2009-2010 - Kangoeroewedstrijd

1.
Als je H vervangt door 3 in de uitdrukking H + H + 6 = H + H + H + H, dan verkrijg je:
3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
2.
Bekijk de onderstaande figuur waarop alle eventuele symmetrieassen aangeduid zijn:
Door de figuur te spiegelen rond de verticale of horizontale lijn, overlappen de kangoeroes elkaar.
Dit is niet het geval voor de twee diagonalen. Deze figuur heeft dus 2 symmetrieassen.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 2. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
3.
We stellen de lengte van één kubusvormig doosje gelijk aan 1. Het volume van zo’n doosje is
dus gelijk aan 1 · 1 · 1 = 1. Aangezien er 8 speelgoedkangoeroes worden verzonden is het volume
van de grote kubusvormige doos gelijk aan 8 · 1 = 8. We berekenen nu de ribbe r van deze grote
kubus. Het volume van de kubus is steeds gelijk aan r3 . Aangezien het volume gelijk is aan 8,
is r3 = 8 en dus r = 2. Op de bodem van de grote doos staan er dus 2 · 2 = 4 doosjes.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 3. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
4.
De onderste zijde van de figuur heeft lengte a + a + a = 3a en de lengte van de linkse zijde is
gelijk aan b + 2b + b = 4b. De totale omtrek van de figuur is dus gelijk aan
a + b + a + 2b + a + b + 3a + 4b = 6a + 8b.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 4. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
5.
Het is onmogelijk om een vierkant te tekenen. De vier andere figuren kan Zara wel tekenen.
Trapezium:
Scherphoekige driehoek:
Rechthoekige driehoek:
Stomphoekige driehoek:
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 5. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
6.
We stellen n gelijk aan het kleinste natuurlijk getal dat Randi gekozen heeft. We weten dat de
som van de drie kleinste getallen gelijk is aan 33. Dit wil dus zeggen:
n + (n + 1) + (n + 2) = 33.
Als we dat een beetje herschrijven dan vinden we
3n + 3 = 33.
Uit deze vergelijking haal je dan n:
3n = 30
of dus
n = 10.
De zeven getallen die Randi gekozen heeft, zijn dus
10 11 12 13 14 15 16,
zodat de som van de drie grootste gelijk is aan 14 + 15 + 16 = 45.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 6. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
7.
Geen uitgewerkte oplossing beschikbaar
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 7. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
8.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
Nummer drie blokken zoals in onderstaande figuur. Door die drie blokken te verschuiven, wordt
er plaats gemaakt voor nog zo’n blok.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 8. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
9.
We lijsten alle mogelijkheden hieronder op:
• Nina kleurt óf arceert alle kleine vierkantjes. Dit geeft bijgevolg twee verschillende patronen.
• Nina kleurt óf arceert 1 vierkantje. Dit levert opnieuw twee patronen hebben.
• Nina kleurt twee vierkantjes (en arceert bijgevolg de twee andere). Dit kan op twee
manieren: Nina kleurt twee vierkantjes die naast elkaar gelegen zijn of twee vierkantjes
die tegenover elkaar liggen. Opnieuw zijn er hier dus 2 mogelijkheden.
In totaal vinden we zo dus 6 verschillende patronen.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 9. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
10.
De som van de kleinste honderd even natuurlijke getallen is gelijk aan
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 194 + 196 + 198 + 200,
terwijl de som van de kleinste honderd oneven natuurlijke getallen gelijk is aan
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 193 + 195 + 197 + 199.
Het verschil is dus gelijk aan
(2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 194 + 196 + 198 + 200) − (1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 193 + 195 + 197 + 199).
Dit kunnen we echter als volgt herschrijven:
(2 − 1) + (4 − 3) + (6 − 5) + (8 − 7) + . . . + (194 − 193) + (196 − 195) + (198 − 197) + (200 − 199).
Aangezien iedere term tussen de haakjes gelijk is aan 1 en er zo 100 termen zijn, verkrijgen we
dat bovenstaande uitdrukking gelijk is aan 100.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 10. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
11.
We moeten het kleinste gemeen veelvoud bepalen van 3, 5 en 6. Dit is gelijk aan 30.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 11. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
12.
Aangezien Lucas 18 minuten nodig heeft om drie korte kettingen te verbinden, heeft hij 9
minuten nodig om twee korte kettingen te verbinden met elkaar. Aangezien hij zes korte
kettingen moet verbinden met elkaar, wil dit zeggen dat hij in totaal 5 keer kettingen met
elkaar moet verbinden. De tijd die hij hiervoor nodig heeft is dus 5 · 9 = 45 minuten.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 12. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
13.
Als Frank één keer zaagt, heeft hij twee stukken. Zaagt hij twee keer, dan heeft hij er drie. Dit
kun je blijven herhalen. Als hij maar 1 boom had omgehakt, dan zou Frank dus 18 stukken
hebben. Heeft hij er twee omgehakt, dan eindigt hij met 19 stukken. Om op het einde exact
22 stukken over te houden, moet hij dus 5 bomen omgehakt hebben.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 13. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
14.
De oppervlakte van rechthoek ABCD is gelijk aan 6 · 10 = 60 cm2 , zodat de gekleurde oppervlakte gelijk is aan 30 cm2 . Aangezien |SR| = 6 cm, zal |XS| = 5 cm. We weten verder dat
P QRS een vierkant is, zodat alle zijden dezelfde lengte hebben, namelijk 6 cm. Bijgevolg is
|P X| = 6 − 5 = 1 cm.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 14. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
15.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
Met twee lijnstukken kun je een cirkel in hoogstens 4 stukken verdelen. Met 3 lijnstukken lukt
het wel:
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 15. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
16.
We bekijken de vier gelijkheden wat van naderbij:
• a − 1 = e − 5 zodat a = e − 4. Bijgevolg is e > a.
• b + 2 = e − 5 zodat b = e − 7. Bijgevolg is e > b.
• c − 3 = e − 5 zodat c = e − 2. Bijgevolg is e > c.
• d + 4 = e − 5 zodat d = e − 9. Bijgevolg is e > d.
Het getal e is dus het grootst.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 16. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
17.
Om een kalkoen te kunnen ruilen, moet boer Teun er eerst voor zorgen dat hij 5 eenden heeft.
Dit kan enkel maar door twee maal drie eenden te ruilen. Als je drie eenden wil hebben, moet
je hiervoor 1 gans en 2 kippen hebben. Dit is echter hetzelfde als 6 kippen. Om een kalkoen te
krijgen, moet boer Teun dus tweemaal 6 kippen ruilen. In ruil voor deze 12 kippen krijgt hij
dus 1 kalkoen en heeft hij nog 1 eend over. Om tenslotte nog een gans te krijgen, ruilt hij nog
vier kippen. In totaal heeft boer Teun dus 12+4=16 kippen meegebracht.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 17. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
18.
Vouw je het papier één keer, dan moet de linkse helft van het zijaanzicht perfect passen op de
rechterhelft nadat die linkse helft 180◦ gedraaid is. Dit principe moet nu nog worden herhaald
als je een tweede en derde keer vouwt.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 18. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET - © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
19.
Hoe Nele telkens twee getallen vervangt, speelt geen rol wegens de commutativiteit van de
optelling in N. Aangezien er tien getallen zijn, wil dit zeggen dat ze in totaal 9 keer twee
getallen zal moeten vervangen door hun som verminderd met 1. Het getal dat overblijft is dus
de som van 1 t.e.m. 10 verminderd met 9 · 1 = 9. Dit is gelijk aan 46.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 19. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
20.
Het grootste natuurlijk getal dat wel geschreven kan worden als de som van drie verschillende
getallen van één cijfer is gelijk aan 7 + 8 + 9 = 24. Bijgevolg is 25 het kleinste natuurlijk getal
dat niet geschreven kan worden als de som van drie verschillende getallen van één cijfer.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 20. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
21.
De oppervlakte van het ganse gebied is gelijk aan de helft van de oppervlakte van een cirkel
met straal 8 cm; dit is dus 32π cm2 . Dit is duidelijk door het grijze gebied wat aan te passen
zoals in onderstaande figuur:
Op deze figuur is ook onmiddellijk duidelijk dat de oppervlakte van het grijze gebied gelijk is
aan de helft van de oppervlakte van een cirkel met straal 4, m.a.w. 8π cm2 . Het grijze gebied
8
1
is dus
= van de hele figuur.
32
4
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 21. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
22.
9
6
2
4
5
8
1
3
7
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 22. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
23.
Bekijk de onderstaande figuur:
Het witte gebied dat we uit het grijze gebied wegnemen, heeft dezelfde oppervlakte als het rode
gebied. Doen we nu hetzelfde door te kijken naar de lijnstukken [AB] en [BC], dan vinden we
de volgende figuur:
De oppervlakte van driehoek ABC is bijgevolg gelijk aan 11 cm2 .
c
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 23. Vlaamse
Wiskunde Olympiade v.z.w.
Aangemaakt: ma 21 okt 2013, 9:21 CET © USolv-IT - Enkel voor gebruik binnen de school.
24.
Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 24. cVlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.