Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet

Examenvragen Wiskundige Analyse I
1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009
Vraag 1
Gegeven:
Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30
kilogram zout is opgelost. Tijdens de eerste fase stroomt zuiver water de tank binnen aan een
debiet van 10 liter per minuut. Het door roeren homogeen mengsel verlaat de tank met een
debiet van 5 liter per minuut. De eerste fase stopt op het moment dat de tank volledig gevuld
is. Tijdens de tweede fase bevat het instromend water zout met een concentratie van 0.5 kg per
liter. Het uitstroomdebiet blijft onveranderd, terwijl het instroomdebiet teruggebracht wordt
op eveneens 5 liter per minuut.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de hoeveelheid zout in de tank.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de hoeveelheid zout die in de tank aanwezig was
na het beeindigen van de eerste fase te verdubbelen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de hoeveelheid zout in de tank.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter zuiver water.
Tijdens de eerste fase stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van 0.5 kg per liter
de tank binnen aan een debiet van 10 liter per minuut. Het door roeren homogeen mengsel
verlaat de tank met een debiet van 5 liter per minuut. De eerste fase stopt op het moment
dat de tank volledig gevuld is. Tijdens de tweede fase is het instromend water zuiver. Het uitstroomdebiet blijft onveranderd, terwijl het instroomdebiet teruggebracht wordt op eveneens 5
liter per minuut.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de hoeveelheid zout in de tank.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de hoeveelheid zout die in de tank aanwezig was
na het beeindigen van de eerste fase met de helft te verminderen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de hoeveelheid zout in de tank.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 5kg rekt een veer uit over 1dm. Dit voorwerp wordt vanuit
zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met een opwaarts gerichte snelheid van 3m/s in een
middenstof die een weerstand uitoefent van 20N op het moment dat het voorwerp een snelheid
bezit van 4dm/s.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp in de onderstelling dat het veersysteem wordt
aangedreven door een externe kracht F = 10 sin(t).
(2) Visualiseer de beweging van de veer.
(3) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(4) Bepaal het eerste tijdstip waarop de snelheid van het voorwerp nul wordt.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 8kg rekt een veer uit over 6cm. Dit voorwerp wordt verder
nog 3dm naar beneden getrokken en in beweging gebracht met een opwaarts gerichte snelheid
van 3dm/s in een middenstof die een weerstand uitoefent van 30N op het moment dat het
voorwerp een snelheid bezit van 6dm/s.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp in de onderstelling dat het veersysteem wordt
aangedreven door een externe kracht F = 8 sin(8t).
(2) Visualiseer de beweging van de veer.
(3) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(4) Bepaal het eerste tijdstip waarop de snelheid van het voorwerp nul wordt.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een kamer van 30 m3 bevat aanvankelijk geen koolmonoxide. Vanaf het tijdstip t = 0 wordt in
de kamer rook geblazen met een gehalte koolmonoxide van 4% aan een debiet van 0,0025 m3 per
minuut. Het homogeen mengsel verlaat de kamer met hetzelfde debiet. Net op het moment dat
de (schadelijke) koolmonoxideconcentratie van 0.00012 wordt bereikt, stopt de rooktoevoer en
begint men zuivere lucht in de kamer te blazen aan het dubbele debiet; ook het uitstroomdebiet
verdubbelt.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de concentratie aan koolmonoxide in de kamer.
(2) Bepaal het tijdstip waarop de schadelijke concentratie van 0.00012 wordt bereikt.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de concentratie in de kamer tot de helft terug te
brengen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de concentratie koolmonoxide in de kamer.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een kamer van 45 m3 bevat aanvankelijk geen koolmonoxide. Vanaf het tijdstip t = 0 wordt in
de kamer rook geblazen met een gehalte koolmonoxide van 5% aan een debiet van 0,002 m3 per
minuut. Het homogeen mengsel verlaat de kamer met hetzelfde debiet. Net op het moment dat
de (schadelijke) koolmonoxideconcentratie van 0.00012 wordt bereikt, stopt de rooktoevoer en
begint men zuivere lucht in de kamer te blazen aan het dubbele debiet; ook het uitstroomdebiet
verdubbelt.
Gevraagd:
(1) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de concentratie aan koolmonoxide in de kamer.
(2) Bepaal het tijdstip waarop de schadelijke concentratie van 0.00012 wordt bereikt.
(2) Hoelang moet de tweede fase duren om de concentratie in de kamer tot een derde terug
te brengen?
(3) Schets de grafiek van het volledige verloop van de concentratie koolmonoxide in de kamer.
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 5kg rekt een veer 10cm uit. Op dit voorwerp werkt een
uitwendige kracht gegeven door 10 sin 2t N. De visceuze middenstof veroorzaakt een dempingskracht die gelijk is aan 2N op het ogenblik dat de snelheid van het voorwerp 4cm per
seconde bedraagt. Het voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met
een opwaarts gerichte snelheid van 3cm per seconde.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp en visualiseer.
(2) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(3) Bepaal de evenwichtstoestand van het systeem (”steady-state”).
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 1
Gegeven:
Een voorwerp met een massa van 6kg rekt een veer 12cm uit. Op dit voorwerp werkt een
uitwendige kracht gegeven door 12 sin 2t N. De visceuze middenstof veroorzaakt een dempingskracht die gelijk is aan 4N op het ogenblik dat de snelheid van het voorwerp 8cm per
seconde bedraagt. Het voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met
een opwaarts gerichte snelheid van 4cm per seconde.
Gevraagd:
(1) Bepaal de beweging van het voorwerp en visualiseer.
(2) Bepaal het eerste tijdstip waarop het voorwerp door zijn evenwichtspositie gaat.
(3) Bepaal de evenwichtstoestand van het systeem (”steady-state”).
Bepaal de oplossingen van de respectieve differentiaalvergelijkingen en/of beginvoorwaardenproblemen met de hand en controleer met Maple.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als limx→x0 |f (x)| = |A| dan is limx→x0 f (x) = A.
2. Als de functie f continu en stijgend is in [a, b], dan is sup{f (x) : x ∈ [a, b]} = f (b).
3. Het beginvoorwaardenprobleem
y 0 = −x −
p
x2 + 4y,
y(0) = 0
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 0.
4. Er bestaat een continue, absoluut integreerbare functie f (t), t ∈ R, met fourierbeeld
F (ω) = sin(ω), ω ∈ R.
n
5. Als de reeks Σ+∞
n=1 (−1) an convergeert, dan zal de rij (an ) naar 0 convergeren.
P
xn
1 1
6. De positieve-machtenreeks ∞
n=1 n convergeert uniform in [− 2 , 2 ].
7. De complexe fouriercoëfficiënten van een reëelwaardige, stuksgewijze gladde, oneven, periodieke functie, ontwikkeld in haar natuurlijke periode, zijn zuiver imaginair.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als limx→x0 f (x) = A dan is limx→x0 |f (x)| = |A|.
2. Als de functie f continu en dalend is in [a, b], dan is inf{f (x) : x ∈ [a, b]} = f (b).
3. Het beginvoorwaardenprobleem
y 0 = −x −
p
x2 + 4y,
y(0) = 1
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 0.
4. Er bestaat een continue, absoluut integreerbare functie f (t), t ∈ R, met fourierbeeld
1
, ω ∈ R.
F (ω) = ω−1
+∞ 2
5. Als de reeks van positieve getallen Σ+∞
n=1 an convergeert, dan zal ook Σn=1 an convergeren.
P
1
3 5
6. De negatieve-machtenreeks ∞
n=1 nxn convergeert uniform in [ 2 , 2 ].
7. De complexe fouriercoëfficiënten van een reëelwaardige, stuksgewijze gladde, even, periodieke functie, ontwikkeld in haar natuurlijke periode, zijn reëelwaardig.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als de functie |f | continu is in ]a, b[, dan is f stuksgewijze continu in ]a, b[.
2. Als de functie f strikt monotoon en afleidbaar is in ]a, b[ en waarden aanneemt in ]α, β[,
dan bestaat de inverse functie in ]α, β[ die er strikt monotoon en afleidbaar is.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
y 00 + xy 0 2 = 0,
y(1) = 0,
y 0 (1) = 2
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 1.
4. Onderstel dat f continu is in ]0, 1] en er een vast positief teken bezit; verder is f (0+) =
+∞. Indien
lim sinα (x)f (x) = K
x→0+
R1
dan zal 0 f convergeren als α < 1 en K ≥ 0, en divergeren als α ≥ 1 en K > 0 of
K = +∞.
5. Als
P vanaf zekerePrang n ≥ N geldt dat 0 ≤ an ≤ bn , dan zal de convergentie van de reeks
bn deze van
an impliceren.
6. Als de numerieke rij (fn ) divergeert, dan is deze rij niet Z-transformeerbaar.
7. Zij f een continue functie in R met periode 2π. Als
f (t) =
∞
X
k=−∞
dan is limk→∞ |fk | = 0.
fk eikt ,
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als de functie f begrensd is in een gepunte omgeving van a (dit is een omgeving van a
waaruit a zelf is weggelaten), dan bestaat de limiet van f in a.
2. Als voor een functie f geldt dat f afleidbaar is in ]a, b[ met f 0 < 0 in ]a, b[, dan bestaat
de inverse functie f −1 en is deze bovendien monotoon dalend en afleidbaar in haar definitiegebied.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
xy 00 = y 0 (2 − 3xy 0 ),
y(1) = 1,
y 0 (1) = 1
bezit een unieke oplossing in een omgeving van x = 1.
4. Zij ε > 0. De functie f (x) = sinε (x) ln(x) is riemannintegreerbaar over ]0, 1[.
5. Gegeven zijn de rijen (an ) en (bn ) van positieve getallen. Als
terzelfdertijd convergent.
an
bn
→ L, dan zijn beide rijen
6. De rij van de oneven natuurlijke getallen is Z-transformeerbaar in het complement van
de gesloten eenheidsschijf in het complexe vlak.
7. Zij f een continue functie in R met periode 2π. Als
f (t) =
∞
X
ak cos(kt) +
∞
X
bk sin(kt),
k=1
k=0
dan is limk→∞ ak = 0 = limk→∞ bk .
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Zij A ⊂ B twee verzamelingen van reële getallen. Dan is inf B ≤ inf A.
Rb
2. Als de functie f primitiveerbaar is in ]a, b[ dan bestaat a f (x) dx.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
x2 y 00 + 2xy 0 + 5y = 0,
y(0+) = 1,
y 0 (0+) = 0
bezit een unieke oplossing in [0, +∞[.
4. De Gamma-functie gedraagt zich in x = 0 als x1 .
5. Als f (t) een reëelwaardige fouriertransformeerbare functie is met beeld F (ω) dan is
F (ω) = F (−ω).
6. Als de causale functie f fouriertransformeerbaar is, dan is ze laplacetransformeerbaar
voor Re(z) > 0.
P
k
7. Als de positieve machtenreeks ∞
k=0 ak x convergeert naar f (x) voor |x| < ρ, dan geldt
(k)
er dat ak = f k!(0) .
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Zij A ⊃ B twee verzamelingen van reële getallen. Dan is sup B ≤ sup A.
2. Als de functie f primitiveerbaar is in ]a, b[ dan is f continu in ]a, b[.
3. Het beginvoorwaardenprobleem
x2 y 00 + 3xy 0 + 2y = 0,
y(0−) = 1,
y 0 (0−) = 0
bezit een unieke oplossing in ] − ∞, 0].
4. De Beta-functie is gedefinieerd voor p ≥ 0 en q ≥ 0.
5. Als f (t) een reëelwaardige, oneven, fouriertransformeerbare functie is met beeld F (ω) dan
is F (ω) = −F (ω).
6. Als een causale functie f (t) laplacetransformeerbaar is in het halfvlak Re(z) > 1 dan is
f fouriertransformeerbaar.
P
f (n) (0) n
x ,
7. Als de functie f onbeperkt continu afleidbaar is in R, dan geldt er dat f (x) = +∞
n=0
n!
∀x ∈ R.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als limx→x0 f (x) = 1 en g is begrensd in een omgeving van x0 , dan bestaat limx→x0 f (x).g(x).
Rb
2. Als de continue functie f groter dan of gelijk aan 0 is op het interval [a, b] en a f (x)dx = 0,
dan is f ≡ 0 op [a, b].
3. De lineaire differentiaalvergelijking L(D)y(x) = sin(x) bezit steeds een particuliere oplossing van de vorm ye(x) = A sin(x) + B cos(x) (A en B constanten).
4. Als f fouriertransformeerbaar is met fourierbeeld fb, dan is voor a ∈ R:
1 b
(f (t) cos at)b(ω) =
f (ω − a) + fb(ω + a) , ω ∈ R.
2
5. Als f (t) laplacetransformeerbaar is met convergentieabscis γ, dan zijn alle functies van
de vorm f (t) exp(−xt) met x > γ fouriertransformeerbaar.
6. De rij (an ) gedefinieerd door a1 ≥ 2 en an+1 = 1 +
√
an − 1 is convergent.
7. Zij f een stuksgewijze gladde functie in [−π, π], die oneven is, waarvoor het punt ( π2 , 0)
een punt van symmetrie van de grafiek is en die buiten [−π, π] periodiek wordt voortgezet. Dan kan f ontwikkeld worden in een fourierreeks waarin enkel termen van de vorm
sin(2kx) optreden.
Vraag 2
Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of
tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.
1. Als f (x) < g(x) voor alle x in een gepunte omgeving van c, dan is limx→c f (x) <
limx→c g(x).
2. Als de integreerbare functie f groter dan of gelijk aan 0 is op het interval [a, b] en
Rb
f (x)dx = 0, dan is f ≡ 0 op [a, b].
a
3. Als z1 een karakteristieke wortel is voor de differentiaalvergelijking ay 00 + by 0 + cy = 0
(a, b, c : constanten), dan bezit deze differentiaalvergelijking in ] − ∞, +∞[ een oplossing
van de vorm exp (z1 x).
4. Als f fouriertransformeerbaar is met fourierbeeld fb, dan is voor a ∈ R\{0}:
(f (at))b(ω) =
1 b ω f
, ω ∈ R.
|a|
a
5. Als f (t) laplacetransformeerbaar is met convergentieabscis γ, dan zijn alle functies van
de vorm f (t) exp(−xt) met |x| > γ fouriertransformeerbaar.
6. De rij (an ) gedefinieerd door an = (1 + n1 )n is convergent.
7. Zij f een stuksgewijze gladde functie in [−π, π], die oneven is, waarvoor de rechte x = π2
een symmetrie-as van de grafiek is en die buiten [−π, π] periodiek wordt voortgezet. Dan
kan f ontwikkeld worden in fourierreeks met enkel termen van de vorm sin((2k + 1)x).
Vraag 3
Gegeven:
de functie
f (t) = t Y (t) Y (a − t) (a positieve parameter)
Gevraagd:
(1) Bepaal met de hand het laplacebeeld van f en het bestaansgebied ervan; controleer uw
resultaat met Maple.
(2) Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, a[ en in ]a, +∞[, met sprongpunt
in a (a > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; stel
een formule op voor het laplacebeeld van g 0 als functie van o.m. het laplacebeeld van g.
(3) Gebruik nu delen (1) en (2) van de vraag om het laplacebeeld van f 0 te bepalen; waar
bestaat dit beeld?
Vraag 3
Gegeven:
de functie
f (t) = t2 Y (t) Y (b − t) (b positieve parameter)
Gevraagd:
(1) Bepaal met de hand het laplacebeeld van f en het bestaansgebied ervan; controleer uw
resultaat met Maple.
(2) Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, b[ en in ]b, +∞[, met sprongpunt
in b (b > 0), en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; stel
een formule op voor het laplacebeeld van g 0 als functie van o.m. het laplacebeeld van g.
(3) Gebruik nu delen (1) en (2) van de vraag om het laplacebeeld van f 0 te bepalen; waar
bestaat dit beeld?
Vraag 3
Gegeven:
de functie
f (t) = − exp(−t)(cos(2t) + 2 sin(2t))Y (t)
Gevraagd:
(1) Bepaal met de hand het laplacebeeld van f en het bestaansgebied ervan; controleer uw
resultaat met Maple. Zo u bij de handmatige berekening gebruik maakt van specifieke
rekenregels voor laplacebeelden, dient u deze expliciet te vermelden.
(2) Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, +∞[, en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; stel een formule op voor het laplacebeeld
van g 0 als functie van o.m. het laplacebeeld van g.
(3) Gebruik nu delen (1) en (2) van de vraag om het laplacebeeld van f 0 te bepalen; waar
bestaat dit beeld?
Vraag 3
Gegeven:
de functie
f (t) = − exp(−2t)(2 cos(t) + sin(t))Y (t)
Gevraagd:
(1) Bepaal met de hand het laplacebeeld van f en het bestaansgebied ervan; controleer uw
resultaat met Maple. Zo u bij de handmatige berekening gebruik maakt van specifieke
rekenregels voor laplacebeelden, dient u deze expliciet te vermelden.
(2) Zij g(t), t ∈ R, een causale functie, afleidbaar in ] − ∞, +∞[, en onderstel dat de laplacebeelden van g en g 0 bestaan voor Re(z) > γ; stel een formule op voor het laplacebeeld
van g 0 als functie van o.m. het laplacebeeld van g.
(3) Gebruik nu delen (1) en (2) van de vraag om het laplacebeeld van f 0 te bepalen; waar
bestaat dit beeld?
Vraag 3
Gegeven:
De functie f (x) = x voor x ∈ [0, π].
Gevraagd:
(1) Ontwikkel deze functie in een fourierreeks met periode 2π die enkel cosinustermen bevat.
P
1
(2) Gebruik het gevonden resultaat om de reekssom ∞
n=1 (2n−1)2 te bepalen.
(3) Primitiveer het resultaat van (1) termsgewijs en bepaal de reekssomfunctie.
Vraag 3
De functie f (x) = x2 voor x ∈ [−π, π].
Gevraagd:
(1) Ontwikkel deze functie in een fourierreeks met periode 2π.
(2) Primitiveer het resultaat van (1) termsgewijs en bepaal de reekssomfunctie.
P
1
(3) Gebruik het gevonden resultaat om de reekssom ∞
n=1 n6 te bepalen.
Vraag 3
Gegeven:
De rij (fn ) die voldoet aan
fn+2 = fn + fn+1 ,
f0 = 0,
f1 = 1
en Z-transformeerbaar ondersteld wordt in |z| > γ.
Gevraagd:
(1) Stel een formule op voor het Z-beeld van de rij (fn+k ), k ∈ N, als functie van o.m. het
Z-beeld van (fn ); waar is de nieuwe rij Z-transformeerbaar?
(2) Gebruik het bekomen resultaat om expliciet de termen (fn ) van de gegeven rij te bepalen.
(3) Waaraan is γ gelijk?
Voer alle berekeningen uit met de hand en controleer nadien het resultaat met
Maple.
Vraag 3
Gegeven:
De rij (yk ) die voldoet aan
yk+2 = 3yk + yk+1 ,
y0 = 0,
y1 = 1
en Z-transformeerbaar ondersteld wordt in |z| > ρ.
Gevraagd:
(1) Stel een formule op voor het Z-beeld van de rij (yk+j ), j ∈ N, als functie van o.m. het
Z-beeld van (yk ); waar is de nieuwe rij Z-transformeerbaar?
(2) Gebruik het bekomen resultaat om expliciet de termen (yk ) van de gegeven rij te bepalen.
(3) Waaraan is ρ gelijk?
Voer alle berekeningen uit met de hand en controleer nadien het resultaat met
Maple.