1. Complexe Getallen
advertisement
Uittreksel Complexe Analyse
Inhoudsopgave
Voorwoord ..................................................................................................................... 2
1. Complexe Getallen ................................................................................................. 3
1.1 Vergelijkingen oplossen ....................................................................................... 3
1.2 Imaginaire en complexe getallen.......................................................................... 3
1.3 Het complexe vlak ............................................................................................... 3
1.4 Rekenen met complexe getallen .......................................................................... 3
1.5 Bestaat i?............................................................................................................. 4
1.6 Modulus van een complex getal ........................................................................... 4
1.7 Argument ............................................................................................................. 4
1.8 Poolvoorstelling ................................................................................................... 4
1.9 Vermenigvuldigen en delen in het complexe vlak ................................................. 5
1.10 Vergelijkingen oplossen ..................................................................................... 5
1.11 Binomiaalvergelijkingen ..................................................................................... 6
1.12 Toegevoegd complexe paren wortels ................................................................ 6
1.13 Gebieden in het complexe vlak .......................................................................... 6
2. Complexe functies ..................................................................................................... 7
2.1 Werken met de TI-89 ........................................................................................... 7
2.2 De functies f(z) = z ..................................................................................... 7
2.3 De functies f(z) = z n (n = 2, 3, …) ....................................................................... 7
1
............................................................................................... 8
z
1
2.5 Verder met f(z) = ............................................................................................. 8
z
2.4 De functie f(z) =
2.6 Eenheidssfeer en C ............................................................................................ 8
2.7 Lijnen en cirkels ................................................................................................... 9
2.8 Gebroken lineaire afbeeldingen ......................................................................... 10
3. Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies .......................................... 12
3.1 De formule van Euler ......................................................................................... 12
3.2 Complexe e-macht ............................................................................................. 12
3.3 Beeldverzamelingen onder f(z) = ez ................................................................... 13
3.4 Logaritmen en machten ..................................................................................... 14
3.5 Goniometrische functies .................................................................................... 15
4. Enige theorie over complexe functies ...................................................................... 17
4.1 Complexe functies en lineaire afbeeldingen ....................................................... 17
4.2 Groepen complexe getallen ............................................................................... 17
4.3 Groepen complexe functies ............................................................................... 17
4.4. Gebroken lineaire afbeeldingen ........................................................................ 18
4.5 Limieten en continuïteit ...................................................................................... 18
4.6 Intermezzo: partieel differentiëren ...................................................................... 20
4.7 Cauchy-Riemann ............................................................................................... 21
Gebruik TI-89 bij Complexe Analyse ........................................................................... 22
Geraadpleegde bronnen ............................................................................................. 23
Uittreksel Complexe Analyse
Voorwoord
Dit is een uittreksel van de module Complexe Analyse. Het bevat alle begrippen en
formules in de volgorde zoals die in de studiewijzer aan bod komen.
Succes met de module Complexe Analyse!
Bert Kraai
P.S. Omdat de symbolen van MathType voor de verzamelingen ,
, , en niet
met behulp van een standaard lettertype kunnen worden weergegeven, heb ik besloten
deze te vervangen door de vetgedrukte hoofdletters N, Z, Q, R en C.
Versie 2
Blz. 2 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
1. Complexe Getallen
1.1 Vergelijkingen oplossen
Bij het oplossen van vergelijkingen is het belangrijk binnen welke verzameling we de
oplossing moeten zoeken: N, Z, Q of R.
Zo is 2-3 niet oplosbaar in N, 2/3 niet oplosbaar in Z en 2 niet oplosbaar in Q.
Steeds hebben we de oplossingsverzameling uitgebreid.
Toch is in R een vergelijking als x 2 1 0 nog steeds niet oplosbaar.
Daarom voeren we een nieuw getal "i" in.
Definitie:
i 2 1 1 i
1.2 Imaginaire en complexe getallen
De getallen van de vorm x yi met x , y R worden COMPLEXE GETALLEN genoemd.
De vorm x yi heet de NORMAALVORM van een complex getal.
Getallen van de vorm yi met b R en b 0 worden ZUIVER IMAGINAIRE GETALLEN genoemd.
COMPLEXE GETALLEN worden vaak aangeduid met Griekse letters , , ,...
VARIABELEN die complexe waarden aan kunnen nemen, worden aangeduid met letters.
Bijvoorbeeld z en w .
De VERZAMELING COMPLEXE GETALLEN C wordt gedefinieerd als {z | z x yi x, y R} .
1.3 Het complexe vlak
Een complex getal z = x yi bestaat uit: een REËEL GETAL x en een IMAGINAIR GETAL yi .
x noemen we het REËLE DEEL
x = Re z
y noemen we het IMAGINAIRE DEEL
y = Im z.
Dus: z = x yi = Re z + i Im z.
We kunnen complexe getallen zichtbaar maken als een vector in een COMPLEX VLAK
(Gauss-diagram of Gauss-vlak) met een REËLE AS (Re-as) en een IMAGINAIRE AS (Im-as).
Op de reële as vinden we de getallen van de getallenlijn.
Op de imaginaire as vinden we de zuiver imaginaire getallen.
1.4 Rekenen met complexe getallen
Bij het rekenen met complexe getallen gelden dezelfde rekenregels als bij reële
getallen. Het belangrijkste verschil is dat we i2 steeds substitueren door -1. Hier maken
we dankbaar gebruik van bij het delen van 2 complexe getallen, door teller en noemer
te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer. Zie voorbeeld op blz. 1.3.
Als z x yi dan is z x yi de COMPLEX TOEGEVOEGDE of GECONJUGEERDE van z.
Uit oefenopgave 9 blijkt dat
Versie 2
en dat
.
Blz. 3 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
1.5 Bestaat i?
Definitie Een complex getal is een geordend paar (a,b) met a,b R.
Voor complexe getallen gelden de volgende rekenregels:
(a,b) + (x,y) = (a+x, b+y)
(a,b)(x,y) = (ax -by, ay + bx)
Deze rekenregels blijken overeen te komen met de optelling en vermenigvuldiging van
reële getallen.
(0,1) komt overeen met i.
(a,b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi.
Stelling: Er is geen ordening in C.
Bewijs (moet je kunnen reproduceren)
Stel dat er wel een ordening in C bestaat.
Neem i>0. Links en rechts vermenigvuldigen met i levert: -1 > 0. Dit is onjuist.
Neem i<0. Links en rechts vermenigvuldigen met i levert: -1 > 0 (het teken draait nu om,
want i vertegenwoordigt nu immers een negatieve waarde). Ook dit is onjuist.
Kortom: beide gevallen leveren een tegenspraak op.
Conclusie: er is geen ordening in C.
1.6 Modulus van een complex getal
Onder de MODULUS of ABSOLUTE WAARDE |z| van een complex getal z = x + yi verstaan
we de afstand van z tot 0.
De modulus |z| =
Verder geldt dat
x 2 y 2 (stelling Pythagoras).
z z | z |2 : Bewijs: z z ( x yi)( x yi) x 2 y 2
x2 y 2
2
| z |2 .
Dus is het product van een complex getal met zijn geconjugeerde gelijk aan de
modulus van dit getal in het kwadraat.
1.7 Argument
Onder het ARGUMENT van een complex getal z 0 verstaan we de hoek tussen de
positieve reële as en de lijn OA. Dit argument heeft veelvouden van 2 radialen.
Notatie: arg(z).
Het HOOFDARGUMENT is de waarde van het argument op het interval , ] .
Notatie: Arg(z).
1.8 Poolvoorstelling
We kunnen een complex getal z=x+yi in het complexe vlak ook vastleggen in
poolcoördinaten r en . Hierbij is r de modulus van z, r = |z| en = Arg(z).
Omdat x = rcos en y = rsin geldt:
z = rcos + irsin = r(cos + isin ) = |z|(cos(Argz) + isin(Argz)).
Dit laatste wordt de POOLVOORSTELLING genoemd.
Versie 2
Blz. 4 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
1.9 Vermenigvuldigen en delen in het complexe vlak
Voor z = a + bi = r(cos + isin ) en w = x + yi = s(cos +isin ) geldt dat
zw = (a+bi)(x+yi) = r(cos + isin )s(cos +isin ) =
rs(cos cos - sin sin + i(cos sin + sin cos )) = rs(cos( + )+isin( + )).
Conclusie:
en
|zw| = |z||w|
arg(zw) = arg(z) + arg(w).
Verder geldt dat
z
z
|z|
en arg
= arg(z) - arg(w).
w
w | w|
De STELLING VAN DE MOIVRE stelt dat in het algemeen geldt:
(r(cos + isin ))n = rn(cos(n )+ isin(n ))
Uit oefenopgave 18 blijkt dat:
.
2
a.
|iz| = |z| en arg(iz) = arg(z) +
b.
vermenigvuldigen met i komt overeen met een rotatie van
c.
delen door i komt overeen met een rotatie van -
om 0.
2
n N
om 0.
2
In het complexe vlak mogen we spreken over een rotatie om getal 0. Het complexe vlak
heeft geen oorsprong!
In het xy-vlak spreken we van een rotatie om punt (0,0), ook O van oorsprong genoemd.
1.10 Vergelijkingen oplossen
Voor het oplossen van vergelijkingen met machten maken we gebruik van de stelling
van De Moivre. Eerst schrijven we beide zijden van de vergelijking in de
poolvoorstelling. Vervolgens berekenen we de modulus r en de argument(en) .
De hoofdstelling van de algebra zegt nu dat er evenveel oplossingen zijn als de
hoogste macht, waarvan sommige oplossingen gelijk aan elkaar kunnen zijn.
Extra voorbeeld: z4 = -1.
z 4 1 r 4 (cos(4 ) i sin(4 )) 1(cos i sin )
k
4 2
3
3
r 1
4
4
4
4
r 4 1 4 2k r 1
De 4 oplossingen zijn:
3
3
z1 1 cos i sin
4
4
z3 1 cos i sin
4
4
Versie 2
2
2
2
2
i
i
, z2 1 cos i sin
,
2
2
2
4
4 2
2
2
2
2
3
3
i
i
en z4 1 cos
i sin
2
2
2
2
4
4
Blz. 5 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
1.11 Binomiaalvergelijkingen
Vergelijkingen van het type z ( complex) worden binomiaalvergelijkingen
genoemd.
Omdat we kunnen schrijven r (cos( 2k ) i sin( 2k )) geldt voor de
n
n wortels zk
n
2k
r cos
n
n
2k
i sin
n
n
met k 0,1, 2,3,..., n 1 .
Ook tweedegraads vergelijkingen met complexe coëfficiënten kunnen we, net als bij
reële, oplossen met kwadraat afsplitsen of met de abc-formule.
Bij opgave 1.23 d komt nog een handige rekentruc aan de orde:
6i
2
3 i 3 , want
Algemeen geldt:
(2n)i
3 i 3
2
n i n
3 i 3
3 i 3 3 2 3i 3i 2 6i .
.
2
1.12 Toegevoegd complexe paren wortels
Stelling
Gegeven een vergelijking van het type an z n an 1 z n 1 ... a2 z 2 a1 z1 a0 0
met alle a j reëel. Dan geldt: als w een wortel is, is ook w een wortel.
Bewijs (moet je kunnen reproduceren):
Stel z w is een wortel van deze vergelijking.
Dan geldt: an wn an 1wn 1 ... a2 w2 a1w1 a0 0 en dus geldt dat ook
an wn an1wn1 ... a2 w2 a1w1 a0 0 (links en rechts complex toegevoegde nemen)
an wn an1wn1 ... a2 w2 a1w1 a0 0 (zie oefenopgave 9, optelling)
an wn an1 wn1 ... a2 w2 a1 w1 a0 0 (zie oefenopgave 9, vermenigvuldiging)
an wn an1 wn1 ... a2 w2 a1 w1 a0 0 (alle a j reëel).
1.13 Gebieden in het complexe vlak
Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden in het complexe vlak maken we
vaak gebruik van de substitutie z= x yi om vervolgens x en y op te kunnen lossen.
Versie 2
Blz. 6 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
2. Complexe functies
2.1 Werken met de TI-89
Zie bijlage over het gebruik van de TI-89 bij Complexe Analyse.
2.2 De functies f(z) = z
Bij de complexe functies f ( z ) z is niet alleen de variabele z complex, maar
kunnen ook de parameters en complex zijn.
De afbeelding f ( z ) z met reëel blijkt een puntvermenigvuldiging te zijn met 0 als
centrum en als factor.
De afbeelding f ( z ) z met zuiver imaginair blijkt een puntvermenigvuldiging te zijn
met 0 als centrum en als factor, gevolgd door een rotatie om 0 over
.
2
De afbeelding f ( z ) z is dus op te vatten als een rotatievermenigvuldiging: de
samenstelling van:
een rotatie van z om 0 over arg en
een vermenigvuldiging van z vanuit 0 met factor | |.
De afbeelding f ( z ) z is op te vatten als een rotatievermenigvuldiging gevolgd
door een translatie, dus de samenstelling van:
een rotatie van z om 0 over arg en
een vermenigvuldiging van z vanuit 0 met factor | |
een translatie van z met .
2.3 De functies f(z) = z n (n = 2, 3, …)
Als we f ( z ) z 2 in poolvoorstelling schrijven en de stelling van De Moivre toepassen,
blijkt dat het argument verdubbeld en de afstand van z tot 0 wordt gekwadrateerd.
In het algemeen geldt dat
hoofdletters!).
Versie 2
| z n || z |n
en arg(zn)
= narg(z) (arg zonder
Blz. 7 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
2.4 De functie f(z) =
1
z
Om te voorkomen dat we steeds de situatie z=0 moeten uitzonderen, gaan we
C uitbreiden met tot C . C is dan gedefinieerd als C { }.
Als we de functie nader onderzoeken, blijkt arg
Verder geldt dat
f(z) =
1
= arg(1)-arg(z) = -arg(z) =arg z .
z
1 1 1
.
z
z
z
1
is te zien als de samenstelling van de afbeeldingen g en h met f(z) = h(g(z)),
z
waarbij
g(z) aan z het complexe getal v toevoegt met hetzelfde argument als z maar
waarvan de absolute waarde het omgekeerde is van die van z (dus: de inverse ten
opzichte van de eenheidscirkel), g ( z )
1
.
z
h(z) = z , de geconjugeerde van z. Dit komt overeen met een spiegeling in de reële as.
2.5 Verder met f(z) =
1
z
Uit oefenopgave 10 blijkt dat:
het beeld van een cirkel met middelpunt 0 en straal R
een cirkel is met middelpunt 0 en straal
1
;
R
het beeld van een rechte lijn door 0 (m.u.v. z = 0) is weer een rechte lijn door 0
(m.u.v. z = 0).
Als z nadert tot 0, geldt dat |f(z)| nadert naar .
Daarom spreken we af dat
1
1
en
0.
0
De verzameling C = C { } noemen we het UITGEBREIDE COMPLEXE VLAK.
f(z) is nu een afbeelding van C naar C .
2.6 Eenheidssfeer en C
Om een meetkundige voorstelling te kunnen maken van C gaan we uit van de
eenheidssfeer (eenheidsbol) in R3. Voor de eenheidssfeer S geldt dat x12 x2 2 x32 1 .
We kunnen nu een afbeelding maken van C naar S, door bij C x3 op 0 te stellen.
Zie afbeelding op blz. 2.7. Deze bijectieve afbeelding noemen we de RIEMANN-SFEER.
Opmerking: we hebben aan het symbool in de complexe analyse voldoende, omdat
het niet zinvol is om onderscheid te maken tussen en -, 2+i, +i, enz. enz.
Versie 2
Blz. 8 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
2.7 Lijnen en cirkels
In het platte vlak beschrijft de vergelijking a(x2+y2)+bx+cy+d = 0 een lijn als a=0 en een
cirkel als a 0. Voor d=0 gaat de lijn of cirkel door O(0,0).
Hiermee kunnen we in één vergelijking zowel lijnen als cirkels beschrijven.
Iets soortgelijks lukt ook in het complexe vlak.
We gaan eerst uit van een punt z op een cirkel met middelpunt m en straal r. Dan geldt:
z m r z m r 2 ( z m)( z m) r 2 ( z m)( z m) r 2 z z zm mz mm r 2
2
Omdat mm r 2 m r 2 c met cR kunnen we de vergelijking van een cirkel
2
algemener maken met:
azz zm zm c 0 met a,c R, a 0 en m C.
Ga na dat z op deze cirkel ligt als a=1.
2
m
c
.
a
a
m
Uit oefenopgave 13 blijkt dat et middelpunt gelijk is aan
en de straal
a
Het toevoegen van coëfficiënt a voor de term z z biedt de mogelijkheid om lijnen en
cirkels in het complexe vlak in één keer te beschrijven. Immers, als we a=0 nemen,
ontstaat de vergelijking zm zm c . Substitutie van z = x +yi en m = a + bi levert
zm zm c ( x yi )(a bi ) ( x yi )(a bi ) c 2ax 2by c .
Omgekeerd betekent dit dat iedere lijn als zm zm c geschreven kan worden.
Voor c=0 gaat de lijn of cirkel door z=0.
Met de algemene vergelijking van lijnen en cirkels in het complexe vlak
azz zm zm c 0 gaan we de vergelijking f(z) =
a
1
1
nader onderzoeken. Neem w = .
z
z
11 1
1
m m c 0
w w w
w
1 1 1
1
links en rechts vermenigvuldigen met ww
m mc 0
ww w
w
a wm wm cww 0 cww wm wm a 0
a
1
z
Origineel
Beeld onder f(z) =
Lijn door de oorsprong (a = c = 0)
Lijn niet door de oorsprong (a = 0, c 0)
Cirkel door de oorsprong (a 0, c = 0)
Cirkel niet door de oorspong (a 0, c 0)
Lijn door de oorsprong
Cirkel door de oorsprong
Lijn niet door de oorsprong
Cirkel niet door de oorsprong
NB 1. De tweede en derde regel zijn elkaars inverse.
NB 2. Feitelijk heeft het complexe vlak geen oorsprong. Bedoeld wordt het getal 0.
Versie 2
Blz. 9 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
2.8 Gebroken lineaire afbeeldingen
In paragraaf 2.2 is de geheel lineaire functie h(z)= z en in paragraaf 2.4 en 2.5 de
functie f(z) =
1
besproken. In deze paragraaf gaan we samenstellingen van deze twee
z
functies bestuderen van C naar C .
Uit de voorbeelden in de studiewijzer blijkt, dat bij deze samenstellingen gebroken
lineaire afbeeldingen (of Möbius-transformaties) kunnen ontstaan.
z
voor z en , , , C en
z
g () en g .
Voor g ( z )
geldt:
z z z ( z )
.
z ( z ) ( z ) ( z )
Dit is een constante. Dus is voorwaarde voor een gebroken lineaire functie.
NB: Als dan is g ( z )
Als 0 levert g ( z )
z z
een GEHEEL LINEAIRE VERGELIJKING op.
z
z
Stelling
Elke gebroken lineaire afbeelding is samen te stellen uit geheel lineaire afbeeldingen en
de afbeelding f(z) =
1
.
z
Bewijs (moet je kunnen reproduceren)
Neem g(z) =
z
, een willekeurige gebroken lineaire vergelijking.
z
Als 0 , dan is g een geheel lineaire vergelijking en zijn we dus klaar.
Als 0 , dan is na een staartdeling g(z) te schrijven als g(z) =
.
z
Deze laatste term is te schrijven als k
f h met
h( z ) z
1
z
k ( z)
f ( z)
z
Immers: g ( z ) k
1
f h( z ) k ( f (h( z ))) k ( f ( z )) k
z
1
z
QED.
Versie 2
Blz. 10 van 23
.
Uittreksel Complexe Analyse
Dit komt overeen met de volgende meetkundige samenstelling:
eerst een rotatievermenigvuldiging vanuit 0 met factor , gevolgd door een
translatie met factor ;
dan de inverse nemen ten opzichte van de eenheidscirkel, gevolgd door een
spiegeling in de x-as;
tenslotte een rotatievermenigvuldiging met factor
vanuit 0, gevolgd door
.
een translatie met factor
kan eenvoudig met een staartdeling.
en
Het bepalen van de factoren
Zie voorbeelden op blz. 2.13.
Uit de handgeschreven aanvulling van Meindert blijkt dat het ook mogelijk is om
beelden van lijnen en cirkels te bepalen onder gebroken lineaire afbeeldingen, zonder
de gebroken lineaire afbeelding uiteen te rafelen.
Dit doen we door het beeld van f te bepalen onder 3 geschikte punten.
Als de 3 beeldpunten op 1 lijn liggen, is de beeldfiguur dus een lijn door deze 3 punten.
Liggen de 3 beeldpunten niet op 1 lijn, dan is met behulp van de middelloodlijnen het
middelpunt te bepalen, en vervolgens de straal te berekenen.
Merk op dat het beeld van een cirkel door 0 onder een gebroken lineaire afbeelding
kennelijk wel een cirkel door 0 kan opleveren. Dit in tegenstelling tot f(z) =
Versie 2
1
.
z
Blz. 11 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
3. Exponentiële, logaritmische en goniometrische functies
3.1 De formule van Euler
i
Formule van Euler:
met reëel.
Afleiding
Stel ei levert voor elke reële waarde van een complex getal op. Dit complex getal is
te schrijven in de vorm van a bi , waarbij a en b beide van afhangen.
e cos i sin
Dus ei a( ) b( )i , waarbij a ( ) en b( ) beide nog onbekende reële functies zijn.
Op deze vergelijking laten we twee verschillende bewerkingen los:
1. links en rechts differentiëren naar levert
iei a' ( ) b' ( )i
2. links en rechts vermenigvuldigen met i levert
iei a( )i b( ) .
Uit 1. en 2. volgt dat a ' ( ) b( ) en b' ( ) a( ) . Dit voldoet voor de functies
a( ) cos en b( ) sin .
Dit zijn tevens de enig mogelijke reële functies, zoals blijkt uit oefenopgave 1 bij het
manipuleren met de functie h( ) (a( ) cos )2 (b( ) sin ) 2 .
Uit oefenopgave 2 blijkt verder dat ei 1 en arg(ei ) .
3.2 Complexe e-macht
Met de formule van Euler zijn we in staat de complexe e-macht te definiëren
z
x yi
x
yi
x
.
e e
e e e (cos y i sin y)
Stelling 3.1
Voor alle complexe z en w geldt: e z w e z e w .
Bewijs:
Stel z x yi en w u vi . Dan is
e z e w e( x yi ) e(u vi ) e x (cos y i sin y ) eu (cos v i sin v )
e x u cos y cos v sin y sin v i (sin v cos y sin y cos v)
e x u cos( y v) i sin( y v) e( x u )i ( y v ) e( x yi ) (u vi ) e z w
Stelling 3.2 (oefenopgave 5)
Voor alle complexe z geldt: e z 0 .
Bewijs:
Stel z x yi . Dan is e z e x yi e x (cos y i sin y).
Dus e z 0 als e x 0 of (cos y i sin y) 0. Echter: geen van beide termen wordt ooit 0,
dus geldt dat e z 0 .
Versie 2
Blz. 12 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Stelling 3.3 (na oefenopgave 5)
De complexe e-macht is periodiek met periode 2 i .
Bewijs:
Een functie f is periodiek met periode w als voor alle z geldt dat f(z+ w ) = f(z).
Stel w u vi dan geldt:
e z w e z e z e w e z e w 1 ( want e z 0, zie stelling bij oefenopgave 5)
eu (cos v i sin v) 1 eu cos v 1 eu sin v 0
sin v 0 ( want eu 0) v k (met k Z )
u
e cos v 1
sin v 0 cos v 1 ( want sin v 0 en eu 0) v 2k (met k Z )
u
e cos v 1
sin v 0 cos v 1 v 2k (met k Z )
u
e 1
u 0 v 2k (met k Z ).
Uit het voorbeeld onder oefenopgave 8 blijkt dat de punten van de imaginaire as onder
f ( z ) e z op de eenheidscirkel worden afgebeeld.
3.3 Beeldverzamelingen onder f(z) = ez
Stelling 3.4 (oefenopgave 13)
Als z r en arg z dan is
z eln r i .
Bewijs:
z r (cos i sin ) eln r (cos i sin ) eln r i .
Stelling 3.5 (inzendopgave 1b)
e z e Re z
Bewijs: Stel z x yi .
e z e x yi e x cos y i sin y e x cos y e x i sin y
e2 x cos 2 y e2 x sin 2 y e2 x cos2 y sin 2 y e2 x e x eRe z
Versie 2
Blz. 13 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
3.4 Logaritmen en machten
Op grond van stelling 3.4 kunnen we log z (het natuurlijk logaritme voor complexe
getallen) als volgt definiëren:
e
log z e log eln r i ln r i ln | z | i arg z ln | z | iArgz 2k i, k Z .
De waarde van log z ligt dus vast op een geheel veelvoud van 2k na.
Dit maakt log z tot meervoudige functie.
Daarom noemen we k = 0 de hoofdwaarde Logz van log z .
Dus Logz ln | z | iArgz .
Eigenschappen van logaritmen
Stelling 3.6 (staat als Eigenschap in de tekst)
Voor alle z C \{0} geldt : log e z z 2k i (k Z ) .
Bewijs: Stel z x yi .
log e z ln e z i arg e z ln e x yi i arg e x yi
ln e x (cos y i sin y ) i y 2k i (k Z)
ln
e 2 x (cos 2 y sin 2 y ) i y 2k i (k Z)
ln e x i y 2k i (k Z)
x i y 2k i (k Z)
z 2k i (k Z)
Stelling 3.7 (boven oefenopgave 15)
Voor alle z C \{0} en alle w C \{0} geldt: log zw log z log w , waarbij we met
mod 2 i rekenen.
Bewijs:
log zw ln zw i arg( zw) {zie paragraaf 1.9}
ln z w i arg( z ) arg( w) {eigenschap logaritmen}
ln z ln w i arg( z ) arg( w)
ln z i arg( z ) ln w i arg( w)
log z log w
Stelling 3.8 (oefenopgave 15 b)
Voor Re z > 0 en Re w > 0 geldt dat Log zw Log z Log w .
Bewijs:
1
1
Re z > 0 - Arg z
2
2
1
1
Re w > 0 - Arg z
2
2
- Arg z Arg w
Versie 2
Blz. 14 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Machten
Voor C en z C \{0} definiëren we: z e log z .
De meerwaardigheid van log z leidt eveneens tot een meerwaardigheid van z .
z e log z e (ln| z| iArg z 2 k i )
Immers
De hoofdwaarde van
1
2
z z e
z
is nu
1
(ln| z| iArg z 2 k i )
2
met k Z .
(ln| z| iArg z )
.
e
is dus tweewaardig.
k = 0 noemen we de wortel van z, oftewel de hoofdwaarde van
Onder
k
z
verstaan we de hoofdwaarde van
z
1
k
z.
.
3.5 Goniometrische functies
Voor z C komen we tot de definities:
eiz eiz
cos z
2
en
eiz eiz
sin z
2i
.
Afleiding vanuit de formule van Euler:
ei cos i sin ei cos i sin .
ei e i cos i sin cos i sin
ei e i
2 cos e e cos
2
i
i
e e cos i sin cos i sin
i
i
i
i
2i sin e e
ei e i
sin
2i
De complexe goniometrische functies hebben grotendeels dezelfde eigenschappen als
de reële goniometrische functies. Zo geldt voor z C:
sin( z ) sin z en cos( z ) cos z
sin 2 z cos 2 z 1
sin z cos z
2
cos z cos z sin z .
2
2
Versie 2
Blz. 15 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Er zijn echter ook verschillen met de reële goniometrische functies.
Zo zijn de functies sin z en cos z niet begrensd!
Bewijs
Stel z = x+yi, dan geldt voor de modulus van sin z :
eiz eiz
ei ( x yi) e i( x yi)
e ix y e ix y
.
sin z
2i
2i
2i
Volgens de driehoeksongelijkheid (zie *** hieronder) geldt nu:
eix y eix y
eix e y eix e y
e y e y
e y e y
eix y eix y
e y e y
.
2i
2i
2i
2i
2
2
Als y dan gaat e y 0 en e y , dus sin z .
Als y dan gaat e y en e y 0 , dus sin z .
Conclusie sin z en is dus onbegrensd.
***) Dat de driehoeksongelijkheid ook geldt voor complexe getallen blijkt uit de volgende
handgeschreven aanvulling van Meindert.
Uit de vectormeetkunde (zie boek Vectoren en Matrices blz. 4) weten we dat
zw z w .
Hieruit volgt de driehoeksongelijkheid
z w z (w) z w z w .
Uit de driehoeksongelijkheid volgt dat:
(1) z z w w z w w z w z w .
(2) w w z z w z z z w z w z z w z w z w .
Uit (1) en (2) volgt dat z w z w z w .
Hier staat dat het verschil van de modulus van vector z min de modulus van vector w
altijd ligt tussen de negatieve en positieve modulus van het verschil van beide vectoren.
Hieruit volgt weer dat z w z w .
Versie 2
Blz. 16 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
4. Enige theorie over complexe functies
4.1 Complexe functies en lineaire afbeeldingen
Elke lineaire afbeelding A: R R kan door een matrix worden weergegeven.
Vraag: met welke complexe functie f komt deze lineaire afbeelding A overeen?
a c x ax cy
. Dus komt A overeen met
b d y bx dy
Stel z = x + yi, dan geldt
f(z) = ax+cy + (bx+dy)i = (a+bi)x + (c+di)y = (a+bi)Rez + (c+di)Imz.
a b
dan vinden we
b a
Nemen we speciaal de matrix
f(z) = ax - by + (bx+ay)i = (a+bi)x + (a+bi)yi = (a+bi)(x+yi) = z met = a + bi.
4.2 Groepen complexe getallen
Verschillende verzamelingen complexe getallen voldoen aan de eisen van een groep.
Definitie van een groep:
Een niet-lege verzameling V met binaire operatie is een groep als voldaan is aan de
volgende vier eigenschappen.
G1.
a b V voor alle a,b V (operatie is gesloten in V).
G2.
(a b) c = a (b c) voor alle a,b,c V (operatie is associatief in V).
G3.
V bezit een element e waarvoor geldt dat a e = e èn dat e a = a
voor alle a V (e heet het neutrale element van operatie in V).
G4.
Voor elk element a in V is er een element b in V waarvoor geldt a b = e.
(b heet de inverse van a in V).
Als bovendien a b = b a voor elke a,b V, dan spreken we van een commutatieve
groep.
4.3 Groepen complexe functies
Ook verzamelingen complexe functies met als operatie (samenstelling van functies)
blijken soms aan de eisen van een groep te voldoen.
Voorbeelden:
1
1
f1 ( z ) z , f 2 ( z ) z , f 3 ( z ) , f 4 ( z )
is
z
z
een groep, evenals de ondergroepen f1 , f 2 , , f1 , f3 , en f1 , f 4 , .
f1, f2 , f3 , f4 met operatie en
V=
Deze groepen zijn tevens commutatief.
Elke verzameling functies van het type f ( z ) z ( 0) met operatie is een
groep. Deze groepen zijn over het algemeen niet commutatief.
Versie 2
Blz. 17 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
4.4. Gebroken lineaire afbeeldingen
Stelling 4.1
De verzameling L van gebroken lineaire afbeeldingen met operatie is een groep.
Bewijs
G2:
samenstellen van afbeeldingen is altijd associatief.
G3:
Het neutrale element is de identieke functie I(z) = z.
G4:
G1:
De inverse van een gebroken functie f ( z )
z
z
is de functie f inv
z
z
(zie oefenopgave 9). De eis die aan deze gebroken functie wordt gesteld (zie
blz. 2.12 bovenaan), is dat de determinant 0 . De determinant van de
inverse functie is ( ) . Dit is dezelfde determinant als die
van de functie zelf, dus deze is ook ongelijk aan nul.
Conclusie: elke z C heeft een inverse.
Uit oefenopgave 10 blijkt, dat ook de determinant van de samenstelling van
twee gebroken functies ongelijk is aan nul. Dus deze samengestelde functie
vormt opnieuw een gebroken functie. Daarmee is de groep gesloten.
4.5 Limieten en continuïteit
Voor complexe functies moeten we limieten nader definiëren.
Uitgaand van de complexe functie f met f(z) = w, kunnen we zeggen dat de limiet van
f(z) als z nadert tot z0 gelijk is aan w0, wanneer de f(z)-waarden steeds dichter naar w0
naderen als we z steeds dichter bij z0 nemen.
Definitie -omgeving
Onder de -omgeving van z0 verstaan we het binnengebied van de cirkel met
middelpunt z0 en straal .
Dus z C | z z0 | .
Definitie gereduceerde -omgeving
Onder de gereduceerde -omgeving van z0 verstaan we het binnengebied van de
cirkel met middelpunt z0 en straal waaruit z0 is weggelaten.
Dus z C 0 | z z0 | .
Definitie verdichtingspunt
Laat D een deelverzameling zijn van C en z0 een punt van C. Het punt z0 is een
verdichtingspunt van D als elke gereduceerde -omgeving van z0 ten minste één punt
van D bevat.
NB. In de definitie staat dat z0 een punt van C is. Uit de tekening blijkt echter dat z0
òfwel samenvalt met een punt van D, òfwel hier oneindig dicht tegenaan ligt.
Versie 2
Blz. 18 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Definitie limiet
Laat f een functie van D naar C zijn. Verder is z0 een verdichtingspunt van D.
We zeggen dat lim f ( z ) w0 als
z z0
0
0
zD
0 | z z0 | f ( z) w0 | .
Meetkundig betekent dit dat er bij elke -omgeving van w0 een gereduceerde
-omgeving van z0 te vinden is, waarvan het beeld onder f in de -omgeving van w0
ligt.
Opmerkingen:
Het beeld van de -omgeving hoeft dus niet de hele -omgeving te vullen.
z mag van alle kanten z0 naderen. Er is geen voorgeschreven richting of pad, zoals
bij de reële getallen (van links en/of van rechts).
de definitie geeft niet aan hoe we de limiet kunnen berekenen. Met de definitie
kunnen we slechts nagaan of een zekere w0 een limiet is van f(z) als z nadert tot z0.
Bij het aantonen dat de limiet van z onder f(z) nadert tot z0 met hulp van de definitie,
moeten we de volgende stappen uitvoeren:
1. Begin met wat voorwerk (intermezzo noemt Meindert dit).
Vul het functievoorschrift f(z) en de limietwaarde w0 in in | f ( z ) w0 | en
vereenvoudig deze tot iets in de vorm van
| z z0 |
. Stel 1.
2. Begin het eigenlijke bewijs met de opmerking "Kies >0, willekeurig".
3. Nu geldt elke min(1, ) dat als 0 | z z0 | 0 | z z0 | (schrijf
het intermezzo omgekeerd op) 0 | f ( z ) w0 | .
4. Conclusie: er is een 0 waarvoor geldt dat iedere z D in de gereduceerde omgeving een beeld oplevert in de -omgeving. QED.
Ook voor limieten van complexe functies gelden de volgende eigenschappen:
als een limiet bestaat, is deze eenduidig bepaald
de limiet van de som is de som van de limieten
de limiet van het verschil is het verschil van de limieten
de limiet van het product is het product van de limieten
de limiet van het quotiënt is het quotiënt van de limieten (onder voorwaarde dat de
noemer niet nul wordt).
Definitie continuïteit
Een complexe functie f heet continu in z0 als lim f ( z ) f ( z0 ) .
z z0
Deze definitie vereist impliciet:
dat f gedefinieerd is in z = z0
dat lim f ( z ) bestaat.
z z0
Anders gezegd: een complexe functie f heet continu in z0 als er
bij elke 0 een 0 bestaat, zodanig dat f ( z ) f ( z0 ) als z z0 .
Een functie f is continu op D C als f continu is in elk punt van D.
Versie 2
Blz. 19 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
We kunnen elke complexe functie f met behulp van z = x + yi herschrijven in de vorm
f(z) = u(x, y) + v(x, y)i.
De functie f is continu in z0 dan en slechts dan als de functies u en v continu zijn in z0.
Vaak is het bewijs van continuïteit voor de functies u en v eenvoudiger dan van f.
Voorbeeld: f(z) = z2 = (x+yi)2 = x2 - y2 + 2xyi.
Definitie differentieerbaarheid
Een functie f:CC heet differentieerbaar in z0 als lim
z z0
f ( z ) f ( z0 )
bestaat.
z z0
Deze limiet is per definitie de afgeleide van f in z0 en noteren we met f'(z0).
Door substitutie h = z - z0 in bovenstaande definitie onstaat: lim
h 0
f ( z0 h ) f ( z0 )
.
h
Deze laatste limiet met h0 werkt over het algemeen met complexe getallen handiger.
Bij het differentiëren van complexe functies gelden over het algemeen dezelfde regels
als bij het differentiëren van reële functies:
somregel, verschilregel, productregel, quotiëntregel, machtsregel en kettingregel.
Bijzonder is de afgeleide van de functie f(z) = |z|2. Deze functie blijkt alleen
differentieerbaar bij z = 0. Zie het bewijs op blz. 4.7.
4.6 Intermezzo: partieel differentiëren
Een complexe functie f is met behulp van substitutie z = x + yi te schrijven als
f(z) = u(x,y) + v(x,y)i.
De afgeleide functie f'(z) hangt af van de afgeleiden van u en v.
Omdat u en v beide functies zijn van twee variabelen, kunnen we wel partieel
differentiëren naar zowel x als y.
Definitie partiële afgeleiden
Stel f is een functie van de variabelen x en y.
f ( x h, y ) f ( x , y )
f
lim
mits de limiet bestaat.
x h0
h
f ( x, y k ) f ( x , y )
f
En is
mits de limiet bestaat.
lim
k
0
y
k
Dan is
Het symbool geeft aan dat het gaat om partieel differentieren gaat. Bij partieel
differentiëren naar de ene variabele wordt de andere variabele als een constante
gezien.
Versie 2
Blz. 20 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
4.7 Cauchy-Riemann
Stelling
Als een complexe functie f differentieerbaar is in een punt z0 = x0 + y0i dan voldoen het
reële en het imaginaire deel van f aan de vergelijkingen van Cauchy Riemann.
Bewijs:
Gegeven is dat f differentieerbaar is voor een zekere z = x + yi (in dit geval z0 = x0 + y0i).
Voor f(z) = u(x,y) + v(x,y)i geldt: u(x,y) = Re(f(z)) en v(x,y) = Im(f(z)).
Omdat f differentieerbaar is in z, geldt per definitie dat
lim
h 0
f ( z h) f ( z )
f '( z ) met h C.
h
We kunnen f'(z) nu op twee manieren berekenen.
Eerst voor h0 waarbij h reëel is:
f ( z h) f ( z )
f ( x h yi ) f ( x yi )
lim
h
0
h
h
u ( x h, y ) u ( x, y ) v( x h, y ) v( x, y ) u v
lim
i
i
h 0
h
h
x x
f '( z ) lim
h 0
Nu voor h0 waarbij h zuiver imaginair is en h = ki (met k reëel):
f ( z h) f ( z )
f ( x ( y k )i ) f ( x yi )
lim
k
0
h
ki
u ( x, y k ) u ( x, y ) v ( x, y k ) v ( x, y )
lim
i
k 0
ki
ki
f '( z ) lim
h 0
u ( x, y k ) u ( x, y ) v( x, y k ) v( x, y ) v u
lim i
i
k 0
k
k
y y
Omdat f differentieerbaar is, moeten de berekende limieten gelijk zijn!
Zo vinden we de vergelijkingen van Cauchy-Riemann:
u
v
u v
en
.
y
x
x y
Dit levert tevens een uitdrukking voor f'(z) op, namelijk:
f '( z )
u v
v u
i i.
x x
y y
Stelling (zonder bewijs, hoeven we alleen maar toe te kunnen passen)
Een complexe functie f is differentieerbaar in z0 = x0 + y0i dan en slechts dan als
de partiële afgeleiden van het reële en het imaginaire deel continu zijn in (x0,y0)
EN de partiële afgeleiden in (x0,y0) voldoen aan de vergelijkingen van
Cauchy-Riemann:
Versie 2
u
v
u v
en
.
y
x
x y
Blz. 21 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Gebruik TI-89 bij Complexe Analyse
Invoeren complexe getallen
Normaalvorm a+bi: gebruik de gele i boven de Catalog-toets.
Voorbeeld: 3 3 3i .
Poolcoördinaten: z = r(cos + isin ). Voer in “(r )” met in graden of radialen
(in te stellen bij Mode, Angle). De gele vind je boven de EE-toets linksonder.
Voorbeeld: 6
3 3 3i .
6
Resultaten weergeven
Met Mode, Complex Format kunnen de resultaten op 2 manieren worden weergegeven:
Normaalvorm: kies voor Rectangular.
Poolcoördinaten: kies voor Polar.
Als Angle = Radian, wordt dit weergegeven als rei . Dit is de voorkeursinstelling.
Als Angle = Degree, wordt dit weergegeven als r
Voorbeeld: 3 3 3i 6e
i
6
6 630 .
6
Eénmalig omzetten van Normaal naar Poolcoördinaten of omgekeerd kun je doen met
het menu Math, 4:Matrix, L:Vector ops (of onderstaande functies selecteren via
Catalog).
Met ►Polar zet je een complex getal van normaalvoorstelling om naar poolcoördinaten.
Met ►Rect zet je een complex getal van poolcoördinaten om naar normaalvoorstelling.
i
Voorbeeld:
3 3 3i ►Polar geeft als uitvoer 6e 6 ,
i
6e 6 ►Rect geeft als uitvoer 3 3 3i .
Oplossen van vergelijkingen
Functie cSolve (Menu F2:Algebra, Complex of via Catalog).
Syntax: cSolve(uitdrukking, variabele).
Voorbeeld: cSolve(z2+4iz-1=0,z) geeft als resultaat z ( 3 2)i or z ( 3 2)i .
Bewerkingen op complexe getallen
Deze bewerkingen zijn te vinden in menu Math (gele toets boven 5), Complex.
conj geeft de complex geconjugeerde conj(1+2i) = 1-2i
real geeft het reële getal
real(1+2i) = 1
imag geeft het imaginaire getal:
imag(1+2i) = 2i
angle geeft het argument
angle(1+i) =
abs geeft de modulus:
abs(1+i)
Versie 2
=
4
2
Blz. 22 van 23
Uittreksel Complexe Analyse
Geraadpleegde bronnen
www.wiskundeweb.nl/Documenten/Complex.pdf.
Keuzeonderwerp Complexe Analyse voor de profielen NG en NT van het VWO.
Prima introductie.
Wiskunde in blokken voor de Elektrotechniek deel 3, J. Feringa en J. van GoolUijtewaal, Nijgh Versluys B.V. Baarn, ISBN 9043503955.
Toepassing complexe analyse in de Elektrotechniek.
www.lovowis.net
Versie 2
Blz. 23 van 23
