Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt

Hoofdstuk 2 Complexe functies
§2.1 Lineaire functies
Functies waarbij de variabelen (en/of de coëfficiënten) complexe getallen zijn noemen we
complexe functies. Bij het onderzoeken van reële functies, zoals we tot nu toe gedaan
hebben, speelt de grafiek van die functies een belangrijke rol. Die grafiek bestaat uit punten
(x,y), (waarbij x het origineel en y=f(x) het beeld van x genoemd wordt), in een assenstelsel
in een plat vlak.
Bij een complexe functie f wordt er aan een origineel  een beeld  gekoppeld door   f ( ) .
Een complex getal  , bijv.   a  bi , is voor te stellen door een punt (a, b) (in een
tweedimensionaal vlak).
Bij complexe functies hebben we alleen al voor de originelen dus een vlak nodig om ze weer te
geven (want dit zijn nu complexe getallen, ofwel punten), dus voor een combinatie van
origineel en beeld zouden we bij complexe functies een vierdimensionale ruimte nodig hebben!
Aangezien we leven in een driedimensionale wereld is zoiets heel moeilijk voor te stellen. We
zullen daarom de originelen en beelden bij complexe functies vaak ieder in een 'eigen' complex
vlak weergeven.
Alle originelen vormen samen het domein en alle beelden vormen samen het bereik van een
functie. In enkele eenvoudige gevallen kunnen we domein en bereik samen in één complex
vlak weergeven. Dit lukt bijvoorbeeld bij functies als f (z)  z  (3  i ) .
§2.1a De functies
f (z)  z  (a  bi) .
Opgave 1.1
Gegeven is de functie f (z)  z  (3  i ) .
a) Bereken de beelden van 0, 2, i en 2+2i.
b) Teken de originelen en beelden van opg a) in één complex vlak en verbind origineel en
beeld d.m.v. pijlen.
c) Teken het getal 2 12  12 i en zijn beeld.
d) Wat is het beeld als je als domein de rechthoek met hoekpunten 0, 2, i en 2+i kiest?
e) Wat is het beeld als je als domein de driehoek met hoekpunten 4  2i , 1  i en
2  4i kiest?
f) Welke meetkundige transformatie wordt er door deze functie toegepast op het
origineel?
§2.1b De functies f (z)  a  z , met a een reëel getal.
Opgave 1.2
Gegeven is de functie f (z)  3z .
a) Neem als domein de driehoek met hoekpunten -1+i, 2+i en 3+2i en teken die in het
vlak.
b) Bereken de beelden van de hoekpunten van het domein en teken ze.
c) Kies een punt op een van de zijden van het origineel en bereken het beeld. Ligt dit
beeld op een van de zijden van de driehoek die gevormd wordt door de in b) gevonden
beelden?
Nemen we de functie f (z)  2z en als domein
de driehoek met hoekpunten 1+i, 1-2i en -3+2i
dan levert dit als grafiek de figuur die hiernaast
staat. Het beeld van driehoek ABC is driehoek
DEF.
14
Opgave 1.3
Welke meetkundige transformatie wordt er door deze functie toegepast op het origineel?
§2.1c De functies
f (z)  (a  bi)  z
Als voorbeeld nemen we de functie f (z)  ( 12 2  i 
een complex getal z met het complexe getal
1
2
1
2
2)  z . De functie f vermenigvuldigt dus
2  i  12 2 .
Omdat dit getal modulus 1 heeft (reken na!), wordt de modulus van z dus met 1
vermenigvuldigd bij het toepassen van f. Dus f(z) ligt even ver van de Oorsprong als z.
Opgave 1.4
a) Bereken het argument van
1
2
2  i  12 2 .
b) Verklaar waarom bij deze functie een rotatie om de Oorsprong hoort en geef de
rotatiehoek.
Opgave 1.5
Gegeven is de functie f (z)  i  z .
a) Neem als domein het vierkant met hoekpunten 4+i, 6+3i, 4+5i en 2+3i en teken dit in
één figuur met het beeld er van.
b) Met welke meetkundige transformatie hebben we hier het beeld verkregen?
Voorbeeld
Gegeven is de functie f (z)  (1  i )  z .
Teken het beeld van het vierkant met de hoekpunten -1+i, -1+5i, 3+5i en 3+i.
Uitwerking:
We berekenen eerst de modulus van het getal 1+i: 1  i 
11 
2 . Het argument
van 1+i is 45 (schets!). Bij vermenigvuldiging van een getal z met 1+i wordt zijn modulus
dus vermenigvuldigd met 2 én bij zijn argument dus 45 opgeteld.
Dat levert de volgende figuur:
15
We zien dat we zowel met een draaiing als met een vermenigvuldiging ten opzichte van de
Oorsprong te maken hebben. Zo'n combinatie van een vermenigvuldiging en een draaiing heet
een draaivermenigvuldiging.
Opgave 1.6
Gegeven is de functie f (z )  (1  i )z .
a) Teken de rechthoek met de hoekpunten 2  2i , 4  2i , 4  2i en 2  2i en zijn beeld
bij deze functie f.
b) We kiezen als domein: alle z met z  3 én 45  Arg(z)  135 . Wat is nu het bereik
van f?
Opgave 1.7
Gegeven is de functie f (z )  ( 3  i )z .
a) Teken de cirkel met middelpunt 5+i en straal 2, en zijn beeld bij deze functie.
b) Teken het beeld van alle z met Re(z)=-2.
Opgave 1.8
Gegeven is de functie f (z )  (3  3i )z
a) We kiezen als domein alle z op of binnen de driehoek met hoekpunten 0, 4  i en 4  i .
Wat is het bereik?
b) We kiezen als domein alle z met z  3 én 45  Arg(z )  90 . Wat is het bereik van f?
§2.1d De functies f (z)  (a  bi)  z  (c  di)
Als je bij een functie van de vorm f (z )  (a  bi )z  (c  di ) de functiewaarde bij een waarde
van z berekent voer je eerst de vermenigvuldiging met a+bi uit en dan de optelling met c+di.
Dat betekent meetkundig dat je eerst een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O toepast
op z (met factor a  bi en draaihoek arg(a  bi ) ), gevolgd door een translatie van dit
tussenbeeld over c+di.
Voorbeeld
Gegeven is de functie f (z )  (1  i )z  3  4i .
a) Bereken het nulpunt van f.
b) Bereken het origineel bij f van -1+4i.
c) Teken het beeld bij f van het vierkant met hoekpunten 1+i, 3+i, 3+3i en 1+3i.
Uitwerking:
a) We moeten oplossen: f ( z )  0 , dus (1  i )z  3  4i  0 . Dus (1  i )z  3  4i .
3  4i 3  4i 1  i 7  i



 3 12  12 i .
1 i
1 i 1i
2
b) Nu is f ( z )  1  4i , dus
(1  i )z  3  4i  1  4i , dus
(1  i )z  2  8i .
2  8i 1  i 10  6i
Dus z 


 5  3i
1 i 1i
2
c) Omdat 1  i  2 en arg(1  i )  45
Dus z 
moeten we dus een
draaivermenigvuldiging t.o.v. O met
factor 2 over een hoek van 45
uitvoeren, gevolgd door een translatie
over (-3,-4).
16
Overzicht lineaire complexe functies
Functie
Transformatie
f (z)  z  (a  bi)
Translatie over (a,b)
f (z)  a  z , met a een reëel getal.
Vermenigvuldiging t.o.v. O met a
f (z)  (a  bi)  z
Draaivermenigvuldiging t.o.v. O met factor
a  bi en draaihoek arg(a  bi)
f (z)  (a  bi)  z  (c  di)
Draaivermenigvuldiging t.o.v. O met factor
a  bi en draaihoek arg(a  bi) , gevolgd
door een translatie over (c,d)
Opgave 1.9
Gegeven is de functie f (z )  iz  3  4i .
a) Bereken het nulpunt van f.
b) Bereken het beeld van z  3 12 
Het getal z  3 12 
1
2
1
2
i.
i heeft bij de functie uit opgave 1.9 heeft de bijzondere eigenschap dat
f(z)=z. Een getal z waarvoor geldt dat f(z)=z noemen we een dekpunt van de functie f.
Voorbeeld
Bereken het dekpunt van de functie f (z )  (5  3i )z  2 .
Uitwerking:
We moeten oplossen f(z)=z, dus (5  3i )z  2  z . Dan is (4  3i )z  2 , dus het dekpunt is
z
2
4  3i 8  6i
8


  25

4  3i 4  3i
25
6
25
i
Opgave 1.10
Bereken het dekpunt van de functies
a) f (z )  5z  3  4i
b) f (z )  iz  5
c)
f (z)  (2  3i )z  3  4i
§ 2.2 Tweedegraads functies
Tweedegraads functies (of kwadratische functies) hebben de vorm f (z)  az 2  bz  c ,
waarbij a, b en c (en z) complexe getallen zijn.
§2.2a De functie f(z)=z2
We bestuderen eerst de eenvoudigste kwadratische functie: f (z )  z 2 .
17
Om een beeld te krijgen hoe deze functie zich gedraagt schrijven we z in poolcoördinaten, dus
z  r (cos   i sin  ) .
Voor het beeld f (z ) van z geldt dan: f (z)  z 2  r 2 (cos   i sin  )2 en dit is volgens de
formule van De Moivre gelijk aan f (z)  r 2 (cos2  i sin2 ) .
We zien dat de modulus van f (z ) gelijk is aan r 2 en dat het argument van f (z ) gelijk is
aan 2 .
Conclusie: door de functie f (z )  z 2 wordt de modulus van z gekwadrateerd en het argument
verdubbeld.
Opgave 2.1
Teken in het complexe vlak alle getallen z waarvoor geldt dat z  1 12 .
Teken het beeld van al deze getallen bij f (z )  z 2 .
Opgave 2.2
Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt:
1
3
  arg(z)  12  bij f (z)  z 2 .
Opgave 2.3
Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt: Re(z )  Im( z ) bij f (z )  z 2 .
Opgave 2.4
Teken het beeld van de getallen z waarvoor geldt: Im( z )  2  Re( z ) bij f (z )  z 2 .
Opgave 2.5
Teken in het complexe vlak een willekeurige lijn l door de Oorsprong.
a) Teken het beeld van deze lijn l bij f (z )  z 2 .
b) Teken alle punten die bij deze functie de lijn l als beeld opleveren.
Bij opgave 2.5b ben je op zoek geweest naar getallen w waarvoor geldt w 2  z .
Zo'n getal w is dus een wortel van z. Zoals je weet uit §1.5 van hoofdstuk 1 zijn complexe
wortels meerwaardig, d.w.z. dat w 
De functie f ( z ) 
z meerdere (=twee) waarden kan hebben.
z geeft elk getal z dus twéé beelden!
**Heb je bij opgave 2.5b ook twee lijnen gevonden? Zo nee, zoek die dan alsnog op! Bedenk
dat een getal meerdere argumenten kan hebben, bijvoorbeeld 240 en ook 120 !
Opgave 2.6
Wat doet de functie f ( z ) 
z met de modulus van z? En wat met het argument van z?
Opgave 2.7
a) Kies een willekeurig complex getal z binnen de eenheidscirkel. Bereken z2.(Met de GR.
Zie §1.4) Bereken het kwadraat van dit getal. Als je zo door zou gaan met het steeds
toepassen van f (z )  z 2 op de nieuwe uitkomst, wat gebeurt er dan uiteindelijk met de
uitkomst? Geef een verklaring.
Het steeds weer opnieuw invullen in de functie f van het nieuwe beeld dat gevonden is heet:
het itereren van het getal z bij de functie f. Het n-de beeld dat je zo vindt heet de n-de
iteratie van z. De hele rij met beelden (iteraties) heet de baan van z.
b) Wat gebeurt er met een punt buiten de eenheidscirkel als je dat punt gaat itereren?
c) Idem met een punt óp de eenheidscirkel?
18
Om te onderzoeken of de functie f (z )  z 2 ook een dekpunt heeft moeten we de vergelijking
f (z )  z oplossen. We vinden: z 2  z , dus z 2  z  0 . Hieruit volgt: z  0 of z  1 . De
functie f (z )  z 2 heeft dus twee dekpunten!
§2.2b De functies f(z)=z2+c
Het beeld van een getal z ontstaat bij deze functie in het algemeen door de afstand tot de
Oorsprong te veranderen (modulus kwadrateren) en het punt te draaien om die Oorsprong
(argument verdubbelen), gevolgd door een translatie (optellen van c). Zou deze functie ook
een dekpunt kunnen hebben?
Voorbeeld
Bereken het dekpunt van de functie
a) f ( z )  z 2  2 12
b) f (z)  z 2 
3
4
 3i
Uitwerking:
a) Nu moet gelden z 2  2 12  z , dus z 2  z  2 12 .
Nu links een kwadraat maken: (z  12 )2  2 12 
1
4
 2 14
Nu geldt:
z
1
2
 i  2 14  1 21 i dus de twee dekpunten zijn z 
b) Er moet nu gelden z2 
3
4
 3i  z , ofwel z2  z 
3
4
1
2
 1 12 i en z 
1
2
 1 12 i .
 3i .
Linkerlid weer kwadraat maken, dan krijgen we (z  12 )2  1  3i . Het getal 1 
3i
heeft modulus 2 en argument 60 en is dus het kwadraat van een getal met modulus
2 en argument 30 , dus van
Dus z 
1
2
 (12 6 
is z 

1
2
1
2
6
1
2
1
2
2(12 3  12 i) ofwel
1
2
2i) . Het ene dekpunt is dus z 
6
1
2
2i .

1
2
6
1
2
1
2
2i en het andere
2i .
N.B. In  heeft élke tweedegraadsvergelijking twee (complexe) oplossingen, dus heeft ook
elke tweedegraads functie twéé dekpunten.
Opgave 2.8
Bereken de dekpunten van de functies
a) f (z)  z 2  1
b) f (z)  z 2  1
c)
f (z )  z 2 
1
4

1
4
i
19