Paragraaf 2: Rekenen met verhoudingstabellen

advertisement
MALMBERG UITGEVERIJ B.V.
Docentenhandleiding
MathPlus
Leerjaar 1 vwo-gymnasium
Versie 1
Inhoud
Deel 1: algemeen deel .................................................................................................................. 3
Wat is MathPlus?..................................................................................................................................... 3
Het didactisch model van MathPlus........................................................................................................ 3
De opzet van MathPlus ........................................................................................................................... 4
Contexten ............................................................................................................................................ 4
Instaptoets........................................................................................................................................... 4
Onderdelen: Leren............................................................................................................................... 4
Onderdelen: Verwerken ...................................................................................................................... 4
Extra oefenen ...................................................................................................................................... 5
Afsluiting.............................................................................................................................................. 5
Studielast en planning ............................................................................................................................. 5
Mogelijke werkwijzen.............................................................................................................................. 7
Lange leerlijnen in MathPlus ................................................................................................................... 8
Verschillen tussen havo en vwo ............................................................................................................ 12
Handleiding MathPlus applicatie........................................................................................................... 13
Inloggen op de applicatie .................................................................................................................. 13
De werking van de MathPlus applicatie ............................................................................................ 13
Vraagtypen in de MathPlus applicatie .............................................................................................. 15
De toetsenborden van MathPlus ...................................................................................................... 18
Ontwikkeling van de MathPlus applicatie ......................................................................................... 18
AlgebraKIT ............................................................................................................................................. 19
Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT ............................... 19
Invoeren van het antwoord............................................................................................................... 19
Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren ........................................................... 19
Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken ..................................................................... 20
Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen ...................................................................... 20
Hoe werkt AlgebraKIT? ...................................................................................................................... 21
Deel 2: handleidingen per hoofdstuk .......................................................................................... 22
1: Rekenen ............................................................................................................................................. 22
2: Figuren ............................................................................................................................................... 25
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 29
3: Ruimtelijke figuren ............................................................................................................................ 32
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 35
1
4: Verhoudingen .................................................................................................................................... 38
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 41
5: Hoeken .............................................................................................................................................. 44
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 47
6: Omtrek, oppervlakte en inhoud ........................................................................................................ 50
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 53
7: Negatieve getallen............................................................................................................................. 56
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 59
8: Grafieken ........................................................................................................................................... 62
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 65
9: Verbanden ......................................................................................................................................... 67
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 70
10: Symmetrie ....................................................................................................................................... 73
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 77
11: Rekenen met variabelen ................................................................................................................. 80
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 82
12: Diagrammen .................................................................................................................................... 84
Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 86
2
Deel 1: algemeen deel
Wat is MathPlus?
MathPlus is een wiskundemethode voor het voortgezet onderwijs die beoogt leuke en uitdagende
wiskunde te bieden voor alle leerlingen en hen goed voor te bereiden op het aan het eind van het
voortgezet onderwijs af te leggen eindexamen. De methode is gebaseerd op het lesmateriaal van de
stichting Math4all dat al enige tijd digitaal werd aangeboden.. Voor MathPlus is dit lesmateriaal
herschreven en uitgebreid. Daarnaast biedt MathPlus nieuwe digitale functionaliteit op het gebied van
adaptiviteit, herkansingsmogelijkheden, automatisch nakijken van opgaven en het volgen van
resultaten door leerling en docent. Voor het werken in de klas is er ook een papieren variant voor de
momenten dat de digitale versie niet beschikbaar is. De digitale versie is echter het uitgangspunt.
Een en ander wil niet zeggen dat alles nu digitaal gebeurt; leerlingen zullen nog regelmatig werken
met potlood, passer, geodriehoek en gum. Maar waar dit meerwaarde biedt, worden digitale middelen
zoveel mogelijk ingezet.
Het didactisch model van MathPlus
De methode is gebaseerd op het bekende OSAEV-model van Joop van Dormolen (Didactiek van de
wiskunde uit 1974). Tegenwoordig wordt dit model beschreven als het OOV-model:



O1 = oriënteren op wat er gaat komen;
O2 = ontwikkelen van kennis en vaardigheden, het ‘leren’-deel;
V = verwerken en inslijpen van de aangeleerde kennis en vaardigheid, het ‘verwerken’-deel.
Dit is vertaald in de opzet van het Math4all-materiaal door:



O1 = Verkennen
O2 = Uitleg met opgaven, Theorie (vanaf leerjaar 3), Voorbeelden met opgaven
V = Verwerken en Testen
Hierin is de Uitleg een inleiding vanuit een concrete situatie op de te leren theorie en de te beheersen
vaardigheden. De Uitleg gaat vergezeld van opgaven die leerlingen aanzetten om deze kennis actief
op te bouwen. De Theorie vat deze kennis (zo abstract als op dat niveau wenselijk is) samen. In de
eerste twee leerjaren zijn er geen theorieblokken, omdat de totale hoeveelheid samen te vatten kennis
per onderdeel nog gering is. Vanaf leerjaar 3 wordt dit meer en komen voor het eerst theorieblokken
voor. Naast de Uitleg en Theorie zijn er Voorbeelden waarin de gewenste kennis en vaardigheden
worden gebruikt in activerende opgaven. Om leerlingen tot activiteit aan te zetten, zijn Uitleg en
Voorbeelden vaak enigszins fragmentarisch1. Dit vormt samen het ‘leren’-deel van elk onderdeel
(paragraaf).
In MathPlus is deze opzet overgenomen en ingebed in een omhullend context-conceptverhaal. Door inleidende contexten toe te voegen die van een – zo mogelijk onderwerp omvattende –
vraagstelling zijn voorzien, wordt het beoogde concept versterkt. Daarbij wordt de relevantie van de
wiskunde in één oogopslag duidelijk. De vragen “Wat heb ik hier nu aan?” en “Waarom moeten we dit
leren?” kunnen met een verwijzing naar de contexten beantwoord worden.
1
Voor vwo-gymnasium meer dan voor havo-vwo.
3
De opzet van MathPlus
De leerstof is verdeeld in domeinen (doorlopende leerlijnen), grofweg een domein Rekenen, een
domein Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. Per leerjaar en
per wiskundestroom verschillen de domeinindelingen enigszins. Voor leerjaar 1 zijn dit de domeinen:
Rekenen, Grafieken en formules, Meten en tekenen en tot slot Informatieverwerking.
Elk domein is verdeeld in onderwerpen (hoofdstukken) en elk onderwerp weer in onderdelen
(paragrafen). Zo’n onderdeel bevat een afgerond leerobject volgens het OOV-model. Een onderwerp
bestaat uit twee contexten, enkele onderdelen en een afsluiting.
MathPlus is geen receptenboek waarin staat ‘hoe het moet’, het is een wiskundemethode waarin alle
concepten, alle kennis en alle vaardigheden zorgvuldig volgens het OSAEV-model worden
opgebouwd. Alle concepten dienen dan ook nauwgezet te worden geïntroduceerd, zoveel mogelijk
vanuit het context-concept principe. MathPlus biedt leerlingen hiervoor verschillende handvatten.
Allereerst wordt een hoofdstuk geopend met twee contexten die de leerling een toepassing van de
wiskunde laten zien. Daarnaast wordt in het Leren-deel een exemplarische context gebruikt om
zorgvuldig conceptopbouw te ontwikkelen. Deze context zal daarom regelmatig terugkeren teneinde
de koppeling met het concept te versterken.
Contexten
In het boek zijn twee contexten opgenomen. Als u uitsluitend met de digitale versie van MathPlus
werkt kunt u deze contexten voorlopig terug te vinden als pdf in het docentenmateriaal. Elke context
wordt voorzien van een opgave die leerlingen na het doorwerken van het hoofdstuk moeten kunnen
maken. De contexten staan in principe los van de kleinere, exemplarische contexten van waaruit in de
Uitleg een concept wordt opgebouwd.
Instaptoets
In de digitale versie van MathPlus zit een korte instaptoets met gesloten vragen. Deze toets test de
benodigde voorkennis van leerlingen alvorens zij aan het hoofdstuk kunnen starten. Als docent kunt u
ervoor kiezen om een bepaald onderdeel klassikaal te herhalen of een leerling extra oefeningen te
geven als blijkt dat een onderdeel van de voorkennis onvoldoende beheerst wordt.
Onderdelen: Leren
Het ‘Leren’-deel van MathPlus bestaat uit Uitleg met opgaven, Theorie (vanaf leerjaar 3) en
Voorbeelden met opgaven. In de digitale applicatie zijn Uitleg, Theorie en Voorbeelden regelmatig
interactief gemaakt met applets (Geogebra). Daarnaast zijn in de applicatie opgaven waar mogelijk
interactief gemaakt met behulp van AlgebraKIT. De opgaven in het Leren-deel moeten de leerlingen
aanzetten tot het (opnieuw) doornemen van de Voorbeelden, het aanvullen van de daarin
overgeslagen stappen en daarmee het voor zichzelf opbouwen van de beoogde kennis en
vaardigheden. Bij de opgaven zijn antwoorden, uitgebreide uitwerkingen en hints op te vragen.
Onderdelen: Verwerken
In dit onderdeel kunnen leerlingen de kennis en vaardigheden uit het Leren-deel verwerken middels
het maken van opgaven. Alle verwerkingsopgaven zijn voorzien van één, twee of drie sterren in
opklimmende moeilijkheidsgraad: één ster is het instapniveau, twee sterren het basisniveau en drie
sterren het excellent-niveau. Als de leerling de stof naar behoren beheerst, wordt hij geacht het twee
sterren niveau te behalen. De eindtoetsen zijn op het twee sterren niveau gericht.
In de digitale applicatie kan een leerling kiezen of hij begint op het instapniveau of direct op
het basisniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed zijn afgerond, is het basisniveau behaald.
Begint een leerling direct met het basisniveau en kan hij de eerste opgave niet oplossen, dan stuurt
het systeem de leerling automatisch naar het instapniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed
zijn gemaakt, geeft het systeem de mogelijkheid ook het excellent-niveau te behalen.
In de digitale versie kan een leerling Uitleg, Theorie of Voorbeelden van de desbetreffende
paragraaf opvragen als hij moeite heeft de opgave te maken. Daarnaast hoort bij elke opgave van het
instapniveau of het basisniveau in de digitale versie een herkansingsopgave. Daarmee kan een
4
leerling die een opgave in eerste instantie niet kon maken, zichzelf verbeteren en zo het niveau alsnog
behalen.
Extra oefenen
In de digitale applicatie van MathPlus kunnen leerlingen aan het einde van het hoofdstuk onder
Oefenen opgaven nog eens maken. De computer genereert een set aan opgaven uit de onderdelen
Verwerken van het hoofdstuk waarmee de leerling kan oefenen.
Afsluiting
In de boeken wordt elk hoofdstuk afgesloten met een Voorbeeld eindtoets. In de onderbouw is deze
toets waar mogelijk gesplitst in een ‘rekenen’-deel en een ‘toepassen’-deel. Het is de bedoeling dat
80% van de leerlingen deze toets binnen een lesuur kunnen maken. Werkt u uitsluitend met de
digitale applicatie dan kunt u deze toetsen ook terugvinden in het docentenmateriaal.
Studielast en planning
Afhankelijk van de omvang van een hoofdstuk kan een specifiekere planning worden vastgesteld.
Elk onderdeel (paragraaf) heeft een studielast van (als een leerling alles doet, maar er zijn keuzes te
maken) ongeveer drie uur:
- Instaptoets: 0,25 – 0,5
uur
- Leren:
1,5
uur
- Verwerken: 0,5 – 1,25
uur (inclusief de excellent-opgave(n))
De afsluiting van een hoofdstuk kost nog eens maximaal drie uur (als een leerling alles doet):
- de opgaven bij de contexten maken:
0,5 - 1 uur
- de voorbeeld eindtoets met eventueel nog nader te bestuderen onderdelen bekijken: 1 - 1,5 uur
- de leerlingen kunnen een samenvatting maken van het hoofdstuk:
0,5 – 1 uur
In grote lijnen ziet de planning van het schooljaar er als volgt uit:
Boek (twee per jaar)
Hoofdstukken (twaalf in leerjaar 1)
Onderdelen op hoofdstukniveau:



digitale instaptoets
contexten
voorbeeld eindtoets
Paragraaf (ongeveer vijf per hoofdstuk)
•
•
•
Uitleg met opgaven
Voorbeelden met opgaven
Verwerkingsopgaven
 In totaal zijn er in leerjaar 1 ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk
Schooljaar telt veertig weken:
40 schoolweken – 4 toetsweken – 1 jaarafsluiting = 35 lesweken
Aantal lessen: 3 per week x 35 weken = 105 lessen
 ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk
Leerjaar 1: aantal opgaven per les: 12 x 80 / 105 ≈ 9 opgaven
Het aanleren van wiskundig denken vraagt tijd!
 schrappen
Bovenbouw: 2,5 lessen per paragraaf met 2/3 van de opgaven
5
Situatie: klassikale lessen, boeken
les 1:
•
•
Uitleg en 1 à 2 opgaven per uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per
voorbeeld;
huiswerk: instapopgaven van verwerken.
•
•
•
•
huiswerk bespreken;
rest van de opgaven uit Verwerken;
start Uitleg van volgende paragraaf;
huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg.
•
•
•
reflectie huiswerk;
Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en
1 à 2 opgaven per voorbeeld;
huiswerk: instapopgaven van Verwerken.
•
•
•
•
huiswerk bespreken;
rest van de opgaven uit Verwerken;
start Uitleg van volgende paragraaf;
huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg.
•
•
reflectie huiswerk;
Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en
1 à 2 opgaven per voorbeeld;
huiswerk: instapopgaven van Verwerken.
les 2:
les 3:
les 4:
les 5:
•
In de hoofdstuk specifieke handleiding is de studielast aangegeven per paragraaf. Indien u minder tijd
tot uw beschikking heeft, is per paragraaf een aanbevolen verkorte leerroute aangegeven. Daarnaast
is een tabel opgenomen waarin u eenvoudig ziet hoeveel opgaven ieder onderdeel bevat en van welk
niveau die opgaven zijn.
Let op: de genoemde aantallen opgaven in de overzichtstabellen zijn de aantallen in de digitale
applicatie! Deze verschillen met de aantallen opgaven in de boeken (digitaal zijn er meer opgaven).
6
Mogelijke werkwijzen
MathPlus kan in de praktijk op verschillende wijzen worden ingezet. Dit is mede afhankelijk van de
producten waarmee u werkt: boek, digitaal of een combinatie van beide.
1 Docent heeft voor 100% de regie in handen
Dit is alleen mogelijk wanneer vooral met het boek wordt gewerkt. De docent kan besluiten de digitale
Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van de resultaten, die hij in zijn
dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een
nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot nu toe gewend is: hij legt
dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Het huiswerk wordt volledig toegewezen
door de docent, waarbij hij een selectie opgeeft van opgaven uit Leren en/of Verwerken. Alle
leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets en/of maken thuis de opgaven onder Oefenen in de
applicatie (keuze docent en/of leerling).
2 Docent heeft voor een groot deel de regie in handen
De docent kan besluiten de digitale Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van
de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden
opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot
nu toe gewend is: hij legt dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Opgaven in het
Leren-deel kunnen door de docent worden toegewezen. Opgaven in Verwerken dienen leerlingen
thuis te maken en in de computer in te voeren. De applicatie bepaalt welke Verwerkenopgaven,
inclusief herkansing, door de leerling gemaakt dienen te worden. De docent ziet de resultaten van
opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra
onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de
voorbeeld eindtoets en/of maken thuis de opgaven onder Oefenen in de applicatie (keuze docent
en/of leerling).
3 Docent geeft regie voor groot deel uit handen
In dit geval gaat de leerling volledig digitaal aan de slag. Zij maken de Instaptoets. Op basis van de
resultaten, die de docent in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens
worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. De docent kan besluiten iedere les
met uitleg te beginnen en/of enkele voorbeeldopgaven klassikaal uit te werken, maar hij kan er ook
voor kiezen leerlingen zelfstandig te laten werken. Daarbij werken zij zó als hen het beste bevalt (eerst
opgaven in Leren en vervolgens in Verwerken, of meteen Verwerken en – indien men er niet uitkomt –
elementen uit Leren raadplegen). Het systeem bepaalt welke Verwerkenopgaven, inclusief
herkansingsopgaven, door de leerling dienen te worden gemaakt. De docent ziet de resultaten van de
opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra
onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de
voorbeeld eindtoets en/ de opgaven onder Oefenen in de applicatie (keuze docent en/of leerling).
Op verschillende manieren werken binnen één sectie
Aangezien alle leerlingen dezelfde Instaptoets en Voorbeeld eindtoets krijgen, ongeacht de door de
docent gehanteerde werkwijze, is het goed mogelijk binnen een sectie op verschillende manieren met
MathPlus te werken. De leerlingen krijgen ook allemaal hetzelfde proefwerk. Docenten kunnen in
sectievergaderingen hun werkwijze aan collega’s toelichten, aangeven wat zij wel en niet als prettig
ervaren, en van elkaar leren. Dit kan ertoe leiden dat de persoonlijke werkwijze gedurende het jaar op
‘veilige’ wijze wordt aangepast. Zie het als vernieuwing van werkwijze en aanpak vanuit de voor de
docent vertrouwde omgeving.
7
Lange leerlijnen in MathPlus
Er zijn globaal vier domeinen te onderscheiden, namelijk een domein Rekenen, een domein
Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. In de bovenbouw
havo/vwo schuift het domein Rekenen voor een groot deel (behalve voor havo wiskunde A) naar de
achtergrond. Voor havo B en vwo A, B en C komt daar het domein Veranderingen bij, alsmede enkele
losse onderwerpen uit de discrete wiskunde (Logica, Rijen). Voor vwo wiskunde D komt er
getaltheorie bij (Complexe getallen).
In de lange leerlijnen zijn de Tussendoelen havo/vwo voor de onderbouw en de Eindtermen voor de
diverse wiskundes voor de bovenbouw leidend2. In het document MathPlus tussendoelen onderbouw
vindt u een uitgebreide uiteenzetting van de behandeling van de tussendoelen in leerjaren 1 tot en
met 3.
Voor de vier basisdomeinen hanteert MathPlus grofweg de volgende opbouw (niet alles geldt voor alle
leerlingen, er is niveauverschil):
Rekenen




leerjaar 1
het begrip decimaal getal met de vier basisbewerkingen – de eigenschappen van natuurlijke
getallen (deelbaarheid) – het begrip macht en machtsverheffen – het begrip breuk en de vijf
bewerkingen toegepast op breuken – het begrip procent en rekenen met procenten en in dat
kader met verhoudingstabellen – het begrip negatief getal en de basisbewerkingen met
negatieve getallen in een pijlenmodel
leerjaar 2
het begrip (hogere machts)wortel en de basisbewerkingen met wortels – het begrip rationaal
en het begrip reëel getal – de verschillende soorten getallen – de wetenschappelijke notatie
leerjaar 3
onderhoud voorgaande – meer rekenen in context – probleemaanpak bij rekenen
leerjaar 4 e.v.
onderhoud en verdieping (moeilijker context) voorgaande, met alleen in havo wiskunde A nog
de nodige herhaling.
o havo, wiskunde A: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en
faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal
o vwo, wiskunde A/C: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en
faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal
Verbanden

2
leerjaar 1
het begrip variabele (grootheid) – afhankelijkheid van variabelen (afhankelijke en
onafhankelijke variabele) leidt tot verbanden – verbanden weergeven in tabellen – verbanden
weergeven in grafieken (assenstelsel moet bekend zijn) – eigenschappen van grafieken en
van die afhankelijkheid benoemen (stijgen, dalen, periodiciteit, maximum- en
minimumwaarde) – tabellen omzetten in grafieken en vice versa – (woord)formules voor
verbanden – tabellen en grafieken maken bij (woord)formules – waarden aflezen uit grafieken
– som- en verschilgrafieken – het begrip vergelijking om waarden te kunnen berekenen – het
begrip oplossing van een vergelijking – oplossingen (slim) raden – oplossingen bepalen door
inklemmen – met variabelen werken, algebra, de basisbewerkingen – volgorde en haakjes –
haakjes wegwerken
http://www.slo.nl/voortgezet/onderbouw/vakken/wi/overtussen/
8



leerjaar 2
vergelijkingen oplossen door heen- en terugrekenen, het begrip rekenschema – vergelijkingen
oplossen met de balansmethode – vergelijkingen oplossen door haakjes weg te werken –
lineaire verbanden en recht evenredig – vergelijkingen bij lineaire verbanden systematisch
oplossen – hyperbolische verbanden en omgekeerd evenredig – vergelijkingen bij
hyperbolische verbanden – kwadratische verbanden van de vorm y = a(x – p)2 + q –
vergelijkingen bij kwadratische verbanden door terugrekenen oplossen – exponentiële
verbanden in het kader van exponentiële groei/verval – exponentiële vergelijkingen oplossen
door inklemmen
leerjaar 3
lineaire verbanden, helling en richtingscoëfficiënt, snijpunt met de y-as, vergelijkingen
systematisch oplossen, lijn door twee punten – kwadratische verbanden in drie vormen en
kwadraat afsplitsen om de vorm y = a(x – p)2 + q te krijgen – kwadratische verbanden
ontbinden in factoren – kwadratische vergelijkingen oplossen door kwadraat afsplitsen en
terugrekenen, dan door de abc-formule te gebruiken, tenslotte door ontbinden in factoren –
andere verbanden, functiebegrip opstarten, transformaties invoeren als uitbreiding,
toevoeging, vooruitblik op wiskunde A/B in de bovenbouw
leerjaar 4 e.v.
o havo, wiskunde A: alleen herhaling/onderhoud/toepassing in complexere situaties
o havo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) –
lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met
hun eigenschappen en transformaties – veranderingen van functies en differentiëren
in eenvoudige gevallen – eenvoudige optimaliseringsproblemen
o havo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – wiskunde B kennis
toepassen in technologie, modelleren, optimaliseren en de differentieerregels
o vwo, wiskunde A: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) –
lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, sinus standaardfuncties met hun
eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies
en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht en logaritme, maar geen
goniometrische functies) – optimaliseringsproblemen – rijen, meetkundig,
rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en
meetkundige rijen
o vwo, wiskunde C: lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische standaardfuncties
met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van
functies – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules,
somformules rekenkundige en meetkundige rijen
o vwo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) –
samengestelde en inverse functies, informeel limietbegrip – lineaire, veelterm,
exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met hun
eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies
en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht, logaritme en
goniometrische functies) – toepassing op allerlei soorten functies, werken met
parameters – rekenregels voor logaritmische en goniometrische functies – integreren
en berekenen van oppervlakte, inhoud omwentelingslichaam en booglengte –
primitieveren van eenvoudige functies
o vwo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – rijen, meetkundig,
rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en
meetkundige rijen – modelleren, discrete dynamische modellen – continue
dynamische modellen, differentiaalvergelijkingen, en enkele oplossingsmethoden
9
Meetkunde




leerjaar 1
vlakke figuren (lijn, lijnstuk, halve lijn, vierkant, rechthoek, parallellogram, vlieger, ruit,
trapezium, driehoek (rechthoekig, gelijkbenig, gelijkzijdig), vierhoek, veelhoek, cirkel intuïtief
invoeren, eigenschappen ontdekken – ruimtelijke figuren (kubus, balk, prisma, piramide,
cilinder, kegel, bol) intuïtief invoeren, eigenschappen ontdekken – begrippen als punt, lijn,
vlak, hoekpunt, zijde/ribbe, grensvlak, diagonaal (2D en 3D), diagonaalvlak – tekenen (op
schaal) van zowel 2D als 3D figuren – aanzichten en uitslagen herkennen en tekenen –
lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud door ‘eenheden tellen’ – werken (omrekenen) met
eenheden (en voorvoegsels) voor lengte, oppervlakte, inhoud, tijd – kijklijnen, kijkhoeken –
symmetrie (lijn, punt, draai) en de symmetrie-eigenschappen van vlakke figuren – bissectrice,
middelloodlijn
leerjaar 2
formules voor omtrek van vlakke figuren en de inhoud van ruimtelijke figuren – het begrip
hoogte(lijn) – de (omgekeerde) stelling van Pythagoras, lengtes berekenen in 2D en in 3D –
het begrip doorsnede, doorsneden (eenvoudige gevallen) op ware grootte tekenen –
vergroten/verkleinen van figuren, vergrotingsfactor – gelijkvormigheid van figuren, eenvoudige
berekeningen met behulp van gelijkvormigheid –
lengtevergroting/oppervlaktevergroting/inhoudsvergroting(sfactor)
leerjaar 3
herhalen en verdiepen voorgaande, met name werken met congruentie en gelijkvormigheid –
goniometrie in 2D en 3D – begrippen vermoeden, stelling, bewijs (alleen vwo) – vooruitblik op
wiskunde A/B/C/D
leerjaar 4 e.v.
o havo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe
gebruiken
o havo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met
vergelijkingen en vectorvoorstellingen van lijnen, vergelijkingen van cirkels, formule
afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij
punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector,
normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel
o havo, wiskunde D: 3D meetkunde, zonder en met vectoren – parallelprojecties,
doorsneden tekenen, meetkundige berekeningen in 3D – oppervlakte en inhoud van
ruimtelijke figuren – vectoren in 3D met berekeningen van hoeken en afstanden
tussen punten, lijnen en vlakken
o vwo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe
gebruiken
o vwo, wiskunde C: 3D meetkunde in kunst en cultuur – alle begrippen uit leerjaar 1/2
herhalen – symmetrie in 3D – perspectief herkennen en ermee werken – perspectief
tekenen (éénpunts en tweepunts)
o vwo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met
vergelijkingen en vector(parameter)voorstellingen van lijnen en van cirkels, formule
afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij
punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector,
normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel – beweging van
een punt in een assenstelsel beschrijven met vector(parameter)voorstelling –
snelheid, snelheidsvector, raaklijn
o vwo, wiskunde D: bewijzen in de vlakke meetkunde – vergelijkingen en
parametervoorstellingen van vlakke krommen (met name kegelsneden), van
ruimtekrommen en oppervlakken – meetkundige berekeningen in 3D
10
Informatie(data) analyse




leerjaar 1
werken met eenvoudige data in tabelvorm – schema’s, grafen en tabellen – diagrammen (lijn,
staaf, cirkel, steelblad) – frequenties, absoluut en relatief – gemiddelden
leerjaar 2
frequentieverdeling – centrummaten (modus, mediaan, gemiddelde) – spreiding en
spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand) – boxplot – klassenindelingen
leerjaar 3
herhaling voorgaande leerjaren – steekproeven – het begrip kans – kansen berekenen met
behulp van wegendiagrammen en boomdiagrammen
leerjaar 4 e.v.
o havo, wiskunde A: werken met grotere databestanden – toepassen onderbouwkennis
op grotere databestanden – meetniveaus – frequentieverdelingen typeren – de
normale verdeling – vuistregels voor de normale verdeling – kansen/percentages bij
de normale verdeling – steekproeven en steekproefproporties –
betrouwbaarheidsintervallen – verschillen tussen statistische variabelen benoemen –
samenhang tussen statistische variabelen benoemen, correlatiecoëfficiënt en
regressielijn – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek
o havo, wiskunde B: geen
o havo, wiskunde D: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de
regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen,
verwachting en standaardafwijking – discrete kansverdelingen (uniform, binomiaal,
hypergeometrisch) – continue kansverdelingen (normaal) – hypothesen toetsen –
correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op de computer,
praktische statistiek
o vwo, wiskunde A/C: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de
regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen,
verwachting en standaardafwijking, wortel-n-wet – discrete kansverdelingen (uniform,
binomiaal) – continue kansverdelingen (normaal en hypergeometrisch) – hypothesen
toetsen – schatten – correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op
de computer, praktische statistiek
o vwo, wiskunde B: geen
o vwo, wiskunde D: als vwo, wiskunde A/C, maar formeler opgezet (bijvoorbeeld
integraalrekening bij continue kansverdelingen), extra toetsen (tekentoets, Wilcoxontoets, chi-kwadraat-toets, et cetera)
Diversen


vwo, wiskunde C: logica, logisch redeneren – waarheidstabellen, enzovoort
vwo, wiskunde D: getaltheorie – eenvoudige bewijzen in de getaltheorie, volledige inductie –
complexe getallen, complexe functies
Naast de verschillende domeinen vormen zaken als probleemaanpak en structuren herkennen
eveneens een lange leerlijn. Tegenwoordig spelen wiskundige denkactiviteiten een rol in het
wiskundeonderwijs. De meeste opgaven bij de contexten zijn voorbeelden van wiskundige
denkactiviteiten. Op dit moment hebben wiskundige denkactiviteiten ook een plek gekregen in
sommige opgaven van het basis- en het excellentniveau. Te denken valt aan opgaven waarin
probleemaanpak en modelleren expliciet aan de orde komt, los van een specifiek hoofdstuk. (Zie ook
www.math4all.nl bij Extra’s.)
11
Verschillen tussen havo en vwo
De verschillen tussen havoleerlingen en vwo-leerlingen wordt in MathPlus onder andere vormgegeven
door:





Voor havo directer taalgebruik en kortere zinnen te gebruiken en voor vwo formeler
taalgebruik en langere zinnen te accepteren.
Voor havo geen twee vragen in één item te stellen, wat voor vwo wel regelmatig het geval is.
Een vwo leerling krijgt de kans om de benodigde tussenstap zelf te bedenken terwijl de havo
leerling in eerste instantie op weg geholpen wordt.
Voor havo de opbouw langzamer te laten verlopen, minder concepten per uitleg.
Voor havo de voorbeelden minder fragmentarisch te laten zijn.
Voor havo de uitwerkingen waar nodig uitgebreider te maken.
Ook belangrijk zijn de verschillen tussen A/C-leerlingen en B/D-leerlingen. Dit geeft MathPlus vorm
door:




3
Voor A/C uitleg, vraagstelling en antwoorden/uitwerkingen in gewoon Nederlands versus meer
formeel wiskundig taalgebruik voor B/D.
Voor A/C geen ‘toon aan’ en ‘bewijs’, voor B/D (zeker voor vwo) gebruikt MathPlus dit wel.
Daarbij zal zeker bij vwo B/D expliciet benoemd worden waar dieper gaande bewijzen nodig
zijn als die niet kunnen worden gegeven.
MathPlus sluit aan bij de trefwoorden in de syllabi voor het C.E.3
MathPlus probeert de contexten voor havo A meer in maatschappelijk relevante zaken (soms
ook natuurwetenschappelijk) te zoeken, voor vwo A in de maatschappelijke en
natuurwetenschappelijke (met name in de gezondheidskunde/biologie) hoek, voor havo B in
de technische en voor vwo B in de natuurwetenschappelijke en wetenschappelijk technische
hoek.
https://www.hetcvte.nl/item/syllabi
12
Handleiding MathPlus applicatie
Inloggen op de applicatie
Log in met uw Entree-account.
-
Indien u reeds een Entree-account heeft, kunt u dit gebruiken. U logt in met uw account en
activeert de licentie door de activatiecode in te voeren.
Bij de eerste maal inloggen, dient u uw naam in te vullen plus een school aan te geven.
Indien u naast een licentie voor de onderbouw ook een licentie voor de bovenbouw aanmaakt,
dient u een tweede Entree-account aan te maken.
Indien u problemen ondervindt met inloggen, neemt u dan contact op met de
Helpdesk voortgezet onderwijs. Stuur een e-mail naar [email protected] of bel
073 628 8766. Wij helpen u zo snel mogelijk verder.
De werking van de MathPlus applicatie
Na het inloggen komt u op de pagina met het hoofdstukkenoverzicht. De verschillende beschikbare
hoofdstukken verschijnen onder elkaar. Rechts is het domein van het hoofdstuk weergegeven.
Elk hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen. Als u daarop klikt, komt u op de paragraafopening.
Daar ziet u de belangrijkste onderdelen van de methode: ‘Leren’ en ‘Verwerken’.
‘Leren’ is bedoeld om leerlingen met de stof kennis te laten maken en om de eerste opgaven bij de
stof te maken. Er zijn twee ‘ingangen’: Uitleg en Voorbeelden, elk met opgaven. Vanaf leerjaar 3 vindt
u rechtsboven op de pagina van de paragraaf nog ‘Theorie’. De in ‘Leren’ uiteengezette kennis wordt
hier op een abstracter niveau samengevat. Als docent heeft u de regie en bepaalt u hoe de leerlingen
met de stof werken. U legt bijvoorbeeld eerst zelf uit en geeft dan op welke opgaven de leerlingen
moeten maken. U kunt er ook voor kiezen leerlingen zelfstandig door de stof te laten gaan.
13
Leerlingen kunnen de antwoorden op de opgaven controleren met de antwoorden/uitwerkingen. Deze
worden zichtbaar als er op “bekijk antwoorden” is geklikt. Het voorbeeldantwoord wordt weergegeven
in een groen vlak met een groen vinkje.
Er wordt niet bijgehouden of het antwoord goed of fout was; wel is voor de leerling zichtbaar of de
opgave is gemaakt. U kunt dat als docent ook zien in het dashboard in de docentenlicentie; u kunt dan
ook zelf het antwoord bekijken.
‘Verwerken’ is bedoeld voor het zelfstandig werken door de leerling. De leerling laat zien of hij de stof
begrijpt. De computer stuurt het leren. Doel is dat de leerling de opgaven op het basisniveau (**) goed
maakt. Daartoe kan hij direct op het basisniveau starten of eerst de instapopgaven (*) maken. De
excellent-opgave (***) wordt actief als het basisniveau goed is afgerond.
Als een leerling start op het basisniveau, maar hij maakt de eerste opgave onvoldoende, dan worden
de instapopgaven actief en moet hij die eerst maken voordat hij op het basisniveau terug kan keren.
Elke opgave van het instap- en het basisniveau in Verwerken heeft een herkansingsopgave. Daarmee
krijgt de leerling een tweede kans om aan te tonen dat hij de stof beheerst.
Een leerling heeft de mogelijkheid Uitleg, Theorie of Voorbeelden te raadplegen in Verwerken. Door
op de knoppen links van de opgave te klikken, kan de informatie uit Leren bekeken worden.
Score: wanneer is een opgave ‘goed’? De meeste opgaven in MathPlus kennen deelopgaven. De
leerling moet 80% van de deelopgaven goed hebben, wil de opgave goed gerekend worden.
14
Vraagtypen in de MathPlus applicatie
MathPlus maakt gebruik van verschillende typen opgaven.
Open opgaven: het beantwoorden van een open vraag kan middels een invulveld in de applicatie.
Soms zal de leerling (ook) gebruikmaken van een schrift of de grafische rekenmachine, bijvoorbeeld
voor het plotten van een grafiek of het maken van een meetkundige tekening. In Leren kan de leerling
na het invullen van alle deelopgaven middels de knop ‘Bekijk antwoorden’ onderaan de pagina zijn
eigen antwoord vergelijken met het voorbeeldantwoord. In Verwerken moet een leerling eerst de
antwoorden inleveren. Het is belangrijk dat u als docent leerlingen wegwijs maakt met het beoordelen
van de eigen antwoorden. De antwoorden die de applicatie laat zien gelden als voorbeeldantwoord.
Een anders geformuleerd antwoord betekent niet per definitie een foutief antwoord.
15
Gesloten opgaven (multiple choice): gesloten opgaven worden uitsluitend gebruikt als het antwoord
op de vraag eenduidig is. De computer beoordeelt of de vraag goed of fout is beantwoord. Het juiste
antwoord en de uitwerking zijn door leerlingen te raadplegen na het inleveren van het antwoord. Het
komt regelmatig voor dat er bij een multiple choice opgave gevraagd wordt om een toelichting. In de
applicatie kan deze toelichting, met ingang van schooljaar 2015-2016 nog niet worden ingevuld.
Heeft een multiple choice opgave slechts één goed antwoord dan zijn de buttons rond. Moeten er
meerdere goede antwoorden worden gegeven dan zijn deze vierkant.
16
AlgebraKIT opgaven: voor algebraïsche opgaven in MathPlus wordt AlgebraKIT gebruikt. In Leren
kan een leerling daarbij hints opvragen en bekijken. Elke tussenstap in een berekening wordt
afzonderlijk door het programma nagekeken. AlgebraKIT analyseert of de tussenstap wiskundig
correct is. In Verwerken moeten leerlingen zelf aangeven wanneer de berekening is afgerond. Na het
inleveren beoordeelt de computer of de opgave goed is beantwoord/uitgewerkt. Uitwerkingen van
leerlingen blijven bewaard en kunnen later geraadpleegd worden.
Een AlgebraKIT opgave kunt u herkennen aan de knoppen +1 en het lampje rechts van het invulveld.
Wilt u een tussenstap inleveren, druk dan op enter of op +1. Wilt u een hint opvragen, klik dan op het
lampje.
Algebrakit kent specifieke invoer- en gebruiksregels. Het is belangrijk dat leerlingen deze aanleren;
vergelijk dit met het leren werken met een grafische rekenmachine. Bespreek daarom met uw
leerlingen de uitgebreidere instructie bij AlgebraKIT hierna in deze handleiding en/of de
instructievideo’s op de docentenpagina’s.
17
De toetsenborden van MathPlus
Laptop of desktop: bij het maken van opgaven kunt u gebruikmaken van de speciale toetsen die bij
de opgave worden weergegeven. Onder de meest rechtse knop vindt u meer symbolen.
Naast deze toetsen kunt u gebruikmaken van uw reguliere toetsenbord. Enkele veel gebruikte
sneltoetsen zijn:
deelstreep: “ / ”
macht: “ ^… ”
vermenigvuldigingsteken: “ * ”
Let op: het is belangrijk dat de cursor zich op de juiste plek bevindt als u typt of sneltoetsen gebruikt. U
kunt de cursor verplaatsen met de pijltjes op uw toetsenbord of middels uw muis.
iPad: voor de iPad is een speciaal toetsenbord ontwikkeld. Dit toetsenbord verschijnt automatisch als
u de cursor plaatst op een opgave.
Ontwikkeling van de MathPlus applicatie
De komende tijd zal de applicatie verder ontwikkeld worden. Een aantal onderdelen van de methode
hebben met de ingang van schooljaar 2015-2016 nog geen plek in de applicatie. Daarom kunt u
onderstaande informatie en materialen terugvinden in het docentenmateriaal:
- Contexten met opgaven en uitwerkingen (twee per hoofdstuk)
- Voorbeeld eindtoets (een per hoofdstuk)
- Werkbladen (per hoofdstuk in de onderbouw)
- Leerdoelen (per paragraaf, de leerdoelen vindt u in de docentenhandleiding)
Ook als de methode eenmaal in de praktijk wordt gebruikt, zal de applicatie – in overleg met
gebruikers van MathPlus – worden doorontwikkeld.
Voor de actuele stand van zaken en opmerkingen met betrekking tot specifieke hoofdstukken kunt u
het document MathPlus digitaal raadplegen. U vindt dit document bij het docentenmateriaal.
18
AlgebraKIT
Een deel van de antwoorden die de leerling invoert kan automatisch worden nagekeken. MathPlus
maakt gebruik van AlgebraKIT om automatisch na te kijken. Aan automatisch nakijken zitten
beperkingen. Hier wordt beschreven hoe het automatisch nakijken wordt gedaan. Verder wordt een
aantal beperkingen aangegeven.
Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT
Bij een deel van de opgaven verschijnt het volgende antwoordvak:
Dit antwoordvak is te herkennen aan de +1 aan de rechterkant. Dit antwoordvak is gekoppeld aan
AlgebraKIT.
Invoeren van het antwoord
Bij het invoeren van antwoorden bij automatisch na te kijken vragen
mag geen aanvullende tekst worden opgenomen. AlgebraKIT kijkt
alleen wiskundige uitdrukkingen na.
Klik na elk ingevoerde tussenstap op +1 of druk op enter.
AlgebraKIT kan niet meerdere tussenstappen in een keer nakijken.
Dit betekent dat doorschrijven niet wordt goed gerekend.
Voor de invoer van wiskundige uitdrukkingen zijn verscheidene
knoppen beschikbaar in de bovenregel. Nog meer knoppen worden
zichtbaar wanneer op de rechtse van deze knoppen wordt geklikt.
Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren
Na het invoeren van een eerste stap laat AlgebraKit zien of deze stap goed is. Leerlingen krijgen de
kans zichzelf te verbeteren.
19
Hier zie je een voorbeeld van een opgave
waarop het gewenste antwoord is gegeven en
een voorbeeld van een vraag waarop het
gewenste antwoord nog niet is gegeven.
Wanneer de leerling het gewenste antwoord
heeft gegeven, verschijnt er dus geen nieuw
antwoordvak meer.
Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken
In Verwerken geeft de computer niet aan wanneer een leerling klaar is met de opgave. Ook
tussenstappen worden niet direct nagekeken. Een leerling moet zelf aangeven wanneer hij/zij denkt
klaar te zijn. Zodra er op enter of +1 is geklikt, verschijnt er automatisch een nieuw invoerveld. Met de
knop ‘klaar’ geef je aan dat je eindantwoord gegeven is.
Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen
Vaak is het handig om het vorige antwoord te kunnen wijzigen. Dit kan door het vorige antwoord te
kopiëren naar de antwoordregel. Klik daarvoor op de regel van het vorige antwoord (dus ook op de
kopieerknop aan de rechterkant). Daarna kun je het antwoord wijzigen.
20
Hoe werkt AlgebraKIT?
AlgebraKIT genereert bij een gegeven opgave en een gegeven gewenst antwoord een uitwerking in
stappen. AlgebraKIT is dus GEEN database met uitwerkingen van (geparametriseerde) opgaven.
Bij elk antwoord voert AlgebraKIT twee bewerkingen uit:
- AlgebraKIT controleert of het gegeven antwoord wiskundig gelijk is aan het gewenste
antwoord. Als dat zo is, wordt het antwoord goedgekeurd. En anders niet.
- AlgebraKIT genereert een uitwerking in stappen van het gegeven antwoord naar het gewenste
antwoord en genereert een hint voor de volgende stap.
Dit betekent dat AlgebraKIT niet kijkt of het gegeven antwoord een stap is naar het gewenste
antwoord. Het kan dus zijn dat het antwoord goedgekeurd wordt, terwijl het niet de route is naar het
gewenste antwoord.
De hint die op verzoek wordt gegeven in Leren is wel een mogelijke stap in de richting van het
gewenste antwoord.
Bij het automatisch uitwerken van opgaven worden onder andere de volgende regels gehanteerd:
- Getallen onder wortels worden niet ontbonden, zodat kwadraten eruit (kunnen) worden
gehaald. Dus √8 en niet 2√2.
- Doorschrijven wordt (nog) niet goed gerekend. Dus x(x-1)+x=x^2-x+x = x^2 wordt niet goed
gerekend.
- De wisseleigenschap wordt niet als aparte stap opgenomen (maar toepassing ervan wordt
uiteraard wel goedgekeurd).
21
Deel 2: handleidingen per hoofdstuk
1: Rekenen
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
 het schatten van maten in het dagelijks leven;
 handig rekenen met gehele en positieve getallen;
 vereenvoudigen van breuken;
 het gemiddelde berekenen.
Leerdoelen per paragraaf
Paragraaf 1: Decimale getallen
In deze paragraaf leer je:
 onderscheid maken tussen getallen en cijfers;
 de waarde van cijfers in een getal bepalen;
 getallen op een getallenlijn plaatsen;
 getallen met elkaar vergelijken en hier de juiste symbolen voor gebruiken;
 rekenen met decimale getallen.
Paragraaf 2: Deelbaarheid
In deze paragraaf leer je:
 eigenschappen van getallen – zoals veelvoud, deelbaarheid en priemgetal – herkennen;
 ontbinden in priemfactoren;
 de grootste gemene deler van getallen berekenen;
 het kleinste gemene veelvoud van getallen berekenen.
Paragraaf 3: Breuken optellen en aftrekken
In deze paragraaf leer je:
 de begrippen teller, noemer en breuk gebruiken;
 breuken vereenvoudigen, optellen en aftrekken;
 breuken vergelijken;
 een breuk omzetten in een decimaal getal.
Paragraaf 4: Breuken vermenigvuldigen en delen
In deze paragraaf leer je:
 breuken vermenigvuldigen;
 breuken delen.
Paragraaf 5: Afronden en schatten
In deze paragraaf leer je:
 getallen afronden en/of de orde van grootte ervan aangeven;
 uitkomsten schatten.
Paragraaf 6: Machten
In deze paragraaf leer je:
 de begrippen macht, grondtal en exponent gebruiken;
 rekenregels met machten gebruiken;
 volgorde van bewerkingen gebruiken.
22
Applets
Paragraaf 1, Uitleg 2: De applet geeft een rode punt op de getallenlijn weer. De rode punt kan over de
getallenlijn worden geschoven. Onder de getallenlijn is in twee decimalen nauwkeurig zichtbaar welk
getal de rode punt vertegenwoordigt. Op deze manier wordt inzichtelijk waar decimale getallen op de
getallenlijn liggen en kan onderzocht worden hoe decimale getallen zich tot elkaar verhouden.
Paragraaf 1, Voorbeeld 2: De applet is dezelfde als in Uitleg 2 (zie hierboven). Hier wordt de applet
gebruikt om te bepalen welk van twee getallen groter is.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
De instaptoets moet zonder rekenmachine gemaakt worden.
In de paragrafen wordt uitgelegd hoe opgaven met de hand gemaakt kunnen worden maar ook met de
rekenmachine. Bij een aantal opgaven wordt expliciet gevraagd een rekenmachine te gebruiken, in de
meeste gevallen nadat de opgave handmatig is opgelost. Bij een aantal andere opgaven wordt
expliciet aangegeven dat er geen rekenmachine gebruikt mag worden. Voor de overige opgaven geldt
dat een rekenmachine gebruikt mag worden, maar dat leerlingen gestimuleerd mogen worden zo veel
mogelijk zonder rekenmachine te doen.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Bij het rekenen met decimale getallen kan het voor leerlingen lastig zijn om te werken met decimale
getallen met een verschillend aantal cijfers, zoals 3,13 en 3,2. Attendeer leerlingen op de waarde van
elk cijfer afhankelijk van de plek in het getal. In Uitleg 1 van paragraaf 1 wordt hier aandacht aan
besteed.
In de paragraaf Schatten en afronden is het belangrijk stil te staan bij de praktijk waarbinnen wordt
afgerond. Leerlingen moeten hier wiskundige regels met alledaagse werkelijkheid combineren.
In de paragraaf Machten is het belangrijk aandacht te besteden aan de rekenregels. Deze zullen de
leerlingen ook in volgende hoofdstukken vaak nodig hebben.
Let op: in dit hoofdstuk wordt gebruik gemaakt van het overstrepen van de periode van repeterende
decimale getallen. Leerlingen kennen deze notatie niet maar hoeven hier ook geen aandacht aan te
besteden. Ze kunnen deze getallen behandelen als anderen. MathPlus heeft gekozen om de notatie
wel te gebruiken zodat leerlingen hier alvast aan kunnen wennen.
Differentiatie
In het hoofdstuk Rekenen zijn de leerdoelen voor leerlingen van de havo en het vwo gelijk.
In het hoofdstuk voor vwo-leerlingen is meer ruimte voor extra uitdaging. Hier staan extra excellent
opgaven in en verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau “te behalen”.
Voor havo-leerlingen is een extra uitleg opgenomen over het vermenigvuldigen van breuken.
23
Lesplanner
Een deel van de stof die in dit hoofdstuk behandeld wordt, is herhaling van de basisschool. Echter, in
praktisch alle paragrafen zal dieper op de stof worden ingegaan dan de leerlingen van de basisschool
gewend zijn. Paragraaf 2 (Deelbaarheid) en paragraaf 6 (Machten) bevatten een voor de leerling
nieuw concept. Paragraaf 2 bevat daarbij ook uitgebreide berekeningen, daarom wordt daar 150
minuten voor uitgetrokken. Paragraaf 6 bevat minder opgaven die, als het concept eenmaal duidelijk
is, snel gemaakt kunnen worden. Deze paragraaf kan in 100 minuten behandeld worden.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
1 Decimale getallen
Benodigde tijdsduur (min)
50
2
Deelbaarheid
150
3
Breuken optellen en aftrekken
50
4
Breuken vermenigvuldigen en delen
75
5
Schatten en afronden
50
6
Machten
100
totaal
Essentiële opgaven
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1
Uitleg 3: 1
Voorbeeld 1: 1, 2 en 3
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 2, 3, 4, 5
Uitleg 1: 1
Uitleg 2: 3
Uitleg 3: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 2, 3, 5
Uitleg 1: 2, 3
Uitleg 2: 1
Voorbeeld 1: 3
Voorbeeld 2: 1, 2
Voorbeeld 3: 2
Voorbeeld 4: 1, 2
Verwerken: 2, 3, 4, 6, 7
Uitleg 1: 1
Uitleg 2: 1
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 1, 2, 3, 5, 7
Uitleg 1: 1, 3
Uitleg 2: 2, 4
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 1, 2, 5
Verwerken: 1, 3, 5, 6, 7
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1
Voorbeeld: 1
Verwerken: 1, 2, 4, 6
475
24
2: Figuren
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het kunnen meten van een lijnstuk;
- het kunnen werken met lengtematen in dagelijkse situaties;
- het gebruiken van schaal in een tekening;
- het herkennen van de vlakke figuren: vierkant, driehoek, cirkel en rechthoek.
Leerdoelen per paragraaf
Paragraaf 1: Lijn, lijnstuk, punt
In deze paragraaf leer je:
 onderscheid maken tussen een lijn, een lijnstuk en een punt;
 de ligging van lijnen ten opzichte van elkaar beschrijven met de begrippen: snijdend, snijpunt,
loodrecht en evenwijdig;
 het snijpunt van twee (of meer) lijnen bepalen.
Paragraaf 2: Afstanden
In deze paragraaf leer je:
 wiskundige afstanden correct meten;
 afstanden op kaartjes meten en omrekenen naar de werkelijkheid.
Paragraaf 3: Passer en cirkel
In deze paragraaf leer je:
 diameter en straal van een cirkel bepalen;
 cirkels tekenen met een passer, op basis van de straal of de diameter;
 afstanden bepalen door gebruik te maken van eigenschappen van cirkels.
Paragraaf 4: Vlakke figuren
In deze paragraaf leer je:
 een aantal soorten vlakke figuren herkennen;
 kennismaken met een aantal kenmerken van vlakke figuren;
 op papier een driehoek construeren.
Paragraaf 5: Kijklijnen
In deze paragraaf leer je:
 kijklijnen tekenen;
 met behulp van kijklijnen bepalen of je dingen kunt zien;
 met behulp van kijklijnen je positie bepalen.
Paragraaf 6: Coördinaten
In deze paragraaf leer je:
 punten tekenen in een assenstelsel met x-as, y-as en oorsprong;
 hoe je een punt in een assenstelsel kunt aangeven met coördinaten;
 weten wanneer een punt in een assenstelsel een roosterpunt is;
 een veelhoek in een assenstelsel tekenen.
25
Applets
Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet heeft als doel het verschil tussen een punt en een lijn aan de leerling
te verduidelijken. De leerling ziet dat een punt op een lijn kan liggen. Er is een lijn l en een punt A te
zien. Lijn l en punt A kunnen verschoven worden. Zo kan punt A boven, onder of op lijn l gelegd
worden.
Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet maakt inzichtelijk wat het snijpunt van twee lijnen is en hoe het
snijpunt bepaald wordt door de positie van de twee lijnen. De applet geeft twee snijdende lijnen l en m
weer. Op lijn m ligt lijnstuk AB. Snijpunt S geeft het snijpunt van lijn l en m weer. De punten A en B
evenals lijn l kunnen verschoven worden.
Paragraaf 2, Uitleg: De applet bestaat uit lijn l, punt C, en punt S op lijn l. Lijnstuk CS is te zien met de
bijbehorende afstand tussen beide punten. Een gestippelde loodlijn door punt C op lijn l geeft de
kortste afstand van punt C tot lijn l weer. In de applet kan lijn l van boven naar beneden verschoven
worden, punten C en S kunnen vrij verschoven worden. Met behulp van de applet kan de leerling
onderzoeken dat de afstand van punt C tot lijn l het kortst is als gemeten wordt via de gestippelde
loodlijn. Op het moment dat punt S over lijn l verplaatst wordt, ziet de leerling de afstand steeds groter
worden naarmate verder van de loodlijn afgegaan wordt.
Paragraaf 2, Uitleg, opgave 1: De opgave bevat een applet waarin een lijnstuk AB te zien is. De
afstand tussen A en B is gegeven. Door punt A of punt B te verplaatsen kan met de afstand
gevarieerd worden. In de opgave wordt gevraagd om punt A en punt B 3 cm uit elkaar te plaatsen.
Hierbij wordt duidelijk dat de afstand gemeten wordt door het rechte lijnstuk tussen de twee punten te
meten.
Paragraaf 2, Voorbeeld 1: In het voorbeeld wordt het meten van de afstand tussen twee evenwijdige
lijnen behandeld. De applet geeft de evenwijdige lijnen l en m weer. Punt A ligt op lijn m, punt B ligt op
lijn l. De lijn door de punten A en B vormt de loodlijn op lijnen l en m. Lijnstuk AB geeft de kortste
afstand tussen beide lijnen weer. Bij lijnstuk AB is de afstand gegeven. In de applet is het mogelijk lijn l
en m te verplaatsen. Ook punt A kan verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat ongeacht de
plek van de loodlijn op l en m, de afstand van de loodlijn tussen de twee snijpunten de afstand tussen
lijn l en m geeft.
Paragraaf 3, Uitleg: De applet gaat over de straal van een cirkel. In de applet staat een cirkel met
middelpunt M . Lijnstuk AB is een middellijn van de cirkel. Bij lijnstuk AM is de afstand gegeven. Punt
A en punt M kunnen verplaatst worden. Op deze manier kan de grootte van de cirkel veranderd
worden. De afstand van de straal wordt hiermee aangepast. Voor leerlingen wordt het inzichtelijk
gemaakt dat de straal van de cirkel afhankelijk is van de grootte van de cirkel. Ook zien ze dat de
straal gemeten wordt van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel.
Paragraaf 4, Uitleg 2, opgave 3: De opgave gaat over vervormen van een vlieger tot andere vlakke
figuren. In de applet staat een vlieger ABCD, waarbij de diagonalen gestippeld zijn weergegeven.
Hoekpunt B, C en D zijn te bewegen. De zijden AB en AD blijven even lang, evenals BC en CD. Met
deze opgave, inclusief applet, wordt inzichtelijk gemaakt dat bij bepaalde specifieke eigenschappen
van de vlieger, de vlieger ook een ruit of een vierkant is, maar bijvoorbeeld geen rechthoek.
Paragraaf 4, herkansingsopgave 7: In deze opgave is een trapezium ABCD gegeven. De leerling moet
onderzoeken in welke andere vierhoeken het trapezium omgevormd kan worden als alle punten
behalve punt A kunnen worden verplaatst. Zijden AB en CD zijn altijd evenwijdig.
Paragraaf 6, Uitleg:
De applet gaat over de coördinaten van een punt in een assenstelsel. De leerling ziet een
assenstelsel (met positieve assen), waarin punt A getekend is. Bij punt A staan de coördinaten
geschreven. Punt A is te verplaatsen, waarbij de coördinaten mee veranderen. Op deze manier kan
de leerling snel zien wat er met de coördinaten gebeurt als je een punt opzij, omhoog of omlaag
verplaatst. In opgave 1 kan de leerling met behulp van de applet punt A naar verschillende gegeven
coördinaten verschuiven.
26
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
Het gebruik van een rekenmachine is in dit hoofdstuk toegestaan. Een leerling zal waarschijnlijk maar
weinig van de rekenmachine gebruik hoeven te maken.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Voor leerlingen is dit hoofdstuk een eerste kennismaking met de wiskundige begrippen lijn, lijnstuk,
punt, afstand enzovoort. Bij het gebruik van deze begrippen en de notatie in een specifieke situatie, is
nauwkeurigheid vereist. Het is belangrijk om hier vanaf het start van het schooljaar alert op te zijn
aangezien zorgvuldigheid in de wiskunde vaker zal worden verlangd van leerlingen.
In paragraaf 2 is het belang dat leerlingen de noodzaak zien van het gebruik van een loodlijn om de
wiskundige afstand te bepalen. Verder diept deze paragraaf het begrip wiskundige afstand verder uit
door het contrast met dagelijkse afstanden te schetsen.
In paragraaf 3 wordt de constructie van een loodlijn met passer en liniaal geïntroduceerd. Voorbeeld 1
bevat een stappenplan voor leerlingen om zelf een loodlijn te construeren. Om het wiskundige begrip
cirkel verder toe te lichten is het goed naar de opgedane kennis van de voorgaande paragraaf te
verwijzen. Zo kan een cirkel gedefinieerd worden als punten die zich op gelijke afstand van het
middelpunt bevinden.
In paragraaf 4 maken leerlingen kennis met eigenschappen van vlakke figuren. In veel gevallen zullen
de vlakke figuren al bekend zijn van de basisschool. In Uitleg 2 worden de verschillende
eigenschappen opgesomd. Leerlingen kunnen moeite hebben om met deze eigenschappen te
redeneren. Voor het kunnen beredeneren hebben de leerlingen namelijk parate kennis nodig.
Paragraaf 5 kan een uitdaging vormen voor leerlingen met een beperkt ruimtelijk inzicht. Eventueel
kunnen bepaalde situaties inzichtelijk gemaakt worden door gebruik te maken van tastbare kubussen,
balken en piramides.
In paragraaf 6 wordt het gebruik van coördinaten geïntroduceerd. Mochten leerlingen moeite hebben
met de plaatsbepaling in een assenstelsel dan kan er bijvoorbeeld eerst gekeken worden naar de
manier waarop dit op een schaakbord of een landkaart gebeurt.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Het te behalen niveau is gelijk tussen
beide niveaus.
Voor de havo zijn extra voorbeelden opgenomen waarbij de te leren stof wordt gekoppeld aan een
tastbare en herkenbaardere wereld. In het onderdeel Leren zijn extra opgaven opgenomen waarbij de
leerling de kennis moet reproduceren. Zo krijgen leerlingen de kans te toetsen of ze de Uitleg en
Voorbeelden afdoende begrepen hebben. Daarnaast zijn meer opgaven opgenomen waardoor de
leerling aangeleerd krijgt om bepaalde denkstappen te volgen. Voor het vwo daarentegen, is meer
uitdaging opgenomen in het onderdeel Leren. Leerlingen krijgen de kans zelf te onderzoeken en te
ontdekken.
27
Lesplanner
De paragrafen in dit hoofdstuk hebben niet zo veel opgaven. Sommige opgaven vergen wat tijd door
de tekeningen die gemaakt moeten worden. Voor alle paragrafen wordt geadviseerd 75 minuten uit te
trekken. Dan is er ook ruimte om aandacht te besteden aan de wiskundige notatie.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
1
Lijn, lijnstuk, punt
Benodigde
tijdsduur (min)
75
2
Afstanden
75
3
Passer en cirkel
75
4
Vlakke figuren
75
5
Kijklijnen
75
6
Coördinaten
75
Totaal
Essentiële opgaven
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 4, 5, 6
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1, 2
Verwerken: 4, 5, 6
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1, 3
Voorbeeld: 1
Verwerken: 4, 5, 6
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1, 3
Verwerken: 1, 2, 3, 4
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 2, 3, 4, 5,
6
Equivalente opgaven in het
boek
1.1, 1.2
1.3, 1,4
1.5
1.8, 1.9, 1.10
2.1, 2.2
2.3 (Vb1.2 niet in boek)
2.4
(Vw4 niet in boek) 2.7, 2.8
3.1, 3.2
(Vb1.1 niet in boek)
3.3 (Vb 2.2 niet in boek)
3.7, 3.8 (Vw6 niet in boek)
N.B: 3.6 + 3.8 toevoegen
4.1, 4.2
4.3 (U2.3 niet in boek)
4.4
4.9, 4.10, 4.11
450
28
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
VG 1
2. Figuren
2.1 Lijn, lijnstuk, punt
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
U.2.3 niet in boek
V1.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
VG 1
2. Figuren
2.2 Afstanden
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb2.1
Vw1
Vw2
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
Vw9
Vb1.2 niet in boek
Vw3 + Vw4 niet in boek
29
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
VG 1
2. Figuren
2.3 Passer en cirkel
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3 niet in boek
Vb2.1
Vb1.1 + Vb1.2 + Vb2.2 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6 niet in boek
Vw7
Vw8
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
VG 1
2. Figuren
2.4 Vlakke figuren
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2 + U2.3 niet in boek
Vb1.1
Vb1.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
30
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
VG 1
2. Figuren
2.5 Kijklijnen
= in applicatie
U1.1
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
VG 1
2. Figuren
2.6 Coördinaten
= in applicatie
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vb2.2 niet in boek
U1.1 + U1.3 niet in boek
Vw1 niet in boek
31
3: Ruimtelijke figuren
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het kunnen herkennen van een aantal soorten vlakke figuren.
- het kunnen toepassen van een aantal kenmerken van vlakke figuren.
- het kunnen beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar met de begrippen: snijdend,
snijpunt, loodrecht en evenwijdig.
- gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels.
- wiskundige afstanden correct meten.
Leerdoelen per paragraaf
Paragraaf 1: Ruimtelijke figuren
In deze paragraaf leer je:
 ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;
 ervaringen opdoen met de grensvlakken van ruimtelijke figuren.
Paragraaf 2: Grensvlakken en ribben
In deze paragraaf leer je:
 hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;
 het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren berekenen.
Paragraaf 3: Uitslagen
In deze paragraaf leer je:
 uitslagen van ruimtelijke figuren herkennen en/of beoordelen op juistheid;
 correcte uitslagen van ruimtelijke figuren maken;
 ruimtelijke figuren bouwen met behulp van bouwplaten.
Paragraaf 4: Aanzichten
In deze paragraaf leer je:
 aanzichten van een figuur tekenen;
 vanuit gegeven aanzichten een figuur herkennen en andersom;
 de ribbe van een ruimtelijke figuur opmeten in een daarvoor geschikt aanzicht;
 vanuit een drie-aanzicht van een figuur een uitslag tekenen en andersom.
Paragraaf 5: Ruimtelijk tekenen
In deze paragraaf leer je:
 ruimtelijke figuren op roosterpapier tekenen;
 informatie over ruimtelijke figuren aflezen uit een tekening op roosterpapier.
Paragraaf 6: Diagonaalvlakken
In deze paragraaf leer je:
 (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken in ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;
 (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken op ware grootte tekenen.
32
Applets
Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
Het gebruik van een rekenmachine is in dit hoofdstuk toegestaan. Het grootste deel van de opgaven
kan zonder rekenmachine gemaakt worden.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Bij dit hoofdstuk is het belangrijk om aandacht te besteden aan de letternotatie van de ruimtelijke
figuren. Het is voor de vervolghoofdstukken belangrijk dat leerlingen weten hoe de volgorde van de
letters genoteerd wordt. Van leerlingen vergt dit een zorgvuldigheid die in sommige gevallen
gestimuleerd moet worden.
Verder kan dit hoofdstuk lastig zijn voor leerlingen die moeite hebben met ruimtelijk inzicht. Zij kunnen
moeite hebben zich ruimtelijke figuren voor te stellen waardoor eigenschappen van deze figuren
moeilijk te bevatten zijn. Dit kan onder andere problemen veroorzaken bij het tekenen van ruimtelijke
figuren, aanzichten en uitslagen. Ook het beoordelen van uitslagen kan voor hen lastig zijn. Het is
belangrijk deze leerlingen veel oefening te bieden als ze vastlopen.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn gelijk. Dit betekent dat ook het basisniveau van beide stromingen
hetzelfde is.
Voor de havo zijn meer opgaven opgenomen waarbij leerlingen de stof moeten reproduceren.
In de paragraaf Aanzichten is er voor havoleerlingen een extra voorbeeld opgenomen waarin
uitgebreid wordt ingegaan op het bepalen van een situatie naar aanleiding van verschillende
aanzichten die de leerlingen met elkaar moeten combineren om tot het goede antwoord te komen.
Voor het vwo ontbreekt dit voorbeeld en kunnen leerlingen zelf puzzelen om tot het goede antwoord te
komen. Zoals u weet kunnen leerlingen, indien dit niet in een keer lukt, altijd een herkansing doen
door middel van de herkansingsopgave in Verwerken.
33
Lesplanner
Paragraaf 1 bevat vooral korte opgaven en kan daarom in 50 minuten gemaakt worden. De tweede
paragraaf bevat iets complexere opgaven waarbij ook wat gerekend moet worden. Hier wordt 75
minuten voor geadviseerd. Paragraaf 3, 4 en 5 bevatten veel tekenwerk. Dit is nogal tijdrovend.
Geadviseerd wordt hier 75 minuten aan te besteden; de leerlingen zullen langere tijd aan huiswerk
moeten besteden. Paragraaf 6 is verreweg de lastigste paragraaf van het hoofdstuk. Ook hierbij moet
veel getekend worden. Daarom wordt geadviseerd daar 100 minuten voor uit te trekken.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel de meest essentiële opgaven vermeld.
Paragraaf
Essentiële opgaven in
applicatie
Uitleg 1: 1, 2, 4
Uitleg 2: 1
Uitleg 3: 1
Voorbeeld 1: 1, 3
Verwerken: 3, 4
1
Ruimtelijke figuren
Benodigde
tijdsduur (min)
50
2
Grensvlakken en ribben
75
Uitleg 1: 1, 2, 3
Voorbeeld 1: 2, 3
Verwerken: 3, 5, 6
3
Uitslagen
75
4
Aanzichten
75
5
Ruimtelijk tekenen
75
6
Diagonaalvlakken
100
Uitleg 1: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 2, 3
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg 1: 1
Uitleg 2: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Verwerken: 3, 4, 6
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1, 2
Verwerken: 3, 5, 6
Uitleg: 1, 2, 3
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1, 4
Verwerken: 3, 4, 5
Totaal
Equivalente opgaven in
het boek
1.1, 1.2 (U1.2 niet in
boek)
1.3
1.4
1.6, 1.7
1.10, 1.11
2.1, 2.2 (U1.3 niet in
boek)
2.4, 2.5
2.8, 2.10, 2.11
3.1
3.3, 3.4
3.5, 3.6
3.9, 3.10, 3.11
4.1
4.2
4.4, 4.5
4.9, 4.10, 4.12
5.1, 5.2
5.3
5.5, 5.6
5.8, 5.9,5.10
6.2, 6.3
6.4, 6.5
6.6, 6.8
6.11, 6.12, 6.13
450
34
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.1 Ruimtelijke figuren
= in applicatie
U1.1
U1.2 + U1.3 niet boek
U1.4
U2.1
U2.2 niet in boek
U3.1
U3.2
V1.1
V1.2 niet in boek
V1.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.2 Grensvlakken, ribben en hoekpunten
= in applicatie
U1.1
U1.3 niet in boek
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Niet in applicatie
Vw7
35
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.3 Uitslagen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vb2.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Niet in applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.4 Aanzichten
= in applicatie
U1.1
U2.1
U2.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Niet in applicatie
Vw7
36
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.5 Ruimtelijke figuren tekenen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb2.3 niet in boek
Vw1
Vw2 niet in boek
Vw3
Vw4 niet in boek
Vw5
Vw6
Niet in applicatie
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
VG 1
3. Ruimtelijke figuren
3.6 Diagonaalvlakken
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2 niet in boek
Vb2.3
Vb2.4
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6 niet in boek
Vw7
37
4: Verhoudingen
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het rekenen met decimale getallen;
- het berekenen van de grootste gemene deler;
- het berekenen van het kleinste gemene veelvoud;
- het berekenen van een gegeven percentage van een getal;
- het rekenen met breuken;
- het omrekenen van lengtematen.
In de instaptoets wordt in opgave 1 ingezoomd op het optellen en vermenigvuldigen van decimale
getallen. Dit wordt behandeld in paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. In opgave 2 wordt het
berekenen van de grootste gemene deler herhaald. In paragraaf 2 van het hoofdstuk Rekenen is dit
eerder behandeld. Opgave 3 van de instaptoets gaat over het berekenen van het kleinste gemene
veelvoud. Ook dit is in paragraaf 2 van het hoofdstuk Rekenen behandeld. In opgave 4 wordt
ingezoomd op het werken met percentages. Dit wordt behandeld in de tweede uitleg van paragraaf 2
van de voorkennis. Als laatste wordt in opgave 5 ingezoomd op het optellen en vermenigvuldigen van
breuken. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk Rekenen.
Indien nodig, kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 2, 3 en 4 van het
hoofdstuk Rekenen en de tweede uitleg van paragraaf 2 van de voorkennis. Voor het werken met
lengtematen kunnen zij paragraaf 4 van de voorkennis doornemen.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Verhoudingstabellen
In deze paragraaf leer je:
 verhoudingen weergeven in een verhoudingstabel;
 een verhoudingstabel onderscheiden van een niet-verhoudingstabel;
 een verhouding bepalen.
Paragraaf 2: Rekenen met verhoudingstabellen
In deze paragraaf leer je:
 verhoudingen vergelijken met behulp van verhoudingstabellen;
 verhoudingstabellen gebruiken om hoeveelheden te berekenen.
Paragraaf 3: Procenten
In deze paragraaf leer je:
 een percentage van een hoeveelheid uitrekenen;
 een percentage schrijven als decimaal getal en omgekeerd.
Paragraaf 4: Procentrekenen
In deze paragraaf leer je:
 breuken omzetten in percentages;
 rekenen met percentages;
 een deel van iets omrekenen in een percentage;
 rekenen met promillages;
 het geheel berekenen als de hoeveelheid behorende bij een percentage bekend is.
Paragraaf 5: Procenten eraf/erbij
In deze paragraaf leer je:
 procentuele toename en procentuele afname berekenen;
 procenten in decimale getallen omzetten en omgekeerd;
 met indexgetallen rekenen.
Paragraaf 6: Schaallijnen
In deze paragraaf leer je:
 schaal(lijnen) gebruiken om afstanden op de kaart en in werkelijkheid om te rekenen;
 de schaal van een kaart bepalen.
38
Applets
Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
De instaptoets van dit hoofdstuk wordt zonder rekenmachine gemaakt.
Verder worden de volgende opgaven in de tabel zonder rekenmachine gemaakt. Bij de overige
opgaven mag wel een rekenmachine gebruikt worden.
Paragraaf
1 Verhoudingstabellen
2 Rekenen met verhoudingstabellen
3
Procenten
4
5
Procentrekenen
Procenten eraf/erbij
6
Schaallijnen
Opgaven zonder rekenmachine
Verwerken: 1, 2
Verwerken: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8
Test jezelf: 1, 2, 3, 4
Uitleg: 1, 2, 3
Voorbeeld 1: 3
Verwerken: 1
Test jezelf: 2
Verwerken: 1, 11
Verkennen: 1, 2
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Het werken met verhoudingen en procenten is voor veel leerlingen moeilijk. Bij het werken met
verhoudingen is het voor de leerling lastig om uit te zoeken welke informatie nu de verhouding
weergeeft. Dit geldt bij opgaven als: “Je moet het poeder met water mengen: meng 2,5 gewichtsdeel
poeder met 1 gewichtsdeel water tot een gladde pasta. Bereken met een verhoudingstabel hoeveel
gram poeder je nodig hebt voor 50 gram pasta.” Nu is het lastig om te weten of je die 2,5 en 1 in de
verhoudingstabel moet zetten of 2,5 en 3,5 en wat moet je dan met die 50 gram? Besteed dus in de
uitleg vooral aandacht aan het omzetten van verhalen in verhoudingen.
Bij het rekenen met procenten geldt eigenlijk hetzelfde. Ook daar is het grootste probleem om te zien
van welk aantal nu welk percentage genomen moet worden. Besteed dus vooral aandacht aan het
vertalen van de som in een berekening.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Alleen voor de havo zijn een paar
‘tussenleerdoelen’ extra opgenomen. Dat zijn leerdoelen die eigenlijk al in de overige leerdoelen
verweven zijn, maar waar in het hoofdstuk voor havoleerlingen apart aandacht aan wordt besteed.
In het vwo-hoofdstuk zijn meer opgaven opgenomen met een extra uitdaging. Dit betekent dat er
verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ zijn dan in het havo-hoofdstuk.
Het hoofdstuk voor de havo bevat een extra voorbeeld in paragraaf 2 en meer opgaven om extra te
oefenen. Ook bevat het havo-hoofdstuk meer ‘geleide’ opgaven. Dit houdt in dat de stof in de opgaven
nog eens stap voor stap doorgenomen wordt. Verder bevatten enkele opgaven een extra deelvraag
om de leerling in de juiste richting te leiden.
39
Lesplanner
De basis van dit hoofdstuk hebben leerlingen al op de basisschool gehad. Hoewel de stof in dit
hoofdstuk dieper gaat dan dat de leerlingen op de basisschool gehad hebben, zitten er weinig echt
nieuwe concepten in, met uitzondering van de indexcijfers in paragraaf 5. Paragraaf 1, 2, 3 en 6 zijn
daarbij ook niet zo lang. Voor deze paragrafen is 75 minuten voldoende. Paragraaf 4 en 5 bevatten
meer opgaven en de berekeningen zijn complexer. Daarom is het advies om daar 100 minuten voor
uit te trekken.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de onderstaande tabel de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
Benodigde
tijdsduur (min)
75
1
Verhoudingstabellen
2
Rekenen met
verhoudingstabellen
75
3
Procenten
75
4
Procentrekenen
100
5
Procenten eraf/erbij
100
6
Schaallijnen
75
Totaal
Essentiële opgaven in
applicatie
Uitleg: 1, 3
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 1, 2
Verwerken: 4, 6
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Verwerken: 3, 4, 6, 7
Uitleg: 1, 2, 3
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 3, 4, 6.
Uitleg: 2, 3
Voorbeeld 1: 1, 2, 3
Voorbeeld 2: 1, 2
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 4, 6, 8.
Uitleg 1: 2, 4
Uitleg 2: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1, 3
Voorbeeld 3: 1, 2, 3
Verwerken: 4, 6, 7, 8
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 5, 6, 7
Equivalente opgaven in
het boek
1.1, 1.2
1.4
1.5, 1.6
1.10, 1.11
2.1
2.3, 2.4
2.8, 2.9, 2.11, 2.12
3.1, 3.2, 3.3
3.4, 3.5
3.7
3.11, 3.12, 3.14
4.2, 4.3
4.5, 4.6, 4.7
4.8, 4.9
4.10
4.15, 4.17, 4.18
5.2, 5.3
5.4
5.6, 5.7
5.8, 5.10
5.11, 5.12, 5.13
5.16, 5.17, 5.18, 5.19
6.1
6.2
6.3
6.7, 6.8, 6.9
500
40
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
VG 1
4. Verhoudingen
4.1 Verhoudingstabellen
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
U1.3
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5 niet in boek
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
VG 1
4. Verhoudingen
4.2 Rekenen met verhoudingstabellen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
41
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
VG 1
4. Verhoudingen
4.3 Procenten
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
VG 1
4. Verhoudingen
4.4 Procentrekenen
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
U1.4
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7 niet in boek
Vw8
Vw9
42
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
VG 1
4. Verhoudingen
4.5 Procenten eraf en erbij
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.4
U1.3 niet in boek
U2.1
U2.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb2.3
Vb3.1
Vb3.2
Vb3.3
Vw1
Vw2 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5 niet in boek
Vw6
Vw7
Vw8
Vw9
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
VG 1
4. Verhoudingen
4.6 Schaallijnen
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
Vb1.1
Vb1.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4 niet in boek
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
43
5: Hoeken
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
 het kunnen beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar met de begrippen: snijdend,
snijpunt, loodrecht en evenwijdig;
 het kunnen herkennen van een aantal soorten vlakke figuren;
 het kunnen toepassen van een aantal kenmerken van vlakke figuren;
 gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels;
 het werken met schaal.
Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op het beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar. In het
bijzonder gaat deze opgave over de begrippen loodrecht en evenwijdig. Dit wordt behandeld in
paragraaf 1 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 2 gaat over het herkennen van een aantal soorten
vlakke figuren. Opgave 3 gaat over de diagonaal in vlakke figuren. Voor opgave 2 en 3 is de
voorkennis terug te vinden in paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 4 gaat over de
eigenschappen van cirkels. De voorkennis van deze opgave wordt behandeld in paragraaf 3 van het
hoofdstuk Figuren.
Indien nodig, kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 3 en 4 van het
hoofdstuk Figuren. In paragraaf 6 van het hoofdstuk Verhoudingen kunnen leerlingen het werken met
schaal bijspijkeren.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Hoeken
In deze paragraaf leer je:
 beschrijven wat bij een hoek het hoekpunt is en wat de benen zijn;
 hoe je een hoek noteert;
 aangeven of een hoek recht, stomp, scherp, gestrekt, overstrekt is of een volle hoek is;
 aangeven of een hoek groter of kleiner is dan een andere hoek.
Paragraaf 2: Hoeken meten
In deze paragraaf leer je:
 hoeken opmeten met de geodriehoek en uitdrukken in graden;
 schatten hoeveel graden een hoek is;
 hoeveel graden een rechte, een gestrekte en een volle hoek zijn;
 tussen welke waarden het aantal graden ligt van een scherpe, een stompe en een overstrekte
hoek.
Paragraaf 3: Hoeken tekenen
In deze paragraaf leer je:
 een hoek tekenen met een geodriehoek als het aantal graden gegeven is;
 meetkundige constructies tekenen met behulp van een geodriehoek.
Paragraaf 4: Deellijn
In deze paragraaf leer je:
 een deellijn of bissectrice tekenen;
 de grootte van een hoek berekenen met behulp van X-, F- en/of Z-hoeken.
Paragraaf 5: Hoeken berekenen
In deze paragraaf leer je:
 de grootte van hoeken te beredeneren, gebruikmakend van de eigenschappen van hoeken.
44
Applets
Paragraaf 2, Voorbeeld 1: Met deze applet is het mogelijk om het meten van hoeken te oefenen. Er is
in de applet een hoek BAC te zien en een geodriehoek. Door punt A, B en/of C te verplaatsen kan de
leerling de hoek in grootte laten variëren. Met behulp van de geodriehoek kan hij dan de hoek meten.
Dit doet hij door met de rode punt de geodriehoek naar de juiste plek te verschuiven en met de blauwe
punt de geodriehoek op de juiste plaats te draaien. Zowel voor het schuiven als het draaien geldt dat
de leerling de linkermuisknop ingedrukt moet houden.
De applet heeft daarbij de mogelijkheid om aan te geven (in twee decimalen nauwkeurig) hoe groot de
hoek is. Hierdoor kan de leerling eerst zelf meten hoe groot de hoek is en vervolgens zijn antwoord
controleren. Op deze manier kan de leerling uitgebreid oefenen, terwijl hij directe feedback krijgt.
Paragraaf 4, Uitleg 2: Deze applet kan gebruikt worden om te visualiseren dat overstaande hoeken
altijd gelijk zijn. In de applet zijn twee snijdende lijnen gegeven. Hierdoor ontstaan er vier hoeken (∠𝐴1 ,
∠𝐴2 , ∠𝐴3 en ∠𝐴4 ). Er is aangegeven hoe groot de hoeken zijn. Door het verplaatsen van de lijnen (op
de rode punt klikken en de linkermuisknop ingedrukt houden) ziet de leerling dat overstaande hoeken
A1 en A3 en overstaande hoeken A2 en A4 altijd gelijk blijven, ongeacht de hoeken die lijnen met elkaar
maken.
Paragraaf 4, Uitleg 3: Deze applet kan gebruikt worden om te visualiseren dat F-hoeken en Z-hoeken
altijd gelijk zijn. In de applet zijn twee evenwijdige lijnen l en m zichtbaar. Lijn k snijdt de lijnen l en m.
Hierdoor ontstaan ∠𝐴1 , ∠𝐴2 , ∠𝐴3 en ∠𝐴4 bij het snijpunt van lijn l met k en ∠𝐵1 , ∠𝐵2 , ∠𝐵3 en ∠𝐵4 bij
het snijpunt van lijn m met k. In de applet zijn de F-hoeken met een rode kleur aangegeven, dat zijn de
hoeken: A1, A3, B1 en B4. De Z-hoeken zijn met een groene kleur aangegeven, dat zijn de hoeken: A2,
A4, B2 en B4. De lijnen kunnen verplaatst worden door op de rode punten A, B en P te klikken. De
leerling ondervindt dat de F- en Z-hoeken gelijk blijven zolang lijn l en m evenwijdig aan elkaar zijn.
Paragraaf 5, Uitleg, opgave 3: Deze opgave gaat over het berekenen van de hoek die de minuten- en
urenwijzer van een klok met elkaar maken. De applet dient als hulpmiddel bij deze opgave. De applet
bestaat uit een klok met in te stellen wijzers. De applet geeft aan welke hoek de wijzers maken. De
leerling wordt ondersteund in het maken van de berekening bij deze opgave.
Paragraaf 5, Voorbeeld 2: Met behulp van deze applet kan inzichtelijk gemaakt worden dat de som
van de hoeken van een driehoek 180° is. In de applet is driehoek ABC zichtbaar. Door punt C is een
stippellijn evenwijdig aan zijde AB getekend. Met kleuren is aangegeven welke hoeken aan elkaar
gelijk zijn (Z-hoeken). Hierdoor ziet de leerling dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is
aan die van een gestrekte hoek, waarvan bekend is dat deze 180° is. Omdat de punten A, B en C
verschoven kunnen worden, wordt inzichtelijk dat met elke willekeurige driehoek hetzelfde bewijs is
toe te passen.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
In dit hoofdstuk mag de rekenmachine gebruikt worden. In de instaptoets en de paragrafen 1 tot en
met 3 zal de leerling deze bijna niet nodig hebben. In paragraaf 4 en 5 kan deze soms goed van pas
komen.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
In paragraaf 4 en 5 van dit hoofdstuk worden voor het eerst langere meetkundige berekeningen
gemaakt. Voor veel leerlingen is dit in eerste instantie lastig. Om dit goed te kunnen doen moeten
leerlingen de kennis die in dit hoofdstuk is opgedaan goed beheersen. Daarnaast moeten zij die
kennis op het juiste moment kunnen toepassen. Dit laatste is vaak het meest lastige voor leerlingen.
Ook is het in dit hoofdstuk van belang dat de leerlingen zorgvuldig werken en duidelijk noteren. Het is
daarom belangrijk om hier vanaf het begin aandacht aan te besteden en de leerlingen hierbij te
begeleiden.
45
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In het havo-hoofdstuk is meer ruimte voor
extra uitleg en een extra voorbeeld. Ook zijn er meer ‘gemakkelijke’ opgaven. In deze opgaven wordt
de stof letterlijk teruggevraagd. Daarnaast zijn er meer ‘geleide’ opgaven. Dit houdt in dat leerlingen
stapsgewijs door de opgave geleid worden. In het vwo-hoofdstuk moeten leerlingen deze stappen zelf
maken. In het vwo-hoofdstuk is meer ruimte voor extra uitdaging. Dit betekent dat er
verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ zijn opgenomen.
Lesplanner
Paragraaf 1 is redelijk eenvoudig en kan in 50 minuten gemaakt worden. Paragraaf 2 en 3 bevatten
complexere sommen. Daarnaast moeten de leerlingen meten en tekenen. Daarom is het advies om
voor deze paragrafen 75 minuten uit te trekken. Paragraaf 4 bevat een aantal opgaven waarin de
leerlingen complexe berekeningen moeten maken. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 100
minuten te reserveren. Paragraaf 5 bevat veel opgaven met complexe en daarom tijdrovende
berekeningen. Daarom wordt voor deze paragraaf een tijdsbesteding van 125 minuten geadviseerd.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Hierbij is
gekozen voor opgaven die ook in het boek staan.
Paragraaf
1
Hoeken
Benodigde
tijdsduur (min)
50
2
Hoeken meten
75
3
Hoeken tekenen
75
4
Deellijn
100
5
Hoeken berekenen
125
Totaal
Essentiële opgaven in de
applicatie
uitleg 1: 1
uitleg 2: 2, 3
voorbeeld 1: 2
verwerken: 4, 5, 6, 7
Uitleg 1: 1, 2
uitleg 2: 1, 2
voorbeeld 1: 2, 3
voorbeeld 2: 2
verwerken: 3, 4, 5
uitleg: 1, 2
voorbeeld 1: 1
voorbeeld 2: 1, 2
verwerken: 3, 6, 7
uitleg 1: 1, 2
uitleg 2: 2
uitleg 3: 1, 3
voorbeeld 1: 1, 2
verwerken: 3, 4, 6
uitleg: 2
voorbeeld 1: 1, 2
voorbeeld 2: 2, 4
verwerken: 3, 4, 5, 6
Equivalente opgaven in
het boek
1.1
1.3, 1.4
1.6
1.10, 1.11, 1.12, 1.13
2.1, 2.2
2.3, 2.4
2.5, 2.6
2.8
2.11, 2.12, 2.13
3.2
3.3
3.4, 3.5
3.7, 3.9, 3.10
4.1, 4.2
4.3
4.4, 4.5
4.6, 4.7
4.10, 4.11, 4.13
5.2
5.3, 5.4
5.5, 5.6
5.8, 5.9, 5.10, 5.11
425
46
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
VG 1
5. Hoeken
5.1 Hoeken
= in applicatie
U1.1
U2.1
U2.2
U2.3
Vb1.1
Vb1.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
VG 1
5. Hoeken
5.2 Hoeken meten
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb1.3
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6 niet in boek
Vw7
U2.4 niet in boek
47
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
VG 1
5. Hoeken
5.3 Hoeken tekenen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2 niet in boek
Vb2.1
Vb2.2
Vw2
Vw1 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5 niet in boek
Vw6
Vw7
Vw8
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
VG 1
5. Hoeken
5.4 Deellijn
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.2
U3.1
U3.3
Vb1.2
Vb1.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
U1.3 niet in boek
U2.1 niet in boek (met applet)
U3.2 niet in boek
48
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
VG 1
5. Hoeken
5.5 Hoeken berekenen
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3 niet in boek (met applet)
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek (met applet)
Vb2.4
Vb2.3 en Vb2.5 niet in boek
Vw2
Vw1 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
49
6: Omtrek, oppervlakte en inhoud
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- wiskundige afstanden correct kunnen meten;
- het rekenen met decimale getallen;
- het werken met schaal;
- het herkennen van een aantal soorten vlakke figuren;
- het kunnen herkennen van een aantal soorten ruimtelijke figuren;
- weten in welke eenheden je afstand, oppervlakte en inhoud uitdrukt;
- weten hoe je de omtrek en oppervlakte van eenvoudige figuren, zoals een rechthoek, berekend.
Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op welke eenheden je gebruikt bij de grootheden lengte en
oppervlakte. Dit is terug te vinden in Uitleg 1 en 2 van paragraaf 4 van de Voorkennis. In opgave 2
wordt gevraagd om snel het aantal hokjes van een vierkant van 10 bij 10 hokjes te berekenen. Dit is
een voorproefje op het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekig figuur. Dit verwijst niet
naar een specifieke paragraaf terug. Opgave 3 gaat over wat er met de inhoud gebeurt als je alle
zijden van een kubusvormige bak twee keer zo groot maakt. Ook dit verwijst niet naar een specifieke
paragraaf van de Voorkennis terug. In opgave 4 van de Instaptoets wordt gekeken naar de definities
van omtrek en oppervlakte in het geval van een rechthoek. Dit wordt ook behandeld in Uitleg 1 en 2
van paragraaf 4. De laatste opgave gaat in op het berekenen van de omtrek en oppervlakte van
rechthoek getekend op een rooster. Dit wordt niet heel specifiek in de Voorkennis behandeld. Voor het
gebruik van een rooster (een vorm van schaal) kunnen leerlingen in paragraaf 6 van het hoofdstuk
Verhoudingen kijken.
Mochten leerlingen problemen hebben met de berekeningen die in dit hoofdstuk nodig zijn, dan
kunnen zij paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen bekijken. Als er problemen zijn met het werken met
schaal, dan kunnen zij paragraaf 6 van het hoofdstuk Verhoudingen bekijken. Heeft een leerling nog
problemen met de afstand van een rechte lijn, dan kan hij teruggaan naar paragraaf 2 van het
hoofdstuk Figuren. Heeft hij problemen met het herkennen van vlakke en/of ruimtelijke figuren, dan
kan hij respectievelijk paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren of paragraaf 1 van het hoofdstuk
Ruimtelijke figuren gebruiken.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Omtrek
In deze paragraaf leer je:
 de omtrek bepalen van figuren door de lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen;
 de lengte van schuine en kromme stukken van een roosterfiguur schatten en benaderen;
 de omtrek van een cirkel berekenen.
Paragraaf 2: Lengtematen
In deze paragraaf leer je:
 lengte uitdrukken in de belangrijkste lengte-eenheden;
 verschillende lengte-eenheden in elkaar omrekenen.
Paragraaf 3: Oppervlakte en oppervlaktematen
In deze paragraaf leer je:
 de oppervlakte van rechthoeken berekenen met behulp van de lengte en breedte en
andersom;
 de oppervlakte berekenen van driehoeken en veelhoeken;
 verschillende oppervlakte-eenheden in elkaar omrekenen.
Paragraaf 4: Inhoud
In deze paragraaf leer je:
 uit grondvlak en hoogte de inhoud berekenen van (halve) kubussen, (halve) balken, prisma’s
en cilinders of andersom.
50
Paragraaf 5: Inhoudsmaten
In deze paragraaf leer je:
 je een voorstelling maken van de belangrijkste inhoudseenheden;
 verschillende inhoudseenheden in elkaar omrekenen, zoals dm 3, m3, l en ml.
 op verschillende manieren de inhoud van ruimtelijke figuren berekenen.
Applets
Paragraaf 1, Voorbeeld 2, opgave 2: Deze opgave gaat over hoe een curvimeter werkt. In de applet is
een cirkel op roosterpapier zichtbaar met middelpunt M en een straal van 1 roosterhokje. Punt P ligt
recht beneden M op de cirkel. Met behulp van de schuifbalk kan M opzij geschoven worden. Als M
verschoven wordt, gaat de cirkel draaien. Punt P laat een spoor achter. Als de leerling schuift totdat
punt P weer helemaal beneden is, ziet hij een kromme, die even groot is als de omtrek van de cirkel.
Deze applet maakt inzichtelijk dat met behulp van de omtrek van een cirkel krommen gemeten kunnen
worden.
Paragraaf 3, Uitleg 1: Met deze applet kunnen leerlingen uitgebreid het berekenen van de oppervlakte
oefenen. In de applet is een zeshoek ABCDEF op roosterpapier zichtbaar. Daarbij is aangegeven wat
de oppervlakte van rechthoek ABCDEF is. Het is mogelijk de punten te verplaatsen. Dit doet de
leerling door met de linkermuisknop op een punt te klikken en de linkermuisknop ingedrukt te houden.
Op deze manier kan een willekeurige zeshoek gemaakt worden. De leerling kan dan zelf uitzoeken
hoe hij de oppervlakte van deze rechthoek kan berekenen. Doordat gegeven is wat de oppervlakte is,
krijgt hij directe feedback op zijn berekening.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
In dit hoofdstuk mag een rekenmachine gebruikt worden.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Bij het werken met omtrek, oppervlakte en inhoud is vooral het omrekenen van de verschillende
eenheden in elkaar lastig voor leerlingen. Vaak wordt er gedeeld in plaats van vermenigvuldigd of
omgekeerd. Dit kan voorkomen worden door de leerling bewust na te laten denken over of het getal
na de omrekening groter of kleiner moet zijn. Daarnaast worden de vermenigvuldigingen/delingen met
100 en 1000 bij respectievelijk oppervlakte en inhoud wel eens vergeten.
Bij opgaven waarin met verschillende eenheden gewerkt wordt, wordt vaak vergeten dat de eenheden
eerst gelijk moeten zijn voor er berekeningen uitgevoerd mogen worden. Het is belangrijk de leerling
hier alert op te maken.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In de havo-versie van het hoofdstuk zijn
extra uitleg en extra voorbeelden opgenomen. Met behulp van deze extra uitleg en voorbeelden wordt
de havoleerling meer door de stof geleid, terwijl de vwo-leerling zelf deze stof in de opgaven uitzoekt.
In paragraaf 2 gaat het extra voorbeeld over het matensysteem in de Verenigde Staten. In paragraaf 3
is er in een extra voorbeeld meer aandacht voor het handig berekenen van de oppervlakte van een
figuur door het verdelen van de figuur in kleinere figuren met bekende oppervlakte. Hierbij komt ook
de formule basis keer hoogte ter sprake. In paragraaf 4 is de uitleg over het berekenen van een
inhoud van een balk en prisma en cilinder gesplitst. Hierdoor wordt de formule voor het berekenen van
de inhoud van het prisma en cilinder meer toegelicht. Paragraaf 5 bevat twee extra voorbeelden. Eén
voorbeeld over verpakkingen en hoe je berekent hoeveel dozen er in een container gaan. Het tweede
voorbeeld gaat uitgebreider in op het gebruik van liters.
Naast de extra uitleg en voorbeelden heeft het havo-hoofdstuk meer oefeningen om de vaardigheden
in te slijpen. In verhouding tot de vwo-versie van het hoofdstuk zijn er vooral ‘gemakkelijke’ opgaven
toegevoegd. Hierdoor is er voor de vwo-leerling verhoudingsgewijs meer uitdaging.
51
Lesplanner
Dit hoofdstuk overlapt gedeeltelijk met de basisschoolstof over omtrek, oppervlakte en inhoud. Het
omrekenen van lengte-eenheden, oppervlakte-eenheden en inhoudseenheden hebben de leerlingen
al gehad. Ook kunnen ze al van eenvoudige figuren omtrek, oppervlakte en inhoud berekenen. Dit
hoofdstuk gaat dieper doordat er moeilijkere (ruimtelijke) figuren gebruikt worden. Daarnaast worden
er niet altijd meer rechte lijnen gebruikt. Ook de verhaaltjessommen bij het omrekenen gaan dieper.
Toch kan dit hoofdstuk redelijk snel doorgewerkt worden. Voor elke paragraaf wordt 75 minuten
geadviseerd. Behalve paragraaf 2, hiervoor is 50 minuten voldoende.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
1
Omtrek
Benodigde
tijdsduur (min)
75
2
Lengtematen
50
3
Oppervlakte en
oppervlaktematen
75
4
Inhoud
75
5
Inhoudsmaten
75
Totaal
Essentiële opgaven in
applicatie
uitleg 1: 1, 4
uitleg 2: 1, 2
voorbeeld 1: 2
voorbeeld 2: 2
verwerken: 3, 4, 5
uitleg 1: 1, 2
uitleg 2: 1, 2
voorbeeld 1: 1, 2
verwerken: 3, 4, 6
uitleg 1: 2
uitleg 2: 2
uitleg 3: 3, 4
voorbeeld 1: 1, 2
voorbeeld 2: 1, 2
verwerken: 3, 4, 5
uitleg: 1, 2
voorbeeld 1: 1
voorbeeld 2: 1, 2
verwerken: 2, 3, 5, 6
uitleg 1: 2
uitleg 2: 2
voorbeeld 1: 1, 2
verwerken: 3, 4, 5, 6
Equivalente opgaven in
het boek
1.1, 1.2
1.3, 1.4
1.5
1.6
1.9, 1.10, 1.11
2.1, 2.2
2.3, 2.4
2.5, 2.6
2.9, 2.10, 2.12
3.2
3.4
3.6, 3.7
3.8, 3.9
3.10, 3.11
3.14, 3.15, 3.16
4.1, 4.2
4.4
4.5, 4.6
4.9, 4.10, 4.11, 4.12
5.2
5.4
5.5, 5.6
5.9, 5.10, 5.11, 5.12
350
52
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
VG 1
6. Omtrek, oppervlakte en inhoud
6.1 Omtrek
= in applicatie
U1.1
U1.2 en U1.3 niet in boek
U1.4
U2.1
U2.2
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
VG 1
6. Omtrek, oppervlakte en inhoud
6.2 Lengtematen
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
Vb1.1
Vb1.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
53
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
VG 1
6. Omtrek, oppervlakte en inhoud
6.3 Oppervlakte
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
U3.1
U3.2 niet in boek
U3.3
U3.4
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
54
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
VG 1
6. Omtrek, oppervlakte en inhoud
6.4 Inhoud
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.2
Vb1.1
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
VG 1
6. Omtrek, oppervlakte en inhoud
6.5 Inhoudsmaten
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3 niet in boek
U2.1
U2.3 niet in boek
U2.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3 en Vb1.4 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
55
7: Negatieve getallen
Instaptoets
De benodigde voorkennis:
- het rekenen met decimale getallen;
- het rekenen met machten;
- de voorrangsregels bij het rekenen toepassen;
- het rekenen met breuken;
- het kunnen werken met coördinaten op positieve assen.
In de instaptoets wordt in opgave 1 ingezoomd op het rekenen met machten. Dit is terug te vinden in
paragraaf 6 van het hoofdstuk Rekenen. Opgave 2 gaat over het rekenen met decimale getallen.
Deze opgave test de kennis uit paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. De instaptoets besteedt in
opgave 3 en 4 aandacht aan het gebruiken van de juiste rekenvolgorde bij het rekenen. In opgave 4
worden hierbij ook machten gebruikt. Deze kennis en vaardigheid is ook in paragraaf 6 van het
hoofdstuk Rekenen behandeld. De laatste, opgave 5, is een voorproefje van het hoofdstuk. In deze
opgave wordt ingezoomd op het gebruik van negatieve getallen in het dagelijks leven van de leerling.
Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 3, 4 en 6 van het
hoofdstuk Rekenen en paragraaf 6 van het hoofdstuk Figuren. In paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk
Rekenen is het rekenen met breuken terug te vinden. Paragraaf 6 van het hoofdstuk Figuren
behandelt het werken met coördinaten op positieve assen.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Wat is negatief?
In deze paragraaf leer je:
 Het verschil tussen positieve en negatieve getallen;
 Het tegengestelde van een getal noemen;
 Negatieve getallen plaatsen op een getallenlijn;
 Punten met negatieve coördinaten plaatsen in een assenstelsel;
 Bij positieve en negatieve getallen aangeven of het ene getal groter of kleiner is dan het
andere.
Paragraaf 2: Negatieve getallen optellen
In deze paragraaf leer je:
 negatieve getallen optellen.
Paragraaf 3: Negatieve getallen aftrekken
In deze paragraaf leer je:
 negatieve getallen aftrekken.
Paragraaf 4: Negatieve getallen vermenigvuldigen
In deze paragraaf leer je:
 negatieve getallen vermenigvuldigen;
 met machten van negatieve getallen rekenen.
Paragraaf 5: Negatieve getallen delen
In deze paragraaf leer je:
 negatieve getallen delen.
56
Applets
Paragraaf 1, Voorbeeld 2: In de applet is een assenstelsel met zowel op de x-as als op de y-as
positieve en negatieve getallen. In het assenstelsel staat een rood punt A met daarbij de coördinaten
van het punt geschreven. Dit punt kan verschoven worden binnen het assenstelsel. Op het moment
dat het punt verschoven wordt, veranderen de bijbehorende coördinaten ook.
In Voorbeeld 2 wordt de leerling gevraagd punt A naar een aantal coördinaten te verschuiven. Het
voordeel van de applet hierbij is dat de leerling directe feedback krijgt en voor zich ziet waar punten
liggen als de coördinaten negatief zijn.
Paragraaf 2, Uitleg: In de applet is een getallenlijn met daarboven drie pijlen te zien. Met behulp van
deze pijlen kunnen sommen van de vorm x + y worden gepresenteerd. De blauwe pijl geeft x weer, de
rode pijl y en start bij het einde van de blauwe pijl. De groene pijl geeft dan de uitkomst van x + y
weer, gezien vanaf 0. Onder de getallenlijn kan de leerling met schuifknoppen de waarde van de
blauwe en rode pijl veranderen, zowel in positieve als negatieve getallen. Op deze manier kan de
leerling dus sommen van de vorm x + y, waarbij x en y zowel positief als negatief mogen zijn, visueel
maken. Door de leerling te laten variëren met de blauwe en rode pijl ontstaat inzicht in wat de
gevolgen zijn van het optellen met negatieve getallen.
Paragraaf 3, Uitleg: De applet laat een getallenlijn met daarboven drie pijlen zien. Met behulp van
deze pijlen kunnen sommen van de vorm x - y worden gepresenteerd. De blauwe pijl geeft x weer, de
rode pijl y. De rode pijl eindigt bij het einde van de blauwe pijl. De groene pijl geeft dan de uitkomst
van x - y weer gezien vanaf 0. Onder de getallenlijn kan de leerling met schuifknoppen de waarde van
de blauwe en rode pijl veranderen, zowel in positieve als negatieve getallen. Op deze manier kan de
leerling dus sommen van de vorm x - y, waarbij x en y zowel positief als negatief mogen zijn, visueel
maken. Door de leerling te laten variëren met de blauwe en rode pijl ontstaat inzicht in wat de
gevolgen zijn van het aftrekken met negatieve getallen.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
De instaptoets wordt in zijn geheel zonder rekenmachine gemaakt. In het hoofdstuk wordt zowel
uitgelegd hoe je de opgaven met rekenmachine als zonder rekenmachine kunt maken. De opgaven in
de onderstaande tabel moeten zonder rekenmachine gemaakt worden. Bij de overige opgaven mag,
en in enkele gevallen moet, een rekenmachine gebruikt worden.
Paragraaf
2 Negatieve getallen optellen
3 Negatieve getallen aftrekken
4 Negatieve getallen vermenigvuldigen
5 Negatieve getallen delen
Opgaven zonder rekenmachine
Uitleg: 1, 2, 3
Verwerken: 1, 2, 3, 6, 10
Uitleg: 1, 2, 4
Voorbeeld 2: 2
Verwerken: 2, 3, 4, 5, 6
Voorbeeld 1: 1, 3
Verwerken: 1, 2, 5
Uitleg: 5
Voorbeeld 1: 1
Verwerken: 1, 3, 4, 5, 6
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Het rekenen met negatieve getallen kan voor leerlingen erg lastig zijn. Het optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen en delen van positieve getallen zit al goed in het systeem, maar als je hetzelfde
doet met een negatief getal wat gebeurt er dan? Voor veel leerlingen is het lastig om te zien dat als je
een negatief getal bij een positief getal optelt, dat dat positieve getal dan kleiner wordt. Hetzelfde geldt
voor aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het is daarom belangrijk om aandacht te besteden aan de
vraag of een getal groter of kleiner wordt als je er een negatief getal bij optelt of van aftrekt. Hetzelfde
geldt voor het vermenigvuldigen of delen door een negatief getal.
57
Zeker bij het rekenen met breuken is die kennis van belang, omdat leerlingen daarbij veel minder een
beeld hebben van hoe groot een breuk is.
Differentiatie
Het hoofdstuk negatieve getallen heeft voor de havo en de vwo-leerlingen dezelfde leerdoelen.
In het havo-hoofdstuk is alleen meer ruimte voor uitleg en voorbeelden. Zo is er in paragraaf 1 een
extra uitleg over of het ene getal groter of kleiner is dan het andere en voor het gebruik van de tekens
voor kleiner dan en groter dan. In paragraaf 2 is een extra voorbeeld opgenomen over het rekenen
met breuken. Ook in paragraaf 3 is een extra voorbeeld opgenomen, in dit geval over het gebruik van
de rekenregels.
Daarnaast bevat het havo-hoofdstuk meer opgaven waarin naar de kern van de stof gevraagd wordt,
zodat er meer herhaling is. Ook zijn er meer oefenopgaven opgenomen, zodat alle vaardigheden goed
ingesleten worden.
Het vwo-hoofdstuk bevat verhoudingsgewijs meer moeilijke opgaven. Zo ligt het percentage opgaven
van het niveau ‘te behalen’ een stuk hoger dan bij de havo.
Lesplanner
Paragraaf 1 besteedt aandacht aan het concept negatieve getallen. Dit concept is nieuw voor de
leerling en verdient daarom de nodige aandacht. Maar de opgaven in deze paragraaf zijn, op het
tekenen van assenstelsels na, snel te maken. Daarom wordt geadviseerd om voor deze paragraaf 75
minuten uit te trekken. Paragraaf 2, 3 en 4 bevatten veel rekenopgaven, waarbij de opgaven ook
oplopen in moeilijkheidsgraad. Daarom wordt voor deze paragrafen 100 minuten tijd geadviseerd. De
afsluitende paragraaf 5 behandelt het delen van negatieve getallen aan de hand van het
vermenigvuldigen. Leerlingen kunnen dit snel onder de knie krijgen als zij het vermenigvuldigen onder
de knie hebben. Deze paragraaf bevat verhoudingsgewijs weinig opgaven. Het is daarom mogelijk om
deze paragraaf in 75 minuten te maken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in onderstaande
tabel de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
1
Wat is negatief?
Benodigde
tijdsduur
(min)
75
2
Negatieve getallen optellen
100
3
Negatieve getallen
aftrekken
100
4
Negatieve getallen
vermenigvuldigen
100
5
Negatieve getallen delen
75
Essentiële opgaven in
applicatie
Equivalente opgaven in
het boek
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 2, 3
Verwerken: 4, 5, 7, 8
Uitleg: 1, 3
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 4, 6, 7, 8
Uitleg: 3, 4
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1, 4
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1, 2
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 2, 3, 4
Uitleg: 1, 3, 4
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 2
Verwerken: 3, 4, 6
1.1, 1.2
1.4
1.5, 1.6
1.9, 1.10, 1.11, 1.12
2.2
2.4
2.5
2.7
2.10, 2.11, 2.12, 2.13
3.2, 3.3
3.4
3.6
3.10, 3.11, 3.12
4.1, 4.3
4.4
4.7, 4.8
4.10
4.12, 4.13, 4.14
5.1, 5.2, 5.3
5.5
5.6
5.9, 5.10, 5.12
58
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
VG 1
7. Negatieve getallen
7.1 Wat is negatief?
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
Vb1.1
Vb2.2
Vb 2.1 niet in boek (opgave bij applet)
Vb2.3
Vw1
Vw2 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6 niet in boek
Vw7
Vw8
Vw9
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
VG 1
7. Negatieve getallen
7.2 Negatieve getallen optellen
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
U1.3
U1.4
Vb1.1
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vw1
Vw2
Vw3 niet in boek
Vw4
Vw5 niet in boek
Vw6
Vw7
Vw8
Vw9
Vw10
59
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
VG 1
7. Negatieve getallen
7.3 Negatieve getallen aftrekken
= in applicatie
U1.1
U1.3
U1.2 niet in boek
U1.4
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
VG 1
7. Negatieve getallen
7.4 Negatieve getallen vermenigvuldigen
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
U1.3
U1.4
Vb1.1
Vb1.3
Vb1.2 niet in boek
Vb1.4
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Niet in applicatie
Vw5
60
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
VG 1
7. Negatieve getallen
7.5 Negatieve getallen delen
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
U1.3
U1.4
Niet in applicatie
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.2
Vb2.1 en 2.3 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
61
8: Grafieken
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het kunnen rekenen met negatieve en decimale getallen;
- bij positieve en negatieve getallen aangeven of het ene getal groter of kleiner is dan het andere;
- punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel kunnen plaatsen;
- lengte, oppervlakte en inhoud kunnen uitdrukken in de belangrijkste eenheden;
- het kunnen aflezen van een tabel
- het kunnen aflezen van een eenvoudige grafiek.
Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op welke eenheden bij bepaalde oppervlakte- en
inhoudsgrootheden horen. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 en 5 van het hoofdstuk Omtrek,
oppervlakte en inhoud. In opgave 2 wordt ingezoomd op het rekenen met negatieve getallen, in het
bijzonder optellen, vermenigvuldigen en delen. Deze kennis is te vinden in paragraaf 2, 4 en 5 van het
vorige hoofdstuk 7, Negatieve getallen. Opgave 3 gaat over het vergelijken van getallen in een tabel.
In deze opgave wordt zowel de voorkennis van het aflezen van een tabel als het ordenen van
positieve getallen getest. Het vergelijken van positieve getallen wordt behandeld in paragraaf 1 van
het hoofdstuk 1 Rekenen. In plaats daarvan kan ook gebruik gemaakt worden van paragraaf 1 van het
hoofdstuk 7 Negatieve getallen. Opgave 4 gaat in op het aflezen van een grafiek. Hierbij worden
eenvoudige waarden genomen. Voor het herhalen van aflezen van positieve coördinaten is paragraaf
6 van hoofdstuk 2 Figuren geschikt. Opgave 5 zoomt in op het aflezen van positieve en negatieve
coördinaten in een assenstelsel. Dit is terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk 7 Negatieve
getallen.
Indien nodig kunnen leerlingen hun voorkennis bijspijkeren in paragraaf 1, 2, 3, 4 en 5 van het
hoofdstuk Negatieve getallen en in paragraaf 2, 3 en 5 van het hoofdstuk Omtrek, oppervlakte en
inhoud.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Verloop van een grafiek
In deze paragraaf leer je:
 de grootheden op de assen van een grafiek benoemen;
 het verloop van een grafiek beschrijven met de woorden stijgen, dalen en constant;
 een grafiek interpreteren binnen een context;
 het verloop van een verband in een grafiek tekenen.
Paragraaf 2: Grafieken aflezen
In deze paragraaf leer je:
 grootheden en eenheden onderscheiden;
 waarden van de y-as aflezen;
 waarden van de x-as aflezen;
 waarden aflezen in een grafiek met een scheurlijn.
Paragraaf 3: Grafieken tekenen
In deze paragraaf leer je:
 een grafiek tekenen bij een tabel;
 een scheurlijn gebruiken als dat nodig is;
 coördinaten aflezen uit een grafiek aflezen.
Paragraaf 4: Som/verschilgrafiek
In deze paragraaf leer je:
 wat een somgrafiek is en hoe je een somgrafiek maakt;
 een somgrafiek interpreteren;
 wat een verschilgrafiek is en hoe je een verschilgrafiek maakt;
 een verschilgrafiek interpreteren.
62
Paragraaf 5: Maximum en minimum
In deze paragraaf leer je:
 het maximum in een grafiek herkennen en aflezen;
 het minimum in een grafiek herkennen en aflezen.
Paragraaf 6: Periodieke grafieken
In deze paragraaf leer je:
 een periodieke grafiek herkennen en interpreteren;
 de periode in een periodieke grafiek aflezen, herkennen of berekenen;
 een periodieke grafiek tekenen aan de hand van gegevens over één periode.
Applets
Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
De instaptoets wordt zonder rekenmachine gemaakt. In het hoofdstuk zelf mag een rekenmachine
gebruikt worden.
Excel
Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Bij het onderwerp grafieken is het voor leerlingen lastig om de juiste gegevens bij de juiste as te
zetten. Dit geldt ook voor de interpretatie van de betekenis van een grafiek. Rechtstreekse vragen
over het aflezen van een grafiek lukken vaak wel, maar vragen waarbij een context omgezet moet
worden naar het aflezen van informatie van een grafiek is ingewikkelder. Daarom is het goed om
herhaaldelijk aandacht te besteden aan de vertaalslag van de grafiek naar de werkelijkheid.
Verder kan het tekenen van een periodieke grafiek bij bijvoorbeeld de situatie van een reuzenrad
moeilijk zijn, omdat daar meetkunde gecombineerd wordt met het werken met grafieken. Ook hierbij is
het belangrijk de vertaalslag van een context naar een grafiek aandacht te geven.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In het hoofdstuk is differentiatie
aangebracht door middel van extra opgaven voor de havoleerling. Deze opgaven bevatten meer
sturing, waardoor de stof stapsgewijs geoefend wordt. De denkstappen die de vwo-leerling zelf
ontdekt, worden door de havoleerling meer gestuurd ontdekt. De vwo-leerling wordt meer uitgedaagd
om zelf de denkstappen te maken. De havoleerling krijgt meer oefening om de vaardigheden in te
slijten. In de vwo-versie zijn er verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ dan in
het hoofdstuk voor havo.
63
Lesplanner
Paragraaf 1 is een paragraaf om in te komen en kan in 50 minuten gemaakt worden. Paragraaf 2
bevat wat meer en wat langere opgaven en kan in 75 minuten gemaakt worden. Paragraaf 3 en 4
bevatten veel tekenwerk. Daarom wordt daar 100 minuten voor uitgetrokken. Paragraaf 5 is niet zo
ingewikkeld en bevat voornamelijk afleeswerk. Ook deze paragraaf kan in ongeveer 50 minuten
gemaakt worden. Paragraaf 6 heeft een aantal ingewikkelde opgaven, waarbij veel getekend en
gemeten moet worden. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 75 minuten uit te trekken.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel
aangehouden worden.
In paragraaf 2 bevat de applicatie een extra uitleg + opgaven. Paragraaf 3 en 4 hebben een extra
voorbeeld + opgaven.
Paragraaf
Benodigde
tijdsduur
(min)
50
1
Verloop van een
grafiek
2
Grafieken aflezen
75
3
Grafieken tekenen
100
4
Som/verschilgrafiek
100
5
Maximum en
minimum
50
6
Periodieke
grafieken
75
Essentiële opgaven in
applicatie
Equivalente opgaven in
het boek
Uitleg: 2
Voorbeeld 1: 1
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 2
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 2
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Verwerken: 3, 4
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1
Verwerken: 3, 5, 6
Uitleg: 2
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 1, 2
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1, 2
Verwerken: 3, 4, 5
1.2
1.3
1.6, 1.7, 1.8
2.1, 2.2
2.3
2.4
2.5
2.8, 2.9, 2.10
3.1
3.3
3.7, 3.8
4.1
4.2
4.5, 4.7, 4.8
5.3
5.2
5.3, 5.4
5.7, 5.8, 5.9
6.1
6.2, 6.3
6.4, 6.5
6.8, 6.9, 6.10
64
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
VG 1
8. Grafieken
8.1 Verloop van een grafiek
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
VG 1
8. Grafieken
8.2 Grafieken aflezen
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.2
U2.1 niet in boek
Vb1.2
Vb1.1 en Vb1.2 niet in boek
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vw1
Vw2 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
VG 1
8. Grafieken
8.3 Grafieken tekenen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb1.3, Vb2.1 en Vb2.2 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
65
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
VG 1
8. Grafieken
8.4 Som/verschil grafiek
= in applicatie
U1.1
Vb1.2
Vb1.1, Vb2.1 en Vb2.2 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
VG 1
8. Grafieken
8.5 Maximum en minimum
= in applicatie
U1.2
U1.1 niet in boek
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
VG 1
8. Grafieken
8.6 Periodieke grafieken
= in applicatie
U1.1
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
66
9: Verbanden
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het rekenen met decimale getallen;
- het werken met verhoudingstabellen;
- het rekenen met negatieve getallen;
- het tekenen van een grafiek bij een tabel;
- het beschrijven van een grafiek met de woorden stijgend, dalend en constant;
- het kunnen aflezen van de x- en y-waarde in een grafiek;
- het werken met machten.
De eerste opgave zoomt in op het rekenen met decimale getallen, in het bijzonder optellen en
vermenigvuldigen. Dit is terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. Opgave 2 gaat in
op het werken met verhoudingstabellen. Hiervoor kan paragraaf 1 en/of 2 van het hoofdstuk
Verhoudingen bekeken worden. In opgave 3 wordt gekeken naar het rekenen met negatieve getallen;
optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. De voorkennis hiervan is te vinden in paragraaf 2 (Optellen),
paragraaf 3 (Aftrekken) en paragraaf 4 (Vermenigvuldigen) van het hoofdstuk Negatieve getallen.
Opgave 4 gaat over het tekenen van een grafiek bij een tabel. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 van
het hoofdstuk Grafieken. Als laatste gaat opgave 5 over het beschrijven van een grafiek met de
woorden stijgend, dalend en constant. Hiervoor kan teruggekeken worden naar paragraaf 1 van het
hoofdstuk Grafieken.
Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1 en 6 (Machten) van
het hoofdstuk Rekenen; paragraaf 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk Negatieve getallen; paragraaf 1 en 2
van het hoofdstuk Verhoudingen en paragraaf 1, 2 en 3 van het hoofdstuk Grafieken.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Verbanden
In deze paragraaf leer je:
 afhankelijke en onafhankelijke variabelen onderscheiden;
 een verband in woorden beschrijven;
 een tabel en/of grafiek maken bij een verband in woorden;
 de waarde van de (on)afhankelijke variabele berekenen bij een verband in woorden.
Paragraaf 2: Formules
In deze paragraaf leer je:
 een formule bij een verband opstellen;
 de waarde van de (on)afhankelijke variabele berekenen met behulp van een woordformule.
Paragraaf 3: Werken met formules
In deze paragraaf leer je:
 een grafiek tekenen bij een formule;
 de vorm van een grafiek verklaren;
 de waarde van een afhankelijke variabele berekenen met behulp van een woordformule.
Paragraaf 4: Kort maar krachtig
In deze paragraaf leer je:
 woordformules omzetten in een letterformule (formules verkort noteren);
 de vermenigvuldigingspunt gebruiken;
 bepalen wanneer je de vermenigvuldigingspunt kunt weglaten;
 de waarde van een afhankelijke variabele berekenen met behulp van een letterformule.
67
Paragraaf 5: Vergelijkingen
In deze paragraaf leer je:
 een vergelijking opstellen aan de hand van gegeven informatie;
 een vergelijking oplossen door substitueren of inklemmen.
Applets
Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
De instaptoets wordt zonder rekenmachine gemaakt. In de rest van het hoofdstuk mag een
rekenmachine gebruikt worden.
Excel
Er wordt geen gebruik gemaakt van Excel in dit hoofdstuk.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
In de eerste drie paragrafen kan het lastig zijn voor leerlingen om onderscheid te maken tussen de
afhankelijke en de onafhankelijke variabele. Voor het opstellen van een formule en het werken met
formules is het van essentieel belang dat leerlingen begrijpen wat van wat afhankelijk is en wat dat
betekent voor de formule en de grafiek. Het is belangrijk om hier aandacht aan te besteden.
Daarnaast kan het in deze paragrafen lastig zijn om vanuit een verhaal of een tabel een verband te
ontdekken. Daarom is het belangrijk om de leerlingen uit te leggen hoe ze dat aan moeten pakken.
In paragraaf 4 worden formules korter geschreven en wordt er voor het eerst met lettervariabelen
gewerkt. Voor sommige leerlingen is dit een ingewikkelde stap. In deze paragraaf is het nog steeds zo
dat er een verhaal verbonden is aan de variabele. Er kan dus aandacht besteed worden aan het feit
dat er eigenlijk nog steeds hetzelfde staat als in de eerste paragrafen, alleen dan korter. In het
hoofdstuk Rekenen met variabelen zal er pas echt met variabelen zonder context gewerkt gaan
worden.
Paragraaf 5 gaat over het oplossen van vergelijkingen door middel van inklemmen. Dit is een
procedure die veel tijd en zorgvuldigheid vraagt. Hier kunnen makkelijk slordigheden ontstaan.
Lastiger is het opstellen van de vergelijking zelf. Voor leerlingen is dit een nieuwe stap. Net als in de
paragrafen over het opstellen van een formule moeten ze ook hier informatie uit een verhaal halen.
Het is het belangrijk om hier aandacht aan te besteden.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Het onderscheid is terug te zien in de extra
stapsgewijze opgaven en de extra uitleg in paragraaf 5 in de havo-versie. Dit stuurt havoleerlingen
meer in het maken van de benodigde denkstappen. Van de vwo-leerlingen wordt verwacht dat zij deze
stappen zelf maken. Daarnaast heeft de havo-versie extra oefening, zodat de vaardigheden goed
ingesleten worden.
68
Lesplanner
In paragraaf 1 moeten leerlingen bij veel opgaven een tabel maken en een grafiek tekenen. Dit kost
veel tijd. Daarom wordt er voor deze paragraaf 75 minuten uitgetrokken. Paragraaf 2 is qua concept
(het opstellen van formules) lastig, maar als ze dat eenmaal begrijpen, kunnen de opgaven snel
gemaakt worden. Voor deze paragraaf wordt dan ook 50 minuten geadviseerd. In paragraaf 3 moeten
de leerlingen weer veel tekenen. Daarom is het advies om voor deze paragraaf ook 75 minuten uit te
trekken. Paragraaf 4 kan, als leerlingen het concept eenmaal begrepen hebben, redelijk snel gemaakt
worden. Daarom wordt hier 50 minuten voor geadviseerd. Paragraaf 5 is een tijdrovende paragraaf.
Een vergelijking oplossen door inklemmen is veel werk. Daarom is het advies om voor deze paragraaf
100 minuten te plannen.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel
aangehouden worden.
Paragraaf
1
Verbanden
Benodigde
tijdsduur (min)
75
2
Formules
50
3
Werken met
formules
75
4
Kort maar
krachtig
50
5
Vergelijkingen
100
Essentiële opgaven in
applicatie
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1, 2
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1, 2
Verwerken: 3, 4, 5
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Voorbeeld 3: 1
Verwerken: 4, 5, 6
Uitleg: 1, 2
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 2
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 3 4, 5
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 2, 3, 5
Equivalente opgaven in
het boek
1.1, 1.2
1.3
1.4, 1.5
1.6
1.9, 1.10, 1.11
2.1
2.3
2.4
2.6, 2.7
2.10, 2.11, 2.12
3.1, 3.2
3.3
3.4
3.5
3.9, 3.10, 3.11
4.1, 4.2
4.4
4.6
4.8
4.11, 4.12, 4.13
5.1
5.2
5.4
5.7, 5.8, 5.9
350
69
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
VG 1
9. Verbanden
9.1 Verbanden (applicatie: Verbanden en variabelen)
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb2.1
Vb2.2
Vb2.3 niet in boek
Vb3.1
Vb3.2 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
VG 1
9. Verbanden
9.2 Formules (applicatie: Formules opstellen)
= in applicatie
U1.1
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
70
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
VG 1
9. Verbanden
9.3 Werken met formules (applicatie: Formules en grafieken)
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb2.1
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw3
Vw2 niet in boek
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
VG 1
9. Verbanden
9.4 Kort maar krachtig (applicatie: Letterformules)
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb1.3
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
71
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
VG 1
9. Verbanden
9.5 Vergelijkingen
= in applicatie
U1.1
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
72
10: Symmetrie
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het kunnen benoemen van een aantal vlakke figuren;
- de eigenschappen van vlakke figuren kunnen toepassen;
- een hoek kunnen meten;
- aangeven of een hoek recht is, stomp is, scherp is, gestrekt is, overstrekt is of een volle hoek is.
- een deellijn of bissectrice kunnen tekenen;
- punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel kunnen plaatsen;
- een hoek met een gegeven grootte kunnen tekenen;
- gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels;
- de som van hoeken gebruiken om het aantal graden te berekenen;
- de grootte van een hoek berekenen met behulp van X-, F- en/of Z-hoeken;
- de grootte van hoeken beredeneren gebruikmakend van de eigenschappen van hoeken.
De eerste opgave van de instaptoets gaat in op het herkennen van vlakke figuren. De voorkennis
hiervan is terug te vinden in paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 2 zoomt in op het kunnen
aangeven of een hoek recht is, stomp is, scherp is, gestrekt is of overstrekt is. Dit is terug te vinden in
paragraaf 1 van het hoofdstuk Hoeken. In opgave 3 wordt gekeken naar bissectrices van een hoek.
Dit is behandeld in paragraaf 4 van het hoofdstuk Hoeken. Opgave 4 gaat over het plaatsen van
punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel. Hiervoor kan gekeken worden
naar paragraaf 1 van het hoofdstuk Negatieve getallen. De laatste opgave zoomt in op het meten van
een hoek. Dit is eerder behandeld in paragraaf 2 van het hoofdstuk Hoeken.
Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk
Figuren; paragraaf 1, 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk Hoeken en paragraaf 1 van het hoofdstuk
Negatieve getallen.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Lijnsymmetrie
In deze paragraaf leer je:
 lijnsymmetrie herkennen;
 een symmetrieas tekenen;
 spiegelen in een lijn.
Paragraaf 2: Puntsymmetrie
In deze paragraaf leer je:
 puntsymmetrie herkennen;
 het symmetriecentrum van een figuur aanwijzen;
 met behulp van het symmetriecentrum het puntsymmetrisch beeld van een origineel tekenen.
Paragraaf 3: Draaisymmetrie
In deze paragraaf leer je:
 draaisymmetrie herkennen;
 het draaicentrum van een figuur aanwijzen;
 de kleinste draaihoek in een draaisymmetrische figuur herkennen;
 met behulp van het draaicentrum een draaisymmetrische figuur tekenen.
Paragraaf 4: Driehoeken
In deze paragraaf leer je:
 een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek herkennen;
 hoeken berekenen in een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek;
 een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek construeren.
73
Paragraaf 5: Vierhoeken
In deze paragraaf leer je:
 een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en parallellogram herkennen;
 een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en/of parallellogram construeren;
 hoeken berekenen in een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en/of parallellogram.
Applets
In dit hoofdstuk wordt een heel aantal applets gebruikt. In het volgende overzicht staat waar u deze
applets kunt vinden, wat ermee gedaan kan worden en wat het doel ervan is.
Paragraaf 1, Voorbeeld 2. In de applet is een assenstelsel zichtbaar. Daarin is een punt A(a,b)
getekend en een spiegellijn evenwijdig aan de y-as. Punt A1 is het beeldpunt van punt A bij spiegelen
in de getekende spiegellijn. Met de schuifbalkjes a en b linksboven kan punt A verplaatst worden. Het
schuifbalkje p rechtsboven zorgt voor een verschuiving van de spiegellijn. Als hulpmiddel wordt ook de
verticale lijn op 2p getekend als stippellijn.
Deze applet kan de leerling gebruiken om te onderzoeken welke coördinaten een beeldpunt van
A(a,b) heeft bij een bepaalde spiegellijn evenwijdig aan de y-as. Zonder applet kost dit veel
tekenwerk, maar met de applet kan een leerling snel de beeldpunten van diverse punten zien.
Daarnaast geeft de applet hulp door de verticale lijn 2p als stippellijn te tekenen.
Paragraaf 2, Uitleg 2, opgave 3. In de applet is een parallellogram ABCD zichtbaar met
symmetriecentrum M. Punt A en D zijn te verplaatsen. Hun beeldpunten verplaatsen dan mee. Ook
symmetriecentrum M is te verplaatsen. De applet helpt bij het beantwoorden van de vragen over de
eigenschappen van een parallellogram en maakt zichtbaar dat deze eigenschappen gelden voor elk
parallellogram. Ook de getekende diagonalen helpen om de opgave eenvoudiger te maken.
Paragraaf 2, Voorbeeld 2. De applet geeft een assenstelsel weer met punt A(a,b) en punt C(c,d). A1 is
het beeldpunt van punt A bij spiegelen in punt C(c,d). De schuifbalkjes linksboven zorgen ervoor dat
punt A verplaatst kan worden. Punt C kan ook verplaatst worden. Deze applet kan de leerling helpen
bij het onderzoeken welke coördinaten een beeldpunt van A(a,b) heeft bij spiegelen in punt C.
Paragraaf 3, Voorbeeld 1, opgave 4. In de applet is een regelmatige vijfhoek ABCDE zichtbaar met
middelpunt M. Punt A is te verplaatsen. Dan verplaatsen zijn beeldpunten (de andere punten van de
vijfhoek) mee. Ook punt M kan verplaatst worden. Dan wordt zichtbaar dat alle punten van de vijfhoek
op een cirkel liggen met straal AM. Deze cirkel is gestippeld getekend. De applet helpt om inzichtelijk
te maken dat alle eigenschappen die in deze opgave onderzocht worden voor elke willekeurige
regelmatige vijfhoek gelden.
Paragraaf 3, Voorbeeld 2. De applet laat een assenstelsel zien met punt A(a,b) en punt O(0,0). In de
applet kan aangegeven worden of er een draaiing van 90° of van -90° om de oorsprong moet zijn.
Punt A1 is het beeldpunt van punt A bij draaiing om de oorsprong. Punt A kan met de schuifbalkjes
verplaatst worden. De applet helpt om inzichtelijk te maken welke coördinaten beeldpunten van A
hebben bij draaiing om de oorsprong.
Paragraaf 4, Uitleg 1. In de applet is driehoek ABC te zien. Daarbij is aangegeven hoe lang de zijden
en hoe groot de hoeken zijn. Leerlingen kunnen met de applet de verschillende soorten driehoeken
namaken en opnieuw zien dat de hoeken bij elkaar opgeteld altijd 180° zijn.
Paragraaf 4, Voorbeeld 1. De applet laat een rechthoekige driehoek ABC zien. Hoek A is 90°. De
punten A, B en C kunnen verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat hoek B en hoek C bij
elkaar altijd 90° zijn.
Paragraaf 4, Voorbeeld 2. In de applet is een gelijkbenige driehoek ABC getekend met de
symmetrieas door punt C. Punt A, B en C kunnen verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat
hoek A en hoek B altijd even groot zijn.
Paragraaf 4, Voorbeeld 3. De applet laat een gelijkzijdige driehoek ABC zien met zijn symmetrieassen.
Opnieuw kunnen punt A, B en C verplaatst worden. De leerling ziet dat hoe punt A, B en C ook
verplaatst worden, de hoeken allemaal 60° blijven en dat er drie symmetrieassen blijven.
74
Paragraaf 5, Uitleg. In de applet is een vierhoek ABCD zichtbaar. Daarbij zijn de lengtes van de zijden
en de groottes van de hoeken zichtbaar. Door punt A, B, C en/of D te verplaatsen kunnen bijzondere
vierhoeken gemaakt worden en kunnen leerlingen de eigenschappen van die vierhoeken
onderzoeken.
Paragraaf 5, Voorbeeld 1. De applet laat een rechthoek ABCD zien met zijn diagonalen en het
snijpunt S van deze diagonalen. In de applet wordt duidelijk dat punt A en B vrij te bewegen zijn, punt
C alleen in het verlengde van BC verplaatst wordt en punt D helemaal niet te verplaatsen is. Ook kan
er van de rechthoek een vierkant gemaakt worden.
Paragraaf 5, Voorbeeld 2. In de applet is een vlieger ABCD zichtbaar met zijn diagonalen. Punt A en
punt B zijn vrij te bewegen. Punt C kan alleen over de symmetrieas bewogen worden. Als punt D
bewogen wordt, beweegt punt C mee. Door zo de punten te bewegen ontdekken leerlingen welke
punten vrij te bewegen zijn en waarom de andere dat niet zijn. Op deze manier ontdekken leerlingen
ook de eigenschappen van de diagonalen. De applet kan ook gebruikt worden om van de vlieger een
ruit te maken.
Paragraaf 5, Voorbeeld 3. De applet laat parallellogram ABCD zien met zijn diagonalen en hun
snijpunt S. Daarbij is aangegeven hoe groot de hoeken en hoe lang de zijden zijn. In de applet kunnen
punt A, B en C verplaatst worden. Punt D kan niet verplaatst worden. De applet kan gebruikt worden
om te zien dat de eigenschappen van een parallellogram voor elk parallellogram gelden. Daarnaast
kan onderzocht worden welke andere figuren (ruit, rechthoek, vierkant) gemaakt kunnen worden.
Paragraaf 5, Voorbeeld 4. In de applet is een vierhoek ABCD zichtbaar, waarbij aangegeven is hoe
lang de zijden zijn. In de applet kan de vierhoek veranderd worden zonder dat de lengtes van de
zijden veranderd worden (het kan even lastig zijn om de punten te vinden waarop geklikt moet
worden). Voor de leerling wordt daarmee zichtbaar dat zelfs al weet je alle lengtes van de zijden van
een vierhoek dat je dan nog niet weet hoe de vierhoek eruitziet.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
Er mag in dit hoofdstuk een rekenmachine gebruikt worden.
Excel
Er wordt geen gebruikgemaakt van Excel in dit hoofdstuk.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Vooral het gebruik van symmetrie bij het berekenen van de grootte van hoeken kan voor leerlingen
lastig zijn. Dit onderwerp is een vervolg op paragraaf 4 en 5 van het hoofdstuk Hoeken. Nu worden
echter de eigenschappen van symmetrie gebruikt naast de kennis die in dat hoofdstuk al is geleerd.
Doordat de leerlingen de kennis van het hoofdstuk Hoeken moeten combineren met de kennis van dit
hoofdstuk en het redenatiekwaliteiten vraagt, is dit vaak moeilijk. Het is goed hier aandacht aan te
besteden en indien nodig de stof van het hoofdstuk Hoeken kort te herhalen.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Om deze leerdoelen te behalen zijn in de
havo-versie van het hoofdstuk extra opgaven opgenomen. Een deel van deze extra opgaven zijn
‘geleide’ opgaven, waarin leerlingen stapsgewijs door de stof geleid worden. Voor de vwo-leerling
geldt dat hij die stappen zelf kan nemen. Dat maakt de stof uitdagend genoeg voor de vwo-leerling.
75
Lesplanner
Paragraaf 1, 2 en 3 bevatten veel tekenwerk, maar zijn nog niet erg ingewikkeld. Daarom wordt voor
deze paragrafen 75 minuten geadviseerd. Paragraaf 4 en 5 vragen naast tekenwerk ook
ingewikkelder rekenwerk. Voor deze paragrafen wordt 100 minuten geadviseerd.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel
aangehouden worden.
Paragraaf
1
Lijnsymmetrie
Benodigde
tijdsduur
(min)
75
2
Puntsymmetrie
75
3
Draaisymmetrie
75
4
Driehoeken
100
5
Vierhoeken
100
Essentiële opgaven in
applicatie
Equivalente opgaven in het
boek
Uitleg 1: 1
Uitleg 2: 1, 2
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 3, 4, 5, 6
Uitleg 1: 1, 2
Uitleg 2: 1, 2
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 2
Verwerken: 3, 5, 6
Uitleg 1: 2, 3
Uitleg 2: 1, 2
Voorbeeld 1: 2, 3
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 4, 5, 6, 7
Uitleg 1: 1
Uitleg 2: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 2
Voorbeeld 3: 1
Voorbeeld 4: 1
Verwerken: 3, 4, 5, 6
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1, 2
Voorbeeld 2: 1, 2
Voorbeeld 3: 2
Voorbeeld 4: 1
Verwerken: 3, 5, 6, 7
1.1
1.2, 1.3
1.4
1.5
1.8, 1.9, 1.10, 1.11
2.1, 2.2
2.3, 2.4
2.5
2.6
2.9, 2.11, 2.12
3.2, 3.3
3.4, 3.5
3.6, 3.7
3.8
3.12, 3.13, 3.14, 3.15
4.1
4.3
4.5, 4.6
4.8
4.9
4.10
4.13, 4.14, 4.15, 4.16
5.1
5.3, 5.4
5.5, 5.6
5.7
5.8
5.11, 5.12, 5.13, 5.14
76
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
VG 1
10. Symmetrie
10.1 Lijnsymmetrie
= in applicatie
U1.3
U1.1, U1.2 en U1.4 niet in boek
U2.1
U2.2
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
VG 1
10. Symmetrie
10.2 Puntsymmetrie
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
U2.3 niet in boek
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
77
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
VG 1
10. Symmetrie
10.3 Draaisymmetrie
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
U2.1
U2.2
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb1.3
Vb1.4 niet in boek
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw3
Vw2 niet in boek
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
VG 1
10. Symmetrie
10.4 Driehoeken
= in applicatie
U1.1
U1.2
U2.1
U2.2
U2.3 niet in boek
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vb2.3
Vb3.1
Vb3.2 niet in boek
Vb4.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
78
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
VG 1
10. Symmetrie
10.5 Vierhoeken
= in applicatie
U1.1
U1.3
U1.2 niet in boek
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.2
Vb3.1 niet in boek
Vb4.1
Vw1
Vw2
Vw3
Vw5
Vw4 niet in boek
Vw6
Vw7
Vw8
79
11: Rekenen met variabelen
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- kunnen rekenen met decimale en negatieve getallen;
- afhankelijke en onafhankelijke variabelen onderscheiden;
- een formule bij een verband opstellen;
- woordformules omzetten in letterformules;
- de vermenigvuldigingspunt gebruiken;
- bepalen wanneer je de vermenigvuldigingspunt kunt weglaten;
- de waarde van een afhankelijke variabele berekenen met behulp van een letterformule;
- werken met machten.
Opgave1 van de instaptoets gaat over het weten wat een variabele is. In opgave 2 wordt gekeken
naar het korter schrijven van een woordformule door deze in een letterformule om te zetten en de
vermenigvuldigingspunt weg te laten. Voor beide opgaven kan de leerling terugkijken naar paragraaf 4
van het hoofdstuk Verbanden. Opgave 3 laat leerlingen een formule opstellen bij een verband
gegeven in woorden. Daarbij worden letters gebruikt als variabele. Hiervoor kan teruggekeken worden
naar paragraaf 2 en 4 van het hoofdstuk Verbanden. In opgave 4 wordt de afhankelijke variabele
berekend met behulp van een letterformule. Opgave 5 hoort hierbij, omdat bij deze opgave een grafiek
bij een letterformule getekend moet worden. Ook dit is terug te vinden in paragraaf 4 van het
hoofdstuk Verbanden.
Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 2 en 4 van het
hoofdstuk Verbanden. Als er nog problemen met het rekenen zijn, dan kunnen leerlingen terugkijken
naar paragraaf 1 en 6 van het hoofdstuk Rekenen en paragraaf 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk
Negatieve getallen.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Variabelen optellen en aftrekken
In deze paragraaf leer je:
 formules herleiden door optellen en aftrekken van variabelen.
Paragraaf 2: Variabelen vermenigvuldigen
In deze paragraaf leer je:
 formules herleiden door vermenigvuldigen van variabelen;
 formules herleiden door optellen en aftrekken van producten van variabelen.
Paragraaf 3: Haakjes wegwerken
In deze paragraaf leer je:
 formules herleiden door enkele haakjes weg te werken;
 formules herleiden door dubbele haakjes weg te werken.
Paragraaf 4: Vergelijkingen oplossen
In deze paragraaf leer je:
 vergelijkingen met één variabele oplossen door redenen.
Applets
Paragraaf 1, Voorbeeld 2, opgave 1. De applet ‘Slangen’ is bedoeld om het herleiden van
uitdrukkingen zichtbaar te maken. In de applet staat een assenstelsel met een punt P bij de
oorsprong. Linksboven staan twee schuifbalkjes, waarmee de formule xa+yb veranderd kan worden.
Door aan de schuifbalkjes te schuiven kunnen x en y veranderd worden (de bediening gaat het
zorgvuldigst door op het juiste balkje te klikken en dan de pijltjestoetsen te gebruiken). Op het moment
dat x of y veranderd wordt, gaat punt P lopen. Voor x gaat P naar rechts of naar links, voor y gaat P
naar boven of naar beneden. Op deze manier kan een uitdrukking, die herleid moet worden,
bijvoorbeeld 2a + 4b + 3a – 2b, stap voor stap met de schuifbalkjes gemaakt worden. In de uitdrukking
linksboven staat dan de vereenvoudigde versie en punt P zie je de weg gemaakt hebben van de
uitdrukking. In het assenstelsel ziet de leerling dat de herleide uitdrukking hetzelfde is.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
80
Rekenmachine
De instaptoets wordt zonder rekenmachine gemaakt. De meeste opgaven mogen met een
rekenmachine gemaakt worden. Alleen in paragraaf 2 mogen opgave 1 van Uitleg 3 en opgave 2, 5, 6,
7, 8, 10 en 11 van Verwerken niet met een rekenmachine gemaakt worden.
Excel
Er wordt geen gebruikgemaakt van Excel in dit hoofdstuk.
Misvattingen en veelgemaakte fouten
In dit hoofdstuk wordt de stap gemaakt naar uitdrukkingen/formules zonder verhaal erachter. Deze
stap kan al moeilijk zijn, want wat is dan die a? Hiervoor kan terugverwezen worden naar het
hoofdstuk Verbanden, waarin veel voorbeelden staan van formules bij een situatie.
Ook het herleiden van uitdrukkingen vinden veel leerlingen lastig. Want waarom mag je a wel bij a
optellen, maar niet bij b? En waarom mag je a dan wel met b vermenigvuldigen en mag je ab wel weer
bij ab optellen? Het is hierbij belangrijk de regels goed te herhalen en indien de leerling dat nodig
heeft tastbare voorbeelden te geven van situaties waarin zichtbaar is waarom de regels gelden.
In paragraaf 4 worden vergelijkingen opgelost door middel van terugrekenen. Dit is een
gedachtesprong die voor de leerling lastig kan zijn. Hiervoor kunt u kiezen om vanuit simpele situaties
die de leerling al kent, de stappen steeds moeilijker te maken. Zodra een stap te ingewikkeld wordt,
kunt u weer teruggegaan naar de stappen die de leerling wel begrijpt.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Omdat dit voor veel leerlingen een lastig
onderwerp is, is de havo-versie uitgebreider. Zo bevatten de meeste paragrafen in de havo-versie een
extra voorbeeld. Ook heeft de havo-versie veel extra opgaven, waardoor er kleinere stapjes door de
stof genomen worden. Leerlingen worden hierin dus meer door de stof geleid.
Voor de vwo-leerling geldt dat hij de stappen waarbij de havoleerling extra begeleid wordt, zelf kan
nemen. Daardoor is de vwo-versie ook uitdagend genoeg voor de vwo-leerling.
Lesplanner
Dit hoofdstuk bevat veel opdrachten. Daarom wordt geadviseerd 75 minuten voor paragraaf 1, met de
minste opdrachten, uit te trekken en 100 minuten voor paragraaf 2, 3 en 4.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in onderstaande tabel de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
Benodigde tijdsduur
Essentiële opgaven
Equivalente opgaven in
(min)
het boek
1 Variabelen
75
Uitleg: 2, 3
1.2, 1.3
optellen en
Voorbeeld 1: 1
1.4
aftrekken
Voorbeeld 2: 2
1.6
Voorbeeld 3: 1, 2
1.8, 1.9
Verwerken: 3, 4, 5, 6
1.12, 1.13, 1.14, 1.15
2 Variabelen
100
Uitleg 1: 2
2.1
vermenigvuldigen
Uitleg 2: 3
2.3
Uitleg 3: 3
2.6
Voorbeeld 1: 1
2.7
Voorbeeld 2: 1
2.9
Verwerken: 2, 7, 8, 9, 10
2.10, 2.13, 2.14, 2.15,
2.16
3 Haakjes
100
Uitleg 1: 2, 4
3.1, 3.3
wegwerken
Uitleg 2: 1, 3,
3.4
Voorbeeld 1: 2
3.6
Voorbeeld 2: 2
3.7
Verwerken: 1, 3, 5, 6, 7,
3.8, 3.9, 3.10, 3.11,
9
3.12
4 Vergelijkingen
100
Uitleg: 1, 2
4.1, 4.2
oplossen
Voorbeeld 1: 2
4.4
Voorbeeld 2: 1, 2
4.5, 4.6
Voorbeeld 3: 1, 2
4.7, 4.8
Verwerken: 2, 4, 5, 6, 7
4.9, 4.11, 4.12, 4.13,
4.14
Totaal
375
81
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
VG 1
11. Rekenen met variabelen
11.1 Variabelen optellen en aftrekken
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.2
Vb2.1 niet in boek
Vb2.3
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
VG 1
11. Rekenen met variabelen
11.2 Variabelen vermenigvuldigen
= in applicatie
U1.2
U1.1 niet in boek
U2.2
U2.1 niet in boek
U2.3
U2.4
U3.2
U3.1 niet in boek
U3.3
Vb1.1
Vb1.2 niet in boek
Vb1.3
Vb2.1
Vw2
Vw1 niet in boek
Vw3
Vw4 en Vw5 niet in boek
Vw6
Vw7
Vw8
Vw9
Vw10
82
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
VG 1
11. Rekenen met variabelen
11.3 Haakjes wegwerken
= in applicatie
U1.2
U1.1 niet in boek
U1.3
U1.4
U2.1
U2.2 en U2.3 niet in boek
U2.4
Vb1.2
Vb1.1 en Vb1.3 niet in boek
Vb2.2
Vb2.1
Vw1
Vw2 niet in boek
Vw3
Vw4 niet in boek
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
Vw9
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
VG 1
11. Rekenen met variabelen
11.4 Vergelijkingen oplossen
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw2
Vw1 niet in boek
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Vw7
Vw8
83
12: Diagrammen
Instaptoets
Benodigde voorkennis:
- het kunnen uitrekenen van een percentage bij een verhouding;
- werken met verhoudingen;
- een breuk van een geheel uitrekenen;
- een grafiek kunnen tekenen;
- het gemiddelde berekenen;
- het kunnen tekenen van een hoek;
- het kunnen meten van een hoek;.
- het afronden van een getal.
Opgave 1 van de instaptoets gaat over het berekenen van een percentage bij een verhouding, bij b
moet dat percentage worden afgerond. Dat is terug te vinden in paragraaf 3 van het hoofdstuk
Verhoudingen. Voor het afronden kunnen de leerlingen kijken naar paragraaf 5 van het hoofdstuk
Rekenen. In opgave 2 wordt gevraagd hoeveel graden een bepaald deel van een cirkel is, zoals een
kwart. Hiervoor kan teruggekeken worden naar paragraaf 4 van het hoofdstuk Rekenen. Voor het
omgaan met graden kan gekeken worden naar paragraaf 1van het hoofdstuk Hoeken. Opgave 3
zoomt in op het tekenen van een grafiek bij een verhaal. Voor het tekenen van een grafiek kan de
leerling terugkijken naar paragraaf 3 van het hoofdstuk Grafieken. Opgave 4 en 5 gaan over het
berekenen van het gemiddelde. Dit wordt behandeld in Uitleg 3 van paragraaf 5 van de voorkennis.
Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis bijspijkeren in paragraaf 4 en 5 van het hoofdstuk
Rekenen; paragraaf 2 en 3 van het hoofdstuk Verhoudingen; paragraaf 3 van het hoofdstuk Grafieken;
Uitleg 3 van paragraaf 5 van de voorkennis en paragraaf 1, 2 en 3 van het hoofdstuk Hoeken.
Leerdoelen
Paragraaf 1: Schema’s
In deze paragraaf leer je:
 informatie aflezen uit schema’s, waaronder (gerichte) grafen;
 (gerichte) grafen herkennen;
 (gerichte) grafen tekenen;
 bepalen of (gerichte) grafen gelijk zijn;
 weten in welke gevallen grafen gericht zijn;
 aantal knopen en wegen in een (gerichte) graaf bepalen;
 probleemoplossen met behulp van grafen;
 informatie aflezen uit afstandentabellen;
 afstandentabellen maken;
 probleemoplossen met afstandentabellen.
Paragraaf 2: Gemiddelden
In deze paragraaf leer je:
 het gemiddelde van (een serie) getallen berekenen;
 het gewogen gemiddelde van (een serie) getallen berekenen.
Paragraaf 3: Frequentietabel
In deze paragraaf leer je:
 werken met (frequentie)tabellen om gegevens te vergelijken;
 een frequentietabel maken;
 de relatieve frequentie uitrekenen;
 een relatieve frequentietabel maken;
 het gemiddelde berekenen met behulp van een (relatieve) frequentietabel;
 gegevens aflezen uit een kruistabel (tweedimensionale frequentietabel);
 een kruistabel maken.
84
Paragraaf 4: Beelddiagram en lijndiagram
In deze paragraaf leer je:
 informatie aflezen uit een diagram;
 Een staafdiagram maken;
 Een lijndiagram maken;
Paragraaf 5: Cirkeldiagram en steelbladdiagram
In deze paragraaf leer je:
 informatie aflezen uit een steelbladdiagram;
 informatie aflezen uit een cirkeldiagram;
 gegevens weergeven in een steelbladdiagram;
 gegevens weergeven in een cirkeldiagram;
 de sectorhoek van een cirkeldiagram berekenen;
 modale waarneming bepalen;
 gemiddelde bepalen met behulp van een steelbladdiagram.
Applets
Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk.
Practica
Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk.
Rekenmachine
In dit hoofdstuk mag een rekenmachine gebruikt worden.
Excel
In dit hoofdstuk zijn een aantal opgaven opgenomen waarbij de leerlingen een Excel-bestand nodig
hebben om de opgave te maken. Dat geldt voor de volgende opgaven en bijbehorende bestanden.
Paragraaf 4, Verwerken, opgave 10: Sportprestaties
Paragraaf 5, Uitleg, opgave 2: Cijfers-brugklas
Misvattingen en veelgemaakte fouten
Voor leerlingen vergt dit hoofdstuk een andere manier van denken dan ze tot nu toe hebben gedaan.
In dit hoofdstuk wordt er namelijk van de leerlingen gevraagd grote hoeveelheden gegevens te
analyseren en te vergelijken. Daarvoor moeten zij een strategie kiezen, deze zorgvuldig uitvoeren en
daarna redeneren met de gegevens. Hoewel de leerlingen hier in de opgaven vanzelfsprekend bij
begeleid worden, is het toch goed aandacht te besteden aan deze nieuwe manier van denken.
Daarnaast bevat dit hoofdstuk heel erg veel begrippen en vaardigheden. Daarom is het belangrijk om
op te letten of de leerling gedurende het hoofdstuk deze begrippen en vaardigheden nog kent.
Differentiatie
De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Om deze leerdoelen te behalen zijn in de
havo-versie van het hoofdstuk extra opgaven opgenomen. Daarbij is een deel van deze extra opgaven
een ‘geleide’ opgave, waarin leerlingen stapsgewijs door de stof mee worden genomen. Deze
denkstappen kunnen vwo-leerlingen zelf maken, waardoor dit hoofdstuk voor vwo-leerlingen
uitdagender is.
85
Lesplanner
Voor dit hoofdstuk wordt geadviseerd om voor paragraaf 1 75 minuten, paragraaf 2 50 minuten en
paragraaf 3 tot en met 5 100 minuten uit te trekken.
Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de onderstaande tabel de meest essentiële opgaven.
Paragraaf
1
Schema’s
Benodigde
tijdsduur (min)
75
2
Gemiddelden
50
3
Frequentietabel
100
4
Beelddiagram en
lijndiagram
100
5
Cirkeldiagram en
steelbladdiagram
100
Totaal
Essentiële opgaven
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 1, 3
Voorbeeld 2: 2
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 1, 2, 5, 6
Uitleg: 1,
Voorbeeld 1: 2, 4
Voorbeeld 2: 1
Verwerken: 1, 2, 5, 6
Uitleg: 3
Voorbeeld 1: 1
Voorbeeld 2: 1,
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 1, 2, 3, 4
Uitleg: 1
Voorbeeld 1: 3
Voorbeeld 2: 2
Verwerken: 1, 3, 5
Uitleg: 4
Voorbeeld 1: 2
Voorbeeld 2: 1,
Voorbeeld 3: 2
Verwerken: 1, 3, 4, 5
Equivalente opgaven in
het boek
1.1
1.3, 1.4
1.5
1.7
1.8, 1.9, 1.11, 1.12
2.1
2.3, 2.4
2.5
2.7, 2.8, 2.11, 2.12
3.2
3.3
3.5
3.7
3.8, 3.9, 3.10, 3.11
4.1
4.3
4.5
4.6, 4.8, 4.10
5.3
5.4
5.5
5.9
5.11, 5.13, 5.14, 5.15
425
Opdrachtverwijzing boek > applicatie
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
VG 1
12. Diagrammen
12.1 Schema’s
= in applicatie
U1.1
U1.2
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.2
Vb3.1
Vb3.2
Vw1
Vw2
Vw4
Vw5
Vw6
Vb1.2 niet in boek
Vb2.1 niet in boek
Vb3.3 niet in boek
Vw3 niet in boek
86
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
VG 1
12. Diagrammen
12.2 Gemiddelden
= in applicatie
U1.1
U1.2
U1.3 niet in boek
Vb1.2
Vb1.1 en Vb1.3 niet in boek
Vb1.4
Vb1.5 niet in boek
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
VG 1
12. Diagrammen
12.3 Frequentietabellen
= in applicatie
U1.2
U1.1 niet in boek
U1.3
Vb1.1
Vb1.2
Vb2.1
Vb2.2 niet in boek
Vb2.3
Vb3.2
Vb3.1 en Vb3.3 niet in boek
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
VW5 niet in boek
Vw6
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
VG 1
12. Diagrammen
12.4 Beelddiagram en Lijndiagram
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb1.3
Vb2.1
Vb2.2
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
87
Leerjaar
Hoofdstuk
Paragraaf
Opgave
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
VG 1
12. Diagrammen
12.5 Cirkeldiagram en Steelbladdiagram
= in applicatie
U1.1
U1.2 niet in boek
U1.3
U1.4
Vb1.2
Vb1.1 niet in boek
Vb2.1
Vb2.2
Vb2.3
Vb3.1
Vb3.2
Vb3.3
Vw1
Vw2
Vw3
Vw4
Vw5
Vw6
88
Download