Document

6
Rationale getallen: vermenigvuldiging,
deling en machtsverheffing
Dit kun je al
gehele getallen vermenigvuldigen
gehele getallen delen
een macht van een geheel getal berekenen
breuken vereenvoudigen
gehele getallen en begrensde kommagetallen
omzetten in breukvorm
6 vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen
7 de regels van de volgorde van de bewerkingen
toepassen
1
2
3
4
5
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
A
B
C
Verder
oefenen
1
–5 · (–8) = …
40
–40
–13
oef. 220
2
25 : (–5) = …
5
–125
–5
oef. 228
3
(–4)3 = …
–12
–64
64
oef. 305
4
36
Vereenvoudig _ .
15
12
_
36
_
3
_
oef. 375
5
Schrijf 5,12 als een basisbreuk.
6
7=_
1
Los deze vergelijking op: x – _
5 2
7
( –2 )2
+3·
[ ( –6 + 2 ) · ( –1 ) + 2 ] = …
5
5
_
12
15
512
_
100
5
128
_
25
8
x=_
7
19
x=_
10
–19
x =_
10
oef. 415
8
14
22
oef. 348
Dit heb je nodig
Inhoud
•
•
•
•
•
•
G33
G34
G35
G36
G37
G38
leerwerkboek p. 125–148
oefenboek p. 131–160
kladblok
meetlat
rekenmachine
potlood en stiften
oef. 117
Breuken vermenigvuldigen
Machten van breuken
Breuken delen
Kommagetallen vermenigvuldigen en delen
De volgorde van de bewerkingen
Eigenschappen van het optellen
en het vermenigvuldigen in q
G39 Vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
G40 Vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen
p. 126
p. 130
p. 132
p. 134
p. 138
p. 140
p. 144
p. 146
125
G33
Breuken vermenigvuldigen
Op verkenning
a
Positieve breuken vermenigvuldigen
De grond van de familie Jacobs is opgedeeld in vier
gelijke delen: het huis, het gazon, de groentetuin en de
boomgaard.
Leid af uit de tekening en
schrijf als een breuk
Het deel van de grond dat groentetuin is.
Vul aan
met breuken
1
_
Noteer als
bewerking en geef
het product
1 is _
2 van _
2
_
4
10
4
40
Het deel van de groentetuin dat
beplant is met bonen.
2
_
Het deel van de grond dat beplant
is met bonen.
2
_
Het deel van de grond dat
boomgaard is.
1
_
4
1 van _
1
_
1·_
1
1 = _
1
4
3
_
_
1
3 4
12
3
is _
12
1
_
12
1
_
4
1
2·_
1
2 van _
_
_
2
5 4
5
4
_
1
2
5
1
2
is _ = _ = _ = _
20
10
20
10
1
_
10
Het deel van de boomgaard dat
beplant is met appelbomen.
Het deel van de grond dat beplant
is met appelbomen.
Het deel van de grond dat
groentetuin is.
Het deel van de groentetuin dat
beplant is met aardappelen.
Het deel van de grond dat beplant
is met aardappelen.
•
10
1 is _
2
2 van _
_
10
4
40
40
PRUIMEN APPELEN
PEREN
is hetzelfde als:
1=_
2 ·_
2
_
10 4
40
WORTELEN
PREI
SELDER
AARDAPPELEN
BONEN
UIEN
GAZON
HUIS
Bereken het product van deze breuken.
1 ·_
1=_
1 · 1 = _
1
_
10 4
10 · 4
1·_
1=
_
4 3
1=
2·_
_
5 4
b
1 = _
1
1..............................................................................................................................................................................................
_
......
·_
4 3
12
2 = _
1
2..............................................................................................................................................................................................
·1 = _
_
......
5·4
20
10
Negatieve breuken vermenigvuldigen
•
Bereken het product van deze breuken.
•
Pas in de teller en in de noemer de rekenregel voor het vermenigvuldigen van gehele getallen toe.
•
Let op dat er geen minteken staat in de noemer van je resultaat.
–3
8 ·_
_
=
–5
126
40
5
–8 · 3
24
_
= _
–5 · 5
25
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
Rekenregel – breuken vermenigvuldigen
• Bepaal het teken en plaats het in de teller.
5
2 · 1
=_
5 · 4
b en d ≠ 0
• Vermenigvuldig de tellers en vermenigvuldig
de noemers.
• Vereenvoudig.
2
=_
20
a ·_
c =_
a·c
_
b d
(4)
–1
–2 · _
_
a en _
c zijn breuken
_
b
d
b·d
1
=_
10
CONTROLE 43 Reken uit.
–20
–5 · 4
=
3·7
21
–5 _
_
_
. ................................................
· 4 = ._
3
c
7
–5 · 3
–15
=
14
7·2
5 _
–3 _
_
_
= ..................................................
·
7
2
5
1·5
=
6·4
24
5
–1 · _
_
_
_
......
= ............................................
–6 4
Handig rekenen
Je kunt tijd winnen door vóór het vermenigvuldigen te vereenvoudigen.
•
•
Schrijf de teller en de noemer als een product van getallen.
Deel daarna de teller en de noemer door eenzelfde getal.
3·5·3
9
=
2·5·5
10
15 _
3
_
_
_
.......
· = ................................................................................................................................................................................................
2 25
•
Je mag ook onmiddellijk de teller en de noemer delen door eenzelfde getal. Doorstreep dan deze getallen in de
teller en de noemer en noteer de quotiënten boven de doorstreepte getallen.
1
3 _
_
· 4
16
5
3
3·4
_
.......
= ................................................................................................................................................................................................
= _
16 · 5
20
4
Handig rekenen – breuken vermenigvuldigen
• Herschrijf de opgave op één breukstreep.
• Bepaal het teken en plaats het in de teller.
c zijn breuken
a en _
_
• Vereenvoudig tot de basisbreuk.
b en d ≠ 0
• Vermenigvuldig de tellers en
vermenigvuldig de noemers.
a ·_
c = _
a·c
_
b
b d
2 4
3
3·3·3·2·5
=
4
3·5·3·2·2·2
27 · _
10 = . ........................................................................................
__
_
_
d
2·4
8
–5 · 12
–5 · 3 · 4 –4
5 _
_
· –12 = _ = _ = _
9 15
b·d
CONTROLE 44 Reken handig uit.
15 24
3 5 · 3 15
5 _
_
· =_=_
d
9 · 15
3·3·3·5
9
3·4·3
=
2
3·3·2·4
1
–3 _
_
–12 · _
_
= ............................................................................... . . . . . . .
9
8
Breuken vermenigvuldigen met je rekenmachine
Gebruik van de rekenmachine
13 34
Welke toetsen moet je indrukken om dit product te berekenen? _ · _
21 12
127
G33
Breuken vermenigvuldigen (vervolg)
Oefeningen
WeeR?
420
1
Reken uit.
a
MeeR?
423
424
=
b
=
WeeR?
426
2
9
16
)
c
–8 · 3
–1
_
= _
8
2·4 = _
_
= .............................................................................................
.....
9
4·_
_
d
. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ..............
6
3·3·2·8
3 5
4·3·3
12
_
= _
. . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ..............
5
3·5
( )
9 2
5
–_ · _
· –_
2 10
6
3
3·3·2·5
= ._
. . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
= _
b
4
33 _
20 · _
1
_
· –77 · _
121 14
5
6
–2 · 2 · 5 · 3 · 11 · 7 · 11 · 1
= . .__
. . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
= –1
11 · 11 · 2 · 7 · 5 · 2 · 3
MeeR?
430
3
7
(
9
4 · –_
_
5
12
)
–3
–4 · 3 · 3
_
= .............................................................................................
.....
= _
5
5·3·4
=
d
=
5 _
–13 ( ) _
_
·
· –7 · 18 · 6
3
39
14
5 · 13 · 7 · 3 · 6 · 2 · 3
__
= 30
3 · 2 · 7 · 3 · 13
....................................................................................................... . . . . . .
–8 · 34 · _
4 ·_
–1
_
17 36
16
1
2 · 2 · 2 · 4 · 2 · 17 · 1 = _
__
....................................................................................................... . . . . . .
17 · 4 · 9 · 2 · 2 · 2 · 2
9
Reken uit. Let op: is het een optelling, een aftrekking of een vermenigvuldiging?
a
=
–7
4 +_
_
5
c
10
8 _
_
+ –7
. . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
10
10
1
= . ._
. . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
10
b
(
)
–39 _
3
4 · –_
–_
·
13
8
5
=
–32
–7 – _
13 + _
_
7
2
28
13 _
–8
26 49 16
_
+ –7 – _ = _ – _ + _
....................................................................................................... . . . . . .
7
7
2
14 14 14
–1
–7 = _
_
= .......................................................................................................
......
14
d
2
15
–8 · _
–_
9 –14
–4 · 3 · 13 · 3
= ._
. . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
–2 · 4 · 3 · 5
_
= .......................................................................................................
......
–9
= . ._
. . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
–20
_
= .......................................................................................................
......
13 · 5 · 2 · 4
10
128
7
c
2·2·5·2·3
WeeR?
429
2 · ( –4 )
–_
7
Reken uit.
a
MeeR?
427
428
(
3
8 · –_
_
3·3·2·7
21
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
4
•
•
Schrijf als een wiskundige bewerking.
Reken uit.
a
2 van 51 is
_
WeeR?
431
432
d
3
MeeR?
433
434
twee vijfde van de helft is
2 · 3 · 17
2
_
_
= 34
. . . . . ·. . .51
. . . . . . . . .=
. . ...........................................................................
................................................................................................. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................
................................................................................................. . . . . .
3
b
3
3
_
van –16 is
1 = _
2·_
2·1 = _
1
_
5 2
e
4
5
5·2
driekwart van 100 mensen is
3
–3 · 4 · 4
_
= _ = –12
. . . . . ·. . .(–16)
. . . . . . . . . . . ...........................................................................
................................................................................................. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................
................................................................................................. . . . . .
4
c
4
1 van _
1 van –480 is
_
6
3
3 · 4 · 25
_
· 100 = _ = 75
4
f
4
4
35 procent van 125 euro is
–1 · 1 · 4 · 20 · 6
35
35 · 5 · 25
175
1 _
1
_
_
= __ = –20 .................................................................................................
· 125 = _ = _ = 43,75 . . . . .
. . . . . ·. . . . . . . .·. .(–480)
. . . . ...........................................................................
6 4
6·4
100
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................
5
4 · 25
4
................................................................................................. . . . . .
In de supermarkt kun je op zaterdag hapjes proeven. Acht van de tien mensen proeft en driekwart van de
proevers koopt het product. Als je aanneemt dat niemand het product koopt als hij niet proefde, hoeveel
procent van de mensen koopt dan het product?
8
60
3 8
3·2·4
3
3
_
_
= _·_ = _ = _ = _
. . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
4
10
4 10
4·2·5
5
100
WeeR?
438
439
MeeR?
440
441
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Antwoord: 60 % van de mensen koopt het product.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ breuken vermenigvuldigen
τ breuken vermenigvuldigen met je rekenmachine
129
G34
Machten van breuken
Op verkenning
a
Machten van gehele getallen: herhaling
• Vul de tabel aan.
grondtal
2
23
106
(–2)5
–24
Exponent
vermenigvuldiging
3
10
–2
2
resultaat
2·2·2
6
5
4
8
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
1 000 000
–2·2·2·2
–16
(–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)
–32
• Schrap wat niet past.
– Als het grondtal positief is, is de macht altijd positief/negatief.
– Als het grondtal negatief is, is de macht positief als de exponent even/oneven is.
– Als het grondtal negatief is, is de macht negatief als de exponent even/oneven is.
b
Machten van breuken
• Vul de tabel aan.
( _53 )
Noteer als
een vermenigvuldiging
Pas de rekenregel
toe om breuken te
vermenigvuldigen
Pas de definitie van een
macht toe in teller
en noemer
resultaat
3 _
3 3
_
· ·_
3·3·3
_
3
_
27
_
3
–2
(_
9 )
2
–1
(_
3 )
5
5 5 5
2 · _
–2
–_
9
9
1 –_
1 –_
1 –_
1 –_
1
–_
3
3
3
3
3
3
5·5·5
( )( )
( )( )( )( )( )
125
4
_
81
–1
_
243
53
–2 · (–2)
_
9·9
(–2)2
_
92
(–1)5
_
35
(–1) (–1) (–1) (–1) (–1)
__
3·3·3·3·3
• Vergelijk de eerste en de vierde kolom. Hoe bereken je de macht van een breuk?
Je
teller en noemer van die breuk tot de macht.
. . . . . . . .verheft
. . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.....
Rekenregel – een breuk tot een macht verheffen
a en b zijn gehele getallen en b ≠ 0
• Verhef de teller tot die macht.
• Verhef de noemer tot die macht. n is een natuurlijk getal
1·1·1·1=_
1 =_
1
( _13 ) = _
3 · 3 · 3 · 3 3 81
( _13 ) = _31 = 1
( _13 ) = _31 = _31
16
–4 = _
–4 · _
–4 = _
(_
3 ) ( 3 ) ( 3 ) 9
( _ba ) = _ba met ( _ba ) ≠ 0
( _ba ) = 1 met _ba ≠ 0
( _ba ) = _ba
n
n
n
n
4
4
0
4
0
0
0
0
1
1
1
1
2
Kijk telkens goed wat het grondtal
van de macht is voor je deze
uitrekent.
(–4) · (–4) 16
( –4 )
_
=_=_
2
3
3
3
–16
–4 = _
–4 · 4 = _
_
2
3
c
Het omgekeerde van een breuk
• Vul aan.
33 = . .27
......
32 = . . . .9. . . .
31 = . . . .3. . . .
3 = . . . .1. . . .
1
_
3–1 =. . . . . . . .
3
0
130
8
( _23 ) = _
27
( _23 ) = _49
( _23 ) = _23
( _23 ) = 1
( _23 ) = _32
3
2
: . . . .3
.....
: . . . .3
.....
: . . . .3
.....
: . . . .3
.....
1
0
–1
........
........
........
........
........
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
2
3
_
: . . .2
......
3
2. . . . . .
: . . ._
3
2. . . . . .
: . . ._
3
: . . ._
......
3
3
Wiskundetaal – begrippen
1
het omgekeerde van 6 is _
6
7
4
_
het omgekeerde van is _
7 4
3
3 –1
lees _ = _2 als het omgekeerde van _ is _2
2
2 3
3
Het omgekeerde van een breuk (verschillend van nul)
bekom je door teller en noemer van plaats te verwisselen.
Het omgekeerde van een getal schrijf je als een macht
met exponent –1.
d
()
Machten van breuken berekenen met je rekenmachine
Gebruik van de rekenmachine
• Welke toets gebruik je om een breuk in te voeren?
• Welke toetsen gebruik je om een macht te berekenen?
( )
–5 8
• Welke toetsen moet je indrukken om _ te berekenen?
7
Oefeningen
6
7
8
9
Reken uit.
1
1
3
64
4
2
12 = _
144
_
= ....................................
2
25
5
3
_ = _
= ....................................
a
( _14 )
b
12
(_
5)
3
2
c
( – _12 )
d
–3
(_
2 )
(–1)
32
25
3
(–3)
–27
_
= ....................................
= _
3
8
2
5
–1
_ = _
= ....................................
5
3
e
(–11)
132
2
121
=_
..............................
......
=_
–11
(_
13 )
2
Reken uit.
a
(3)
1
= ....................................
b
–2
_
= –2
= ....................................
–4
_
0
3
–8
_
4
4
( )
( 125 )
( )
8
8
=–
....................................
–_ = _ e
121
121
3
3
_ = –_
=–
....................................
( )
_
= ....................................
(
c
8
– –_
2
d
–3
– _3
–5
c
37
– _
18
d
26
– –_
12
11
)
169
( )
1
– _
= ...............................
.....
5
–1
= _
625
4
( 10 )
2
– _
4
125
Reken uit met je rekenmachine.
4096
_
= ....................................
a
16
(_
25 )
b
–14 4 = ....................................
_
38 416
_
27
3
( )
15 625
531 441
2
(
)
3
–1369
324
2197
_
= ....................................
216
e
405
_
= ...............................
.....
45
_
2
80
3
_
= ......................................
( _23 )
b
–3
(_
4 )
–1
–1
2
–4
_
= .....................................
3
c
d
( _17 )
–1
7
= ................................................
e
–25
(_
17 )
–17
_
= .......................................
......
–1
–15
_
–8 = ...............................................
_
( 15 )
(2)
5
1
= _
32
MeeR?
451
452
WeeR?
453
WeeR?
454
25
–1
8
10 Je knipt een stuk stof in de helft door. Daarna knip je elke helft in twee gelijke delen. Het hoeveelste deel van
de lap stof heb je na vijf knipbeurten?
1
_
WeeR?
450
16
Bepaal het omgekeerde van elk getal.
a
WeeR?
449
1 van de lap stof.
Na vijf knipbeurten heb je _
32
WeeR?
455
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ breuken tot een macht verheffen
τ het omgekeerde van een breuk bepalen
131
G35
Breuken delen
Op verkenning
a
Een breuk delen door een
geheel getal
•
De eerste maatbeker is voor drie
kwart gevuld. Kleur de hoeveelheid
vloeistof groen.
•
Je giet de helft van deze groene
vloeistof over in de tweede
maatbeker. Kleur de hoeveelheid
vloeistof in de tweede
maatbeker groen.
•
Noteer onder elke maatbeker in
breukvorm hoeveel vloeistof
hij bevat.
•
–
–
–
–
–
8
8
Vul aan.
–
3
_
6
_
2
3
3
_
3
:2=_
Schrijf ‘de helft van _ ’ als een deling.
................................................................................
..
4
4
8
1
_
Met welke breuk duid je ‘de helft’ aan?
................................................................................ . .
2
3 3
1
3
_
Schrijf ‘de helft van _ ’ als een vermenigvuldiging van breuken. ................................................................................
..
·_=_
4
2 4 8
Conclusie:
1
_
Delen door 2 is hetzelfde als vermenigvuldigen met …
2................................................................................ . .
De helft kun je berekenen door te delen door …
................................................................................ . .
Delen door een getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met …
................................................................................ . .
Het omgekeerde van dat getal.
Rekenregel – de breuk delen door een geheel getal
• Vermenigvuldig de breuk met het
omgekeerde van het geheel getal.
a, b en c zijn gehele getallen
verschillend van 0
• Pas de rekenregel voor het
vermenigvuldigen van breuken toe.
a :c=_
a ·_
1
_
b
CONTROLE 45 Reken uit.
3·1
3 _
1
3
_
. . . . . ....................................................................................
: 9 = ._
·1 = _ = _
4
4 9
4·3·3
12
b
1
1=_
1
2·1 = _
2:6=_
2·_
_
3
3 6
3
9
b c
–1 · –1 = 1
6
2
3
_
_
–1 : (–3) = _
_
................................................................................... . . . . . .
2
Een breuk delen door een breuk
•
•
Schrijf deze delingen als een vermenigvuldiging.
Bereken het resultaat.
4 · 3 = 12
5 1
5
_
_
4:_
1= _
_
................................................................ .................
5 3
7·4 = 7·4 =7
8 1
2·4·1 2
_
_ _
1= _
7:_
_
........................................................................................... . . . . . .
8 4
Bij negatieve breuken blijft het minteken van de breuk bij zijn omgekeerde in de teller staan.
–3 –6 3 · 2 · 3
9
·
=
=
8 5
2 · 4 · 5 20
_ _ _ _
–3 _
–5
_
:
= ...........................................................................
8
132
3·6
6
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
Rekenregel – breuken delen
• Vermenigvuldig de eerste breuk met
het omgekeerde van de tweede breuk.
• Pas de rekenregel voor het vermenig–
vuldigen van breuken toe.
a, b, c en d zijn gehele
getallen verschillend van 0
5
–3 _
15 _
15 · 20 –100
15 _
_
:
=
· –20 = – _ = _
7
a : _
c = _
a · _
d
_
b d
7
20
3
7·3
1
7
b c
CONTROLE 46 Reken uit.
–5 _
9
–5
20
–5 · 2 · 10
–50
_
_
_
_
. ....................................................................................
: = . ._
6 20
c
·
6
9
=
=
2·3·9
27
–2 · 2 · 3 · 9
4 _
–27
–6 = ................................................................................
4 : _
_
_
·
= _ = –1 . . . . . . .
6
18
18 27
2·9·2·3
Breuken delen met je rekenmachine
Gebruik van de rekenmachine
–5 –15
Welke toetsen moet je indrukken om _ : _ te berekenen?
7 48
Oefeningen
11 •
•
a
Schrijf als een vermenigvuldiging.
Reken uit.
3
7 _
14
7 :_
_
_
= .......................................................................
·
12 14
12 3
d
–65
–72 _
_
.....
= ..............................................................
·
75 32
–32
72 : _
_
–75
65
49
7·2·7
_
= .......................................................................
= _
2·6·3
18
b
10 : 5
_
3
10 _
1
_
= ........................................................................
·
3 5
8 · 3 ·3 · 5 · 13
39
_
= .............................................................
.....
= _
5·3·5·4·8
20
e
13 _
–3
13 _
_
·
.......................................................................
: –26 = _
11
11 26
3
–16 · 5
–5
_
= .............................................................
.....
= _
2 · 16
2
f
(
)
–7 : – _
21 = ..............................................................
–7 _
–27
_
_
......
·
9
27
–13 · 3
–3
=_
.......................................................................
= _
11 · 2 · 13
22
9
21
7·3·9
=_
.............................................................
......
= 1
9 · 7 ·3
12 Vul aan.
a
2=1
3 ·_
_
3
2
b
........
2 : . ._
2
_
...... = 1
3
3
c
2 – ._
–1
_
...... = 1
3
d
3
2 + ._
–2
_
....... = 0
3
3
15
_
16
1
:_
4
3
:_
2
:3
10
:_
9
15
_
_5
_5
_3
4
2
6
4
b
12
_
7
:4
1
:_
2
: (–2)
1
:_
3
: 18
_3
_6
–3
_
–9
_
–1
_
7
7
7
7
WeeR?
463
MeeR?
464
465
WeeR?
467
468
13 Commandorekenen.
a
MeeR?
460
462
–5
·_
..............................................................
......
= 16
32
–32
16 : _
5
2·5·1
2
_
= .......................................................................
= _
3·5
3
c
WeeR?
456
457
MeeR?
469
14
Wat moet je kunnen?
τ een breuk delen door een geheel getal
τ een breuk delen door een breuk
τ een breuk delen door een breuk met je rekenmachine
133
G36
Kommagetallen vermenigvuldigen en delen
Op verkenning
a
Kommagetallen vermenigvuldigen
Tom gaat op reis naar Amerika. In een wandelgids vindt hij een wandeling van 10,4 mijl. Hoeveel km is dat als
je weet dat 1 mijl overeenkomt met 1,609 km?
•
•
Noteer de getallen als breuken.
Bereken het product zonder eerst de breuken
te vereenvoudigen.
•
Schrijf het product als een kommagetal.
•
Vergelijk het aantal cijfers na de komma bij de
factoren en het product. Wat stel je vast?
•
Reken uit op dezelfde manier.
9
63
7 = _
0,9 · 0,007 = _ · _
= 0,0063
10 1000 10 000
1,21 · 0,07 =
1609
104
_
_
........................................................................................................... . . . . . .
10
1000
104
1609
167 336
_
...........................................................................................................
......
·_ = _
10 1000
10 000
16,7336
........................................................................................................... . . . . . .
Het
aantal cijfers na de komma van het. . . . . .
...........................................................................................................
product
is gelijk aan de som van het aan........................................................................................................... . . . . . .
tal cijfers na de komma van de factoren.
847
7 = _
121 · _
_
= 0,0847
..........................................................................................................
.......
100 100
10 000
Rekenregel – kommagetallen vermenigvuldigen
• Bepaal het teken van het product.
30 · 0,6 · 0,5
• Bereken het product van de getallen zonder komma.
• Plaats de komma in het product.
Het aantal cijfers na de komma van het product is
gelijk aan de som van het aantal cijfers na de komma
van de factoren.
Voeg eventueel nullen vooraan toe als je onvoldoende
cijfers hebt om de komma te plaatsen.
30 · 6 · 5
–1,6 · (–0,9)
= 900
–16 · (–9) = 144
30 · 0,6 · 0,5 = 9
–1,6 · (–0,9)
0,4 · 1,6
–0,07 · 0,8
4 · 16
= 64
0,4 · 1,6
= 0,64
–7 · 8
–0,07 · 0,8
= 1,44
= –56
= –0,056
CONTROLE 47 Reken uit.
2,24 · 0,2 =
0,123 · 0,6 =
b
0,448
.................................................................................
0,0738
.................................................................................
1,5 · 7 =
42 · 0,8 =
10,5
........................................................................... . . . . . .
33,6
........................................................................... . . . . . .
Machten van kommagetallen berekenen
•
Vul de tabel aan.
Schrijf als een vermenigvuldiging
Bereken het product
8 = 0,008
2 ·_
2 =_
2 ·_
2 =_
(_
10 ) 10 10 10 1000
3
(0,2)3
(–0,03)2
3
3
9
· – _ = _ = 0,0009
(– _
100 ) ( 100 )
10 000
1 · _
1 · _
1 = _
1
1 · _
_
(0,01)
(1,3)2
4
100
100
100 100
100 000 000
= 0,000 000 01
13
169
13 _
_
·
= _ = 1,69
10
10
100
exponent van
de macht
aantal cijfers
na de komma in
het grondtal
aantal cijfers
na de komma in
het product
3
1
3
2
2
4
4
2
8
2
1
2
Als
je het aantal cijfers na de komma . . . . . .
..........................................................................................................
in
vermenigvuldigt met de exponent, ken je het aantal cijfers na de . . . . . .
. . . . . .het
. . . . . . . . . . grondtal
. . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
komma
in het product.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................
.......
•
134
Wat is het verband tussen de laatste drie kolommen?
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
Rekenregel – macht van een kommagetal
• Bereken de macht van het getal zonder komma.
• Plaats de komma in het resultaat.
0,034
34 = 81
(8 cijfers na de komma, want 2 · 4 = 8)
0,034 = 0,000 000 81
Bereken het aantal cijfers na de komma door de exponent
te vermenigvuldigen met het aantal cijfers na de komma
van het grondtal.
(–0,5)3
(–5)3 = –125
(3 cijfers na de komma, want 1 · 3 = 3)
(–0,5)3 = –0,125
( )
3
Je kunt ook de macht berekenen door het kommagetal eerst 0,033 = _
100
te vervangen door een decimale breuk.
3
33
27
= _3 = _
= 0,000 027
1 000 000
100
CONTROLE 48 Reken uit.
. . . ...................................................................................
(0,03)² = .0,0009
0,000 000 008
(–0,002)³ = –
....................................................................................
......
Gebruik van de rekenmachine
Welke toetsen moet je indrukken om (–0,001)2 te berekenen
c
Kommagetallen delen
•
Bereken telkens de gemiddelde
snelheid in km/u.
•
Vul de tabel aan.
bewerking met
kommagetallen
verhouding
verhouding zonder
kommagetallen
(vermenigvuldig
teller en noemer
met eenzelfde macht
van 10)
17,5
_
175
_
resultaat in
km/u
Een voetganger legt 17,5 kilometer af
in 3,5 uur.
17,5 : 3,5
Een fietser legt 30,15 kilometer af in
anderhalf uur.
30,15 : 1,5
30,15
_
3015
_
20,1
24 : 0,25
24
_
2400
_
96
Een hogesnelheidstrein rijdt
12 minuten over een traject van
55,2 kilometer.
55,2 : 0,2
55,2
_
552
_
276
Een rolstoelgebruiker doet er
24 minuten over om een helling van
280 meter op te geraken.
0,28 : 0,4
0,28
_
28
_
0,7
Een auto rijdt een afstand van
24 kilometer op een kwartier.
3,5
1,5
0,25
0,2
0,4
35
150
25
2
40
5
135
G36
Kommagetallen vermenigvuldigen en delen (vervolg)
•
Hoe kun je op een snelle manier het quotiënt berekenen?
Je
beide getallen met eenzelfde macht van 10 zodat er geen . . . . .
. . . . . . .vermenigvuldigt
. . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
komma’s
meer voorkomen in deler en deeltal.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
.....
Rekenregel – kommagetallen delen
• Vermenigvuldig beide getallen met eenzelfde macht
van tien, zodat er geen komma’s meer voorkomen in
de deler en het deeltal.
–6,4 : (–0,8)
= –64 : (–8)
=8
27 : 0,003
= 27 000 : 3
= 9000
• Pas de tekenregel toe voor het delen van gehele getallen.
0,18 : 0,3
= 18 : 30
= 0,6
–0,28 : 7
= –28 : 700
= –0,04
CONTROLE 49 Reken uit.
–169 : 1300
= ............................................
–0,13
–1,69 : 13 =
–1500 : (–3)
= ......................................
500
–15 : (–0,03) =
............................................
428 : 40
= .......................................
10,7
.....
4,28 : 0,4 =
......................................
....................................... . . . . .
Oefeningen
WeeR?
470
WeeR?
471
WeeR?
472
14 •
•
Reken uit.
Schat eerst het resultaat.
a
0,21 · 0,3 =
0,063
.................................................................
d
1,1 · (–0,3) · 20 =
–6,6
........................................................... . . . . . .
b
–2,3 · (–0,001) = 0,0023
.................................................................
e
–0,7 · (–0,014) =
0,0098
........................................................... . . . . . .
c
–1,2 · 4 =
–4,8
.................................................................
f
5 · (–0,07) · (–0,2) =
0,07
........................................................... . . . . . .
15 •
•
Reken uit.
Schat eerst het resultaat.
a
0,014 =
0,000
000 01
........................................
c
0,034 =
.........................................
0,000 000 81
e
(0,004)3 =
0,000
000 064
...................................
......
b
8,241 =
8,24
........................................
d
(0,14)2 =
.........................................
0,0196
f
(2,04)0 =
1................................... . . . . . .
.......................................
–1,21
e
–0,0032 =
...................................
–0,000
009 . . . . . .
f
–0,72 =
.................................. . . . . . . .
–0,49
16 •
•
Reken uit.
Schat eerst het resultaat.
a
000 008
(–0,002)3 = –0,000
................................
c
–1,12 =
b
(–1,5)2=
2,25
d
– (–0,02)5 = 0,000
.......................................
000 003 2
17 •
•
a
................................
Reken uit.
Schat eerst het resultaat.
4,5 : 0,09 =
WeeR?
473
450
:9
..................................................................
d
15,3 : 0,0003 =
=
50
..................................................................
b
36 : (–0,6) =
360
: (–6)
..................................................................
=
51 000
............................................................
......
e
0,005 : 0,2 =
=
–60
..................................................................
c
: (–120)
–1,44 : (–1,2) = –144
..................................................................
5............................................................
: 200
......
=
0,025
............................................................
......
f
0,48 : 6 =
=
1,2
..................................................................
136
153
000 : 3
............................................................
......
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
48
: 600
............................................................
......
=
0,08
............................................................
......
18 •
•
a
Reken uit.
Noteer de tussenstappen.
2 · 0,7 =
–_
3
b
7
–2 · _
= _
3 10
–2 · 7
= _
3·2·5
–7
= _
15
19 •
•
WeeR?
474
–7 – 1,2 =
3,24 + _
4
c
1=
0,6 : _
5
= 3,24 – 1,75 – 1,2
= 0,6 : 0,2
= 0,29
= 6:2
= 3
WeeR?
477
Schat het resultaat.
Omcirkel de juiste oplossing
a
36,7 · 2,24 =
822,08
82,208
8,2208
b
42,12 : 5,2 =
8,1
81
0,81
c
3,98 + 6,17 + 2,9 =
13,05
11,93
14,23
d
70,12 – 59,87 =
11,75
129,99
10,25
20 Rekenen met wisselkoersen.
a
b
c
MeeR?
475
476
Sara wil op reis naar Australië. Hoeveel Australische
dollar krijgt ze van de bank als ze € 750 wil omwisselen?
Na haar reis heeft Sara nog 125 Australische dollar
over. Ze gaat deze dollars inruilen tegen euro’s.
Hoeveel euro krijgt ze hiervoor van de bank?
Hoeveel verlies heeft Sara geleden door te veel euro
in Australische dollar te laten omwisselen?
MeeR?
478
479
750 · 1,5650 = 1173,75
Ze krijgt 1173,75 Australische dollar . . . . . .
............................................................................................................
WeeR?
480
481
125 : 1,7007 = 73,4991474
............................................................................................................
......
MeeR?
482
483
Ze krijgt 73,50 euro van de bank.
............................................................................................................ . . . . . .
125 : 1,5650 = 79,8722045
............................................................................................................ . . . . . .
79,87 – 73,50 = 6,37
............................................................................................................ . . . . . .
Wisselkoersen voor 1 EUR
munt
aankoop
verkoop
Amerikaanse dollar
1,2829
1,3859
Australische dollar
1,5650
1,7007
Britse pond
0,6548
0,6985
Canadese dollar
1,4962
1,5975
Deense kroon
7,2020
7,6899
Noorse kroon
7,8684
8,4347
Zweedse kroon
8,9163
9,6360
Zwitserse frank
1,5817
1,6797
Sara heeft 6,37 euro verlies geleden.
............................................................................................................ . . . . . .
Voorbeeld: Als je van de bank Amerikaanse
dollarbiljetten koopt, dan krijg je voor
1 euro 1,2829 USD. Als je Amerikaanse
dollarbiljetten verkoopt aan de bank, dan
krijg je voor 1,3859 USD maar 1 euro.
Wat moet je kunnen?
τ kommagetallen vermenigvuldigen (met je rekenmachine)
τ kommagetallen delen (met je rekenmachine)
τ de macht van een kommagetal berekenen (met je rekenmachine)
137
G37
De volgorde van de bewerkingen
Op verkenning
a
Gehele getallen: herhaling
• Reken uit.
• Houd rekening met de afspraken van de volgorde van
de bewerkingen zoals je die geleerd hebt in G27.
• Onderstreep telkens de bewerking die je uitwerkt.
___
– ( –4 )2 – 3 · ( 4 · 7 – √ 36 )
– 3(4 · 7 – 6)
= .–(–4)
. . . . . . . . ...................................................................................
2
– 3(28 – 6)
= . .–(–4)
. . . . . . . . ....................................................................................
2
– 3 · 22
= .–(–4)
. . . . . . . . ....................................................................................
2
– 3 · 22
= .–16
. . . . . . . . ...................................................................................
– 66
= .–16
. . . . . . . . ...................................................................................
= .–82
. . . . . . . . ...................................................................................
b
Rationale getallen
• Reken uit.
• Houd rekening met de afspraken van de volgorde van de bewerkingen zoals je die geleerd hebt in G27.
3 2
3
1
–4 · ( 2,01 – 0,12 ) + _
1+ _
_
_
–5·_
7
2
2
5 2
( )
1
_
9
_
1
_
–5·
. ...................................................................................
= . . . . . . . .+
5 4
2
5
9 _
1 _
_
–
= . . . . . . . . .+
. ...................................................................................
5 4 2
45 _
50
4 +_
_
–
= . . . . . . . . . ...................................................................................
20 20 20
1
_
= . .–
. . . . . . . ...................................................................................
20
3
_
4
_
– · (2,01 – 0,01) +
......
= ......................................................................................
7
2
3
4·2+_
–_
= ......................................................................................
......
7
2
8 3
–_+_
= ......................................................................................
......
7 2
16 21
–_+_
= ......................................................................................
......
14 14
5
_
= ...................................................................................... . . . . . .
14
Rekenregel – de volgorde van de bewerkingen
Haakjes doorbreken de normale rekenvolgorde. Reken daarom in een oefening
eerst de bewerking(en) tussen haakjes uit.
Houd binnen en buiten de haakjes rekening met de afspraken i.v.m. de volgorde
van de bewerkingen:
• de machten en/of de wortels
• de vermenigvuldigingen en/of de delingen van links naar rechts
• de optellingen en/of de aftrekkingen van links naar rechts
3 _
1–_
–2 + _
·2
(_
3 ) (2 4) 3
3
( )
–1 · _
–2 3 + _
2
= _
3
4 3
–8 + _
–1 · _
2
=_
27 4 3
–8 + _
–1
=_
27 6
–9
–16 + _
=_
54 54
–25
=_
54
138
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
Oefeningen
21 •
•
a
3·3·5 1
:
5·3·8 2
3 _
_
.....................................................................
:1
8 2
3·2
_
.....................................................................
4·2
3 _
15 _
_
_ _
·
: 1 = ....................................................................
5 24 2
=
=
(9)
–3
7– _
_
5
3
4
a
=
...............................................................
=
...............................................................
3
(5
(3
=
...................................................................
5 )
–
= ...............................................................
4– _
–6
1·_
_
5
2
4
_
=
=
b
)
1 · 8 – 5
3
20 20
3
1 · _
_
...................................................................
3 20
1
_
...................................................................
20
=
a
5 3·9·5
1 =_
22
21 + _
_
...............................................................
15 15 15
(
4)
(
–1 · 2 · 3
_
)
3 13
11 · 3 · 3
3·2
13
4 +_
_
= .....................................................
......
6
6
17
_
= .....................................................
......
6
2
2
9 _
9
– ·2
..................................................
......
( _34 ) – ( – _34 ) · 2 = _
16 16
18
9 _
_
–
= ...........................................................
......
16 16
=
c
=
=
–2,33
.......................
MeeR?
487
488
.........................................................
......
2
–13
1 =_
–11 – _
2
–11 – _
_
_
.........................................................
...... =
18
9
)
18
18
18
3
7
+ _ : _
7
3
3
–35
7
_
+ _ : _
.........................................................
......
7
7
3
–32 _
_
: 7
.........................................................
......
7
3
................................................. . . . . . .
=
=
25
25
16
_
...............................................................
25
15,37 –[ ( –0,5 )2 · 0,8 : 0,4 + 17,2 ] =
WeeR?
486
.........................................................
......
2
( –5 + 3 · _17 ) : _73 = ( –5
20
4
_
– _
( ))
1
–_
)
2·4·9
3
49
1
–_
( _43 – _
)
36
3
49
27 – _
1
–_
(_
)
36
36
3
3
7·2·7
_
– _
................................................ . . . . .2.
2
=
d
........................................................... . . . . . .
( _34 – _78 · _149 ) – _31 = ( 4
...............................................................
Bereken met je rekenmachine.
–4
5 3 _
–3 _
4 –_
1: _
_
·
= ................................................
7 875
125 3 2
(
9
16
2
5
3·5
4
4 – _
_
...............................................................
5
25
11
MeeR?
485
–9
_
= ...........................................................
......
1·9
7+_
_
_
_ _
1· _
1 = ...................................................................
2–_
_
=
23 •
d
Reken uit.
Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert.
=
b
( )
9
–1 · _
7– _
_
(
)
5 27 5
9
7– _
–1 3 · _
9
_
· _ = ...............................................................
5
5
5
3
6 11 1 2
·
+ :
11 9
3 13
√ 121 _
6 ·_
2 = ............................................
_ _
_ _
_
......
+1 : _
2 · 3 · 11 _
1 · 13 . . . . . .
_
= .....................................................
+
.....................................................................
=
22 •
•
___
c
3
_
=
b
WeeR?
484
Reken uit.
Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert.
=
(
)
–32 · 3
–96
_
= _
......................................................... . . . . . .
7·7
c
104,33 · 0,02 – ( 5,4 )4 =
d
3
–3,2 · (–4,12) – _ =
4
( )
3
49
–848,219
........................................... . . . . .
12,762125
WeeR?
490
MeeR?
491
............................................ . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ verwoorden in welke volgorde je de bewerkingen in een opgave moet uitvoeren
τ opgaven met meerdere bewerkingen uitrekenen
139
G38
eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen in q
Op verkenning
a
Eigenschappen van het optellen in q
Welke eigenschappen gelden voor het optellen in q? Volg bij je onderzoek telkens de volgende stappen.

Reken uit en vergelijk de resultaten.
 Omschrijf de toegepaste eigenschap in je eigen woorden.
•

Noteer een tweede getalvoorbeeld waarvoor de eigenschap geldt.

Kun je een voorbeeld vinden waarvoor de eigenschap niet geldt?

Noteer de eigenschap volledig in woorden (geef de verzameling, de bewerking en de naam van de eigenschap).

Noteer de eigenschap met de letters a, b en c die rationale getallen voorstellen.
1+_
1
_
3
1+_
1
_
2
2
3

3
5
2+_
_
= _

Als je de getallen van plaats verwisselt, verandert de som niet.

3
2
_
+ –_

Neen
6
4
6
6
3 _
5
_
+2 = _
6
6
6
8
9 _
1
–
= _
( 3) = _
12 12
12
3
8
9
2+_
1
–_
= –_ + _ = _
3 4
12 12
12
 in woorden: Het optellen is commutatief in q.
 met letters: a, b zijn rationale getallen.
•
3,4 + (–2,5 + 1,5)
[ 3,4 + (–2,5) ] + 1,5
a+b = b+a
3,4 + (–2,5) + 1,5

3,4 + (–1) = 2,4

De haakjes mogen bij een optelling van rationale getallen verplaatst, geplaatst of weggelaten worden, zonder dat de som verandert.

1+ _
2+_
–1
_

Neen
3
2
0,9 + 1,5 = 2,4
3,4 + (–2,5) + 1,5 = 2,4
–6 29
35 _
–1 = _
7+ –_
1 =_
+ =_
( 5 ) = _64 + _63 + (_
5)
6 ( 5 ) 30 30 30
3 _
20 9 29
5 _
2+ _
1+ _
–1 = _
2+ _
2+_
_
+ –2 = _
= +_=_
3 [ 2 ( 5 ) ] 3 [ 10 10 ] 3 10 30 30 30
 in woorden: Het optellen is associatief in q.
 met letters: a, b zijn rationale getallen.
140
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
b
Eigenschappen van het vermenigvuldigen in q
Welke eigenschappen gelden voor het vermenigvuldigen in q ? Volg bij je onderzoek telkens volgende stappen.
•

Noteer ten minste twee getalvoorbeelden en ga na of de eigenschap geldt.

Kun je een voorbeeld vinden waarbij de eigenschap niet geldt?

Noteer de eigenschap volledig in woorden (geef de verzameling, de bewerking en de naam van de eigenschap).

Noteer de eigenschap met de letters a, b en c die rationale getallen voorstellen.
Onderzoek of het vermenigvuldigen commutatief is in q.
 1 = _2 · _6 = _6 · _2 = 1
3 4
4 3
( )
3
15
15
3
2 ·_
2 = –_
–_ = –_
= _· –_
5 4
4
5
2
2
 Neen.
 in woorden: Het vermenigvuldigen van rationale getallen is commutatief.
 met letters: a, b zijn rationale getallen
•
a·b = b·a
Onderzoek of het vermenigvuldigen associatief is in q.

1
( _32 · _43 ) · _51 = _21 · _51 = _
10
 Neen.
3
1
= _
( ) = _32 · _
20
10
3 _
2·_
1
_
·1=_
3 _
2 _
_
·1
3 4 5
2,5 · 0,1 · 2 = 0,25 · 2 = 0,5
3 4 5
10
2,5 · (0,1 · 2) = 2,5 · 0,2 = 0,5
(2,5 · 0,1) · 2 = 0,25 · 2 = 0,5
 in woorden: Het vermenigvuldigen van rationale getallen is associatief.
 met letters: a, b, c zijn rationale getallen
•
(ab)c = a(bc) = abc
Is het vermenigvuldigen distributief ten opzichte van het optellen in q?
(
)
5 _
29
1 4
2 1 2 6
2 1 6
+ 24 = _
 _3 _4 + _5 = _3 · _4 + _3 · _5 = _6 + _5 = _
30 30
30
 Neen.
0,3 (2 + 0,7) = 0,81
(
) 3 ( 20
)
6 _
5 24 _
29 29
2 _
1+_
_
= 2 _+_
= 2 ·_=_
3 4
5
20
3 20
30
0,3 · 2 + 0,3 · 0,7 = 0,6 + 0,21 = 0,81
 in woorden: Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in q.
 met letters: a, b, c zijn rationale getallen
•
a(b + c) = ab + ac
Controleer op dezelfde manier of het vermenigvuldigen distributief is ten opzichte van het aftrekken in q.
3 _
–9
4 _
4· _
– 12 ) = _
= _
=
(
)
(
(
5 8 2
5 8 8
5 8)
3
3 _
4 _
_
–
–9
_
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . .
10
3
3
3
6
3
9
4
4
12
_ _ . . . .....................................................................................................................................................................................
_·_ = _ – _ = _ – _ = –_
. . . . . . . .·. . . . . . . . –
.....
5 8 5 2
10 5
10 10
10
is distributief t.o.v. het aftrekken in q.
. . .Het
. . . . . . . . . .vermenigvuldigen
. . . . . . .....................................................................................................................................................................................
.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . . .
141
G38
eigenschappen van het optellen en het vermenigvuldigen in q (vervolg)
c
Eigenschappen in symbolen noteren
Eigenschappen kun je volledig in wiskundige symbolen noteren. Deze symbolen bevatten heel wat informatie.
•
•
Beantwoord de vragen in de tabel.
Noteer de symbolen/letters die je al kent in de laatste kolom.
Het optellen is commutatief in q
Vraag
Wat betekent deze eigenschap?
Antwoord
Symbolen/letters
Je mag bij het optellen
de termen van plaats
..................................................................
verwisselen.
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Noteer een getalvoorbeeld.
Vervang de getallen in je voorbeeld door
letters.
Uit welke verzameling haal je de getallen?
–2 + 3 = 3 + (–2)
..................................................................
a+b = b+a
Uit de verzameling van
..................................................................
de rationale getallen.
..................................................................
..................................................................
a+b = b+a
a, b Є q
a, b Є q:
a+b = b+a
Geldt de eigenschap voor alle getallen uit die
verzameling?
Ja.
..................................................................
Wiskundetaal – symbolen
∀ betekent ‘voor alle’
: betekent ‘geldt’
Voor alle rationale getallen geldt dat je de termen van
plaats mag verwisselen zonder dat de som verandert.
∀ a, b ∈ q : a + b = b + a
Stappenplan – een eigenschap in wiskundige symbolen noteren
 Vervang de getallen in je voorbeeld door letters.
Het vermenigvuldigen is associatief in q
Je mag de haakjes rond de factoren verplaatsen,
weglaten of toevoegen als je rationale getallen
vermenigvuldigt. Het resultaat blijft hetzelfde.
1 · (–3)
1 ) · (–3) = 2,5 · _
1 · (–3) = (2,5 · _
2,5 · _
2
2
2
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
 Ga na voor welke getallen deze eigenschap geldt.
Deze eigenschap geldt voor de rationale getallen (q).
 Zeg in woorden wat de eigenschap betekent.
 Geef een getalvoorbeeld.
[
]
Bepaal de verzameling.
 Ga na of deze eigenschap geldt voor alle getallen
uit die verzameling.
∀ a, b, c ∈ q : a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
eigenschap – eigenschappen van de bewerkingen in q
Het optellen is commutatief in q.
Het vermenigvuldigen is commutatief in q.
Het optellen is associatief in q.
Het vermenigvuldigen is associatief in q.
Het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in q.
142
∀ a, b ∈ q : a + b = b + a
∀ a, b ∈ q : a · b = b · a
∀ a, b, c ∈ q : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
∀ a, b, c ∈ q : (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
∀ a, b, c ∈ q : a · (b + c) = a · b + a · c
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
Oefeningen
24 Reken handig uit door gebruik te maken van eigenschappen.
a
b
2,5 · (–7) · (–0,4)
2,5 · 0,4 · 7
=
...............................................
=
...............................................
=
_
_
_
3 _
5 _
9
_
+
–
+ 1 =........................................................... . . . . . .
d
13
8 +_
2 + _
_
16
12
1·7 = 7
6 + 5,49 – 0,25
3,7 + 5,49 + 2,3 – 0,25 = ................................................
3
5
3
–
+
+ 1
MeeR?
4
4
16
493
16
5
21
_
_
_
+
=
= ..........................................................
......
16
16
16
13
8
2 + _
_
= ..........................................................
+ _ ......
15
15
9
8
8
9
17
_
_
_
=
+ _. . . . . =
1+
= ..........................................................
.
9
9
9
9
c
4
15
(9
15
11,24
...............................................
)
25 Formuleer de eigenschappen die in deze oefeningen worden toegepast.
a
5 _
5
–11 = _
–11
+ –2 · _
· _
(_
( 13–2 + _
11 13 )
11 )
5
5
b
3 _
5 _
3 5 3 4
_
·
+4 =_·_+_·_
4
(6
3
)
4 6
4 3
Het
optellen is commutatief in q.
................................................................................................................................
.......
Het
vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het . . . . . . .
................................................................................................................................
optellen in q.
26 Noteer deze eigenschappen volledig in symbolen.
a
Het vermenigvuldigen is commutatief in q.
b
Het optellen is associatief in ℤ.
c
Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte
van het optellen in q.
∀ a, b ∈ q: a · b = b · a
∀ a, b,c ∈ ℤ: (a + b) + c = a + (b + c) . . . . . . .
.............................................................................................................
= a+b+c
.............................................................................................................
.......
∀ a, b, c ∈ q: a · (b + c) = a · b + a · c . . . . . . .
.............................................................................................................
∀ a, b, c ∈ q: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
WeeR?
495
496
MeeR?
497
WeeR?
499
WeeR?
498
............................................................................................................. . . . . . . .
WeeR?
499
............................................................................................................. . . . . . . .
27 Noteer deze eigenschappen in woorden.
a
WeeR?
492
Het
vermenigvuldigen is associatief in q.
.............................................................................................................
.......
WeeR?
499
............................................................................................................. . . . . . . .
b
28 •
•
∀ a, b, c ∈ q: a · (b – c) = a · b – a · c
Het
vermenigvuldigen is distributief t.o.v.
.............................................................................................................
.......
het
optellen in q.
.............................................................................................................
.......
Zijn deze uitspraken waar of niet waar?
Als de uitspraak niet waar is, geef je een tegenvoorbeeld.
WeeR?
500
De som van twee negatieve rationale getallen is
steeds een negatief rationaal getal.
☐ waar
☐ niet waar
............................................................................ . . . . . .
Het product van een even en een oneven natuurlijk
getal is steeds een even natuurlijk getal.
☐ waar
☐ niet waar
............................................................................ . . . . . .
c
De som van twee opeenvolgende gehele getallen
is steeds een even getal.
☐ waar
☐ niet waar
3............................................................................
+ 4 = 7, 7 is niet even . . . . . .
d
Het kwadraat van een oneven getal is steeds een
oneven getal.
☐ waar
☐ niet waar
............................................................................ . . . . . .
a
b
Wat moet je kunnen?
τ de eigenschappen in woorden formuleren
τ de eigenschappen herkennen in berekeningen
τ de eigenschappen gebruiken om handig te rekenen
τ de eigenschappen volledig in symbolen formuleren
τ de eigenschappen in symbolen kunnen vertalen in
woorden
143
G39
Vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
Op verkenning
•
Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens.
Bart en Simon dalen af in de Grand
Canyon. Op een bepaald ogenblik
bevinden ze zich 300 meter lager
dan het vertrekpunt. Ze hebben
dan een kwart van hun tocht
afgelegd. Hoeveel meter moeten ze
in totaal afdalen?
•
Na drie uur hebben Bart en Simon drie
kwart van hun afdaling afgelegd.
Als ze aan hetzelfde tempo doorgaan,
hoelang duurt dan de volledige afdaling?
Wat is de onbekende in het vraagstuk?
De onbekende stel je voor door de letter x.
x..............................................................
is het totaal aatal meter. .....................................................................
x is de totale duur van de afdaling.
Schrijf het verband tussen de onbekende en de bekende gegevens als een vergelijking.
∙
4
1
x = 300 : _
4
3
:_
4
1
:_
4
∙
1
:_
4
........
........
........
. . . . . . ...............................................................
3
_
x= 3
.....................................................................
4
x = 300 · 4 = 1200
. . . . . . ...............................................................
3
:_
4
∙
1 x = 300
_
. . . . . . ...............................................................
∙
•
3
x = 3:_
4
4 = 4
.....................................................................
x = 3·_
3
........
.....................................................................
•
Los de vergelijking op (met behulp van een pijlenschema).
– Welke bewerking moet je uitvoeren (in het linker- en het rechterlid) om de x af te zonderen? Schrijf deze
bewerking naast de pijlen.
– Bereken de waarde van x.
•
Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de plaats van de x.
3
_
·4 = 3
1 · 1200 = 300
_
. . . . . . . . . . . ................................................................... ................
•
............................................................................................... .
4
4
Formuleer een antwoordzin.
Ze dalen in totaal 1200 m.
De afdaling duurt 4 uur.
. . . . . . . . . . ..........................................................................
............................................................................................... .
Stappenplan – vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
 Noteer elke stap op een nieuwe regel en
schrijf de gelijkheidstekens netjes onder
elkaar.
 Bereken de waarde van x.
 Controleer de oplossing door het getal in
∙
:a
ax = b
b
x = _
a
te vullen in de vergelijking op de plaats
van x.
144
∙
a en b zijn
rationale getallen
∙
dezelfde bewerking uit te voeren:
• het linker- en het rechterlid delen
door dezelfde factor
• het linker- en het rechterlid vermenigvuldigen met dezelfde factor.
RATIONALE GETALLEN: VERMENIGVULDIGING, DELING en MACHTSVERHEFFING
:a
–5
_
x = 15
6
–5
:_
6
–6
of · _
5
∙
 Zonder de x af door in beide leden
–5
:_
6
–6
of · _
5
–6
x = 15 · _
5
x =–18
controle:
3
–5 (
5 · 18
_
· –18 ) = _ = 15
6
61
Oefeningen
WeeR?
501
29 Los de vergelijkingen op.
a
–5x = 35
–1
x = 35 · _
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................
x = –7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................
b
8x = –3
1
x = –3 · _
8
–3
_
. . . . . . . . . . .x
. . . . .=
. . . . . . ................................................
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................
c
1x = – _
2
_
2·4
x = –_
3
–8
x= _
......................................................................
3
1
_
......................................................................
d
5
x = –8
_
e
3
4
x=6
x = 6·5
......................................................................
x = 30
......................................................................
MeeR?
502
7
1 x = –8
_
7
............................................................... . . . . . . .
x = –8 · 7
x = –56
............................................................... . . . . . . .
f
–9
3x = _
4
–9 1
x= _ · _
4
3
–3
_
...............................................................
.......
x=
4
............................................................... . . . . . . .
30 Los de vergelijkingen op.
a
–3x = –17
–1
–17 · _
. . . . . . . . . . .x
. . . . . . .=
. . . . ...................................................................................
3
17
x = _
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
3
–3 16
b
x·_=_
8
9
16 –8
= _ · _
. . . . . . . . . . . . . . . .x
. . . . . . ...................................................................................
9
3
–128
x =_
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
27
31 •
•
a
c
WeeR?
503
5
_
x=0
7
7
x = 0· _
5
x = 0
............................................................................................................
......
............................................................................................................ . . . . . .
d
–5x _
_
= –2
6
3
–6
–2 · _
x = _
5
3
4
_
x =
............................................................................................................
......
5
............................................................................................................ . . . . . .
Schrijf als een vergelijking.
Los de vergelijking op.
WeeR?
504
Met een weekendbiljet van de NMBS betaal je slechts de helft van de prijs in de week. Voor een rit heen en terug
van Mechelen naar Gent betaal je in het weekend 7,50 euro. Hoeveel betaal je in de week voor datzelfde traject?
MeeR?
505
506
De
de prijs in de week
. . . . . . . . .onbekende:
. . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
x
_
= 7,5
x = 7,5 · 2
x = 15
De
. . . . . . . . .vergelijking:
. . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
2
In de week betaal je voor datzelfde traject 15 euro.
.Antwoord:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
b
Thomas kocht een elektrische gitaar en moest daarvoor bij zijn ouders geld lenen. Na het afbetalen van twee
derde van het totale bedrag heeft hij nog een schuld van 70 euro. Hoeveel heeft hij geleend?
De
het geleende bedrag
. . . . . . . . .onbekende:
. . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
1
_
x = 70
x = 70 · 3
x = 210
De
. . . . . . . . .vergelijking:
. . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
3
Thomas had 210 euro geleend.
.Antwoord:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................................
......
32 Schrijf een vergelijking van de vorm ax = b zodat ...
a
–10 een oplossing is.
2x
= –20 (meerdere oplossingen mogelijk)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................
b
x=7
WeeR?
508
3x = 21 (meerdere oplossingen mogelijk)
................................................................................................. . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
τ vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking van de vorm ax = b
145
G40
Vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen
Op verkenning
Bij een wedstrijdje verspringen haalt Lies een record van 2,48 meter. Dat is
20 cm minder dan het dubbel van de afstand van Joris. Hoe ver springt Joris?
•
•
Lees het vraagstuk aandachtig en onderstreep de bekende gegevens.
Wat is de onbekende in het vraagstuk? De onbekende stel je voor met de letter x.
x is de afstand die Joris springt.
................................................................................................................................................
•
Vul dit schema verder aan.
·2
– 20
x
2x
:2
+ 20
134
........
248
........
Schrijf het verband tussen de onbekende
en de bekende gegevens als een vergelijking.
+20
:2
∙∙
2x – 20 = 248
2x = 268
...................................................................
x = 268 : 2
...................................................................
x = 134
...................................................................
∙∙
•
268
........
248
...................................................................
+20
:2
...................................................................
•
Los de vergelijking op (met behulp van een pijlenschema).
– Welke bewerkingen moet je uitvoeren (in het linker- en het rechterlid) om
x af te zonderen? Schrijf deze bewerkingen naast de pijlen.
– Bereken de waarde van x.
•
Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de
plaats van x.
2 · 134 – 20 = 268 – 20 = 248
.................................................................................................................................................
•
Formuleer een antwoordzin.
Joris sprong 134 cm ver.
. . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................................................................... . . . .
Stappenplan – vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen
3x = 15 + 7
:3
1
of · _
3
3x = 22
∙
∙∙
3x – 7 = 15
1
x = 22 · _
3
22
x =_
3
+7
controle:
22 –7 = 22 – 7 = 15
3·_
1
31
:3
1
of · _
3
∙
RAtionale getallen: vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing
+7
∙
146
∙∙
nieuwe regel en schrijf de
gelijkheidstekens netjes
onder elkaar.
 Zonder x af door in beide
leden dezelfde bewerking uit
te voeren door:
a, b en c zijn gehele getallen
• eerst in het linker- en het
rechterlid dezelfde term
ax + b = c
op te tellen of af
–b
–b
te trekken
ax
=
c
–
b
• dan het linker- en het
:a
:a
rechterlid te delen door
c
–
b
_
x = a
of te vermenigvuldigen
met dezelfde factor
 Bereken de waarde van x.
 Controleer de oplossing door
het getal in te vullen in de
vergelijking op de plaats
van x.
∙
 Noteer elke stap op een
Oefeningen
33 Los de vergelijkingen op.
a
3x – 5 = –14
16x – 4 = 4
3x = –14 + 5
............................................................................................................ . . . . . .
3x = –9
............................................................................................................ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
1
x = –9 · _
3
x = –3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
b
c
4x + 12 = –3
16x = 4 + 4
16x = 8
1
x= 8· _
16
1
_
x=
............................................................................................................
......
2
............................................................................................................ . . . . . .
d
2 – 3x = 5
4x = –3 – 12
............................................................................................................ . . . . . .
4x = –15
............................................................................................................ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
1
x = –15 · _
4
–15
_
x=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
–3x = 5 – 2
–3x = 3
–1
x= 3· _
3
x = –1
............................................................................................................
......
............................................................................................................ . . . . . .
34 Los de vergelijkingen op.
a
1 x = 18
6–_
2
–1 x = 18 – 6
_
2
–1 x = 12
_
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
2
x = 12 · (–2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
x = –24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
b
4
1=_
2x + _
_
3
6
9
2x
4–_
1
_
= _
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
3
9 6
8 _
3
2x
_
_
=
–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
3
18 18
5
2
_x
= _
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
3
18
5 3
x
= _ · _
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
18 2
5
_
x
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
12
35 •
•
a
b
c
WeeR?
509
c
3 _
5
–1 – _
_
x=
6
2
4
3
5
1
– _x = _ + _
4
6
2
3
15
2
_
_
– x =
+ _
............................................................................................................
2
12
12 . . . . . .
3
17
– _x = _
............................................................................................................
......
2
12
17 · _
–2
x
= _
............................................................................................................
......
12
3
–17
x
=_
............................................................................................................
......
18
WeeR?
510
MeeR?
511
............................................................................................................ . . . . . .
d
–6
–1 x + _
4=_
_
2
5
20
–3 _
–1 x = _
_
– 4
............................................................................................................
......
5
2
10
–3 _
8
–1 x = _
_
–
............................................................................................................
......
2
10
10
–1 x = _
–11
_
............................................................................................................
......
2
10
–11 · (–2)
x
=_
............................................................................................................
......
10
11
x
=_
............................................................................................................
......
5
Schrijf als een vergelijking.
Los de vergelijking op.
Voor de sponsorloop verzamelden Tine en haar broer Hans samen 21,50 euro. Hans heeft 3,30 euro meer
opgehaald dan Tine. Voor hoeveel euro werd Tine gesponsord?
4 gevuld en bevat 8 l. Hoeveel liter kan de emmer maximaal bevatten?
Een emmer is voor _
5
Als ik een kwart van mijn stickers thuislaat, heb ik er nog altijd vijf meer bij dan als ik één derde van mijn
stickers thuislaat. Hoeveel stickers heb ik?
WeeR?
512
513
MeeR?
515
Wat moet je kunnen?
τ vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen
τ vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking van de vorm ax + b = c
147
Problemsolving
36 Ron vouwt de hoekpunten A, B en C naar de stip in het midden.
Wat voor figuur krijgt Ron dan?
B
A
A
C
driehoek
B
vierkant
C
D
zeshoek
zeshoekige ster
e
twaalfhoek
e
3
37 Hoeveel uren gaan er in de helft van een derde van een vierde van twaalf uur?
A
1
_
3
B
1
_
2
C
D
1
2
Een
van twaalf uur is drie........................................................................................................................
uur. Een derde van drie uur is één uur. De helft . . . . . .
. . . . . . . . . . .vierde
. . . . . . . . .............................................................
1
_
van
uur is uur.
. . . . . . . . . . .één
. . . . . . . . .............................................................
........................................................................................................................ . . . . . .
2
38 Een rechthoekige strook van 24 cm bij 1 cm wordt in zeven rechthoeken geknipt, allemaal met breedte 1 cm.
Vier van de rechthoeken hebben een lengte van 4 cm, twee hebben een lengte van 3 cm en één heeft een
lengte van 2 cm. Van deze zeven rechthoeken kun je verschillende nieuwe rechthoeken leggen.
Wat is de kleinst mogelijke omtrek van zo’n nieuwe rechthoek?
A
14 cm
B
20 cm
C
D
22 cm
24 cm
e
28 cm
Als je deze rechthoeken effectief uitknipt en naast elkaar legt, kun je de verschilnagaan en........................................................................................................................
de kleinst mogelijke omtrek bepalen.
.lende
. . . . . . . . . . . . . . .mogelijkheden
. . . .............................................................
......
4 cm) · 2 = 20 cm
.(6
. . . . . .cm
. . . . . . . . .+
. . . .............................................................
........................................................................................................................ . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
4 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . .
6 cm
39 In een vat zit 64 liter wijn. We vervangen 16 liter uit het vat door 16 liter water en mengen het geheel goed.
Nu vervangen we 16 liter van het mengsel door 16 liter water en mengen het geheel goed. Dat doen we daarna nog een keer. Hoeveel liter wijn bevat het mengsel dat we dan hebben?
A
16
B
24
C
27
D
30
e
48
48
3
Als
wijn vervangt door water........................................................................................................................
krijg je een mengsel met verhouding _ = _. Van
. . . . . . .je
. . . . .16
. . . . . .liter
. .............................................................
......
4
64
3
de
16 liter die geschept wordt
is 12 liter wijn. (want _ van 16 = 12). Er zit nu
. . . . . .volgende
. . . . . . . . . . . . . .............................................................
........................................................................................................................
......
4
nog
12 = 36 liter wijn in het mengsel.
Het mengsel krijgt hierdoor een verhouding
. . . . . . . . . .48
. . . . . . . .–
. .............................................................
........................................................................................................................
......
36
9
9
_ . .............................................................
_. In de volgende zestien ........................................................................................................................
liter zit bijgevolg _ van 16 = 9 liter wijn. Er zit nu nog . . . . . .
van
. . . . . . . . . . . . . . . . . .=
64
16
16
36
27 liter wijn in het vat.
. . . . . .–
. . . .9
.....=
. . . . .............................................................
........................................................................................................................ . . . . . .
148
Problemsolving