Berekening_van_bouwkundige_constructies_I_

Pagina 1 van 7
Examen ‘Berekening van Bouwkundige Constructies I’
26 mei 2010
OPLOSSINGEN
A
Theorie (10 pt, 60 minuten)
In onderstaande worden tien stellingen geformuleerd. U antwoordt met W(aar) indien u het
met de stelling eens bent of V(als) indien u meent dat de stelling fout is. Let wel, bij dit type van
vragen wordt een giscorrectie toegepast: goed antwoord = + 1, foutief antwoord
= - 1, geen
antwoord = 0.
A1
Stelling: om een vloer van een discotheek te ontwerpen volgens de Eurocodes, brengt men in
België een nuttige vloerlast in rekening waarvan de karakteristieke waarde 5 kN/m² bedraagt.
W
A2
Stelling: volgens de terminologie van de algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden zijn
nuttige vloerlasten in gebouwen voorbeelden van statische, variabele belastingen.
W
A3
Men beschouwt een isostatisch opgelegde balk (scharnier links, rol rechts) met constante
buigstijfheid die onderworpen is aan een gelijkmatig verdeelde belasting p (kN/m). Stelling: de lijn die
de hoekverdraaiing in de verschillende punten van de balk geeft, is volgens de elasticiteitsleer een
veeltermfunctie van de derde graad in de abscis x.
W
A4
Men beschouwt een balk met twee gelijke overspanningen die rust op een scharnier links en
rollen in het midden en rechts en die onderworpen is aan een zekere verticale belasting. Er wordt
ondersteld dat de balk zich elastisch gedraagt en dat de buigende momentenverdeling bekend is. Om
de deflecties van de balk te bestuderen past de ontwerper de methode van de virtuele arbeid toe en
gebruikt hij een hulplichaam met dezelfde geometrie en randvoorwaarden als de gegeven balk.
Stelling: om de buigende momentenlijn – de m-lijn – in het hulplichaam te bepalen die wordt
opgewekt door een verticale eenheidslast, mag hij de grootte en zin van één verticale oplegreactie vrij
kiezen.
W
A5
Men beschouwt een prismatische balk met lengte L en buigstijfheid EI die aan het linker
uiteinde ingeklemd is en aan het rechter uiteinde vast verbonden is met een rol. Die rol vertoont
evenwel een discordantie in de zin dat hij zich niet op hetzelfde peil als de inklemming bevindt maar
een bedrag v0 – bijvoorbeeld 1 cm - lager is dan de inklemming. Stelling: daardoor ontstaat een
inklemmingsmoment in tegenwijzerzin ter grootte 6EIv0/L³.
V
A6
Men beschouwt een prismatische staaf met een massieve, ronde doorsnede. Zij r de straal van
de doorsnede. Stelling: de centrale kern van de doorsnede is een cirkel met straal r/4.
W
Pagina 2 van 7
A7
Om het knikprobleem, corresponderend met het systeem linksonder in de figuur 5 blz. 5.6, te
bestuderen, gebruikt men de dynamische en kinematische randvoorwaarden. Stelling: met de notaties
die in het hoofdstuk betreffende Eulerknik ingevoerd werden is de dynamische randvoorwaarde M 0 =
0 en zijn de kinematische randvoorwaarden v0 = v1 = 1 = 0.
W
A8
Een ontwerper berekent een elastisch raamwerk zonder discordanties met de methode van
Gehler waarbij de normaalkrachtvervorming mag verwaarloosd worden. Hij maakt echter een fout
doordat hij de buigstijfheid van de stijlen en de spantregels met een factor 2 te hoog inschat. Stelling:
daardoor zijn de berekende buigende momenten, dwarskrachten en normaalkrachten eveneens een
factor 2 te groot.
V
A9
Men beschouwt een vakwerk in de vorm van een andreaskruis met één beuk en één verdieping
waarvan de stijlen scharnierend verbonden zijn met de fundering. De hoogte h en de breedte b van het
kruis zijn aan elkaar gelijk. Bij onderstelling zijn de kruisende diagonalen kabels; de stijlen en de
regels zijn buigstijve staven die weliswaar scharnierend met elkaar verbonden zijn. Tevens werkt een
horizontale kracht H ter hoogte van de bovenregel. Stelling: in de beide diagonalen werkt een
normaalkracht die in absolute waarde gelijk is aan .
V
A10 Men beschouwt een tweescharnierboog waarvan de hartlijn een symmetrische parabool van de
tweede graad met pijl f en overspanning L beschrijft. De rechter helft van de boog is onderworpen aan
een gelijkmatig verdeelde belasting waarvan de amplitude per eenheid van horizontale afmeting 4p
bedraagt. Stelling: indien men de normaalkrachtvervorming van de boog verwaarloost, is de spatkracht
gelijk aan pL²/(2f).
V
Pagina 3 van 7
B
Oefeningen (180 minuten, 20 punten)
B1
Doorlopende ligger: virtuele arbeid (7 pt, 60 min)
De belastingsverdeling en het buigend momentendiagram van een stalen, doorlopende ligger zijn in de
figuur gegeven. Het profiel is een gewalste IPE200 (I = 1943 cm4, W = 194,3 cm3).
F
A
p
B
3m
C
3m
D
4m
- 29,53
E
F
3m
3m
- 21,09
+ 34,45
+ 60,23
Buigende momenten (kNm)
Bepaal:
a) het dwarskrachtendiagram
b) de oplegreacties en de grootte van F en p
c) de getalwaarde van de neerwaartse verplaatsing van B m.b.v. virtuele arbeid
d) de getalwaarde van de hoekverdraaiing in F (in tegenwijzerzin) m.b.v. virtuele arbeid
Oplossing:
a) bereken de dwarskrachten met V=-dM/dx (een uitdrukking van M in de overspanning DF moet
zelf opgesteld worden). De dwarskracht is constant in de delen AB, BC en CD. Aangezien de
momentenlijn parabolisch is in het gedeelte DF, varieert de dwarskracht daar lineair.
VAB=VBA =-20.08 kN, VBC=VCB=29.92 kN, VCD=VDC=-2.11 kN,VDF=-33.51 kN,VFD=26.48 kN
b) de oplegreacties kunnen berekend worden uit het dwarskrachtendiagram (door het verticaal
evenwicht rond elk steunpunt uit te drukken).
YA=20.08 kN, YC=32.03 kN,YD=31.40 kN,YF=26.48 kN
De grootte van F en p kan ook bepaald worden door het dwarskrachtendiagram te gebruiken. Een
andere optie staat weergegeven in de figuur hieronder (met L=6m). Er wordt gevonden dat F=50 kN
en p=10 kN/m.
Pagina 4 van 7
FL/4
pL²/8
Uiteraard is de bovenstaande oplossingswijze van deelvragen (a) en (b) slechts één van de vele
mogelijke oplossingswijzen.
c) De verplaatsing van B kan gevonden worden door gebruik te maken van de integralen van Mohr (cf.
p.3.29 theoriecursus) , waarbij een eenheidskracht wordt aangebracht op een eenvoudig opgelegd
hulplichaam AC (zie onderstaande figuur). Opgelet, de eenheidskracht is hier opwaarts gericht, dus er
zal op het einde nog een tekenomslag moeten gebeuren om de neerwaartse verplaatsing te vinden. Er
geldt dat mB=-1L/4. (met L=6m)
vB,opw 
1 FL
L 2  0.5
L
mB

M C mB
 vB,neerw  3.89cm
3 4
EI
6
EI
d) Ook hier wordt de integraal van Mohr gebruikt. Er wordt gebruik gemaakt van een enkelvoudig
opgelegd hulplichaam DF waarop een eenheidskoppel in tegenwijzerzin aangrijpt (zie figuur
hierboven). Er geldt dat mF=1.
tegenwijzerz 
B2
1 pL²
L 1
L
mF
 M F mF
 0.01688(rad )
3 8
EI 6
EI
Balkentheorie (5 pt, 40 min)
b=5 cm
Gegeven:
Een eenzijdig ingeklemde, stalen balk met een dunwandige doorsnede
zoals op de figuur. Op het vrije uiteinde grijpt een verticale kracht
Vy=10kN aan. De lengte van de balk is 5m, en de wanddikte is 5mm. (Tip:
bij een dunwandige doorsnede mag men, voor de berekening van de
doorsnedekarakteristieken, de oppervlakte geconcentreerd denken op de
hartlijn van de wanden.)
y
z
G
a=10 cm
a=10 cm
Pagina 5 van 7
Gevraagd:
a) Waar is de schuifstroom maximaal indien de werklijn van de kracht doorheen het zwaartepunt G
gaat? Wat is de waarde van deze maximale schuifstroom?
b) Wat zal de hoekverdraaiing van het vrije uiteinde (om de langsas van de balk) zijn indien de
werklijn van de verticale kracht samenvalt met de linkerrand van de doorsnede?
Oplossing:
a) aangezien de werklijn van de dwarskracht samenvalt met de verticale symmetrieas van de
doorsnede, zal de schuifstroom in de kokerwanden nul zijn op de plaatsen waar de y-as de doorsnede
snijdt. Dit zorgt ervoor dat de schuifstroom enkel bepaald wordt door volgende uitdrukking, als s=0
gekozen wordt in het midden van de onderrand: q  
V .S z  s 
Iz
. De schuifstroom zal maximaal zijn op
de locatie waar Sz(s) maximaal is. Dit gebeurt ter hoogte van het zwaartepunt, voor y=0. Het is dus
helemaal niet nodig om hele verloop van de schuifstroom uit te rekenen.
De afstand van het zwaartepunt tot de onderrand (Yo) kan als volgt bepaald worden:
h
2ht.  at.a
2
Yo 
 6.5cm . In deze formule is t de wanddikte, h=a+b. De groottes van a en b staan
4at  2bt
aangeduid in de figuur. Het traagheidsmoment Iz kan nu ook bepaald worden:
Iz  2
2
t 3a  2
h3t
h

 Yo  (a  Yo)2  at  2
 2  Yo   ht  568.95cm 4

12 
12
2

Het statische moment Sz,max van het gedeelte tussen s=0 en het snijpunt van de z-as met de rechterrand
a
Yo
van de koker is: Sz,max   tYo  tYo  26.8cm3 .
2
2
Uiteindelijk kan er berekend worden dat qmax  47.13N / mm
In de linkerrand van de doorsnede zal de schuifstroom ook een extreme waarde bereiken voor y=0,
waarvan de absolute waarde dezelfde grootte heeft als deze in de linkerrand, maar het teken
tegenovergesteld is. Beide schuifstromen zijn dus opwaarts gericht.
a
b) Er grijpt een wringkoppel M x  V  500 Nm aan op het vrije uiteinde van de balk. De
2
 Mx
 GI t
hoekverdraaiing van dit uiteinde zal gelijk zijn aan   L  

 L . De specifieke torsiehoek θ van

de doorsnede kan berekend worden zoals op p.4.56 van de theoriecursus, bij opmerking (1). Hierin zal
de bijdrage van de 2 uitstekende delen zal klein zijn. Uiteindelijk wordt er gevonden dat
  0.001237 / m en dat   0.006185 . De einddoorsnede zal dus een hoekverdraaiing in wijzerzin
ondergaan.
Pagina 6 van 7
B3
Gehler, invloedslijnen (5 pt, 50 minuten)
B
Gegeven:
Een spant ABC, zoals in de figuur. De lengte van alle staven is gelijk aan
L, en de stijfheid van de staven is gelijk aan EI.
C
A
Gevraagd:
a) Schets het momenten-, dwarskrachten en normaalkrachtenverloop in de constructie, indien er een
koppel K (in wijzerzin) aangrijpt in punt B. De tekenconventie van de snedekrachten is gebaseerd op
een waarnemer die rechtsonder staat.
b) Bepaal de invloedslijn naar de hoekverdraaiing van knoop B, voor een mobiele horizontale last die
kan aangrijpen op de kolom AB. De hoekverdraaiing is positief in wijzerzin en de horizontale
belasting is positief indien deze naar rechts gericht is.
(tip: maak hiervoor gebruik van de resultaten bekomen in (a) en de wederkerigheidsstelling van
Maxwell )
Oplossing:
In de oplossing wordt het koppel K vervangen door een koppel M.
a) Indien gebruik gemaakt wordt van de methode van Gehler geldt er voor de onbekenden dat:
 A  0,  AB  0,  BC  0  enkel φB en φC zijn onbekend.
Er zijn dus 2 vergelijkingen nodig: het wentelevenwicht om B en dat om C.

WEC: MCB  0  K  2C  B   C   B
2
2M
M
WEB: M BC  M BA  M  0  K  2B  C   K  2B   M  0  B 
en C 
7K
7K
2M
4M
3M
, M BA  M BA  
, M BC   M BC  
, MCB  MCB  0
7
7
7
6M
3M
 VAB 
  N BC , VBC 
 N BA
7L
7L
 M AB   M AB  KB  
b) De mobiele kracht grijpt aan op een hoogte x boven A. Volgens de wederkerigheidsstelling van
Maxwell geldt er dat de hoekverdraaiing (in wijzerzin) in B tgv. een horizontale mobiele eenheidslast
op locatie x (naar rechts) gelijk is aan de horizontale verplaatsing (naar rechts) op locatie x tgv een
eenheidskoppel in B (in wijzerzin). De momentenlijn die dit eenheidskoppel veroorzaakt is al bepaald
in deel (a), indien M=+1. Er geldt dan dat:
2
4
M AB  , M BA  
7
7
De horizontale verplaatsing naar rechts op locatie x kan gevonden worden door de stelling van Greene
te gebruiken en de verplaatsing van x te bepalen relatief t.o.v. de raaklijn in A (die steeds verticaal
blijft). De verplaatsing (naar links) is gelijk aan het statisch moment van de momentenlijn tussen A en
x, rond locatie x.
vlinks  M AB x
x  M BA  M AB  x x x
1  x2 x3 

   vrechts  i



2
L
23
EI  7 7 L 


Extra controle: kloppen de eenheden van de invloedslijn? L²/(FL²)=1/F: klopt!
Pagina 7 van 7
100 kN
B4
C
Bogen (3 pt, 30 minuten)
y
EI
Gegeven:
Een parabolische tweescharnierboog (pijl f = 5 m, A
EA
B x
overspanning  = 20 m, Icos = constant = 200000
trekstang
cm4) rust op een scharnier A aan de linkerkant en een
rol B aan de rechterkant. De geboorten van de boog zijn verbonden met een trekstang (A’ = 200 cm²).
De trekstang is 1 cm te kort. De elasticiteitsmodulus van de gebruikte materialen is E = 210 GPa en de
normaalkrachtvervorming van de boog zelf mag verwaarloosd worden. In het midden van de boog
grijpt een neerwaartse last van 100 kN aan.
Gevraagd:
Bereken de normaalkracht die aanwezig is in de top van de boog.
Oplossing:
Gebruik formule (10) van op pagina 9.20, met A=∞ en ΔT=0.
L 
N top  H 
1
EI cos 
1
EI cos 
L
y
waarin: 0
2
dx 
0
 yM 0dx
y
0
2
 93.17kN ,
0
L
dx 
L
E ' A'
8
(5m)2 (20m)  266.67m3 , L  0.01m,
15
L

L
yM 0dx 
1  0.5  0.52
500kNm  5m  20m  0.20833  108 Nm 3 (cursus p.3.29)
3