oneindige verzn Waarheid in het intuïtionisme Intuïtionistische

Intuïtionisme (Brouwer)
Intuïtionisme: oneindige verzn
n
wiskunde is een op zichzelf staande activiteit
betrekking hebbend op mentale constructies
volgens zelf-evidente regels, onafhankelijk
van taal.
n
volgens Brouwer vormen de positive integers
het startpunt van de wiskunde via herhaalde
duplicatie van het element '|': '|', '||', '|||', ... -te maken met de notie 'tijd'
n
aanleiding tot kritische beschouwing van
- de notie van een (existentie-) bewijs
- de notie mechanisch berekenbare functie
n
oneindige verzamelingen zijn intuitionistisch
gezien altijd 'potentieel oneindig' (onder
constructie) ipv actueel oneindig
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
69
Waarheid in het intuïtionisme
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
70
Intuïtionistische logica
n
waarheid van een bewering moet ook
constructief zijn: berusten op een bewijs (een
bepaald soort mentale constructie)
--gevolgen voor bewijzen van $-beweringen
n
de intuitionistische interpretatie (van
waarheid) van beweringen geeft
aanleiding tot een niet-klassieke logica:
n
gevolg: beweringen zijn niet waar of onwaar;
ze kunnen ook onbepaald zijn; zelfs inherent
onbepaald, als het een onbeslisbare
eigenschap betreft:
°intuit p ⁄ ¬p
n
de zgn. intuitionistische logica (Heyting)
n
asserties: 'reports of completed proofs'
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
71
Intuïtionistische logica
n
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
72
Intuïtionistische logica
'truth conditions':
- P ⁄ Q : tenminste een van P, Q is bewezen
- P Ÿ Q : zowel P als Q is bewezen
- P Æ Q : men heeft een constructie C
waarvan men heeft bewezen dat
als C wordt toegepast op elk
mogelijk bewijs van P het resultaat een
bewijs van Q is
Filosofie van de informatica
Filosofie van de informatica
73
- ¬P : is hetzelfde als "P Æ ^", dwz elk
mogelijk bewijs van P kan worden
getransformeerd in een bewijs van een
contradictie
- $x P(x) : er is een constructie van een s (in
het domein waarover men kwantificeert) zdd P(s)
bewezen is
- "x P(x) : er is een bewijs waarvan is
aangetoond dat dit specialiseert tot een bewijs van
P(s) voor elke s in het domein van kwantificatie.
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
74
1
Intuïtionistische logica
n
n
Intuïtionistische logica
formeel
bewijssysteem:
bijv.
'klassiek'
systeem van natuurlijke deductie minus de
regel van de eliminatie van dubbele negatie:
¬¬j
j
Voor de rest is het systeem hetzelfde als voor
klassieke logica, inclusief de 'ex falso sequitur
quodlibet' regel. Curieus is dat ook de regels
voor de kwantoren " en $ dezelfde zijn als in
het klassiek geval ondanks hun andere
(constructieve) interpretatie!
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
75
Axiomatiseren van de
wiskunde
1.
Enkele bekende niet afleidbare formules:
‡intuit ¬¬j Æ j
2.
‡intuit j ⁄ ¬j
3.
‡intuit $y($x j Æ j[y/x]) 'Plato's wet’
n
maar wel:
¶intuit $x j fi er is een term t zdd ¶intuit j[t/x])
n
n
Filosofie van de informatica
Aanhangers van het formalisme, zoals
Hilbert, droomden van een volledige
axiomatisering van de wiskunde
n I.h.b. werd nagedacht over hoe de
rekenkunde (volledig) kon worden
geaxiomatiseerd, omdat deze de kern
vormt van de wiskunde
n
n
n
n
n
n
n
n
– Peano’s axiomatische rekenkunde (PA)
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
77
Gezondheid van PA
n
n
waarbij N staat voor het standaardmodel van
de (eerste-orde) rekenkunde, d.w.z. de
natuurlijke getallen met de gebruikelijke
definitie van optelling, vermenigvuldiging,
successor en gelijkheid.
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
78
Onvolledigheid PA
gezondheid van de Peano rekenkunde:
Filosofie van de informatica
axioma's voor de rekenkunde naar Peano:
1. "x ¬(0 = sx)
2. "x, y (sx = sy) Æ (x = y)
3. "x x + 0 = x
4. "x, y x + sy = s(x + y)
5. "x, y x ¥ sy = (x ¥ y) + x
6. "x x ¥ 0 = 0
I. (P(0) Ÿ "x (P(x) Æ P(sx))) Æ "x P(x)
inductie schema
Filosofie van de informatica
¶PA j fi N • j
n
76
Peano’s axiomatische
rekenkunde (PA)
n
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
79
n
Hilbert's programma (in zeer verregaande
zin): er is een formeel systeem voor de
wiskunde dat consistent en volledig is, i.h.b.
is er een zo'n formeel systeem voor de
rekenkunde.
Kurt Gödel (1931): 'de (formele) rekenkunde
PA is niet volledig':
NIET: N • j fi ¶PA j
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
80
2
Onvolledigheid rekenkunde
Presburger rekenkunde
n
Gödel toonde zelfs aan dat ieder gezond,
consistent
formeel
systeem
dat
de
rekenkunde omvat, niet volledig is: er zijn
altijd ware beweringen (op andere dan
formele gronden bekend dat zij waar zijn!) te
vinden die niet kunnen worden bewezen in
zo'n systeem.
n
genadeslag voor Hilbert's programma!
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
81
n
positieve kanttekening: curieus is dat de
rekenkunde over de natuurlijke getallen
met alleen optelling en successor (geen
vermenigvuldiging) wel volledig kan
worden geaxiomatiseerd: "Presburger
rekenkunde". Het venijn zit ‘m dus in de
vermenigvuldiging!
Filosofie van de informatica
J.-J. Ch. Meyer, ICS, UU
82
3