Untitled

1 Inhoud
2
3
4
begrippen ........................................................................................................................................ 2
2.1
proposities ............................................................................................................................... 2
2.2
bewering .................................................................................................................................. 2
Wetten van Boole ............................................................................................................................ 3
3.1
1.De EN functie (AND) ook genaamd 'conjunctie':.................................................................. 3
3.2
De OF funktie ( OR ) ook genaamd 'disjunktie':....................................................................... 4
3.3
De NIET ( NOT ) functie, ook genaamd 'negatie' of complement. .......................................... 4
3.4
De equivalentie (EQV) funktie , gelijkheid of identiteit........................................................... 4
3.5
De exclusieve OF functie (XOR): .............................................................................................. 5
Talstelsels ........................................................................................................................................ 5
4.1
4.1.1
omzetten van binair naar decimaal ................................................................................. 7
4.1.2
omzetten van decimaal naar binair ................................................................................. 7
4.2
5
binair........................................................................................................................................ 6
Hexadecimaal .......................................................................................................................... 8
4.2.1
omzetten van binair naar Hex ......................................................................................... 9
4.2.2
omzetten van Hex naar binair ....................................................................................... 10
4.2.3
omzetten van Hex naar decimaal .................................................................................. 10
4.2.4
omzetten van decimaal naar Hex .................................................................................. 10
Alfanumerieke gegevens ............................................................................................................... 11
5.1
De ASCII-tabel ........................................................................................................................ 12
5.1.1
Uitbreidingen ................................................................................................................. 12
5.1.2
ASCII Arts ....................................................................................................................... 13
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 1
Logica
2
begrippen
2.1 proposities
In het dagelijks leven komen uitspraken voor zoals,
“mannekepis staat in brussel.
“De som van twee oneven getallen is even
“Het regent
“Laat ons mannekepis bezoeken
“Maak de som van twee even getallen
“Is 1 groter dan 2?
Toets deze uitspraken met de werkelijkheid.
Van welke uitspraken kan je zeggen dat ze waar zijn?
Van sommige kan je niet zeggen of ze waar zijn of niet.
Defenitie:
Een uitspraak die ofwel waar of vals is, noemt men een propositie.
Voorbeelden:
"Een kabeljauw is een vis." is een ware propositie.
"Een kabeljauw is een zoogdier." is een onware propositie.
"Een kabeljauw is vers." is een contingente propositie.
"Is dit een kabeljauw?" is een vraag en geen propositie.
Verder gaan we hier echter niet in op…….
2.2 bewering
In de logica is een bewering een declaratieve zin die of waar of onwaar is. Een bewering onderscheidt
zich van een zin doordat een zin slechts een formulering van een bewering is, terwijl er vele andere
formuleringen kunnen zijn die dezelfde bewering uitdrukken. De term "bewering" kan verwijzen naar
een zin of het idee dat door een zin wordt uitgedrukt. In de taalfilosofie bepleitte Peter Strawson om
de voorkeur te geven aan het gebruik van de term "bewering" boven de term propositie.
Voorbeelden van zinnen die beweringen zijn:
* "Socrates is een man."
* "Een driehoek heeft drie zijden."
* "Parijs is de hoofdstad van Spanje."
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 2
De eerste twee beweringen zijn waar, de derde is onwaar.
Voorbeelden van zinnen die geen beweringen zijn:
* "Wie bent u?"
* "Vlucht!"
* "Groenheid wandelt rond."
* "Ik had een grunks over de eiplant daar."
De eerste twee voorbeelden zijn geen declaratieve zinnen en daarom ook geen beweringen. Het
derde en vierde voorbeeld zijn declaratieve zinnen, maar omdat zij betekenis ontberen, zijn zij noch
waar noch onwaar. Om die redenen zijn dit geen beweringen.
3
Wetten van Boole
George Boole was een Brits wiskundige en logicus.
Vanaf 1849 was hij hoogleraar in de wiskunde in de Ierse stad Cork. Als uitvinder van de Booleaanse
logica, dat de basis vormt van de moderne digitale computerlogica, wordt Boole achteraf beschouwd
als een van de grondleggers van de computerwetenschap. Zijn zogenaamde booleaanse algebra's,
een vorm van symbolische logica, worden op diverse plaatsen in de wiskunde gebruikt en vinden
toepassing bij het ontwerpen van computerschakelingen. Booleaanse algebra bestudeert
algebraïsche structuren met de logische operatoren AND (en), OR (of) en NOT (niet). Deze
operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen doorsnede, vereniging en complement uit de
verzamelingenleer. De Booleaanse operatoren, en / and, niet / not, of / or, waar onder andere
zoekmachines gebruik van maken voor het specificeren van zoekopdrachten zijn naar George Boole
genoemd.
De elementaire Boole-functies zoals zowat elke die naam waardige computertaal en dus ook BASIC
die kent, zijn en worden gedefinieerd als volgt:
3.1 1.De EN functie (AND) ook genaamd 'conjunctie':
X AND Y is waar , dan en dan alleen als X waar is en ook Y waar is.
In de vorm van een waarheidstabel ziet dit eruit als:
X Y X AND Y
000
010
100
111
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 3
3.2
De OF funktie ( OR ) ook genaamd 'disjunktie':
X OF Y is waar, dan en dan alleen als X waar is, of Y waar is. Ook wanneer beide waar zijn, is het
resultaat van de funktie waar.
Waarheidstabel:
X Y X OR Y
000
011
101
111
3.3 De NIET ( NOT ) functie, ook genaamd 'negatie' of complement.
Dit is een unaire operator. De definitie is :
NOT X is waar dan en dan alleen als X vals is.
Waarheidstabel:
X NOT X
01
10
3.4
De equivalentie (EQV) funktie , gelijkheid of identiteit.
EQV Y is waar dan en dan alleen als beide dezelfde waarheidswaarde hebben.
Waarheidstabel:
X Y X EQV Y
001
010
100
111
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 4
3.5 De exclusieve OF functie (XOR):
X XOR Y is waar dan en dan alleen als X waar is of als Y waar is maar niet wanneer beide het zijn.
Waarheidstabel:
X Y X XOR Y
000
011
101
110
De impliklatie (IMP) , of de 'besluitregel'. (Als... Dan...)
X impliceert Y ( =uit X volgt Y) dan en dan alleen als wanneer X waar is ook Y waar is en wanneer X
vals is Y zowel waar als vals mag zijn. Dit kan eenvoudiger worden uitgedrukt met een negatie: X
impliceert Y is vals, dan en dan alleen als X waar is en Y vals is.
Waarheidstabel:
X Y X IMP Y
001
011
100
111
4
Talstelsels
Een talstelsel, getallenstelsel of getallensysteem is een wiskundig systeem om getallen voor te
stellen. Oorspronkelijk was een talstelsel een systeem om te tellen. Omdat tellen het opnoemen van
(natuurlijke) getallen inhoudt, kwam vanzelf de manier van noteren van die getallen aan de orde. Zo
zijn er talstelsels als het binaire stelsel en het daarmee verwante octale en hexadecimale stelsel, die
slechts bedoeld zijn om getallen voor te stellen. Andere talstelsels, zoals het twaalftallig stelsel en het
sexagesimale stelsel, die oorspronkelijk positiestelsels waren, fungeren nu nog slechts als telsysteem.
Hoewel turven goed beschouwd ook als een getalrepresentatie gezien kan worden, is het toch
pimair een manier van tellen. Andere stelsels, zoals het decimale stelsel, kunnen gezien worden in
beide betekenissen.
Enkele voor beelden:
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 5
Het binaire of tweetallige getalsysteem is een positiestelsel, waarin een getal wordt voorgesteld
door een rijtje van de cijfers 0 en 1. Een dergelijk cijfer wordt in deze context een bit genoemd.
In dit stelsel staat bijvoorbeeld 0110 voor het getal 6 in het decimale stelsel.
Hier gaan we later nog veel dieper op in.
Decimaal betekent tientallig. Het decimale talstelsel is een stelsel waarbij getallen worden
samengesteld uit de cijfers 0 t/m 9. De naam is afgeleid van het Latijnse woord voor tiende
(decimus).
Hexadecimaal betekent letterlijk 16-tallig. Het is een talstelsel waarbij niet, zoals gebruikelijk, met
tien cijfers wordt gewerkt, maar met zestien cijfers. De cijfers 0 t/m 9 worden daarom uitgebreid
met 'A' (=10) t/m F (=15), ook wel 'a' t/m 'f'. In deze context zijn dat dus ook cijfers, geen letters.
Het woord 'hexadecimaal' wordt vaak afgekort als hex.
Ook hier gaan we later nog veel dieper op in
Het sexagesimale stelsel (Latijn: sexagesimus, zestigste) of 60-tallig stelsel is een positiestelsel met
als grondtal 60. Het vindt als zodanig geen toepassing meer, maar als telsysteem vindt men nog
restanten ervan in de tijdmeting en de hoekmeting.
= 69
= 122
= 602.b
4.1 binair
Waarom: Omdat de geheugencellen van computers twee waarden kunnen aannemen, is er sprake
van binaire voorstelling van de opgeslagen informatie. Daarom worden getallen in computers intern
voorgesteld als binaire getallen. Voor de buitenwereld worden deze getallen vertaald naar het
hexadecimale of het octale stelsel, die beide nauw verwant zijn met het binaire.
Het octale en hexadecimale stelsel worden door computerprogrammeurs gebruikt bij taken waarbij
ze de bit configuratie van het getal moeten kunnen zien, omdat octale en hexadecimale getallen
gemakkelijk uit binaire getallen zijn af te leiden, namelijk door de binaire cijfers in groepjes van 3
(octaal) of 4 (hexadecimaal) te verdelen en deze groepjes van 3 respectievelijk 4 binaire cijfers steeds
tot één octaal respectievelijk hexadecimaal cijfer om te zetten. Dit principe geldt voor alle
getallenstelsels waarvan het aantal cijfers een macht van twee is.
Binaire getallen van 0 tot 15:
Decimaal
0
1
2
3
4
5
6
7
Jeroen Claes ©2010-2011
Binair
0
1
10
11
100
101
110
111
Decimaal
8
9
10
11
12
13
14
15
Binair
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Pagina 6
4.1.1
omzetten van binair naar decimaal
Omdat machten van twee zo een belangrijke rol spelen bij binaire getallen is voor het omrekenen
van binaire getalen belangrijk dat we een aantal machten uit het hoofd zouden kennen.
De eerste (en belangrijkste) 11 machten staan hieronder opgesomd in een tabel,
K
2k
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
7
128
8
256
9
512
10
1024
Als we dan gaan kijken hoe we omrekenen van binair naar decimaal:
Binair 1000 1000
1
128
0
0
0
0
0
0
1
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
8
0
0
1
2
1
1
0
0
1
16
0
0
0
0
1
2
1
1
Decimaal 136
Binair 1100 1011
1
128
1
64
Decimaal 203
Binair 010 1011
0
0
1
64
Decimaal 83
Oefeningen:
1) 1100 0000
2) 1010 1010
3) 101 0101
4) 1100 1010
4.1.2
5) 1111 1110
6) 1101 1011
7) 1011 1111
8) 1110 0111
omzetten van decimaal naar binair
Van decimaal naar binair is helaas iets ingewikkelder. Stel we willen het getal 57 omzetten. Dan
zoeken we eerst het grootste getal in de bovenste rij dat kleiner is dan of gelijk aan 57, namelijk 32.
Op die plek zetten we al een 1. Dit wordt dan (000)100000. Dan trekken we 32 van 57 af, dat wordt
25. Voor dit getal zoeken we weer het grootste getal in de bovenste rij dat kleiner is dan of gelijk aan
25, namelijk 16. Ook voor de 16 zetten we een 1, dus (000)110000. We trekken 16 van 25 af, dat
wordt 9. We zoeken weer het grootste getal in de bovenste rij dat kleiner is dan of gelijk aan 9,
namelijk 8. Voor deze zetten we weer een 1. (000)111000. 9-8=1. Nu hoeven we niet verder te
zoeken, want de 1 is makkelijk gevonden. Ook deze wordt toegevoegd. Zo hebben we relatief
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 7
eenvoudig berekend dat 57 binair 000111001 ofwel 111001 is.
Nog eenvoudiger is soms met een simpele deling:
57
28
14
1
0
7
0
3
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
Als je dan van de rechter kolom de getallen noteert van onder naar boven kom je op 111001 uit.
Oefeningen:
1) 193
2) 172
3) 10
4) 415
5) 505
6) 101
7) 129
8) 2
4.2 Hexadecimaal
hexadecimaal betekent letterlijk 16-tallig. Het is een talstelsel waarbij niet, zoals gebruikelijk, met
tien cijfers wordt gewerkt, maar met zestien cijfers. De cijfers 0 t/m 9 worden daarom uitgebreid
met 'A' (=10) t/m F (=15), ook wel 'a' t/m 'f'.
In deze context zijn dat dus ook cijfers, geen letters.
Een hexadecimaal cijfer is een snelle en overzichtelijke manier om vier binaire cijfers te schrijven.
Eigenlijk zou men de binaire computergegevens met enen en nullen moeten schrijven, dus
bijvoorbeeld 11000101011000100101110101110010. Dat is voor mensen onleesbaar, en daarom
worden de cijfers in groepjes van 4 gegroepeerd. Dat wordt dan 1100-0101-0110-0010-0101-11010111-0010. Ieder viertal wordt vervolgens in een hexadecimaal cijfer omgezet: C5625D72. Dit is veel
overzichtelijker.
Volgende tabel is steeds wel handig,
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 8
Decimaal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.2.1
Hex
0h
1h
2h
3h
4h
5h
6h
7h
8h
9h
Ah
Bh
Ch
Dh
Eh
Fh
Binair
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
omzetten van binair naar Hex
Wij gaan als voorbeeld 1010 1100 1101 1100 gebruiken.
Binair
1010
1100
1101
1100
Hex
A
C
Oplossing AC DC
D
C
Oefeningen:
1) 1100 0000
2) 1010 1010
3) 101 0101
4) 1100 1010
Jeroen Claes ©2010-2011
5) 1111 1110 1010 101
6) 1101 1011 0101
7) 1011 1110 1101
8) 1110 0111 1010 1100 1101 1100 0101 1100
Pagina 9
4.2.2
omzetten van Hex naar binair
Hex
F
Binair
F
9
1111
0000
1111
Oplossing 1111 0000 1111 1001
Oefeningen:
1) BEDh
2) 9F6h
3) 78D8Ah
4) BADh
4.2.3
0
1001
5) BAFFAh
omzetten van Hex naar decimaal
De omzetting van decimale getallen naar hexadecimale getallen is iets ingewikkelder.
Voorbeeld als we het getal A2Fh gaan om zetten:
Rangwaarden in formule vorm:
Rangwaarden in decimaal getal:
Symbool op die rang:
Decimaale waarde:
Decimaale waarde x rangwaarde:
161
16
16²
256
A
2
10
2560
32
160
1
F
2
15
15
= 2607 decimaal
Oefeningen:
1) BEDh
2) 9F6h
3) 78D8Ah
4) BADh
4.2.4
5) BAFFAh
6) 95h
7)10010h
8)D1F2A19Ch
omzetten van decimaal naar Hex
Om gekeerd kun je de omzetting van decimaal naar hexadecimaal uit voeren.
Wat is Bv. De hexadecimale voorstelling van het decimale getal 1730.
De methode lijkt op die van de omzetting decimaal-binair.
We gebruiken hier een herhaalde deling door 16 en we kijken telkens naar de rest.
Als je 1730 door 16 deelt, krijg je 108 met een rest van 2 ( we delen niet na de komma ).
dit schrijven we op en doen verder met getal 108.
als je getal 108 door 16 deelt, krijg je 6, met een rest van 12.
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 10
In tabelvorm geeft dit :
Berekening van de rest waarde
1730/16 = 108
108/16 = 6
6/16 = 0
1) 1935436
2) 175451
3) 10867
4) 4155462
5
Quotiënt
108
6
0
=2C6h Hexadecimaal
Rest
2
12
6
Hex
2h
Ch
6h
5) 505
6) 1015623347
7) 12945
8) 28
Alfanumerieke gegevens
Een groot deel van de taak van een computer bestaat uit werken met alfanumerieke tekens.
het inbrengen, bewerken, en weer tevoorschijn brengen van zinnen (op scherm of via een printer) is
een van de meest voor komende taken van een PC.
Ook hier zal dus een systeem moeten gekozen worden om al die letters en tekens te bewaren op de
computer in een gecodeerde vorm (binair)
Het geheel van alfanumerieke tekens die moeten worden voor gesteld is omvatten o.a. :
1. Al de letters van ons normaal alfabet (zowel in hoofd als in kleine letters).
2. De cijferkarakters 0 tot 9.
3. De verschillende leestekens inclusief de spatie die als een apart leesteken word beschouwd,
vaak voorkomende typografische tekens (,;:?.<>@&”’+~%# en de haakjes zelf)
Om het mogelijk te maken dat tekst bestanden tussen verschillende computers uit wisselbaar
werden of om het mogelijk te maken dat een computer van fabrikant x tekst kan afprinten op een
printer van fabrikant y werden in 1960 enkele “karaktersets” aanvaard.
In de loop der jaren zijn er verschillende systemen ontwikkeld, waarvan er van de meeste dan ook
nog eens lokale varianten zijn ontstaan (dialecten zeg maar) om tegemoet te komen aan
bijvoorbeeld de nood aan specifiek vaak gebruikte accent tekens (vb. é,è,á,à, â en ê)
of valuta tekens (€, $, £ en ¥) of land specifieke karakters (β, ζ of λ) of bijzondere leestekens .
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 11
5.1 De ASCII-tabel
Deze standard met de wel luidende naam American Standard Code for Information Interchange, de
ASCII tabel dus, was in oorsprong een tabel met een bitlengte van 7 bits.
Met 128 verschillende codes had men in principe dus voldoende codes ter beschikking voor alle
belangrijkste tekens en stuur codes. Deze oorspronkelijke versie van de tabel wordt ook wel eens de
ASCII-7 of standard ASCII-tabel of lower ASCII-tabel genoemd.
De standard of lower ASCII-tabel (gedeeltelijk)
5.1.1
Hex
00
07
0C
0D
20
28
2B
Dec
00
07
12
13
32
40
43
Bin
000 0000
000 0111
000 1100
000 1101
010 0000
010 1000
010 1011
30
31
48
49
011 0000
011 0001
39
57
011 1001
41
42
65
66
100 0001
100 0010
61
62
97
98
110 0001
110 0010
7F
127
111 1111
Teken of stuurcode
NULL-Waarde
Bel (geluid)
From feed
Carriage return
Spatie
(
+
…
0
1
…
9
…
A
B
…
a
b
…
DEL-actie
Uitbreidingen
ASCII is een 7-bits code, zodat er 27 = 128 ASCII-codes mogelijk zijn. De meeste computers werken
echter met 8-bits codes .De 8e bit werd traditioneel gebruikt voor foutdetecterende codes (in dit
geval een pariteitsbit) en andere apparaatspecifieke toepassingen. In eerste instantie bestond de de
extra verzameling beschikbare tekens uit gangbare accenten op het Latijnse schrift en diverse
grafische tekens (zoals bijvoorbeeld blokken, lijnen en rasters) waarmee onder meer goed ogende
menu's getoond konden worden. Deze eerste uitgebreide tekenverzameling stond bekend als de
ASCII-II tabel
Omdat in landen buiten de Verenigde Staten behoefte was aan extra tekens (zoals andere letters,
letters met accenten, valutasymbolen) werd het aantal mogelijke tekens vergroot door ook de 8e bit
te gebruiken (dit gaf tweemaal zoveel mogelijkheden, namelijk 28 = 256). Ook worden veel
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 12
stuurcodes niet meer voor hun oorspronkelijke doel gebruikt en deze zijn dus voor extra tekens
beschikbaar. Zo ontstonden de extended ASCII-tekenverzamelingen. Hierbij zijn echter verschillen
ontstaan tussen de tekenverzamelingen van verschillende talen. Extended ASCII, is niet één bepaalde
standaard, maar een verzamelnaam voor de verschillende tekenrepresentaties die de 95 afdrukbare
ASCII-tekens als basis hebben, zoals de ANSI-tekensets.
5.1.2
ASCII Arts
ASCII-art is een kunstvorm waarbij afbeeldingen worden samengesteld uit enkel ASCII-tekens. Vooral
in niet-grafische omgevingen, zoals bepaalde computerterminals, e-mail, SMS en chatomgevingen
bieden, wordt dit wel gebruikt om tekst toch van vaak zeer eenvoudige illustraties te kunnen
voorzien. Er zijn echter ook mensen die als hobby zeer uitgebreide ASCII-art maken, zoals
gedetailleerde taferelen, hetgeen creativiteit en geduld vereist.
Jeroen Claes ©2010-2011
Pagina 13