Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet

Examenvragen Wiskundige Analyse I
1ste bach ir wet, tweede examenperiode 2008-2009
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 4kg rekt een veer 8cm uit. Op dit voorwerp werkt een
uitwendige kracht gegeven door 8 sin 2t N. De visceuze middenstof veroorzaakt een dempingskracht die gelijk is aan 20N op het ogenblik dat de snelheid van het voorwerp 4dm per
seconde bedraagt. Het voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met
een opwaarts gerichte snelheid van 2dm per seconde.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp en visualiseer.
(2) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(3) Bepaal de evenwichtstoestand van het systeem (”steady-state”).
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 3kg rekt een veer 9cm uit. Op dit voorwerp werkt een
uitwendige kracht gegeven door 9 sin 2t N. De visceuze middenstof veroorzaakt een dempingskracht die gelijk is aan 30N op het ogenblik dat de snelheid van het voorwerp 3dm per
seconde bedraagt. Het voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met
een neerwaarts gerichte snelheid van 6dm per seconde.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp en visualiseer.
(2) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(3) Bepaal de evenwichtstoestand van het systeem (”steady-state”).
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een kamer van 40 m3 bevat aanvankelijk geen koolmonoxide. Vanaf het tijdstip t = 0 wordt in
de kamer rook geblazen met een gehalte koolmonoxide van 5% aan een debiet van 0,0020 m3 per
minuut. Het homogeen mengsel verlaat de kamer met hetzelfde debiet. Net op het moment dat
de (schadelijke) koolmonoxideconcentratie van 0.00012 wordt bereikt, stopt de rooktoevoer en
begint men zuivere lucht in de kamer te blazen aan het dubbele debiet; ook het uitstroomdebiet
verdubbelt.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de concentratie aan koolmonoxide in de kamer.
(2) Bepaal het tijdstip waarop de schadelijke concentratie van 0.00012 wordt bereikt.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de concentratie in de kamer tot de helft terug te
brengen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de concentratie koolmonoxide in de kamer.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een kamer van 50 m3 bevat aanvankelijk geen koolmonoxide. Vanaf het tijdstip t = 0 wordt
in de kamer rook geblazen met een gehalte koolmonoxide van 8% aan een debiet van 0,00125
m3 per minuut. Het homogeen mengsel verlaat de kamer met hetzelfde debiet. Net op het
moment dat de (schadelijke) koolmonoxideconcentratie van 0.00012 wordt bereikt, stopt de
rooktoevoer en begint men zuivere lucht in de kamer te blazen aan het dubbele debiet; ook het
uitstroomdebiet verdubbelt.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de concentratie aan koolmonoxide in de kamer.
(2) Bepaal het tijdstip waarop de schadelijke concentratie van 0.00012 wordt bereikt.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de concentratie in de kamer tot de helft terug te
brengen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de concentratie koolmonoxide in de kamer.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als f : A −→ R of C en c een ophopingspunt van A is, dan kan f ten hoogste één limiet
in c bezitten.
2. Als de functie f primitiveerbaar is in ]a, b[ dan is f continu in ]a, b[.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
y 00 = −x(y 0 )2 ,
y(2) = −1,
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 2.
y 0 (2) =
1
2
n
4. Als de rij van positieve getallen (an ) naar 0 convergeert, dan convergeert de reeks Σ+∞
n=1 (−1) an .
P
3 5
n
5. De negatieve-machtenreeks ∞
n=1 xn convergeert uniform in [ 2 , 2 ].
6. Zij f en f 0 continue functies in [0, +∞[ en f 00 stuksgewijze continu in elk begrensd interval;
onderstel verder dat f , f 0 en f 00 laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt
er in het beschouwde halfvlak dat
L[f 00 (t)](z) = z 2 L[f (t)](z) − zf (0+) − f 0 (0+)
7. De complexe fouriercoëfficiënten van een reëelwaardige, stuksgewijze gladde, oneven, periodieke functie, ontwikkeld in haar natuurlijke periode, zijn zuiver imaginair.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als f, g : A −→ R of C, c een ophopingspunt van A is en limx→c f (x) = L, limx→c g(x) =
M , dan is limx→c (f (x)g(x)) = LM .
2. Als de functie f 0 stuksgewijs continu is in [a, b], dan is f 0 integreerbaar over [a, b] en er
geldt:
Z b
f 0 (x) dx = f (b) − f (a)
a
3. Het beginvoorwaardenprobleem
y 00 = x(y 0 )2 ,
y(1) = −1,
y 0 (1) = −2
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 1.
< 1, dan zal de reeks
4. Als alle termen van de rij (an ) positief zijn en voldoen aan an+1
an
+∞
Σn=1 an convergeren.
P
xn
1 1
√
5. De positieve-machtenreeks ∞
n=1 n convergeert uniform in [− 2 , 2 ].
6. Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, b[ en in ]b, +∞[, met sprongpunt
in b (b > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; dan
is
L[g 0 (t)](z) = zL[g(t)](z) − g(b+) exp(−bz)
7. De complexe fouriercoëfficiënten van een reëelwaardige, stuksgewijze gladde, even, periodieke functie, ontwikkeld in haar natuurlijke periode, zijn reëelwaardig.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als f : A −→ R of C, c een ophopingspunt van A is en limx→c f (x) = L dan is f begrensd
in de omgeving van c.
2. Als de functie f primitiveerbaar is in ]a, b[ dan is f continu in ]a, b[.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
xy 00 (x) = −y 0 (x)(2 − 3xy 0 (x)), y(1) = 2, y 0 (1) = 1
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 1.
4. Als Z(fn ) = F (z) in |z| > ρef dan geldt in hetzelfde gebied
Z(nfn ) = −z
d
F (z).
dz
5. Zij f en f 0 continue functies in [0, +∞[ en f 00 stuksgewijze continu in elk begrensd interval;
onderstel verder dat f , f 0 en f 00 laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt
er in het beschouwde halfvlak dat
L[f 00 (t)](z) = z 2 L[f (t)](z) − f (0+) − f 0 (0+)
6. Er bestaat een continue, absoluut integreerbare functie f (t), t ∈ R, met fourierbeeld
F (ω) = sin(ω), ω ∈ R.
7. Zij f een stuksgewijze gladde functie in [−π, π], die oneven is, waarvoor de rechte x = π2
een symmetrie-as van de grafiek is en die buiten [−π, π] periodiek wordt voortgezet. Dan
kan f ontwikkeld worden in fourierreeks met enkel termen van de vorm sin((2k + 1)x).
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als f : A −→ R, c is een ophopingspunt van A is, a ≤ f (x) ≤ b voor alle x ∈ A\{c}, en
limx→c f (x) = L, dan is a ≤ L ≤ b.
2. Als f continu is op [a, b] dan is de functie F gedefinieerd door
Z x
F (x) =
f, x ∈ [a, b]
a
afleidbaar in [a, b] en er geldt F 0 (x) = f (x) voor alle x ∈ [a, b].
3. Het beginvoorwaardenprobleem
xy 00 (x) = y 0 (x)(2 − 3xy 0 (x)), y(2) = 1, y 0 (2) = 1
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 2.
4. Als Z(gn ) = G(z) in |z| > ρe waarbij (gn ) = 0, f1 , 21 f2 , ..., n1 fn , ... , dan bezit de rij
(fn ) = (f0 , f1 , f2 , ..., fn , ...) een Z-beeld in hetzelfde gebied, namelijk
d
1
G(z) = − [F (z) − f0 ]
dz
z
5. Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, b[ en in ]b, +∞[, met sprongpunt
in b (b > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; dan
is
L[g 0 (t)](z) = zL[g(t)](z) − [g(b+) − g(b−)] exp(−bz)
6. Er bestaat een continue, absoluut intergreerbare functie f (t), t ∈ R, met fourierbeeld
1
, ω ∈ R.
F (ω) = ω−1
7. Zij f een stuksgewijze gladde functie in [−π, π], die oneven is, waarvoor het punt ( π2 , 0)
een punt van symmetrie van de grafiek is en die buiten [−π, π] periodiek wordt voortgezet. Dan kan f ontwikkeld worden in een fourierreeks waarin enkel termen van de vorm
sin(2kx) optreden.
Vraag 3
Gegeven:
De causale functie f met absolute convergentie-abscis γ.
Gevraagd:
(1) Toon aan dat voor x > γ geldt dat
L(f (t))(z) = F(f (t) exp(−xt))(y)
(2) Toon aan dat, als f fouriertransformeerbaar is met fourierbeeld fb, dan geldt
1 b ω (f (at))b(ω) =
f
, ω ∈ R.
|a|
a
voor alle a ∈ R\{0}.
(3) Gebruik (a) om een fourierorgineel te bepalen van
1
2 + ibω − b2 ω 2
waarbij b ∈ R\{0} willekeurig maar vast is.
Vraag 3
Gegeven:
De causale functie f met absolute convergentie-abscis γ.
Gevraagd:
(1) Toon aan dat voor x > γ geldt dat
L(f (t))(z) = F(f (t) exp(−xt))(y)
(2) Toon aan dat, als f fouriertransformeerbaar is met fourierbeeld fb, dan geldt
1 b ω (f (at))b(ω) =
f
, ω ∈ R.
|a|
a
voor alle a ∈ R\{0}.
(3) Gebruik (a) om een fourierorgineel te bepalen van
1 + ibω
2 + ibω − b2 ω 2
waarbij b ∈ R\{0} willekeurig maar vast is.
Vraag 3
Gegeven:
De reeks
∞
X
(−1)n
n=1
1
(nsin(x) )2
Gevraagd:
(1) Toon aan dat de reeks
∞
X
1
1
1
= 1 + p + ... + p + ...
p
n
2
n
n=1
convergeert voor p > 1 en divergeert voor 0 < p < 1.
(2) Bespreek nu de puntsgewijze convergentie (absoluut, betrekkelijk) van de reeks in de opgave, naargelang x.
Vraag 3
Gegeven:
De reeks
∞
X
n=1
(−1)n
1
2
(ncos(x) )
Gevraagd:
(1) Toon aan dat de reeks
∞
X
1
1
1
=
1
+
+
...
+
+ ...
p
p
p
n
2
n
n=1
convergeert voor p > 1 en divergeert voor 0 < p < 1.
(2) Bespreek nu de puntsgewijze convergentie (absoluut, betrekkelijk) van de reeks in de opgave, naargelang x.