Analytische Mechanica - CMT

Analytische Mechanica
Universiteit Antwerpen - 2de bachelor fysica
Christophe De Beule - Bart Partoens
Academiejaar 2013-2014
Inhoudsopgave
I. Analytische mechanica
1
1. Lagrangiaanse mechanica
1.1. Voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Newtoniaanse methode . . . . . . . . . . .
1.1.2. Virtuele arbeid . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Veralgemeende coördinaten . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Vrijheidsgraden en bindingen . . . . . . .
1.3. Virtuele arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Principe van d’Alembert . . . . . . . . . . . . . .
1.5. De Lagrangiaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten .
1.7. Symmetrieën en constanten van beweging . . . . .
1.7.1. Ijksymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Theorema van Noether . . . . . . . . . . .
1.7.3. De Hamiltoniaan en behoud van energie .
1.8. Deeltje in een elektromagnetisch veld . . . . . . .
2. Hamiltoniaanse mechanica
2.1. Variatierekening en het principe van Hamilton
2.2. De faseruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Theorema van Liouville . . . . . . . . . . . . .
2.4. Poisson haakjes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Canonieke transformaties . . . . . . . . . . . .
2.6. Genererende functie . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. De Hamilton-Jacobi vergelijking . . . . . . . .
2.8. Verband met kwantummechanica . . . . . . .
3. Trillingen rond evenwicht
3.1. Stabiel of onstabiel evenwicht . .
3.2. Lagrangiaan rond evenwicht . . .
3.3. Eenvoudige harmonische oscillator
3.4. Gedempte harmonische oscillator
3.5. Gedreven harmonische oscillator .
3.5.1. Constante drijfkracht . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
4
6
7
9
9
10
11
12
12
13
14
15
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
19
21
22
24
27
27
.
.
.
.
.
.
29
29
31
32
33
35
36
3.5.2. Greense functie voor de EHO . . .
3.5.3. Willekeurige kracht . . . . . . . . .
3.6. Resonantie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Ongedempte trilling . . . . . . . .
3.6.2. Ondergedempte trilling . . . . . . .
3.7. Anharmonische effecten . . . . . . . . . . .
3.7.1. Correctie op de periode . . . . . . .
3.7.2. Lindstedt-Poincaré storingstheorie .
3.7.3. Gedreven anharmonische oscillator
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II. Relativiteit
4. Tensorrekening
4.1. Meetkundig object . . . . . . . . . . .
4.2. Coördinatentransformatie . . . . . . .
4.3. Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Duale vectoren . . . . . . . . . . . . .
4.5. Scalair product en de metrische tensor
4.6. Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Bewerkingen met tensoren . . .
4.6.2. Levi-Civita tensor . . . . . . . .
4.7. Differentiaaloperatoren . . . . . . . . .
III. Chaos
38
40
41
41
41
45
45
47
50
54
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
56
57
58
59
60
62
63
65
67
Deel I.
Analytische mechanica
1. Lagrangiaanse mechanica
In de Newtoniaanse vectoriële mechanica wordt een probleem opgelost door elk lichaam
en de krachten die er op inwerken afzonderlijk te beschouwen. In dit hoofdstuk zullen we een equivalente formulering van de mechanica introduceren, de Lagrangiaanse
analytische mechanica. In deze formulering wordt het fysisch systeem als een geheel
beschouwd. Deze methode introduceert geen nieuwe fysische principes, maar ze is wiskundig veel krachtiger dan de Newtoniaanse methode.
1.1. Voorbeeld
We beginnen met een voorbeeld om je meer vertrouwd te maken met de belangrijke
concepten die je zal tegenkomen in dit hoofdstuk. Beschouw een blok met massa m die
wrijvingsloos glijdt over een schuine blok met massa M , die zelf op een wrijvingsloos
oppervlak rust, zoals getoond in Fig. 1.1. Er zijn twee vrijheidsgraden in dit systeem,
namelijk de kleine blok die naar beneden kan glijden en de schuine blok die horizontaal
over het oppervlak kan bewegen.
1.1.1. Newtoniaanse methode
Allereerst kiezen we een inertiaalstelsel1 waar de versnelling van de schuine blok gegeven
~ = Ax̂. Als ~a de versnelling is van de kleine blok t.o.v. de schuine blok,
wordt door A
~ de versnelling van de kleine blok in dit stelsel.
dan is ~a + A
Kleine blok
De tweede wet van Newton voor de kleine blok wordt gegeven door
~
F~ = F~1 − mg ŷ = m(~a + A),
waar F~1 de normaalkracht is van de schuine op de kleine blok. Zo’n kracht noemt men
een dwangkracht omdat het de beweging van de kleine blok over de schuine blok houdt.
Als we deze vergelijkingen uitschrijven in componenten evenwijdig aan (Fk ) en loodrecht
op (F⊥ ) de schuine blok dan vinden we
Fk = mg sin α = mak + mA cos α
F⊥ = F1 − mg cos α = ma⊥ + mA sin α,
1
(1.1)
Een inertiaalstelsel is een stelsel dat geen versnelling ondergaat. Alle inertiaalstelsels bewegen met
een constante rechtlijnige snelheid t.o.v. elkaar.
3
Voorbeeld
d
F~1
−mg ŷ
α
Figuur 1.1.
waar α de hellingshoek is van de schuine blok. Omdat de kleine blok enkel over de
schuine blok kan bewegen geldt dat a⊥ = 0, zodat
F1 = mg cos α + mA sin α.
(1.2)
Schuine blok
Naast de zwaartekracht werken er nog twee krachten in op de schuine blok. Volgens de
derde wet van Newton wordt een reactiekracht −F~1 uitgeoefend door de kleine op de
schuine blok. Daarnaast is er nog de dwangkracht F~2 = F2 ŷ die ervoor zorgt dat er geen
verticale beweging is. Voor de schuine blok vinden we dus
~
F~ = −F~1 + F~2 − M g ŷ = M A.
De verticale component van −F~1 wordt gecompenseerd door F2 − M g en voor de horizontale component geldt
−F1 sin α = M A.
Als we (1.2) invullen in bovenstaande vergelijking dan vinden we
sin α cos α
.
A = −g
sin2 α + M/m
Bespreking
De verticale component van de versnelling van de schuine blok vinden we met vergelijking
(1.1) en wordt gegeven door
M +m
2
.
ay = −ak sin α = −g sin α
M + m sin2 α
4
Voorbeeld
Als de kleine blok vanuit rust vertrekt
p van een hoogte h op de schuine blok, dan bereikt
deze het oppervlak na een tijd t = −2h/ay .
Om dit probleem op te lossen hadden we twee vergelijkingen nodig voor elk lichaam
met vier onbekenden F1 , F2 , ak en A. In de Lagrangiaanse mechanica is er geen nood
meer voor dwangkrachten zoals F~1 en F~2 . We zullen dit toelichten met de methode van
virtuele arbeid.
1.1.2. Virtuele arbeid
De dynamische variabelen2 in dit probleem zijn de afstand d van de kleine blok tot het
startpunt op de schuine blok en de horizontale positie X van de schuine blok. Eerst
schrijven we de kinetische energie T in functie van deze variabelen:
1
1
T = m ẋ2 + ẏ 2 + M Ẋ 2 ,
2
2
met
x = X + d cos α
y = h − d sin α,
(1.3)
waar h de hoogte is van het startpunt zodat
1
1 T (d,˙ Ẋ) = (m + M ) Ẋ 2 + m d˙2 + 2d˙Ẋ cos α .
2
2
Variaties Een variatie δq(t) is een virtuele infinitesemale verandering van de functie
q(t) zelf. Dit geeft aanleiding tot een nieuwe functie:
q(t) → q̄(t) = q(t) + δq(t).
Men noemt de verandering virtueel omdat het geen gevolg is van een echte verandering
in de variabele t zoals bij de differentiaal dq = q̇dt. Bij een variatie wordt de functionele
vorm van q(t) een klein beetje veranderd als een soort van wiskundig experiment.
Virtuele arbeid. Beschouw een variatie δd(t) van d(t) en δX(t) van X(t). Deze virtuele
verplaatsingen voldoen automatisch aan de bindingen3 . De variaties in d en X geven
aanleiding tot een variatie van de positievector,
¯ X̄ − ~r (d, X)
δ~r = ~r d,
∂~r
∂~r
= ~r (d + δd, X + δX) − ~r (d, X) =
δd +
δX.
∂d
∂X
2
Dynamische variabelen zijn tijdsafhankelijke variabelen die de beweging volledig beschrijven eens de
bewegingsvergelijkingen opgelost zijn.
3
Bindingen zijn voorwaarden op de beweging. In dit geval zijn er twee bindingen: de kleine blok kan
enkel over de schuine blok bewegen, die enkel horizontaal kan bewegen.
5
Voorbeeld
Als we dit toepassen op (1.3) dan bekomen we de variatie op de positie van de kleine
~
blok ~r en de schuine blok R,
δ~r = (δX + δd cos α) x̂ − (δd sin α) ŷ,
~ = δX x̂.
δR
Beschouw nu even terug een willekeurig lichaam met positievector ~r. De virtuele arbeid
verricht door een virtuele verplaatsing δ~r wordt gegeven door
δW = F~ · δ~r,
met F~ de totale kracht die inwerkt op het lichaam. In het voorbeeld is de enige kracht
die virtuele arbeid levert de zwaartekracht die inwerkt op de kleine blok,
δW = (mg sin α) δd.
Merk op dat de dwangkrachten F~1 en F~2 geen bijdrage leveren aan de virtuele arbeid
omdat ze loodrecht op de verplaatsing staan.
Principe van d’Alembert Anderzijds kunnen we de virtuele arbeid herschrijven met
de wet van Newton. Dit is het principe van d’Alembert:
δW − p~˙ · δ~r = 0.
(1.4)
De bewegingsvergelijkingen worden bekomen door de virtuele arbeid opnieuw te berekenen met het principe van d’Alembert. Merk eerst op dat
d
d
(~p · δ~r ) − p~ · δ~r.
p~˙ · δ~r =
dt
dt
(1.5)
Om deze vergelijking verder uit te werken, berekenen we eerst de snelheidsvector met
de kettingregel:
∂~r ˙ ∂~r
~r˙ =
d+
Ẋ.
∂d
∂X
Aan de hand van de partiële afgeleiden van deze vergelijking naar d˙ en Ẋ herschrijven
we de variatie van de positie,
δ~r =
∂~r
∂~r
∂~r˙
∂~r˙
δd +
δX =
δd +
δX,
∂d
∂X
∂ Ẋ
∂ d˙
zodat de eerste term van (1.5) geschreven kan worden als
!
∂T
∂~r˙
∂~r˙
∂T
∂T
p~ · δ~r =
·
δd +
δX =
δd +
δX.
˙
˙
˙
∂ Ẋ
∂ Ẋ
∂d
∂d
∂~r
6
Veralgemeende coördinaten
De tweede term van vergelijking (1.5) wordt gegeven door de tijdsafgeleide van de
variatie in de positie,
d
∂~r˙
δ~r =
δd +
dt
∂d
∂~r ˙
=
δd +
∂d
∂~r˙
∂~r ˙ ∂~r
δX +
δd +
δ Ẋ
∂X
∂d
∂X
∂~r
δ Ẋ,
∂X
aangezien ~r˙ in dit voorbeeld niet afhangt van d en X. Net zoals voor de eerste term
kunnen we dit ook schrijven als
d
∂~r˙ ˙ ∂~r˙
δ~r =
δd +
δ Ẋ,
dt
∂ Ẋ
∂ d˙
waaruit volgt
∂T
d
·
p~ · δ~r =
dt
∂~r˙
∂~r˙ ˙ ∂~r˙
δd +
δ Ẋ
∂ Ẋ
∂ d˙
!
=
∂T ˙ ∂T
δd +
δ Ẋ.
∂ Ẋ
∂ d˙
De virtuele arbeid uit vergelijking (1.4) kan dus geschreven worden als
d ∂T
d ∂T
δd +
δX.
δW =
dt ∂ d˙
dt ∂ Ẋ
Deze vergelijking geldt voor heel het systeem omdat de kinetische energie een additieve
grootheid is. Als we deze vergelijking uitwerken dan vinden we
(mg sin α) δd = md¨ + mẌ cos α δd + (m + M ) Ẍ + md¨cos α δX.
Dit moet gelden voor een willekeurige virtuele verplaatsing zodat
g sin α = d¨ + Ẍ cos α
0 = (m + M ) Ẍ + md¨cos α.
Deze procedure lijkt ingewikkelder dan de Newtoniaanse methode, maar in de toekomst moeten we voor zulke problemen enkel de kinetische energie en de virtuele arbeid
berekenen zonder dat we de dwangkrachten in rekening moeten nemen. In de oefeningen zullen jullie een algemener probleem oplossen waar de snelheid wel afhangt van de
dynamische variabelen zodat dtd δ~r nog extra termen bevat.
1.2. Veralgemeende coördinaten
Beschouw een mechanisch systeem dat opgebouwd is uit N deeltjes die vrij kunnen
bewegen en dus niet beperkt worden door bindingen. De rechthoekige coördinaten
xi , yi , zi ,
(i = 1, . . . , N ) ,
7
Veralgemeende coördinaten
bepalen de configuratie van het systeem op elk tijdstip t, en de beweging ligt vast eens
de {xi , yi , zi } gegeven worden als functie van t. We kunnen echter hetzelfde probleem
oplossen als we de {xi , yi , zi } uitdrukken in functie van andere grootheden
q1 , . . . , q3N ,
aan de hand van een algemene coördinatentransformatie. Je kan dit beschouwen als een
veralgemening van de transformatie van rechthoekige coördinaten x, y, z van een enkel
deeltje naar sferische coördinaten r, θ, φ. Een algemene coördinatentransformatie wordt
gegeven door
x1 = f1 (q1 , . . . , q3N )
..
.
zN = f3N (q1 , . . . , q3N ).
Het oorspronkelijke probleem waar de {xi , yi , zi } bepaald moeten worden, wordt getransformeerd naar een nieuw probleem waar we de q1 , . . . , q3N moeten bepalen.
Aan de hand van een geschikte coördinatentransformatie wordt het nieuwe probleem
eenvoudiger op te lossen dan het oude probleem. Zo zijn poolcoördinaten beter geschikt
voor de beweging van een planeet rond de zon te beschrijven. In het voorbeeld van
hierboven worden de veralgemeende coördinaten gegeven door de afstand d van de kleine
blok tot het toppunt van de schuine blok en de horizontale positie X van de schuine blok.
1.2.1. Vrijheidsgraden en bindingen
In de beschrijving van een mechanisch systeem hebben we vaak te maken met bindingen,
wat betekent dat de beweging van een deel van het systeem de beweging van een ander
deel strikt volgt. In de vectoranalyse van zo’n systeem worden er onbekende krachten
geassocieerd met deze bindingen, en een deel van de analyse bestaat er juist in om
deze dwangkrachten te elimineren door de bindingsvoorwaarden op te leggen. Een groot
voordeel van de Lagrangiaanse formulering is het gebruik van variabelen die reeds vanaf
het begin deze bindingen in rekening nemen.
Beschouw een mechanisch systeem dat opgebouwd is uit N deeltjes die niet allemaal
onafhankelijk van elkaar kunnen bewegen door m onafhankelijke bindingsvoorwaarden
op de coördinaten, zodat er maar n = 3N − m onafhankelijke parameters
q1 , q2 , . . . , qn
nodig zijn om het systeem te beschrijven. De rechthoekige coördinaten van alle deeltjes
kunnen dan geschreven worden als
x1 = f1 (q1 , . . . , qn , t)
..
.
zN = f3N (q1 , . . . , qn , t).
De onafhankelijke n parameters q1 , . . . , qn die nodig zijn om de beweging te beschrijven,
noemen we de veralgemeende coördinaten of vrijheidsgraden van het systeem.
8
Veralgemeende coördinaten
Voorbeelden De beweging van een punt in de ruimte wordt volledig beschreven met
drie onafhankelijke dynamische variabelen. Anderzijds heeft een massapunt dat beweegt
op een tafel maar twee vrijheidsgraden. Een star lichaam, bestaande uit drie of meer
massapunten, dat vrij kan bewegen heeft altijd zes vrijheidsgraden, namelijk drie translaties en drie rotaties.
Soorten bindingen
Beschouw nu een systeem met n vrijheidsgraden waarvoor we een bindingsvoorwaarde
opleggen, zodat het systeem nog maar n − 1 vrijheidsgraden heeft. Men onderscheidt
twee soorten bindingsvoorwaarden: holonome en niet-holonome bindingen.
Holonome bindingen Een bindingsvoorwaarde die uitgedrukt kan worden als
f (q1 , . . . , qn , t) = 0,
(1.6)
noemen we holonoom. Dit reduceert het aantal onafhankelijke coördinaten met één. De
positievectoren kunnen dan uitgedrukt worden als (i = 1, . . . , N )
~ri = ~ri (q1 , . . . , qn−1 , t) .
Een bindingsvoorwaarde die expliciet van de tijd afhangt zoals in (1.6) noemen we
bovendien een rheonome binding. Een holonome bindingsvoorwaarde
f (q1 , . . . , qn ) = 0,
die niet expliciet van de tijd afhangt, noemen we een scleronome binding, en dan worden
de positievectoren gegeven door
~ri = ~ri (q1 , . . . , qn−1 ) .
Neem bijvoorbeeld de bindingsvoorwaarde f (r, θ, φ) = r − R. Dit betekent dat de beweging plaatsvindt op het oppervlak van een bol (cf. sferische slinger). Deze voorwaarde
is scleronoom, maar als nu de straal op een gekende manier verandert in de tijd zodat
f (r, θ, φ, t) = r − R(t), dan wordt de bindingsvoorwaarde rheonoom.
Niet-holonome bindingen Er bestaan ook bindingen die niet holonoom zijn en waarvoor de bindingsvoorwaarde enkel infinitesimaal uitgedrukt kan worden,
n
X
Ak (q, t) dqk + B(q, t) dt = 0,
k=1
waar q = {q1 , . . . , qn }. Dit betekent dat deze vergelijking niet geschreven kan worden
als een totale differentiaal. Aangezien dit geen verband geeft tussen de coördinaten zelf,
kunnen we het aantal onafhankelijke coördinaten niet meteen reduceren. Hiervoor moet
men de methode van de Lagrange-multiplicatoren gebruiken. Rollen zonder glijden is
bijvoorbeeld een niet-holonome binding. In de rest van deze cursus beschouwen we enkel
holonome systemen. In de oefeningen zullen jullie een niet-holonoom probleem oplossen.
9
Virtuele arbeid
1.3. Virtuele arbeid
Stel dat we één van de vrijheidsgraden qk (t) variëren met een infinitesimale hoeveelheid
δqk (t), wat betekent dat we de functionele vorm een heel klein beetje veranderen. De
variatie van de positie van het i-de massapunt wordt dan
∂~ri
δ~ri =
δqk .
∂qk
Omwille van de krachten die inwerken op het systeem wordt er virtuele arbeid uitgeoefend door de virtuele verplaatsing δqk . Als de vrijheidsgraden onafhankelijk zijn, dan is
de totale virtuele arbeid δW de som van de arbeid δWk geleverd door elke afzonderlijke
verplaatsing δqk ,
!
N
N
n
n
X
X
X
X
∂~
r
i
~
~
δW =
Fi · δ~ri =
Fi ·
δqk =
δWk ,
∂q
k
i=1
i=1
k=1
k=1
met
δWk =
N
X
i=1
∂~ri
F~i ·
∂qk
!
δqk .
(1.7)
Aangezien de veralgemeende coördinaten voldoen aan de bindingen, leveren de dwangkrachten geen bijdrage tot de virtuele arbeid aangezien ze steeds loodrecht staan op
de beweging en de gradiënt gericht is langs de beweging. Wanneer we in de rest van
dit hoofdstuk spreken over krachten, dan bedoelen we steeds alle krachten buiten de
dwangkrachten. Naar analogie definiëren we voor elke vrijheidsgraad een veralgemeende
kracht Fk ,
N
X
∂~ri
.
(1.8)
Fk ≡
F~i ·
∂q
k
i=1
Merk op dat de functies Fk overeenkomen met de componenten van een vectorveld in
de q-ruimte en dat ze niet noodzakelijk de dimensie van een kracht hebben.
1.4. Principe van d’Alembert
De kinetische energie wordt in het algemeen gegeven door
N
1X ˙ ˙
T =
mi~ri · ~ri = T (q1 , . . . , qN , q̇1 , . . . , q̇N , t) .
2 i=1
Allereerst schrijven we de partiële afgeleiden van de kinetische energie naar de veralgemeende coördinaten en snelheden uit met de kettingregel:
X
X
∂~r˙i
∂~r˙i
∂T
=
mi~r˙i ·
=
p~i ·
(1.9)
∂qk
∂q
∂q
k
k
i
i
X
X
∂T
∂~r˙i
∂~ri
=
mi~r˙i ·
=
p~i ·
.
∂ q̇k
∂ q̇k
∂qk
i
i
(1.10)
10
De Lagrangiaan
De laatste stap in (1.10) is enkel geldig voor holonome systemen (oefening). Als we de
tijdsafgeleide nemen van (1.10) dan vinden we
"
#
˙
X
∂~ri
d ∂T
∂~ri
=
+ p~i ·
.
p~˙i ·
dt ∂ q̇k
∂qk
∂qk
i
Het Principe van d’Alembert stelt dat we de tweede wet van Newton kunnen gebruiken
om p~˙i gelijk te stellen aan de kracht die inwerkt op het i-de massapunt. Let op dat dit
enkel kan als ~ri gedefinieerd is in een inertiaalstelsel. De eerste term van de bovenstaande
vergelijking is gegeven door de veralgemeende kracht uit (1.8). Samen met vergelijking
(1.9) vinden we de veralgemeende bewegingsvergelijkingen:
Fk =
d ∂T
∂T
−
,
dt ∂ q̇k ∂qk
k = 1, . . . , n.
(1.11)
Een holonoom systeem kan dus beschreven worden met n vergelijkingen die afhangen
van n + 1 scalaire functies, namelijk de kinetische energie T (q, q̇, t) en de veralgemeende
krachten Fk (q, t) met q = {q1 , . . . , qn }. In de Newtoniaanse mechanica moeten er meer
dan n vergelijkingen opgelost worden omdat de dwangkrachten zelf extra onbekenden
zijn. De Lagrangiaanse mechanica is dus bijzonder efficiënt, aangezien er evenveel vergelijkingen als onbekenden qk zijn.
1.5. De Lagrangiaan
Als we de virtuele arbeid (1.7) schrijven voor een variatie die op elk tijdstip overeenkomt
met de echte infinitesimale verplaatsing op dat tijdstip zodat δqk = dqk 4 , dan bekomen
we de ogenblikkelijke arbeid
X
dW =
Fk dqk .
k
Indien er een scalaire functie V = V (q1 , . . . , qn , t) bestaat zodat op elk tijdstip
dW = −dV = −
X ∂V
dqk ,
∂qk
k
(1.12)
dan moet er op elk ogenblik gelden dat
Fk = −
∂V
.
∂qk
In het geval dat V = V (q1 , . . . , qn ) niet expliciet van de tijd afhangt, spreken we van
een conservatief systeem en komt de functie V overeen met de potentiële energie van
het systeem. Laten we nu de Lagrangiaan L definiëren als
4
L ≡ T − V.
Deze variatie komt overeen met een infinitesimale verschuiving van de kromme qk (t) naar links.
11
Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten
Omdat we aangenomen hebben dat de scalaire functie V onafhankelijk is van de snelheden q̇k geldt er
∂T
∂L
=
.
∂ q̇k
∂ q̇k
Als we alles invullen in de veralgemeende bewegingsvergelijking (1.11) dan bekomen we
de Euler-Lagrange bewegingsvergelijkingen:
d ∂L
∂L
−
= 0,
∂qk dt ∂ q̇k
k = 1, . . . , n.
(1.13)
Dit zijn de belangrijkste vergelijkingen van de Lagrangiaanse mechanica. Voor een
holonoom systeem waarvoor (1.12) opgaat, is het probleem gereduceerd tot het zoeken
van één enkele scalaire functie, de Lagrangiaan L.
Snelheidsafhankelijke potentialen Het Lagrange formalisme werkt voor sommige snelheidsafhankelijke functies U = U (q, q̇, t) waarmee de veralgemeende krachten geschreven
kunnen worden als
∂U
d ∂U
−
.
(1.14)
Fk =
dt ∂ q̇k ∂qk
In dit geval volgen de veralgemeende bewegingsvergelijkingen (1.11) uit de Lagrange
vergelijkingen (1.13) met L = T − U . De Lorentzkracht op een geladen deeltje in een
elektromagnetisch veld kan bijvoorbeeld zo geschreven worden.
1.6. Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten
Onderstel dat de tijdsevolutie van een systeem met n vrijheidsgraden beschreven wordt
door de coördinaten q1 (t), . . . , qn (t) die voldoen aan de Lagrange-vergelijkingen, gegeven door (1.13). Beschouw nu een (inverteerbare) coördinatentranformatie naar nieuwe
coördinaten u1 , . . . , un . De oude coördinaten kunnen uitgedrukt als
qk = qk (u1 , . . . , un , t),
(k = 1, . . . , n),
waar de coördinatentransformatie mogelijk kan veranderen in de tijd. We zullen nu
aantonen dat als de originele coördinaten voldoen aan de bewegingsvergelijkingen, dat
dan de nieuwe coördinaten hier ook aan voldoen:
d ∂L
∂L
−
= 0,
∂uk dt ∂ u̇k
zodat de vorm van de bewegingsvergelijkingen onafhankelijk is van de coördinaten.
We zullen dit aantonen voor een enkele vrijheidsgraad om de notatie eenvoudig te
houden. Het bewijs voor meerdere vrijheidsgraden verloopt analoog. Het pad in de
oorspronkelijke coördinaat q kan uitgedrukt worden in de nieuwe coördinaat u als
q(t) = q(u(t), t).
12
Symmetrieën en constanten van beweging
Hieruit volgt dat
∂q
∂q
u̇ + .
∂u
∂t
In de nieuwe coördinaat u wordt de Lagrangiaan dus gegeven door
∂q(u, t)
∂q(u, t)
L = L q(u, t),
u̇ +
,t .
∂u
∂t
q̇ =
Met de kettingregel vinden we dan
∂L
∂L ∂q ∂L ∂ ∂q
∂q
=
+
u̇ +
∂u
∂q ∂u
∂ q̇ ∂u ∂u
∂t
∂L ∂ q̇
∂L ∂q
∂L
=
=
,
∂ u̇
∂ q̇ ∂ u̇
∂ q̇ ∂u
zodat
d ∂L
d ∂L ∂q ∂L d ∂q
=
+
dt ∂ u̇
dt ∂ q̇ ∂u
∂ q̇ dt ∂u
d ∂L ∂q ∂L ∂ ∂q
∂q
=
+
u̇ +
.
dt ∂ q̇ ∂u
∂ q̇ ∂u ∂u
∂t
We vinden dus
∂L
d ∂L
−
=
∂u dt ∂ u̇
∂L
d ∂L
−
∂q
dt ∂ q̇
∂q
.
∂u
1.7. Symmetrieën en constanten van beweging
Een symmetrie is een transformatie van de Lagrangiaan die de actie (op randtermen
na), en dus de bewegingsvergelijkingen onveranderd laat. We beschouwen twee soorten
symmetrieën: ijksymmetrie en symmetrieën die overeenkomen met continue transformaties van de veralgemeende coördinaten. Voor de laatstgenoemden symmetrieën zullen
we een belangrijk theorema bewijzen, namelijk het theorema van Noether. Ten laatste
zullen we de Hamiltoniaan introduceren en onderzoeken wanneer deze behouden is, en
hoe dit in verband staat met het behoud van energie.
1.7.1. Ijksymmetrie
Als we een constante optellen bij de Lagrangiaan of de Lagrangiaan vermenigvuldigen
met een constante, dan verkrijgen we een Lagrangiaan die fysisch equivalent is, aangezien
de bewegingsvergelijkingen (1.13) niet veranderen onder deze transformaties. Zo kunnen
we ook een totale tijdsafgeleide van een scalaire functie G = G (q, t) optellen bij de
Lagrangiaan zonder de bewegingsvergelijkingen te veranderen,
L→L+
dG
.
dt
(1.15)
13
Symmetrieën en constanten van beweging
Om dit aan te tonen, schrijven we eerst de totale tijdsafgeleide uit,
dG X ∂G
∂G
=
q̇k +
,
dt
∂q
∂t
k
k
zodat
d
dt
∂ dG
∂ q̇k dt
=
d ∂G
∂ dG
=
,
dt ∂qk
∂qk dt
en de bewegingsvergelijkingen niet veranderen. Een symmetrietransformatie zoals (1.15)
noemt men een ijktransformatie van de Lagrangiaan.
1.7.2. Theorema van Noether
We zullen hier aantonen dat de invariantie van de bewegingsvergelijkingen onder een
continue symmetrie leidt tot een behouden grootheid. Een continue transformatie kan
per definitie bereikt worden vanuit de identiteit door een opeenvolging van infinitesimale
transformaties5 , zodat we enkel qk (t) → qk (t) + δqk (t) moeten beschouwen. Dit geeft
aanleiding tot een kleine verandering van de Lagrangiaan,
X ∂L
∂L
δqk +
δ q̇k .
L → L + δL,
δL =
∂q
∂
q̇
k
k
k
Aangezien we veronderstellen dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn onder deze
transformatie, mag δL hoogstens gegeven worden door een totale tijdsafgeleide
δL =
dF
d
δG(q, t) ≡
.
dt
dt
(1.16)
Er moet dus gelden dat
X ∂L
d ∂L
d ∂L
dF
δqk −
δqk
δqk +
=
.
∂q
dt
∂
q̇
dt
∂
q̇
dt
k
k
k
k
Als de q(t) bovendien ook nog voldoen aan de bewegingsvergelijkingen, dan vinden we
dat de Noetherstroom
X ∂L
δqk − F,
J=
∂ q̇k
k
een constante van beweging is. Dit is de meest eenvoudige versie van het theorema van
Noether. Merk bijvoorbeeld op dat translaties in de tijd (en dus behoud van energie)
niet inbegrepen zijn in deze versie.
5
In tegenstelling tot een discrete transformatie zoals inversie r → −r.
14
Symmetrieën en constanten van beweging
Cyclische coördinaten
Als voorbeeld beschouwen we een translatie van de coördinaat q1 (t) → q1 (t) + δa. Onderstel bovendien dat q1 een cyclische coördinaat is, wat betekent dat ze niet voorkomt
in de Lagrangiaan. In dit geval verdwijnt de variatie van de Lagrangiaan,
δL =
∂L
∂L
δa +
δ ȧ = 0,
∂q1
∂ q̇1
aangezien δa constant is, en L niet afhangt van q1 . We kunnen δL schrijven als (1.16)
door F gelijk te stellen aan een constante c. De Noetherstroom wordt dan gegeven door
J=
∂L
δa − c.
∂ q̇1
Aangezien δa arbitrair is, is dit enkel een constante van beweging als
p1 ≡
∂L
∂ q̇1
constant is in de tijd. Dit volgt ook meteen uit de bewegingsvergelijking voor de cyclische
coördinaat q1 . De grootheid p1 noemt men een veralgemeende of canonieke impuls, en het
behoud van p1 is een veralgemening van behoud van (echte) impuls. Neem bijvoorbeeld
een systeem dat cilindersymmetrisch is. In dit geval is de azimutale hoek φ een cyclische
coördinaat, en de overeenkomstige behouden canonieke impuls pφ komt dan overeen met
het draaimoment rond de z-as.
Merk op dat q̇1 mogelijk nog aanwezig is in de Lagrangiaan. We kunnen deze variabele
echter elimineren door gebruik te maken van het feit dat de canonieke impuls p1 een
constante van beweging is,
p1 (q2 , . . . , qn , q̇1 , q̇2 , . . . , q̇n , t) = k,
met k een constante. Deze vergelijking kunnen we in principe oplossen naar q̇1 zodat
het aantal onafhankelijke bewegingsvergelijkingen met één verminderd is. Uiteraard
zullen de vergelijkingen nu wel afhangen van de constante k die bepaald wordt door de
beginvoorwaarden.
1.7.3. De Hamiltoniaan en behoud van energie
Men kan een grootheid construeren uit de Lagrangiaan, de Hamiltoniaan H genoemd,
die behouden is onder heel algemene voorwaarden:
H≡
X
k
q̇k
∂L
− L.
∂ q̇k
De tijdsafgeleide van H wordt gegeven door
dH X
∂L
d ∂L
dL
=
q̈k
+ q̇k
−
.
dt
∂
q̇
dt
∂
q̇
dt
k
k
k
15
Deeltje in een elektromagnetisch veld
Uit de kettingregel volgt
∂L
∂L
dL X
∂L
=
+ q̈k
+
.
q̇k
dt
∂q
∂
q̇
∂t
k
k
k
Als we de Lagrange vergelijkingen (1.13) gebruiken dan vinden we
dH
∂L
=− ,
dt
∂t
zodat de Hamiltoniaan behouden is als en slechts als de Lagrangiaan niet expliciet afhangt van de tijd.
Behoud van energie Voor een scleronoom systeem is de Lagrangiaan nooit expliciet
afhankelijk van de tijd. Bovendien is de kinetische energie in dit geval een kwadratische
vorm van de veralgemeende snelheden, aangezien
T =
1X ˙ ˙
1X X
∂~ri ∂~ri
mi~ri · ~ri =
mi
q̇k q̇k0
·
,
2 i
2 i
∂q
k ∂qk0
0
k,k
zodat
2T =
X
k
q̇k
X ∂L
∂T
q̇k
=
= H + T − V,
∂ q̇k
∂
q̇
k
k
waaruit volgt dat H = T + V = E. De totale energie van een scleronoom systeem is
dus altijd behouden. Voor een rheonoom systeem is de Lagrangiaan meestal, maar niet
altijd, expliciet afhankelijk van de tijd. Als dit niet het geval is, dan is de Hamiltoniaan
behouden, maar niet meer gelijk aan de totale energie.
1.8. Deeltje in een elektromagnetisch veld
De bewegingsvergelijking van een deeltje met lading e in een elektromagnetisch veld
wordt gegeven door (in SI eenheden)
~
~
m~a = e E(~r, t) + ~v × B(~r, t) ≡ F~ (~r, ~v , t),
(1.17)
~ het elektrisch en B
~ het magnetisch veld. Als er geen magnetisch veld aanwezig
met E
is, kan deze vergelijking afgeleid worden van de Lagrangiaan L = T − V met V = eφ,
de elektrostatische potentiële energie. Men kan echter een snelheidsafhankelijke potentiaal definiëren zodat ook eindige magneetvelden in rekening gebracht kunnen worden.
~ die gedefinieerd wordt door
Daartoe introduceren we de vectorpotentiaal A
~
~ = −∇φ − ∂ A ,
E
∂t
~ = ∇ × A,
~
B
16
Deeltje in een elektromagnetisch veld
zodat de Lorentzkracht in uitdrukking (1.17) geschreven kan worden als
Fi =
d
∂ ~ · ~v .
(−eAi ) −
eφ − eA
dt
∂xi
~ · ~v . De Lagrangiaan wordt dan
De Lorentzkracht volgt dus uit (1.14) met U = eφ − eA
1
~ r, t) · ~v − eφ(~r, t),
L = T − U = m~v · ~v + eA(~
2
zodat de canonieke impuls
∂L
~
= m~v + eA.
∂~v
Merk op dat een deeltje een eindige snelheid kan hebben terwijl de canonieke impuls
gelijk is aan nul! Bovendien is de canonieke impuls afhankelijk van de keuze van de
vectorpotentiaal (zie hieronder) zodat de canonieke impuls niet ijkinvariant is en dus
niet fysisch waarneembaar. De kinematische impuls m~v is natuurlijk wel fysisch en dus
ijkinvariant. De Hamiltoniaan wordt gegeven door
p~ =
H = p~ · ~v − L =
2
1 ~ + eφ = T + V.
p~ − eA
2m
Het is interessant om op te merken dat deze Lagrangiaan niet uniek bepaald is, terwijl
de bewegingsvergelijkingen dat natuurlijk wel zijn. Een ijktransformatie transformeert
de potentialen als volgt:
∂χ
φ→φ−
∂t
~
~
A → A + ∇χ,
~ en B
~ veranderen niet
met χ = χ(~r, t) een scalaire functie. De fysische grootheden E
onder deze transformatie, terwijl de Lagrangiaan transformeert als
L→L+
d
(eχ).
dt
Zoals reeds vermeld zijn Lagrangianen fysisch equivalent indien ze verschillen op een
totale tijdsafgeleide omdat ze dezelfde bewegingsvergelijkingen opleveren.
2. Hamiltoniaanse mechanica
In Lagrange’s formalisme bepaalt de Langrangiaan de dynamica van het systeem via de
partiële afgeleiden naar de variabelen qk en q̇k . In Hamiltons formalisme wordt een verandering van de variabelen uitgevoerd, van de set van veralgemeende coördinaten en snelheden (q, q̇) naar de set van coördinaten en canonieke momenta (q, p) met q ≡ {q1 , . . . , qn }
en p ≡ {p1 , . . . , pn }. Dit gaat gepaard met een Legendre transformatie die de Lagrangiaan transformeert in de Hamiltoniaan:
H=
X
k
pk q̇k − L,
pk =
∂L
.
∂ q̇k
Om de bewegingsvergelijkingen van Lagrange te herformuleren in termen van de partiële
afgeleiden van H, beschouwen we eerst de differentiaal
X
(dpk q̇k + pk dq̇k ) − dL
dH =
k
=
X
k
q̇k dpk −
X ∂L
∂L
dt.
dqk −
∂qk
∂t
k
Het is belangrijk om op te merken dat de differentiaal dq̇k niet meer voorkomt in de
laatste uitdrukking zodat de nieuwe onafhankelijke variabelen inderdaad de (q, p) zijn.
Uit bovenstaande uitdrukking volgt onmiddellijk
q̇k =
∂H
,
∂pk
∂H
∂L
=−
,
∂qk
∂qk
∂H
∂L
=− .
∂t
∂t
Samen met de definitie van de canonieke impuls bekomen we de bewegingsvergelijkingen
van Hamilton:
∂H
∂H
q̇k =
, ṗk = −
.
∂pk
∂qk
2.1. Variatierekening en het principe van Hamilton
Stel dat q1 en q2 twee configuraties zijn van het systeem op verschillende tijden. Beschouw nu alle mogelijke paden tussen q(t1 ) = q1 en q(t2 ) = q2 . Wat karakteriseert het
dynamische pad (d.i. het pad dat voldoet aan de bewegingsvergelijkingen) in vergelijking
met de andere continue paden?
18
De faseruimte
Hamilton formuleerde een antwoord op deze vraag in de vorm van een variationeel
probleem. Het pad dat de dynamische evolutie beschrijft én dat voldoet aan de randvoorwaarden, is het pad waarvoor de actie-integraal
Z t2
dt L(q(t), q̇(t), t),
S[q(t)] =
t1
stationair is, d.i. het pad waarvoor de variatie van de actie δS verdwijnt. Daartoe
berekenen we δS onder een variatie van het pad q(t) → q(t) + δq(t) dat voldoet aan de
randvoorwaarden δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0. We vinden
Z t2
dt δL(q(t), q̇(t), t)
δS = S[q(t) + δq(t)] − S[q(t)] =
t1
Z t2 X ∂L
∂L
dt
=
δqk +
δ q̇k
∂q
∂
q̇
k
k
t1
k
Z t2 X ∂L
d ∂L
d ∂L
dt
δqk +
δqk −
δqk
=
∂qk
dt ∂ q̇k
dt ∂ q̇k
t1
k
#t2
"
Z t2 X X ∂L
∂L
d ∂L
=
dt
−
δqk
δqk +
∂q
dt
∂
q̇
∂
q̇
k
k
k
t1
k
k
t1
Z t2 X d ∂L
∂L
=
−
δqk .
dt
∂qk dt ∂ q̇k
t1
k
Hieruit volgt dat de actie stationair is als het pad voldoet aan de bewegingsvergelijkingen
aangezien de integraal moet verdwijnen voor elke variatie δq die aan de randvoorwaarden
voldoet. Dit is is meestal een (lokaal) minimum en soms een zadelpunt, maar nooit een
maximum. Er bestaat namelijk steeds een ‘sneller’ pad door veel kleine fluctuaties toe
te voegen met relatief meer kinetische energie en dus een grotere actie.
2.2. De faseruimte
Een manier om de oplossing van de bewegingsvergelijking voor te stellen wordt getoond
in Fig. 2.1a. Het toont de tijdsevolutie van de n coördinaten q(t) voor een bepaald pad
in de n-dimensionale configuratieruimte. De verschillende paden worden onderscheiden
door andere randvoorwaarden.
In het Lagrange formalise worden de snelheiden q̇(t) ook beschouwd als onafhankelijke
variabelen vooraleer de Lagrange vergelijkingen opgelost zijn. De configuratie van het
systeem q(t) op een bepaald tijdstip bepaalt a priori namelijk niet de snelheid op datzelfde tijdstip. Echter in Hamiltons formalisme worden de coördinaten en de momenta op
gelijke voet behandeld zodat men een pad beter kan voorstellen in de 2d-dimensionale faseruimte, zoals getoond in Fig. 2.1b. Aangezien elk punt in de faseruimte bepaald wordt
door 2d getallen, en elk dynamisch pad uniek bepaald wordt door 2d beginvoorwaarden,
19
Theorema van Liouville
p
q2
(q(t), p(t))
q(t)
q
q1
(a)
(b)
Figuur 2.1.: Schets van de configuratieruimte (a) en de faseruimte (b).
gaat er door elk punt in de faseruimte juist één pad. Dit betekent dat verschillende
dynamische paden elkaar niet kunnen snijden in de faseruimte. In Figuur 2.2 wordt het
faseportret van de eenvoudige slinger getoond (mathematische slinger).
2.3. Theorema van Liouville
In de praktijk is het meestal onmogelijk om de beginvoorwaarden voor ieder deeltje van
grote en/of complex systemen te bepalen, laat staan om de bewegingsvergelijkingen op te
lossen. We moeten een andere aanpak gebruiken om de dynamica van zulke systemen te
bestuderen, nl. de statistische mechanica. De Hamiltoniaanformulering is ideaal voor de
statistische studie van complexe systemen. Het theorema van Liouville is een voorbeeld
hiervan.
Voor een groot aantal deeltjes (bv. gasmoleculen) is het onmogelijk om een specifiek
punt in de faseruimte aan te duiden dat correspondeert met de toestand van het systeem.
We kunnen echter wel de faseruimte vullen met punten die de mogelijke toestanden van
het systeem voorstellen (een deel van de ruimte kunnen we uitsluiten, bv. omwille van
behoud van energie). In plaats van het traject van een welbepaald systeem te zoeken,
bestuderen we een ensemble van equivalente systemen. We onderstellen nu dat deze
punten in de faseruimte voldoende talrijk zijn, zodat we een dichtheid ρ in de faseruimte
kunnen definiëren; de volume-elementen die ρ definiëren moeten voldoende groot zijn
zodat ρ op een continue manier varieert. Het aantal systemen (‘punten’) in een volume
dV is dan gegeven door ρdV met
dV = dq1 dq2 . . . dqN dp1 dp2 . . . dpN .
Beschouw nu een infinitesimaal volume-element in het (qk , pk )-vlak van de faseruimte
wat getoond wordt in Figuur 2.3. Het aantal punten dat van buiten dit volume-element
20
Theorema van Liouville
3
2
θ̇
1
0
-1
-2
-3
-4
-2
0
2
4
θ
Figuur 2.2.: Het faseportret van de eenvoudige slinger. De stroom toont hoe het systeem
evolueert. Merk op dat evenwichtspunten (θ = 0, π en θ̇ = 0) overeenkomen met fixpunten van de stroom. De volle (rode) kromme noemt men de
separatrix; de scheidingslijn tussen slingeren en roteren.
beweegt tot in het volume-element via de linkerkant per tijdseenheid, wordt gegeven
door ρq̇k dpk , en via de onderkant door ρṗk dqk . Het aantal punten dat uit het klein
volume-element stroomt wordt dan (Taylor)
∂
∂
(ρq̇k )dqk dpk + ρṗk +
(ρṗk )dpk dqk ,
ρq̇k +
∂qk
∂pk
zodat de totale verandering van de dichtheid in het volume-element dqk dpk per tijdseenheid gegeven wordt door
∂
∂ρ
∂
dqk dpk = −
(ρq̇k ) +
(ρṗk ) dqk dpk .
∂t
∂qk
∂pk
Sommatie over alle k levert een continuı̈teitsvergelijking:
∂ q̇k
∂ρ
∂ ṗk
∂ρ X ∂ρ
+
q̇k + ρ
+
ṗk + ρ
= 0,
∂t
∂qk
∂qk ∂pk
∂pk
k
zodat het totaal aantal systemen in de faseruimte behouden is. Stel nu dat de dynamica van elk systeem beschreven wordt door de Hamiltonvergelijkingen. Invullen van
∂ q̇k /∂qk = −∂ ṗk /∂pk in de continuı̈teitsvergelijking geeft
∂ρ X ∂ρ
∂ρ
dρ
+
q̇k +
ṗk =
= 0.
∂t
∂q
∂p
dt
k
k
k
21
Poisson haakjes
(qk , pk + dpk )
(qk + dqk , pk + dpk )
(qk , pk )
(qk + dqk , pk )
Figuur 2.3.: De stroom door een infinitesimaal volume-element in het (qk , pk )-vlak van
de faseruimte.
Dit is het theorema van Liouville. Het stelt dat de dichtheid aan punten (mogelijke
toestand van het systeem) in de faseruimte van een systeem van deeltjes constant blijft
gedurende de beweging, tenminste als het systeem voldoet aan de vergelijkingen van
Hamilton. In de statistische mechanica kunnen we dus gebruik maken van de Hamiltoniaanse dynamica om ensembles te bestuderen.
2.4. Poisson haakjes
In het algemeen zijn we geı̈nteresseerd in het gedrag van functies van p en q, als functie
van de tijd. Laten we een functie f (q, p, t) volgen in de tijd:
X ∂f
∂f
∂f
df
=
q̇k +
ṗk +
dt
∂qk
∂pk
∂t
k
X ∂f ∂H
∂f
∂f ∂H
+
.
−
=
∂q
∂p
∂t
k ∂pk
k ∂qk
k
Voor de combinatie tussen de haken in het rechterlid introduceert men de volgende
notatie, het zogenaamde Poisson haakje van f en g:
X ∂f ∂g
∂f ∂g
{f, g} ≡
−
.
∂q
∂p
k ∂pk
k ∂qk
k
Met deze notatie vinden we
∂f
df
= {f, H} +
,
dt
∂t
zodat het theorema van Liouville geschreven kan worden als
∂ρ
+ {ρ, H} = 0.
∂t
22
Canonieke transformaties
We zien ook dat als f niet expliciet van de tijd afhangt, f een behouden grootheid
is als het Poisson haakje van f met de Hamiltoniaan verdwijnt, dus als {f, H} = 0.
Aan de hand van Poisson haakjes kunnen we dus op een eenvoudige manier testen of
een grootheid behouden is. Daarnaast kunnen we de Hamilton vergelijkingen op een
elegante en symmetrische manier opschrijven:
q̇k = {qk , H},
ṗk = {pk , H}.
Het Poisson haakje voldoet aan volgende eigenschappen:
1. Antisymmetrie: {f, g} = −{g, f }.
2. Lineariteit: {f + g, h} = {f, h} + {g, h} en {αf, g} = α{f, g} voor α ∈ R.
3. Leibniz regel: {f g, h} = f {g, h} + {f, h}g.
4. Jacobi regel: {f, {g, h}} + {g, {h, j}} + {h, {f, g}} = 0.
Deze eigenschappen komen overeen met die van de commutator [f, g] uit de kwantummechanica (en dit is geen toeval!). De relatie met de kwantummechanica wordt nog
suggestiever als we de qk en pk zelf als functie nemen:
{qk , ql } = {pk , pl } = 0,
{qk , pl } = δkl .
Bovendien geldt er ook voor de componenten van het draaimoment ~l = ~r × p~,
{lx , ly } = lz .
Zoals vermeld kunnen de Poisson haakjes gebruikt worden om te testen of een grootheid behouden is. Daarnaast kunnen we er ook nieuwe behoudswetten mee genereren.
Stel dat f (q, p) en g(q, p) behouden grootheden zijn. Dan geldt er, gebruikmakend van
de Jacobi identiteit,
{{f, g}, H} = {f, {g, H}} − {g, {f, H}} = 0,
| {z }
| {z }
0
0
zodat dan {f, g} ook een behouden grootheid is.
2.5. Canonieke transformaties
We hebben reeds gezien dat de Lagrange vergelijkingen invariant zijn onder transfomaties
van het type qk → Qk (q1 , . . . , qN ) (zolang de transformatie inverteerbaar is). Nu we
23
Canonieke transformaties
canonieke impulsen en coördinaten op gelijke voet behandelen, is de vraag of we ook
algemenere transformaties kunnen toelaten:
qk → Qk (q1 , . . . , qN , p1 , . . . , pN )
pk → Pk (q1 , . . . , qN , p1 , . . . , pN ).
(2.1)
Met een geschikte transformatie kunnen we misschien het probleem vereenvoudigen.
Bijvoorbeeld, zodra een bepaalde getransformeerde coördinaat niet meer voorkomt in
de Hamiltoniaan, is de bijhorende canonieke impuls een constante van beweging. Als
we er in slagen om alle coördinaten qk weg te transformeren uit de Hamiltoniaan, dan
zijn de getransformeerde impulsen allemaal constanten van beweging, Pk = αk . De
getransformeerde Hamiltoniaan K is dan alleen een functie van constanten, zodat de
veralgemeende snelheden ook constanten zijn:
Q̇k =
∂K(α1 , . . . , αN )
∂K
=
= βk .
∂Pk
∂αk
Bij deze redenering zijn we er wel van uitgegaan dat ook na de transformatie nog
steeds de vergelijkingen van Hamilton gelden:
∂K(Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN )
∂Pk
∂K(Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN )
Ṗk = −
.
∂Qk
Q̇k =
Omdat bij een transformatie deze canonieke vorm van de bewegingsvergelijkingen behouden moet blijven, spreken we van een canonieke transformatie.
Wanneer zijn de transformaties (2.1) nu canoniek? We bepalen hiervoor nu de de
voorwaarden. De tijdsevolutie van Qk en Pk wordt gegeven door
Q̇k = {Qk , H}q,p ,
Ṗk = {Pk , H}q,p ,
(2.2)
waar we voor de duidelijkheid indices q, p hebben toegevoegd aan de Poisson haakjes om
aan te geven dat we afleiden naar de qk en pk . Als we nu de vergelijkingen in (2.2) als de
Hamiltonvergelijkingen willen identificeren, dan moeten de rechterleden ook gelijk zijn
aan de Poisson haakjes in termen van de Qk en Pk :
{Qk , H}q,p = {Qk , K}Q,P
{Pk , H}q,p = {Pk , K}Q,P .
met K de getransformeerde Hamiltoniaan
K(Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN ) = H(q1 (Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN ), . . . ,
qN (Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN ),
p1 (Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN ), . . . ,
pN (Q1 , . . . , QN , P1 , . . . , PN )).
24
Genererende functie
Dit betekent dat we transformaties zoeken die de eigenschap hebben dat ze het Poisson
haakje invariant laten:
{f, g}q,p = {f, g}Q,P .
Met de kettingregel kunnen we aantonen dat hieraan voldaan is als
{Qk , Ql }q,p = 0
{Qk , Pl }q,p = δkl
{Pk , Pl }q,p = 0
of analoog
{qk , ql }Q,P = 0
{qk , pl }Q,P = δkl
{pk , pl }Q,P = 0
2.6. Genererende functie
Om nu de expliciete uitdrukking voor een canonieke transformatie te bekomen kunnen
we gebruik maken van een genererende functie. Als de transformatie canoniek is, moet
er gelden dat
"
# "
#
X
X
pk dqk − Hdt −
Pk dQk − Kdt = dF,
k
k
met dF een totale differentiaal. Dit volgt uit het variatieprincipe van Hamilton:
#
Z t2
Z t2 "X
δ
Ldt = δ
pk q̇k − H dt = 0.
t1
t1
k
De functie F noemt men de genererende functie van de transformatie omdat, zoals
we zullen zien, eens F gegeven is, de transformaties (2.1) bepaald zijn. Er zijn vier
mogelijke vormen voor F . Om de transformatie vast te leggen tussen beide sets van
canonieke variabelen, moet F afhangen van zowel de oude als de nieuwe variabelen.
Daarom is F een functie van 4N variabelen plus de tijd. Echter enkel 2N ervan zijn
onafhankelijk, omdat de transformatie tussen beide sets juist 2N voorwaarden opleggen.
Daardoor zijn de volgende vier vormen voor F mogelijk,
F = F1 (q, Q, t),
F = q · p + F3 (p, Q, t),
F = −Q · P + F2 (q, P, t),
F = q · p − Q · P + F4 (p, P, t).
De functies F1 , F2 , F3 , F4 die allen dezelfde canonieke transformatie genereren, zijn dus
met elkaar verbonden via een Legendre transformatie. Elk van deze functies heeft 2N
onafhankelijke variabelen.
Laten we nu de overeenkomstige canonieke momenta bepalen, bijvoorbeeld voor het
eerste geval F1 . Uit (2.6) volgt
"
# "
#
X
X
dF1 (q, Q, t)
pk q̇k − H −
Pk Q̇k − K =
dt
k
k
X ∂F1
∂F1
∂F1
=
q̇k +
Q̇k +
.
∂qk
∂Qk
∂t
k
25
Genererende functie
Hieruit kunnen we de vergelijkingen voor pk en Pk bepalen:
pk =
∂F1 (q, Q, t)
,
∂qk
Pk = −
∂F1 (q, Q, t)
.
∂Qk
Het verband tussen beide Hamiltonianen wordt uiteindelijk
K=H+
∂F1
.
∂t
Gelijkaardige uitdrukkingen voor de afhankelijke variabelen worden bekomen voor de
functies F2 , F3 en F4 . Steeds zal bovenstaande relatie tussen beide Hamiltonianen gelden.
Bijvoorbeeld voor de genererende functie F2 (q, P, t) geldt er
pk =
∂F2 (q, P, t)
,
∂qk
Qk =
∂F2 (q, P, t)
,
∂Pk
K=H+
∂F2
.
∂t
Eenvoudige voorbeelden
Met de keuze F2 (q, P, t) =
P
k q k Pk
genereren we de eenheidstransformatie:
∂F2
∂F2
= Pk ,
Qk =
= qk .
∂qk
∂Pk
P
De genererende functie F1 (q, Q, t) = k qk Qk levert
pk =
pk =
∂F1
= Qk ,
∂qk
Pk = −
∂F1
= −qk .
∂Qk
Afgezien van het extra minteken, zien we dat de rol van de coördinaten en de momenta
omgekeerd worden door deze transformatie. Dit voorbeeld toont wederom aan dat de
coördinaten en de impulsen equivalente variabelen zijn in het Hamilton formalisme.
Via meer algemene canonieke transformaties kunnen we de faseruimte dus naar wens
transformeren, in de hoop om zo getransformeerde bewegingsvergelijkingen te vinden
die eenvoudiger op te lossen zijn.
De harmonische oscillator
De Hamiltoniaan voor dit probleem is
H(q, p) =
1 2
p + ω2q2 .
2
Via de genererende functie
1
F1 (q, Q) = ωq 2 cot 2πQ.
2
26
Genererende functie
verkrijgen we volgende canonieke transformatie:
p=
∂F1
= ωq cot 2πQ,
∂q
P =−
∂F1
πωq 2
=
.
∂Q
sin2 2πQ
Oplossen van deze impliciete transformatie-vergelijkingen voor de expliciete (inverse)
transformatie-vergelijkingen levert
r
r
ωP
P
p=
cos 2πQ,
q=
sin 2πQ.
(2.3)
π
πω
Substitutie in de oorspronkelijke Hamiltoniaan levert de nieuwe Hamiltoniaan
K=
ω
P.
2π
Omdat Q nu een cyclische coördinaat is, is P een constante van beweging. De bewegingsvergelijking van Hamilton wordt
Q̇ =
ω
,
2π
met oplossing
ω
t + η.
2π
Invullen in (2.3) levert de gekende oplossing van de bewegingsvergelijkingen voor de
harmonische oscillator op.
Q=
Infinitesimale canonieke transformaties
P
Kies F2 (q, P, t) = k qk Pk + G(q, P ). Deze generator is bijna de eenheidstransformatie
als infinitesimaal klein is. De transformatievergelijkingen leveren
pk = P k + ∂G
,
∂qk
Qk = qk + ∂G
.
∂Pk
Stel nu = dt, een infinitesimaal tijdinterval. Dan bekomen we voor Qk en Pk
Qk = qk + dt
∂G
,
∂Pk
Pk = pk − dt
∂G
.
∂qk
Als G(q, P ) = H(q, P ) en aangezien (P, Q) → (q, p) voor dt → 0, zien we dat we
opnieuw de bewegingsvergelijking van Hamilton gereproduceerd hebben. We kunnen de
Hamiltoniaan dus beschouwen als generator van de canonieke transformatie die (q, p)t
transformeert in (q, p)t+dt , en dus de generator van de tijdsevolutie.
27
De Hamilton-Jacobi vergelijking
2.7. De Hamilton-Jacobi vergelijking
Laten we nu op zoek gaan naar de genererende functie die ons de eenvoudigste Hamiltoniaan oplevert, namelijk
K(Q, P, t) = 0 = H(q, p, t) +
∂S
.
∂t
In dit geval zijn al de Qk en Pk constant. Noemen we S = F2 (q, P, t) de genererende
functie die hiervoor zorgt, dan is pk = ∂S/∂qk en Qk = ∂S/∂Pk . De vergelijking die we
moeten oplossen is dus
∂S
∂S
,t +
= 0.
H q,
∂q
∂t
Dit is de Hamilton-Jacobi vergelijking. De functie S noemt men de principiële functie
van Hamilton, en bevat alle informatie over de tijdsevolutie van het systeem. De totale
tijdsafgeleide van S wordt gegeven door
dS X ∂S
∂S X
=
q̇k +
=
pk q̇k − H = L.
dt
∂qk
∂t
k
k
De genererende functie S is dus de actie
Z
S=
Ldt.
2.8. Verband met kwantummechanica
Hier gaan we de ‘klassieke limiet’ van de kwantummechanica bestuderen1 . Deze behandeling is geldig als de actie groot is ten opzichte van de constante van Planck, d.i. de
limiet ~/S → 0. Laten we starten van de Schrödingervergelijking
∂ψ
~2 2
=−
∇ ψ + V (~r, t)ψ.
∂t
2m
De golffunctie is een complexe grootheid die we kunnen schrijven als
p
i
ψ(~r, t) = ρ(~r, t) exp S(~r, t) ,
~
i~
met ρ en S reëel, en waar ρ > 0 de waarschijnlijkheidsdichtheid is. Invullen in de
Schrödingervergelijking levert volgende vergelijking,
√
∂ ρ
i √ ∂S
i~
+
ρ
=
∂t
~
∂t
~2
2i √
1√
i√
√
2
2√
2
−
∇ ρ + ∇ ρ · ∇S − 2 ρ (∇S) +
ρ ∇ S + V ρ.
2m
~
~
~
1
Klassieke mechanica komt tevoorschijn op macroscopische schaal door een samenzwering van microscopisch kwantumgedrag, m.a.w. de klassieke mechanica is emergent.
28
Verband met kwantummechanica
Veronderstel nu dat ~ beschouwd kan worden als een ‘kleine grootheid’. De fysische
betekenis van deze benadering zal later duidelijk worden. Laten we dus aannemen dat
~|∇2 S| |∇S|2 ,
enzovoort. Zo houden we enkel de termen over die ~ niet bevatten. Dit geeft een
niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking voor S:
1
∂S
(∇S)2 + V (~r ) +
= 0.
2m
∂t
Merk op dat deze vergelijking identiek is aan de Hamilton-Jacobi vergelijking waar S
gegeven wordt door de actie. SAKURAI p.103
Geldigheid van de klassieke limiet
We zullen nu aantonen dat de (semi-)klassieke limiet van de kwantummechanica geldig
is als de potentiaal weinig varieert over verschillende ‘de Broglie’ golflengtes λ̄ = ~/p.
3. Trillingen rond evenwicht
In een mechanisch systeem komt periodieke beweging tot stand door een herstellende
kracht die arbeid verricht op het systeem. Positieve arbeid zet kinetische energie om
naar potentiële energie en negatieve arbeid verandert de potentiële energie terug naar
kinetische energie. Een oscillator is een systeem met periodieke beweging. Als de kracht
lineair toeneemt met de uitwijking, spreken we van een lineaire of harmonische oscillator; de frequentie van de trilling is dan onafhankelijk van de amplitude. In een echt
mechanisch systeem is er wrijving aanwezig waardoor we een wrijvingskracht moeten
introduceren; zulke oscillatoren noemen we gedempt. Als we de oscillator aandrijven
met een externe kracht dan spreken we van een gedreven oscillator. Het is mogelijk om
de respons van een lineaire oscillator te berekenen voor een willekeurige externe kracht
als deze kracht een gekende functie van de tijd is, onafhankelijk van de oscillator. De
drijfkracht verricht arbeid waardoor er energie wordt opgeslagen in de oscillator. Als
de drijffrequentie in de buurt komt van de natuurlijke frequentie van de oscillator, kan
de amplitude van de oscillaties sterk toenemen; dit is resonantie. De mogelijkheid van
een oscillator om energie op te slaan is echter gelimiteerd omdat er constant energie
verwijderd wordt door wrijving. Als de herstellende kracht een niet-lineair deel bevat,
dan spreken we van een anharmonische oscillator. In dit geval zal de periode afhankelijk
zijn van de amplitude. Ook is het meestal niet meer mogelijk om de bewegingsvergelijking analytisch op te lossen. We zullen daarom gebruik maken van storingsrekening en
Fourieranalyse om deze problemen te bestuderen.
Voor de eenvoud beschouwen we enkel systemen met één vrijheidsgraad.
3.1. Stabiel of onstabiel evenwicht
Een mechanisch systeem dat in rust is en dat in rust blijft, is in evenwicht. De evenwichtspunten van een systeem worden bepaald door te eisen dat alle veralgemeende
krachten verdwijnen. Voor een conservatief systeem zijn dit alle configuraties waarvoor
de potentiële energie V (q1 , . . . , qN ) stationair is. Een evenwichtspunt is dus een punt
in de configuratieruimte waar alle partiële afgeleiden van de potentiële energie naar de
coördinaten verdwijnen:
δV = 0 ⇔
∂V
∂V
= ··· =
= 0.
∂q1
∂qN
30
Stabiel of onstabiel evenwicht
Voorbeeld: de slinger
Als voorbeeld beschouwen we de mathematische slinger. Er zijn twee punten waar de
koppel te wijten aan de zwaartekracht gelijk is aan nul. De Lagrangiaan van de slinger
wordt gegeven door
1
L(θ̇, θ) = ml2 θ̇2 − mgl (1 − cos θ) ,
2
zodat de veralgemeende kracht (de koppel in dit geval)
∂V
Fθ = −
= −mgl sin θ,
∂θ
met evenwichtspunten θ = 0 en θ = π. De slinger blijft bewegingsloos als deze in rust
geplaatst wordt in een van deze twee punten. De hoek θ = 0 is een stabiel evenwicht
omdat het systeem na een kleine uitwijking oscillerend terugkeert naar de evenwichtspositie. Anderzijds is het punt θ = π een onstabiel evenwicht aangezien elke uitwijking
zeer snel weg van het evenwicht wordt uitvergroot.
Stabiel evenwicht
In de buurt van θ = 0 kunnen we de cosinus expanderen zodat
 s !2

l
mgl 
θ̇ − θ2  .
L'
2
g
p
In dimensieloze tijd τ = gl t en zonder de constante factor, vinden we
1 2
θ̇ − θ2 ,
L=
2
zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door
met algemene oplossing
(3.1)
θ̈ − θ = 0,
θ(t) = Aeit + Be−it .
Onstabiel evenwicht
Analoog bekomen we rond θ = π met ∆θ = θ − π:
i
1h ˙ 2
2
L=
(∆θ) + (∆θ) ,
2
zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door
¨ + ∆θ = 0,
∆θ
(3.2)
met algemene oplossing
θ(t) = π + Aet + Be−t .
Het belangrijkste verschil tussen stabiel evenwicht (3.1) en onstabiel evenwicht (3.2)
is het teken van de term die kwadratisch is in de uitwijking. Deze term bepaalt namelijk
of de kracht herstellend of uiteendrijvend werkt.
31
Lagrangiaan rond evenwicht
3.2. Lagrangiaan rond evenwicht
De evenwichtspositie van een eendimensionaal systeem is het punt qev waar de kracht
q̈ = 0. De meeste fysische systemen gedragen zich gelijkaardig rond hun evenwichtsposities. Een expansie van de Lagrangiaan rond evenwicht verduidelijkt dit. Als we een
inertiaalstelsel kiezen waar qev = q̇ev = 0, dan wordt de Lagrangiaan voor een scleronoom
systeem rond evenwicht tot en met tweede orde gegeven door
L = A + Bq + C q̇ + Dq 2 + Eq q̇ + F q̇ 2 ,
met A, B, C, D, E en F constanten1 die afhangen van het systeem. De Euler-Lagrange
bewegingsvergelijking wordt
d
(C + Eq + 2F q̇) = B + 2Dq + E q̇,
dt
of
D
q = 0,
F
waar we B nul hebben gesteld omdat q̈ = 0 in evenwicht. We zouden dezelfde bewegingsvergelijking gevonden hebben met de equivalente Lagrangiaan,
q̈ −
L = q̇ 2 − ω02 q 2 ,
waar
ω02 = −
In dimensieloze tijd τ =
D
.
F
q D t kunnen we de Lagrangiaan schrijven als
F
L=
1 2
q̇ ± q 2 ,
2
waar nu q̇ ≡ dq/dτ . Het teken hangt enkel af van D omdat F > 0 aangezien het
overeenkomt met een deel van de kinetische energie wat altijd positief is. Bovendien is
de kinetische energie van een scleronoom systeem steeds een kwadratische functie van q̇,
zodat er geldt dat
∂ 2 V ∂ 2 L =−
.
D≡
∂q 2 ev
∂q 2 ev
Het teken van D wordt dus bepaald door de kromming van V in het evenwichtspunt.
Als de kromming van V (q) in evenwicht positief is, dan vinden we
∂ 2 V q̈ + q = 0 ⇔
> 0.
∂q 2 ev
1
In een rheonoom systeem kunnen deze constanten tijdsafhankelijk zijn.
32
Eenvoudige harmonische oscillator
In dit geval werkt de kracht als gevolg van een kleine uitwijking q herstellend, zodat het
evenwicht stabiel is. Als de kromming negatief is, dan geldt er
∂ 2 V q̈ − q = 0 ⇔
< 0,
∂q 2 ev
zodat elke uitwijking het systeem verder uit evenwicht drijft en het evenwicht onstabiel
is. Als de kromming van V in evenwicht gelijk is aan nul, dan is het evenwicht labiel en
moeten we hogere orde termen in rekening nemen. Deze termen zullen aanleiding geven
tot niet-lineaire krachten.
Voor eendimensionale systemen komen de minima van V (q) overeen met stabiele evenwichtspunten terwijl de maxima onstabiel zijn. In meerdere dimensies kunnen er ook
zadelpunten zijn die stabiel zijn in één richting en onstabiel in de andere.
3.3. Eenvoudige harmonische oscillator
De bewegingsvergelijking voor de stabiele beweging is gekend als de eenvoudige harmonische oscillator (EHO):
q̈ + q = 0.
(3.3)
Dit is een lineaire oscillator omdat bovenstaande vergelijking lineair2 is. De belangrijkste
eigenschap van een lineaire oscillator is dat de trillingsfrequentie onafhankelijk is van
de trillingsamplitude. De slinger uit het voorbeeld gedraagt zich enkel als een lineaire
oscillator voor kleine uitwijkingen rond θ = 0.
De Hamiltoniaan voor de EHO, die voor een scleronoom systeem ook gelijk is aan de
totale energie, wordt gegeven door
H=
1 2
q̇ + q 2 = E,
2
zodat de totale energie constant is,
dE
= q̇ (q̈ + q) = 0,
dt
waar we vanaf nu de dimensieloze tijd noteren als t in plaats van τ .
Complexe oplossing voor de EHO
De algemene complexe oplossing van (3.3) wordt gegeven door
qc (t) = Aeit = A (cos (t + φ) + i sin (t + φ)) ,
waar A ≡ Aeiφ . De betekenis van het reële en imaginaire deel van A is duidelijk:
q(0) = Re (A) ,
2
q̇(0) = Re (iA) = − Im (A) ,
Een vergelijking is lineair als er enkel eerste machten van de variabele en zijn afgeleiden (q, q̇, q̈, . . .)
in voorkomen.
33
Gedempte harmonische oscillator
zodat
A = q(0) − iq̇(0).
Om de fysische oplossing te bekomen is het belangrijk om op het einde van de berekening
steeds het reële deel te nemen. Dit is ook een oplossing omdat (3.3) lineair is met reële
coëfficiënten. We vinden
q(t) = A cos (t + φ) = (A cos φ) cos t + (−A sin φ) sin t
= q(0) cos t + q̇(0) sin t.
3.4. Gedempte harmonische oscillator
De Langrangiaanse methode werkt enkel voor conservatieve krachten, zodat we het effect
van wrijving zelf moeten toevoegen aan de bewegingsvergelijking. We nemen aan dat de
wrijvingskracht evenredig is met de snelheid, zodat de vergelijking lineair blijft:
q̈ +
q̇
+ q = 0,
Q
waar we de positieve dimensieloze constante Q gedefinieerd hebben. Men noemt dit de
kwaliteitsfactor van de oscillator.
De oplossing van de bovenstaande vergelijking kunnen we vinden door de proefoplossing q(t) = eiαt te substitueren,
i
2
−α + α + 1 eiαt = 0,
Q
zodat
r
i
1
α=
± 1−
.
2Q
4Q2
Afhankelijk van de waarde van de discriminant zijn er drie verschillende soorten oplossingen: ondergedempt, overgedempt en kritisch gedempt.
Ondergedempt Q >
1
2
In dit geval wordt de algemene complexe oplossing gegeven door
r
t
1
0
− 2Q
qc (t) = Ae
eiω t , ω 0 ≡ 1 −
,
4Q2
en de fysische oplossing door
t
q(t) = Ae− 2Q cos (ω 0 t + φ) .
De twee onafhankelijke oplossingen worden getoond in Figuur 3.1a voor Q = 10. In dit
geval is de trilling exponentieel gedempt; er wordt energie van de oscillator afgenomen,
meestal in de vorm van warmte. Hoe kleiner Q, hoe
q sneller de trillingen uitdoven. Ook
neemt de trillingsfrequentie ω0 af met een factor 1 − 4Q1 2 .
34
Gedempte harmonische oscillator
Overgedempt Q <
1
2
Nu zijn er geen trillingen meer omdat ω 0 imaginair is. Een voorbeeld van een overgedempte trilling is een slinger in stroop. Als we de slinger verplaatsen en laten gaan, dan
keert de slinger heel traag terug naar de evenwichtspositie zonder er voorbij te gaan. De
algemene oplossing wordt gegeven door
q(t) = Ae−λ+ t + Be−λ− t ,
met
λ± =
1±
p
1 − 4Q2
> 0.
2Q
De constanten A en B worden gevonden uit de beginvoorwaarden:
q(0) = A + B,
q̇(0) = − (λ+ A + λ− B) .
De twee onafhankelijke oplossingen worden in Figuur 3.1c getoond voor Q = 0.1.
Kritisch gedempt Q =
Als Q =
1
2
1
2
dan heeft de kwadratische vergelijking maar één wortel,
q(t) = q(0)e−t .
Omdat er twee beginvoorwaarden zijn, moeten we een tweede onafhankelijke oplossing
vinden. We kunnen deze oplossing vinden aan de hand van de oplossing voor de overgedempte trilling door Q = 21 − te nemen in de limiet → 0. In laagste orde geldt
√
λ± = 1 ± 2 ,
zodat
√
q(t) = (A + B) e−t − 2 (A − B) te−t
= q(0)e−t + (q(0) + q̇(0)) te−t .
Figuur 3.1b toont de twee onafhankelijke oplossingen voor Q = 0.5.
Fysische betekenis van Q
Het energieverlies van de ondergedempte trilling wordt gegeven door
1
dE
= q̇ (q̈ + q) = − q̇ 2 .
dt
Q
Als we dit invullen dan vinden we
2
dE
1 2 − Qt 1
0
0
0
=− A e
cos (ω t + φ) + ω sin (ω t + φ) .
dt
Q
Q
35
Gedreven harmonische oscillator
q(t)
1.0
q(t)
1.0
0.8
0.5
0.6
10
20
30
40
t
0.4
0.2
-0.5
1
-1.0
2
3
(a)
4
5
t
(b)
q(t)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
(c)
Figuur 3.1.: De twee onafhankelijke oplossingen van de gedempte harmonische oscillator.
(a) Q = 10, ondergedempt; (b) Q = 0.5, kritisch gedempt; (c) Q = 0.1,
overgedempt.
De energie neemt dus exponentieel af met tijdsconstante Q. Gemiddeld gezien kunnen
we dus schrijven
dE
E
=− .
dt
Q
Na één periode ∆t = 2π is de fractie aan verloren energie voor Q 1,
∆E
2π
=
.
E0
Q
(3.4)
3.5. Gedreven harmonische oscillator
Laten we nu een oscillator beschouwen die aangedreven wordt door een externe kracht.
Deze drijfkracht kan negatieve en positieve arbeid leveren, zodat er energie afgenomen en
opgeslagen wordt in het systeem. Onderstel dat de drijfkracht f (t) een gekende functie
36
Gedreven harmonische oscillator
is van de tijd zonder eigen dynamica, onafhankelijk van de oscillator. De bewegingsvergelijking wordt
q̈ + q = f (t).
(3.5)
Omwille van de drijfkracht is de bewegingsvergelijking inhomogeen geworden, zodat
we niet langer nieuwe oplossingen kunnen maken uit lineaire combinaties van andere
oplossingen (superpositie principe). Stel nu dat we een oplossing vinden voor (3.5) die
we de ‘steady state’ oplossing qs noemen. Als we hier een oplossing van de vrije oscillator
bij optellen, de ‘transiënte’ oplossing qt , dan is dit nog steeds een oplossing. De meest
algemene oplossing wordt dus gegeven door
q = q s + qt ,
waar
q̈s + qs = f (t)
q̈t + qt = 0.
Het systeem ondersteunt dus zowel vrije als gedreven trillingen, die meestal met verschillende frequenties oscilleren. De beginvoorwaarden kunnen dan vastgelegd worden
met de constanten uit de transiënte oplossing qt .
Als we geen steady state oplossing hebben, kunnen we de Greense functie methode
gebruiken om de bewegingsvergelijking op te lossen. Dit is een zeer krachtige methode die
werkt voor elke lineaire inhomogene vergelijking. De Greense functie wordt gedefinieerd
als de oplossing van (3.5) voor een speciale drijfkracht: een korte krachtige schok zoals
een hamerslag.
We geven eerst een voorbeeld van de steady state methode voor een gedreven gedempte
harmonische oscillator door de vergelijking op te lossen voor een constante kracht die
plots aangezet wordt.
3.5.1. Constante drijfkracht
Stel dat het systeem in rust is voor t < 0 tot er op t = 0 een constante kracht f0
aangebracht wordt. De bewegingsvergelijking voor t ≥ 0 wordt gegeven door
q̈ +
q̇
+ q = f0 .
Q
(3.6)
Beschouw bijvoorbeeld een (ijzeren) slinger in rust waar plots een constante horizontale kracht op inwerkt, bijvoorbeeld door een magneet. De slinger zal oscilleren rond een
nieuw evenwicht; dit is de transiënte oplossing. Als de slinger gedempt is, dan zullen de
trillingen uitdoven totdat de slinger tot rust komt in het punt q = f0 ; dit is de steady
state oplossing.
Zowel q en q̇ moeten continu zijn omdat de kracht q̈ maar een eindige discontinuı̈teit
vertoont in t = 0. De snelheid vertoont daar wel een kink aangezien de afgeleide q̈ niet
continu is. Als we f0 gelijkstellen aan 1 dan wordt de algemene oplossing
q(t) = 1 + qt (t) = 1 + Aq1 (t) + Bq2 (t),
37
Gedreven harmonische oscillator
met q1 en q2 de twee onafhankelijke oplossingen van de homogene vergelijking. In t = 0
moeten de uitwijking q en de snelheid q̇ continu zijn,
q(0) = 1 + Aq1 (0) + Bq2 (0) = 0
q̇(0) = Aq̇1 (0) + B q̇2 (0) = 0.
Ongedempte trilling
De transiënte oplossingen worden gegeven door
q1 (t) = cos t,
q2 (t) = sin t.
Uit de continuı̈teitsvoorwaarde volgt dat
A = −1,
B = 0,
zodat de oplossing voor t ≥ 0 gegeven wordt door
t
q(t) = 1 − cos t = 2 sin
.
2
2
(3.7)
In dit geval doven de transiënte oscillaties niet uit omdat er geen demping is.
Ondergedempte trilling
Voor de ondergedempte trilling vinden we,
t
q1 (t) = e− 2Q cos ω 0 t,
t
q2 (t) = e− 2Q sin ω 0 t.
Uit de continuı̈teitsvoorwaarde volgt dat
A = −1,
B=−
1
,
2Qω 0
zodat de oplossing voor t ≥ 0 gegeven wordt door
t
1
− 2Q
0
0
q(t) = 1 − e
sin ω t .
cos ω t +
2Qω 0
In Figuur 3.2 wordt deze respons getoond voor Q = 2. Merk op dat zowel q als q̇ nul zijn
in de oorsprong. De nieuwe evenwichtspositie q = 1 wordt bereikt nadat de transiënte
oscillaties, geëxciteerd door de discontinue kracht, uitdoven.
38
Gedreven harmonische oscillator
q(t)
q̇(t)
0.5
1
5
0.2
5
20
20
t
t
(a)
(b)
Figuur 3.2.: (a) Respons van de ondergedempte harmonische oscillator, gedreven met
een constante drijfkracht f0 = 1, die plots aangezet wordt voor Q = 2. De
overeenkomende snelheid (b) heeft geen continue afgeleide omwille van de
discontinue kracht, aangezien het systeem aanvankelijk in rust is.
3.5.2. Greense functie voor de EHO
Nu beschouwen we een impulsieve kracht die inwerkt op een vrije oscillator in rust op
het tijdstip t = t0 . Een impulsieve kracht is een oneindig sterke maar infinitesimaal korte
kracht die een eindige impuls overbrengt. Daartoe definiëren we de Greense functie G
als de oplossing,
G̈ + G = δ (t − t0 ) ,
waar de Dirac delta functie δ(x) de impulsieve kracht voorstelt. Dit is eigenlijk geen
functie, maar een notatie voor een limiet van een functie. De belangrijkste eigenschappen
van δ(x) zijn
Z
δ(x 6= 0) = 0,
dx δ(x) = 1.
We kunnen δ(x) beschouwen als een smalle, sterk gepiekte functie in de limiet dat de
breedte van de piek naar nul gaat, terwijl het oppervlak onder de kromme constant
blijft en gelijk is aan 1. Binnen de infinitesimaal kleine breedte is elke brave functie f (x)
constant zodat
Z
Z
dx f (x)δ(x) = f (0) dx δ(x) = f (0).
Greense functie voor de vrije trilling (methode 1)
De Greense functie kan bepaald worden door de korte impuls te benaderen met een
vierkante puls op t = 0 van lengte 1 en hoogte 1/,
f (t) =
1
[θ (t) − θ (t − )] .
39
Gedreven harmonische oscillator
Omdat (3.6) lineair is, wordt de respons gegeven door
1
[qstap (t) − qstap (t − )] ,
q(t) =
waar qstap (t) de respons is van een vrije oscillator op een constante drijfkracht, gegeven
door (3.7). In de limiet → 0 vinden we
dθ
1
[θ (t) − θ (t − )] =
→0 dt
1
dqstap
q(t) → G(t) = lim [qstap (t) − qstap (t − )] =
.
→0 dt
f (t) → δ(t) = lim
Uit (3.7) volgt
G (t − t0 ) = sin (t − t0 ) θ (t − t0 ) ,
(3.8)
waar we de oorsprong verplaatst hebben naar t = t0 . De θ-functie weerspiegelt causaliteit; de oscillator kan niet reageren voor de impuls zodat G (t < t0 ) = 0. Men noemt
(3.8) daarom de ‘causale’ Greense functie.
Greense functie voor de vrije trilling (methode 2)
Alternatief kunnen we de Greense functie vinden uit het feit dat er alleen op t = t0 een
kracht aangebracht wordt. De oscillator is in rust voor t < t0 zodat dan G = 0, en voor
t > t0 is G een oplossing van de vrije oscillator. Daarnaast moet G continu zijn in t0
zodat G (t − t0 ) ∝ sin (t − t0 ) θ (t − t0 ). Omdat de afgeleide Ġ verspringt in t0 met de
eenheid, gaat de gelijkheid op. We bewijzen dit door de vergelijking te integreren rond
t0 over een klein interval van breedte 2,
Z
t0 +
Z
t0 +
dt (G̈ + G) =
t0 −
t0 −
dt δ (t − t0 ) = 1.
Anderzijds kunnen we het linkerlid verder uitwerken met
Z
t0 +
dt G̈ = Ġ () − Ġ (−) ,
t0 −
en
Z
t0 +
t0 −
dt G ' 2 G(0),
in laagste orde. In bovenstaande vergelijking hebben we verondersteld dat G continu is,
en klein genoeg. In de limiet → 0 vinden we
i
h
lim Ġ () − Ġ (−) = 1.
→0
40
Gedreven harmonische oscillator
Greense functie voor de gedempte trilling
Nu wordt de Greense functie voor t > t0 gegeven door de oplossing van de ondergedempte
oscillator:
t−t0
G = e− 2Q (A cos [ω 0 (t − t0 )] + B sin [ω 0 (t − t0 )]) .
Op t = t0 is G continu en verspringt Ġ met de eenheid3 waaruit volgt dat
A = 0,
B=
1
.
ω0
De Greense functie voor de ondergedempte oscillator wordt dus gegeven door
G (t − t0 ) =
0
1 − t−t
2Q sin [ω 0 (t − t0 )] θ (t − t0 ) .
e
ω0
3.5.3. Willekeurige kracht
Elke willekeurige kracht kan benaderd worden door een som van eindige vierkante impulsen met breedte ,
X h i
− θ t − ti −
,
F (t) '
Fi θ t − ti +
2
2
i
waar de ti uniform verdeeld zijn en Fi de gemiddelde waarde is van F (t) in het interval
ti − /2 ≤ t < ti + /2. In de limiet → 0 geldt dus
Z ∞
dt0 F (t0 )δ(t − t0 ).
F (t) =
−∞
Als we deze vergelijking voor F (t) beschouwen als een oneindige som, dan stelt het
superpositie principe dat de oplossing gegeven wordt door een superpositie van Greense
functies gewogen met F (t0 ). Eens we de Greense functie kennen, kunnen we de oplossing
meteen neerschrijven:
Z ∞
dt0 F (t0 )G(t − t0 ),
q(t) = c1 q1 (t) + c2 q2 (t) +
−∞
waar de constanten c1 en c2 de beginvoorwaarden vastleggen. Controleer zelf dat dit een
oplossing is van de bewegingsvergelijking. Voor de eenvoudige harmonische oscillator
wordt de oplossing expliciet gegeven door
Z t
q(t) = c1 cos t + c2 sin t +
dt0 F (t0 ) sin(t − t0 ).
(3.9)
−∞
De eindige bovenlimiet in de integraal verschijnt omdat we de causale Greense functie
gebruiken. De Greense functie techniek werkt voor elke lineaire vergelijking en wordt
doorheen heel de fysica gebruikt.
3
In de integratie van de vergelijking zal de term in Ġ niet bijdragen omdat G continu is.
41
Resonantie
3.6. Resonantie
Laten we nu het effect van een sinusoı̈dale drijfkracht bestuderen met een frequentie die
in de buurt ligt van de natuurlijke oscillatorfrequentie:
F (t) = θ(t) cos ωt.
3.6.1. Ongedempte trilling
Eerst kijken we naar de ongedempte trilling. We veronderstellen dat de oscillator initieel
in rust is, en dat de drijffrequentie gelijk is aan de natuurlijke frequentie van de oscillator
ω = ω0 = 1. In dit geval is de drijfkracht in resonantie met de ongedempte oscillator.
De oplossing wordt gegeven door (3.9),
Z t
dt0 cos t0 sin(t − t0 )
q(t) =
0
Z
1 t 0 it0
−it0
i(t−t0 )
−i(t−t0 )
dt e + e
e
−e
=
4i 0
Z
t sin t 1 t 0
t sin t
=
−
dt sin(2t0 − t) =
,
2
2 0
2
zodat de amplitude onbegrensd stijgt. Een ongedempte harmonische oscillator, gedreven
op zijn natuurlijke frequentie zal een onbeperkte, steeds toenemende hoeveelheid energie
opslaan. Echter omwille van demping en niet-lineaire termen zullen echte oscillatoren
een evenwicht bereiken na voldoende tijd.
3.6.2. Ondergedempte trilling
De respons van het systeem onder invloed van een sinusoı̈dale drijfkracht zal initieel
bestaan uit trillingen met zowel de natuurlijke oscillatorfrequentie als de drijffrequentie.
Na een tijdje bereikt het systeem een evenwicht, waar het verlies aan wrijving juist
gecompenseerd wordt door de drijfkracht. Er is dan nog maar één frequentie aanwezig,
het systeem beweegt synchroon met de externe drijfkracht. De respons (als het systeem
initieel in rust is) wordt gegeven door
Z t
0
0
0
q(t) = qs (t; ω) + qt (t; ω ) =
dt0 cos
| {zωt} G(t − t ),
0
F (t0 )
p
met ω de frequentie van de drijfkracht en ω 0 = 1 − 1/4Q2 de natuurlijke frequentie
van de ondergedempte oscillator. De oscillator is in rust voor t < 0 en voor t ≥ 0 bestaat
de respons uit een steady state qs en een vrije oscillatie qt . De vrije oscillatie dempt uit
na ongeveer Q/2π periodes wat volgt uit (3.4) zodat enkel de steady state overblijft en
het systeem maar één frequentie heeft aangezien de vergelijking lineair is. In de steady
state, reageert een lineair systeem altijd met de drijffrequentie. Hiermee kunnen we de
42
Resonantie
10
A(ω)
8
6
4
2
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ω
Figuur 3.3.: Steady state amplitude van de sinusoı̈daal gedreven ondergedempte harmonische oscillator als functie van de drijffrequentie voor Q = 1 (volle lijn),
Q = 5 (gestreepte lijn) en Q = 10 (gestippelde lijn).
steady state oplossing vinden zonder de integraal expliciet op te lossen. De drijfkracht
kan geschreven worden als
F (t) = θ(t) Re eiωt ,
zodat de steady state oplossing gevonden wordt door q0 eiωt te substitueren in (3.5) en
vervolgens het reële deel te nemen,
#
"
ω
sin ωt
(1 − ω 2 ) cos ωt + Q
eiωt
=
qs (t) = Re
2
2
i
w
2
1 − ω + Qω
(3.10)
(1 − ω 2 ) + Q2
≡ A(ω) cos [ωt + φ(ω)] ,
waar we de amplitude A, en het faseverschil φ tussen de respons en de sinusoı̈dale
drijfkracht gedefinieerd hebben. Voor de amplitude vinden we
1
A(ω) = q
(1 − ω 2 )2 +
ω2
Q2
,
wat getoond wordt in Figuur 3.3 als functie van de drijffrequentie. De opgeslagen energie
is evenredig met het kwadraat van de amplitude zodat
E∼
1
(1 −
ω 2 )2
+
ω2
Q2
.
Als functie van de drijffrequentie vertoont de energie een scherpe resonantiepiek bij de
resonantiefrequentie ωr . Uit dE
= 0 volgt
dω
r
1
ωr = 1 −
,
2Q2
43
Resonantie
wat niet gelijk is aan de natuurlijke frequentie van de vrije oscillator ω 0 . In het geval
dat Q 1, is ω ≈ 1 in de buurt van de piek zodat
1 − ω 2 = 1 − [(1 − ω) − 1]2 ≈ 2 (1 − ω) ,
ω2
1
≈ 2,
2
Q
Q
waaruit volgt dat de opgeslagen energie benaderd kan worden als
E∼
1
(1 − ω)2 +
1
4Q2
Q 1.
,
In dit geval volgt de opgeslagen energie een Lorentzverdeling in de buurt van de piek.
Het maximum van de piek schaalt als Q2 en de breedte bij de helft van het maximum
wordt gegeven door (in echte eenheden)
∆ω
1
= ,
ω0
Q
waar ω0 de frequentie is van de vrije ongedempte oscillator die bijna gelijk is
resonantiefrequentie aangezien Q 1. Aan de hand van deze vergelijking kan
experimenteel bepalen op een eenvoudige wijze.
We zien dus dat hoge Q waarden (weinig wrijving) naast een traag verval
transiënte oplossing, ook overeenkomen met een smalle en hoge resonantiepiek
opgeslagen energie in de steady state als functie van de drijffrequentie.
aan de
men Q
van de
van de
Faseverschil tussen respons en drijfkracht
De respons wordt getoond in Figuur 3.4. In de steady state (na een aantal periodes)
beweegt het systeem synchroon met de drijfkracht, d.i. het faseverschil is constant. Op
resonantie (Figuur 3.4b) is het faseverschil gelijk aan π/2 zodat een extremum van
de drijfkracht overeenkomt met een node van de respons. Bij frequenties onder de
resonantie (Figuur 3.4a) is er geen faseverschil en boven de resonantie (Figuur 3.4c) is
het faseverschil gelijk aan π. De oscillator loopt achter op het drijvend signaal met een
tijd ∆t = ωφ . Uit vergelijking (3.10) vinden we dat het faseverschil bepaald wordt door
tan φ = −
ω
Q
1 − ω2
.
Hieruit volgt dat −π < φ < 0 omdat sin φ = −Aω/Q < 0, zodat de oscillator steeds
achterloopt op het drijfsignaal. De faseachterstand φ(ω) in de buurt van de resonantie
ω = ωr wordt getoond in Figuur 3.5. Naarmate Q groter wordt, is de faseachterstand
klein onder de resonantie, terwijl de faseachterstand in de buurt van de resonantie zeer
snel gelijk wordt aan π/2. Zodra we over de resonantie gaan, bereikt de faseachterstand
zeer snel de waarde −π voor grote Q.
44
Resonantie
q(t)
2
t
-2
(a)
q(t)
4
t
-4
(b)
q(t)
2
t
-2
(c)
Figuur 3.4.: Respons van de ondergedempte harmonische oscillator (volle lijn) die gedreven wordt in de buurt van resonantie met drijfkracht F (t) = cos ωt
(onderbroken lijn) voor Q = 10. (a) ω = 0.8 (onder resonantie); (b) ω = 1
(op resonantie); (c) ω = 1.2 (boven resonantie).
45
Anharmonische effecten
φ(ω)
0
− π2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
−π
3.0
ω
Figuur 3.5.: Faseverschil φ(ω) tussen de respons q(t) en de drijfkracht F (t) als functie
van de drijffrequentie ω voor Q = 1 (volle lijn), Q = 5 (gestreepte lijn) en
Q = 10 (gestippelde lijn).
3.7. Anharmonische effecten
3.7.1. Correctie op de periode
De bewegingsvergelijking van een eendimensionaal scleronoom systeem is
q̈ +
dV
= 0.
dq
Als we aannemen dat de potentiaal symmetrisch is, zodat V (−q) = V (q), dan wordt de
reeksontwikkeling van V rond q = 0 gegeven door
1
V (q) = q 2 + q 4 + O(q 6 ),
2
4
(3.11)
waar we de eenheden zo kiezen dat de coëfficiënt van q 2 gelijk is aan 1/2. De term in q 4
noemt men een ‘anharmonische’ term, aangezien deze overeenkomt met het niet-lineair
deel van de bewegingsvergelijking. De onbekende constante is dan een maat voor de
sterkte van het anharmonische deel van de potentiaal. We gaan nu onderzoeken hoe de
periode van de oscillatie afhangt van de amplitude als verschillend is van nul.
Voor een scleronoom systeem is de totale energie
1
E = q̇ 2 + V (q),
2
een constante van beweging. De snelheid kan geschreven worden als
p
q̇ = ± 2 (E − V (q)),
46
Anharmonische effecten
zodat voor q̇ > 0:
dq
dt = p
.
2 (E − V (q))
Als we het rechterlid integreren van q = 0 tot q = qmax met qmax de maximale amplitude
en de potentiaal (3.11) invullen dan vinden we, met T de periode,
Z qmax
T
dq
p
=
.
4
2E − q 2 − 2 q 4
0
2
4
+ 4 qmax
, aangezien q̇max = 0. Als we
Omdat de energie constant is, geldt dat E = 21 qmax
nu de substitutie q = qmax x uitvoeren dan geeft dit
Z 1
T
dx
q
=
.
2
4
0
4)
(1 − x2 ) + qmax
(1
−
x
2
In de limiet → 0 keren we terug naar het lineaire systeem en wordt de periode onafhankelijk van de amplitude, zoals we verwachten. Vervolgens expanderen we de vier2
:
kantswortel in 0 = qmax
2
1
1
√
p
1 − x2 1 + (1 + x2 ) 0
0 3
1
1
2
2 2 02
03
1−
=√
1+x +
1 + x + O( ) .
2
8
1 − x2
Substitueren we nu x = sin u, dan krijgen we
Z π/2 0 3
2 02
1
T
2
2
=
du 1 −
1 + sin u +
1 + sin u + · · · .
4
2
8
0
Gebruik makend van
1
(1 − cos 2u)
2
1
sin4 u = (3 − 4 cos 2u + cos 4u) ,
8
sin2 u =
vinden we
1
(2u − sin 2u)
4
Z
1
du sin4 u =
(12u − 8 sin 2u + sin 4u) .
32
Na uitwerking van de integraal, vinden we uiteindelijk voor de periode
3 0 57 02
T = 2π 1 − + + · · · .
4
64
Z
du sin2 u =
(3.12)
Merk op dat als 0 > 0, de periode korter wordt als de amplitude toeneemt. Dit is
wat men verwacht voor een ‘starre’ veer waar de herstellende kracht sterker dan lineair
toeneemt met de uitwijking.
47
Anharmonische effecten
Voorbeeld: de slinger Voor de slinger hebben we
1 2
1 4
V = mgl (1 − cos θ) = mgl
θ − θ + ··· .
2
24
Als we dit vergelijken met (3.11) dan vinden we = − 16 zodat de periode van de slinger
met de anharmonische correctie4 gelijk is aan
s 1 2
l
T = 2π
1 + θmax + · · · .
g
16
Omdat de periode langer is voor grotere amplitudes, is de potentiaal ‘zacht’. We hadden
dit resultaat kunnen voorspellen uit het feit dat de herstellende kracht sin θ kleiner is
dan θ voor grotere hoeken.
3.7.2. Lindstedt-Poincaré storingstheorie
We kennen nu de correctie op de periode omwille van een anharmonische term, maar
niet de correctie op de respons van het systeem. Hiervoor kunnen we Lindstedt-Poincaré
storingstheorie gebruiken. We zullen zien dat de correctie op de respons bijkomende
harmonieken van de verschoven frequentie introduceert.
De niet-lineaire oscillator van hierboven met een kubische herstellende kracht (of een
kwartische potentiaal) wordt de Duffing oscillator genoemd. De bewegingsvergelijking
wordt gegeven door
q̈ + q + q 3 = 0,
met een maat voor de sterkte van de niet-lineaire term. Voor de eenvoud nemen we
de beginvoorwaarden q(0) = A en q̇(0) = 0. Om deze vergelijking op te lossen, proberen
we eerst een reeksontwikkeling van q(t) in machten van :
2
q(t) = q0 (t) + q1 (t) + q2 (t) + · · · =
∞
X
k qk (t).
k=0
Als we deze uitdrukking in de bewegingsvergelijking steken, dan krijgen we een stelsel
van oneindig veel vergelijkingen door de termen in gelijke machten van afzonderlijk
gelijk aan nul te stellen. Dit is de enige mogelijkheid aangezien een variabele is, en
de gelijkheid voor alle opgaat. We vinden een vergelijking voor elke orde k waarvan
de oplossing, de vergelijking voor k + 1 vastlegt. De eerste drie vergelijkingen worden
gegeven door
q̈0 + q0 = 0
q̈1 + q1 = −q03
q̈2 + q2 = −3q02 q1 .
4
(3.13)
(3.14)
4
De term in θmax
is niet helemaal juist in deze benadering (ongeveer tweemaal te groot) omdat we
een bijdrage missen van de θ6 term in de potentiaal.
48
Anharmonische effecten
De oplossing van (3.13) wordt gegeven door q0 = A cos t. Deze oplossing kunnen we
vervolgens gebruiken om de q1 (t) te vinden met (3.14), enzovoort.
We kunnen de niet-lineaire termen beschouwen alsof het inhomogene drijftermen zijn,
zodat voor elke orde kunnen schrijven,
q̈k + qk = Fk (t),
met qk (0) = Aδk0 en q̇k (0) = 0. De Greense functie methode geeft de unieke oplossing
Z t
qk (t) =
dt0 Fk (t0 ) sin(t − t0 ),
k > 0.
0
Voor q1 (t) vinden we
Z t
3
q1 (t) = −A
dt0 cos3 t0 sin(t − t0 )
Z0
0
A3 t 0 i3t0
0
0
0
0
dt e + 3eit + 3e−it + e−i3t
ei(t −t) − e−i(t −t)
=
16i 0
Z t A3
0
0
0
0
dt 3 sin(2t − t) − sin(2t + t) + sin(4t − t) − 3t sin t
=
8
0
Z 3t
Z 3t
A3
=
du sin u − 2
du sin u − 12t sin t
32
−t
t
Z 3t
A3
du sin u + 12t sin t
=−
32
t
A3
=
(cos 3t − cos t − 12t sin t) ,
32
(3.15)
waar we zowel in de 3de als de 4de stap gebruik gemaakt hebben van het feit dat de
sinus een oneven functie is. Deze oplossing is echter niet fysisch aangezien de amplitude
onbegrensd toeneemt, hoewel de energie van de Duffing oscillator behouden is. Dit
komt omdat q03 een term cos t bevat5 die zich gedraagt als een ‘resonante’ drijfterm. De
resulterende niet-fysische term t sin t in de oplossing noemt men een seculiere term.
De oplossing voor dit probleem werd gevonden door Lindstedt en Poincaré. Zij beseften dat men een functie waarvan de periode verandert met de amplitude, probeert uit
te drukken in termen van functies met een vaste periode 2π. Daarom stelden ze voor
om ook van de frequentie een veranderlijke te maken:
ω ≡ 1 + ω1 + 2 ω2 + · · · ,
zodat de periode kan veranderen met de amplitude. De reeksontwikkeling wordt
q(s) =
∞
X
k=0
5
Dit volgt uit cos3 t =
1
4
(3 cos t + cos 3t).
k qi (s),
(3.16)
49
Anharmonische effecten
met s = ωt. Met de extra vrijheidsgraden ω1 en ω2 kunnen we de seculiere termen
verwijderen. De bewegingsvergelijking voor q(s) wordt
ω 2 q̈ + q + q 3 = 0,
waar nu q̇ ≡ dq/ds. Stellen we wederom de termen met gelijke machten in aan elkaar
gelijk, dan bekomen we
q̈0 + q0 = 0
q̈1 + q1 = −q03 + 2q0 ω1
(3.17)
(3.18)
q̈2 + q2 = −3q02 q1 + 2 q1 + q03 ω1 + q0 2ω2 − 3ω12 .
De oplossing van (3.17) is nog steeds q0 = A cos s. Als we deze oplossing in (3.18)
substitueren, dan vinden we
3 3
A3
q̈1 + q1 = 2Aω1 − A cos s −
cos 3s.
4
4
Om de seculiere term te verwijderen, stellen we
3
ω1 = A2 ,
8
zodat de oplossing gegeven wordt door
q1 =
A3
(cos 3s − cos s) .
32
Dit resultaat is analoog aan (3.15) door op te merken dat de seculiere term afkomstig van
de drijfterm cos t (onderlijnd in de vergelijking) wegvalt. Samen met (3.16) vinden we
de periode tot eerste orde in de niet-lineaire storing (vergelijk met uitdrukking (3.12)),
3 2
T = 2π 1 − A + · · · .
8
Voor de volledigheid geven we ook de 2de orde correctie die veel meer (doch eenvoudig)
rekenwerk vereist. Men vindt
21 4
A,
ω2 = −
256
en
A5
(23 cos s − 24 cos 3s + cos 5s) .
q2 =
1024
De periode wordt dan tot tweede orde in gegeven door
3 2
57
2 2
T = 2π 1 − A +
A + · · · .
8
256
50
Anharmonische effecten
10
|A1 (ω)|
8
6
4
2
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ω
Figuur 3.6.: De amplitude |A1 (ω)| voor f = 1 met = 0.1 (volle lijn) en = 0 (onderbroken lijn) als functie van de drijffrequentie ω.
3.7.3. Gedreven anharmonische oscillator
In het geval van een gedreven lineaire oscillator reageert het systeem steeds met de
drijffrequentie in de steady state, en als de drijffrequentie in de buurt van de natuurlijke
frequentie ligt, treedt er resonantie op. Als er een kleine anharmonische term aanwezig is,
zijn er nog steeds oplossingen met dezelfde periode als het drijfsignaal maar er zullen ook
hogere harmonieken aanwezig zijn. In dit deel zullen we zulke oplossingen bestuderen
met de gedreven Duffing oscillator:
q̈ +
q̇
+ q + q 3 = f cos ωt.
Q
(3.19)
Harmonische analyse
Beschouw eerst het geval zonder wrijving (Q → ∞). De oplossingen van (3.19) zijn in
het algemeen niet periodiek, maar we gaan hier op zoek naar een periodieke oplossing.
Enkel voor speciale beginvoorwaarden zal de oplossing stabiel zijn met een vaste periode
2π
. Voor de eenvoud zullen we alvast q̇(0) = 0 nemen, zodat we de oplossing kunnen
ω
schrijven als een Fourier reeks van cosinussen. Bovendien zullen we enkel oplossingen
zoeken die oneven harmonieken bevatten (omdat dan geldt t → t + π/ω, q → −q):
q(t) =
∞
X
An (ω) cos(nωt).
n=1,3,5,...
Omdat in de limiet → 0 enkel de eerste harmoniek kan optreden, onderstellen we
dat de dominante termen van de Fourier reeks gegeven worden door
q(t) = A1 cos ωt + A3 cos 3ωt + · · · .
(3.20)
51
Anharmonische effecten
6
5
A(ω)
4
3
2
1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ω
Figuur 3.7.: Anharmonische resonantie. Reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1
en = 0.1 als functie van ω met Q = 1 (blauw), Q = 5 (rood) en Q = 10
(groen). De onderbroken delen van de curven zijn onstabiel.
Als we deze uitdrukking in de bewegingsvergelijking (3.19) steken (zonder de term te
wijten aan demping) dan vinden we
1 − ω 2 A1 cos ωt + 1 − 9ω 2 A3 cos 3ωt + · · ·
1 3
3 3
A cos ωt + A1 cos 3ωt + · · · = f cos ωt,
+
4 1
4
waar we alle termen kleiner of gelijk aan A21 A3 verwaarloosd hebben. Door de coëfficiënten per harmoniek aan elkaar gelijk te stellen, bekomen we
3
1 − ω 2 A1 + A31 = f,
4
A3 =
1
A3 .
4 (9ω 2 − 1) 1
(3.21)
Zolang ω 1/3 en klein is, geldt onze aanname in (3.20). Voor ω = 1, f = 1 en
= 0.1 vinden we bijvoorbeeld A1 ≈ 2.371 en A3 ≈ 0.042.
De amplitude A1 (ω) wordt gegeven door de reële oplossingen van (3.21) en wordt voor
f = 1 en = 0.1 getoond als functie van ω in Figuur 3.6. Als men het systeem in rust
initialiseert met amplitude A1 (ω) dan zal de respons van de anharmonische oscillator
periodiek zijn. Merk op dat er niets speciaals gebeurt voor ω = 1, terwijl voor de lineaire
oscillator waar = 0, A1 divergeert. Zo kan je zien dat zelfs een kleine anharmonische
term, de resonantie kan stabiliseren.
Foldover effect en hysteresis
Tot nu hebben we enkel de oplossing zonder wrijving bestudeerd. In dit geval vinden
we dat de amplitude voor een periodieke oplossing in eerste orde als functie van de
52
Anharmonische effecten
drijffrequentie gegeven wordt door een kubische vergelijking. We zullen nu kijken hoe
wrijving de respons beı̈nvloedt.
Voor een semi-kwantitatieve bespreking van de periodieke respons in de aanwezigheid
van wrijving, is het vooral belangrijk het faseverschil tussen het drijfsignaal en de oscillator in rekening te nemen. Onderstel daarom dat de oplossing gegeven wordt door de
eerste harmoniek,
q(t) = A cos(ωt + φ) ≡ a cos ωt + b sin ωt,
Als we deze oplossing in de vergelijking steken en alle harmonieken buiten de eerste laten
vallen, dan vinden we
bω
3 2
2
=f
a 1 − ω + A +
4
Q
3 2
aω
2
b 1 − ω + A −
= 0.
4
Q
Door beide vergelijkingen te kwadrateren en het resultaat met elkaar op te tellen, vinden
we een kubische vergelijking voor A2 ,
A2 =
f2
1 − ω 2 + 43 A2
2
+
ω2
Q2
.
(3.22)
De faseachterstand wordt gevonden uit de tweede vergelijking,
ω
b
Q
tan φ = − = −
.
2
a
1 − ω + 34 A2
(3.23)
De reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1 en = 0.1 worden getoond als functie
van ω in Figuur 3.7 voor Q = 1, Q = 5 en Q = 10 (vergelijk met Figuur 3.3). Beschouw
bijvoorbeeld de curve voor Q = 10 en stel dat we vertrekken van een oscillator in rust
met A = 0, wanneer we plots een drijfkracht aanzetten met een zeer hoge frequentie. We
verwachten dan dat de respons van de anharmonische oscillator periodiek is met periode
2π
, en dat voornamelijk de eerste harmoniek bijdraagt. Als we de frequentie verlagen
ω
dan neemt de amplitude continu toe tot ω ≈ 1.3 waar de amplitude een discontinue
sprong maakt naar de hogere tak van de curve (foldover effect). Verhogen we nu weer de
frequentie, dan neemt de amplitude toe tot de resonantie op ω ≈ 1.8 waar de amplitude
naar de lagere tak valt. Zulk gedrag noemt men een hysteresis effect. De uitkomst is
afhankelijk van de zin waarmee we de drijffrequentie over de resonantie brengen. Merk
ook op dat de hysteresis zwakker wordt naarmate de wrijving toeneemt. In Figuur 3.8a
tonen we de amplitude voor verschillende waarde van de sterkte van de anharmonische
term: = 0 (lineaire oscillator), = 0.1 (harde potentiaal) en = −0.003 (zachte
potentiaal). De overeenkomende faseachterstand wordt getoond in Figuur 3.8b.
53
Anharmonische effecten
12
10
A(ω)
8
6
4
2
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
ω
(a)
φ(ω)
0
− π2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
−π
3.0
ω
(b)
Figuur 3.8.: (a) Reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1 en Q = 10 als functie
van ω met = 0 (blauw), = 0.1 (rood) en = −0.003 (groen). (b) De
overeenkomende faseachterstand φ(ω) van (3.23). De onderbroken delen van
de curven zijn onstabiel.
Deel II.
Relativiteit
4. Tensorrekening
Een belangrijk doel van de wetenschap is de wetmatigheden in de Natuur naar een zo
klein mogelijk aantal regels en verbanden te herleiden, i.e. wetten van de Natuur. Deze
wetten moeten onafhankelijk zijn van de waarnemer die de wereld observeert vanuit zijn
referentiestelsel. Dit noemt men het relativiteitsbeginsel.
Een gebeurtenis is een waarneming van de positie van een fysisch object in functie
van de tijd. Alle andere grootheden (e.g. krachten, velden, . . . ) zijn in functie van
deze waarnemingen afgeleid. Deze grootheden en hun wiskundige structuur laten toe
de wetten die de beweging van objecten beschrijven, compact neer te schrijven. Elke
gebeurtenis kan door de waarnemer voorgesteld worden met vier getallen (t, x, y, z).
Newton (1642-1727) meende dat de tijd absoluut was, onafhankelijk van de positie of
relatieve snelheid van de waarnemer in de ruimte. Later toonde Einstein (1879-1955)
aan, met zijn relativiteitstheorie, dat tijd ook relatief is, en dat we ruimte en tijd niet
onafhankelijk mogen beschouwen, maar dat we enkel kunnen spreken van de ruimte-tijd.
Zoals we reeds vermeld hebben, moeten de wetmatigheden onafhankelijk zijn van de
waarnemer. Zo zou Kepler (1571-1630) zijn drie planetaire wetten even goed hebben
kunnen afleiden uit de astronomische tabellen van een Chinese astronoom, dan uit de
tabellen van Tycho Brahe (1546-1601). De tabellen geven slechts een numerieke voorstelling van de werkelijkheid. Indien men de wetmatigheden wil ontdekken, moet men
ook weten hoe de tabellen van beide waarnemers in elkaar kunnen omgezet worden.
Deze omzetting noemt men een coördinatentransformatie.
4.1. Meetkundig object
Een wet van de Natuur drukt een verband uit tussen grootheden zoals plaats, snelheid, massa, lading, enzovoort. Het relativiteitsbeginsel stelt dat de wetten een absolute betekenis hebben onafhankelijk van de waarnemer. Bijgevolg moeten de grootheden ook een absolute, meetkundige betekenis hebben, onafhankelijk van het gekozen
coördinatenstelsel. Zulk meetkundig object wordt een tensor genoemd.
Door een coördinatenstelsel te kiezen, kunnen we een abstracte tensor concreet voorstellen met een aantal getallen, i.e. de componenten van de tensor in dat bepaald stelsel.
Aangezien een tensor een meetkundige betekenis heeft, moeten de componenten voldoen
aan een transformatiewet zodat de tensor hetzelfde object voorstelt in verschillende
stelsels, en vice versa. De meest eenvoudige tensor is een scalair (e.g. temperatuur).
Een scalair voldoet automatisch aan de transformatievoorwaarde, aangezien het dezelfde
waarde heeft in elk stelsel. Een vector is een tensor met een niet-triviale transformatiewet. Beschouw bijvoorbeeld een rotatie van het assenstelsel, getoond in Fig. 4.1. In
56
Coördinatentransformatie
y
x0
y0
f
fy
fx
fy
0
0
x
fx
Figuur 4.1.: Rotatie van het (x, y) naar het (x0 , y 0 ) stelsel. De componenten van de vector
f roteren in de omgekeerde zin, zodat f invariant blijft.
het geroteerd stelsel wordt de voorstelling van een vector verkregen door de voorstelling
in het oorspronkelijke stelsel te roteren in de omgekeerde zin, zodat de vector invariant
blijft.
Men kan een tensor bijvoorbeeld vergelijken met een woord dat vertaald kan worden
in verschillende talen aan de hand van een woordenboek, maar in elke taal dezelfde
absolute betekenis heeft.
4.2. Coördinatentransformatie
Beschouw een gebeurtenis in een n-dimensionale ruimte met coördinaten xµ in het stelsel
0
S en coördinaten xµ in het stelsel S 0 . Er bestaat dan een continue bijectie
0
0
xµ = xµ (xµ ),
0
xµ = xµ (xµ ),
(µ, µ0 = 1, . . . , n),
(4.1)
die de coördinaten met elkaar verbindt, i.e. een coördinatentransformatie. Omgekeerd
0
geldt dat de coördinaten xµ in S en xµ in S 0 dezelfde gebeurtenis voorstellen, als ze
met elkaar verbonden zijn door een coördinatentransformatie. Neem bijvoorbeeld de
transformatie van sferische naar Cartesische coördinaten
0
xµ (xµ ) : (r, θ, ϕ) → (x, y, z),
0
0
0
zodat (x1 , x2 , x3 ) = (r, θ, ϕ) en (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z). Deze transformatie wordt expliciet gegeven door
x = r sin θ cos ϕ,
y = r sin θ cos ϕ,
z = r cos θ.
57
Vectoren
Een ander eenvoudig voorbeeld van een transformatie is een translatie
0
0
xµ → xµ = δµµ (xµ + aµ ) ,
0
met aµ een n-tal constanten en δµµ de Kronecker delta. Indien het niet expliciet vermeld
wordt, zullen we in deze cursus steeds gebruik maken van de Einstein sommatieregel,
i.e. als een index meermaals in een uitdrukking voorkomt, wordt automatisch over die
index gesommeerd. Bijvoorbeeld,
xµ xµ = x ν xν = x1 x1 + x2 x2 + · · · + xn xn .
Merk op dat het niet uitmaakt hoe we een index noteren waarover gesommeerd wordt.
Men noemt dit een ‘dummy’ index. Door gebruik te maken van de kettingregel vinden
we uit (4.1),
0
0
0
∂xµ ∂xρ
∂xµ
∂xµ ∂xρ
∂xµ
µ0
µ
=
, δν 0 =
=
.
δν =
∂xν
∂xρ0 ∂xν
∂xν 0
∂xρ ∂xν 0
µ0
0
noemt men de Jacobiaanse matrix van de transformatie xµ → xµ . Opdat
De matrix ∂x
∂xµ
∂xµ
de inverse matrix ∂x
µ0 bestaat, moet gelden dat
µ0 ∂x ∂xµ 6= 0,
wat de Jacobiaanse determinant of Jacobiaan wordt genoemd. Dit object bepaalt o.a.
hoe infinitesimale volumes transformeren,
µ 0 ∂x 10
20
n0
dV = dx dx · · · dx = µ dx1 dx2 · · · dxn .
∂x
4.3. Vectoren
Beschouw een vlakke n-dimensionale ruimte met een coördinatenstelsel xµ (µ = 1, . . . , n)
zodat de positie van elke punt in de ruimte geschreven kan worden aan de hand van de
positievector
r = r(x1 , . . . , xn ).
De coördinatenbasis in elk punt van de ruimte wordt dan gedefinieerd als de vectoren
e(µ) die raken aan de overeenkomstige xµ -richting,
0
0
e(µ) =
∂r
∂r ∂xν
∂xν
=
=
e(ν 0 ) ,
∂xµ
∂xν 0 ∂xµ
∂xµ
0
met e(ν 0 ) de coördinatenbasis in het stelsel xµ . Dit is de transformatiewet voor de basis.
De transformatiewet voor de componenten van een vector,
0
f = f µ e(µ) = f µ e(µ0 ) ,
wordt gevonden uit diegene voor de basisvectoren,
0
fµ =
0
∂xµ µ
f .
∂xµ
58
Duale vectoren
Contravariantie Omdat een vector onafhankelijk moet zijn van de basis e(µ) , moeten
de componenten van een vector ‘contra’ variëren t.o.v. de basis om te compenseren,
zodat ze volgens de inverse transformatie transformeren. De componenten van vectoren
worden daarom contravariante componenten genoemd.
4.4. Duale vectoren
Eens we een vectorruimte hebben, kunnen we een andere geassocieerde vectorruimte
(met dezelfde dimensie) definiëren, de duale vectorruimte. De duale ruimte is de ruimte
van alle lineaire afbeeldingen van de oorspronkelijke vectorruimte naar de reële getallen.
Als f en h gewone vectoren zijn en ω een duale vector
ω(af + bh) = aω(f ) + bω(h) ∈ R,
met a, b reële getallen. Een lineaire combinatie van twee duale vectoren ω en η wordt
gedefinieerd als
(aω + bη)(f ) ≡ aω(f ) + bη(f ),
zodat de duale ruimte wel degelijk een vectorruimte is. De canonieke basis θ(µ) (n lineaire
afbeeldingen) van de duale vectorruimte wordt gekozen door te eisen dat
θ(µ) (e(ν) ) = δνµ .
Elke andere duale vector ω kan dan uitgedrukt worden in deze basis,
ω = ωµ θ(µ) ,
waar ωµ de componenten (getallen) zijn van de duale vector in deze basis. De component
notatie leidt tot een eenvoudige schrijfwijze voor de actie van een duale vector op een
vector,
ω(f ) = ωµ θ(µ) (f ν e(ν) ) = ωµ f ν θ(µ) (e(ν) ) = ωµ f ν δνµ = ωµ f µ ∈ R,
waar we gebruik hebben gemaakt van de lineariteit en de definitie van de duale basis.
Analoog kunnen we een vector ook beschouwen als een lineaire afbeelding die een duale
vector afbeeldt op een reële getal met de definitie
f (ω) ≡ ω(f ) = ωµ f µ .
De duale ruimte van de duale ruimte is dus de oorspronkelijke ruimte. De transformatiewet voor de componenten van een duale vector kan op dezelfde manier worden afgeleid
als die voor een vector,
∂xµ
ωµ .
(4.2)
ωµ0 =
∂xµ0
Covariantie Voor een duale vector (ook covector genoemd) moeten de componenten
op dezelfde manier transformeren als de basis e(µ) (‘co’ variëren), om de duale vector
onveranderd te laten. De componenten van duale vectoren worden daarom covariante
componenten genoemd.
59
Scalair product en de metrische tensor
4.5. Scalair product en de metrische tensor
Het scalair product van twee vectoren is een symmetrische bilineaire afbeelding die twee
vectoren afbeeldt op een reël getal,
V × V → R : (f, h) → f · h.
Symmetrisch: ∀f, h ∈ V : f · h = h · f .
Bilineair: ∀f, h, u, v ∈ V en ∀a, b, c, d ∈ R :
(af + bh) · (cu + dv) = af · (cu + dv) + bh · (cu + dv)
= ac (f · u) + ad (f · v) + bc (h · u) + bd (h · v) .
Omdat elke vector uitgedrukt wordt als een lineaire combinatie van basisvectoren, is
het vanwege de bilineariteit voldoende om het scalair product te definiëren voor de basis,
f · h = f µ hν e(µ) · e(ν) ≡ gµν f µ hν = g(f, h),
waar de symmetrische matrix gµν = gνµ de componenten zijn van de zogenaamde metrische tensor of metriek. De transformatiewet van de metriek kan gevonden worden uit
de transformatiewet voor de basis,
gµ0 ν 0 =
∂xµ ∂xν
gµν .
∂xµ0 ∂xν 0
(4.3)
De metriek kan ook geı̈nterpreteerd worden als een afbeelding die een vector afbeeldt
op een unieke duale vector,
gµν : f ν → gµν f ν = gµ1 f 1 + gµ2 f 2 + · · · + gµn f n ≡ fµ ,
(4.4)
waar we de componenten fµ gedefinieerd hebben. Controleer zelf of deze componenten
aan de transformatiewet (4.2) voldoen. Noemen we deze duale vector g(f ), dan geldt
g(f )(h) = g(f, h) = f · h.
Als de basisvectoren loodrecht op elkaar staan,
gµν = e(µ) · e(ν) = δµν e(µ) · e(µ) ,
spreken we van een orthogonaal stelsel. Een orthogonaal stelsel kan rechtlijnig of kromlijnig (e.g. poolcoördinaten) zijn. Rechtlijnige stelsels hebben per definitie een constante
metriek (en basis). Als de basisvectoren genormaliseerd zijn, spreken we van een orthonormaal stelsel. Voor een positief-definiete metriek, worden de gµν van een orthonormaal
rechtlijnig stelsel gegeven door de eenheidsmatrix; zulke stelsel worden ook wel Carthesische stelsels genoemd.
60
Tensoren
4.6. Tensoren
We zijn reeds een tensor tegengekomen met twee indices, de metriek gµν met n2 componenten. Dit is een voorbeeld van een (0, 2) tensor. We zullen nu bespreken hoe we
tensoren van hogere orde kunnen construeren door een (0, 2) tensor als voorbeeld te
nemen. Het tensorproduct ⊗ van twee (0, 1) tensoren, i.e. duale vectoren ω en η, wordt
gedefinieerd als de (0, 2) tensor T = ω ⊗ η zodat
T (f, h) = (ω ⊗ η) (f, h) ≡ ω(f )η(h) = ωµ ην f µ hν .
(4.5)
Dit is een bilineaire afbeelding van twee vectoren naar een reëel getal. Merk op dat het
tensorproduct niet commutatief is. Een basis voor alle (0, 2) tensoren wordt gevonden
door het tensorproduct te nemen van de duale basis,
θ(µ) ⊗ θ(ν) .
In deze basis wordt T geschreven als
T = Tµν θ(µ) ⊗ θ(ν) .
De componenten kunnen we vinden uit de actie,
T (f, h) = Tµν θ(µ) ⊗ θ(ν) (f, h)
= Tµν θ(µ) (f )θ(ν) (h)
= Tµν θ(µ) (f ρ e(ρ) )θ(ν) (hσ e(σ) )
= Tµν f ρ hσ θ(µ) (e(ρ) )θ(ν) (e(σ) )
= Tµν f ρ hσ δρµ δσν
= Tµν f µ hν ,
waar we naast de definitie van het tensorproduct uit (4.5), de lineariteit en de definitie
van de duale basis gebruikt hebben. Hieruit volgt dat Tµν = ωµ ην zodat de transformatiewet voor een (0, 2) tensor gegeven wordt door
Tµ0 ν 0 = ωµ0 ην 0 =
∂xµ ∂xν
∂xµ ∂xν
ω
η
=
Tµν .
µ
ν
0
0
∂xµ ∂xν
∂xµ0 ∂xν 0
Aan de hand van deze methode kunnen we elke (k, l) tensor F met nk+l componenten
samenstellen door het tensorproduct te nemen van een (r, s) tensor T met een (k−r, l−s)
tensor S,
F ω (1) , . . . , ω (k) , f (1) , . . . , f (l) = (T ⊗ S) ω (1) , . . . , ω (k) , f (1) , . . . , f (l)
≡ T ω (1) , . . . , ω (r) , f (1) , . . . , f (s) S ω (r+1) , . . . , ω (k) , f (s+1) , . . . , f (l) .
De tensor F is een multilineaire afbeelding van k duale vectoren en l vectoren naar een
reël getal. In component notatie,
F = F µ1 ···µkν1 ···νl e(µ1 ) ⊗ · · · ⊗ e(µk ) ⊗ θ(ν1 ) ⊗ · · · ⊗ θ(νl ) ,
61
Tensoren
zodat
· · · ωµ(k)
f (1)ν1 · · · f (l)νl ,
F ω (1) , . . . , ω (k) , f (1) , . . . , f (l) = F µ1 ...µkν1 ...νl ωµ(1)
1
k
met
F µ1 ···µkν1 ···νl = T µ1 ···µr ν1 ···νs S µr+1 ···µkνs+1 ···νl .
Een tensor van het type (k, l) noemt men contravariant van orde k en covariant van orde
l met een totale orde k + l. Scalairen zijn (0, 0) tensoren, vectoren zijn (1, 0) tensoren
en duale vectoren zijn (0, 1) tensoren. De transformatiewet voor een (k, l) tensor wordt
gegeven door
µ0 ···µ0
F 1 kν 0 ···ν 0
1
l
0
0
∂xµ1
∂xµk ∂xν1
∂xνl µ1 ···µk
=
··· µ
0F
0 ···
ν1 ···νl .
∂xµ1
∂x k ∂xν1
∂xνl
Merk op dat je de transformatiewet gemakkelijk kan vinden door te kijken naar de
plaatsing van de indices. Indices waarover niet gesommeerd worden, moeten altijd op
dezelfde positie (boven of onder) staan in beide leden van de vergelijking. Als een index
in de noemer staat, draaien de rollen van boven en onder om. Indices waarover wel
gesommeerd worden, staan altijd schuin ten opzichte van elkaar.
Kronecker delta De Kronecker delta δµν is een (1, 1) tensor waarvan de componenten
gelijk zijn in elk stelsel. Een (1, 1) tensor kan ook geı̈nterpreteerd worden als een lineaire
afbeelding tussen (duale) vectoren. De Kronecker delta komt overeen met de identiteit,
δµν : f µ → δµν f µ = f ν .
Inverse metriek Als |gµν | =
6 0 kunnen we de inverse metriek g µν definiëren via
g µν gνρ = δρµ .
De actie van de inversie metriek op een duale vector wordt
g µν fν = g µν gνρ f ρ = δρµ f ρ = f µ ,
waar we (4.4) gebruikt hebben. Een (2, 0) tensor zoals de inverse metriek kan dus ook
beschouwd worden als een afbeelding die een duale vector afbeeldt op een vector. We
kunnen nu handig gebruik maken van deze definities om indices van plaats te wisselen
met de metriek en zijn inverse.
Cartesische tensoren In een Cartesisch assenstelsel geldt
fµ ≡ gµν f ν = f µ .
In dit geval is er dus geen onderscheid tussen contravariante en covariante componenten
zodat de positie van de indices niet van belang is in een Cartesisch stelsel.
62
Tensoren
4.6.1. Bewerkingen met tensoren
Lineaire combinatie Elke lineaire combinatie van twee tensoren van hetzelfde type
aT + bS met a, b ∈ R, is ook een tensor met componenten
(aT + bS)µ1 ···µk ν1 ···νl = aT µ1 ···µkν1 ···νl + bS µ1 ···µk ν1 ···νl .
Controleer zelf dat deze tensor aan de transformatiewet voldoet.
Tensorproduct Zoals we reeds gezien hebben, geeft het tensorproduct ⊗ van de (r, s)
tensor met de componenten T µ1 ···µr ν1 ···νs en de (k − r, l − s) tensor met de componenten
S µr+1 ···µkνs+1 ...νl , een (k, l) tensor F = T ⊗ S met componenten
F µ1 ···µkν1 ···νl = T µ1 ···µr ν1 ···νs S µr+1 ···µkνs+1 ···νl .
Contractie Contractie maakt van een (k, l) tensor T , een (k − 1, l − 1) tensor F door
te sommeren over één boven en één onder index,
F µ1 ···µk−1ν1 ···νl−1 = T µ1 ···µ···µk−1 ν1 ···µ···νl−1
=T
µ1 ···1···µk−1
ν1 ···1···νl−1
+ · · · + T µ1 ···n···µk−1 ν1 ···n···νl−1 .
Merk op dat de volgorde van de indices van belang is,
T ρνσµν 6= T ρσνµν .
De contractie van de Kronecker delta wordt bijvoorbeeld,
g µν gµν = δµµ = 1 + · · · + 1 = n,
waar n de dimensie van de ruimte is. Voor een (1, 1) tensor komt contractie dus overeen
met het spoor (trace) van de componentenmatrix.
Wetten van de Natuur De wetten van de Natuur moeten onafhankelijk zijn van de
waarnemer, i.e. het moeten verbanden zijn tussen meetkundige objecten. De meeste
wetten zijn lineaire tensorvergelijkingen, zoals bv. de wet van Newton,
f i − mai = 0,
(i = 1, 2, 3) .
Omdat de optelling van twee tensoren terug een tensor is, is het linkerlid een (1, 0) tensor
waarvan alle componenten gelijk zijn aan nul. Uit de transformatiewet volgt dat deze
componenten nul zijn in alle coördinatenstelsels. Bijgevolg is de wet onafhankelijk van
de waarnemer. Elke waarnemer observeert een verband tussen de componenten en door
de transformatiewet blijft het verband gelden voor alle waarnemers. Het wordt een wet,
een betrekking tussen de abstracte tensoren zelf.
63
Tensoren
4.6.2. Levi-Civita tensor
Permutatie symbool Het


+1
˜µ1 µ2 ···µn = −1


0
permutatie symbool is gedefinieerd als,
µ1 µ2 · · · µn even permutatie van 01 · · · (n − 1),
µ1 µ2 · · · µn oneven permutatie van 01 · · · (n − 1),
twee of meer indices gelijk.
We zullen nu onderzoeken hoe dit symbool transformeert. De determinant van een n × n
matrix M µµ0 wordt gegeven door
|M | = ˜µ1 µ2 ···µn M µ11 M µ22 · · · M µnn .
Als we twee factoren onderling verwisselen en de indices hernoemen, draait het teken
van de determinant om, zodat
˜µ01 µ02 ···µ0n |M | = ˜µ1 µ2 ···µn M µ1µ0 M µ2µ0 · · · M µnµ0n .
1
Stellen we nu M µµ0 = ∂xµ /∂x
˜µ01 µ02 ···µ0n
2
µ0
dan volgt er
µ0 ∂x ∂xµ1 ∂xµ2
∂xµn
,
= µ ˜µ1 µ2 ···µn µ0
0 ···
∂x
∂xµ0n
∂x 1 ∂xµ2
(4.6)
waar we gebruik gemaakt hebben van |M −1 | = |M |−1 .
Tensordichtheid Het permutatie symbool transformeert dus bijna zoals een tensor.
Zulke objecten noemen we tensordichtheden. De determinant van de metriek g = |gµν |
is ook een (scalaire) tensordichtheid. Als we de determinant nemen van beide kanten
van (4.3) dan vinden we
µ0 −2
∂x µ0
g(x ) = µ g(xµ ).
∂x
De macht van de Jacobiaan noemt men het gewicht van de tensordichtheid. Het permutatie symbool heeft gewicht 1 en g heeft gewicht −2. We kunnen elke tensordichtheid
met gewicht w omzetten naar een tensor door de tensordichtheid te vermenigvuldigen
met |g|w/2 (absolute waarde omdat mogelijk g < 0).
Levi-Civita tensor De Levi-Civita tensor wordt gedefinieerd als
= µ1 µ2 ···µn θ(µ1 ) ⊗ θ(µ2 ) ⊗ · · · ⊗ θ(µn ) ,
met
µ1 µ2 ···µn =
p
|g|˜µ1 µ2 ···µn .
Als we deze vorm substitueren in (4.6) dan vinden we echter,
µ01 µ02 ···µ0n = ±µ1 µ2 ···µn
∂xµn
∂xµ1 ∂xµ2
·
·
·
,
0
0
∂xµ0n
∂xµ1 ∂xµ2
64
Tensoren
waar het teken gegeven wordt door het teken van de Jacobiaan. Een object dat zo
transformeert noemen we een pseudotensor. Onder een orthogonale transformatie met
Jacobiaan −1 (i.e. een rotoreflectie) verkrijgt het een minteken.
We kunnen nu de metriek gebruiken om de indices te verhogen. Het permutatie
symbool met de indices vanboven ˜µ1 µ2 ···µn is een tensordichtheid met gewicht −1 en is
gerelateerd aan de Levi-Civita tensor,
1
µ1 µ2 ···µn = g µ1 ν1 g µ2 ν2 · · · g µn νn ν1 ν2 ···νn = p ˜µ1 µ2 ···µn ,
|g|
met ˜µ1 µ2 ···µn = sgn(g)˜µ1 µ2 ···µn aangezien |g µν | = g −1 . We geven nog enkele eigenschappen die gelden in de driedimensionale Euclidische ruimte, en die gevonden worden door
het tensorproduct te nemen van lmr met ijk en vervolgens een of meerdere contracties
uit te voeren,
lmi ijk = δjl δkm − δjm δkl ,
lij ijk = 2δkl ,
(4.7)
ijk ijk = 6.
Vectorieel product Het vectorieel product in drie dimensies kan ook geschreven worden
aan de hand van de Levi-Civita tensor,
f × h = g mi ijk f j hk e(m) .
Als een tensor samengesteld is uit een oneven aantal pseudotensoren, is het resultaat
ook een pseudostensor, zodat het vectorproduct een pseudovector geeft. Merk op dat we
het vectorieel product × zelf kunnen beschouwen als een abstracte (1, 2) pseudotensor
met componenten g mi ijk .
Vectorformules We bewijzen nu enkele vectorformules in de driedimensionale Euclidische ruimte. Het volume van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren u, v
en w wordt gegeven door de absolute waarde van
u · (v × w) = glm ul (v × w)m
= glm g mi ijk ul v j wk
= ijk δli ul v j wk
= ijk ui v j wk
1
2
3
p u u u = |g| v 1 v 2 v 3 .
w 1 w 2 w 3 Uit de eigenschappen van de determinant volgt dat u · (u × v) = 0 en dat het volume
invariant is onder cyclische permutaties van de vectoren,
u · (v × w) = w · (u × v) = v · (w × u) .
(4.8)
65
Differentiaaloperatoren
Vervolgens berekenen we
v × (w × z) = g mi ijk v j (w × z)k e(m)
= g mi g kr ijk rst v j ws z t e(m)
= mlr rst gjl v j ws z t e(m)
= δsm δtl − δsl δtm gjl v j ws z t e(m)
= gjl v j wm z l e(m) − gjl v j wl z m e(m)
= w (v · z) − z (v · w) ,
waar we (4.7) gebruikt hebben. Hiermee vinden we ook
u · [v × (w × z)] = (u · w) (v · z) − (u · z) (v · w) ,
of na cyclische permutatie waar we (4.8) gebruiken,
(u × v) · (w × z) = (u · w) (v · z) − (u · z) (v · w) .
Hieruit volgt dat
(u × v)2 = u2 v 2 − (u · v)2
= u2 v 2 1 − cos2 ϕ
= u2 v 2 sin2 ϕ,
met ϕ ∈ [0, π] de kleinste hoek tussen de vectoren u en v zodat
ku × vk = kukkvk sin ϕ.
4.7. Differentiaaloperatoren
De belangrijkste wetten worden in de natuurkunde neergeschreven als differentiaalvergelijkingen, e.g. de wetten van Newton, de Maxwell vergelijkingen, de Schrödingervergelijking, enzovoort. Een differentiaaloperator laat toe om uit een vector of een scalair, door
een differentiaalbewerking, een nieuwe vector of scalair te construeren. Bovendien kunnen de wetten op een coördinaatonafhankelijke wijze geschreven worden aan de hand
van de duale vector nabla of del ∇ waarvan de componenten operatoren zijn. In een
Cartesische stelsel geldt er
∂
∇ = θ(i) i .
∂x
De belangrijkste differentiaaloperatoren zijn de gradiënt, de divergentie, de laplaciaan
en de rotor. In het volgende is φ een scalaire functie en f een vector.
Gradiënt
grad φ ≡ ∇φ = θ(i)
∂φ
∂xi
66
Differentiaaloperatoren
Divergentie
div f ≡ ∇ · f =
∂ i
f
∂xi
Laplaciaan
∆φ ≡ ∇2 φ = ∇ · (∇φ) = g ij
∂ ∂φ
∂xi ∂xj
Rotor (curl)
rot f ≡ ∇ × f = g mi ijk
∂f k
e(m)
∂xj
Deel III.
Chaos
Bibliografie
[1] Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. Dover Publications, 4th
Edition, 1986.
[2] Louis N. Hand and Janet D. Finch, Analytical Mechanics. Cambridge University
Press, 1st Edition, 1998.
[3] Sean M. Carroll, Spacetime and geometry: An Introduction to General Relativity.
Addison Wesley, 1st Edition, 2004.