PowerPoint-presentatie

Probleemoplossend integreren
met de TI-84
De georiënteerde oppervlakte
Opgave:
Bereken de oppervlakte van het gebied
ingesloten tussen de grafiek
van y = 2x² + 2x – 4 en de x-as in [0,2]
De georiënteerde oppervlakte
2
  (2 x  2 x  4) dx
2
0
De totale werkelijke oppervlakte
2
  2 x  2 x  4 dx
2
0
Opvoeren van de nauwkeurigheid
Opgave:
Bereken de oppervlakte van het gebied
ingesloten tussen de grafiek
van y = x³ - 2x² – 5x + 6 en de x-as.
Opvoeren van de nauwkeurigheid
3

x
2
3
 2 x  5 x  6 dx
2
Opvoeren van de nauwkeurigheid
3

x
3
 2 x  5 x  6 dx
2
De TI-84 rekent numeriek, dus
benaderend. Standaard is dit met een
nauwkeurigheid van 10-5.
Wil je de nauwkeurigheid verfijnen, dan
moet je dit ingeven na de bovengrens.
2
Toepassing 1:
Oppervlakte tussen twee krommen
Bereken de oppervlakte van het gebied
ingesloten tussen de krommen
y1 = 2x – x² en y2 = x² - 4x .
Toepassing 1:
3
   y1  y2  dx
0
Toepassing 2:
Verdeel het gebied begrepen tussen de
kromme y = 6x-x² en de x-as in drie
gelijke stukken.
Om het gebied in drie gelijke delen te verdelen
moeten we de oplossingen vinden van volgende
vergelijkingen:
y
2
y
2
x
  y dx  12
1
0
x
  y dx  24
1
0
Toepassing 3:
Gegeven is de grafiek van f(x).
Bereken de oppervlakte van het
ingekleurde gebied.
x  2x  3
f ( x)  2
x  2x  2
2
Toepassing 4:
Bepaal de oppervlakte van het gebied
ingesloten door de kromme met
vergelijking y = x4 – 5x² + 4 en de rechte
door P(-2,0) en Q(3,40).
Toepassing 5:
Gegeven is de grafiek van f(x).
Bepaal de oppervlakte ingesloten door
de grafiek van f(x), de raaklijn aan de
grafiek van f(x) in P(10,3) en de x-as.
f ( x)  x  1
Het heeft hier geen zin om de nauwkeurigheid bij het
berekenen van de integraal te verfijnen omdat de TI-84
niet nauwkeurig genoeg de afgeleide in een punt kan
berekenen.
Toepassing 6: substitutie
Bereken
2

4  x dx
2
0
Stel x = 2.sint

2

0
2
4  x dx   4cos t dt  
2
2
0
Oneigenlijke integralen
Probleem 1


Bereken
1
1
dx
2
x
Definieer de functie:
x
1
y1   2 dx
1 x
Definieer de functie:
x
1
y1   2 dx
1 x
en bepaal de limiet voor x naar oneindig:
Probleem 2

1
Bereken
d
x
 1  x 2
Definieer de functie:
x
1
y1  
dx
2
x 1  x
Definieer de functie:
x
1
y1  
d
x
2
x 1  x
en bepaal de limiet voor x naar oneindig:
Probleem 3
1
Bereken

1
1
3
x
2
dx
Definieer de functie:
x
y1 

1
1
1
3
x
2
dx  
x
1
3
x
2
dx
en bepaal de limiet voor x naar nul:
Een leuke paradox
Beschouw de functie
1
f ( x) 
x
voor x > 1.
Een leuke paradox
Als we deze functie wentelen om de x-as wordt de inhoud
gegeven door:
I 

  f ( x) 
1
2
dx  


1

1
 1
dx        0  (1)   
2
x
 x 1
Een leuke paradox
Voor de te wentelen oppervlakte van het
omwentelingslichaam geldt de formule:

A

1

f ( x) dx 

1
1

dx  ln x 1     1  
x
Een leuke paradox
We hebben dus een lichaam met eindige inhoud (pi) en
een oneindige oppervlakte.
Ofwel, als we er verf in zouden doen, dan zou alle verf die
er in zit niet genoeg zijn om de buitenkant mee te verven.
Terwijl het toch overal tegen de binnenkant zit.
Numerieke integratie
Numerieke integratie
• Methode van de intervalmiddens
• Trapeziumregel
• Regel van Simpson – paraboolregel
• Gauss-Konrodmethode (TI-84)
Methode van de intervalmiddens
Principe
Formule
b
 f ( x) dx  h. f
1
a
 h. f 2  ...  h. f n  h  f1  f 2  ...  f n 
8
Opgave
7 dx
4 x2  3x  5
Exacte oplossing
8
7 dx
2x  3 
 14
4 x2  3x  5   11 Bgtan 11  4  10, 059398
8
Benadering (n = 6)
8
7 dx
4 x2  3x  5  2  f  3  f  1  f 1  f 3  f 5  f  7  
Fout : ong. 0,7 %
Benadering (n = 12)
8
7 dx
4 x2  3x  5  f  3,5  f  2,5  f  1,5  ...  f 5,5  f  6,5  f  7,5
Fout : ong. 0,2 %
x

5  3  cosh 3  dx
5
Opgave
Exacte oplossing
5
x
x


5  3  cosh 3  dx  3x  3sinh 3  5  14, 683157
5
Benadering (n = 10)
x

3

cosh
 dx  f  4,5   f  3,5   ...  f  3,5   f  4,5 
5 
3
5
Fout : ong. 0,5 %
Een programmatje
Trapeziumregel
Principe
Formule
b

a
1
f ( x) dx  h  f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n 1  f n 
2

Opgave
5  cos 4 x
dx
2
2 x  x  1
Oplossing
Benadering (n = 6)
h

b  a   (2 ) 


n
6
2
5  cos 4 x
1 

dx

.
f

2


2




 2
2 2

2 x  x  1
 18, 448248
 3
f 
 2


 
  
  f     f     f  0   f     f   

 2
 2 

Fout : ong. 3,4 %
Benadering (n = 12)
h

b  a   (2 ) 


n
12
4
5  cos 4 x
1 

dx

.
f

2


2




2 x2  x  1
2 4

 19, 055801
 7
f 
 4



 3
f 
 2

  ... 

 
f  
2

 3  
f     f   
 4 

Fout : ong. 0,22 %
4
Opgave
6.
e

4
Oplossing
x2

4
dx
Benadering (n = 8)
h
4
b  a 4  (4)

1
n
8
 6.e
4
x2

4


1
dx 
f  4   2.  f  3  f  2   ...  f  3   f  4   21,134847
2
Fout : ong. 0,17 %
Een programmatje
Regel van Simpson - paraboolregel
Formule
b

a
1
f ( x) dx  h  f 0  2  f 2  f 4  ...  f n  2   4  f1  f 3  ...  f n 1   f n 
3
5x2  2 x  1
dx
Opgave 
2
x 1
4
8
Oplossing
8
5x2  2 x  1
2
4 x2  1 dx  5x  4 Bgtan x  ln  x  1 4  47,56979
8
Benadering (n = 6)
h
b  a 8  (4)

2
n
6
5x2  2 x  1
1
dx

.2. f  4   2.  f  0   f  4    4.  f  2   f  2   f  6    f 8 
4 x2  1
3
8

 48, 257405
Fout : ong. 1,4 %

Benadering (n = 12)
h
b  a 8  (4)

1
n
12
5x2  2 x  1
4 x 2  1 dx
8

1
f  4   2.  f  2   f  0   ...  f  6    4.  f  3   f  1  ...  f  7    f 8 
3
 47,885709

Fout : ong. 0,66 %

x

Opgave 1   sin 3 x  dx
0  3

10
Oplossing
10


x
x
1


0 1  3  sin 3x  dx   x  6  3 cos 3x   26,948583
0
10
2
Benadering (n = 10)
h
b  a 10  0

1
n
10
x
1


1


sin
3
x
dx

f  0   2  f  2   ...  f 8    4  f (1)  ...  f  9    f 10 

0  3
3

 28, 684364
10

Fout : ong. 6,4 %

Een programmatje
Toepassing
Na de hevige onweren van de voorbije maand met plaatselijke
overstromingen tot gevolg wordt de watertoevoer naar de plaatselijke
rivier onderzocht.
Zo wordt van elke beek de watertoevoer
naar de rivier nagegaan.
Een beek is 80 cm breed en het water
stroomt er met een snelheid van 1,5 m/s.
Diepte metingen om de 10 cm leverden
volgend resultaat.
0
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-20
-40
-60
-55
-70
-80
-95
-100
-100
-100
-110
-120
-130
-140
0 cm
10
cm
20
cm
30
cm
40
cm
50
cm
60
cm
70
cm
80
cm
diepte 0 cm
55
cm
95
cm
110
cm
100
cm
130
cm
100
cm
70
cm
0 cm
Trapeziumregel
10
0  2  55  95  110  100  130  100  70   0  cm2

2
 6600 cm²
Doorsnede 
2
Debiet  0,66 m .1,5 m / s  900 l / s