Hoe groot is een bepaald gebied?

Hoe groot is een bepaald gebied?
In deze werktekst leren we hoe landmeters de oppervlakte van een gebied bepalen, door dat gebied op te
delen in driehoeken. Daarom bekijken we eerst hoe we de oppervlakte van een driehoek kunnen
berekenen. We werken met een driehoek waarvan twee hoeken en één zijde gegeven zijn, omdat het meten
van hoeken in de praktijk vaak gemakkelijker is dan het meten van lengten.
Stel dat ABC een driehoek is waarvan de basis AB = c en de hoeken  en B̂ gekend zijn. We weten
c⋅h
. Omdat h niet gekend is, moeten we op zoek naar
2
een formule die h uitdrukt in functie van onze gegevens c , Â en B̂ .
dat de oppervlakte van deze driehoek gelijk is aan
1. Geef een formule voor h waarin  en b voorkomen.
2. We kennen b niet, dus moeten we b vervangen door een formule waarin enkel  , B̂ en c
voorkomen. Doe dit.
3. Waaraan is de oppervlakte van driehoek ABC dan gelijk?
We kunnen vervolgens de oppervlakte van een veelhoek bepalen door deze veelhoek op te splitsen in
driehoeken. Op die manier krijg je een driehoeksketting. We zoeken bijvoorbeeld de oppervlakte van de
onderstaande veelhoek, waarvan de volgende hoeken en lengte gemeten zijn:
4. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC .
5. Als we met de formule uit vraag 3 de oppervlakte van driehoek BCD willen vinden, hebben we BC
nodig. Bereken deze lengte.
6. Waaraan is dan de oppervlakte van driehoek BCD gelijk?
7. En de oppervlakte van vierhoek ABCD ?
8. In de praktijk is het vaak omslachtig om de meetapparatuur naar de overkant van het op te meten
gebied te brengen om er hoeken te meten. Landmeters opteren er dan voor om de hoeken aan één kant
Uitwiskeling werktekst
1
van het terrein op te meten. Leg uit hoe je de oppervlakte van vierhoek ABCD kunt bepalen met
onderstaande meetgegevens.
De werkwijze bij vraag 8 ga je nu toepassen in de realiteit. Hiervoor heb je een meetlint, jalons en een
toestel nodig waarmee je voldoende nauwkeurig hoeken kan meten. Dat kan bijvoorbeeld een planchet
zijn: een vierkantig stuk hout waarop een gradenboog van 360° is getekend. Maak eventueel eerst zo’n
planchet.
•
•
•
•
Ga op zoek naar een gebied waarvan je de oppervlakte wilt berekenen, bijvoorbeeld een vijver of (een
onregelmatig stuk van) de speelplaats.
Loop rond het terrein en benader het gebied met een veelhoek met ongeveer 6 zijden. Maak een schets
van die veelhoek.
Meet de lengte van één zijde van die veelhoek, en meet alle hoeken aan één kant.
Bereken dan de oppervlakte van de veelhoek. Stel eerst een stappenplan op om de oppervlakte te
berekenen. Voer dan je berekeningen uit. Maak gebruik van een rekenblad waarin je de cosinus- en
sinusregel invoert of een applet op het internet, bijvoorbeeld
http://users.telenet.be/wiskundehoekje/wisk4.htm
Uitwiskeling werktekst
2