KROMLIJNIGE BEWEGING herh 6V

KROMLIJNIGE BEWEGING
I
HORIZONTALE WORP
II
CIRKELBEWEGING
III GRAVITATIE: SATELLIETEN
IV
KOGELBAAN (*)
V
WRIJVING: MODELLEREN (V)
EEN FILOSOFISCH VOGELTJE?
Een jager mikt met zijn revolver op een musje in een boom:
de mus en het pistool zitten in het begin op gelijke hoogte en
de jager schiet EXACT horizontaal.
Het vogeltje is vreselijk slim en laat zich vallen EXACT op
het moment dat het de vinger ziet krommen.
Overleeft de mus de strijd?
I.1
Vogel en kogel altijd even hoog,
Voorwaartse beweging en val zijn ONAFHANKELIJK
THEORIE HORIZONTALE WORP
x-richting
constante snelheid  formules eenparige beweging
afstand
x  v x .t
snelheid
v x  constant
y-richting
vx
versneld zonder beginsnelheid
hoogte
y  gt
snelheid
v y  g.t
1
2
vx
2
vy
Hoek
vx
tan  
I.3
vy
vx
vy
DE BOZE LEERLING
Piet-Hein is gezakt voor zijn VWO-examen, met een onvoldoende voor natuurkunde. Uit
wraak besluit hij om de school te bombarderen. Uit zijn privé vliegtuigje laat hij van 80 m
hoogte een bom vallen, precies als hij met 100 m/s recht boven lokaal 306 vliegt.
Je begrijpt wel dat hij mist.
A Waarom mist hij?
De bom heeft ook een vx van 100 m/s
B Op hoeveel meter naast de school komt de bom neer?
Eerst valt ijd
y  12 gt 2  80  5t 2  t  16  4,0 (s)
dan schootsafs tand
x  v x t  x  100 x4  400 (m)
100
C Onder welke treft de bom de grond?
Vertikale snelheid
Hoek
I.4
α
v y  gt  10 x 4  40 (m/s)
tan 
vy
vx
 0,40    21
40
HOE SNEL SCHIET EEN BUKS?
DOEL
De snelheid van bukskogeltjes op 2 manieren bepalen, met kogelbaan en opzwaai.
METHODE
Schiet kogeltje van m (gr) in blok hout
van M (gr) om de snelheid te verlagen
van v tot u, waarbij
mM
v
u
m
v
M
m
m+M
VOOR DE BOTSING
u
NA DE BOTSING
De snelheid u na de botsing is met je dan uit de opzwaai en de kogelbaan van ´t blok.
RESULTATEN
m=1,2 gr
M=124 gr
y
kogelbaan
y=80 cm
x=25cm
Opzwaai
L=250 cm x=29 cm
L
y1
x
y2
x
KOGELBAAN
Eerst valtijd uit hoogte
1
gt 2  0,80  5t 2 
2
t 2  0,16  t  0,40(s )
y 
dan snelheid blok uit schootsafstand
u blok 
x 0,25(m)

 0,625(m / s)
t 0,40( s)
tot slot snelheid kogel uit massa’s
v 
124  1,2
0,625  65,20  65(m / s )
1,2
OPZWAAI
Meetkunde eerst
y 12  L2  x 2  2502  292  248,3(cm )
y 1  y 2  L  y 2  250  248,3  1,7(cm )
dan snelheid blok uit E-behoud
E kin E z dus 21 Mu 2  Mgh 
u  2 gh  2.10.0,017  0,58(m / s )
tot slot snelheid kogel
v 
124  1,2
0,58  73,6  74(m / s )
1,2
CONCLUSIE
Bij de kogelbaan lijken er minstens twee storende factoren te werken:
(1) Op de tafel is zeker glijwrijving waardoor u en dus ook v te laag is.
(2) Het blok kan doorstuiteren, waardoor x en dus u en v te hoog.
Wrijving zou de fout van een 15% lagere waarde kunnen verklaren.
BALLETJE BALLETJE
DOEL
De snelheid van de kogel aan voet van de
helling op 3 manieren berekenen en de re-
sultaten vergelijken.
METHODE
Opstelling bouwen en de kogel op carbonpapier laten vallen om de afstanden te meten waarover het kogeltje versnelt en die
het aflegt.
RESULTATEN
Hellend vlak
α=30o
L=30 (cm)
Kogelbaan
y = 80 (cm)
x = 60 (cm)
Energiebehoud
h = L cosα =30cos30=15(cm)
BEREKENINGEN
Energieomzetting
Ez  Ekin dus mgh  12 mv2  v 2  2gh 
v  2gh  2 x10 x0,15  3  1,73 (m/s)
Hellend Vlak
versnelling
reistijd
a  g sin   10 sin 30  5,0 (m/s 2 )
L  12 at 2  0,30  2,5t 2  0,12  0,34(s)
eindsnelhe id v  a .t  5,0x 0,346  1,73 (m/s)
Kogelbaan
reistijd
y
1
2
gt 2  0,80  5t 2  t  0,16  0,40 (s)
beginsnelh eid v 
x 0,60(m )

 1,50 (m/s)
t
0,40(s )
E-behoud en hellend vlak houden GEEN rekening met rol van wrijving
 Uitkomsten te hoog  kogelbaan meeste betrouwbaar
ROND BTn CIRKELEN
Voor een cirkelbeweging is een kracht naar ´t midden
nodig, de middelpuntzoekende kracht Fmpz. Bij Einstein
is deze kracht de som van de 2 echte krachten die er
werken, Fz en Fsteun.
Fsteun
Voor cirkelbewegingen gelden de formules,
v 
2. .r
T
Fmpz 
mv
r
Fmpz
2
waarin T de duur van een rondje, v de snelheid, m de
massa en r de straal van de cirkel.
Fz
Jij (75 kg) fietst om BTn heen ,je cirkel heeft een straal van 5 m en een rondje duurt
10 sec. Je zit kaarsrecht op de fiets want BTn levert met een touw de nodige kracht.
A Bereken je baansnelheid v.
v 
2. .r 2. .5(m )

 3,14(m / s )
T
10(s )
B Bereken de kracht die de arme BTn moet leveren.
Fmpz
mv 2 75.3,14 2


 148(N )
r
5
C Hoeveel graden moet je scheef hangen als BTn niet meer trekt.
tan  
ov Fmpz
148(N )


 0,20    11o
al
Fz
750(N )
KEGELSLINGER
Bol B (100 g) is met een touw (L=50 cm) bevestigd
aan een verticale staaf. B slingert zoals hiernaast
weergegeven om de staaf (kegelslinger)
A Bereken de middelpuntzoekende kracht Fmpz op
de bol als α = 40.
Fmpz Fmpz
Fmpz = ov
tan 40 


Fz
1,0
Fz = al
Fmpz  tan 40  0,84( N )
B Bepaal de baansnelheid die B dan heeft.
Fmpz
r  L sin 40  50 sin 40  32(cm)
mv 2
0,100 xv2
0,84 
 0,84 
 v 2  2,688  v  2,688  1,6(m / s)
r
0,32
C Bereken het toerental van B (1/min) als r= 20 cm.
r  L sin   20  50 sin     24o
Fmpz  Fz tan   1,0 tan 24  0,45( N )
mv 2
0,100 xv2
0,45 
 0,45 
 v 2  0,90  v  0,90  0,95(m / s)
r
0,20
2r
v
0,95
v
 2rf  f1 

 0,75(1 / s)  f 60  60 x0,75  45(1 / min)
T
2r 2.3,14.0,2
Fz
EMMER WATER ZWAAIEN
Je kunt – in een vertikaal vlak - een emmer water ronddraaien zonder nat te worden. Als
je te langzaam draait dan wordt je nat, dat weet iedereen.
v
Stel dat de emmer het rondje NET haalt.
A Welke krachten werken er dan onder en boven?
BOVEN: Fz (geen Fduw!),
Fmpz=Fz
ONDER: Ftrek & Fz
Stel dat de straal van de cirkel dan 80 cm is.
B Bereken die snelheid v boven waarbij je net niet nat wordt.
Fz  Fmpz
Fmpz=Ftrek-Fz
mv 2
 mg 
 v 2  rg  v r.g  0,8 x10  2,8(m / s)
r
C Bepaal de snelheid w beneden als je net niet nat wordt.
Energieomz etting : E kin  E kin'  E z dus
1
2
w
mw2  mgh  12 mv 2
w 2  v 2  2 gh  w2  2,8 2  2.10.1,6  8  32  40  w  40  6,3(m / s)
TIJD UIT HOEK OP FOTO
Als je op een foto de hoek van een sporter meet die een
rondje schaatst, fietst, loopt, enz.. Dan kun je uit de hoek
zijn snelheid en zijn eindtijd berekenen.
Fsteun
Kijk maar naar de schaatser: de hoek is 27o , de straal
27 m en het gaat om een 5 km wedstrijd.
Fmpz
A Maak een krachten analyse voor de schaatser.
Fz en Fsteun leveren Fmpz
B Waarom speelt de massa geen rol, leg dit uit door een
verband tussen hoek en snelheid af te leiden
tan  
Fmpz
Fz
mv 2 / r v 2


mg
rg
Fz
massa deelt weg, speelt geen rol dus!
C Bereken uit de hoek de snelheid.
v  r.g. tan   27.10. tan 27  11,7(m / s)
D Bepaal daaruit de 5-km-tijd
s
s
5000(m)
v
 t 

 426,3( s)  7 min 6,3( s)
t
v 11,7(m / s)
DE AARDE WEGEN
De aarde is bij benadering een bol met straal van
6,6x103 (km). De massa Maarde veroorzaakt op elke massa m een versnelling g = 9,81 (m/s2).
A Bereken hieruit hoe groot Maarde is.
mM
gr 2
Fgrav  Fz  G 2  mg  M 
G
r
9,81(m / s 2 ).(6,6 x10 6 ) 2 (m 2 )
24
M 

6
,
4
x
10
(kg)
11
2
2
6,7 x10 ( Nm / kg )
B Bereken g op een hoogte van 36.000 km, waar geostationaire satellieten draaien.
r
36.000  6600
1
2
Raarde  6,45R  g boven 
g

0
,
235
(
m
/
s
)
onder
2
6600
6,45
C Check mbv deze g of de duur van een omloop inderdaad 24 uur bedraagt..
snelheid
periode
v2
g
 v  rg  4,26 x10 7.0,235  3,16 x10 3 (m / s)
r
2r
2r 6,28x4,26 x10 7
5
v
T 


8
,
46
x
10
( s)  24(u)
3
T
v
3,16 x10
GEOSTATIONAIRE SATELLIET
Geostationaire satellieten draaien in 24 u
hun rondjes boven een vaste plek op
aarde.
Bewijs dat dit alleen kan op een hoogte
van 36x103 (km) boven de evenaar.
mM mv 2
GM
2
G 2 
v 
r
r
r
Fgrav  Fmpz
v
4 2 r 2 GM
T 2 4 2

 3 
2
r
GM
T
r
2r
T
1
3
 6,7 x10 x6,4 x10 x(24 x3600) 
7


4
,
3
x
10
( m)

2
4


43.000  7.000  36.000 km boven aarde
GMT
r
4 2
3
2
11
24
2
KEPLERWETTEN
Kepler schreef een studie over Mars, waarin hij 100derden wiskundige
wetten formuleerde. De wetten klopten binnen enkele boogseconden.
Newton pikte er 3 uit die hij tot hart van zijn systeem maakte:
Kepler I ELLIPSEN
Planeten beschrijven ellipsen om de zon, die in een brandpunt staat.
Kepler II PERKENWET
In gelijke tijden beschrijven planeten
gelijke oppervlakten (perken).
Kepler III T2 ~ r3
De kwadraten van de omlooptijden zijn evenredig met de derde
machtren van de afstanden tot de zon.
HYPOTHESES NON FINGO!
Inductieve methode Newton  gravitatiewet afgeleid uit de ‘verschijnselen’
 uitgangspunt Kepler 1, 2 en 3
planeten ellipsen om de zon in brandpunt
gelijke perken in gelijke tijden
T2 ~ r3
 ik verzin geen hypotheses (maar bewijs ze!)
Hoe loopt dat ‘bewijs’ algebraïsch?
4 2 r 3
T 
GM
2
 2r 
m


mv 2
4 2 mr
T


F


r
r
T2
2
4 2 mrGM
mM
F
G 2
2 3
4 r
r
REKENEN AAN KOGELBAAN
KLASSIEKE KOGELBAAN
geen luchtwrijving,
KLIK HIER
neem g = -10 (m/s2)
Animatie Fendt
kies O aan voet van de toren
kies omhoog positief
v x (t )  vox  constant
v y (t )  v0 y  gt
x(t )  vox .t
y(t )  h  v0 y t  12 gt 2
Vanaf 80 m hoogte wordt met 30 m/s een kogel weggeschoten onder een hoek
van 30o met de horizon. Bereken achtereenvolgens: A de begincomponenten
van de snelheid, B hoogte top, C schootsafstand, D eindsnelheid en hoek.
A Begincomponenten snelheid
v x  30 cos 30  26,0(m / s)
v y  30 sin 30  15,0(m / s)
B Eerst tijd
top  v y  0  0  15  10t  t  1,5( s )
dan hoogte
y(1,5)  h  v y t  12 gt 2  80  15 *1,5  5.1,5 2  91,25  91,3(m)
C Beneden als hoogte 0:
0  80  15t  5t 2  t 2  3t  16  0  t 
schootsafstand
3  9  64)
 5,77 (s)
2
x(6,75)  26,0 x5,77  175,5  150(m)
D Eindcomponenten snelheid leveren de hoek:
v y (t )  15  gt  v y (5,77)  15  57,5  42,5(m / s)
tan  
vy 52,5

 3,5    74 o
vx
15
VALLEN ZONDER Fw
Onderstaand model geldt voor het vallen van een kogel vanaf ´n toren van 80 m.
Het vallen is wrijvingsloos. De beweging stopt als de kogel op de grond is (y=0).
Als y>0 dan
y
t
y=80
vy=vy+g*dt
g=-9,8
y=y+vy*dt
vy=0
t=t+dt
t=0
Eindals
dt=0,01
y,t
vy,t
LUCHTWEERSTAND
Luchtweerstand hangt af van:
snelheid v object tov lucht
grootte A van het frontale oppervlak
luchtdruk of luchtdichtheid ρ
wervelingen van de lucht
Flucht
Meten: in windtunnel met krachtmeter trekken.
v
Het vallende rode filtertje brengt de blauwe lucht
in beweging en krijgt daardoor luchtwrijving, de
reactiekracht. De blauwe massa moet versneld
worden. De kracht bepaal je met F=m.a:
Flucht  Freactie  m.a  Vcil a
v
L

Av  Av 2
t
t
 CAv 2  Flucht  kv 2
Flucht   .LA
Flucht
D Bij wervelingen wordt het te verplaatsen
luchtdoosje kleiner en Flucht dus ook!
Factie
MODELLEREN
In echte situaties heb je niks aan de gewone
schoolnatuurkunde: neem een optrekkende
auto, met tegenwind dus.
We rekenen hier aan met MODELLEREN: de
computer rekent met natuurkundige regels
(vergelijkingen) 1000den keren de nieuwe
snelheid en de nieuwe plek uit, beginnend
met een paar startwaarden.
VERGELIJKINGEN
STARTWAARDEN
Fw=-C*A*v*v
R=Fm+Fw
a=R/m
v=v+a*dt
x=x+v*dt
t=t+dt
x=0
v=0
A=1,5
m=500
C=2
Fm=2000
t=0
dt=0,01
VALLEN MET WRIJVING
Weer een val vanaf de toren van 80 m.
Er is nu wel wrijving, Fw=-kv2.
De kogel stopt ook nu weer als y=0,
precies op de grond dus.
Als y>0 dan
y=80
Fres=m*g+k*v*v
g=-9,8
a = Fres/m
m=5
vy=vy+a*dt
k=1
y=y+vy*dt
vy=0
t=t+dt
t=0
Eindals
dt=0,01
HORIZONTALE WORP
Dit model benadert kogelstoten als een
horizontale worp. Omdat er bijna geen
Fw is nemen we de massa niet mee en
rekenen alleen met de snelheid van 30
m/s, de beginhoogte van 1,8 m en g.
Als y>0 dan
y=1,80
vy=vy+a*dt
x=0
y=y+vy*dt
g=-9,8
x=x+vx*dt
vx=30
t=t+dt
vy=0
Eindals
t=0
dt=0,01
VERSCHILLENDE BEGINHOEKEN
De snelheid van 30 m/s was veel te hoog,
we nemen nu 15 m/s.
Het model van de horizontale worp was
niet realistisch, we gaan nu werken met
variabele hoeken en kijken wat de beste
hoek is.
Als y>0 dan
vy=vy+g*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
t=t+dt
Eindals
g=-9,8
x=0
y=1,8
v=15
hoek =30
vx=v*cos(2*pi*hoek/360)
vy=v*sin(2*pi*hoek/360)
t=0
dt=0,01
KOGELBAAN MET WRIJVING
Het gaat om een model waarin ´n kogel onder
een hoek van 30 graden weggeschoten wordt
met snelheid 50 m/s, zie startwaarden.
Er is luchtwrijving volgens de formule
Fwrijving = - kv2
Let vooral op het teken in de vergelijking voor
Fy, die kracht moet tegen vy in wijzen!
Als y> 0 dan
Fx=-k*vx*vx
Fy=m*g-k*vy*sqrt(vy*vy)
ax=Fx/m
ay=Fy/m
vx=vx+ax*dt
vy=vy+ay*dt
y=y+vy*dt
x=x+vx*dt
t=t+dt
Eindals
g=-9.81
m=5
k=0.1
v=50
hoek=30
vx=v*cos(hoek*2*pi/360)
vy=v*sin(hoek*2*pi/360)
x=0
y=0
t=0
dt=0.01
EINDE