Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde
dr. G.R. Pellikaan
∗
Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017
College 2WF50
Contents
1 Algemeen
2
2 Inhoud van het vak
2
3 Leerdoelen
3
4 Berekening tijdsplanning
3
5 Onderwijs- en werkvormen
3
6 Beoordeling
4
7 Collegeplanning
5
∗
Faculteit Wiskunde en Informatica, Cluster Discrete Wiskunde
1
1
Algemeen
1. Vaknaam: Algebra and discrete wiskunde
2. Code: 2WF50
3. Semester: B, Kwartiel 3
4. Doelgroep: Bacheloropleiding Wiskunde
5. Doel van het vak:
Het leren denken in een wiskundige taal en het omgaan met algebraı̈sche begrippen
6. Studiepunten: 5 (ECT)
7. Studielast-uren: 140
8. Docent: Dr. G.R. Pellikaan; Kamer: MF 6.097b, Tel: 247.4222, Email: [email protected]
Faculteit Wiskunde en Informatica, Cluster Discrete Wiskunde
9. Instructeurs:
• L. Groot Bruinderink; Kamer: MF 6.103, Email: [email protected]
• G. Souza Banegas; Kamer: MF 6.142, Email: [email protected]
10. Studiemateriaal:
• Logic, Sets and Algebra van Arjeh Cohen, Hans Cuypers, Hans Sterk,
staat op Canvas
• Peter Stevenhagen (Universiteit Leiden), Algebra 1 in Nederlands:
http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/algebra1.pdf
• Peter Stevenhagen (Universiteit Leiden), Algebra 2 in Nederlands:
http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/algebra2.pdf
11. Studiewijzer op OASE/CANVAS en http://www.win.tue.nl/∼ruudp/2WF50.html
12. Secretariaat: Mevr. A. Klooster; MF 4.059, Tel: 2254, Email: [email protected]
2
Inhoud van het vak
Dit vak is een vervolg van Verzamelingen leer en algebra (2WF40). Het behandelt de
volgende structuren: halfgroepen, monoı̈den, groepen, ringen, domeinen, lichamen en hun
deelstructuren.
2
3
Leerdoelen
De leerdoelen worden in Sectie 7 (Collegeplanning) per week vermeld.
4
Berekening tijdsplanning
Totaal te besteden tijd 140 uur (5 studiepunten):
• College: 28 uur
7 maal college, wekelijks op dinsdag het 1e en 2e uur
7 maal college, wekelijks op vrijdag het 5e en 6e uur
• Instructie: 14 uur
7 maal college, wekelijks op dinsdag het 3e en 4e uur
• Zelfstudie: 63 uur
7 maal 9 uur bestaande uit EVO, zelfstudie en huiswerk
• Tentamenvoorbereiding: 31 uur
• Tentamen en toetsen: 4 uur
5
Onderwijs- en werkvormen
• Hoorcollege
Het college wordt gegeven in de vorm van hoorcolleges, 2 maal 2 uur per week
gedurende 7 weken met een uitloop in week 8. Van het college zijn videocolleges
beschikbaar.
• Zelfstudie
In de zelfstudie wordt het college bestudeerd aan de hand van hoofdstukken uit het
boek, aantekeningen en videocolleges. Tevens worden de opgegeven sommen en de
digitale opgaven op Canvas zoveel mogelijk gemaakt
• Instructies
Naast colleges volg je ook de bij het college horende instructies, 2 uur per week
gedurende 7 weken. De instructies worden voornamelijk besteed aan problemen die
bij het maken van de oefenopgaven en het verwerken van de stof in je eigen tijd zijn
opgetreden.
• Elektronisch Verrijkt Onderwijs
Er wordt een serie EVO opgaven gemaakt op de website:
https://oncourse.tue.nl/2016
3
6
Beoordeling
Het eindcijfer wordt samengesteld uit de onderdelen: tussentoets, EVO en eindtoets.
• De eindtoets (2WF51) wordt aan het eind van het 3e kwartiel gehouden en zal de
gehele stof testen en telt voor 70%. De herkansing wordt in de interim periode
gehouden.
• De tussentoets met code (2WF52) wordt op dinsdagochtend in collegeweek 5.a gehouden
in de tijd van de instructie en zal de stof van de eerste 3 collegeweken, dat is Hoofdstuk 13 testen en telt voor 20%.
• Elektronisch Verrijkt Onderwijs (EVO) met code (2WF53) zal wekelijks getest worden en telt in totaal voor 10%.
• Voor het afsluiten van het vak dient de professionele vaardigheid Omgaan met informatie (PVR62), voldoende te zijn afgerond.
4
7
Collegeplanning
1. Kwartiel 3, Week 1.a: Monoı̈den en halfgroepen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
monoı̈den en semi- of halfgroepen
definities
structuur
n-voudige bewerkingen
halfgroepen
neutraal element
eenheidselement
commutatieve bewerkingen
deel-structuren (monoı̈de, halfgroep)
vermenigvuldigingstabel
vrije monoı̈de over A
direct product van monoı̈den en halfgroepen
doorsnede van deelmonoı̈den/onderhalfgroepen
enkele voorbeelden
• College 1.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§13.1
• Instructie 1, dinsdag, 3e en 4e uur:
Herhaling van rekenen modulo n, het Euclidisch algoritme
§13.7: 3, 4, 5, 7, 10
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas.
5
2. Kwartiel 3, Week 1.b: Homomorfismen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
homomorfismen
isomorfismen,
voorbeeld f (e) = e0 is noodzakelijk
cyclische monoı̈den
voortbrenger van een cyclische monoı̈de
< D > M is deelmonoı̈de van M voortgebracht door D
Ck,n
M → M aps(M )
• College 1.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§13.2
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Instaptoets of de benodigde voorkennis van 2WF40 paraat is.
3. Kwartiel 3, Week 2.a: Inverse en groepen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
inverse
Euler ϕ function, ϕ(m) = |(Z/m)∗ |
inverse van element is uniek
schrapwet: uit xy = xz volgt y = z voor inv(x) in M
groepen, ondergroepen
• College 2.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§13.3 en 13.4
• Instructie 2, dinsdag, 3e en 4e uur:
§13.7: 11, 13, 16, 24, 27
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
6
4. Kwartiel 3, Week 2.b: Groepen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
direct product van groepen
cyclische groepen
voortbrenger, < g >, < D >
doorsnede van ondergroepen is een ondergroep
centrum Z(G)
centralisator C(X, G)
normalisator N (X, G)
morfismen, beeld en kern
• College 2.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§13.4
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Testen 1.1 t/m 1.11 op Canvas
5. Kwartiel 3, Week 3.a: Cyclische groepen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
orde van een groep
orde van een element
cyclische groepen, voortbrenger, voorbeelden
ondergroepen van cyclische groepen zijn cyclisch
< g k >=< g d > als d = gcd(k, n)
< g k >= G als gcd(k, n) = 1
• College 3.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§13.5
• Instructie 3, dinsdag, 3e en 4e uur:
§13.7: 28, 29, 30, 31, 31, 34, 35
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
7
6. Kwartiel 3, Week 3.b: Nevenklassen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
linker nevenklasse
Lagrange’s stelling
linker nevenklasse hebben dezelfde grootte
orde van een element deelt de orde van de groep
kleine stelling van Fermat
normale ondergroep
G/H is een groep als H een normale ondergroep van G is
voorbeelden
kern van een homomorfisme is een normale ondergroep
• College 3.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§13.6
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Testen 2.1 t/m 2.12 op Canvas
7. Kwartiel 3, Week 4.a: Training Information Skills
• Onderwerpen:
– Opzoeken van documenten in bibliotheek en via databestanden
• College 5.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
door Annelies Jacobs
• Instructie 5 dinsdag in 3e en 4e uur, maken van opdrachten
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
8
8. Kwartiel 3, Week 4.b: Ringen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
definitie van een ring
gehelen van Gauss
n × n matrices over de reële getallen
R[x], de ring van polynomen met coëfficı̈enten in R
eigenschappen van polynomen
graad, kop coefficient, monisch, irreducibel
deelringen
eigenschappen van ringen
• College 4.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§14.1
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Testen 3.1 t/m 3.13 op Canvas
9. Kwartiel 3, Week 5.a: Homomorfismen en constructies van ringen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
Homomorfismen van ringen
Z[x]/(x2 + 1) is isomorf met Z[i]
idealen
kern van een homomorfisme is een ideaal
direct product van ringen
Chinese Remainder Theorem het bewijs gebruikt het directe product
(R × S)∗ = R∗ × S ∗
doorsnede van deelringen is een deelring, < D > R
• College 5.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§14.1 en 14.2
• Tussentoets dinsdag, 3e en 4e uur
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
9
10. Kwartiel 3, Week 5.b: Domeinen en lichamen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
veelvoud
nuldelers, nuldelers zijn niet inverteerbaar
domein, als R een domein, dan is R[x] dat ook
schrap wet (cancellation law) geldt in een domein
lichamen
een eindig domein is een lichaam
L(a), breukenlichaam
breukenlichaam van een domein is een lichaam
• College 5.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§14.3
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Testen Geen
11. Kwartiel 3, Week 6.a: Lichamen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
priem lichaam, karakteristiek
K is een L-vectorruimte, als L een deellichaam van K is
de orde van een eindig lichamen is een macht van een priem
lichaam met 4 elementen
g(x) is inverteerbaar in K[x]/(f (x)) als gcd(g, f ) = 1
als f (x) is irreducible dan geeft dit een lichaam
a is een wortel (root) of nulpunt van f (x) ⇔ (x − a) deelt f (x)
een polynoom van de graad n heeft hoogstens n nulpunten
• College 6.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§14.3
• Instructie 6, dinsdag, 3e en 4e uur:
§13.7: 37, 39, 40
§14.8: 1, 3, 4, 7, 8
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
10
12. Kwartiel 3, Week 6.b: Algebraı̈sche gehelen en idealen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Frobenius automorfisme (x 7→ xq or xp ) voor eindige lichamen
Notatie voor eindige lichaam met q elementen: Fq
homomorfisme van een lichaam naar een ring en eigenschappen
algebraı̈sche gehelen
algebraı̈sch over een lichaam
algebraı̈sche gehelen vormen een lichaam
idealen
doorsnede van idealen is een ideaal
I + J is een ideaal
(V )R is een ideaal
• College 6.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§14.4
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
• EVO Testen 4.1 t/m 4.16 op Canvas
11
13. Kwartiel 3, Week 7.a: Quotient ring of residue klasse ring
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Z is een hoofdideaal ring, ieder ideaal wordt door 1 element voortgebracht
equivalente beweringen voor I = R
lichamen hebben alleen triviale idealen
priem ideaal, maximaal ideaal
maximaal idealen zijn priem idealen
omkering geldt bijna voor Z, behalve voor (0)Z
residue klassen zijn equivalentie klassen
R/I is een ring
eerste isomorfie stelling: R/I is een domein als I een priem ideaal is
R/I is een lichaam als I een maximaal ideaal is
f homomorfism van ring R naar ring S, dan R/ker(f ) is isomorf met Im(f )
voorbeeld: I = (n)Z of I = (x2 + x + 1)F2
• College 7.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
§14.4 en 14.5
• Instructie 7, dinsdag, 3e en 4e uur:
§14.8: 9, 11, 12, 13, 14, 15
• Zelfstudie en huiswerk, 3 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas
12
14. Kwartiel 3, Week 7.b: Lichamen
• Onderwerpen:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
L lichaam en |L| = q dan xq − x is het product alle (x − a) met a ∈ L
L∗ heeft q − 1 elementen
L∗ notatie voor de multiplicatieve groep van L
deellichaam van een lichaam met pn elementen heeft pm elementen, met m
een deler van n
minimaal polynoom van een algebraı̈sch element
het minimaal polynoom is uniek en is irreducibel
graad minimaal polynoom van a is gelijk het aantal geconjugeerden van a
n
irreducibel polynoom over Fq van graad n deelt xq − x
laatstgenoemde is gelijk aan het product van alle monische, irreducibele
polynomen van graad m een deler van n
dit geeft een manier om alle irreducibele polynomen te vinden en aan te
tonen dat voor ieder positief geheel getal n en iedere priem p er altijd een
irreducibel polynoom van de graad n bestaat met coëfficı̈enten in Fp
er zijn (p2 − p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over Fp
de multiplicatieve groep is cyclisch (merk op dat de verwijzing 6.5.10 betreft
en dat de bewering dient te gelden voor iedere deler van de orde van de
groep, en niet alleen voor orde van de groep zelf)
het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f (x) met f (a) = 0
• College 7.b, vrijdag, 5e en 6e uur:
§14.6 en 14.7
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek. Maak alvast
de eenvoudige opgaven voor de instructie.
15. Kwartiel 3, Week 8.a: Uitloop van college
• College 8.a, dinsdag, 1e en 2e uur:
• Instructie 8, dinsdag, 3e en 4e uur:
§14.8: 19, 20, 21, 22, 23 (hint, gebruik de norm), 24, 27, 28, 30
• Zelfstudie en huiswerk, 6 uur:
Doornemen van de behandelde stof op het college en in het boek, maken van
opgaven uit het boek en op Canvas.
16. Kwartiel 3, Week 8.b: Vragenuur
13