Hoofdstuk 7: Interne krachten

STATICA
STATICA is de studie van lichamen die in rust zijn of met constante snelheid bewegen.
In dit vak kijken we enkel naar 2D-situaties, dus wanneer alle krachten op hetzelfde vlak werken.
HOOFDSTUK 1: ALGEMENE PRINCIPES
Er zijn 4 basisgrootheden. In SI grootheden:
 Lengte (in 𝑚)
 Tijd (in 𝑠)
 Massa (in 𝑘𝑔)
𝑘𝑔∙𝑚
 Kracht (in 𝑁 = 2 )
𝑠
Bij berekeningen aan systemen e.d. wordt de werkelijkheid versimpeld weergegeven d.m.v. modellen:
 DEELTJES: deeltjes hebben wel een massa, maar een verwaarloosbare grootte
 STARRE LICHAMEN: een star lichaam bestaat uit een groot aantal deeltjes die nauwkeurig zijn
gerangschikt t.o.v. elkaar en vervormt onder een bepaalde lading
 GECONCENTREERDE KRACHTEN: een geconcentreerde kracht weergeeft het effect van een lading
waarvan we aannemen dat het op een bepaald punt aangrijpt
De mechanica is gebaseerd op Newtons 3 wetten van beweging:
1. Een deeltje dat in rust is of met constante snelheid beweegt verandert niet omdat er geen
resulterende kracht op werk (𝐹𝑟𝑒𝑠 = 0).
2. Een deeltje waar wel een resulterende kracht op werkt (𝐹𝑟𝑒𝑠 ≠ 0) ondergaat een versnelling 𝑎 in
dezelfde richting als de resulterende kracht. De grootte van 𝑎 wordt bepaald door de kracht en de
massa van het deeltje: 𝐹 = 𝑚𝑎.
3. De wederzijdse krachten van actie en
reactie tussen 2 deeltjes zijn even groot,
𝐹𝑔 = gravitatiekracht tussen 2 deeltjes
tegengesteld en in collineair: 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑒 =
𝑊 = gewicht
−𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑒.
𝐺 = gravitatieconstante = 66,73 ∙ 10−12 𝑚3 /(𝑘𝑔 ∙ 𝑠 2 )
𝑚1 , 𝑚2 = massa van elk van de 2 deeltjes
Een andere belangrijke wet is de gravitatiewet:
𝑀𝑒 = massa van de aarde
𝑚 𝑚
𝐹𝑔 = 𝐺 1 2 2
𝑟
=
afstand
tussen de 2 deeltjes
𝑟
𝑔 = valversnelling = 𝐺𝑀𝑒 /𝑟 2 = 9,81 𝑚/𝑠 2
De formule voor gewicht is hiervan afgeleid:
𝑚𝑀
𝑊 = 𝐺 2 𝑒 = 𝑚𝑔
𝑟
Vraagstukken m.b.t. statica kun je het best oplossen via de SYSTEMATISCHE PROBLEEM AANPAK (SPA):
1. Lees de vraag.
2. Maak een schema van de gegevens die je weet en de gegevens die je wilt weten.
3. Teken (ten minste) één VRIJ LICHAAM STRUCTUUR (VLS).
4. Noteer de vergelijkingen voor de kernbetrekkingen ∑ 𝐹𝑥 , ∑ 𝐹𝑦 en ∑ 𝑀𝐴 (allen zijn bij statica gelijk aan
0).
5. Wanneer je niet méér onbekenden dan vergelijkingen hebt, kun je (evt. door gebruik te maken van
substitutie) de onbekende waarden uitrekenen. Wanneer de uitkomst van een kracht of een moment
negatief is, betekent dit dat de richting tegengesteld is aan de getekende richting.
HOOFDSTUK 2: KRACHTVECTOREN
SCALAIR: een fysieke grootheid die volledig wordt gespecificeerd door zijn grootte
VECTOR: een fysieke grootheid die zowel een grootte als een richting vereist voor zijn volledige beschrijving
(grafisch weergegeven als een pijltje)
Met vectoren kunnen verschillende acties worden uitgevoerd:
 Vermenigvuldigen met / delen door een scalair: hierbij wordt de grootte van de vector
vermenigvuldigd met de grootte van de scalair

Optellen: hierbij worden 2 vectoren 𝐴 en 𝐵 gecombineerd tot vector 𝑅: 𝑅 = 𝐴 + 𝐵
o Parallellogrammethode: kies een punt waarin beide vectoren beginnen, teken vanaf de
pijlpunt van 𝐵 een lijn parallel aan 𝐴 en vanaf de pijlpunt van 𝐴 een lijn parallel aan 𝐵, en
teken vector 𝑅 vanaf het beginpunt van 𝐴 en 𝐵 tot aan het snijpunt van de getekende lijnen
o
Kop-staartmethode: kies een punt waarin vector 𝐴 begint, teken vector 𝐵 met als beginpunt
de pijlpunt van 𝐴 en teken vector 𝑅 vanaf het beginpunt van 𝐴 tot aan de pijlpunt van 𝐵
Wanneer vector 𝐴 en 𝐵 collineair zijn, dan is de grootte van vector 𝑅 gelijk aan de som van de grootte
van de vectoren 𝐴 en 𝐵:

Aftrekken: hierbij worden de vectoren 𝐴 en −𝐵 gecombineerd tot vector 𝑅′: 𝑅′ = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)
Krachten zijn vectoren. Je kunt de resulterende kracht bepalen door 2 (of meer) krachtvectoren op te tellen op
bovenstaande manier (𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 ). Je kunt ook een kracht ontbinden in 2 componenten parallel aan een
door jezelf te bepalen 𝑢 en 𝑣-as. Je tekent dan een parallellogram parallel aan deze assen met kracht 𝐹 als
diagonaal. De twee lijnstukken vanuit het beginpunt van 𝐹 zijn dan 𝐹𝑢 en 𝐹𝑣 .
Wanneer een kracht is ontbonden in 2 componenten langs de 𝑥- en 𝑦-as spreken we van rechthoekige
componenten. In veel opdrachten maken we gebruik van rechthoekige
componenten. De grootte hiervan kan dan berekend worden aan de hand van
een hoek dan wel een verhouding:
 Wanneer hoek 𝜃 bekend is, geldt:
o 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝜃
o 𝐹𝑦 = 𝐹 sin 𝜃

𝑎 𝑎
𝑏
𝑏 𝑐
𝑐
Wanneer de verhouding , en/of bekend is, geldt:
𝑎
o
𝐹𝑥 = 𝐹 ( )
o
𝐹𝑦 = −𝐹 ( ) (negatief omdat 𝐹𝑦 naar beneden gericht is)
𝑐
𝑏
𝑐
Wanneer de componenten bekend zijn en de resulterende kracht niet, dan
kun je de stelling van Pythagoras toepassen: 𝐹 = √𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 .
𝐹
Je kunt ook de hoek 𝜃 bepalen: 𝜃 = tan−1 | 𝑦 |.
𝐹𝑥
HOOFDSTUK 3: EVENWICHT VAN EEN DEELTJE
Een deeltje is in EVENWICHT wanneer het in rust blijft waarbij het oorspronkelijk ook in rust was (STATISCH
EVENWICHT), of wanneer het een constante snelheid heeft waarbij het oorspronkelijk al in beweging was
(DYNAMISCH EVENWICHT). Meestal spreken we echter van een statisch evenwicht.
Wanneer een deeltje in evenwicht is, is de resulterende kracht gelijk aan 0: ∑ 𝐹 = 0. Aangezien geldt 𝐹 = 𝑚 ∙
𝑎, betekent dit namelijk dat 𝑎 = 0.
Om de evenwichtsvergelijking toe te kunnen passen, moeten we alle krachten op een deeltje bepalen. Dit doen
we door het deeltje los van zijn omgeving te tekenen met alle krachten die erop werken (VRIJ LICHAAM
STRUCTUUR, VLS). Het tekenen van een VLS gaat volgens de volgende stappen:
1. Schets de vorm van het deeltje.
2. Teken alle krachten die op het deeltje werken. Dit zijn zowel actieve krachten (krachten die het deeltje
in beweging willen zetten) als reactieve krachten (krachten die de beweging tegengaan).
3. Geef voor zover bekend de grootte en richting van de krachten aan en label de onbekende krachten
met een letter.
Er zijn 2 typen verbindingen die vaak gebruikt worden in vraagstukken over evenwicht:
 Veren: een lineair elastische veer met een onvervormde lengte
𝐹 = kracht op de veer
𝑙0 verandert van lengte wanneer er een kracht op werkt (de
𝑘 = veerconstante of stijfheid
lengte verandert proportioneel aan de kracht):
𝑠 = 𝑙 − 𝑙0 = uitrekking van de veer
𝐹 =𝑘∙𝑠
 Kabels en katrollen: een kabel kan alleen een trekkracht
uitoefenen (geen duwkracht) en de kracht is overal in de kabel gelijk.
Wanneer een deeltje in evenwicht is, is de resulterende kracht in elke willekeurige richting gelijk aan 0. Bij het
rekenen aan de hand van een VLS gebruiken we een assenstelsel met een x-as en een y-as en geldt dus
∑ 𝐹𝑥 →+ = 0 e∑ 𝐹𝑦 ↑+ = 0n. De pijltjes geven hierin aan welke richting we als positieve richting kiezen.
HOOFDSTUK 4: RESULTANTEN VAN EEN KRACHTSYSTEEM
Wanneer er een kracht werkt op een
𝑀𝑂 = moment om punt 𝑂
lichaam ontstaat de neiging bij het
𝐹 = kracht op het voorwerp
lichaam om te draaien om punt dat
𝑑 = arm van de kracht
niet in één lijn staat met de richting
van de kracht. Dit noemen we het
MOMENT. Het moment wordt groter naarmate de kracht of de arm
(loodrechte afstand van de kracht tot het draaipunt) groter wordt: 𝑀𝑂 = 𝐹 ∙
𝑑.
De richting van 𝑀𝑂 kun je bepalen met de
rechterhandregel. Wijs met je rechterduim vanuit punt 𝑂 loodrecht op het
vlak, en wijs met je vingers in de richting van de kracht. Wanneer je je
vingers buigt, geven ze de richting van het moment aan (links- of rechtsom
draaiend).
Het resulterende moment om een bepaald punt kun je bepalen door de
momenten van alle krachten die op het deeltje werken op te tellen.
Hierbij nemen we over het algemeen de momenten rechtsom positief en
de momenten linksom negatief. ∑ 𝑀𝑂 ↻+ = 𝐹1 𝑑1 + 𝐹2 𝑑2 + 𝐹3 𝑑3
In veel opgaven is de arm van de
kracht niet bekend, maar wel de
afstand tot een ander punt van de
lijn van de kracht (𝑟) en de hoek
tussen deze afstand en de kracht (𝜃).
Voor het moment geldt dan: 𝑀𝑂 =
𝐹 ∙ 𝑟 ∙ sin 𝜃 = 𝐹 ∙ 𝑑.
Een regel die vaak toegepast wordt
in de mechanica is dat het moment
van een kracht rondom een punt gelijk is aan de som van de momenten
van de componenten van de kracht rondom dit punt.
Een KOPPEL is gedefinieerd als 2 parallelle krachten met dezelfde grootte en
een tegenovergestelde richting die een bepaalde (loodrechte) afstand 𝑑 van
elkaar verwijderd zijn. Omdat de resulterende kracht van een koppel gelijk
aan 0 is, is het enige effect van een koppel een moment.
Een KOPPELMOMENT is een vrije vector, oftewel, het maakt niet uit waar je
hem plaats in je tekening (enkel de afstand tussen de krachten is van belang).
Dit blijkt ook uit het voorbeeld hiernaast: 𝑀𝑂 = 𝐹(𝑎 + 𝑏) − 𝐹 ∙ 𝑎 = 𝐹 ∙ 𝑏.
Wanneer 2 koppels dezelfde grootte en richting hebben, dan zijn ze
gelijkwaardig.
Wanneer we gebruik maken van koppelmomenten is het resulterende
moment in punt 𝑂 de som van de momenten van de krachten rondom 𝑂 en alle koppelmomenten: (𝑀𝑅 )𝑂 =
∑ 𝑀𝑂 + ∑ 𝑀.
Soms kun je een systeem versimpelen door het te vervangen door een gelijkwaardig systeem (een systeem
waarop dezelfde externe krachten werken.
 Wanneer een systeem enkel bestaat uit krachten en koppelmomenten kun je het vervangen door een
gelijkwaardig systeem van een enkele resulterende kracht in een specifiek punt en een resulterend
koppelmoment.

Wanneer alle krachten elkaar snijden in een bepaald punt, dan kun je deze krachten vervangen door
de resulterende kracht met als aangrijppunt dit snijpunt.

Wanneer een systeem enkel bestaat uit een kracht en een moment in een bepaald punt, dan kun je de
kracht verplaatsen zodanig dat het moment t.o.v. het oorspronkelijke punt gelijk is aan het
oorspronkelijke resulterende moment. Voor de verplaatsing geldt: 𝑑 =
(𝑀𝑅 )𝑂
𝐹𝑅
.
Wanneer een lichaam is blootgesteld aan een lading die verdeeld is over het oppervlak,
spreken we ven een VERDEELDE BELASTING. Deze lading wordt in opgaven beschreven
als een functie van 𝑥: 𝑝 = 𝑝(𝑥)𝑁/𝑚2 . D.m.v. integreren kun je de resulterende kracht
van deze verdeelde belasting bepalen: 𝐹𝑅 = ∫𝐿 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 . De locatie van de resulterende
kracht kun je bepalen door de momenten van de resulterende krachten (𝑀𝑂 = 𝑑𝐹 ∙ 𝑥)
te delen door de resulterende kracht: 𝑥̅ =
∫𝐿 𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥
∫𝐿 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
. Integreren is echter (lang niet)
altijd nodig om de resulterende kracht te bepalen.
HOOFDSTUK 5: EVENWICHT VAN EEN STAR LICHAAM
Een star lichaam is in evenwicht wanneer zowel
de resulterende kracht als het resulterend
moment in ieder punt (bijv. 𝑂) 0 zijn: 𝐹𝑅 =
∑ 𝐹 = 0 en (𝑀𝑅 )𝑂 = ∑ 𝑀𝑂 = 0.
Voor een ander punt dan 𝑂 (bijv. 𝐴) geldt
namelijk: ∑ 𝑀𝐴 = 𝑟 × 𝐹𝑅 + (𝑀𝑅 )𝑂 = 0. Omdat
𝑟 = 0 en (𝑀𝑅 )𝑂 = 0 moet gelden 𝐹𝑅 = 0.
Om een overzicht van de opgave te krijgen, kun
je EEN VRIJ LICHAAM STRUCTUUR (VLS)
tekenen (zie H3). Dit is een schets van het
lichaam ‘geïsoleerd’ van zijn omgeving met
daarop alle krachten en koppelmomenten die erop werken weergegeven.
Er zijn verschillende typen contactpunten tussen lichamen en de omgeving. Welke krachten je in je VLS moet
tekenen, is afhankelijk van het type:
 Wanneer een ondersteuning voorkomt dat het lichaam in een bepaalde richting beweegt, dan is er
een kracht op het lichaam in die richting.
 Wanneer een rotatie wordt voorkomen, dan werkt er een koppelmoment op het lichaam.
Hiernaast staan een aantal voorbeelden. Zie voor meer voorbeelden blz. 202-203 van het boek.
INTERNE KRACHTEN tussen aangrenzende deeltjes zijn collineair en tegengesteld (derde wet van Newton). Ze
heffen elkaar op, dus ze creëren geen extern effect. Ze worden daarom ook niet getekend in een VLS wanneer
het gehele lichaam getekend wordt. Wanneer het lichaam wordt ‘doorgesneden’, worden de interne krachten
tussen de 2 helften wel getekend (zie H6).
Het gewicht van het lichaam wordt in de VLS weergegevens als één kracht vanuit het zwaartepunt recht naar
beneden.
Een ‘TWO-FORCE MEMBER’ is een element waarop slechts op twee punten een
kracht werken. Wanneer dit element in evenwicht is, moeten de twee krachten
even groot en tegengesteld zijn en dezelfde richting hebben als de lijn tussen de 2
punten.
Voor 2D-lichamen gebruiken we meestal de volgende 3 evenwichtsvergelijkingen: ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 en
∑ 𝑀𝑂 = 0. De richting van de x- en de y-as mag je zelf kiezen, zolang ze maar loodrecht op elkaar staan.
Als alternatief kan ook de set vergelijkingen ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝑀𝐴 = 0 en ∑ 𝑀𝐵 = 0 (waarbij de lijn door 𝐴 en 𝐵 niet
parallel loopt aan de y-as) of de set vergelijkingen ∑ 𝑀𝐴 = 0, ∑ 𝑀𝐵 = 0 en ∑ 𝑀𝐶 = 0 (waarbij 𝐴, 𝐵 en 𝐶 niet op
1 lijn liggen) gebruikt worden.
Wanneer een lichaam op meer punten ondersteund wordt dan nodig is voor evenwicht, dan is het lichaam
STATISCH ONBEPAALD. Dit betekend dat er meer onbekende krachten dan evenwichtsvergelijkingen zijn.
Wanneer er evenveel reactiekrachten als evenwichtsvergelijkingen zijn, garandeert dit niet dat het lichaam
stabiel is wanneer er een lading op werkt. In het eerste voorbeeld hiernaast bijvoorbeeld kan het moment
rondom 𝐴 nooit 0 zijn wanneer kracht 𝑃 erop werkt.
Wanneer alle reactiekrachten parallel zijn, kan dit ook tot problemen leiden. In het tweede voorbeeld kan de
resulterende kracht in x-richting nooit 0 zijn.
HOOFDSTUK 6: STRUCTURELE ANALYSE
Een VAKWERK is een structuur die bestaat uit smalle elementen (vaak stalen of houten balken) die aan hun
eindpunten aan elkaar bevestigd zijn. Hierbij nemen we aan dat alle krachten aangrijpen in de knooppunten en
dat de balken verbonden zijn door pinnen. Door dit aan te nemen zal elke balk zich gedragen als een ‘two-force
member’. Wanneer de kracht de neiging heeft om de balk te verlengen, spreken we van een TREKKRACHT en
wanneer hij de neiging heeft de balk de verkorten, spreken we van een DUWKRACHT.
Er zijn twee methoden om een vakwerk door te rekenen:


KNOOPPUNTMETHODE
Wanneer een vakwerk in evenwicht is, dan is ook ieder knooppunt van het vakwerk in evenwicht. Voor
elk knooppunt kun je dus een VLS tekenen en de evenwichtsvergelijkingen opstellen (omdat alle
krachten werken in hetzelfde punt, is er geen moment). In elk punt worden de reactiekrachten op het
knooppunt en de (interne) krachten van de balken die in dit knooppunt bevestigd zijn getekend.
Binnen de UT is afgesproken om alle krachten in de balken te tekenen als trekkrachten (een negatieve
kracht is een duwkracht). Kies bij het oplossen
van de vergelijkingen altijd een knooppunt met
ten minste 1 bekende kracht en hooguit 2
onbekenden. De berekende krachten kun je
weer gebruiken in de evenwichtsvergelijkingen
totdat alle krachten bekend zijn. Soms is het
nodig om eerst de evenwichtsvergelijkingen van
het gehele vakwerk op te lossen.
SNEDEMETHODE
Wanneer een vakwerk in evenwicht is, dan is ook ieder element van het vakwerk in evenwicht. Door
een vakwerk op een willekeurige plek denkbeeldig door te snijden, worden de interne krachten die
werken in de doorgesneden balken externe krachten. Ook hier gaan we uit van trekkrachten. Vanwege
de 3e wet van Newton zijn de externe krachten van beide helften van het doorgesneden element
tegengesteld.
Omdat er maar 3 evenwichtsvergelijkingen zijn, mogen we bij het doorsnijden van het vakwerk niet
meer dan 3 balken doorsnijden (anders wordt de VLS statisch onbepaald).
Bij deze methode is het (vrijwel) altijd nodig om eerste de evenwichtsvergelijkingen van het gehele
vakwerk op te lossen.
Een ‘ZERO-FORCE MEMBER’ is een element dat geen lading ondersteunt. In het eerste voorbeeld hieronder
zijn 𝐴𝐵 en 𝐴𝐹 ‘zero-force members’ omdat uit de VLS van knooppunt 𝐴 geldt: ∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐴𝐵 = 0 en ∑ 𝐹𝑦 = 𝐹𝐴𝐹 =
0. Hetzelfde geldt voor 𝐷𝐸 en 𝐷𝐶 (wanneer je je assenstelsel bijdraait). In het algemeen geldt dat wanneer in
een punt van een vakwerk enkel 2 elementen verbonden zijn en er geen externe kracht werkt op dit punt, dat
dan de 2 elementen ‘zero-force members’ moeten zijn. Ook geldt dat wanneer in een knooppunt 3 elementen
verbonden zijn waarvan 2 collineair, dat dan het derde element een zero-force member moet zijn. Hieruit volgt
dat zowel 𝐴𝐶 als 𝐴𝐷 in het tweede voorbeeld ‘zero-force members’ zijn.
Frames en machines zijn vaak opgebouwd uit door
pinnen verbonden ‘MULTIFORCE MEMBERS’,
elementen waarop meer dan 2 krachten werken.
Wanneer het gehele frame of de gehele machine is
evenwicht is, dan zijn ook alle elementen in
evenwicht. Je kunt van ieder element een VLS
tekenen en de evenwichtsvergelijkingen opstellen. Op de punten van
‘loshalen’ worden de interne krachten extern en tegengesteld aan die van de andere helft.
HOOFDSTUK 7: INTERNE KRACHTEN
Om de interne kracht in een bepaal punt van een element te bepalen, kun je de snedemethode gebruiken.
Wanneer het element een ‘multiforce member’ is, werken er op het snijpunt een kracht loodrecht op de snede
(normaalkracht), een kracht evenwijdig met de snede (dwarskracht) en een
moment. De krachten waren voor de doorsnede interne krachten, maar zijn nu
extern. Ook hier geldt vanwege de 3e wet van Newton dat deze krachten en het
moment in de andere helft tegengesteld zijn. Binnen de UT is afgesproken om
in de linkerhelft de normaalkracht naar rechts, de dwarskracht naar beneden
en het moment linksom te tekenen (als een bal die in het water valt).
Voor het ontwerpen van een constructie zijn de interne dwarskracht 𝑉 en het buigmoment 𝑀 in elk punt van
de balk van groot belang. De functies voor 𝑉 en 𝑀 zijn discontinu of hebben een discontinue helling in de
punten waar externe een kracht of een moment op de balk werkt. Om de 𝑉 en 𝑀 van de gehele balk te kunnen
bepalen moeten we hem doorsnijden in deze punten en voor deze punten de 𝑉 en 𝑀 te bepalen. Tussen deze
punten zijn 𝑉 en 𝑀 continue functies. De dwarskracht 𝑉 is de som van de krachten loodrecht op de balk en het
moment 𝑀 is de som van momenten rondom het rechteruiteinde bij iedere snede.
Voor het bepalen van de vergelijkingen van de 𝑉- en 𝑀-lijn zijn de volgende functies van belang (𝑞 is verdeelde
belasting):
𝑑𝑉
 𝑞(𝑥) = − , oftewel ∆V = ∫ q(x) dx
𝑑𝑥
o Wanneer op een bepaald punt een externe kracht werkt, dan maakt de 𝑉-lijn een sprong met
de grootte van de kracht.
𝑑𝑀
 𝑉 = , oftewel ∆𝑀 = ∫ 𝑉 𝑑𝑥
𝑑𝑥
o Wanneer op een bepaald punt een koppelmoment 𝑀𝑂 werkt, dan geldt: ∆𝑀 = 𝑀𝑂 , oftewel,
de 𝑀-diagram maakt een sprong met grootte 𝑀𝑂 .
HOOFDSTUK 8: WRIJVING
WRIJVING is de kracht die beweging van 2 langs elkaar glijdende oppervlakken
tegengaat. Deze kracht is altijd evenwijdig met het oppervlakte van het contactpunt.
DROGE WRIJVING is wrijving zonder smerende vloeistof.
Wanneer 𝑃 toeneemt, neemt 𝐹 ook toe. Op een bepaald punt is 𝑃 zodanig groot dat
het blok gaat bewegen. Vlak voor dit punt (blok staat op het punt van bewegen) bereikt
𝐹 zijn maximum. Hiervoor geldt: 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑁 waarbij 𝜇𝑠 staat voor de STATISCHE
WRIJVINGSCOËFFICIËNT. Wanneer het blok beweegt geldt: 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑘 𝑁, waarbij 𝜇𝑘
staat voor de KINETISCHE WRIJVINGSCOËFFICIËNT.
Er zijn 3 soorten mechanische problemen die droge wrijving bevatten:
 Mechanisme staat nergens op het punt van bewegen
Je kunt de wrijvingskracht niet bepalen m.b.v. 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑁 aangezien de wrijving niet maximaal is. Wel
moet je achteraf controleren of 𝐹 ≤ 𝐹𝑚𝑎𝑥 . (zie linker plaatje)
 Mechanisme staat op elk contactpunt op het punt van bewegen
Dit is het geval wanneer er excl. de wrijvingskrachten evenveel onbekenden zijn als vergelijkingen.
Voor elk contactpunt geldt dan: 𝐹 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑁. (zie middelste plaatje)
 Mechanisme staat op sommige contactpunten op het punt van bewegen
Dit is het geval wanneer er excl. de wrijvingskrachten minder onbekenden zijn dan vergelijkingen.
Voor bepaalde punten geldt dan 𝐹 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠 𝑁, voor andere punten geldt (afhankelijk van de
opgave) 𝐹 ≤ 𝐹𝑚𝑎𝑥 (geen beweging) of 𝐹 ≥ 𝐹𝑚𝑎𝑥 (wel beweging). Wanneer uit de opgave blijkt dat
het mechanisme niet beweegt, en uit jouw berekeningen volgt voor een bepaald punt 𝐹 ≥ 𝐹𝑚𝑎𝑥 , heb
je het verkeerde punt gekozen waar de wrijving maximaal is. (zie rechter plaatje)
HOOFDSTUK 9: ZWAARTEPUNTEN
Een lichaam bestaat uit oneindig veel deeltjes met elk een gewicht. Al deze gewichten samen vormen een
parallel krachtsysteem. De resultante van dit systeem is het totale gewicht van het lichaam en loopt door het
ZWAARTEPUNT van het systeem.
Het totale gewicht is de som van de gewichten van alle deeltjes:
𝑊 = ∫ 𝑑𝑊
De locatie van het zwaartepunt t.o.v. de y-as wordt bepaald door het moment van 𝑊 rondom de y-as gelijk te
stellen aan de som van de momenten van de gewichten van de deeltjes rondom dezelfde as:
(𝑀𝑅 )𝑦 = ∑ 𝑀𝑦
→
𝑥̅ 𝑊 = ∫ 𝑥̃𝑑𝑊
→
𝑥̅ =
→
𝑦̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
Hetzelfde geldt voor het zwaartepunt t.o.v. de x-as:
(𝑀𝑅 )𝑥 = ∑ 𝑀𝑥
→
𝑦̅𝑊 = ∫ 𝑦̃𝑑𝑊
∫ 𝑦̃𝑑𝑊
∫ 𝑑𝑊
Hierin zijn 𝑥̅ en 𝑦̅ de coördinaten van het zwaartepunt van het gehele lichaam en 𝑥̃ en 𝑦̃ de coördinaten van het
zwaartepunt van ieder deeltje van het lichaam.
𝑊 = 𝑔 ∙ 𝑚, dus 𝑑𝑊 = 𝑔 ∙ 𝑑𝑚. Omdat 𝑔 een constante is en weggedeeld kan worden, kan 𝑑𝑊 vervangen
worden door 𝑑𝑚.
𝑥̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝑚
𝑦̅ =
∫ 𝑑𝑚
∫ 𝑦̃𝑑𝑚
∫ 𝑑𝑚
𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉, dus 𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉. Omdat 𝜌 een constante is (ervan uitgaande dat het hele lichaam van hetzelfde
materiaal is gemaakt) en weggedeeld kan worden, kan 𝑑𝑚 vervangen worden door 𝑑𝑉.
𝑥̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝑉
𝑦̅ =
∫ 𝑑𝑉
∫ 𝑦̃𝑑𝑉
∫ 𝑑𝑉
Wanneer je het zwaartepunt van een grafiek
in het x,y-stelsel wilt bepalen, moet je in de
vergelijkingen 𝑥̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝑉
∫ 𝑑𝑉
en 𝑦̅ =
∫ 𝑦̃𝑑𝑉
∫ 𝑑𝑉
𝑑𝑉
vervangen door 𝑑𝐴 omdat het lichaam geen
dikte heeft.
𝑥̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
𝑦̅ =
∫ 𝑦̃𝑑𝐴
∫ 𝑑𝐴
Om 𝑑𝐴 te bepalen moet je de grafiek verdelen
in oneindig smalle horizontale of verticale
balkjes. Wanneer je kiest voor verticale
1
balkjes, geldt 𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥, 𝑥̃ = 𝑥 en 𝑦̃ = 𝑦.
2
1
Wanneer je kiest voor horizontale balkjes, geldt 𝑑𝐴 = 𝑥 𝑑𝑦, 𝑥̃ = 𝑥 en 𝑦̃ = 𝑦.
2
Voor het zwaartepunt van een lijn 𝑦 = 𝑓(𝑥) geldt:
𝑥̅ =
∫ 𝑥̃𝑑𝐿
𝑦̅ =
∫ 𝑑𝐿
∫ 𝑦̃𝑑𝐿
∫ 𝑑𝐿
De lengte van het differnetiaalelement 𝑑𝐿 kun je bepalen m.b.v. de stelling van
Pythagoras:
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐿 = √(𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 = √( ) 𝑑𝑥 2 + ( ) 𝑑𝑥 2 = (√1 + ( ) ) 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
Op dezelfde manier kun je 𝑑𝐿 uitdrukken in 𝑑𝑦 i.p.v. 𝑑𝑥: 𝑑𝐿 = (√( ) + 1) 𝑑𝑦
𝑑𝑦
Een SAMENGESTELD LICHAAM bestaat uit een aantal verbonden ‘simpeler’ gevormde lichamen. Om het
zwaartepunt van een samengesteld lichaam te bepalen, moet je eerst de zwaartepunten van de ‘onderdelen’
bepalen. Het totale gewicht is gelijk aan de som van de gewichten van de ‘onderdelen’: 𝑊 = ∑ 𝑊.
Omdat het moment van het totale gewicht gelijk moet zijn aan de som van de momenten van de gewichten
van de onderdelen, geldt:
∑ 𝑥̃𝑊
(𝑀𝑅 )𝑦 = ∑ 𝑀𝑦
→
𝑥̅ 𝑊 = ∑ 𝑥̃𝑊
→
𝑥̅ =
(𝑀𝑅 )𝑥 = ∑ 𝑀𝑥
→
𝑦̅𝑊 = ∑ 𝑦̃𝑊
→
𝑦̅ =
∑𝑊
∑ 𝑦̃𝑊
∑𝑊
Ook hier kun je 𝑊 vervangen door 𝑚, 𝑉 (ervan uitgaande dat de dichtheid constant is), 𝐴 (ervan uitgaande dat
de dikte constant is) of 𝐿 (wanneer het lichaam een lijn is).
Wanneer je het zwaartepunt wilt bepalen van een lichaam met een gat, kun je dit doen op bovenstaande
manier door het gewicht of het oppervlak van het gat negatief te stellen.
Wanneer we een kromme rondom een as (die de kromme niet kruist) wentelen,
ontstaat een OMWENTELINGSLICHAAM.
Voor het buitenoppervlak van een ring van dit lichaam geldt: 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 𝑑𝐿.
Hieruit volgt voor het buitenoppervlak van het gehele lichaam: 𝐴 =
2𝜋 ∫ 𝑟 𝑑𝐿 = 2𝜋𝑟̅𝐿. Wanneer de kromme maar voor een deel omgewenteld is,
geldt 𝐴 = 𝜃𝑟̅𝐿. Hierin staat 𝑟̅ voor de loodrechte afstand van de
omwentelingsas tot het zwaartepunt van de kromme.
Voor het buitenoppervlak van een samengesteld omwentelingslichaam geldt:
𝐴 = 𝜃 ∑(𝑟̃ 𝐿)
dav
W
Eers te theori van Pappus en Guldinus :dav
Voor het volume van een ring van dit lichaam geldt: 𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟 𝑑𝐴. Hierin is 𝐴
het oppervlak onder de kromme die omgewenteld wordt (het grijze vak in de
afbeelding). Voor het volume van de schijf geldt dan: 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟̅𝐴.
Wanneer de kromme maar voor een deel omgewenteld is, geldt 𝑉 = 𝜃𝑟̅ 𝐿.
Voor het buitenoppervlak van een samengesteld omwentelingslichaam geldt:
𝑉 = 𝜃 ∑(𝑟̃ 𝐴)