De tweede wet van Newton

5
De tweede wet
van Newton
De eerste wet van Newton zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem geen (resulterende) kracht werkt:
het systeem is dan in rust of voert een ERB uit (→
v is constant).
De tweede wet zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem wel een (resulterende) kracht werkt.
Wie denk je dat er gelijk heeft in onderstaande conceptcartoon?
© CNO (Centrum Nascholing Onderwijs)
Soms kunnen die twee effecten
ook tegelijkertijd optreden,
bv. een auto die tegen een
boom botst, wordt vervormd
en komt tot stilstand.
In het derde jaar zag je dat een kracht een statisch of een dynamisch effect kan hebben.
Voorbeeld
Effect
Plooien van een staaf.
Statisch effect: de staaf wordt vervormd.
Vertrek van een Space Shuttle.
Dynamisch effect: de raket versnelt.
46 ]
Kinematica en dynamica
Een zwaan die landt op het water.
Dynamisch effect: de zwaan vertraagt en
komt tot stilstand.
Zijwind.
Dynamisch effect: de sterke zijwind kan een wagen
van zijn rijrichting doen afwijken.
De tweede wet van Newton gaat over het dynamisch effect van een kracht, het versnellen, vertragen
en/of afbuigen van een systeem door een kracht.
In elk van die gevallen verandert de snelheidsvector →
v
- versnellen: →
v wordt groter
- vertragen: →
v wordt kleiner
- afbuigen: →
v verandert van richting.
Er is een snelheidsverandering ∆→
v en dus een versnelling →
a!
+
Kracht veroorzaakt versnelling!
Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag:
AG
SVRA
OEK
Z
R
DE
ON
→
Welke verband bestaat er tussen de (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling →
a van het
systeem?
We onderzoeken de vraag aan de hand van volgende twee voorbeelden.
47
Felix Baumgartner is een Oostenrijkse basejumper
die in 2012 als eerste door de geluidsmuur ging
bij een vrije val. Hij sprong daarvoor uit een
heliumballon vanop 39 km hoogte en haalde na
ongeveer 40 s een snelheid van 1200 km/h, de
geluidssnelheid. Zijn snelheid liep daarna nog op
tot 1357 km/h!
Op 39 km hoogte is er nagenoeg geen lucht meer
aanwezig. Daarom droeg hij een speciaal pak. Er
→
is geen luchtweerstand: de zwaartekracht Fz is
de enige kracht die op hem werkte. Die kracht is
verticaal en naar beneden gericht.
→
Fz
Omdat hij uit een ballon sprong, was zijn baan
rechtlijnig en verticaal.
De figuur toont zijn snelheid op twee verschillende
tijdstippen bij het begin van zijn sprong.
→
v1 is de snelheid op ogenblik t1.
→
v2 is de snelheid op (het iets latere) ogenblik t2.
Zijn gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is
→
v
1
∆→
v →
v2 - →
v1 →
v2 + (-→
v1)
→
ag =
=
=
∆t
-→
v1
∆→
v
→
v
2
→
v
2
→
a
g
∆t
∆t
Als je de vector →
ag bepaalt, zie je dat die verticaal
en naar beneden gericht is zoals de zwaartekracht.
Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling
→
a.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Voorbeeld 1: de parachutesprong van Felix Baumgartner.
48 ]
Kinematica en dynamica
Voorbeeld 2: het droppen van een voedselpakket.
In conflictgebieden worden voedselpakketten
gedropt om de burgerbevolking te helpen.
→
Fw
We bekijken de resulterende kracht op zo’n
pakket in punt P. Op het pakket werken
→
twee krachten: de zwaartekracht Fz en de
→
luchtweerstand Fw. De som van die twee
→
vectoren geeft de resulterende kracht F zoals in
de figuur.
P
→
F
→
Fz
Het pakket valt niet recht naar beneden maar
volgt een kromlijnige baan.
De figuur toont de snelheid van het pakket op
twee verschillende tijdstippen rond punt P.
→
v1 is de snelheid op ogenblik t1.
→
v2 is de snelheid op ogenblik t2.
→
v
1
P
→
v
2
De gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is
-→
v
∆→
v →
v2 – →
v1 →
v2 + (-→
v1)
→
ag =
=
=
∆t
→
v
1
1
∆t
∆t
Als je de vector →
ag construeert, zie je dat
die dezelfde richting en zin heeft als de
resulterende kracht!
Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling
→
a.
P
v
∆→
→
a
g
→
v
2
→
v
2
49
→
De (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling →
a van het systeem hebben dezelfde richting
en zin. (1)
+
Daarmee weten we nog niet welk verband er bestaat tussen de grootte van
de kracht en grootte van de versnelling.
7
a
m = cte
Experimenteel blijkt dat:
-de versnelling van een systeem recht evenredig is met de kracht die op
het systeem werkt:
hoe harder je duwt bij het vertrek met de fiets, hoe groter je versnelling.
a~F
-de versnelling van een systeem omgekeerd evenredig is met de massa
van het systeem: met twee zware fietszakken op je fiets, is je versnelling kleiner dan zonder (als je dezelfde kracht uitoefent!).
a~
a
F = cte
1
m
Daaruit volgt
F
a~
of
m
F
F
a
m~
1/m
F
= cte · a
m
F = cte · m · a
Door de keuze van de newton als eenheid van kracht in het SI-stelsel is de cte in deze formule gelijk
aan 1 en onbenoemd.
☞
Als een systeem met massa m een versnelling heeft met grootte a, werkt op het systeem een (resulterende)
kracht met grootte
F = m ∙ a(2)
Kracht wordt uitgedrukt in newton, symbool N:
1 N = 1 kg ∙ m/s2
De eigenschappen (1) en (2) kunnen samengevoegd worden:
☞
WET
→
Als op een systeem een (resulterende) kracht F werkt, heeft het systeem een versnelling a→ en geldt
→
F = m ∙ a→
Dat is de tweede wet van Newton.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
→
Uit deze twee voorbeelden blijkt dat de (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling →
a van
het systeem (veroorzaakt door die kracht) dezelfde richting en zin hebben. Dat geldt algemeen:
50 ]
Kinematica en dynamica
ls er op een voorwerp verschillende krachten inwerken, moet je alle krachten vectorieel samentellen.
A
→
De kracht F is dan de resulterende kracht op het systeem.



F2
F = ∑ Fi = m ⋅ a
F1
7
De tweede wet van Newton geldt
enkel voor puntmassa’s. Reële
voorwerpen kunnen als gevolg van
de resulterende kracht ook een
rotatieversnelling krijgen.
→
F3
→
a
F
F5
F4
Als op een systeem meerdere krachten inwerken, behouden die elk hun eigen uitwerking,
onafhankelijk van elkaar. Dat staat bekend als het onafhankelijkheidsbeginsel.
Volgende gedachteproef illustreert dat: hoog boven het aardoppervlak wordt vanuit een ballon in rust
een speelgoedvliegtuigje gelanceerd.
→
Het motortje oefent een constante en horizontale kracht Fm uit.
→
De zwaartekracht Fz is verticaal en naar beneden gericht. Elk van die krachten heeft zijn effect: het
vliegtuigje zal horizontaal versnellen door de motorkracht en verticaal naar beneden versnellen door
de zwaartekracht. De figuur toont het resultaat. De baan is recht en het is alsof er één enkele kracht
op het systeem werkt, de resulterende kracht.
7
We laten de wrijvingskracht
buiten beschouwing.
x
30 27
20
12 10
→
Fm
3
0
0
x
4,9
→
Fz
10
→
F
19,6
20
30
40
44,2
50
y
y
Bekijk nu eens terug de conceptcartoon van p. 45. Wie heeft er gelijk? Ben je van mening veranderd?
Zo ja, waar zat dan de fout in je redenering?
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
■
de 2e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven
■
het onafhankelijkheidsbeginsel uitleggen en illustreren met een voorbeeld
6
Kracht en
beweging
6.1
Kracht als de beweging gekend is
De beweging kan beschreven
worden door een x(t)- en
y(t)-tabel, door de bewegings­
vergelijkingen of door
de x(t)- en y(t)-grafiek. In dit
voorbeeld werken we met de
bewegingsvergelijkingen.
De foto toont één beeld uit een video-opname van
een crashtest. Door de positie van bv. het hoofd
in elk frame te registreren, kun je de beweging
daarvan vastleggen. Met die gegevens kun je de
kracht op het hoofd en de invloed van bv. de kreukelzone, de gordel enz… onderzoeken.
In deze paragraaf leer je hoe je de kracht op een
systeem kunt bepalen als je de beweging van het
systeem kent. We volgen daarbij Stefanie die een
pretpark bezoekt.
6.1.1 Stefanie op de achtbaan
y
P
x
Stefanie (massa 53,4 kg) doet een rit op de achtbaan (rollercoaster). We bekijken een deel van de baan
dat in een verticaal vlak ligt rond een top. We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur.
De positie (x en y-coördinaat) van Stefanie werd gemeten om de 0,1 s. De tabel geeft de resultaten
rond de top.
Ga na hoe vx, vy, v, ax, ay en a
berekend werden. Rond voor de
eenvoud af op 2 decimalen. Interpreteer het teken (wat betekent
het bv. dat ay negatief is?). Op
welk ogenblik overschrijdt Stefanie de top?
Punt P
t (s)
x (m)
y (m)
vx (m/s)
vy (m/s)
v (m/s)
2,80
13,77
26,17
2,90
14,26
3,00
ax (m/s) ay (m/s)
a (m/s)
26,21
4,93
0,23
4,94
14,76
26,22
5,01
-0,03
5,01
0,84
-2,52
2,66
3,10
15,27
26,20
5,10
-0,28
5,11
0,92
-2,45
2,62
3,20
15,78
26,16
5,19
-0,52
5,22
1,00
-2,39
2,59
3,30
16,30
26,10
5,30
-0,76
5,35
1,07
-2,32
2,56
3,40
16,84
26,01
5,41
-0,98
5,50
1,15
-2,26
2,53
3,50
17,39
25,90
5,53
-1,21
5,66
1,23
-2,19
2,51
3,60
17,95
25,77
5,66
-1,42
5,83
1,31
-2,12
2,49
3,70
18,52
25,62
5,79
-1,63
6,02
3,80
19,10
25,45
52 ]
Kinematica en dynamica
→
De kracht F is de resulterende
kracht!
→
We berekenen de kracht F op Stefanie op 3,60 s. Ze bevindt zich dan in punt P juist na de top.
Fx = m ∙ ax = 53,4 kg ∙ 1,31 m/s2² = 70,0 N
Fy = m ∙ ay = 53,4 kg ∙ (-2,12 m/s2) = -113 N
F = Fx2 + Fy2 = 133 N
Denk er aan dat je (x,y)-assenstelsel orthonormaal moet zijn!
26,5
Vermits je de componenten Fx en Fy nu kent, kun je de kracht in het punt P tekenen (fig a).
y (m)
26,5
P
y (m)
Fx
P
25,5
25,5
Ft
t
Fn
Fy
→
→
F
F
n
24,5
17,0
x (m)
18,0
19,0
24,5
17,0
fig. a
x (m)
18,0
19,0
fig. b
→
Je kunt nu ook de componenten Ft en Fn van F (grafisch) bepalen (fig b).
Voor de component Ft vind je
Ft = + 95,5 N
→
De tangentiële component Ft is positief. Dat betekent dat de kracht F werkt in de zin waarin Stefanie
beweegt: haar snelheid neemt toe! Dat klopt met de resultaten in de tabel.
Vermits F = Ft2 + Fn2 vind je voor de normaalcomponent
Fn = F 2 - Ft2 = ^133 N h2 - ^95, 5 N h2 = 92, 6 N
Die component van de resulterende kracht zorgt voor de afbuiging.
53
In het Engels spreekt men ook van
een gravitron.
•
+
DEFINITIE
Stefanie wil de draaiende ton doen. In dat cilindervormig toestel moet ze zich samen met de andere
deelnemers tegen de wand plaatsen. Het toestel begint dan rond te draaien. Bij een bepaalde draaisnelheid laat men de bodem naar beneden zakken en blijft iedereen tegen de wand hangen! Ze voert
dan een cirkelvormige beweging uit waarbij de grootte van de snelheid constant is. Zo’n beweging
noemt men een eenparige cirkelvormige beweging.
Definitie
Een systeem voert een eenparige cirkelvormige beweging (ECB) uit als
- de baan cirkelvormig is;
- de grootte van de snelheid constant is.
Andere voorbeelden: een cd in een cd-lezer, een band van een auto die een EB uitvoert, de beweging
van de aarde rond de zon …
Omdat het systeem geen ERB uitvoert, is er een resulterende kracht. Dat leidt tot volgende
onderzoeksvraag.
AG
SVRA
OEK
Z
R
DE
ON
Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de (resulterende) kracht op een systeem dat een ECB
uitvoert?
We bepalen die kracht vanuit de beweging van het systeem.
y
r
•
Hoeksnelheid
x
We kiezen het (x, y)-vlak zo, dat de baan van het systeem in dat vlak ligt en het in tegenwijzerzin
beweegt. De oorsprong kiezen we in het middelpunt van de cirkel.
De positiehoek θ is de hoek tussen de x-as en de vector →
r. Die hoek meten we in tegenwijzerzin.
Op t1 is de positiehoek θ1.
Op t2 is de positiehoek θ2.
De afgelegde of doorlopen hoek in het tijdsinterval [t1; t2] is
Δθ = θ2 – θ1
y
r
Vermits het voorwerp beweegt in tegenwijzerzin, is θ2 groter dan θ1 en is Δθ positief.
x
+
Vermits Δθ en Δt allebei positief
zijn, zijn ωg en ω positief.
De hoeksnelheid kan uitgedrukt
worden in °/s of rad/s.
De gemiddelde hoeksnelheid ωg in het interval Δt is ωg =
∆θ
∆t
De ogenblikkelijke hoeksnelheid ω (t) is gelijk aan ω (t) = lim
∆ t→0
∆θ dθ
=
∆t
dt
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
6.1.2 Stefanie in draaiende ton (ECB)
54 ]
Kinematica en dynamica
De periode T is de tijd nodig voor één omwenteling.
De frequentie f is het aantal omwentelingen per seconde.
Eén cyclus per seconde noemt men een hertz (Hz).
Tussen periode en frequentie bestaat het volgende verband:
f=
In het dagelijkse leven gebruikt
men meestal het toerental
i.p.v. de hoeksnelheid.
Dat geeft het aantal toeren per
minuut weer waarmee bv. een
automotor ronddraait.
Voorbeeld:
Een boormachine doet 600 toeren per minuut.
600 toeren/1 min = 600 toeren/60 s = 10 toeren per s = 10 Hz
De periode T bedraagt
T=
•
1
T
1
1
=
= 0,10 s
f 10 Hz
Positie
Van een voorwerp dat een ECB uitvoert, verandert de x- en de y-coördinaat voortdurend.
Voor de x-coördinaat geldt
We schrijven x(t) en θ (t) om
duidelijk te maken dat x en θ
veranderen met de tijd.
x(t) = r · cos θ (t)
want cos θ =
x
r
Deze formule geldt in elk kwadrant. Ga dat na (let op het teken!).
Voor de y-coördinaat geldt
y(t) = r · sin θ(t)
•
Snelheid
Voor de x-component van de snelheid →
v geldt
dx
dt
d
dθ
=
[r · cos θ(t)] = r · [-sin θ(t)] ·
= -r · sin θ · ω
dt
dt
vx=
We gebruiken hier de kettingregel die je in de lessen
wiskunde leerde.
Voor de y-component geldt
dy
dt
d
dθ
=
[r · sin θ(t)] = r · [cos θ(t)] ·
= r · cos θ · ω
dt
dt
vy=
y
r
θ
x
x
55
De grootte van de snelheid is
v = vx2 + v y2 = (-r ∙ ω ∙ sin θ )2 + (r ∙ ω ∙ cos θ )2 = r 2 ∙ ω 2 ∙ (sin2 θ + cos2 θ ) = r ∙ ω
De snelheidsvector raakt in elk punt aan de cirkel. Dat zie je ook aan de vonken die wegvliegen bij een
slijpschijf.
y
v
x
Eenheden van ω
In de formule v = ω · r kloppen de eenheden niet. In feite moet er staan
v=
ω·r
… rad /s · … m
m
=
= ...
(1) rad
(1) rad
s
Die 1 rad is afkomstig van de afgeleide van sin x of cos x en schrijft men meestal niet.
(zie lessen wiskunde)
Als je de hoeksnelheid ω uitdrukt in rad/s kloppen de eenheden wel:
v=
ω·r
… rad /s · … m
m
=
= ...
(1) rad
(1) rad
s
+
Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, geldt voor de grootte van de snelheid
v=ω·r
als je ω uitdrukt in rad/s.
Vermits v = w · r, hangt de snelheid v af van de afstand tot het middelpunt: hoe groter r, hoe groter v.
Dat merk je op een paardenmolen: hoe verder je aan de buitenkant zit, hoe sneller je beweegt.
De hoeksnelheid ω is wel gelijk voor iedereen die op de paardenmolen zit!
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
De oplossing v = -r · ω, die
wiskundig ook mogelijk is, kan
fysisch niet omdat v, r en ω positief zijn.
56 ]
Kinematica en dynamica
Uit de formule v = ω · r leiden we nog volgende eigenschappen voor de ECB af:
• ω is constant
v
Uit v = ω · r volgt ω = .
r
Vermits v en r constant zijn (definitie ECB), is ω ook constant.
Wiskundig kan dat op dezelfde
manier bewezen worden zoals
bv. bij de EB bewezen werd dat
vx,g = vx.
• ωg is constant en gelijk aan ω
Als de hoeksnelheid op elk ogenblik dezelfde waarde heeft, is de gemiddelde hoeksnelheid daaraan gelijk.
• ω =
2π
T
ω = ωg (zie vorige eigenschap)
=
Δθ
(definitie)
∆t
Als het voorwerp éénmaal de cirkelvormige baan doorloopt, is de afgelegde hoek Δθ = 2π (rad) en Δt = T.
Dus:
2π
ω =
T
•
We gebruiken hier opnieuw de
kettingregel.
Versnelling
Voor de x-component van de versnelling →
a geldt
dvx
dt
d
= [-r · w · sin θ(t)]
dt
dθ
= -r · w · [cos θ(t) · ]
dt
= -r · w2 · cos θ
ax=
Voor de y-component geldt
dvy
dt
d
= [r · w · cos θ(t)]
dt
dθ
= r · w · [-sin θ(t) · ]
dt
= -r · ω 2 · sin θ
ay=
De grootte van de versnelling is
De oplossing a = -r · ω2, die
wiskundig ook mogelijk is,
kan niet omdat a, r en ω2
positief zijn.
a = ax2 + ay2 = (-r ∙ ω 2 ∙ cos θ )2 + (r ∙ ω 2 ∙ sin θ )2 = ω 2 ∙ r
57
Voor de versnelling bij een ECB gelden nog volgende eigenschappen:
y
v
Dat volgt onmiddellijk uit
a = ω 2 · r
vermits ω en r constant zijn.
Alhoewel de snelheid constant is, is er toch een versnelling!
De oorzaak hiervan is dat versnelling de verandering van de snelheidsvector geeft (per s): de grootte


van v is weliswaar constant, maar de richting van v verandert voortdurend!
y
•De versnellingsvector
a is altijd gericht naar het middelpunt
van de cirkel.
y
at
a
x
De versnelling bij een ECB noemt
men daarom ook de
middelpuntzoekende of
centripetale versnelling.
n
a
x


S tel dat a niet naar het middelpunt zou gericht zijn, dan heeft a een tangentiële component at
verschillend van nul. Maar als at verschilt van nul, verandert de grootte van de snelheid en dat is
niet het geval.
• a =
v2
r
Uit v = ω · r volgt: ω =
v
r
Dat invullen in a = ω 2 · r geeft a =
+
an
t
v2
v2
2 ·r=
r
r
Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, is a = ω2 · r =
v2
r
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
• De versnelling a is constant.
58 ]
Kinematica en dynamica
•
Kracht bij een ECB
Bij een ECB is de versnelling op elk ogenblik naar het middelpunt van de cirkel gericht.
Omdat de resulterende kracht en de versnelling dezelfde richting en zin hebben, is de kracht op het
systeem op elk ogenblik ook naar het middelpunt gericht.
→
Daarom noemt men die kracht de middelpuntzoekende (of centripetale) kracht, symbool Fc.
Voor de grootte van de versnelling geldt
a=
v2
r
Daaruit volgt
F=m·a=m·
+
v2
r
Fc
Op een systeem dat een ECB uitvoert, werkt een kracht die steeds naar het middelpunt gericht is, de
middelpuntzoekende of centripetale kracht.
De grootte van die kracht is
Fc = m ∙ v 2/r
Voorbeeld 1: een wagen die een bocht neemt
Een wagen die op een horizontaal wegdek een cirkelvormige bocht neemt met constante snelheid
voert een ECB uit. De resulterende kracht is de middelpuntzoekende kracht:
v2
die is horizontaal, gericht naar de binnenkant van de bocht en heeft als grootte F = m · .
r
→
De kracht die daarvoor zorgt, is de wrijvingskracht Fw.
Vermits F = m ·
v2
geldt: hoe groter de snelheid, hoe groter de kracht die nodig is.
r
Vermits de wrijvingskracht echter begrensd is, is er een maximale snelheid waarmee je een bocht kunt
nemen. Die snelheid hangt ook af van de kromtestraal van de bocht: hoe scherper de bocht, hoe kleiner r
en hoe groter F moet zijn. Daarnaast speelt ook het wegdek een rol: bij ijzel is de wrijvingskracht zo klein
dat je de bocht slechts met een zeer kleine snelheid kunt nemen. Als de wrijvingskracht nul is, kun je de
bocht niet nemen en gaat de wagen rechtdoor (eerste wet van Newton).
Fw
Fw
Fw
Voorbeeld 2: hamerslingeren
Na enkele omwentelingen kun je de beweging van de bol bij het hamerslingeren beschouwen
als een ECB in een horizontaal vlak.
→
De resulterende kracht F is de middelpuntzoekende kracht:
v2
die is horizontaal, gericht naar het middelpunt en heeft als grootte F = m · .
r
Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, is die kracht het gevolg van twee krachten:
→
→
de zwaartekracht Fz en de kracht Fa die de atleet via het touw uitoefent.
Hoe sneller de bol wordt rondgezwierd, hoe groter de kracht van de atleet moet zijn.
Als hij het touw loslaat, vliegt de bol weg rakend aan de cirkel (eerste wet van Newton).
m
F
Fa
r
F
r
F
Fz
- OEFENING
ECB van een ruimteveer
Een ruimteveer beweegt op een hoogte van 300 km eenparig cirkelvormig rond de aarde in 90 minuten.
Bereken de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en van de versnelling.
Oplossing
a) De hoeksnelheid is
2π
ω =
T
300 km
2π
2π
=
= 1,2 · 10-3 (rad)/s
=
90 min 90 · 60 s
rA
Maak een tekening. Dan zie je
zo dat r de afstand is tot het
middelpunt van de aarde!
b)De snelheid is
v = ω · r
De afstand r is de hoogte + de aardstraal:
r = h + rA = 300 km + 6371 km = 6671 km = 6671 · 103 m
Dus
v = 1,2 · 10-3 (rad)/s · 6671 · 103 m
= 80 · 102 m/s (= 8,0 km/s = 29 · 103 km/h)
c) De versnelling is
a = ω2 · r
= (1,2 · 10-3 (rad)/s)2 · 6671 · 103 m
= 9,6 m/s2
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
59
60 ]
Kinematica en dynamica
6.2
Beweging als de kracht gekend is
Reusachtige planetoïde
zet koers richting aarde
op dit moEen reusachtige planetoïde zet
laat ruimDat
e.
aard
ment koers richting de
hemelHet
en.
wet
SA
tevaartorganisatie NA
(2015)
ari
janu
26
g
lichaam zal op maanda
.
eren
pass
rakelings onze planeet
ter geen
Volgens NASA hoeven we ons ech
4 BL86
200
de,
etoï
plan
zorgen te maken. De
werd)
ekt
ontd
4
200
in
genaamd (omdat hij
and
afst
ige
veil
een
op
(…) zal onze planeet
nog
n,
rme
tete
ruim
in
passeren, al blijft het,
ruim
dat
m,
haa
ellic
steeds dichtbij: het hem
ft, zal op
een halve kilometer diameter hee
ons vervan
er
‘slechts’ 1,2 miljoen kilomet
is onDat
ren.
wijderd langs de aarde sche
tot de
e
aard
de
geveer 3 keer de afstand van
maan.
bron: De Standaard 20/01/2015, National Geographic, NASA
Planetoïden (ook asteroïden genoemd) zijn kleine stukken materie die - evenals de planeten - rond de Zon
bewegen. De meeste bevinden zich tussen de planeten Mars en Jupiter. De grootste zijn bijna 1000 km
groot, maar de overgrote meerderheid is minuscuul klein. Op zo’n planetoïde werkt de gravitatiekracht (zie
verder). De kracht die op de planetoïde werkt, bepaalt de baan en de beweging ervan. Zo kan op voorhand
berekend worden wanneer en op welke afstand een planetoïde voorbij de aarde zal vliegen.
In deze paragraaf leer je hoe je de baan en de beweging op de baan kunt bepalen als de kracht gekend is.
We bekijken eerst het geval waarbij de kracht op het systeem constant is, waarbij de grootte en de richting
van de kracht dus niet veranderen. Een voorbeeld daarvan is de valbeweging.
6.2.1 Val in vacuüm
Een valschermspringer bedoelt
met een vrije val niet een val in
vacuüm, maar de tijd vóór het
openen van het valscherm.
De zwaartekracht is op die hoogte
ietsje kleiner, maar dat laten we
buiten beschouwing.
In 2012 sprong Felix Baumgartner uit een ballon op 39 km hoogte. Op die hoogte is nagenoeg geen lucht aanwezig (vacuüm) en kunnen we de luchtweerstand verwaarlozen. Een val in vacuüm noemt men een vrije val.
De resulterende kracht is dan de zwaartekracht. Die is constant en verticaal naar beneden gericht.
We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt waar zijn val begint. Zijn beginsnelheid is 0.
x
→
Fz
y
61
Projecteren van die wet geeft
op de x-as:
Fx = m · ax
op de y-as:
Fy = m · ay
In dit geval geldt
Fx = 0 en dus ax = 0. Het systeem versnelt niet t.o.v. de x-as en voert dus een EB uit t.o.v. de x-as.
Omdat de beginsnelheid nul is, verandert zijn positie niet t.o.v. de x-as en valt hij recht naar
beneden.
De valversnelling en de zwaarteveldsterkte worden door hetzelfde
symbool g voorgesteld. Verder
zullen we aantonen dat die twee
grootheden identiek zijn.
Fy = Fz = constant en dus ay = cte. Het systeem heeft een constante versnelling t.o.v. de y-as en
voert dus een EVB uit t.o.v. de y-as.
De snelheid van het systeem neemt lineair toe. De versnelling is constant en noemt men de
valversnelling g.
vy
ay
g
t
Op de maan is er geen atmosfeer
en vallen bv. een hamer en een
pluimpje even snel. Dat werd in
1971 door astronaut David Scott
gedemonstreerd tijdens één van
de maanlandingen.
t
Experimenteel blijkt:
• De valversnelling in vacuüm is onafhankelijk van de massa of van de vorm van het voorwerp:
alle voorwerpen vallen in vacuüm ‘even snel’.
• De valversnelling is afhankelijk van de plaats op aarde en van de hoogte. Meestal neemt men
voor de valversnelling dicht bij het aardoppervlak de gemiddelde waarde 9,81 m/s2. Dat is ook de
waarde in onze streken.
• Ook op andere planeten is er een valversnelling.
+
Bij een val in vacuüm voert het systeem een EVRB uit. De valversnelling g is onafhankelijk van het
voorwerp en bedraagt in onze streken 9,81 m/s2.
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Volgens de tweede wet van Newton geldt
→
F =m·→
a
62 ]
Kinematica en dynamica
6.2.2 Val in een fluïdum
→
Een voorwerp dat boven het aardoppervlak wordt losgelaten, valt door de zwaartekracht Fz naar beneden.
→
Door wrijving met de lucht werkt op het systeem ook een weerstandskracht Fw.
Vloeistoffen en vaste stoffen
noemen we fluïda, omdat die
kunnen ‘vloeien’.
Weerstandskracht werkt ook op bv. een steen die in water naar beneden valt. Wanneer een voorwerp valt in
een gas of een vloeistof, is er wrijving met die stof en spreekt men van een val in een fluïdum.
→
Fw
x
→
F
→
Fz
y
aarde
aarde
→ →
Fz en Fw resulterende kracht
Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.
AG
SVRA
OEK
Z
R
DE
ON
Hoe ziet de beweging (vy(t)- en ay(t)-grafiek) eruit voor een systeem dat een val in een fluïdum uitvoert?
De weerstandskracht is tegengesteld aan de snelheid →
v en is dus verticaal naar boven gericht. De resulte→
rende kracht F is
→ → →
F = Fz + Fw
→
Voor de grootte van F geldt
F = Fz - Fw
Zoals bij een val in vacuüm valt het voorwerp recht naar beneden en versnelt, maar de versnelling neemt
geleidelijk aan af.
Die eindsnelheid hangt af van
de massa van het systeem,
de frontale oppervlakte en
de middenstof. Voor een
valschermspringer ligt de
eindsnelheid rond 200 km/h.
Voor een regendruppel ligt de
eindsnelheid rond 20 km/h.
Verklaring:
In het begin van de val is de weerstandskracht nul en is de versnelling van het systeem gelijk aan
valversnelling g (9,81 m/s2). Naarmate het systeem sneller beweegt, wordt de weerstandskracht groter
en de resulterende kracht kleiner. De versnelling van het systeem wordt dus kleiner: de snelheid neemt
nog wel toe, maar minder snel. Op een bepaald moment is de snelheid zo groot dat de weerstandskracht
gelijk wordt aan de zwaartekracht: de resulterende kracht is dan nul en het systeem versnelt niet meer. Het
systeem bereikt zijn eindsnelheid en voert vanaf dat ogenblik een EB uit.
63
ay
vy
(m/s2)
v y, e
→
Fw
t
→
Fz
+
Bij een val in een fluïdum neemt de snelheid toe tot een bepaalde eindsnelheid. Het systeem voert
vanaf dat ogenblik een EB uit.
6.2.3 De horizontale worp
•
We bekijken de beweging van de
pijl na de lancering.
Waarom is het belangrijk het assenstelsel ‘goed’ te kiezen?
Bewegingsvergelijking
Een pijl die horizontaal wordt weggeschoten, beschrijft een horizontale
worp.
Laten we de luchtweerstand buiten be→
schouwing, dan is de zwaartekracht Fz de
→
resulterende kracht F. Die is constant en
verticaal naar beneden gericht (fig.a).
We kiezen het (x,y)-assenstelsel zoals in
de figuur. De oorsprong ligt op de aarde
en verticaal onder het vertrekpunt van
de pijl. De beginhoogte van de pijl is h,
de beginsnelheid →
v0 (fig. b).
t
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
9,81
64 ]
Kinematica en dynamica
y
y
→
v0
h
→
Fz
aarde
x
x
fig b
fig a
Volgens de tweede wet van Newton geldt
→
F =m·→
a
Projecteren geeft:
op de x-as:
Fx = m ∙ ax
op de y-as:
Fy = m ∙ ay
Vermits Fx = 0, is ax = 0 en voert het systeem een EB uit t.o.v. de x-as.
Vermits Fy = cte ≠ 0, is ay = cte ≠ 0 en voert het systeem een EVB uit t.o.v. de y-as.
y
y
Fz
Fz
x
x
+
EB t.o.v. de x-as
EVB t.o.v. de y-as
Een kracht zorgt enkel voor een versnelling in de richting en zin waarin ze werkt. Een systeem dat een
horizontale worp uitvoert en waarop enkel de zwaartekracht werkt, voert horizontaal een EB uit en
verticaal een EVB.
65
y
→
v
0
(y0 =) h
Invullen van de begingegevens
xo = 0 m (het systeem vertrekt boven de oorsprong)
vx = + vo to = 0 s (we starten de chronometer als het systeem vertrekt)
→
a
geeft
x = 0 m + vo · (t – 0 s)
x
0 (= x0)
+
Voor de x(t)-functie bij een horizontale worp geldt
x = vo · t
(1) Dat is een eerstegraadsfunctie. De x(t)-grafiek is een
schuine rechte.
x
Voor de y(t)-functie geldt
y = yo + voy · (t – to) +
T.o.v. de y-as voert het systeem
een EVB uit. De versnelling ay is
dan constant. Die versnelling
is gelijk aan de valversnelling g.
De component ay is negatief omdat het systeem versnelt in de
negatieve zin van de y-as.
Dus ay = -g = -9,81 m/s2
+
ay
· (t – to)2
2
t
Invullen van de begingegevens
yo = h (het systeem vertrekt op hoogte h)
voy = 0 m/s
to = 0 s
ay = -g
geeft
(-g)
· (t – 0 s)2
y = h + 0 m/s · (t – 0 s) +
2
Voor de y(t)-functie bij een horizontale worp geldt
y=h–
g 2
· t (2) 2
y
h
Dat is een tweedegraadsfunctie. De y(t)-grafiek is dus
een parabool. Het nulpunt van de y(t)-parabool geeft het
tijdstip waarop het voorwerp op de grond terecht komt.
t
•
De baan
De baan is de y(x)-functie. Die functie krijg je door t te elimineren uit de vergelijkingen (1) en (2).
Uit (1) volgt
t=
x
vo
Invullen in (2) geeft
y=h–
()
g x
·
2 vo
2
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Voor de x(t)-functie geldt dan
x = xo + vx · (t – to)
66 ]
Kinematica en dynamica
+
Voor de baan bij een horizontale worp geldt
g · x2
y=h–
(3)
2 · vo2
Dat is een tweedegraadsfunctie.
-g
· x2
2 · vo2
y = c + b · x + a · x2 ↔ y = h + 0 · x +
Verwar de y(x)-functie niet met
de y(t)-functie. De y(x)-parabool
geeft de baan van het systeem
weer, de y(t)-parabool geeft de
beweging van het systeem weer
t.o.v. de y-as.
Een systeem dat een horizontale worp uitvoert, volgt dus een parabolische baan. Het nulpunt van de y(x)parabool geeft de plaats aan waar het systeem op de grond terecht komt.
De x-coördinaat van de top van de parabool wordt gegeven door
-b
2a
0
=
=0
2·h
xtop =
Het vertrekpunt van het systeem is de top van
de parabool.
y
vo
In de functie
y = h –
g · x2
2 · vo2
g · x2
aan hoeveel hoogte het
2 · vo2
systeem verloren heeft als de (horizontale)
hoogteverlies =
h
geeft de term
g · x2
2 · vo2
x
x
positie x is.
Dat hoogteverlies hangt af van de beginsnelheid vo en van de afstand x.
Hoe groter de beginsnelheid, hoe kleiner het hoogteverlies.
Hoe groter de afstand x die je beschouwt, hoe groter het hoogteverlies.
Om het hoogteverlies bij het boogschieten zo klein mogelijk te maken, moet je de boog goed opspannen,
zodat de pijl een grote beginsnelheid heeft.
•
Het bereik
Het bereik of de dracht d is de horizontale afstand die het systeem aflegt tijdens de horizontale worp, tot
het op de grond terecht komt:
d = xe – xo
y
h
en vermits xo = 0 m
d = xe
vo
xe is een nulpunt van de parabool:
y=h–
x
xo
d
xe
h=
g · xe2
=0
2 · vo2
g · xe2
2 · vo2
67
xe2 =
2 · vo2 · h
g
+
xe = + vo ·
2·h
g
(xe is positief)
Voor het bereik (de dracht) bij een horizontale worp geldt
d = vo ∙
2∙h
g
Het bereik hangt af van de beginsnelheid vo en van de vertrekhoogte h.
Hoe groter de beginsnelheid, hoe groter het bereik.
Hoe groter de vertrekhoogte, hoe groter het bereik.
•
Snelheid
De snelheid vx t.o.v. de x-as is constant en is gelijk aan vo:
vx = vo
Voor de snelheid vy t.o.v. de y-as geldt
vy = voy + ay · (t – to)
Invullen van de gegevens voy = 0 m/s, to = 0 s en ay = - g geeft
vy = 0 m/s – g · (t – 0 s)
vy = - g · t
De grootte van de snelheid t.o.v. de y-as neemt toe met de tijd.
y
h
vo
x

De grootte van de snelheidsvector v wordt gegeven door
v = vx2 + v y2
= vo2 + (- g ∙ t )2
De snelheid v neemt toe met de tijd.
+

Voor de grootte van de snelheid v bij een horizontale worp geldt
v = vo2 + g2 ∙ t 2
K INE M ATICA E N DY NAM ICA
Dus
68 ]
Kinematica en dynamica
-
OEFENING
Een C-130 vliegt met een snelheid van 290 km/h en dropt een voedselpakket op een hoogte van 250 m.
Hoe ver komt het pakket terecht en met welke snelheid?
290 km/h
250 m
Oplossing
Het voedselpakket beschrijft een horizontale worp.
a) Voor de dracht geldt
d = vo ·
2 · 250 m
2·h
= 80,6 m/s · 7,14 s = 575 m
= 290 km/h ·
g
9,81 m/s2
b)De snelheid van het pakket is
v = vo2 + g2 ∙ t 2 (*)
We berekenen het tijdstip waarop het pakket op de grond komt met de y(t)-functie:
y = h –
g 2
9,81 m/s2 2
· t = 250 m –
·t
2
2
Op dat tijdstip is y = 0 m. Dus
0 m = 250 m –
9,81 m/s2 2
·t
2
Daaruit volgt
Merk op dat je het tijdstip
t = 7,14 s ook al in a) verkreeg.
Kun je dat verklaren?
t =
2 ∙ 250 m
= 7,14 s
9,81 m/s2
Invullen in (*) geeft
Let op de eenheden.
v = (290 km/h)2 + (9, 81 m/s2 )2 · (7,14 s)2
= 107 m/s = 385 km/h
WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:
�
de resulterende kracht en het effect ervan op een systeem bepalen als de beweging van het systeem
gekend is
�
de definitie geven van een ECB, de geziene eigenschappen bewijzen en de kenmerken van de kracht
geven
�
de val van een systeem in vacuüm en in fluïdum beschrijven en verklaren met de kracht(en)
�
de definitie geven van de horizontale worp, de geziene eigenschappen bewijzen en de beweging
verklaren met de kracht op het systeem
�
oefeningen en denkvragen m.b.t. de ECB, de valbeweging en de horizontale worp oplossen