tentINF050616

Kenmerk: TW04/SK/
Datum: 24 juli 2017
Tentamen Kansrekening en Statistiek (153008) voor INF en TEL
(tevens herhaaltentamen voor 153034 voor TEL)
Donderdag 16 juni 2005, 13.30-16.30 uur
Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven, een formuleblad en 3 tabellen. Vermeld ook
uw studentnummer en studierichting op uw werk en tentamenbriefje.
Uit statistische gegevens met betrekking tot fietsendiefstallen is het volgende af te leiden.
 Van de gestolen fietsen is 40% verzekerd
 Bij diefstal van een fiets wordt in 72% van de gevallen aangifte gedaan.
 Bij diefstal van een verzekerde fiets wordt in 90% van de gevallen aangifte gedaan.
a. Op de vraag hoe groot de kans is dat een (willekeurige) gestolen fiets verzekerd is en
er aangifte wordt gedaan van diefstal, antwoordt Jan 0.90×0.40 = 36% en Peter
0.72×0.40 = 28.8%. Wie heeft er gelijk?
b. Bereken de kans dat een fiets, waarvan de eigenaar aangifte doet van diefstal,
verzekerd is.
1. Bepaal met behulp van de onderstaande drie beschrijvingen van de stochastische variabele
X de kansverdeling van X en E(X) en bereken vervolgens P( X > E(X) ).
Motiveer kort uw keuze voor één van de bekende verdelingen.
a. Van een groep van 25 studenten hebben er 15 de colleges van het vak statistiek
(grotendeels) gevolgd. De kwaliteitscommissie voor het onderwijs nodigt willekeurig
5 van de 25 studenten uit voor een evaluatiebijeenkomst. Zij X het aantal uitgenodigde
studenten die de colleges gevolgd hebben.
b. Van alle Nederlanders heeft 0.1 % de ziekte van Krohn. Zij X het aantal personen met
de ziekte van Krohn onder de 3000 patiënten in een huisartsenpraktijk.
c. De belastingdienst probeert de problemen bij de belastingtelefoon in kaart te brengen.
Daartoe is op basis van een aselecte steekproef van gesprekken met cliënten een
histogram van de gespreksduren (inclusief wachttijd, gemeten in honderdsten van
minuten nauwkeurig) bepaald en hieronder weergegeven. De gemiddelde
gespreksduur in de steekproef was (ongeveer) 5 minuten. X is de gespreksduur in
minuten van een willekeurige cliënt van de belastingdienst.
2. De simultane kansverdeling van X en Y is m.b.v. de volgende tabel van kansen
P( X  x en Y  y ) gegeven:
x\y
0
1
2
0
0.4
0.1
1
0.1
0.1
0.1
2
0.1
0.1
a.
b.
c.
d.
Bepaal de marginale verdeling van X, E(X) en var(X).
Zijn X en Y onderling onafhankelijk? Motiveer uw antwoord.
Bepaal de kansverdeling van Z = X + Y.
Bereken de correlatiecoëfficiënt van X en Y .
3. Op grond van jarenlange ervaring hanteert een projectleider in de ICT-branche de volgende
kansverdelingen voor de winst (in 1000 Euro = k€) van een tweetal projecten:
de winst X op project 1 is N(10, 25) en de winst Y op project 2 is N(12, 144).
De projecten worden door verschillende mensen op verschillende locaties uitgevoerd en
daarom wordt aangenomen dat de resultaten onafhankelijk zijn.
a.
b.
c.
d.
Bereken voor beide projecten de kans dat er geen winst wordt gemaakt.
Bereken de kans dat de winst op beide projecten tezamen minstens 25 k€ bedraagt.
Bereken de kans dat project 1 meer winst oplevert dan project 2.
Indien het bedrijf veel projecten doet van hetzelfde type als project 1 en project 2,
welke van deze twee typen ( 1of 2) acht u dan het meest profijtelijk, aannemende dat
de kosten voor beide projecten ongeveer gelijk zijn? Motiveer uw antwoord.
4. X1, X2, …, Xn is een aselecte steekproef van X, die exponentieel verdeeld is met onbekende
verwachtingswaarde µ = 1/λ.
De som en het steekproefgemiddelde duiden we aan met S = ∑ Xi en X  1  X i .
n
a. Welk kansverdeling (type + parameters) heeft S als n =10 en E(S) = 20.
b. Bereken P( S ≥ 10) voor n = 36 en λ = 4 .
c. Geef een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor µ als voor n = 100 waarnemingen het
steekproefgemiddelde 2.4 en de steekproefvariantie 4.0 zijn.
Geef eerst de formule voor het betrouwbaarheidsinterval en de reden waarom je deze
in dit geval kunt toepassen.
5. Een week voor het referendum over de Europese grondwet onderzoekt een bureau in
opdracht van een regionale krant opkomst en stemgedrag van de kiesgerechtigden in
Twente. Met behulp van een aselecte steekproef van 500 Twentenaren wil men ten eerste
onderzoeken hoeveel Twentenaren zullen gaan deelnemen aan het referendum en
vervolgens welk percentage van de deelnemers vóór de grondwet zullen stemmen.
Zij X het aantal deelnemers en Y het aantal voorstanders (onder degenen die gaan
stemmen) in de steekproef.
a.
Welke kansverdeling heeft Y gegeven X = 225?
Bij uitvoering van de steekproef blijkt dat 225 van de 500 geïnterviewden te kennen
geven te zullen deelnemen aan het referendum en dat van deze deelnemers aan het
referendum er 123 zullen voorstemmen (en dus 102 tegen).
b.
c.
Bepaal een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage deelnemers onder alle
Twentenaren.
Bewijst de steekproef overtuigend dat de Twentenaren in meerderheid vóór zullen
stemmen? Voer daartoe een toets uit met onbetrouwbaarheidsdrempel 0.05.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Normering:
1
2
3
4
5
6
a b a b c a b c d a b c d a b c a b c Totaal
2 2 3 3 3 3 2 1 3 2 2 2 1 2 3 4 1 2 4
45
Cijfer= 9* aantal punten/45 + 1
Bijlagen:
Formuleblad
Poisson-tabel
N(0,1)-tabel
t-tabel