2011-2012 - Kangoeroewedstrijd

1.
Bij een weerspiegeling in het water staat een beeld op zijn kop. Antwoord E is dus zeker
fout. De stand van de maan ten opzichte van de boom moet dezelfde blijven. Zo moet de
holle kant van de maan het dichtst bij de top van de boom staan en de maan staat rechts
van de boom. Hierdoor is alleen antwoord A correct.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
2.
Elke keer als de ridder een kop afhakt, groeien er 5 nieuwe: de draak heeft dan 4 koppen
méér dan voordien. Als dat 6 keer gebeurt, krijgt de draak er dus 6 × 4 = 24 koppen bij.
Samen met de 5 koppen in het begin, geeft dat 5 + 24 = 29 koppen.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 2. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
3.
De letter M kan als volgt in 5 stukken worden verdeeld:
M
De letters A, G, I en E kan je niet in 5 stukken verdelen.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 3. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
4.
We kunnen cijferen of rekenen met breuken. Als we cijferen, vinden we:
1
1
1
9
−
,
,
,
1
1
9
1
1
9
1
9
Als we rekenen met breuken, vinden we:
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
11,11 − 1,111 =
=
=
=
=
=
1111 1111
−
100 1000
1
1
1111
−
100 1000
10
1
1111
−
1000 1000
9
1111 ·
1000
9999
1000
9,999.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 4. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
5.
Zoals je in de tekening ziet, heb je 8 lucifers nodig. Probeer dit zelf thuis zeker eens met
enkele munten!
O E
E
O E
E
KAN
G
O
N G ERO
ER
GO ERO
A
KA
N
ER
O
KANG
O
K
KA
N
O E
ERO E
E
N
RO
NGO
E
KA
E
R
GO ERO
E
KANG
O
N
G
RO E
OE
OE
GO
ERO E
KANGO
KA
N
ER
GO
KANGO
KA
KA
E
RO
RO E
OE
E
O
O E
ER
K
O
AN
OE
KA
N
R
G
GO E
R
E
NGO
E
KA
KAN
G
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 5. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
6.
Maxim kan de 4 rechten tekenen die je in de figuur ziet:
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 6. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
7.
Als 4 repen hetzelfde is als 1 reep en 6 euro, dan moeten 3 repen gelijk zijn aan 6 euro.
Elke reep kost dan 6 : 3 = 2 euro.
Je kan ook een vergelijking gebruiken om deze vraag op te lossen. Stel x is de prijs van 1
reep. Dan is 4x = x + 6, want 4 repen kosten 6 euro meer dan 1 reep. We vinden dan:
4x
⇔ 4x − x
⇔
3x
⇔
x
=
=
=
=
x+6
6
6
2
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 7. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
8.
Als je alle achten vervang door negens, zie je meteen dat antwoord E het juiste antwoord
is:
• (8 + 8) : 8 + 8 = 10, maar (9 + 9) : 9 + 9 = 11
• 8 · (8 + 8) : 8 = 16, maar 9 · (9 + 9) : 9 = 18
• 8 + 8 − 8 + 8 = 16, maar 9 + 9 − 9 + 9 = 18
• (8 + 8 − 8) · 8 = 64, maar (9 + 9 − 9) · 9 = 81
• (8 + 8 − 8) : 8 = 1 en ook (9 + 9 − 9) : 9 = 1
We kunnen ook bewijzen dat (8 + 8 − 8) : 8 niet verandert als we elke 8 vervangen door
nog een ander getal. Als je alle achten vervangt door een willekeurig strikt positief getal
x, dan vind je (x + x − x) : x = x : x = 1 en dat is dezelfde uitkomst als zonet.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 8. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
9.
Benthe kan een wandeling van 700 meter maken door de genummerde pijlen te volgen:
Y
7
3
6
4
5
2
1
X
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 9. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
10.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
Als je de figuur van antwoord E opnieuw dubbelvouwt, dan krijg je een vierkant waaruit
twee driehoekjes zijn weggeknipt. Om dit te bereiken moet je 4 keer knippen. Omdat
Laurien maar 2 keer mag knippen, kan ze deze figuur dus niet verkrijgen.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 10. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
11.
Als je de balk draait, dan zie je duidelijk welke vorm het witte stuk
heeft. Antwoord D is het juiste antwoord.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 11. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
12.
Om de som zo klein mogelijk te maken, proberen we de twee termen allebei zo klein
mogelijk te maken. Daarvoor kiezen we de duizendtallen zo klein mogelijk; we kiezen dus
1 en 2 voor de duizendtallen. Daarna kiezen we ook de honderdtallen zo klein mogelijk;
omdat we 1 en 2 al gebruikt hebben, kiezen we 3 en 4 voor de honderdtallen. Daarna
kiezen we ook de tientallen zo klein mogelijk; omdat we 1, 2, 3 en 4 al gebruikt hebben,
kiezen we 5 en 6 voor de tientallen. Daarna blijven alleen 7 en 8 over voor de eenheden.
Zo krijgen we (bijvoorbeeld) de getallen 1357 en 2468. Hun som is 1357 + 2468 = 3825.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 12. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
13.
Het getal 1 schrijven we op een willekeurige plaats. Naast 1 kunnen alleen 2 en 3 komen.
2
1
3
Naast 2 kunnen alleen 1, 3 en 4 komen; naast 3 kunnen alleen 1, 2, 4 en 5 komen. Dus is
er maar één mogelijkheid: naast 2 komt ook nog 4 en naast 3 komt ook nog 5.
2
4
1
3
5
Op dezelfde manier vullen we de cirkel aan.
2
4
1
6
3
8
5
7
10
12
9
11
We zien dat 8 en 10 naast elkaar moeten staan.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 13. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
14.
Het stuk dat vroeger voor aardbeien diende en nu voor erwten is een rechthoek met breedte
3 m en oppervlakte 15 m2 . De lengte van die rechthoek is dus 5 m.
15 m 2
3m
5m
Het stuk met de erwten nu is dus een vierkant met zijde 5 m. Vroeger was het echter een
rechthoek, waarvan de breedte 3 m korter was. Het was dus een rechthoek van 5 m bij 2
m. De oppervlakte was dus 10 m2 .
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 14. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
15.
De som van de eerste drie getallen moet 100 zijn en de som van de middelste drie getallen
moet 200 zijn: daarom verschillen het eerste en het vierde getal precies 100. We vinden
dan:
10
110 130
De som van de laatste drie getallen moet 300 zijn. Dus is het middelste getal gelijk aan
300 − 130 − 110 = 60.
10
60
110 130
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 15. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
16.
We benoemen de punten zoals in de figuur.
C
B
G
29
58
D
100
93
51
F
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
S
E
b = 180◦ − B
b − Fb =
In 4BDF kennen we al twee hoeken. Zo vinden we de derde hoek D
◦
◦
◦
◦
180 − 58 − 93 = 29 . In 4SGD kennen we nu ook twee hoeken. Zo vinden we de derde
b−D
b = 180◦ − 100◦ − 29◦ = 51◦ .
hoek Sb = 180◦ − G
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 16. 17.
Juanita kan het getal 7 alleen verbinden met “is kleiner dan 100”, want 7 is wél deelbaar
door 7, 7 is wél een priemgetal en 7 is oneven.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 17. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
18.
Stel x is de hoogte van de kleinste kubus. De andere kubussen hebben dan hoogten x + 2,
x + 4, x + 6 en x + 8. De eerste stapel heeft dan hoogte x + (x + 2) = 2x + 2. Die stapel is
even hoog als de grootste kubus, dus 2x + 2 = x + 8. Hieruit volgt dat x = 6. De kubussen
hebben dus hoogten 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm en 14 cm. De toren die bestaat uit alle
kubussen heeft dan hoogte 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 cm.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 18. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
19.
Aangezien Stefanie stapt tegen 6 km/u op een band die beweegt tegen 4 km/u, is haar
totale snelheid 10 km/u. De tijd die ze nodig heeft om 500 m af te leggen, bepalen we als
volgt:
10 km
10000 m
500 m
↔
↔
↔
1 uur
60 minuten
3 minuten
Stefanie doet er dus 3 minuten over. Heel die tijd beweegt Pieter-Jan tegen 4 km/u. De
afstand die hij aflegt, bepalen we als volgt:
4 km
4000 m
200 m
↔
↔
↔
1 uur
60 minuten
3 minuten
Pieter-Jan legde dus al 200 m af, op het moment dat Stefanie op het einde van de rolband
is. Stefanie heeft dan een voorsprong van 500 − 200 = 300 m.
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 19. 20.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
Bekijk het zijvlak dat het bovenvlak is van de kubus als die op plaats 1 ligt.
• Op plaats 2 wordt dit vlak het rechterzijvlak.
• Op plaats 3 wordt dit vlak het ondervlak.
• Op plaats 4 wordt dit vlak het achtervlak.
• Op plaats 5 blijft dit vlak het achtervlak.
• Op plaats 6 wordt dit vlak het bovenvlak.
Op plaatsen 1 en 6 ligt hetzelfde zijvlak bovenaan.
c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 20. 21.
We zien dat het aantal mannen deelbaar moet zijn door 7 en dat het aantal vrouwen
deelbaar moet zijn door 5. Omdat er minder dan 50 mannen of vrouwen zijn, geeft dit de
volgende mogelijkheden:
aantal
mannen
7
14
21
28
35
42
49
aantal
dansende
mannen
3
6
9
12
15
18
21
aantal
vrouwen
5
10
15
20
25
30
35
40
45
aantal
dansende
vrouwen
4
8
12
16
20
24
28
32
36
Door de rechterkolommen te vergelijken, zien we dat er 12 paren aan het dansen zijn. Er
staan dus 24 mensen op de dansvloer.
Het kan ook nog anders: het aantal mannen is deelbaar door 7, maar ook door 4 (want 73
van het aantal mannen is deelbaar door 4). Er zijn dus 28 mannen, want 28 is het enige
veelvoud van 7 en 4 dat groter is dan 0 en kleiner is dan 50. Van hen zijn er 12 aan het
dansen en dat levert 24 mensen op de dansvloer.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 21. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
22.
De zijden van de vierhoekjes en van de driehoekjes overdekken de drie lijnstukken 2 keer
en de grote driehoek 1 keer. Als we de som van alle zijden van de vierhoekjes en van de
driehoekjes verminderen met de omtrek van de grote driehoek, vinden we dus het dubbel
van de totale lengte van de lijnstukken. Dus:


Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
=

1


2

+
−






1
(25 + 20 − 19)
2
= 13
=
De som van de lengte van de drie lijnstukken is dus 13 cm.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 22. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
23.
De aantallen die door de muizen werden gestolen, komen uit de lijst
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sommige aantallen kunnen echter niet samen voorkomen: 1 en 2, 2 en 4, 4 en 8, 3 en
6. Daarom moeten we enkele getallen schrappen uit de lijst. We moeten alvast 3 of 6
schrappen (het maakt niet uit welke; we schrappen bijvoorbeeld 3). Ook moeten twee
getallen schrappen uit {1, 2, 4, 8} (we schrappen bijvoorbeeld 1 en 4). Zo vinden we de
volgende aantallen, waarbij er geen enkel aantal het dubbel is van een ander aantal:
2
5
6
7
8
9
Er zijn dus hoogstens 6 stelende muizen aan het werk geweest.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 23. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw
24.
Een gelijkzijdige driehoek wordt op zichzelf afgebeeld door een draaiing om zijn
zwaartepunt over 120◦ . Welnu: 3◦ + 9◦ + 27◦ + 81◦ = 120◦ . De vijfde stand valt dus
samen met de eerste stand. De volgende draaiingen leveren ook geen nieuwe standen op,
want
35 = 243 = 2 · 120 + 3
36 = 729 = 6 · 120 + 9
37 = 2187 = 18 · 120 + 27
enzovoort
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:23 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 24. Vlaamse
Wiskunde Olympiade vzw