Trillingen en Golven

College-aantekeningen
Trillingen en Golven
vijfde kwartaal Natuur- en Sterrenkunde, Natuurwetenschappen
najaar 2008
F. Filthaut
Experimentele Hoge-Energie Fysica
Institute for Mathematics, Astrophysics, and Particle Physics
e-mail: [email protected]
kamer HG03.808, tel. 52308
syllabus door P.C.M. Christianen
Deze college-aantekeningen zijn deels gebaseerd op:
boek Frank S. Crawford, Jr., Waves, Berkeley physics course vol. 3, McGraw-Hill Book
Company, New York (1968)
dictaat G. Vertogen, Mechanica II, Onderdeel: Golven en Trillingen (1984)
dictaat C. Gielen, Trillingen en Golven (1999)
Hoofdstuk 1
De harmonische oscillator
1.1
De gedempte harmonische oscillator
1.1.1
De differentiaalvergelijking
De gedempte harmonische oscillator (Serway §15.6) is één van de belangrijkste modelsystemen uit de fysica en wordt gebruikt om een breed scala van fysische verschijnselen te
beschrijven. De differentaalvergelijking luidt:
ẍ + Γẋ + ω02 x = 0
(1.1)
• x is een tijdsafhankelijke variabele, die de uitwijking van een puntmassa aan een veer
kan zijn, maar ook de lading op een condensator in een elektrische stroomkring (zie
onderstaande voorbeelden).
• Γ is de dempingsparameter.
• ω0 bepaalt de terugvoerende kracht naar de evenwichtspositie.
1.1.2
Voorbeelden
Enige voorbeelden die tijdens het college veelvuldig gebruikt gaan worden zijn:
1. Puntmassa M aan een veer met veerconstante K en wrijving volgens Stokes (figuur
1.1 a)). De kracht F op de puntmassa is gegeven door:
F (x, ẋ) = −Kx − cẋ
De eerste term in het rechterlid is de terugvoerende kracht volgens de wet van
Hooke F = −Kx (Serway §15.1). De tweede term is de wrijvingskracht volgens
Stokes F = −cẋ (c is een constante).
1
L
K
C
M
x
a)
R
Q
a l
I
M
c)
b)
Figuur 1.1: Typische voorbeelden van een harmonische oscillator. a) Een massa aan een
veer b) Een LCR stroomkring c) Een massa aan een slinger.
Er geldt dus:
M ẍ + cẋ + Kx = 0
ẍ + Γẋ + ω02 x
= 0
met Γ =
c
M
en ω0 =
q
K
M
2. Stroomcircuit met een weerstand R, condensator C en spoel L.
Er moet gelden:
VC + VR + VL = 0
dus:
dI
Q
+I ·R+L·
=0
C
dt
de stroom I door de kring is gegeven door I =
dQ
dt
d.w.z. de tijdsafgeleide van de
lading Q op de condensator (zie figuur 1.1 b)). Het probleem is op te schrijven op
twee verschillende, gelijkwaardige manieren, in termen van hetzij de lading Q, hetzij
de stroom I.
d2 I
dI
I
L· 2 +R·
+
= 0
dt
dt C
1
R
·I = 0
I¨ + I˙ +
L
LC
d2 Q
dQ Q
L· 2 +R·
+
= 0
dt
dt
C
1
R
·Q = 0
Q̈ + Q̇ +
L
LC
met Γ =
R
L
en ω0 =
√1 .
LC
3. Massa M aan een slinger met lengte l (zonder wrijving).
In evenwicht hangt het koord verticaal. De hoek α beschrijft de uitwijking uit
evenwicht (figuur 1.1 c)). De terugdrijvende kracht F is de component van de
zwaartekracht loodrecht op het koord:
F = −Mg · sin α ≈ −Mgα voor kleine hoeken
2
De afstand x(t) afgelegd door de massa is l · α(t):
F = M ẍ = −Mgα = −Mg
dus:
1.1.3
ẍ + gl x = 0 zodat ω0 =
q
x
l
g
l
De oplossing van de differentiaalvergelijking
Deze oplossing is uitgebreid behandeld bij het college Mechanica en wordt hier slechts
summier herhaald. De differentiaalvergelijking kan opgelost worden met behulp van de
probeeroplossing x(t) = eβt y(t). Dan volgt:
ẋ(t) = eβt ẏ + βeβt y = eβt (ẏ + βy)
ẍ(t) = βeβt (ẏ + βy) + eβt (ÿ + β ẏ) = eβt (ÿ + 2β ẏ + β 2 y)
Invullen in vergelijking (1.1) levert:
h
i
eβt ÿ + (2β + Γ)ẏ + (β 2 + Γβ + ω02 )y = 0
Kiezen we vervolgens Γ = −2β dan voldoet y(t) aan de vergelijking:
1
ÿ + (ω02 − Γ2 )y = 0
4
We kunnen nu vier gevallen onderscheiden:
(1.2)
1. Γ = 0, het ongedempte geval: β = 0 → ÿ + ω02y = 0
Dit geeft twee onhankelijke oplossingen voor x(t) = y(t):
x1 (t) = sin(ω0 t); x2 (t) = cos(ω0 t)
2. Γ > 2ω0 , het overgedempte geval: Schrijf ω12 = 14 Γ2 − ω02 > 0 omdat Γ > 2ω0 .
Dus vergelijking (1.2) wordt:
ÿ − ω12y = 0
Dit geeft y(t) = e±ω1 t en dus twee onhankelijke oplossingen voor x(t):
1
1
x1 (t) = e(− 2 Γ+ω1 )t ; x2 (t) = e(− 2 Γ−ω1 )t
3. Γ < 2ω0 , het ondergedempte geval: Schrijf ω22 = ω02 − 14 Γ2 > 0 omdat Γ < 2ω0 .
Dus vergelijking (1.2) wordt:
ÿ + ω22y = 0
Dit geeft y(t) = e±iω2 t of y(t) = sin(ω2 t) en y(t) = cos(ω2 t) en dus ook hier twee
onhankelijke oplossingen voor x(t):
1
1
x1 (t) = e− 2 Γt sin(ω2 t); x2 (t) = e− 2 Γt cos(ω2 t)
3
Demping :
4
Kritisch
Zwaar
Licht
uitwijking
3
2
1
0
-1
0
1
2
tijd
3
4
Figuur 1.2: Oplossingen voor de gedempte harmonische oscillator (vergelijking (1.1)) met
achtereenvolgens: Γ = 4 , ω02 = 4 (kritisch gedempt), Γ = 4 , ω02 = 3 (overgedempt) en c)
Γ = 4 , ω02 = 20 (ondergedempt) met als beginvoorwaarden x(0) = 4 en ẋ(0) = −4.
4. Γ = 2ω0 , het kritisch gedempte geval: Nu moet gelden dat:
ÿ = 0
Dit geeft twee onafhankelijke oplossingen voor y(t), namelijk dat of y(t) =constant
of y(t) = constante ·t. Kortom:
1
1
x1 (t) = e− 2 Γt ; x2 (t) = te− 2 Γt
In alle gevallen is de algemene oplossing x(t) gegeven door een lineaire combinatie van
x1 (t) en x2 (t):
x(t) = c1 · x1 (t) + c2 · x2 (t)
De constanten c1 en c2 worden bepaald door de beginvoorwaarden. In figuur 1.2 worden
typische voorbeelden gegeven voor de laatste drie gevallen. Merk op dat de gedempte
(vrije) harmonische oscillator uitdempt over een karakteristieke tijd
τ∼
4
1
Γ
(1.3)
1.2
1.2.1
De aangedreven gedempte harmonische oscillator
De algemene oplossing
We beschouwen de differentiaalvergelijking van de aangedreven, gedempte harmonische
oscillator (Serway §15.6):
ẍ + Γẋ + ω02x =
f (t)
M
(1.4)
waarbij f (t) de externe tijdsafhankelijke kracht is.
We nemen aan dat f (t) gegeven is door een harmonische functie f0 cos(ωt). Dit is géén
beperking omdat, zoals uit de Fourieranalyse zal blijken, krachten uitgedrukt kunnen
worden als een superpositie van harmonische krachten. Tevens kan de algemene oplossing
van bovenstaande vergelijking uitgedrukt worden als de superpositie van de oplossingen
behorende bij de afzonderlijke krachten.
De algemene oplossing is de som van de oplossing van de homogene vergelijking, die we
reeds gezien hebben in de vorige paragraaf, en de particuliere oplossing x0 (t):
x(t) = x0 (t) + c1 · x1 (t) + c2 · x2 (t)
De constanten c1 en c2 worden wederom bepaald door de beginvoorwaarden.
1.2.2
De particuliere oplossing
Rest ons nog om de particuliere oplossing x0 (t) te vinden, de oplossing van:
ẍ + Γẋ + ω02 x =
f0 cos(ωt)
M
(1.5)
We nemen aan de particuliere oplossing zich harmonisch gedraagt en wel met dezelfde
frequentie als de kracht:
x0 (t) = A(ω) cos(ωt − ϕ(ω))
, waarbij A(ω) en ϕ(ω) bepaald dienen te worden.
Invullen van deze probeeroplossing levert:
ω02 − ω 2 A(ω) cos (ωt − ϕ(ω)) − ΓωA(ω) sin (ωt − ϕ(ω)) =
f0 cos(ωt)
M
Gebruik: cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b en sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b:
h
h
i
ω02 − ω 2 A(ω) cos ϕ(ω) + ΓωA(ω) sin ϕ(ω) cos(ωt)+
i
ω02 − ω 2 A(ω) sin ϕ(ω) − ΓωA(ω) cos ϕ(ω) sin(ωt) =
5
f0 cos(ωt)
M
Ofwel:
f0
M
i
h
2
2
ω0 − ω sin ϕ(ω) − Γω cos ϕ(ω) A(ω) = 0
h
i
ω02 − ω 2 cos ϕ(ω) + Γω sin ϕ(ω) A(ω) =
(1.6)
(1.7)
Uit (1.7) volgt:
tan ϕ(ω) =
Γω
sin ϕ(ω)
= 2
cos ϕ(ω)
ω0 − ω 2
(1.8)
M.b.v. sin2 ϕ(ω) + cos2 ϕ(ω) = 1 geeft dit
sin ϕ(ω) =
Γω
1
[(ω02 − ω 2)2 + Γ2 ω 2 ] 2
en cos ϕ(ω) =
Wat leidt tot:
A(ω) =
ω02 − ω 2
1
[(ω02 − ω 2 )2 + Γ2 ω 2 ] 2
f0 /M
[(ω02
(1.9)
1
− ω 2 )2 + Γ2 ω 2] 2
In het geval dat er demping is (Γ 6= 0) zal de invloed van de oplossing van de homogene vergelijking op de algemene oplossing na enige tijd verdwijnen (inschakeleffect). De
uiteindelijke stationaire oplossing is dus gegeven door de particuliere oplossing x0 (t).
1.2.3
Frequentieafhankelijkheid van amplitude en fase
• Het geval zonder demping Γ = 0
De amplitude A(ω) en de fasehoek ϕ(ω) worden vastgelegd door:
A(ω)
=
f0 /M
|ω02 −ω 2 |
tan ϕ(ω) = 0, zodat sin ϕ(ω) = 0, en cos ϕ(ω) = ±1 → ϕ = 0 of ϕ = π
De frequentie afhankelijkheid van de amplitude en fase is te zien in figuur 1.3, waarbij het
volgende opvalt:
1. Voor ω = ω0 wordt de amplitude oneindig groot (resonantie).
2. Voor ω = 0 geldt A(ω) =
f0
.
M ω02
3. Voor ω → ∞ geldt A(ω) → 0.
4. Voor ω < ω0 geldt ϕ = 0 (trilling in fase met kracht), terwijl voor ω > ω0 geldt
ϕ = π (trilling uit fase met kracht).
• Het geval met demping Γ 6= 0:
A(ω) en ϕ(ω) worden nu vastgelegd door vergelijkingen (1.8) en (1.9):
A(ω) =
f0 /M
[(ω02 − ω 2 )2 + Γ2 ω 2]
1
2
6
en tan ϕ(ω) =
ω02
Γω
− ω2
Amplitude
Amplitude
"blaast op"
(resonantie)
2
f0/Mω0
Amplitude
naar nul
Fase
π
0
ω > ω0
uit fase
ω < ω0
in fase
0
1
2
Frequentie ( ω 0 )
3
Figuur 1.3: De frequentie afhankelijkheid van de amplitude en fase van een aangedreven
harmonische oscillator zonder demping.
De frequentieafhankelijkheid van de amplitude en fase is te zien in figuur 1.4 a), waarbij
het volgende opvalt:
1. De amplitude blijft overal eindig ook op de resonantie.
2. Ook met demping geldt dat A(0) =
f0
M ω02
en dat A(ω → ∞) = 0.
3. tan ϕ(ω0 ) = ∞ → ϕ(ω0 ) = 21 π
tan ϕ(0) = 0 → ϕ(0) = 0 en tan ϕ(∞) = 0 → ϕ(∞) = π
4. Het maximum van A(ω) ligt niet bij ω = ω0 , maar is verschoven. Derpositie van
het maximum xm volgt uit
dA(ω)
dω
= 0 te stellen, wat leidt tot: ωm = ω0 1 −
Γ2
.
2ω02
Definieer de zogenaamde Q-factor als de verhouding tussen ω0 en Γ:
Q=
ω0
Γ
Dan vinden we:
s
ωm = ω0 1 −
1
Q
en Am = A(ω = 0) ·
2
2Q
1 − 4Q1 2
7
(1.10)
Q = 30
Q = 10
Amplitude
Amplitude
b)
demping:
eindige amplitude
verschoven maximum
a)
2
f0/Mω0
Q=4
Q=2
Q=1
π
Fase
Fase
π
π /2
0
0
1
2
Frequentie ( ω 0 )
0
3
toenemende Q
π /2
0
1
2
Frequentie ( ω0 )
3
Figuur 1.4: De frequentieafhankelijkheid van de amplitude en fase van een aangedreven
harmonische oscillator met demping. a) schematisch b) voor een aantal waarden van de
Q-factor
Q geeft dus een maat voor de scherpte van de resonantie, namelijk hoe hoger Q hoe
scherper de resonantie, zoals te zien is in figuur 1.4 b). Met toenemende Q komt ook het
maximum dichter bij ω0 te liggen (ωm → ω0 ). In de limiet Q → ∞ verkrijgen we weer de
ongedempte harmonische oscillator.
1.2.4
Energiedissipatie
Laten we vervolgens kijken wat de hoeveelheid arbeid W per tijdseenheid is die de externe
kracht moet leveren voor het in stand houden van de trilling. Hiertoe rekenen we het
instantane inputvermogen uit dat gegeven is door de uitwendige kracht maal de snelheid:
Pin (t) =
dW
dx(t)
d
= f (t) ·
= f0 cos(ωt) · (A(ω) cos(ωt − ϕ(ω)))
dt
dt
dt
Kortom:
Pin (t) = −ωA(ω)f0 cos(ωt) sin(ωt − ϕ(ω))
= −ωA(ω)f0 cos ϕ(ω)(sin(ωt) cos(ωt))
+ωA(ω)f0 sin ϕ(ω) cos2 (ωt)
8
Q = 30
Pmax
Vermogen
Vermogen
a)
Q = 10
b)
Q = 10
1/2 Pmax
∆ω
Q=3
Q=1
0
1
2
Frequentie ( ω )
0
0.5
3
1.0
Frequentie ( ω )
0
1.5
Figuur 1.5: a) Het gedissipeerd vermogen van een aangedreven gedempte harmonische
oscillator als functie van de frequentie voor verschillende Q-factors. b) Definitie van het
Full Width Half Maximum (FWHM) ∆ω.
Indien we het inputvermogen middelen over één of meer periodes dan geeft de eerste term
altijd nul, want
1
T
1
.
2
RT
0
sin ωt cos ωtdt = 0. De tweede term is niet nul, want
1
T
RT
0
cos2 ωtdt =
Het gemiddeld inputvermogen is:
1
Γf 2 ω 2 /M
1
Pin (ω) = ωA(ω)f0 sin ϕ(ω) = 2 2 02 2
2
(ω0 − ω ) + Γ2 ω 2
Definieer P0 = Pin (ω = ω0 ) =
f02
2ΓM
en dan geldt:
Pin (ω) = P0
Γ2 ω 2
(ω02 − ω 2 )2 + Γ2 ω 2
(1.11)
Figuur 1.5 a) laat curves voor Pin (ω) zien voor verschillende Q-waarden. Merk op dat:
1. met toenemende Q wordt Pin (ω) steeds scherper.
2. Het maximum voor Pin (ω), wat volgt uit
dPin
dω
= 0 ligt altijd bij ω = ω0 , dus
Pmax = P0 .
3. indien Γ = 0 → Pin = 0, d.w.z. dat er zonder wrijving geen energiedissipatie is.
De halfwaardebreedte van de Pin (ω) curve wordt bepaald (zie figuur 1.5 b)) door op zoek
te gaan naar die waarden ω± waarvoor geldt P (ω± ) = 21 Pmax . Hieruit volgt:
ω± =
s
1
1
ω02 + Γ2 ± Γ
4
2
9
We vinden dus dat de breedte op halve hoogte (Full Width Half Maximum, FWHM) ∆ω
is gegeven door:
∆ω = ω+ − ω− = Γ
De halfwaardebreedte ∆ω voor de resonantiecurve van een gedreven oscillator maal de
karakteristieke afvaltijd τ voor een vrije gedempte oscillator (zie vergelijking (1.3)) is
constant:
1
=1
Γ
Dit is een manifestatie van een algemeen effect, wat niet alleen geldt voor een enkele
∆ω · τ = Γ ·
oscillator, maar ook voor gekoppelde oscillatoren.
Merk op dat de dempingsconstante Γ dus op twee manieren bepaald (= gemeten) kan
worden:
1. bepalen van de resonantiecurve
2. bepalen van de karakteristieke afvaltijd
10