A_prc-ndx-grf 73.50KB

Opstapje rekenen met procenten
Voordat de ingewikkelde berekeningen aan de orde komen, eerst een overzicht van drie
basisbewerkingen met percentages.
1. Een percentage van een bedrag
Hoeveel is 8,2% van € 225,-- ?
8,2% betekent letterlijk 8,2 per honderd, als breuk is dat
8,2%
=
8,2
100
=
82
1000
in decimalen is dat 0,082 (dit is een zogenaamd perunage).
Antwoord: 0,082×€ 225,-- = € 18,45
Dus:
perunage x bedrag =
2. Een bedrag als percentage van een ander bedrag
Hoeveel procent is € 18,45 van € 225,-- ? Ofwel hoeveel is “dit” (€ 18,45) van “dat” (€ 225,--)?
18,45
x 100% = 8,2%
225
Dus:
dit
dat
x 100% =
3. Procentuele toe- of afname van een bedrag
Vorig jaar verdiende Pjotr € 50,--. Dit jaar is dat € 60,--.
Met hoeveel procent is zijn inkomen toegenomen? (Ofwel: hoeveel procent verdient hij meer?)
De toename is als bedrag € 10,--. Hoeveel is dit nu meer ten opzichte van het inkomen € 50,-- in
procenten? (Hier heb je eigenlijk ook “dit” (het verschil) van “dat”, zie 2.). Berekening:
10
50
x 100% = 20%
Dus:
verschil
x 100% =
"dan…"
Let op: de moeilijkheid schuilt bij deze sommen steeds in wat er onder de streep moet staan. Het
ezelsbruggetje: het bedrag, dat je achter “dan” kunt denken. Want het gaat altijd om “meer dan”
of “minder dan”. (Let op de woorden: toename, afname, hoger, lager, meer, minder.)
317547259 / ceu
economie / m&o
1
Opstapje rekenen met grote getallen
Economie is een vak waarbij met (zeer) grote getallen gerekend wordt.
1. Betekenis van grote getallen
Duizend
Miljoen
Miljard
Biljoen
Biljard
(mln.)
(mld.)
(bln.)
(bld.)
=
=
=
=
=
1.000
1.000.000
1.000.000.000
1.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000
Opvallend: de reeks is steeds x 1.000!
2. Schrijfwijze van grote getallen
Een groot getal wordt in de economie vrijwel nooit geschreven in zijn volle omvang, maar als
klein, overzichtelijk getal met een eenheid die de grootte aangeeft. De eenheid wordt of voluit
geschreven of afgekort.
Voorbeelden:
 12,8 miljoen
 728 mln.
 35 miljard
 1,75 mld.
Let op: de zogenaamd wetenschappelijke notatie van grote getallen wordt bij economische
disciplines nooit toegepast. Een antwoord in wetenschappelijke notatie wordt dus altijd fout
gerekend!
3. Rekenen grote getallen
Je moet een groot getal nooit opschrijven met alle nullen!
Je rekent met de kleine getallen en zorgt ervoor dat je de bijbehorende eenheden niet vergeet.
Je zorgt ervoor dat je het berekende antwoord opgeschreven wordt volgens het gevraagde. Is het
niet in de opgave aangegeven, dan mag je het grote getal weergeven in hetzelfde formaat als de
opgave.
Let op:
miljard
miljoen
317547259 / ceu
= duizend
economie / m&o
2
Rekenen met procenten, groeifactoren en indexcijfers
Veel mensen vinden het rekenen met procenten maar moeilijk. Op deze pagina geven we aan de
hand van voorbeelden een methode voor allerlei soorten berekeningen met procenten. Hierbij
spelen groeifactoren een belangrijke rol!
Een percentage van een bedrag
Hoeveel is 8,2% van € 225,-- ?
8,2% betekent letterlijk 8,2 per honderd, als breuk is dat
8,2%
=
8,2
100
=
82
1000
in decimalen is dat 0,082.
Antwoord: 0,082×€ 225,-- = € 18,45
Verhogen met een percentage
Wat krijg je als een bedrag van € 225,-- wordt verhoogd met 17,5% ?
Eigenlijk zou je eerst 17,5% van € 225,-- moeten uitrekenen en dit dan optellen bij het
beginbedrag, die € 225,--.
Dus :
225
+
0,175 x 225 =
1 x 225
+
0,175 x 225 =
(1 + 0,175)
x
225
=
1,175
x
225
=
Dat ziet er ingewikkeld uit maar het komt er op neer dat je eerst de groeifactor uitrekent.
Immers 0,175 voor de verhoging en 1 voor het oude bedrag levert een groeifactor van 1,175.
(En dat is niet zo vreemd, want 100% + 17,5% = 117,5%)
Antwoord: 1,175×€ 225,- = € 264,38
Verminderen met een percentage
Wat krijg je als een bedrag van € 225,- wordt verminderd met 30% ?
225
-
0,3 x 225
=
1 x 225
-
0,3 x 225
=
(1 - 0,3)
x
225
=
0,7
x
225
=
Het lijkt op het voorbeeld hierboven, maar nu is de groeifactor 0,70. 1 voor het oude bedrag en
0,3 voor wat er af moet, geeft een groeifactor van 0,7.
Antwoord: 0,7×€ 225,-- = € 157,50.
317547259 / ceu
economie / m&o
3
Groeipercentage uitrekenen
Makkelijk te onthouden is de formule: .
groeifactor
=
nieuw
oud (basis)
Een bedrag van € 225,-- wordt vermeerderd tot € 325,--. Hoeveel procent toename is dat ?
groeifactor
325
225
=
= 1,44 (afgerond)
De groeifactor min 1 is het percentage. Het bedrag neemt dus toe met ongeveer 44%.
Er is ook een andere manier om het uit te rekenen met de formule:
percentage
verschil (nieuw - oud)
basis (oud)
=
x 100%
Het percentage is dan (€ 100 : € 225) x 100% is 44,44%, afgerond 44%.
Ook bij verminderingen gaan de berekeningen gewoon op. Voorbeeld:
Een bedrag wordt verminderd van € 225,-- tot € 125,--. Hoeveel procent afname is dat ?
Eerst:
125
groeifactor
=
225
= 0,56 (afgerond)
De groeifactor min 1 is het percentage. Dus het bedrag neemt af met 44%.
Ook met de andere manier vindt je die uitkomst. Ga dat maar na!
Van percentage naar groeifactor en omgekeerd
Indexcijfers zijn verhoudingsgetallen (net als procenten)!
Een indexcijfer is een getal dat de verhouding weergeeft tussen de waarde van een grootheid in
een bepaalde periode en de waarde in de basisperiode. De waarde in de basisperiode wordt op
100 gesteld. De formule om een indexcijfer te berekenen is als volgt:
indexcijfer
=
nieuw
basis
x 100
Als je goed kijkt, dan zie je dat de formule gelijk is aan de groeifactorformule x 100.
Stel in jaar 2004 bedraagt een bedrag € 225,--. In 2005 bedraagt het € 325,--. Dan is het
indexcijfer voor het nieuwe jaar 144, wanneer 2004 als basisjaar genomen wordt (2004 = 100).
De groeifactor is 1,44 en de procentuele stijging 44%. (zie hiervoor!)
317547259 / ceu
economie / m&o
4
Indexcijfers: de toepassingsmogelijkheden
Voor het rekenen met indexcijfers zijn een aantal oplosstrategieën te gebruiken. We zetten ze op
een rijtje. (Alle rekenvoorbeelden in 1 decimaal.) Deze zijn de enige vormen die je moet
gebruiken. Het enige wat nog moeilijker kan is dat je een indexcijfer over een groter aantal jaren
moet berekenen. Dan doe je oplossingsstrategie die nodig is, net zo vaak als er jaren zijn.
THEORIE
Je maakt indexcijfers door de waarde van twee
jaar op elkaar te delen. Je deelt altijd door de
waarde van het basisjaar, dat per definitie gelijk
aan 100 is.
In formule n/b x 100
REKENVOORBEELD
Koffieprijs per baal
in 1990: € 166 per baal
in 1994: € 266
Nieuwe jaar kan ook een ouder jaar zijn. Een
indexcijfer is dus een verhoudingsgetal.
De prijs in 1990 is € 166.
De prijs in 1988 is € 155.
(€ 266/€ 166) x 100 = 160,2 voor 1994
(€ 155/€166) x 100 = 93,4 (1990 = 100)
Je hebt twee indexcijfers en je moet de groei
uitrekenen. Twee mogelijkheden:
1.
een van de indexcijfers is die van het basisjaar:
de groei kun je gelijk aflezen.
2.
twee willekeurige indexcijfers:
via: verschil / basisgegeven x 100%
[oftewel: (nieuw - oud) / oud x 100%]
1.
1990 = 188 , 1985=100
groei t.o.v. 1985 is 88%
2.
1990 = 188 en 1989 = 176
(188 - 176) / 176 x 100% = 6,8%
dus groei in 1990 is 6,8%
Je hebt het indexcijfer van het oude jaar en het
groeipercentage van het nieuwejaar.
Je wordt gevraagd het indexcijfer van het
nieuwe jaar uit te rekenen.
1989 = 109,1; groei 1990 = 10%.
Bereken indexcijfer 1990.
Vermenigvuldig het indexcijfer met de
groeifactor.
dus: 109,1 x 1,10 = 120,0
+ 10% is groeifactor 1,10
(Dit kan ook met bedragen en hoeveel heden.)
Je hebt het indexcijfer van het nieuwe jaar en
het groeipercentage van het nieuwe jaar.
Je wordt gevraagd het indexcijfer van het oude
jaar uit te rekenen.
1990 = 120; groei is 10%.
Bereken indexcijfer 1989.
Deel het indexcijfer door de groeifactor.
dus: 120 / 1,10 = 109,1
+ 10% is groeifactor 1,10
(Dit kan ook met bedragen en hoeveel heden.)
317547259 / ceu
economie / m&o
5
Indexcijfers worden vaak gebruikt om van
een nominaal begrip naar een reëel begrip te
komen
Gegeven nominaal inkomen als indexcijfer en
het prijsindexcijfer.
Gevraagd wordt het reëel inkomen (of
koopkracht ) te berekenen.
Indexcijfer nominaal inkomen delen door
prijsindexcijfer vermenigvuldigd met 100.
Relatieve verandering is dan
de reële index - 100.
nominale index / correctie index x 100 =
reële index
Je hebt een prijsindexcijfer en het reëel
nationale inkomen als indexcijfer.
Prijsindexcijfer 1990 = 125.
Indexcijfer reële nationale inkomen 120.
Bereken het nominale inkomen 1990.
Vermenigvuldig beide indexcijfers en deel dat
door 100 (voor schaaleffecten) om het
nominale inkomen te vinden.
Stel je hebt drie begrippen die met elkaar te
maken hebben.
Je hebt van twee begrippen de groeipercentages
(t.o.v. het vorige jaar) en het derde moet je
uitrekenen.
Stel voor elk begrip het vorige jaar als basisjaar
en tel het groeipercentage erbij op.
Deel beide begrippen op elkaar
(vermenigvuldig met 100 voor schaaleffecten)
en je hebt het derde begrip in indexcijfer.
Haal hier 100 vanaf en je kent de groei van dat
begrip.
indexcijfer nominaal inkomen 1990 is 225,
prijsindexcijfer 1990 is 226.
Bereken de koopkracht in 1990.
225/226 x 100 = 99,6.
Koopkrachtdaling t.o.v. van het basisjaar
met 0,4% (99,6 -100)
125 x 120 / 100 = 150
Gegeven: groei loonkosten 8% en groei
productie 5%.
Bereken: groei loonkosten per product
Werkwijze: 108/105 x 100 = 102,9
Dus groei van loonkosten per product is 2,9%.
Nog een voorbeeld:
Gegeven: groei nationaal inkomen 3,5% en
groei bevolking 9,2%.
Bereken: groei nationaal inkomen per hoofd.
Werkwijze: 103,5/109,2 x 100 = 94,8. Dus de
groei van het nationaal inkomen per hoofd is 5,2%.
Indexcijfers: tenslotte
Indexcijfers vormen een fantastisch hulpmiddel om reeksen cijfers overzichtelijk weer te geven
en te vergelijken.
Net als procenten zijn indexcijfers verhoudingsgetallen. Je mag er rekenkundige bewerkingen
mee uitvoeren als vermenigvuldigen en delen: dat brengt geen verandering in de onderlinge
verhouding der getallen.
Je mag er echter geen optel- of aftrekexercities op los laten: dan verstoor je de oorspronkelijke
verhoudingen! Let dus op: bij indexcijfers/percentages is plus of min meestal fout!
317547259 / ceu
economie / m&o
6