wordt warm. Dit verschijnsel
wordt het joule-effect genoemd.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 37 / 115
II.8.2. WARMTEHOEVEELHEID
De hoeveelheid warmte die wordt voortgebracht door een elektrische stroom in een geleider
hangt af van:
 de stroomsterkte;
 de aard van de geleider, dus van de weerstand;
 de duur van de stroomdoorgang.
II.8.3. BEREKENING VAN DE WARMTEHOEVEELHEID
Om de warmtehoeveelheid als gevolg van het Joule-effect te berekenen moet de waarde van de
drie hierboven genoemde factoren gekend zijn: stroomsterkte, weerstand en tijdsduur.
We zoeken de voortgebrachte arbeid en passen de volgende formule toe:
arbeid (W) = spanning (U) . stroomsterkte (I) . tijd (t).
of
W = R . I² . t
II.8.4. SPANNINGSVAL
In de nevenstaande figuur zien we dat de
klemspanning U aan de klemmen van de dynamo
D gelijk is aan 24 V.
De voltmeter V echter, geschakeld aan de
klemmen van de motor M, wijst een spanning U
aan van 22,8 V.
De ampèremeter geeft een stroomsterkte aan van
4 A.
4A
A
22,8 V
24 V
V
V
D
M
Er bestaat dus een spanningsverschil tussen de stroombron en de verbruiker. Dit verschijnsel
noemt men: “spanningsval in de geleiders”.
De spanningsval hangt af van de weerstand van de geleiders. Hoe groter de weerstand, hoe groter
de spanningsval.
Daaruit volgt een vermogensverlies in de geleiders dat wordt omgezet in warmte.
Het door de dynamo geleverde vermogen bedraagt: 24 V. 4 A = 96 W;
Het door de motor ontwikkelde vermogen bedraagt: 22,8 V. 4 A = 91,2 W;
Het vermogenverlies = 96 W – 91,2 W = 4,8 W.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 38 / 115
II.8.5. WARMTEPRODUCTIE IN DRAAIENDE MACHINES
De productie van warmte is een algemeen verschijnsel in toestellen die door elektrische stroom
worden doorlopen.
In bepaalde toestellen zoals verwarmings- en kooktoestellen gloeilampen enz. is de warmte door
het Joule-effect gewenst en nuttig.
In andere verbruikers (draaiende machines), is het Joule-effect schadelijk en dikwijls oorzaak
van defecten. Het joule-effect begrenst het vermogen van elektrische motoren. Het normale
vermogen van een elektrische motor is het vermogen dat hij kan ontwikkelen zonder de
toegelaten temperatuurgrens te overschrijden omdat er anders schade kan optreden.
Voor een groter vermogen moet inderdaad de stroomsterkte worden opgedreven. Hierdoor zal de
temperatuur zodanig stijgen dat er gevaar bestaat dat de isolerende stoffen, het vernis en hars
rond de geleiders verkolen. Op die manier kan de motor defect geraken: de wikkelingen kunnen
immers doorbranden.
De temperatuur van een gewone elektrische motor mag nooit 80°C overschrijden.
De generatoren en motoren zijn in het algemeen voorzien van een ventilator die een luchtstroom
zendt over de windingen om de temperatuur onder de maximumgrens te houden.
De ventilator kan ingebouwd zijn ofwel een afzonderlijk orgaan vormen.
II.8.6. DE KORTSLUITING
We verbinden twee draden met een verschillende
potentiaal door middel van een koperen staaf.
24 V
V
We stellen vast dat de geleider zeer snel gloeiend
wordt en smelt
We hebben een kortsluiting veroorzaakt, d.w.z. dat de weerstand, in ons geval een lamp,
overbrugd is. De stroomsterkte in de geleider wordt zodanig groot dat hij smelt.
Fil trиs fin
We plaatsen een zeer dun draadje in de kring.
We herhalen de proef en stellen vast dat het
draadje onmiddellijk smelt, terwijl onze geleiders
ongedeerd blijven.
24 V
V
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 39 / 115
Besluiten
Het dunne draadje beveiligt de kring. Bijgevolg wordt de kring bij onvoorziene en gevaarlijk
hoge stroomsterkten door het smelten van die draad automatisch onderbroken.
Alle elektrische kringen moeten van een veiligheidstoestel voorzien zijn om
beschadiging en brand te voorkomen.
In de praktijk vinden we de onderstaande veiligheidstoestellen:

smeltveiligheden bestaande uit een gekalibreerde draad van zilver of koper. Deze draad
wordt in een isolerend draagstuk geplaatst;

de thermische veiligheidsschakelaars die via een bimetaal openen wanneer een bepaalde
temperatuur wordt bereikt;

magnetische veiligheidsschakelaars, die openen als de stroom (en de magnetische kracht)
een bepaalde waarde bereiken.
II.8.7. DE SCHAKELAARS
Om de stroom op een gemakkelijke wijze en willekeurig in- of uit te schakelen, wordt een
beweegbaar gedeelte in de stroomkring geplaatst. Dit toestel wordt schakelaar genoemd.
Sommige schakelaars onderbreken de kring op één plaats. Ze zijn
éénpolig.
Andere schakelaars onderbreken gelijktijdig de twee draden naar
éénzelfde toestel. Ze zijn tweepolig.
Eenpolig
Tweepolig
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 40 / 115
II.9. MAGNETISERING DOOR DE STROOM
II.9.1. MAGNETISCH VELD OPGEWEKT DOOR HET VLOEIEN VAN STROOM IN EEN GELEIDER
Wanneer een stroom door een geleider vloeit, ontstaat er rond de geleider een magnetisch veld.
Om dit verschijnsel aan te tonen, plaatsen we bij een stroomvoerende geleider een magneetnaald
Als er stroom vloeit door de geleider, probeert de magneetnaald zich haaks op de
stroomvoerende draad te plaatsen. Als de stroom in de draad omkeert verandert eveneens de
richting van de magneetnaald. De magneetnaald wijkt ook verschillend uit naargelang ze onder
of boven de draad wordt geplaatst.
Om de noordpool van het magneetveld te bepalen gebruiken we de rechterhandregel: We houden
de palm van de rechterhand evenwijdig met en boven de stroomdraad, zodat de stroom langs de
pols naar binnen gaat om langs de vingers uit te treden; de noordpool van het veld is bepaald
door de richting van de uitgestoken duim.
De magneetnaald (permanente magneet) wordt beïnvloed door het magnetische veld van de
stroomvoerende draad. Dit magnetische veld heeft een bepaalde sterkte, de magnetische
veldsterkte H.
II.9.2. VORM VAN HET MAGNETISCHE VELD EN VELDSTERKTE H VAN STROOMVOERENDE
RECHTE GELEIDERS
Het magnetische veld van een rechtlijnige
geleider bestaat uit concentrische cirkels met
als middelpunt de stroomvoerende geleider.
Die vorm kan worden aangetoond met de
volgende proef.
I
I
We steken een geleider door een stuk karton en zorgen ervoor dat het karton mooi loodrecht op
de stroomdraad staat. We strooien nu op het karton ijzervijlsel en voeden de elektrische geleider
via een spanningsbron.
Zodra de stroom vloeit zien we dat het ijzervijlsel zich schikt in concentrische cirkels. Het
ijzervijlsel geeft een beeld van het magnetische veld.
De zin van het magnetische veld wordt aangetoond met de rechterhandregel ofwel de regel van
de kurkentrekker.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 41 / 115
Om de sterkte van het magnetische veld te bepalen kunnen we de volgend proef doen.
We nemen een horizontaal geplaatst stuk karton en steken er een geleider door. We laten een
stroom van 1A vloeien en naderen de geleider langzaam met een kompasnaald. Zodra deze
uitwijkt, meten we de afstand van naald tot geleider.
Vervolgens vervangen we de enige geleider door
een bundel van 3 draden en houden de
kompasnaald op dezelfde afstand. We starten
vanaf 0 en drijven de stroomsterkte langzaam op
tot de magneetnaald begint uit te wijken. Dat
gebeurt al bij een stroomsterkte van 0,33 A
Daaruit besluiten we dat de veldsterkte (H) afhangt van het aantal draden (n), van de
stroomsterkte (I) en de afstand (l).
We kunnen dus de volgende formule schrijven : H 
n .I

(eenheid : A/m).
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 42 / 115
II.9.3. MAGNETISCH VELD VAN EEN STROOMVOERENDE SPOEL
Wat is een spoel ?
Als we een rechtlijnige geleider plooien in de vorm van een cirkel krijgen we een cirkelvormige
stroomgeleider.
Op de nevenstaande figuur ligt de noordpool van deze
spoel aan de achterzijde en de zuidpool aan de
voorzijde. Wanneer we de kurkentrekker draaien in de
zin van de stroom dan gaat de kurkentrekker in het
blad naar achter. We merken dus op dat de
kurkentrekker in de zin van de noordpool gaat.
Conclusies :


binnen een spoel (magneet) gaan de veldlijnen van zuid naar noord;
buiten een spoel gaan de veldlijnen van noord naar zuid.
Wanneer de geleider spiraalvormig is opgewonden, hebben we een solenoïde (of spoel). De zin
van het magnetische veld wordt aangetoond met de rechterhandregel ofwel de regel van de
kurkentrekker.
Opmerking :
We kunnen de bovenstaande figuren vervangen door de
nevenstaande figuur, waarin de stroomzin is weergegeven
door een cirkel met ofwel een kruis of een punt erin. Een
kruis betekent dat de stroom in het blad vloeit; een punt
daarentegen dat de stroom uit het blad vloeit.
N
Conclusies :



Hoe sterker de stroom door een spoel, hoe sterker het magnetische veld;
Hoe meer windingen de spoel heeft, hoe sterker het magnetische veld;
Hoe groter de diameter van de spoel, hoe zwakker het magnetisch veld.
S
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 43 / 115
II.9.4. MAGNETISERING VAN IJZER EN STAAL
Proeven
We voeren de volgende proeven uit:
We sturen een stroom door een spoel en merken de
polen met een magneetnaald. We plaatsen een staaf
weekijzer in de spoel. We stellen vast dat de staaf
magnetisch is geworden.
Met de magneetnaald vinden we dezelfde polen als deze van de spoel. De spoel is de
“magnetiserende spoel” en de staaf vormt de kern. Als we de stroom onderbreken blijft de staaf
weekijzer nog een weinig magnetisch. Hij trekt nog lichtjes ijzervijlsel aan en doet de
magneetnaald nog altijd uitwijken.
Dit verschijnsel is te wijten aan het remanent magnetisme.
Als we dezelfde proef doen met een staaf van
gehard staal stellen we vast dat de staaf sterk
gemagnetiseerd blijft. Die staaf is dus een
permanente magneet geworden.
Gehard staal heeft een veel groter remanent magnetisme dan weekijzer.
II.9.4.1 Magnetische eigenschappen van een stof
De magnetische inductie B ( eenheid = Tesla (T)).
B = µ. H met: H = magnetische veldsterkte (A/m);
µ = magnetische doorlaatbaarheid (hangt af van de stof).
We kunnen de magnetische inductie B in feite vergelijken met het aantal veldlijnen dat door de
stof wordt doorgelaten.
Om het remanent magnetisme uit te leggen gebruiken we de hysteresislus.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 44 / 115
In feite kunnen we de moleculen in een niet-gemagnetiseerde stof beschouwen als kleine
magneetjes die ordeloos door elkaar liggen en dus geen resulterend veld hebben.
Wanneer we deze stof in een magnetisch veld (een spoel) brengen dan richten deze kleine
magneten zich volgens de richting van het magnetisch veld. Wanneer alle magneetjes gericht
zijn volgens dit uitwendig veld dan spreken we van magnetische verzadiging .(op de BH-curve is
dit het punt Bm)
Wanneer we nu het uitwendig veld wegnemen (stroom door spoel is 0) zien we dat, in geval van
een ijzeren staaf, de staaf nog magnetisch blijft. Dit komt omdat niet alle magneetjes terug
ordeloos door elkaar liggen maar dat er nog een grote hoeveelheid van deze magneetjes gericht
blijft volgens het oorspronkelijk aangelegde magnetische veld.
Als we de remanente inductie willen opheffen moeten we een magnetisch veld in de andere
richting aanleggen. De sterkte van dit veld heet coërcitieve veldsterkte (Hc).
De magnetische flux  (eenheid = Weber (W))
De magnetische inductieflux  door een oppervlakte (S) loodrecht op de magnetische inductie
wordt gegeven door de formule:
=B.S
Indien de oppervlakte S niet loodrecht staat op de magnetische inductie wordt de formule:
 = B . S . cos 
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 45 / 115
II.9.5. WIJZIGING EN VERDELING VAN DE KRACHTLIJNEN IN EEN SPOEL
Bij een enkele spoel lopen de krachtlijnen door het inwendige van de spoel en door de lucht zoals
voorgesteld op de onderstaande figuur.
S
Als we nu een ijzeren staaf in de spoel plaatsen,
bundelen de krachtlijnen zich samen om door de
ijzeren staaf te gaan. De krachtlijnen gaan dus
gemakkelijker door ijzer dan door de lucht. We
zeggen dus dat ijzer een grotere permeabiliteit
heeft dan lucht.
N
Solйnoпde
fer doux
II.9.6. VERSTERKING VAN HET MAGNETISCH VELD VAN EEN SPOEL
Plaatsen we een spoel (zonder weekijzeren kern) in de nabijheid van een kompasnaald. De naald
wordt op een zodanige afstand geplaatst dat de stroomdoorgang in de spoel haar amper doet
bewegen.
Plaatsen we nu een weekijzeren
kern in de spoel. We stellen nu
vast dat de magneetnaald veel
verder uitwijkt.
Besluit:
Als een weekijzeren kern in een inwendig magnetisch veld van een spoel wordt geplaatst,
doet het ijzer het veld wijzigen en de magnetische veldsterkte verhogen.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 46 / 115
II.10. DE ELEKTROMAGNETEN
II.10.1. SAMENSTELLING
Een elektromagneet is samengesteld uit één of meer spoelen van
koperdraad met een weekijzeren kern. Als de spoel met een
stroom wordt doorlopen zeggen we dat ze “bekrachtigd is”.
S
N
II.10.2. EIGENSCHAPPEN
De elektromagneten hebben twee bijzondere eigenschappen:
- de magnetisering is tijdelijk. Ze ontstaat en verdwijnt met de stroom;
- de aantrekkingskracht is groter dan bij permanente magneten.
II.10.3. VORMEN
De elektromagneten hebben diverse vormen
II.10.4. INDUCTOREN VAN DYNAMO’S, ALTERNATOREN EN MOTOREN
De inductoren van elektrische machines zijn zware elektromagneten.
In gelijkstroomdynamo’s en -motoren zijn de elektromagneten vast, terwijl ze meestal draaiend
zijn in de alternatoren. De inductoren zorgen voor de opwekking van het magnetisch veld (flux
Φ) in de machines die we later zullen bestuderen.
II.10.5. INVLOED VAN EEN UNIFORM MAGNETISCH VELD OP EEN ELEKTRISCHE STROOM
Proeven
Beschouwen we een koper draad A-B die opgehangen is
aan de uiteinden van twee lijnen (geleiders) die onder
stroom staan.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 47 / 115
We plaatsen die geleider in een hoefijzermagneet en voeden
de geleider zoals op de nevenstaande figuur: nu stellen we
vast dat de geleider A-B zich verplaatst naar de positie A’B’. De geleider wordt dus naar buiten geduwd. De geleider
wordt aan een elektromagnetische kracht onderworpen. Op
dit principe is de elektrische motor gebaseerd.
Als we nu de stroomzin omkeren maar de magneet in
dezelfde zin behouden, zien we dat de stroomvoerende
draad in de hoefijzermagneet wordt aangezogen. We stellen
dus vast dat de kracht omgekeerd is.
Als we de oorspronkelijke stroomzin in de draad nemen maar we
draaien de magneet om dan zien we dat de richting van de kracht
omgekeerd is aan de oorspronkelijke.
Als we de stroomsterkte verhogen stellen we vast dat de verplaatsing groter is. Hetzelfde gebeurt
als de magneet krachtiger is.
Besluit
Elke stroomvoerende geleider (I) die in een magnetisch veld B is geplaatst, is aan een
elektromagnetische kracht onderworpen. De grootte van die kracht wordt uitgedrukt in de
volgende formule:
F = B. . I.
waarbij :
B = magnetische inductie;
 = lengte van de geleider in het magnetisch veld ;
I = stroomsterkte.
De zin van de kracht wordt aangetoond met de regel van de drie vingers van de linkerhand:
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 48 / 115
II.10.6. INDUCTIE VERSCHIJNSEL
II.10.6.1 Inductie verschijnsel met een permanente magneet
Beschouwen we een opstelling die bestaat uit een
spoel, gekoppeld aan een galvanometer. De
galvanometer wijst 0 aan omdat er geen EMK in de
kring bestaat.
Als we de spoel met de noordpool van een
staafmagneet naderen, wijkt de naald naar de één of
andere richting uit. Als de magneet niet meer
beweegt, gaat de naald van de meter terug naar 0.
Er wordt dus enkel spanning in de spoel opgewekt als de magneet wordt verplaatst.
Zodra de naald op nul is gekomen trekken we de magneet uit de spoel. De naald wijkt opnieuw
uit, maar in tegenovergestelde zin.
De zin van de opgewekte spanning hangt af van de zin van de verplaatsing.
Nu keren we de magneet om en naderen met de zuidpool. We krijgen opnieuw een uitwijking
van de naald maar de zin van de opgewekte spanning is tegenovergesteld.
Besluit
In een gesloten kring wordt een spanning opgewekt wanneer de kring zich relatief
verplaatst t.o.v. het magnetisch veld van de magneet. De opgewekte spanning wordt
inductiespanning genoemd.
II.10.6.2 Inductie verschijnsel met elektromagneet
Als we de permanente magneet vervangen door
een elektromagneet doen zich dezelfde
verschijnselen voor.
Door een spoel te verplaatsen wordt een
spanning geïnduceerd in de andere spoel.
inducerende spoel
geinduceerde spoel
Door de stroomsterkte in de inducerende spoel te vermeerderen of te verminderen ontstaat er ook
een spanning in de geïnduceerde spoel. Hetzelfde geldt als de spanning van de inducerende spoel
wordt opgewekt of vernietigd.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 49 / 115
Algemeen besluit:
In een gesloten kring ontstaat een inductiespanning als de magnetische flux, die er door gaat,
verandert. De verandering van flux kan worden veroorzaakt door de verplaatsing van een
magneet (of elektromagneet) alsook door de verandering van de stroomsterkte van de
inducerende spoel van een elektromagneet.
De zin van de stroom die vloeit t.g.v. een inductiespanning is steeds tegengesteld aan de stroom
die hem doet ontstaan (Wet van Lenz).
II.10.6.3 Wet van Lenz
Wanneer een geleider beweegt met een constante
snelheid in een uniform magnetisch veld, ontstaat
in die geleider een elektromotorische kracht E.
Sens du courant induit.
N
Dйplacement
S
We kunnen bijgevolg besluiten dat:
Wanneer de inductieflux doorheen een kring verandert, dan wordt die kring de zetel van
een elektromotorische kracht, inductie genoemd, die zich gaat verzetten tegen de
fluxverandering.
De waarde van de elektromotorische kracht kan worden bepaald aan de hand van onderstaande
formule:
E = B. . v.
waarbij :
B = magnetische inductie ;
 = lengte van de geleider ;
v = snelheid van de geleider.
De richting en zin van de elektromotorische kracht wordt bepaald met de regel van de drie
vingers van de rechterhand:
Het ontstaan van een elektromotorische kracht is te wijten aan een fluxverandering. Bijgevolg:
dΦ
inductiespanning : E  n.
[Volt]
dt
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 50 / 115
waarbij :
d = de verandering van de flux in de spoel ;
dt = tijdsinterval;
n = aantal windingen van de spoel.
II.10.7. INDUCTANCIE
II.10.7.1 Eenheid van inductantie
De eenheid van inductantie L van een spoel is de Henry (H).
di
U  L.
dt
De inductantie L is gelijk aan 1 Henry wanneer een verandering van één Ampère per seconde
V.s
1 Henry 
een e.m.k. van één Volt induceert.
.
A
Een spoel verzet zich tegen elke verandering van de stroomsterkte in haar windingen.
II.10.7.2 Praktisch gebruik van de zelfinductie
We bekijken de nevenstaande kring.
A
Op een bepaald ogenblik sluiten we de schakelaar S.
We zien dat de stroom niet onmiddellijk een bepaalde
waarde aanneemt maar geleidelijk stijgt tot hij constant
blijft.
De stroom veroorzaakt een verandering van de flux die
een stroom induceert die de stroom die hem produceert,
tegenwerkt.
S
l
R
i
Als we de schakelaar openen stellen we een vonk aan de contacten vast. Bij het openen van de
kring wordt een stroom- en dus een fluxvermindering veroorzaakt. Deze fluxvariatie induceert
een stroom die tegengesteld is aan de oorzaak d.w.z. die de hoofdstroom wil behouden.
Wegens de grote snelheid waarmee de onderbreking gebeurt, is de elektromotorische kracht
groot en wordt een vonk veroorzaakt aan de contacten van de schakelaar.
Een aantal uitrustingen kunnen worden voorzien om het schadelijk verschijnsel van vonken te
vermijden.
Bij grote contactoren worden daarom vlammendozen, blaasspoelen en zelfs pneumatische
blaasinstallaties gebruikt.
Soms wordt op de spoelen een diode geplaatst die de inversiestroom door zelfinductie zal
kortsluiten.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 51 / 115
II.10.8. FOUCAULTSTROMEN
Beschouwen we een stalen voorwerp A dat
onderworpen wordt aan een stijgende of dalende
magnetisatie. Het voorwerp bevindt zich dus in
een wisselend magnetisch veld.
Binnen het voorwerp kunnen we ons een
willekeurig aantal kringen voorstellen die worden
onderworpen aan deze wisselflux en waarin
bijgevolg een stroom wordt geïnduceerd.


i

i
i
A
Deze stromen noemt men Foucaultstromen.
Ze spelen een belangrijke rol in de constructie van elektrische machines zoals dynamo’s,
transfo’s enz. omwille van de vermindering van het rendement die ermee gepaard gaat.
Deze Foucaultstromen kunnen aanzienlijk worden verminderd door de magnetische lichamen te
vervaardigen uit dunne, van elkaar geïsoleerde platen die loodrecht geplaatst worden op de
richting van de stroom. Op die wijze kunnen de Foucaultstromen aanzienlijk worden beperkt
aangezien de magnetische weerstand toeneemt.
II.11. RLC-KRINGEN
Tot hiertoe hebben we het gedrag onderzocht van elektrische kringen gevoed door een
gelijkspanningsbron. Deze kringen bestaan overwegend uit een spanningsbron en een aantal
weerstanden die op een min of meer ingewikkelde wijze zijn geschakeld. Condensatoren en
spoelen zijn in gelijkspanningskringen niet belangrijk: condensatoren functioneren immers
als open schakelaars (oneindige weerstand) terwijl spoelen worden kortgesloten
(nulweerstand).
Als de stromen niet meer stationair zijn, bijvoorbeeld bij het onder of buiten spanning
stellen, hebben de condensatoren en spoelen wel een belangrijke rol in de kring.
In wat volgt beperken we ons tot het uitwendig gedrag van condensatoren en spoelen op
wisselspanning. We gaan dus niet in op de interne huishouding van deze electronische
componenten, we hebben enkel interesse voor wat aan de klemmen van de componenten kan
worden opgemeten, d.w.z. de opgelegde spanning en de in- en uitgangsstroom.
De basisvergelijkingen die spanning en stroom verbinden zijn:
di
dt
Spoel
VL
Weerstand
V  R.i
Condensator
V
q 1
 
c c
tf
ti
i dt
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 52 / 115
We merken op dat de spoel geen minteken heeft omdat de spanning hier niet de
geïnduceerde elektromotorische kracht is maar wel de spanning aan de klemmen van de
spoel. Voor een ideale spoel (R = c = 0) geldt: V = Vtemk. De volgende vergelijkingen geven
de spanning in functie van de lading q:
VL  Vspoel  L
d ²q
dt ²
VR  Vweers tan d  R
VC  Vcondensator 
dq
dt
1
q
c
We bestuderen eerst kringen die enkel twee elementen bevatten: RL, Rc en Lc.
II.11.1. RL SERIE KRING
R
L
E
+
-
A
I
B
De RL serie kring bestaat uit de serieschakeling van een bron (e.m.k. E), een ideale
weerstand R en een ideale spoel L.
We sluiten de kring door schakelaar in positie A te brengen.
Er vloeit echter niet onmiddellijk stroom. Bij aanvang, d.w.z. t = ε (ε zeer klein en > 0) is i
klein (zelfs als di/dt groot is): het potentiaalverschil R.i is dan ook klein. De spanning aan de
klemmen van de spoel kan bijgevolg aanvankelijk gelijk gesteld worden aan de
voedingsspanning E. De variatie van de stroom in de spoel wordt gegeven door de
vergelijking:
di V E
 
dt L L
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 53 / 115
Naarmate de stroom toeneemt, stijgt ook het potentiaalverschil over de klemmen van de
weerstand. Op een bepaald ogenblik bereikt de stroom een constante stationaire waarde.
Vanaf dit ogenblik is er geen stroomverandering meer, d.w.z. is di/dt = 0 en bijgevolg wordt
di
de spanningsval over de klemmen van de spoel, gegeven door V  L. gelijk aan nul.
dt
Dit betekent dan ook dat de spanningsval over de klemmen van de weerstand R gelijk moet
zijn aan de bronspanning V = E = R.i net zoals bij een gelijkstroomkring i = E/R.
De kwalitatieve redenering die we zojuist hebben geschetst kan worden vervolledigd door
een kwantitatieve analyse op basis van de spanningswet van Kirchhoff: de algebraïsche som
van de spanningen over een kring is nul :
E  R.i  L
di
 0.
dt
Een potentiaalverhoging wordt voorafgegaan door een + teken, een potenti aalverlaging
door een - teken.
Het is een differentiaalvergelijking met als oplossing:
R
i
 t
E
(1 e L )
R
We tonen aan dat die vergelijking strookt met de voorgaande kwalitatieve analyse:
voor t  0, e 0  1  i  0
voor t  , e    0  i  E / R
De stroom varieert tussen die twee uiterste waarden volgens de kromme met onderbroken
streep. De stroom gaat asymptotisch naar de waarde i = E/R voor t gaande naar  .
E/R
1,0
0,8
i(t)
0,6
0,4
0,2
0
UL(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
t
R .L
ELEKTRICITEIT
B-M
Als t 
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 54 / 115
L
1
(tijdsconstante) ; is i  i max (1  )  0,63 i max
R
e
L
heeft de
R
L
dimensie van een tijd en wordt alzo de tijdsconstante genoemd van de kring :  L 
R
De stroom heeft dan 63 % van zijn maximum waarde bereikt. De verhouding
Als τL groot is stijgt de stroom traag, als τL klein is stijgt de stroom snel. De spoel reageert
zoals een massa (inertie) in een mechanisch systeem. We kunnen ervan uitgaan dat na een
tijd gelijk aan 5 à 6 maal de tijdsconstante de stroom zijn maximum waarde heeft bereikt.
We bekijken wat er gebeurt als we de kring openen door de schakelaar in de stand B te
plaatsen.
Omwille van de in de spoel opgeslagen magnetische energie stopt de stroom niet
onmiddellijk. Het vergt een zekere tijd om over te gaan van imax = E/R tot 0.
De afname van de stroom in de kring induceert een tegenelektromotorische kracht aan de
spoelklemmen die zich verzet tegen de verandering van stroom. (we wijzen andermaal op het
inertie gedrag van de spoel).
Het teken van de spanningsval over de spoelklemmen is soms moeilijk te bepalen. Dit komt
omdat we de spoel op twee manieren kunnen bekijken: is de spoel een bron van e.m.k. dan is
di
de spanning aan de klemmen  L. . Is de spoel anderzijds te beschouwen als een passieve
dt
di
impedantie, d.w.z. als een hindernis voor de stroom, dan is V  L. .
dt
We omzeilen die moeilijkheid door dezelfde vergelijking te gebruiken van in het eerste geval
maar met E = 0.
0  R.i  L
di
0
dt
We kunnen bijgevolg besluiten dat  R.i  (L
di
)0
dt
De term Ri heeft een negatief teken omdat hij een spanningsval voorstelt in de gekozen
positieve zin.
di
di
De term  L. heeft een positieve waarde omdat L. negatief is (de stroom neemt af).
dt
dt
Dus in de vergelijking betekent die term een verhoging van de potentiaal. Het - teken is dus
het correcte teken. De vergelijking wordt dus op dezelfde manier opgelost en we hebben:
i
E  Rt / L
E
e
 e  t / L
R
R
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 55 / 115
De curve die de schommeling van i weergeeft is een volle streep op de voorgaande figuur.
Het is een dalende exponent die de waarde 1/e (of ongeveer 37 %) van zijn beginwaarde
L
bereikt na een tijd  L  (tijdsconstante van de kring).
R
II.11.2. RC SERIE KRING
R
C
E
-
+
A
I
B
De bovenstaande kring is een voorstelling van de eenvoudigste vorm van een RC kring. Hij
bestaat uit een spanningsbron (e.m.k.=E), een ideale weerstand R en een ideale condensator
c.
1)
Lading :
We veronderstellen dat de schakelaar gedurende een zekere tijd op de stand B stond zodat de
condensator volledig ontladen werd en geen enkele stroom door de kring loopt.
Op het ogenblik dat de schakelaar in de stand A komt, loopt een stroom i = E/R door de
kring. De spanning over de condensator is immers aanvankelijk gelijk aan nul. Als gevolg
van de stroom wordt de condensator opgeladen: de spanning over de condensator is
tegengesteld aan de bronspanning E. Wanneer de spanning over de klemmen van de
condensator gelijk is aan de bronspanning E, wordt de stroom nul.
We passen de spanningswet van Kirchhoff toe, in analogie met de RL kring:
E  R.i 
1
 i.dt  0
c
t
Waarvan de oplossing is:
i( t ) 
E  Rc
.e
R
Het product R.c = RC is de tijdconstante van de RC kring.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 56 / 115
We kunnen de spanning aan de klemmen van de condensator C opmeten in functie van de
tijd. Deze spanning volgt de wet: Vc  E. (1  e  t / RC )
E/R
1,0
Vc(t)
0,8
0,6
0,4
i(t)
0,2
1
2
3
4
5
6
7
8
t
R .C
De spanning aan de klemmen van de condensator varieert exponentioneel naar de waarde E.
2)
Ontlading :
We veronderstellen dat de condensator opgeladen is: de spanning over de klemmen is gelijk
en tegengesteld aan de bronspanning E. Als de schakelaar in de stand B wordt geplaatst, gaat
de condensator zich ontladen via de weerstand R. Er geldt:
q
0
C
Die vergelijking is dezelfde als tijdens de lading en dus hebben we dezelde oplossing voor i :
 R.i 
i( t )  
E  t / RC
e
R
E
. Het minteken geeft aan dat de stroom nu in
R
de tegengestelde zin loopt als bij de oplading.
De beginstroom i(0) voor t=0 is gelijk aan 
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 57 / 115
II.11.3. LC SERIE KRING
uL
uC
L
u (t)
i (t)
E
C
1
K
2
De condensator is initieel geladen: beginspanning u0. Op t=0 wordt de schakelaar K gesloten.
Uit de spanningswet van Kirchhoff volgt:
EL
di
1 t
 u 0   0 idt
dt
C
Differentiëren naar de tijd geeft:
d ²i
  02 i  0
dt ²
met  02 
1
LC
Deze differentiaalvergelijking heeft als algemene oplossing :
i( t )  I m sin 0 t
waarbij I m  (E  u 0 )
C
L
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
We krijgen een zuivere sinusoïdale stroom met een amplitude Im en een puls
1
(eigen puls).
0 
LC
Aan de hand van de vorige vergelijkingen bekomen we eenvoudig:
- spanning over de spoel UL:
di
U L ( t )  L  0 L I m cos o t  (E  u 0 ) cos 0 t
dt
- spanning over de condensator Uc:
U c (t)  u 0 
Im
1
t
(1  cos 0 t )
 0 I m sin 0 t dt  u 0 
C
0 C
of nog : U c (t )  E  U L  E (1  cos 0 t )  u 0 cos 0 t
Bijzondere gevallen:
- Ontlading van een condensator E = 0
i  u 0
C
sin 0 t
L
U L   u 0 cos 0 t
U C  u 0 cos 0 t
- Lading van een condensator (u 0  0)
iE
C
sin 0 t
L
- Blz. 58 / 115
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 59 / 115
U L  E cos 0 t
U C  E (1  cos 0 t )
De stromen en spanningen hebben dus een tegenovergestelde zin.
Besluit :
We stellen vast dat de LC kring, gevoed door een gelijkspanningsbron E, de zetel wordt van
een zuivere sinusoïdale wisselstroom waarvan de pulsatie ω gelijk is aan de eigen pulsatie
van de kring. In de praktijk echter heeft de onvermijdelijke aanwezigheid van weerstand (er
is: (i) de weerstand van de wikkeling en eventueel de verliezen in de kern van de spoel; (ii)
de verliezen van de spanningsbron; (iii) de verliezen van de condensator) tot gevolg dat de
werkelijke stroom één van de drie vormen van de hieronder bekeken RLC kring aanneemt.
II.11.4. RLC SERIE KRING
uR
R
uL
L
uC
u (t)
i (t)
E
C
1
K
2
We veronderstellen opnieuw dat de condensator initieel opgeladen is: q0 , spanning u 0 
De schakelaar wordt in positie 2 geplaatst. Spanningsvergelijking:
E  R.i  L.
di
1 t
di 1 t
 u0 

 0 idt  E  u 0  Ri  L
 idt
dt
C
dt C 0
Differentiëren naar t geeft:
d ²i
di
 2
  02  0
dt ²
dt
waarbij we hebben gesteld :  20 
De karakteristieke vergelijking:
r 2  2r  02  0
1
LC
et  
R
2L
q0
C
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 60 / 115
Laat toe de oplossingen te bepalen:
r   
²  02
Het betreft de natuurlijke frequenties van de kring.
Drie gevallen kunnen worden beschouwd, al naargelang ² kleiner dan, gelijk aan of groter
R²
1
L
is dan 20 , d.w.z. :

 R2
4L² LC
C
a)
²  02
; r     j
met   02  ²
We hebben :
i(t )  I m .e
 
. sin ( .t )
U R (t )  RI m .e   sin (.t )
U L (t )  U Lm . e
 t
cos (t  )
U C (t )  E  U R (t )  U L (t )  u O
met:
Im 
E  U0
  ²
2
0
;   arctg
(E  u 0 ) 0

; ULm 


De verschillende grootheden i(t), UR(t), UL(t) en UC(t) zijn nu gedempte sinusoïdale functies
van de tijd. De amplitude bevat immers een factor e   , wat een dalende exponentieel
voorstelt, waardoor de amplitude exponentieel afneemt (zie figuur).
b)
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
 ²   02
We vinden het kritiek regime: i ( t ) 
16.02.2006
E  u0
t .e  
L
i( t )
Im
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
2
3
4
5
t
 ²   20
c)
We komen aan een aperiodiek regime gekenmerkt door:
i( t ) 
E  u0
L.  ²  
2
0
.sh (1 t ).e t
waarin we hebben gesteld : 1  ²  02
( )
i( t )
Im
0,3
0,2
0,1
1
2
3
4
5
t
- Blz. 61 / 115
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 62 / 115
II.11.5. ANALOGIE TUSSEN ELEKTRISCHE KRINGEN EN MECHANISCHE SYSTEMEN
Elektrische kring
Mechanisch systeem
elektrische lading van de condensator: q
Stroomsterkte van de stroom: i 
variatie van i: i 
dq
dt
dx
dt
dv d ² x

versnelling: a 
dt
dt ²
massa: m
snelheid: v 
di d ²q

dt dt ²
inductancie: L
omgekeerde van de capiteit :
1
C
krachtsconstante: k
wrijvingscoëfficiënt: f
weerstand: R
potentiaalval :  R.i  R.
dq
dt
wrijvingskracht:  f .
potentiële magnetische energie: U m 
potentiële elektrische energie: U c 
pulsatie:
0 
verplaatsing: x
L.i ²
2
q²
2C
1
LC
maximumlading van de condensator: q 0
1
frequentie :  o 
2 LC
dx
dt
kinetische energie : E k 
mv ²
2
potentiële energie van een veer: E p 
pulsatie : 0 
k
m
amplitude : A
frequentie :  0 
 k
.
2 m
k.x ²
2
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 63 / 115
HOOFDSTUK III: METING VAN GELIJKSTROOM EN
GELIJKSPANNING.
III.1. DE GALVANOMETER.
De galvanometer is de basis van elk gelijkstroom meetinstrument.
De galvanometer bestaat uit een permanente
magneet. Tussen de polen (N-S)bevindt zich
een fijne draadspoel B, gemonteerd op een as
die vrij kan roteren. Om de werking van de
magneet te concentreren wordt de magnetische
weerstand1 van de kring beperkt door een
weekijzeren kern in de spoel B te plaatsen.
N
B
S
noyau
kern
De te meten stroomsterkte vloeit door de wikkeling van de spoel. Op de as van de spoel is
bovendien een veer gemonteerd die, voor elke stroomsterkte, de spoel in een evenwichtspositie
houdt.
De werking van het toestel is gebaseerd op de volgende principes:
Zij B de magnetische inductie in de luchtspleet
tussen de polen. Nemen we aan dat de spoel
bestaat uit een rechthoekig kader met breedte l.
De Lorentzkracht F die inwerkt op de
breedte l wordt gegeven door:
F = B. l .I.n
F
N
S
F
i
i
Veer
ressort
(n = het aantal windingen van de spoel).
i
i
Die kracht wordt uitgedrukt in Newton (B = Wb/m², l in m en I in A).
1
) Magnetische weerstand
Op het gedeelte van de geleiders langs de zijkant(en) van de rotor werkt geen kracht aangezien dat gedeelte in de richting van de
krachtlijnen van het magnetisch veld geplaatst is.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 64 / 115
De kracht die inwerkt op de linkergeleider is gelijk en tegengesteld aan de kracht op de
rechtergeleider: de geleiders voeren immers dezelfde stroom.
Beide krachten vormen samen een koppel M.d dat inwerkt op de roterende as. Dit koppel is
gelijk aan: F.2s (s = afstand tussen de kracht F en de as).
Het electromagnetisch koppel M.d dat inwerkt op het mobiele kader wordt in evenwicht
gehouden door het weerstandbiedend koppel van de veer Mt.
Hoe groter de te meten stroomsterkte, hoe groter het electromagnetisch koppel, hoe groter het
koppel uitgeoefend door de veer. De hoek α van de spoel, waarbij beide koppels in evenwicht
zijn, is des te groter naarmate de te meten stroom hoog is.
Voor een gegeven galvanometer zijn alle factoren constant behalve de stroom I M.d = K.I
Beneden een bepaalde waarde, is het weerstandbiedend koppel Mt evenredig met de rotatiehoek
α, d.w.z. :
Mt = K'.
en
I = K''.
Wanneer de stroom wordt onderbroken keert de spoel terug naar de rusttoestand.
De beweging van de naald kan worden gedempt op magnetische, pneumatische of hydraulische
wijze.
Als de stroom van zin verandert draait de spoel in tegenovergestelde zin.
Besluit:
De galvanometer zoals hier beschreven kan enkel gelijkstroom meten omdat in
het geval van wisselstroom het kader voortdurend zou trillen.
III.2. SHUNT VOOR MEETINSTRUMENTEN.
In het geval de stroom te groot wordt zou de spoel kunnen doorbranden. Om die reden wordt de
meetwikkeling van het toestel geshunt.
G
Beschouwen we een kring die bestaat uit een
voedingsbron die maximum 10 A kan leveren.
De meetspoel van de galvanometer laat echter
een maximum stroom toe van 1 A.
De shunt s moet dus zodanig gekozen worden
dat maximaal een tiende van de totale stroom
door de meetwikkeling vloeit.
I S = 1A
(R m )
I S = 9A
RS
shunt
I= 10A
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 65 / 115
De spanningsval veroorzaakt door de stroom van 1 A in de galvanometer met weerstand Rm
moet gelijk zijn aan de spanningsval veroorzaakt in de shuntweerstand Rs doorlopen met een
stroom van 9 A (Is)
De shuntweerstand kan nu eenvoudig worden bepaald:1 x Rm = 9 x Rs
1
Rs  .Rm
9
(parallel schakeling)
De shuntweerstand Rs is gelijk aan 1/9 van de weerstand Rm van de galvanometer.
We kunnen aantonen dat: R s 
Rm
I
(met N  )
N 1
Im
III.3. DE VOLTMETER.
We kunnen een galvanometer gebruiken als voltmeter door een weerstand R in serie te schakelen
met de meter.
Stel dat we een spanning van 100 volt willen
meten met een galvanometer.
De galvanometer heeft b.v. een interne weerstand
Rm gelijk aan 0,01 . Bij een stroom ig = 0,01 A is
de spanningsval over de meter gelijk aan: 0,01 x
0,01 = 0,0001 V
R
G
(R m )
Uit de wet van Ohm volgt de waarde van de in serie te schakelen weerstand:
Ig 
Dus:
U
R  Rm
0,01 
100
R  0,01
R.0,01 + 0,0001 = 100
R
100  0,0001
 10000   10 k
0,01
Hetzelfde toestel kan worden gebruikt voor het meten van om het even welke spanning: het
volstaat de weerstand te berekenen die in serie met de voltmeter moet worden geschakeld.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 66 / 115
III.4. TOESTELLEN MET TWEE SPOELEN.
Het meettoestel kan eveneens zonder permanente magneet worden voorzien: het magnetisch
veld, verantwoordelijk voor de rotatie van het raam, wordt in dit geval opgewekt door een
tweede spoel, die vanzelfsprekend eveneens doorlopen wordt door een stroom. Dit toestel,
gekend als de elektrodynamometer, heeft het voordeel dat het zowel bij gelijk- als wisselstroom
kan worden gebruikt.
De figuur geeft een schematische voorstelling
van de kringen. Spoel B wekt het vaste veld op
dat afhangt van i1; de mobiele spoel b wordt
doorlopen door de stroom i2.
b
i2
I
i1
B
R
I
r
De relatie tussen i1 en i2 volgt uit:
i1 (R + B) = i2 (r + b)
i1
rb
= constante

i2 R  B
Hoe groter i1, hoe groter het door B opgewekt veld en het elektromagnetisch koppel dat
inwerkt op b is des te groter naarmate het bekrachtigingsveld B (i1) en de stroom i2 groter
zijn.
Welnu, de waarden van i1 en i2 stijgen gelijktijdig. De naald van de ampèremeter geeft dus
maar één aflezing voor een bepaalde waarde van I. Het koppel wordt gegeven door:
en geeft als resultaat :
Md = K.i1.i2
(K = constante).
In dit meettoestel werkt het terugkeerkoppel via een veer met twee windingen die eveneens de
stroom geleidt.
Elektrodynamometers worden zowel gebruikt als ampèremeter of als voltmeter.
III.5. VERBINDINGSWIJZE VAN AMPERE- EN VOLTMETERS.
Wanneer de stroom I en de spanning U gemeten moeten worden, kunnen de toestellen op twee
verschillende manieren worden geschakeld.
B-M
ELEKTRICITEIT
In dit schema geeft de ampèremeter de exacte
waarde van de stroom. De voltmeter echter geeft
een te grote spanning weer aangezien eveneens
de spanningsval over de ampèremeter gemeten
wordt.
In dit schema meet de voltmeter de spanning aan
de klemmen van de verbruiker Px. De
ampèremeter echter meet niet alleen de stroom
door het toestel maar eveneens de stroom door
de voltmeter.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 67 / 115
A
Px
V
A
V
Px
Voor welke methode uiteindelijk gekozen wordt hangt af van de grootte van de te meten
waarden.
Wanneer een zwakke stroom en een hoge spanning moeten worden gemeten, verdient de eerste
schakeling de voorkeur: de spanningsval over de ampèremeter is dan immers relatief gering ten
opzichte van de spanningsval over de nuttige belasting Px.
Wanneer een grote stroomsterkte en een kleine spanning moeten worden gemeten, krijgt de
tweede schakeling de voorkeur. De stroomsterkte die door de voltmeter vloeit is dan
verwaarloosbaar t.o.v. de totale stroom opgemeten door de ampèremeter.
Bij precisiemetingen moeten alle correcties aan de meetapparatuurworden uitgevoerd.
Opmerking:
De ampèremeters en voltmeters worden geijkt met standaardtoestellen waar we niet dieper op
ingaan.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 68 / 115
HOOFDSTUK IV: DE WISSELSTROOM
IV.1. INLEIDING
De wisselspanningen en –stromen die
in de industrie worden gebruikt hebben een
sinusoïdaal verloop.
De nevenstaande grafiek is de voorstelling
van een sinusoïde over een tijdspanne van 1
periode of 360°.
E
90°
180°
270°
360°

t
Pйriode T
De wisselspanning die door een elektrische centrale wordt geleverd heeft meestal een
sunusoïdale vorm.
Een wisselspanningsbron wordt voorgesteld door een cirkeltje met de
letter G en het wisselspanningsteken erin.
Het is duidelijk dat een wisselspanningsbron geen vaste polariteit bezit:
de polariteit van de bron wisselt immers met een bepaalde frequentie.
Wisselstroom of –spanning wordt op meetinstrumenten ook aangeduid
met A.C. (alternating current) of C.A. (courant alternatif).
G
IV.2. WERKING
Wisselspanning wordt opgewekt in een wisselstroomgenerator, alternator genoemd. We leggen
het principe van de alternator hier uit op een zeer eenvoudige wijze. In een ander hoofdstuk
wordt dieper ingegaan op dit onderwerp.
N
S
Beschouwen we een wikkeling, bestaande uit één
winding, die beweegt in een magnetisch veld opgewekt
door twee polen, een noord- en een zuidpool.
De wikkeling draait rond met een constante snelheid.
De tussen twee polen draaiende geleiders zien een in de
tijd wisselende flux. Deze verandering van flux doet,
volgens de wet van Lenz, een elektromotorische kracht
ontstaan.
De elektromotorische kracht is maximaal wanneer de
geleiders zich bevinden in het vlak van de polen (zie
figuur). De e.m.k. is nul wanneer de geleiders zich
bevinden in het vlak loodrecht op het vlak van de polen.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 69 / 115
IV.3. KARAKTERISTIEKE GROOTHEDEN
IV.3.1. DE PERIODE
Een periode is de tijd, uitgedrukt in seconden, die overeenstemt met een volledige cyclus. De
periode wordt voorgesteld door de letter T.
IV.3.2. DE FREQUENTIE
De frequentie is het aantal perioden per seconde of: f 
1
T
De frequentie wordt uitgedrukt in Hertz (1 Hz = 1 s-1).
In Europa is de standaardfrequentie 50 Hz, in Amerika 60 Hz.
IV.3.3. EFFECTIEVE WAARDE VAN DE WISSELSTROOM
Over het algemeen wordt, i.p.v. de amplitude, de effectieve waarde van de wisselstroom
gebruikt.
Een wisselstroom met een effectieve waarde Ieff gelijk aan 1 A produceert evenveel warmte in
een weerstand als een gelijkstroom van 1 A in dezelfde weerstand.
Tussen Ieff et I max bestaat volgend verband:
I eff 
I max
2
IV.3.4. FASEVERSCHUIVING
Sinusoïdale grootheden, zoals spanningen en stromen, kunnen niet alleen verschillen in
amplitude maar kunnen bovendien t.o.v. elkaar verschoven zijn in functie van de tijd.
Er bestaat dan een faseverschuiving tussen de beide grootheden.
e
i

i
e
Em

0
Im
e = Emax. sin t
i = Imax sin (t - )
(met  positieve hoek)
t
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 70 / 115
We zeggen dat de stroom naijlt op de spanning (en de spanning bijgevolg voorijlt op de stroom)
als men de kromme van de stroom terug moet schuiven om de maximum stroom te laten
samenvallen met de maximum spanning.
We zeggen dat de grootheden in fase zijn als de faseverschuiving  gelijk is aan 0. De twee
grootheden zijn dan op de zelfde ogenblikken nul, maximaal en minimaal. Ze hebben bovendien
hetzelfde verloop: stijgen en dalen. Dit is bijvoorbeeld het geval als de kring enkel uit
weerstanden bestaat.
Twee grootheden zijn in kwadratuur als de hoekverschuiving ± 90° is. Dit is bijvoorbeeld het
geval als de kring enkel uit spoelen bestaat.
Twee grootheden zijn in tegenfase zijn wanneer de hoekverschuiving 180° bedraagt.
IV.4. VECTORIËLE VOORSTELLING
Een wisselstroom (wisselspanning) kan worden voorgesteld door een draaiende vector, waarvan
het uiteinde beweegt op een cirkel. De hoeksnelheid van die vector is gelijk aan .
u
a
a
u
a'
a'
'

t

'
''
360°
''

a''
a''
De volgende conventies worden aangenomen:



de vector draait steeds in tegenwijzerzin;
de grootte van de vector stemt overeen met de effectieve waarde van de voorgestelde
grootheid, d.w.z. spanning of stroom;
de faseverschuiving stemt overeen met de hoek tussen de draaiende vector en het
rechterdeel van de horizontale as
De vectoriële voorstelling heeft als groot voordeel dat sinusoïdale grootheden vectorieel kunnen
worden opgeteld, i.p.v. goniometrisch wat gepaard gaat met complexe berekeningen. Er dient
echter wel opgemerkt te worden dat op één zelfde vectorvoorstelling enkel grootheden met
dezelfde frequentie mogen worden weergegeven.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 71 / 115
IV.5. WISSELSTROOMKRINGEN
In een wisselstroom kring is het verband tussen spanning en stroom afhankelijk van het type
schakeling (serieschakeling, parallel schakeling, …) van diverse electrische componenten zoals
weerstanden, spoelen en condensatoren.
Om rekening te houden met al deze elementen werd een nieuwe grootheid gedefinieerd: de
impedantie Z.
IV.5.1. KRING MET ENKEL WEERSTANDEN
Wanneer de elektrische kring enkel weerstanden bevat is de stroom in faze met de spanning.
u
i
R
u = Um . sin t
i
i = I m . sin  t
u = Um . sin t
Im
T
Um
0
t
De stroomsterkte wordt bepaald met de wet van Ohm: i( t ) 
Bij een voedingsspanning:
u(t) = Um.sin t
en een belasting:
Z=R
is de stroom :
i( t ) 
u(t)
Z
Um
. sin t
R
IV.5.2. KRING MET ENKEL SPOELEN
Wanneer de elektrische kring enkel uit spoelen bestaat ijlt de stroom 90° na op de spanning.
u
i
L
u
i
i
u = Um . sin t
T
Um
90°
Im
0
t
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 72 / 115
De impedantie van een spoel: Z = .L = 2..f.L.
We stellen vast: hoe groter de frequentie f, hoe groter de impedantie Z.
De inductantie (L) wordt uitgedrukt in Henry (H).
De stroomsterkte wordt bepaald met de wet van Ohm: i( t ) 
Bij een voedingsspanning:
u(t) = Um.sin t
en een belasting:
Z = .L = 2..f.L
is de stroom :
i( t ) 
u(t)
Z
Um
. sin (t  90)
.L
IV.5.3. KRING MET ENKEL CAPACITEITEN
Wanneer de elektrische kring enkel uit condensatoren bestaat ijlt de stroom 90° vóór op de
spanning.
u
i
c
u
i
i
u = Um . sin t
T
0
Im
90°
t
Um
De impedantie van een condensator: Z 
1
1

.
. C 2..f .C
We stellen vast: hoe kleiner de frequentie f, hoe groter de impedantie Z.
De capaciteit (C) wordt uitgedrukt in Farad (F).
De stroomsterkte wordt bepaald met de wet van Ohm: i( t ) 
u(t)
Z
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
Bij een voedingsspanning:
u(t) = Um.sin t
en een belasting:
Z
is de stroom :
i(t) = Um..C. sin (t + 90°)
16.02.2006
- Blz. 73 / 115
1
1

. C 2..f .C
IV.5.4. GEMENGDE KRING
Wanneer de elektrische kring is samengesteld uit spoelen, weerstanden en condensatoren moet
de totale impedantie Z van de kring worden bepaald.
L
i
C
u
i
R
u
i
u = Um . sin t
UL
IC
IR
IL
I
t
U
UR
Utot
UC
Uit wat vooraf gaat weten we dat weerstanden geen faseverschuiving veroorzaken tussen
spanning en stroom. Spoelen en condensatoren daarentegen veroorzaken een faseverschuiving
van 90° tussen spanning en stroom.
De totale impedantie Z kan bepaald worden aan de hand van de volgende formule:
Z=
1 

R 2   ω.L 
²
ω.C 

De relatie tussen spanning en stroom volgt altijd uit:
i( t ) 
u(t)
Z
IV.6. VERMOGEN BIJ WISSELSTROOM
Bij gelijkstroom wordt het vermogen gegeven door de formule: P = U . I
Bij wisselstroom is deze formule niet meer geldig en moet rekening worden gehouden met de
faseverschuiving tussen spanning en stroom.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 74 / 115
Bij wisselstroom wordt het vermogen berekend door de formule: P = U . I . cos 
De stroom bestaat uit twee gedeelten,
I.cos
I.sin
(de component van de stroom in fase met de spanning: de actieve component)
(de component van de stroom loodrecht op de spanning (in kwadratuur): de
reactieve component wekt geen vermogen op)
P = U.I.cos 
het actief vermogen, wordt gemeten met een kWh-teller. Wordt
uitgedrukt in W (Watt) of kW.
Q = U.I.sin 
het reactief vermogen, wordt uitgedrukt in VAR (volt-ampere-reactief)
S = U.I
het schijnbaar vermogen, uitgedrukt in VA (volt-ampere). Dit vermogen
wordt geleverd door Electrabel.
IV.7. HET PRAKTISCH BELANG VAN COS 
De cos  factor is per definitie de arbeidsfactor van de kring of installatie. De arbeidsfactor is
technisch belangrijk voor het transport en de verdeling van elektrische energie. Daarom eist
Electrabel dat elke verbruiker een minimale arbeidsfactor in acht neemt.
Hoe kleiner de cos , hoe groter de opgeslorpte stroom I is voor een bepaald vermogen. Een
grote stroomsterkte veroorzaakt grotere energieverliezen (Joule-effect) in de leidingen.
IV.8. DRIEFASIGE WISSELSPANNINGEN
IV.8.1. ALGEMEEN
Tot hiertoe beschouwden we enkel eenfasige spanningsbronnen. In industriële toepassingen
wordt, behalve voor verlichting, zelden gebruik gemaakt van eenfasige voedingen.
De meest voorkomende driefasige wisselspanningen worden als volgt opgewekt:
Beschouwen we drie afzonderlijke generatoren die elk een spanning leveren met een zelfde
amplitude en een zelfde frequentie en die 120° (of een derde van een periode) t.o.v. elkaar
verschoven zijn.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
e
e1
B
16.02.2006

e3
e2
- Blz. 75 / 115
em1
120°
120°
A
t
C
em3
t
em2
120°
D
We stellen vast dat op een willekeurig ogenblik t de drie generatoren een spanning leveren gelijk
aan AB – AC – AD. We kunnen aantonen dat op elk ogenblik de som van de ogenblikkelijke
waarden gelijk is aan nul.
e1 + e2 +e3 = 0
IV.8.2. DRIEHOEKSCHAKELING EN STERSCHAKELING
De drie generatoren kunnen verenigd worden in één enkele machine met 3 afzonderlijke
wikkelingen. We hebben dan een driefasige alternator.
I1
U1
E1
Z
U2
W2
E3
W1
I1
I2
I3
V2
E2
Z
Z
V1
I2
I3
De drie generator wikkelingen kunnen in
een gemeenschappelijk punt verbonden
worden. De belasting, bestaande uit 3
gelijke weerstanden, kan eveneens in één
punt verbonden worden.
Op die manier zijn bij de voeding van de
weerstanden door de generatorwikkelingen
2 geleiders minder noodzakelijk.
I1
U1
E1
Z
U2, V 2, W2
E3
W1
E2
V1
Z
I2
Z
I3
De stroom die vloeit door de geleider tussen enerzijds het gemeenschappelijk punt van de
generator wikkelingen en anderzijds het gemeenschappelijk punt van de belastingsweerstanden is
de som van de 3 ogenblikkelijke waarden van de fasestromen. Deze stroom is op elk ogenblik
gelijk aan 0 waardoor deze geleider in feite stroomloos blijft en bijgevolg mag worden
afgeschaft. Er blijven dus nog 3 draden (kabels) over.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
Voor het overbrengen van eenzelfde
vermogen zijn dus, bij een driefasig
systeem, minder geleiders nodig dan bij
een eenfasig systeem. De doorsnede van de
kabels blijft in beide gevallen wel gelijk.
De bekabeling zal bij een driefasige
voeding minder duur zijn dan bij een
eenfasige voeding wat in praktijk neerkomt
op een belangrijke kostenbesparing.
16.02.2006
- Blz. 76 / 115
I1
U1
E1
Z
U2, V 2, W2
E3
E2
W1
V1
Z
Z
I2
I3
Deze schakeling heet de sterschakeling.
De wikkelingen van de generator kunnen ook in driehoek worden geschakeld. De
belastingsweerstanden kunnen zowel in ster als in driehoek worden geschakeld.
Z
E2
E2
Z
E1
E1
E3
E3
Z
Z
Z
Z
Zo kunnen we definiëren:
Eph: de spanning over een wikkeling van de generator (fasespanning);
EL : de spanning tussen twee draden (lijnspanning);
Iph : de stroom door een wikkeling van de generator (fasestroom);
IL : de stroom door een geleider (lijnstroom).
Afhankelijk van de configuratie van de schakeling (ster-driehoek ; ster-ster ; …) bestaat er een
verband tussen de lijngrootheden en de fasegrootheden.
Sterschakeling :
Driehoekschakeling :
IL
IL
I ph
Eph
I ph
I ph
Z
Eph
EL
EL
I ph
IL
IL
EL = 3 . Eph
IL = Iph
Voorbeelden :
Z
I ph
Z
Z
IL
IL
EL = Eph
IL = 3 . Iph
I ph
Z
Z
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 77 / 115
Een voeding 230/400 V komt overeen met een driefasige generator waarvan de drie fasen in ster
gemonteerd zijn. De fasespanning is dan 230 V terwijl de lijnspanning gelijk is aan
3.E ph  3.230 V  400 V.
Op een driefasige motor staat soms een kenplaatje « 400/690 V ». Dit betekent dat elke
fasewikkeling van de motor met 400 V moet worden gevoed. Op een net 230/400 V moet deze
motor in driehoek worden aangesloten. Als de lijnspanning 690 V bedraagt, moet de
fasewikkelingen van de motor in ster worden geschakeld om een fasespanning van 400 V te
verkrijgen.
IV.8.3. VERMOGEN VAN EEN DRIEFASIG SYSTEEM
Het vermogen van een driefasig systeem kan als volgt worden berekend:
Per fase bedraagt het vermogen: Pphase = Eph . Iph. cos 
Het vermogen van een driefasig systeem is gelijk aan: Ptriphasé = 3 . Eph. Iph. cos 
Bij een sterschakeling geldt: EL =
3 . Eph en IL = Iph
Bijgevolg bedraagt het vermogen: Ptriphasé =
3 .EL.IL.cos 
Bij een driehoekschakeling geldt: EL = Eph en IL =
3 . Iph
Bijgevolg bedraagt het vermogen eveneens: Ptriphasé =
3 .EL.IL .cos 
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 78 / 115
HOOFDSTUK V: DE TRANSFORMATOR
V.1. ALGEMEEN
De transformator is een statisch toestel dat wisselspanning door magnetische koppeling
(inductie) kan ‘transformeren’ naar een hoger of lager spanningsniveau.
In een elektrische centrale is de opgewekte spanning meestal 15 kV. Die spanning kan worden
getransformeerd naar 72 kV, 150 kV of 400 kV.
Door de transformatie naar een hoger spanningsniveau, kan het transport van electrische energie
(P=U.I) gebeuren bij een lagere stroomsterkte, waardoor de verliezen door Joule-effect over de
voedingskabels aanzienlijk beperkt worden.
De transformator in het onderstation zal tenslotte de spanning verminderen tot de waarde die nodig is
voor de voeding van de bovenleiding.
Het krachtvoertuig gevoed met wisselspanning heeft op zijn beurt een transformator die de spanning
vermindert tot waarden die nodig zijn voor de tractie, de verwarming, de verlichting enz.
Vermits de tranformator geen bewegende onderdelen bevat kan hij gemakkelijk worden geïsoleerd
tegen een hoge spanning. Voor een degelijke koeling en isolatie kan hij geheel in olie worden
gedompeld. Zo zijn spanningen van meer dan 400 kV mogelijk.
V.2. WERKINGSPRINCIPE
V.2.1. SAMENSTELLING
Een transformator bestaat uit een kern van
weekijzeren platen waarover minstens twee
wikkelingen zijn aangebracht.
De wikkeling die aangesloten is op de
voedingsspanning noemen we “de primaire
wikkeling P”. De wikkeling die aangesloten is op
de belasting noemen we “de secundaire wikkeling
S”.
Indien de secundaire spanning groter is dan de primaire spanning spreken we van een spannings
verhoger.
Indien de secundaire spanning kleiner is dan de primaire spanning spreken we van een
spanningsverlager.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 79 / 115
V.2.2. KARAKTERISTIEKEN
V.2.2.1 Onbelast
Indien de primaire wikkeling gevoed wordt door een wisselspanning en op de secundaire wikkeling
geen verbruikstoestellen zijn aangesloten, dan is de transformator onbelast.
Er vloeit dan een kleine nullaststroom in de primaire wikkeling die dient om de verliezen in de
magnetische kring te compenseren.
De secundaire geïnduceerde spanning heeft dezelfde frequentie als de primaire
spanning maar is 180° verschoven t.o.v. de primaire spanning (wet van Lenz).
V.2.2.2 Belast
Wanneer op de secundaire wikkeling een verbruikstoestel wordt aangesloten is de transformator
belast. Het electrisch vermogen opgenomen door de primaire wikkeling is nagenoeg gelijk aan het
vermogen dat afgeleverd wordt aan de secundaire wikkeling.
V.2.2.3 Verliezen in de transformator
In een transformator zijn de verliezen te wijten aan :
- koperverliezen: Joule-effect (R.I²);
- ijzerverliezen: verliezen door de magnetisering van de kern (hysteresisverliezen en
Foucaultstromen).
V.3. BETREKKINGEN TUSSEN SPANNINGEN, STROMEN,
WINDINGEN EN VERMOGENS
De emk (elektromotorische kracht) per winding in de secundaire is gelijk aan de emk per
winding in de primaire :
Ep Es

np
ns
Aangezien het verschil tussen de emk E en de nullastspanning Uzeer klein is hebben we :
Up Us
Up np

of

US n s
nP
ns
We noemen:
Up
 transformatieverhouding ;
Us
nP
 verhouding van de windingen.
nS
Vermits het vermogen opgenomen door de primaire nagenoeg gelijk is aan het vermogen afgeleverd
aan de secundaire kunnen we schrijven dat:
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 80 / 115
P = Up. Ip = Us .Is
Up
Bijgevolg :
Us

np
ns

Is
Ip
V.3.1. VOORBEELD
Gegeven :
Een tranformator wordt gevoed met 380 V (wisselspanning). De primaire van de transfo heeft 19
windingen en de secundaire heeft 11 windingen. De secundaire wordt belast door een weerstand van
55 Ohm.
Bereken het vermogen, de primaire stroom alsook het verbruikte vermogen.
Oplossing :
We kunnen de spanning op de secundaire bepalen want:
Bijgevolg : U s  U p .
Up
Us

np
ns
nS
11
= 380.
= 220 V
19
nP
De spanning op de secundaire is 220 V.
Met de wet van Ohm kunnen we de stroomsterkte in de secundaire berekenen :
Is 
U S 220

4A
R
55
We kunnen nu ook de stroomsterkte in de primaire berekenen:
n P Is
n
11

bijgevolg I p  I s . P  4.  2,315 A
nS Ip
nS
19
Nu kunnen we het vermogen berekenen dat aan het net onttrokken wordt.
Dit vermogen is PP = UP.IP = 380.2,315 = 880 W
Het verbruikte vermogen van de secundaire is nagenoeg gelijk aan het vermogen opgeslorpt door
de primaire:
PS = US. IS = 220. 4 = 880 W
PS = US. IS = 220. 4 = 880 W
Opmerking:
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 81 / 115
We hadden de primaire stroom eveneens kunnen berekenen op basis van beschouwingen over het
vermogen.
Inderdaad, op basis van de primaire spanning en de verhouding van de windingen hebben we de
secundaire spanning berekend (220 V).
De secundaire stroom volgde dan uit de wet van Ohm toegepast op de secundaire kring (4 A).
Aan de hand van deze waarden Us en Is kon het secundair vermogen bepaald worden:
PS PS = US. IS = 220.4 = 880 W
Uitgaande van de veronderstelling dat het primaire vermogen gelijk is aan het secundaire vermogen
kunnen we de primaire stroom berekenen die aan het net onttrokken wordt:
Uit:
PP = UP.IP = 380.IP = 880 W
880
 2,315 A
volgt: I p 
380
V.4. RENDEMENT
V.4.1. IJZERVERLIEZEN
De magnetische verliezen resulteren in een vermindering van de magnetische inductie. Deze
verliezen hangen niet af van de belasting van de transfo en worden daarom bepaald bij een
nullastproef. Tijdens die proef zijn de verliezen door het Joule-effect verwaarloosbaar
aangezien de primaire stroom zeer zwak is.
Pijzer = Up. Ip, nullast .cos 
V.4.2. KOPERVERLIEZEN
We doen de volgende proef.
We sluiten de secundaire kort met een ampèremeter. De spanning aan de primaire wordt zodanig
gekozen dat de stroom door de secundaire gelijk is aan de nominale stroom.
Tijdens deze proef is de nuttige spanning nul en zijn de ijzerverliezen verwaarloosbaar aangezien
de primaire spanning zeer klein is.
We krijgen dus PP, kortsluit = RS. I²s, kortsluit
We leiden af R s 
Pp ,kortsluit
I S2,kortsluit
In bedrijf geldt: Pkoper  R S .I S2
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 82 / 115
V.4.3. RENDEMENT
Het rendement  bedraagt :
Pnuttig
Pn


Popgeslorpt
Pn  Pijzer  Pkoper

U 2 I 2 cos 
U 2 I 2 cos   Pijzer  R s I 2 2
Het rendement is het hoogst als Pijzer = Pkoper
Het schommelt rond de 95%.
V.5. DE KOELING VAN DE TRANSFORMATOREN.
Om enerzijds de verliezen in het koper te beperken en anderzijds beschadiging van de isolatie te
voorkomen wordt de doorsnede van de geleiders zo gekozen dat de stroomdichtheid klein is.
De warmte, die ten gevolge van de verliezen de temperatuur van de transfo doet stijgen, moet
afgevoerd kunnen worden.
In kleine laagspanningstransformatoren wordt de warmte naar buiten afgevoerd. Het betreft
luchtgekoelde transfo’s.
Bij transfo’s met een groot vermogen zoals in onderstations en meerspanningslocomotieven is de
luchtkoeling onvoldoende. Over het algemeen wordt de transfo in een met olie gevuld reservoir
geplaatst. Als transformatorolie wordt minerale olie – goedkoop maar ontvlambaar – ofwel
synthetische olie – duur maar onontvlambaar – gebruikt. De olie heeft zowel een electrisch
isolerende functie als een koelfunctie.
De door de transformator vrijgekomen warmte wordt door de olie via een warmtewisselaar
afgevoerd.
Opmerking:
In het geval er geen oliecirculatie is of er is geen ventilatie van de olieradiator, mag de transfo
slechts op een beperkt vermogen worden gebruikt, i.p.v. het nominaal vermogen.
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
16.02.2006
- Blz. 83 / 115
V.6. DE EENSPANNINGSTRANSFORMATOR
a
Het betreft een eenfasige transfo met twee
identieke secundaire wikkelingen.
Die twee wikkelingen worden in serie
geschakeld en hebben een gemeenschappelijk
aftakpunt m.
Een dergelijke montage wordt veel gebruikt
om twee gelijke en tegengestelde spanningen
Uam en Ubm te bekomen.
Uam
m
Ubm
b
Als in het geval van een driefasige
transformator, het gemeenschappelijk
aftakpunt wordt gebruikt, bekomt men een
driefasige-zesfasige transfo, die dikwijls voor
de voeding van gelijkrichters wordt gebruikt.
Ns
Np
Up
Us
V.7. DE AUTOTRANSFORMATOR.
A B C
De autotransformator is een transformator
die geen gescheiden primaire en
secundaire wikkelingen heeft.
a
f
b
e
c
a c e
Een deel van de primaire wikkeling wordt
als secundaire wikkeling gebruikt (of
omgekeerd).
m
d f b
d
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 84 / 115
De algemene theorie van de transformator is eveneens geldig voor de autotransformator. Als een
spanning Up wordt aangelegd tussen de klemmen C en F van de wikkeling met np windingen,
wordt een spanning Us, die afhangt van het aantal windingen ns opgewekt tussen de klemmen C
en R.
Voorbeeld:
Nemen we: Up = 120 V ; np = 200 en ns = 180
n
180
Dan hebben we: U S  U p x s  120 x
 108 V
np
200
Aangezien het aantal windingen van de secundaire kleiner is dan dat van de primaire, is de
transformator in ons voorbeeld een spanningsverlager (Us  Up).
De autotransformator kan ook als spanningsverhoger worden gebruikt.
Als bij wijze van voorbeeld aan de klemmen CD een spanning Up = 108 V wordt aangelegd, is
de secundaire spanning aan de klemmen AB gelijk aan:
A
Us  Up x
ns
200
 108 x
 120
np
180
ns = 200
D
In dat geval bevat de secundaire
wikkeling meer windingen dan
de primaire, m.a.w. de primaire
is een deel van de secundaire
wikkeling. De autotransformator
wordt in dit geval gebruikt als
spanningsverhoger (Us > Up).
Via verschillende bijkomende
aftakkingen op de secundaire
zijn er meerdere secundaire
spanningen mogelijk.
Up
Us
np = 180
B
C
Up
Us
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 85 / 115
V.7.1. VOOR- EN NADELEN VAN DE AUTOTRANSFORMATOR.
V.7.1.1 Voordelen:
- Voor éénzelfde vermogen is voor een autotransformator minder koper vereist dan voor een
overeenstemmende gewone transformator. Redenen:
 geen secundaire wikkeling;
 voor éénzelfde stroomsterkte mag de diameter van de draad van het
gemeenschappelijk deel van een autotransformator kleiner zijn dan die van een
gewone, overeenstemmende transformator (de stroom is immers verdeeld tussen de
primaire en de secundaire).
-
Het beperkt koper volume vermindert het volume van de wikkeling. Op die manier blijven de
magnetische verliezen en de koperverliezen beperkt.
Het ijzervolume van een autotransformator met een bepaald vermogen is kleiner dan dat van
een overeenstemmende gewone transformator.
Een autotransformator is vooral geschikt als de verhouding tussen de primaire en secundaire
spanning klein is (v.b. < 2).
Minder duur.
V.7.1.2 Nadeel:
Aangezien de primaire en de secundaire van een autotransformator niet elektrisch gescheiden
zijn, is de verbruiker voortdurend in verbinding met het voedingsnet. Bovendien moet de
laagspanningskring op dezelfde wijze geïsoleerd en gemonteerd worden als de
hoogspanningskring. Om die reden en uit veiligheidsoverwegingen is het gebruik van een
autotransformator verboden voor de voeding van laagspanningsnetten (geen galvanische
scheiding).
V.8. TRANSFORMATORTYPES.
In de praktijk komen verschillende types transformator voor:
- de hoogspannings vermogentransformator: de primaire en/of de secondaire zijn voorzien voor
hoogspanning;
- de galvanische scheidingstransformator (ook de scheidingstransformator genoemd) : kan een
transformatieverhouding gelijk aan 1/1 hebben maar heeft een secundaire wikkeling die
galvanisch geïsoleerd is van de primaire wikkeling. Is soms voorzien van een
aardingssysteem;
- de laagspannings transformator: transformeert naar een veilige laagspanning (speelgoed –
seininrichting);
- de transformator voor booglassen: hoge secundaire stromen, regelbare spreidingsflux;
- de regelbare transformator: de spanning van de secundaire kan geregeld worden;
- de driefasige transformator: transformeert naar een driefasige spanning (verhoging of
verlaging);
- meettransformator: meting van een hoge wisselstroom door galvanische scheiding van de
meetkring en de vermogenskring.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 86 / 115
HOOFDSTUK VI: KRINGEN OP BASIS VAN R, L EN C
VI.1. RC SERIE KRING
R
C
Ven
~
De vervangingsimpedantie van een RC serie kring wordt gegeven door:
grootte: Z 
R² 
1
²C²
faseverschuiving spanning stroom: tg  
1
RC
VR
θ
φ
(fase
verschuiving)
Ven
VC
Op de tekening zien we dat de spanning over de weerstand VR 90° voorijlt op de spanning
over de condensator VC en dat bovendien VR (90° -) of  voorijlt op de
voedingsspanning Ven.
De grootte van de diverse spanningen kan worden uitgedrukt in functie van de
voedingsspanning Ven, de waarden R en C en tenslotte de hoekfrequentie ω:
Vc 
1
C
R² 
1
²C²
.Ven 
Ven
R 2 2 C 2  1
ELEKTRICITEIT
B-M
VR 
R
R² 
1
²C²
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 87 / 115
Ven
.Ven 
1
1
R ²²C²
VI.1.1. RC SERIE KRING WERKEND ALS FILTER
Filters zijn bijzondere schakelingen die signalen met bepaalde frequenties aan hun ingang,
doorlaten aan hun uitgang en andere signalen met bepaalde frequenties aan hun ingang,
blokkeren aan hun uitgang.
Filters worden gekenmerkt door een doorlaatkarakteristiek. Er zijn 2 types.
Het eerste type filter is de laagdoorlaatfilter, waarbij men als uitgangsspanning de spanning
beschouwt over de condensatorklemmen. Het tweede type filter is de hoogdoorlaatfilter,
waarbij men als uitgangsspanning de spanning beschouwt over de weerstandsklemmen.
Nemen we: R = 100  et C = 1 F
De volgende tabel geeft, in functie van de frequentie f, de waarden van de stroom I en van de
spanningen VC en VR:

0
100 Hz
1 kHz
10 kHz
20 kHz
XC ()

1590
159
15,9
7,96
Ztot

1593
187,8
101,3
100,3
I (mA)
0
6,3
53,25
98,7
99,7
VC (V)
10
9,99
8,5
1,57
0,79
VR (V)
0
0,63
5,32
9,88
9,98
De responskromme (of antwoordkromme) van de laagdoorlaatfilter is hieronder voorgesteld.
De responskromme geeft, voor een gegeven ingangsspanning Ven, in functie van de waarde
van de frequentie van het ingangssignaal, de waarde van de uitgangsspanning.
De berekende waarden VC uit de tabel zijn overgebracht naar de grafiek. Door de
overeenstemmende punten is een vloeiende kromme getekend. De responskromme toont aan
dat de uitgangsspanning VC groter is bij lage frequenties en vermindert naarmate de
frequentie verhoogt.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 88 / 115
VC (V)
10
9
8,5
8
7
6
5
4
3
2
1,57
1
0,79
1
10 20
100 f (kHz)
Onderaan is de responskromme van een hoogdoorlaatfilter voorgesteld. De berekende
waarden VR uit de tabel zijn weergegeven op de grafiek en tussen de overeenstemmende
punten is opnieuw een vloeiende lijn getekend. We merken op dat de uitgangsspanning groot
is bij hoge frequenties en verlaagt als de frequentie beperkt is.
VR (V)
9,88
10
9
8
7
5,32
6
5
4
3
2
0,63
1
0,1
1
10
f (kHz)
Afsnijfrequentie en bandbreedte van een filter.
De frequentie waarbij de capacitieve reactantie XC gelijk is aan de weerstand R in een laagof hoogdoorlaatfilter RC wordt de afsnijfrequentie genoemd en wordt aangeduid met fc.
1
1

R
C 2f c .C
1
fc 
2RC
Dus uit : X C 
volgt:
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 89 / 115
Bij een frequentie gelijk aan de afsnijfrequentie fc is de waarde van de uitgangsspanning van
het filter 70,7 % van de maximum waarde. De afsnijfrequentie kan worden beschouwd als de
uiterste frequentie waarboven (of waaronder) de filter ingangssignalen doorlaat of
tegenhoudt. In een hoogdoorlaatfilter bijvoorbeeld zullen alle frequenties hoger dan fc
worden doorgelaten terwijl alle frequenties lager dan fc door de filter zullen geblokkeerd
worden. Het omgekeerde geldt voor een laagdoorlaatfilter.
Het frequentiebereik waarin de filter het ingangssignaal nagenoeg niet afzwakt wordt de
bandbreedte genoemd. De onderstaande figuur illustreert de bandbreedte en de
afsnijfrequentie van een laagdoorlaatfilter.
Vtot
1
0,707
bandbreedte
fc
f (kHz)
(afsnijfrequentie)
VI.2. RL KRING
Alle beschouwingen over RC kringen kunnen worden uitgebreid voor RL kringen, die
eveneens als filter kunnen worden gebruikt.
We zullen ons in wat volgt tevreden stellen met een aantal beschouwingen over het
vermogen. De belangrijkste toepassing van een RL kring is immers de electrische motor.
VI.2.1. VERMOGEN IN DE RL KRING
In een zuiver resistieve wisselstroomkring wordt alle energie van de voedingsbron door de
weerstanden vrijgegeven in de vorm van warmte.
In een zuiver inductieve wisselstroomkring wordt alle energie van de voedingsbron tijdens
één gedeelte van de spanningscyclus opgeslagen in het magnetisch veld van de spoel, om
daarna, tijdens het ander deel van de cyclus dezelfde energie terug te sturen naar de bron. Er
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 90 / 115
heeft dus een continue uitwisseling plaats van energie tussen spoel en bron ; er gebeurt
bovendien geen enkele omzetting van energie naar warmte.
Indien de kring zowel bestaat uit weerstanden en spoelen, wordt een gedeelte van de energie
afwisselend opgeslagen in en vrijgegeven door de spoel, terwijl een ander gedeelte van de
energie vrijgegeven wordt in de weerstanden. De hoeveelheid energie die wordt omgezet in
warmte hangt af van de relatieve waarden van de weerstand en de inductieve reactantie.
Wanneer de waarde van de weerstand R groter is dan die van de inductieve reactantie XC
wordt meer energie gedissipeerd in de weerstand dan dat er energie wordt uitgewisseld
tussen spoel en bron. Wanneer de waarde van de reactantie XC groter is dan die van de
weerstand R wordt meer energie uitgewisseld tussen spoel en bron dan dat er energie wordt
omgezet in warmte.
Het vermogen PR dat vrijgegeven wordt in een weerstand R onder de vorm van warmte
wordt het actief vermogen genoemd. Het vermogen verbonden met een spoel (inductantie) is
het reactief vermogen en wordt uitgedrukt door :
Pr = I2 .XL avec XL = .L
VI.2.1.1 Vermogensdriehoek
De algemene vermogensdriehoek van een RL kring is hieronder voorgesteld.
Het schijnbaar vermogen Ps is de resultante van het actief vermogen Pact en het reactief
vermogen Pr.
Ps (schijnbaar)
Pr (reactief)
φ
Pact (actief)
We weten bovendien dat de vermogensfactor VF  cos  .
Naarmate de fasehoek tussen de voedingsspanning en de totale stroom groter wordt,
verkleint de vermogensfactor cos φ. Hoe kleiner de vermogensfactor, hoe kleiner het actief
vermogen vergeleken met het reactief vermogen.
VI.2.1.2 Belang van de vermogensfactor
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 91 / 115
Uit wat voorafgaat blijkt dat de vermogensfactor VF een belangrijk gegeven is bij de
bepaling van het nuttig vermogen (of actief vermogen) die door een belasting wordt
opgenomen. De maximale waarde van de vermogensfactor is gelijk aan 1. In dit geval is de
totale stroom geleverd door de bron in fase met de spanning. Wanneer de vermogensfactor
gelijk is aan nul, is de stroom 90° verschoven ten opzichte van de spanning.
In het algemeen is het aan te bevelen een vermogensfactor te hebben die dicht bij 1 ligt: het
grootste deel van het vermogen van de bron wordt dan immers door de belasting als
werkzaam vermogen verbruikt. Het werkzaam vermogen gaat steeds in één richting, van de
bron naar de belasting, en komt overeen met een verbruik van nuttige energie. Het reactief
vermogen daarentegen pendelt gestadig tussen de bron en de belasting en levert alzo geen
geen nuttige arbeid.
In de praktijk hebben veel electrische toepassingen een inductief karakter dat, juist als gevolg
van de electromagnetische verschijnselen waarop hun werking is gebaseerd, onontbeerlijk is.
Voorbeelden zijn legio: tranfo’s, elektrische motoren, luidsprekers, ... In de
wissselstroomtoepassingen zijn inductieve en capacitieve belastingen niet meer weg te
denken.
VI.2.1.3 Verbetering van de vermogensfactor
De vermogensfactor VF van een inductieve belasting kan worden verbeterd door, parallel
aan de belasting, een condensator toe te voegen. Condensator en spoel vertonen immers een
compenserend gedrag t.o.v. wisselstroom: waar de stroom bij een inductieve belasting naijlt
op de spanning, ijlt hij bij een capacitieve belasting vóór op de spanning. In het
vectordiagram zijn de stromen IL en IC 180° verschoven ten opzichte van elkaar. Hierdoor
wordt de fasehoek φ tussen de voedingsspanning en de totale stroom beperkt waardoor de
vermogensfactor VF = cosφ dichter bij 1 komt te liggen.
a)
De totale stroom Itot is de resultante van IR en van IL. De stroom IR is in fase met de
voedingsspanning (hier niet voorgesteld).
b)
De stromen IC en IL werken elkaar tegen en worden dus van elkaar afgetrokken, met
als resultaat een zwakkere reactieve stroom, een kleinere totale stroom Itot en
navenant een kleinere fasehoek.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 92 / 115
Zwakke
resulterende
reactieve
stroom
VI.3. RLC SERIEKRING
VI.3.1. IMPEDANTIE EN FASEHOEK BIJ EEN RLC KRING
Een RLC serie kring bevat tegelijkertijd een spoel (inductantie) en een condensator
(capaciteit). Aangezien spoelen en condensatoren niet dezelfde invloed hebben op de
fasehoek zal de waarde van de totale reactantie Xtot steeds liggen tussen de afzonderlijke
waarden XC en XL.
Uit wat voorafgaat weten we dat bij een spoel de stroom naijlt t.o.v. de opgelegde spanning,
terwijl bij een condensator de stroom voorijlt op de spanning. De reactanties XL en XC
moeten bij gevolg van elkaar worden afgetrokken.
Indien XL gelijk is aan XC is de totale reactantie gelijk aan nul: de werking van de spoel
wordt dan volledig gecompenseerd door de werking van de condensator waardoor de
belasting teruggebracht wordt tot een zuiver resistieve kring.
In het algemeen geldt:
X tot  X L  X C
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 93 / 115
X L  XC is de absolute waarde van het verschil tussen de twee reactanties. Het resultaat is
dus steeds positief, ongeacht de relatieve groottes van XL en XC.
Voorbeeld: stel XC=7 Ω ; XL=3 Ω
dan is:
X tot  X L  X C  3  7   4  4 
Als XL > XC is de belasting overwegend inductief. Is daarentegen XC > XL, dan is de
belasting overwegend capacitief.
De totale impedantie van de RLC serie kring wordt gegeven door:
Z tot  R ²  (X L  X C )²
of Z tot  R ²  X 2tot
met X tot  X L  X C
terwijl de fasehoek φ tussen de voedingsspanning VS en de stroom I bepaald wordt aan de
hand van:
  arctg
X tot
R
De totale impedantie Ztot van een RLC serie kring kan nu worden voorgesteld in functie van
de frequentie. Bij lage frequenties is XC hoog en XL zwak: de belasting is overwegend
capacitief. Naarmate de frequentie f toeneemt, vermindert XC en verhoogt XL. Bij een
bepaalde frequentie fr is de capacitieve reactantie XC gelijk aan de inductieve reactantie XL.
Bij deze frequentie heffen beide reactanties elkaar op zodat de belasting zuiver resistief
wordt. Bij deze toestand treedt serie resonantie op. We gaan hier later verder op in.
Als de frequentie nog meer toeneemt, wordt XL alsmaar hoger dan XC en de kring wordt
overwegend inductief.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
Reactantie
Capacitief
XC > XL
16.02.2006
- Blz. 94 / 115
Inductief
XL > XC
XC
XL
Z
R
0
fr
Serie resonantie
f (Hz)
In een RLC serie kring is de spanning over de condensator VC altijd 180° verschoven t.o.v.
de spanning over de spoel VL. Om die reden moeten de spanningen VC en VL steeds van
elkaar afgetrokken worden zodat de spanning over het geheel van beide componenten altijd
kleiner is dan de spanning over elk element apart.
VI.3.1.1 Serieresonantie
In een RLC seriekring treedt resonantie op als XL = XC. De frequentie waarbij dit gebeurt
wordt de resonantiefrequentie r genoemd.
Bij resonantie heffen XL en XC elkaar op.
Bij de resonantiefrequentie fr is de grootte van de spanning over de condensator gelijk aan
de grootte van de spanning over de spoel. De reactanties XC en XR zijn immers gelijk en
aangezien beide componenten in serie geschakeld zijn, is de stroom door beide elementen
dezelfde: IC=IL.
De spanningen VL en VC zijn echter wel 180° ten opzichte van elkaar verschoven
(gedefaseerd). Dit betekent dat op een willekeurig tijdstip t, de polariteiten aan de klemmen
van C en van L tegengesteld zijn (zie figuur). De spanning over beide componenten, d.w.z.
de spanning tussen A en B, is dus op elk ogenblik gelijk aan nul. Aangezien er geen enkele
spanning is tussen A en B maar wel een stroom, is de totale reactantie gelijk aan nul. Er geldt
immers VAB  X tot .I  (X C  X L ).I
Uit het vectordiagram is eveneens af te leiden dat de spanningen VC en VL gelijk zijn in
grootte maar 180° ten opzichte van elkaar verschoven zijn.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
VC
VR A +
16.02.2006
VL
- -
VC
VR A -
+B
~
0V
~
fr
fr
(a)
VR A
(b)
Xtot = 0
B
VL
90°
0V
~
VL
+ +
0V
VR
fr
- 90°
(c)
VC
(d)
- Blz. 95 / 115
- B
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 96 / 115
VI.3.1.2 De resonantiefrequentie
Voor een gegeven RLC serie kring, d.w.z. voor gegeven waarden van R, L en C, treedt
resonantie op bij één welbepaalde frequentie.
Uit: XL = XC
volgt: 2.f r .L 
en dus : f r 
1
2.f r .C
1
2. LC
VI.3.1.3 Spanningen en stroom in een RLC serie kring
We gaan nu onderzoeken hoe de stroom en de spanningen in een LRC serie kring variëren in
functie van de frequentie.
Onder de resonantiefrequentie
Bij een frequentie f = 0 Hz (gelijkspanning), werkt de condensator als een open schakelaar
en blokkeert alzo de stroom. De bronspanning wordt, na een overgangsverschijnsel wel te
verstaan, volledig overgezet over de klemmen van de condensator waardoor de spanning
over de weerstand en over de spoel gelijk is aan nul. De reactantie XC en dientengevolge de
totale impedantie Z van de kring zijn dan oneindig groot.
Bij toenemende frequentie wordt XC kleiner en XL groter, waardoor de totale reactantie
Xtot=XC – XL afneemt. De impedantie Z wordt dan eveneens kleiner waardoor de stroom
toeneemt en bijgevolg ook de spanningen VR, VC en VL. Aangezien de waarden van VC en
VL dichter bij elkaar komen te liggen zal de spanning over het geheel condensator-spoel
afnemen.
Bij de resonantiefrequentie
Wanneer de frequentie f gelijk wordt aan de resonantiefrequentie fr, zijn VC en VL allebei
veel hoger dan de bronspanning VS. AangezienVC en VL gelijk zijn, heffen ze elkaar op. Bij
f=fr is de totale impedantie Z minimaal en gelijk aan R (Xtot im immers gelijk aan nul). De
stroom bereikt een maximale waarde gelijk aan VS /R evenals de spanning over de weerstand
VR die gelijk wordt aan de bronspanning.
Boven de resonantiefrequentie
Naarmate de frequentie blijft toenemen, zal XL verder stijgen en XC verder afnemen, zodat
de totale reactantie Xtot=XL-XC en navenant de totale impedantie Z vergroot. De stroom
neemt af evenals de spanningen VR, VC en VL. Het verschil tussen VC en VL neemt toe, de
spanning over het geheel condensator-spoel dus eveneens. Bij een zeer hoge frequentie
worden de stroom en de spanningen VR en VC oneindig klein. De spanning over de spoel VL
benadert dan de voedingsspanning Vs.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
VS
R
16.02.2006
- Blz. 97 / 115
VS
f
f
fr
fr
b) spanning over de weerstand
a) stroom
VC
VL
XC.I
XL.I
VS
VS
f
fr
c) spanning over de condensator
f
fr
d) spanning over de spoel
De figuren illustreren het gedrag van spanning en stroom in functie van de frequentie.
Naarmate de frequentie verhoogt, neemt de stroom aanvankelijk toe, bereikt een piek bij de
resonantiefrequentie en neemt tenslotte af. De spanning over de klemmen van de weerstand
heeft hetzelfde verloop als de stroom.
Het verloop van de spanningen VC et VL is eveneens geïllustreerd.
De spanningen zijn maximaal bij de resonantiefrequentie. Beneden en boven fr nemen deze
spanningen af. Bij de resonantiefrequentie zijn de spanningen over de klemmen van L en C
gelijk in grootte, maar 180° verschoven in de tijd zodat ze elkaar opheffen. De totale
spanning over het geheel van L en C is nul zodat de spanning over de weerstand VR gelijk is
aan de voedingsspanning Vs; apart beschouwd kunnen VL en VC veel hoger zijn dan de
bronspanning. We merken nogmaals op dat VL en VC steeds een tegengestelde polariteit
hebben ongeacht de frequentie. De spanning aan de klemmen van het geheel condensatorspoel neemt aanvankelijk af naarmate de frequentie verhoogt om een minimale waarde van
nul te bereiken bij de resonantiefrequentie. Boven fr neemt ze opnieuw toe.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 98 / 115
VI.3.1.4
VI.3.1.4.1 Fasehoek van de RLC serie kring
Voor frequenties onder de resonantiefrequentie is XC  XL en ijlt de stroom vóór op de
bronspanning (a). De fasehoek φ neemt af naarmate de frequentie nadert tot fr.
Bij f=fr is φ gelijk aan nul (b).
Voor frequenties boven fr is XL  XC en ijlt de stroom na op de bronspanning (c). Bij grote
frequenties, benadert de fasehoek 90°.
Het verloop van de fasehoek in functie van de frequentie is voorgesteld (d).
VS
VS
VS
I
I
I
φ
φ
φ=0
a) bij f < fr ijlt I vóór op VS
b) bij f = fr is I in fase met VS
c) bij f > fr ijlt I na op VS
90° (I ijlt na op VS)
0°
f
XC > XL
Capacitief
I ijlt vóór op VS
fr
XL > XC
Inductief
I ijlt na op VS
-90° (I ijlt na op VS)
d) fasehoek in functie van de frequentie
VI.3.1.4.2 De filter
Hieronder is een basis versie van een serie resonantie filter voorgesteld. Merk op dat het
serie gedeelte L-C zich bevindt tussen de ingang en de uitgang en dat de uitgang genomen
wordt over de klemmen van de weerstand.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
C
Vin
16.02.2006
- Blz. 99 / 115
L
R
Vuit
Een filter laat enkel signalen door waarvan de frequentie valt binnen een bepaalde zone (of
band) rond de resonantiefrequentie. De signalen met frequenties die buiten deze specifieke
zone vallen worden sterk afgezwakt alsof ze door de filter worden geblokkeerd.
De werking van de filter steunt op de eigenschappen van de impedantie van de RLC
seriekring. Uit wat voorafgaat, is gebleken dat de impedantie minimaal is bij de
resonantiefrequentie en toeneemt onder en boven deze frequentie. Bij zeer lage frequenties is
de impedantie zeer hoog en wordt de stroom geblokkeerd. Naarmate de frequentie toeneemt,
vermindert de impedantie, stijgt de stroom en wordt de spanning over de weerstand, d.w.z.
de uitgangsspanning, groter. Bij de resonantiefrequentie is de impedantie minimaal en gelijk
aan de weerstand R. Bijgevolg is de stroom en de uitgangsspanning maximaal. Naarmate de
frequentie verder toeneemt, stijgt de impedantie en nemen de stroom en de uitgangsspanning
opnieuw af.
VI.3.1.4.3 Bandbreedte van de filter
De bandbreedte BP van een filter is het domein van de frequenties waarvoor de
uitgangsspanning Vuit groter is dan of gelijk is aan 70,7 % van de maximale waarde, d.w.z.
de waarde die optreedt bij de resonantiefrequentie. De figuur illustreert de bandbreedte op de
responskromme van de filter.
De frequenties waarbij de uitgangsspanning 70,7 % bedraagt van de maximum waarde
worden de afsnijfrequenties genoemd. We maken onderscheid tussen f1, de lage
afsnijfrequentie, en f2, de hoge afsnijfrequentie. Andere benamingen voor f1 en f2 zijn: de
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 100 / 115
frequenties die overeenkomen met – 3 dB, de kritische frequenties, de halfvermogen
frequenties, …)
(Het begrip decibel, afgekort dB, wordt verder in dit hoofdstuk behandeld)
De bandbreedte BP volgt uit: BP = f2 - f1
De eenheid van bandbreedte is hertz (Hz), in analogie met de frequentie.
VI.3.1.4.4 Halfvermogen punten van de respons van de filter
We hebben eerder al vermeld dat de hoge en lage afsnijfrequentie soms de
halfvermogenfrequenties worden genoemd. Deze naamgeving is te verklaren door het feit
dat de waarde van het werkelijke vermogen van de bron bij die frequenties de helft bedraagt
van het vermogen dat bij de resonantiefrequentie wordt ontwikkeld. De volgende afleiding
illustreert dat die verhouding klopt voor een serie resonantiekring.
Pmax = I² max .R
Het vermogen bij de frequentie f1 of f2 bedraagt:
Pf1 = I 2f 1 R
= (0,707 Imax)² R = (0,707)² I²max.R = 0,5. I²max R= 0,5 Pmax
VI.3.1.4.5 Metingen in decibels (dB)
We hebben eerder vermeld dat de hogere en lagere afsnijfrequentie soms de frequenties – 3
dB worden genoemd. Het begrip (dB) is een logaritmische grootheid die de verhouding
weergeeft tussen een spanning en een andere spanning of tussen een vermogen en een ander
vermogen . Die grootheid wordt dikwijls gebruikt om de verhouding tussen de ingang en de
uitgang van een filter uit te drukken. De onderstaande vergelijking drukt een verhouding van
spanningen uit in decibels:
dB = 20 log
(Vsor )
(Ven )
De frequenties overeenkomend met – 3 dB : de uitgang van de filter wordt afgezwakt met 3
dB bij de afsnijfrequenties. Zoals we reeds weten is bij deze frequentie de uitgangsspanning
70,7 % van de maximum spanning bij resonantie. We kunnen aantonen dat het punt op 70,7
% gelijk is aan de term « 3 dB » onder maximumwaarde.
(of – 3 dB in de volgende formule). De maximum spanning is de frequentie bij 0 dB.
20 log
(0,707Vmax )
= 20 log (0,707) = – 3 dB
Vmax
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 101 / 115
VI.3.1.4.6 Gevoeligheid van een band doorlaatfilter
De responskromme wordt ook selectiviteitskromme genoemd. De selectiviteit bepaalt de
kwaliteit waarmee een resonantiekring respondeert op een bepaalde frequentie terwijl hij
zich verzet tegen de doorgang van andere frequenties. Hoe breder de bandbreedte, hoe
groter de selectiviteit.
We nemen aan dat een resonantiekring de frequenties binnen de breedte van de band
aanvaardt en deze die er buiten vallen elimineert. Maar in de praktijk is dat niet zo: de
signalen buiten de bandbreedte worden niet volledig geëlimineerd. Hun amplitude wordt
echter fel verzwakt. Hoe verder de frequenties van de afsnijfrequenties liggen, hoe groter de
afzwakking, zoals u ziet in a). Een ideale selectiviteitskromme wordt getoond in b).
We zien bovendien dat een andere factor de selectiviteit beïnvloedt: de hellingsgraad van de
kromme. Hoe abrupter de helling bij de afsnijfrequenties, hoe selectiever de kring omdat de
frequenties buiten de breedte van de doorlaatband meer worden afgezwakt.
Amplitude
De frequenties
gelegen tussen
f1 en f2 gaan door het
filter met en
amplitude gelijk aan
minimum 70,7% van
de maximale waarde.
1
0,707
1
De frequenties gelegen
buiten de doorlaatband
worden afgezwakt tot
waarden kleiner dan
70,7% van de
maximale waarde en
worden beschouwd als
zijnde geblokkeerd
f2
f1
doorlaatband
doorlaatband
a) Reëel
Algemene selectiviteitskromme van een doorlaatfilter
f2
f1
b) Ideaal
f
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 102 / 115
Amplitude
Beste selectiviteit
Gemiddelde
selectiviteit
Zwakke selectiviteit
BP1
BP2
BP3
f
Vergelijking van verschillende selectiviteitskrommen
De kwaliteitsfactor (Q) van een resonantiekring en zijn invloed op de bandbreedte.
De kwaliteitsfactor (Q) is de verhouding tussen het reactief vermogen van de inductor en het
reële vermogen van de weerstand van de wikkeling van de spoel, of de weerstand in serie
met de spoel. Het is de verhouding tussen het vermogen in L en het vermogen in R.
De kwaliteitsfactor is voor de resonantiekringen zeer belangrijk. We kunnen de formule van
de factor Q als volgt bepalen:
Q
=
opgenomen energie
verspreide energie
=
reactief vermogen
werkelijk vermogen
=
I²X L
I ²R
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 103 / 115
In een seriekring is de waarde van de stroom door de spoel L gelijk aan die door de
weerstand R ; dus heffen de termen I² elkaar op en blijft er:
Q=
XL
R
Wanneer de weerstand enkel bestaat uit de weerstand van de wikkeling van de spoel, is de
waarde van Q van de kring gelijk aan de waarde van Q van de spoel. Omdat de factor Q
varieert in functie van de frequentie en dus ook in functie van XL, zijn we vooral
geïnteresseerd in de waarde van Q bij resonantie. We merken op dat de factor Q een
verhouding is tussen gelijkaardige eenheden (ohm) ; bijgevolg wordt Q voorgesteld door
een getal zonder eenheid.
Hoe de factor Q de breedte van de doorlaatband beïnvloedt.
Een hoge waarde van de factor Q van een kring beperkt de bandbreedte. Een lagere waarde
van de factor Q van een kring geeft een bredere bandbreedte. De volgende formule geeft de
bandbreedte van een resonantiekring in functie van Q.
fr
Q
BP =
VI.3.1.4.7 Sperbandfilter
Hieronder ziet u een basisversie van de sperbandfilter. We merken op dat de
uitgangsspanning genomen wordt over de klemmen van het gedeelte LC; Deze filter is een
RLC seriekring, zoals de doorlaatfilter. Het verschil is dat de uitgangsspanning genomen
wordt over de klemmen van het geheel LC in plaats van over R.
De sperfilter blokkeert signalen met frequenties gelegen tussen de onderste en bovenste
afsnijfrequentie en laat daarbuiten signalen door. De band van de frequenties tussen de
onderste en bovenste afsnijfrequentie is de sperband. Dit filtertype wordt ook sperfilter,
bandblokkeerfilter of schermfilter genoemd.
R
1
C
Ven
L
0,707
Vsor
0
Sperbandfilter basisversie
f1
fR f2
BP
Algemene responskromme van een
sperbandfilter
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 104 / 115
Bij zeer lage frequenties lijkt de combinatie LC bijna een open kring door de hoge waarde
van XC, die nagenoeg de maximale ingangsspanning doorlaat naar de uitgang. Naarmate de
frequentie verhoogt, gaat de impedantie van het geheel LC naar nul bij de
resonantiefrequentie (ideaal). Het signaal wordt alzo kortgesloten aan de massa en er
ontstaat een oneindige uitgangsspanning. Wanneer de frequentie toeneemt boven de
resonantiewaarde, neemt de impedantie van het geheel LC toe met als gevolg een toename
van de spanning aan de uitgangsklemmen.
VI.3.1.4.8 Kenmerken van de sperbandfilter
Alle karakteristieken besproken bij de doorlaatfilter (stroomrespons, kenmerken van de
impedantie, bandbreedte, selectiviteit en factor Q) zijn dezelfde voor de sperbandfilter, met
dat verschil dat de responskromme van de uitgangsspanning omgekeerd is. Bij de
doorlaatfilter is Vuit maximaal bij resonantie. Bij de sperbandfilter is Vuit minimaal bij
resonantie.
VI.4. RLC PARALLEL KRING
VI.4.1. IMPEDANTIE EN FASEHOEK
De onderstaande kring is een parallelschakeling van R, L, en C.
De totale impedantie is
Z
1
1
1
1
(

)²
R²
XC XL
De fasehoek van de kring wordt gegeven door de volgende formule:
ELEKTRICITEIT
B-M
  arctg (
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 105 / 115
R
R

)
XC XL
Wanneer de frequentie boven de resonantiefrequentie ligt (XC  XL), is de impedantie van de
kring capacitief omdat de capacitieve stroom hoger is en de totale stroom voorijlt op de
bronspanning. Als de frequentie lager is dan de resonantiefrequentie (XL  XC), is de
impedantie van de kring inductief en ijlt de totale stroom na op de bronspanning.
VI.4.2. BETREKKINGEN TUSSEN DE STROMEN
In een RLC parallel kring is de capacitieve stroom steeds 180° verschoven ten opzichte van
de inductieve stroom (de weerstand van de spoel wordt verwaarloosd). Om die reden worden
de stromen IC en IL van elkaar afgetrokken. Op die manier is de totale stroom in de
vertakking van het geheel L en C altijd kleiner dan de stromen in de afzonderlijke takken.
Het ligt voor de hand dat de stroom door de weerstand steeds 90° verschoven is t.o.v. de
reactieve stromen.
De totale stroom bedraagt:
Itot =
I R2  ( I C  I L ) 2
De fasehoek kan ook worden uitgedrukt in functie van de stromen in de vertakkingen:
 = arctg (ICL)
( IR)
waarbij ICL gelijk is aanIC - IL, of de totale stroom in de vertakkingen van L en van C.
VS
IC en IL worden van elkaar
afgetrokken
Vectordiagram van de stromen voor een
RLC parallel kring
VI.4.3. DE OMZETTING SERIE-PARALLEL IN PARALLEL VORM
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 106 / 115
De serie-parallelle configuratie die hieronder is weergegeven is belangrijk omdat het een
kring voorstelt die bestaat uit L en C takken in parallel met de weerstand van de
spoelwikkeling, opgevat als een weerstand in serie met de L tak.
Om het eenvoudiger te maken kunnen we deze serie-parallel schakeling door een zuivere
parallel schakeling vervangen. Deze gelijkwaardige schakeling vereenvoudigt de analyse van
de karakteristieken van de parallelle resonantie.
RLC serie-parallel kring
(Q= XL/RE)
Equivalente parallel schakeling
De equivalente inductantie Leq en de equivalente parallel weerstand Rp(eq) worden verkregen
door de volgende formules:
Léq = L (Q² + 1)
Q²
Rp (éq) = RE (Q² + 1)
waarbij Q = XL de kwaliteitsfactor is van de spoel RE
Er bestaan verschillende afleidingen van deze formules waar we niet verder op ingaan.
We merken op dat bij een factor Q  10, de waarde van Leq nagenoeg dezelfde is als die van
de originele waarde van L. Voorbeeld: stel L = 10 mH, dan
Leq = 10 mH
bij 50 Hz, hebben we RE =
(10²  1)
= 10 mH (1,01) = 10,1 mH
10²
XL
2 .50.0,01
 0,3148 
=
10
Q
Rp (eq) = 0,314 (10² + 1)  32 
bij 10 kHz, hebben we RE =
XL
2 .50.0,01
 62,8 
=
10
Q
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 107 / 115
Rp (éq) = 62,8 (10² + 1)  6,3 k
De gelijkwaardigheid van de twee kringen impliceert dat bij een gegeven frequentie en een
gegeven voedingsspanning, de totale stroom en de fasehoek in beide kringen gelijk zijn.
Deze gelijkwaardigheid laat ons toe een meer eenvoudige analyse van de kring te maken.
.
VI.5. PARALLELLE RESONANTIE
VI.5.1. VOORWAARDE VOOR EEN IDEALE PARALLELLE RESONANTIE.
Idealiter treedt de parallelle resonantie op bij XL = XC. De frequentie waarbij resonantie
optreedt wordt de resonantiefrequentie genoemd, net zoals bij het serie model. Wanneer XL
gelijk is aan XC zijn de stromen in de twee takken IC en IL gelijk en natuurlijk 180° ten
opzichte van elkaar verschoven. Zo heffen de twee stromen elkaar op en is de totale stroom
gelijk aan nul. In dit ideaal geval wordt de weerstand van de spoelwikkeling verwaarloosd en
heeft dus geen waarde.
Omdat de totale stroom gelijk is aan nul, is de impedantie van de LC parallel schakeling
oneindig groot (). Die ideale resonantievoorwaarden worden in de volgende vergelijkingen
uitgedrukt:
XL = XC
Zr = 
VI.5.1.1 De frequentie van de parallelle resonantie
Voor een ideale parallelle resonantiekring wordt de frequentie waarbij resonantie optreedt
bepaald door dezelfde formule als voor de serie resonantiekringen.
fr 
1
2 LC
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 108 / 115
VI.5.1.2 Stromen in een parallelle resonantiekring
Het is interessant te onderzoeken hoe de stromen in een LC parallel schakeling variëren in
functie van de frequentie: lage frequentie – resonsantiefrequentie – hoge frequentie.
Bij zeer lage frequenties is de waarde van XC zeer hoog en die van XL zeer laag, waardoor
nagenoeg alle stroom door de spoel gaat. Naarmate de frequentie verhoogt vermindert de
stroom door de spoel en stijgt de stroom door de condensator, waardoor de totale stroom
vermindert.
De totale stroom is het verschil tussen de stromen in de twee takken omdat IL en IC steeds
180° verschoven zijn ten opzichte van elkaar. Gedurende deze tijd stijgt de impedantie
aangezien de totale stroom vermindert.
Wanneer de frequentie de resonantiewaarde r bereikt, zijn XC en XL gelijk. De stromen IC en
IL heffen elkaar op omdat ze dezelfde amplitude en tegengestelde fasen hebben. Op dat
ogenblik is de totale stroom nul. Omdat Itot nul is, is de impedantie Z gelijk aan oneindig. De
ideale LC parallel kring is dus een kring die open staat bij de resonantiefrequentie.
Naarmate de frequentie stijgt boven de resonantiefrequentie, blijft XC dalen en XL toenemen,
terwijl de waarden van de stromen in de parallelle takken weer beginnen af te wijken en IC
nu groter wordt. Bijgevolg neemt de impedantie af en stijgt de totale stroom. Wanneer de
frequentie zeer hoog wordt, wordt de impedantie zeer zwak door de overheersing van een
zeer zwakke waarde XC in parallel met een zeer hoge waarde XL.
VI.5.2. SPERKRING
De LC parallelle resonantiekring wordt dikwijls sperkring genoemd. Deze benaming verwijst
naar het feit dat de parallelle resonantiekring de energie afwisselend opslaat in het
magnetisch veld van de spoel en in het elektrische veld van de condensator. De opgeslagen
energie pendelt bij elke wisseling van de polariteit van de voedingsspanning, heen en weer
tussen de condensator en de spoel, terwijl de stroom voortdurend van zin verandert wanneer
de spoel haar energie aan de condensator geeft om op te laden en omgekeerd.
a) De spoel geeft energie waardoor de
condensator oplaadt
b) De condensator wordt ontladen waardoor
de spoel energie opneemt
VI.5.3. VOORWAARDEN VOOR EEN PARALLELLE RESONANTIE IN EEN NIET-IDEALE KRING.
B-M
ELEKTRICITEIT
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 109 / 115
Tot hiertoe hebben we de resonantie bekeken voor een ideale LC parallel kring. We
bestuderen nu de resonantie in een LC parallel kring waarbij rekening wordt gehouden met
de spoelweerstand.
De kwaliteitsfactor Q van de kring tijdens resonantie is eenvoudig weg de factor Q van de
spoel.
X
Q L
RE
a) Niet-ideale resonantiekring
b) Equivalent RLC parallel kring
De analyse van de werkelijke parallelle resonantiekring houdt rekening met de
spoelweerstand.
De uitdrukking voor de equivalente weerstand en de equivalente inductie zijn :
Rp (éq) = RE (Q² + 1)
Léq = L (Q² + 1)
Q²
We herhalen dat voor Q  10, Leq  L.
Tijdens de parallelle resonantie,
X L (éq )  X C
In de equivalente parallel kring is Rp (eq) parallel geschakeld met een ideale spoel en een
condensator, opdat de takken met L en C zouden werken als een ideale parallelle
resonantiekring met een oneindige impedantie tijdens de resonantie. Bijgevolg kan de totale
impedantie van de niet-ideale parallelle kring tijdens de resonantie eenvoudig worden
uitgedrukt als de equivalente parallelle weerstand.
Z r  RE (Q²  1)
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 110 / 115
Z= 
I=0
~
~
fr
Rp(eq)
RE (Q2 + 1)
Open
(Zr = )
fr
XL(eq) = XC
Tijdens de resonantie werkt het parallelle deel als een open kring - de bron ziet enkel:
Rp(eq) = RE (Q2 + 1)
VI.5.4. INVLOED VAN DE FREQUENTIE OP DE IMPEDANTIE
De impedantie van een parallelle resonantiekring is maximaal bij de resonantiefrequentie en
neemt af bij lagere en hogere frequenties.
Z
Algemene kromme van de
impedantie van een parallelle
resontie kring. De kring is
inductief onder fr, resistief bij de
frequentie fr en capacitief boven
fr.
Zr
f
XL<XC
fr
XC<XL
Bij zeer lage frequenties is de waarde XL zeer laag en die van XC zeer hoog. De totale
impedantie is dan nagenoeg gelijk aan de impedantie van de inductieve tak. Naarmate de
frequentie verhoogt, neemt de impedantie van de spoel toe tot wanneer de
resonantiefrequentie wordt bereikt. Op dat ogenblik is XL  XC (voor Q  10) en de totale
impedantie maximaal. Naarmate de frequentie verder toeneemt boven de
resonantiefrequentie, krijgt de capacitieve reactantie de bovenhand (omdat ze zwakker is dan
XL) en neemt de totale impedantie af.
ELEKTRICITEIT
B-M
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
16.02.2006
- Blz. 111 / 115
VI.5.4.1 Stroom en fasehoek tijdens resonantie
Bij de ideale parallelle resonantiekring is de totale stroom bij de resonantiefrequentie nul
aangezien de totale impedantie oneindig is. Bij de niet-ideale parallelle resonantiekring treedt
bij resonantie een zwakke stroom op, die door de impedantie bij de resonantie wordt bepaald.
I tot 
VS
Zr
De fasehoek bij resonantie is 0° omdat de impedantie bij de resonantiefrequentie puur
resistief is.
VI.5.4.2 Parallelle resonantiefrequentie voor een niet-ideale kring
Wanneer de weerstand van de spoel in rekening wordt gebracht weten we dat de voorwaarde
voor resonantie is:
XL
( éq )
 XC
wat eveneens kan worden uitgedrukt door :
 Q²  1 
1
 
2 f r L
 Q ²  2 f r C
We kunnen nu  uitdrukken in functie van Q:
fr 
1
2 LC
Q²
Q²  1
Als Q  10, is de waarde van de uitdrukking onder het wortelteken ongeveer gelijk aan 1.
Q²
100

 0,995  1
Q²  1
101
Wat betekent dat de parallelle resonantiefrequentie ongeveer gelijk is aan de serie
resonantiefrequentie voor zover Q groter is dan of gelijk is aan 10.
r 
1
voor Q  10
2 LC
De volgende betrekking geeft een exacte formule voor r in functie van de waarden van de
componenten R, L en C :
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
fr 
16.02.2006
- Blz. 112 / 115
1  ( RE2 C / L)
2 LC
Het gebruik van deze exacte formule is soms noodzakelijk. De meer eenvoudige betrekking
r = 1/2  LC is evenwel in de meeste praktische gevallen voldoende nauwkeurig.
VI.5.4.3 Invloed van een externe belasting.
Er zijn talrijke situaties in de praktijk waarbij een externe belastingsweerstand in parallel
voorkomt met een parallelle resonantiekring. De externe weerstand (RC) zal vanzelfsprekend
het grootste deel van de energie van de bron opnemen waardoor de totale factor Q van de
kring afneemt. De externe weerstand kan dan gezien worden als in parallel geplaatst met de
equivalente parallel weerstand van de spoel Rp (eq), die samen aanleiding geven tot de parallel
weerstand Rp (tot).
Rp(tot) = RCRp(eq)
RE
~
C
RC
L
fr
~
Léq
C
Rp(tot)
fr
a)
b)
Parallelle resonantie kring met een
belastingsweerstand in parallel en equivalent
schema
De totale factor Q voor een RLC parallel kring, Qo , heeft een andere uitdrukking dan die
voor een seriekring.
QO 
RP ( tot )
X L ( éq )
We stellen vast dat de waarde van Qtot, gelijk aan de factor Q van de spoel voor de kring
zonder belasting, beperkt wordt als gevolg van de invloed van de belasting op de parallelle
resonantiekring.
VI.6. PARALLELLE RESONANTIEFILTERS
De parallelle resonantiekringen worden geregeld gebruikt in de banddoorlaat- en
sperbandfilters.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 113 / 115
VI.6.1. BANDDOORLAATFILTER
Hieronder ziet u een basis schema van een parallelle resonantie banddoorlaatfilter. In dit
schema wordt de uitgangsspanning genomen over de klemmen van de parallelle
resonantiekring.
R
Ven
C
L
Vtot
Basisschema van een parallelle resonsantie
banddoorlaatfilter
De bandbreedte en de afsnijfrequenties van een parallelle banddoorlaatfilter worden op
dezelfde wijze bepaald als voor de serieresonantiekring. De voorgaande formules blijven dus
gelden. De responskrommen Vuit en Itot in functie van de frequentie worden hier voorgesteld.
Vuit
Itot
Imin
0
f1
fr f2
f
0
fr
f
Bij zeer lage frequenties is de impedantie van de parallelle resonantiekring zeer zwak. Er is
dan slechts een geringe spanning aan de uittreeklemmen. Naarmate de frequentie toeneemt,
stijgt de impedantie van de parallelle resonantiekring en stijgt de uitgangsspanning. Wanneer
de frequentie gelijk wordt aan de resonantiefrequentie, is de impedantie evenals de
uitgangsspanning maximaal. Naarmate de frequentie stijgt boven de resonantiefrequentie,
daalt de impedantie waardoor de uitgangsspanning afneemt.
VI.6.1.1 De belasting beïnvloedt de selectiviteit van een parallelle resonantie
banddoorlaatfilter
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 114 / 115
Wanneer de filteruitgang verbonden wordt met een resistieve belasting, wordt de factor Q
van de filter beperkt. Aangezien BP = r  Q stijgt de bandbreedte waardoor de selectiviteit
vermindert. Bovendien verkleint de filterimpedantie omdat in werkelijkheid RC parallel
optreedt met Rp (eq). De maximale uitgangsspanning wordt dus beperkt door het effect van de
spanningsverdeler Rp (tot) en door de interne weerstand van de bron Rs
Spanningsbron
RS en Rp(tot) treden op als
spanningsverdeler
Spanningsbron
Z =  (open)
RS
RS
RE
Rp(tot)
RC
~
L
VS
Vuit
C
L
~
C
Vuit= (
R p(tot)
)V
R p( tot)  R s s
VS
a) Parallelle resonantie kring met belasting
b) Equivalent schema
Vuit
Zonder belasting
Met belasting
0
fr
f
Invloed van de belasting op een parallelle resontie banddoorlaat filter
VI.6.2. SPERBANDFILTER
De uitgang wordt genomen over de klemmen van de belastingsweerstand in serie met de
parallelle resonantiekring.
De variatie van de impedantie in functie van de frequentie geeft de gekende stroomrespons
die we eerder hebben besproken; de stroom is minimaal bij resonantie en neemt toe langs
weerszijden van de resonantiefrequentie. Aangezien de uitgangsspanning genomen wordt
over de klemmen van de serie belastingsweerstand, heeft ze hetzelfde verloop van de stroom.
De uitgangsspanning is hier voorgesteld door de sperband responskarakteristiek: zie
illustratie sperband.
Kenm.: M08/TB/TOPL/010
ELEKTRICITEIT
B-M
16.02.2006
- Blz. 115 / 115
In werkelijkheid kan de sperbandfilter worden voorgesteld als een spanningsverdeler die
ontstaat uit de parallelschakeling van Zr van de parallelle resonantiekring en de
belastingsweerstand. De uitgangsspanning bij frequentie r bedraagt dus
( RC )
Vsor 
Ven
RC  Z r
C
Ven
Vsor
L
RC
Basisschema van een parallele resonantie
sperbandfilter
Vsor
0
f
fr
Responsie van een parallelle
resontie sperbandfilter
In deze hoofdstukken werden configuraties van basisfilters bestudeerd. Deze configuraties
worden soms gecombineerd gebruikt om de selectiviteit van de filter te verhogen. Zo kunnen
bij wijze van voorbeeld een parallelle doorlaatfilter en een serie resonantie filter
samengevoegd worden; de seriekring aangesloten tussen in- en uitgang en de parallel kring
verbonden met de uitgangsklemmen.
Variabele condensatoren of spoelen worden soms gebruikt in bepaalde filtertoepassingen
zodat de resonantiekringen kunnen worden afgestemd op een gamma van
resonantiefrequenties.
************************
**************
******
***
*