ribbmc-week_6_

IBB
Module ribBMC
Beginnen met construeren
Week 06
Studiejaar 2007 - 2008
Studiepunten 3 ECTS
Bouwkunde / Civiele techniek
1
Week 06




2
Theorie: Spanningsleer
Onderwerp: Relatie buiging en moment
Opdracht: Bereken weerstandsmomenten
en de max. optredende buigspanning
Boek: F.Vink, hst. 14 en 15 + opgaven
Toets
Gevraagd: D – en M-lijn
10 kN
q = 10 kN/m
20 kN
50 kN
q = 5kN/m
B
A
3
3
4
3
2
3
2
Oplossing reactiekrachten
10 kN
q = 10 kN/m
20 kN
50 kN
q = 5kN/m
A
B
80.54 kN
54.46 kN
ΣM t.o.v. A = 0
30 * 1 ½ - 50 * 4 – 25 * 9 ½ -10 * 9 – 20 * 14 + 14Fb = 0
Fb = 54.46 kN
ΣFv = 0
30 – Fa + 50 + 25 + 10 + 20 – 54,46 = 0
4
Fa = 80.54 kN
Oplossing D-lijn
10 kN
q = 10 kN/m
20 kN
50 kN
q = 5kN/m
A
3
B
80.54 kN
4
3
2
3
2
54.46 kN
50.54
0.54
0
-9.46
-19.46
30
V0 = -10 * 3 = 30 kN
V5 = -19.46 – (5 * 3) = - 34.46
V1 = -30 + 80.54 = 50.54 kN
V6 = -34.46 + 54.46 – 20 = 0
V2 = 50.54 – 50 = 0.54 kN
5
-34.46
V3 = 0.54 – (5 * 2) = -9.46
V4 = -19.46 – 10 = -19.46
Oplossing M-lijn
3
4
3
2
50.54
3
2
0.108 1.892
0.54
a
b
c
d
-9.46
e
f
-19.46
30
-34.46
-45
68.979
157.16
158.78
158.809
6
149.859
0
g
Momentenlijn
Momentenlijn
Ma = (30*3)/2 = 45 kNm
Mb = 45 – (50.54 * 4) = - 157.16 kNm
Mc = -157.16 – (0.54 * 3) = -158.78 kNm
Md = -158.78 – (0.54 * 0.108)2 = - 158.809 kNm
Me = -158.809 + (9.46 * 1.892)/2 = - 149.86 kNm
Mf = -149.86 + (19.46 * 3) + (15 * 3)/2 = - 68.98 kNm
Mg = -68.98 + (34.46 *2) = 0
Of
Ma = 30 * 1.5 = 45 kNm
Mb = 30 * 5.5 – 80.54 * 4 = -157.16 kNm
Mc = 30 * 8.5 – 80.54 * 7 + 50 * 3 = -158.78 kNm
Md = 30 * 8.608 – 80.54 * 7.108 + 50 * 3.108 + (5 * 0.108 * 0.108/2) = -158.809 kNm
Me = 30 * 10.5 – 80.54 * 9 + 50 * 5 + (5 * 2) * 1 = -149.86 kNm
7
Mf = 30 * 13.5 – 80.54 * 12 + 50 * 8 + 10 * 3 + (5 * 5) * 2.5 = -68.98 kNm
Mg =30 * 15.5 – 80.54 * 14 + 50 * 10 + 10 * 5 + (5 * 5) * 4.5 = 0 kNm
Buiging
8
Als de balk belast wordt wil deze doorbuigen. In de balk treden dan
buigspanningen op.
Materiaalspanningen









9
Trek- en drukspanningen (Normaalkrachten)
Aan de bovenkant van de balk treedt een verkorting op onder invloed
van drukspanningen,
Aan de onderkant van de balk treedt een verlenging op onder invloed
van trekspanningen.
Neutrale laag
In het midden van de balk blijft de balk even lang. Hier treden geen
trek- of drukspanningen
op. Men noemt dit gebied de neutrale laag.
De trek- en drukspanningen zijn rechtevenredig met de
lengteverandering.
De grootste spanningen treden bij buiging op in de uiterste
vezelafstanden.
In de neutrale laag is de spanning nul.
Trek – en drukspanning
Behalve trek- en drukspanning treden er
bij buiging ook nog schuifspanningen op.
10
Schuifspanning
Bovenstaand figuur bestaat uit losse planken die op elkaar gestapeld zijn.
Onder een invloed van belasting zullen deze losse planken t.o.v. van
elkaar willen verschuiven.
Bij een balk treden deze schuifspanningen nu ook op. In tegenstelling tot
de trek- en drukkrachten is de schuifspanning in de neutrale laag juist
maximaal.
11
Buigend moment
Buigend moment.
Ten gevolge van een uitwendig moment
(door belasting) ontstaan er dus
spanningen in het materiaal.
Deze spanningen moeten door het
materiaal worden weerstaan, anders zal
deze bezwijken.
12
Maximale buigspanning
Maximale buigspanning
De drukspanningen vormen gezamenlijk een
drukkracht Fc
De trekspanningen vormen gezamenlijk een
trekkracht Ft
Beide krachten grijpen aan op het zwaartepunt
van de prisma’s.
13
Buigend moment
14
Beide krachten vormen een koppel met z als inwendige hefboomarm.
De hefboomarm ligt tussen de beide zwaartepunten van beide prisma’s in.
Buigend moment
Het Moment is dan gelijk aan:
M = Fc * z = Ft * z
Ft en Fc grijpen op het zwaartepunt van hun prisma aan.
Het zwaarte punt van Ft en Fc ligt dan op een 1/3
van halve hoogte van de balk:
½ * 1/3 = 1/6
De lengte van de inwendige hefboomarm (z) bedraagt dan:
z = (1h – 2/6h) = 1h – 1/3h = 2/3 * h
z = 2/3h
15
Buigend moment
De gemiddelde trek- cq drukspanning is een
½ σmax:
Fc = Ft = gemiddelde spanning * oppervlakte
Fc = Ft = ½ σmax * ½ hb
Fc = Ft = ¼ σmax * h * b
16
Buigend moment
Het buigend moment:
M=
F
*
z
M = ¼ σmax * h * b * 2/3h
M = σmax * 2/12 * b * h2
M = σmax * 1/6 * b * h2
17
Weerstandsmoment
Weerstandsmoment
De term geeft de mate van weerstand (sterkte )
aan die de balk levert tegen een buigend
moment en wordt het weerstandsmoment W
genoemd.
W = 1/6 * b * h2 (mm3)
18
Buigingsformule
Hoe groter de hoogte hoe groter het
opgenomen Moment.
Unity check
σmax / fm ≤ 1
Buigingsformule:
Mb = Wb * σb
19
Sterke – en zwakke as
Y-as = de sterke as
Groot Weerstandsmoment
Groot Traagheidsmoment
Z-as = de zwakke as
Klein Weerstandsmoment
Klein Traagheidsmoment
20
Buiging om de zwakke as (z-as)
21
Buiging om de sterke as (y-as)
22
Weerstandsmoment
y-as
z
Wy =
Wy =
z-as
Wz=
Wz=
23
y
y
z
Controle sterkte buigspanning
Wy =
σy =
Wy =
fm hout = 12 N/mm2
24
fm staal = 235 N/mm2
Spanningsdiagram
fc = drukspanning
ft = trekspanning
25
Tabel staalprofielen
y-y
26
z-z
Voorbeeld 1
Wy =
σy =
27
Wy =
Voorbeeld 2
Wy =
σy =
Wy
σy * Wy
28
Voorbeeld 3
Bepaling houten balkprofiel uit opgave
Het maximaal buigend moment in ons
voorbeeld is: 158.84 kNm
Mb = Wb * σb
De maximale rekenspanning (fm) van een houten
balk C18 is 18 N/mm2
Wb = 158840000 / 18
Wb = 8824 * 103 mm3
29
Voorbeeld 3
Dimensioneren balk:
Gelamineerde ligger
bh2 = 8824 * 103 * 6 = 52944000
Neem voor b = 110 mm
h = wortel(52944000/110)
h = 694 mm, rond af naar 700 mm
30
Voorbeeld 3
Controle:
Wy = 1/6 * 110 * 7002
Wy = 8983 * 103 mm3
σb = M/W = 158840000 Nmm / 8983 * 103 mm3
σb = 17,7 N/mm2
Unity check:
17,7 / 18 = 0,98 ≤ 1
Gelamineerde ligger 110 mm * 700 mm
voldoet op sterkte.
31
Voorbeeld 4
Bepaling IPE-profiel
fm = 235 N/mm2
Wb = 158840000 / 235 = 676 * 103 mm3
Zoek op in tabel (blz 143 tabellenboek)
Wy = 713 * 103 mm3
IPE 330
32
Voorbeeld 4
Controle:
σb = 158840000 Nmm / 713 * 103 mm3
σb = 223 N/mm2
Unity check:
223 / 235 = 0,95 ≤ 1
IPE 330 voldoet op sterkte.
33
Weerstand van de constructie
Weerstand van de constructie
a. Een constructie moet voldoende weerstand bieden
tegen belastingen en vervormingen de gedurende
de levensduur van het bouwwerk kunnen optreden.
b. De weerstand tegen belastingen noemen we de
sterkte of het draagvermogen van de constructie.
c. De weerstand tegen vervormingen noemen we
stijfheid.
34
Sterkte
De sterkte
De sterkte van een constructie hangt af van vier
factoren.
a. het constructiesysteem
b. de sterkte van de gebruikte materialen
c. de grootte van de doorsnede van de constructieelementen
d. de vorm van de doorsnede van de constructieelementen
35
Sterkte van materialen
Sterkte van materialen
a. Het draagvermogen neemt toe met de sterkte van
het materiaal
b. In de berekeningen worden waarden gebruikt die
afgeleid zijn van de werkelijke sterkte
(bezwijkspanning) van het toepaste materiaal..
c. Iedere constructie heeft bij een bepaalde
materiaalkeuze een zekere maximumoverspanning.
Bij een nog grotere overspanning kan de constructie
niet bestaan, hij zal bezwijken onder zijn eigen
gewicht.
36
Grootte van de doorsnede
Grootte van de doorsnede
a. Het draagvermogen neemt toe wanneer de dwarsdoorsnede
van het constructieelement wordt vergroot.
b. Bij op zuiver trek belaste elementen neemt het draagvermogen
rechtevenredig toe met de grootte van de doorsnede.
c. Bij belasting op druk houdt men rekening met de instabiliteit
(knik), maar in het algemeen betekent meer materiaal ook meer
druksterkte.
d. Bij belasting op buiging neemt het draagvermogen meer dan
rechtevenredig toe met de toename van de doorsnede..
Wanneer we de doorsnede met een factor 2 verhogen neemt
het draagvermogen (weerstandsmoment) met een factor 4 toe.
37
Vorm van de doorsnede
Vorm van de doorsnede
a. Door een hoeveelheid materiaal anders over de doorsnede te
verdelen kan het draagvermogen aanzienlijk toenemen, dit
geldt met name voor op buiging belaste liggers.
b. Een I-vormige doorsnede kan meer draagvermogen opnemen
dan een rechthoekige doorsnede met nagenoeg dezelfde
hoeveelheid materiaal. Een I-vormige doorsnede heeft dan een
hoger weerstandsmoment.
c. Het vergroten van de constructiehoogte bij gelijkblijvend
hoeveelheid aan materiaal vergroot het draagvermogen met
bijna een factor 4.
38
Weerstandsmoment



39
De waarde I / e wordt het
weerstandsmoment tegen buigen van de
doorsnede genoemd.
Wb = I / e (in mm3)
Het weerstandsmoment tegen buigen van
een doorsnede is gelijk aan het lineair
traagheidsmoment van deze doorsnede,
gedeeld door de uiterste vezelafstand.
Traagheids- en weerstandsmoment in
een rechthoekige doorsnede

Het lineaire traagheidsheidsmoment van
een rechthoekige doorsnede bedraagt:



in mm4
in mm4
Het weerstandsmoment van een
rechthoekige doorsnede bedraagt:


40
Iy = 1/12 * b * h3
Iz = 1/12 * h * b3
Wy = 1/6 * b * h2
Wz = 1/6 * h * b2
in mm3
in mm3
Bepaal afmeting IPE-profiel






41
Berekening op sterkte
Mmax = 9,42 kNm
Buigspanning = 235 N/mm2
Wy = 9420000/235 = 40 * 103 mm3
Uit tabel kies IPE 120 (Wy=53*103 mm3)
U.C = 40/53 ≤ 1 AKKOORD
Schuifspanning IPE-profiel
fy = 235 N/mm2
8
IPE120
Vmax = 7,86 kN
8
5
120
42
114
Schuifspanning IPE-profiel





43
Vz;u;d=0,58 * hd * tw * fy;d
Vz;u;d=0,58 * (114 –(2*8) * 5 * 235
Vz;u;d= 66787 N = 67 kN
U.C. = 7,86 / 67 ≤ 1
Sterkte op afschuiving is akkoord
EINDE
Docent: M.J.Roos
44