leerstof VWO5 H2 cirkel bewegingen leerstof VWO5 H2 cirkel

Cirkelbewegingen
Graden radialen
Zie bladzijde 135 t/m 137
Basisboek wiskunde
van de Craats en Bosch
ISBN 90-430-1156-8
Een aanrader voor Sinterklaas!
http://staff.science.uva.nl/~craats/functiesNET.pdf
Eenparige cirkelbeweging
Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de
snelheid niet verandert.
baansnelheid v
de snelheid van het bewegende voorwerp in m/s
hoeveel meter de cirkelboog is die per seconde wordt doorlopen:
hoeksnelheid ω
de hoeksnelheid in rad/s
hoe groot de hoek in radialen is die per seconde wordt doorlopen
omlooptijd T
hoeveel tijd nodig is voor één rondje T = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π
v
Verband tussen v en ω:
f =
1
T
v=
ω=
ω
v =ω ⋅r
omloopfrequentie f
hoeveel rondjes per seconde worden doorlopen (eenheid: s-1 = Hz)
eventueel ook het toerental = aantal rondjes per minuut (eenheid: min-1)
s
t
φ
t
Een eenparige cirkelbeweging is een versnelde
beweging, omdat de snelheid van richting verandert.
Er is dus een snelheidsverandering en daardoor ook een
versnelling.
Voorbeeld:
De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m.
De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een hoek van 60 o met de
horizontaal. De zweefmolen draait constant rond met 12 RPM1.
Bereken de straal van de cirkel.
3,6 m
Bereken de omlooptijd.
5,0 s
Bereken de hoeksnelheid.
1,3 rad/s
Bereken de (baan)snelheid.
4,5 m/s
Bereken de doorlopen hoek in 1,4 minuut.
2
1,1.10 rad
Bereken de (grootte van de) verplaatsing in 1,25 s.
5,1 m
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 1,25 s.
4,1 m/s
Bereken de (grootte van de) snelheidsverandering in 1,25 s.
6,4 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 1,25 s.
5,1 m/s
2
veind
∆x
∆v
vbegin
‘veind’
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 2,5 s.
2,9 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 2,5 s.
3,6 m/s
2
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 5,0 s.
0 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 5,0 s.
0 m/s
1
RPM = toeren per minuut
2
Bij een eenparige cirkelbeweging is het niet zinvol te spreken over de
gemiddelde versnelling in een bepaalde periode. Dé versnelling op een bepaald
tijdstip is wel belangrijk.
Deze versnelling heet de middelpuntzoekende versnelling ampz.
Dit kun je vergelijken met de volgende situatie. Als je op zaterdagochtend met je racefiets gaat fietsen, is je gemiddelde
snelheid op het moment dat je terug thuis komt < v > = ∆x = 0 = 0 m . Het is voor een wielrenner slechts zinvol om na
∆t
∆t
s
te gaan hoe groot de (momentane) snelheid op ieder tijdstip van de fietstocht was.
Omdat er tijdens een eenparige cirkelbeweging een (middelpuntzoekende)
versnelling is, moet er ook een resulterende kracht op het voorwerp werken.
Deze resulterende kracht heet de middelpuntzoekende kracht Fmpz.
De richting van de middelpuntzoekende kracht
De middelpuntzoekende kracht is bij een eenparige cirkelbeweging altijd naar het
midden van de cirkel gericht. Zie: http://www.youtube.com/watch?v=fSfVVz0eIis
De grootte van de middelpuntzoekende kracht
Een schaatser moet er in de bocht voor zorgen dat hij
zich ‘schrap’ zet om te voorkomen dat hij ‘de bocht
uitvliegt’.
De benodigde middelpuntzoekende kracht hangt af van:
1. De massa van de schaatser m
Hoe groter de massa, des te groter de benodigde kracht; het is voor een
zware schaatser moeilijker om de bocht te houden.
2. De snelheid van de schaatser v
Hoe groter de snelheid, des te groter de benodigde kracht; het is voor een
schaatser het moeilijkste om de bocht te houden op de 500 m sprint.
3. De straal van de bocht r
Hoe kleiner de straal van de bocht, des te groter de benodigde kracht; het is
voor een schaatser het moeilijkste om de binnenbocht te houden.
m⋅v
Op grond van deze overwegingen, zou kunnen gelden: Fmpz =
.
r
Een eenhedenbeschouwing toont echter aan dat deze formule niet kan kloppen:
m
kg ⋅ m
[m] ⋅ [v] kg ⋅ s kg
[F ] = N =
≠
=
=
[r ]
m
s
s2
Het blijkt dat geldt2:
Fmpz
m ⋅ v2
=
= m ⋅ω 2 ⋅ r
r
Ga met een eenhedenbeschouwing na dat dit de goede formule zou kunnen zijn.
2
Christiaan Huygens (1659)
Wielrennen 1 (herhaling)
Een wielrenner rijdt een helling af.
De helling maakt een hoek α met de horizontaal.
Zie: VWO 4 Kernboek A bladzijde: 217 – 219.
Fnormaal
Fwrijving
Fspier
α
α
Fzw
De krachten loodrecht op de helling heffen elkaar op: Fnormaal = Fzw.cos α
Langs de helling omhoog werkt:
De totale wrijvingskracht Fwrijving
De rolwrijving zal, vergeleken met de luchtwrijving, klein zijn.
Als de wielrenner remt, is de totale wrijvingskracht nog groter.
Langs de helling omlaag werkt:
De x-component van de zwaartekracht: (Fzw)x = Fzw.sin α
De spierkracht Fspier langs de helling omlaag (als de wielrenner bijtrapt).
Er zijn drie mogelijkheden:
1.
De snelheid van de wielrenner neemt af.
Er is een resulterende kracht langs de helling omhoog: Fwr > (Fzw)x + Fspier
2.
De wielrenner heeft een constante snelheid.
De krachten langs de helling heffen elkaar op: Fwr = (Fzw)x + Fspier
3.
De snelheid van de wielrenner neemt toe.
Er is een resulterende kracht langs de helling omlaag: (Fzw)x + Fspier > Fwr
Wielrennen 2
Een wielrenner rijdt in de bocht op een wielerpiste.
Het is een eenparige cirkelbeweging.
De helling maakt een hoek α met de horizontaal.
Zie: VWO 5 Kernboek bladzijde: 88 – 89. Wat is er fout aan Figuur 2.34?
Fnormaal
α
naar het midden van de cirkel
α
Fzw
De voorwaartse en achterwaartse krachten3:
Omdat de snelheid van de wielrenner niet van grootte verandert, heffen de
spierkracht en de wrijvingskracht elkaar op: Fspier = Fwrijving.
De verticale krachten:
De verticale krachten heffen elkaar op. De zwaartekracht en de verticale
component van de normaalkracht zijn even groot: Fzw = (Fnormaal)y = Fnormaal.cos α
De horizontale krachten:
Als er geen ‘dwarswrijvingskrachten’ zijn, is de enige horizontale kracht de
horizontale component van de normaalkracht. Dit is dus de benodigde
middelpuntzoekende kracht: Fmpz = (Fnormaal)x = Fnormaal.sin α
3
Deze krachten zijn loodrecht op de tekening en dus niet in de figuur te zien.
Voorbeeld:
De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m.
De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een
hoek van 60 o met de horizontaal. De zweefmolen draait
rond met een constante hoeksnelheid.
Bereken deze hoeksnelheid.
tan 60 o =
Fzw
m⋅g
9,8
=
= 2
2
Fmpz m ⋅ ω ⋅ r ω ⋅ 3,6
→ ω=
9,8
= 1,3 rad
o
s
3,6 ⋅ tan 60
Fspan
‘Fzw’
‘Fzw’
60o
Fmpz
Nuttige sommen:
§2.2 10, 12
§2.3 13 – 19
§2.4 20 – 23
§2.5 24 – 29
Fzw
Het hoogste punt bij een verticale cirkelbeweging
Als bij een verticale cirkelbeweging de snelheid te klein is, zal het voorwerp
in het hoogste punt ‘uit de cirkel’ naar beneden (willen) vallen.
De normaalkracht kan dit eventueel verhinderen. Zie som 27b.
Als de snelheid ‘te groot’ is, zal het voorwerp de cirkelbeweging voortzeten.
De zwaartekracht én een andere kracht4 samen, leveren dan de benodigde
middelpuntzoekende kracht. Zie som 26b.
Er precies is één snelheid waarbij het voorwerp in het hoogste punt net
wel/net niet naar beneden dreigt te vallen. Bij deze snelheid is de
zwaartekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht:
Fzw = Fmpz
4
→ v = g ⋅r
Zie som 27a.
Afhankelijk van de situatie bijvoorbeeld de spankracht óf de normaalkracht.
Voorbeeld
Sven Kramer rijdt de 5000 m.
Hiernaast zie je hem in de
binnenbocht. Neem aan dat hij
steeds even snel schaatst.
Bepaal zijn eindtijd.
bron: http://www.youtube.com/watch?v=o5MWIDwxjEw&feature=related
info afmetingen schaatsbaan: http://www.knsb.nl/content/langebaan/downloads/afm400mbaan.pdf
Niet-eenparige cirkelbeweging
Bij het centrifugeren van de was zijn te onderscheiden:
1. De trommel gaat sneller draaien
2. De trommel draait met constant toerental
3. De trommel stopt met draaien.
Als de trommel met een constant toerental draait, voert het
wasgoed een eenparige cirkelbeweging uit.
Voorbeeld:
toerental 1200 RPM
diameter trommel 44 cm
sok (40 g) tegen de binnenkant van de trommel.
Op de sok werkt een middelpuntzoekende kracht (de normaalkracht van de
2
2
2
trommel). Deze kracht is: Fmpz = m ⋅ ω ⋅ r = 0,040 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ 20) ⋅ 0,22 = 1,4.10 N
Deze kracht is (uiteraard) voortdurend naar het midden van de trommel gericht.
Bij het op gang komen (afremmen) van de trommel,
verandert de snelheid niet alleen voortdurend van
richting, maar ook van grootte.
Er is een resulterende kracht F met een component:
Naar het midden van de cirkel
(radiële component Fr)
Deze component is de middelpuntzoekende
kracht, die ervoor zorgt dat de snelheid van
richting verandert.
In de richting van de raaklijn op de cirkel
(tangentiële component Ft)
Deze component zorgt ervoor dat de snelheid
groter/kleiner wordt.
Als de cirkel ‘met de wijzers van de klok mee’ wordt doorlopen, is er sprake van afremmen (en andersom).
De gravitatiewet van Newton
Twee voorwerpen (massa’s) oefenen
een aantrekkende kracht op elkaar uit.
De gravitatieconstante is zo klein5 dat
deze kracht uitsluitend van belang is,
indien één of beide voorwerpen een
zeer grote massa heeft.
De zwaartekracht (op het aardoppervlak)
is niets anders dan de gravitatiekracht,
waarmee de aarde een voorwerp aantrekt:
G ⋅ m Aarde
= g = 9,8 N
2
kg
rAarde
De wetten van Newton geven een zeer adequate beschrijving van de
bewegingen van hemellichamen in het heelal. Deze theorie zal pas in de 20e
eeuw worden verbeterd door de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein.
5
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (BINAS 7)
Bewegingen van hemellichamen
Planeten om een centrale
ster
Satellieten (manen) om een
planeet
bewegen eigenlijk in een
ellipsbaan (1e wet van Kepler).
De (baan)snelheid is dichtbij het
centrale hemellichaam het
grootst (2e wet van Kepler).
Omdat het centrale hemellichaam (meestal) zeer veel zwaarder is dan het
bewegende hemellichaam, geldt bij benadering dat:
1. De baan een cirkel is.
2. Het centrale hemellichaam zich in het middelpunt van de cirkel bevindt.
3. De beweging een eenparige cirkelbeweging is.
4. De gravitatiekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht is.
Afleiding6 3e wet van Kepler
Fmpz = Fgrav
↔
maar ook geldt:
zodat:
→
m ⋅ v2 G ⋅ m ⋅ M
=
r
r2
2 ⋅π ⋅ r
v=
T
4 ⋅π 2 ⋅ r2 G ⋅ M
=
T2
r
→ v2 =
G⋅M
r
4 ⋅π 2 ⋅ r2
→ v =
T2
2
→
r3 G ⋅ M
=
T 2 4 ⋅π 2
Gevolg:
1.
2.
6
7
r3
gelijk.
T2
De massa van een ster (planeet) is te berekenen, indien van één
ronddraaiend hemellichaam de afstand én de omlooptijd bekend zijn.
Voor alle planeten in één zonnestelsel7 is de verhouding
afleiding voor eenparige cirkelbewegingen
idem: alle satellieten rondom hun planeet
Satellieten om de aarde
1.
De maan
Geloof jij dat de mens op de maan is geweest?
http://www.vtap.com/video/Dark+Side+of+The+Moon/CL0143819654_40907d452_V0lLSTgxMDA5Mn5pbjox
2.
Geostationaire satellieten
(communicatiesatellieten)
draaien in 24 uur rond de
aarde.
• Ga na dat zij zich recht
boven de evenaar moeten
bevinden.
• Ga na dat zij zich op een
hoogte van 36.106 km
moeten bevinden.
3.
Satellieten met polaire banen
draaien in een ‘lage’ baan8 over de noord- en de zuidpool rondom de aarde.
Zij nemen het aardoppervlak waar, dat ‘onder hun baan door draait’ en
worden bijvoorbeeld voor weersvoorspellingen gebruikt.
http://www.esa.int/SPECIALS/ESOC/SEMN2VM5NDF_mg_1.html
Nuttige sommen:
§2.6 33, 36, 38
8
meestal tussen 300 – 1000 km hoogte (boven het aardoppervlak)